INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE APATZINGAN MATERIA: MATEMTICAS UNIDAD:III CARRERA: INGENIERA INDUSTRIAL NOMBRE DEL MAESTRO: DAVID MORENO ESQUIVEL NOMBRE DEL ALUMNO: CERVANTES PEALOZA NAYELI 04/NOVIEMBRE/2010 3.1 CURVAS EN EL ESPACIO Y FUNCIONES VECTORIALES Una curva plana es un conjunto de pares ordenadosjunto con sus ecuaciones paramtricas y dondeysonfuncionescontinuasdeenunintervalo.Estadefinicin puede extenderse de manera natural al espacio tridimensional como sigue. Una curvaenelespacioesunconjuntodetodaslasternasordenadas junto con sus ecuaciones paramtricas y donde son funciones continuas deen un intervalo . Antesdeverejemplosdecurvasenelespacio,seintroduceunnuevo tipo de funcin, llamada funcin vectorial. Este tipo de funcin asigna vectores a nmeros reales. Definicin de funcin vectorial Una funcin de la forma (plano) o (espacio)esunafuncinvectorial,dondelasfuncionescomponentes,yson funciones del parmetro . Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como o . Tcnicamente, una curva en el plano o en el espacioconsisteenunacoleccindepuntosy ecuacionesparamtricasqueladefinen.Dos curvasdiferentespuedentenerlamismagrfica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por y

tiene como grfica el crculo unidad o unitario, pero estasecuacionesnorepresentanlamismacurva porqueelcrculoesttrazadodediferentes maneras. Hayqueasegurarsedeverladiferencia entre la funcin vectorial r y las funciones reales , y.Todassonfuncionesdelavariablereal, peroesunvector,mientrasque,y sonnmerosreales(paracadavalor especfico de ). Lasfuncionesvectorialesjueganundoble papelenlarepresentacindecurvas.Tomando comoparmetro,querepresentaeltiempo,se puedeusarunafuncinvectorialpararepresentar el movimiento a lo largo de una curva. O, en el caso msgeneral,sepuedeusarunafuncinvectorial paratrazarlagrficadeunacurva.Enambos casos,elpuntofinaldelvectordeposicin coincideconelpunto odelacurvadadaporlasecuaciones paramtricas, como se muestraen la figura. La punta de la flecha en la curva indicalaorientacindelacurvaapuntandoenladireccindevalores crecientes de t. A menos que se especifique otra cosa, se considera que eldominio de unafuncinvectorialreslainterseccindelosdominiosdelasfunciones componentes,y.Porejemplo,eldominiode es el intervalo (0,1]. EJEMPLO 1. TRAZADO DE UNA CURVA PLANA Dibujarlacurvaplanarepresentadaporlafuncin vectorial , Solucin.Apartirdelvectordeposicin,se puedendarlasecuacionesparamtricas y Despejandocostysenty utilizando la identidad

se obtiene la ecuacin rectangular

La grfica de esta ecuacin rectangular es la elipse mostrada en la figura. La curva est orientada en el sentido de las manecillas del reloj. Es decir, cuando taumentade0a 2, elvectordeposicin se mueveenelsentidodelasmanecillasdelreloj,y sus puntos finales describen la elipse. EJEMPLO 2. TRAZADO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO Dibujar la curva en el espacio representada por la funcin vectorial , Solucin. De las dos primeras ecuaciones paramtricasy , se obtiene

Esto significa que la curva se encuentra en un cilindro circular recto de radio 4, centradoenel ejez.Paralocalizarestecilindroenlacurva,seusalatercera ecuacin paramtrica. A medida que t crece de 0 a 4, el punto sube en espiral por el cilindro describiendo una hlice. Enlosejemplos1y2sediounafuncinvectorialysepididibujarlacurva correspondiente. Los dos ejemplos siguientes se refieren a la situacin inversa: hallar una funcin vectorial para representar una grfica dada. Claro est que si lagrficasedaenformaparamtrica,surepresentacinpormediodeuna funcinvectorialesinmediata.Porejemplo,pararepresentarenelespaciola recta dada por

se usa simplemente la funcin vectorial dada por Sinosedaunconjuntodeecuacionesparamtricasparalagrfica,el problema de representar la grfica mediante una funcin vectorial se reduce a hallar aun conjunto de ecuaciones paramtricas. EJEMPLO3.REPRESENTACINDEUNAGRFICAMEDIANTEUNAFUNCIN VECTORIAL Dibujar la grfica C representada por la interseccin del semielipsoide

, yelcilindroparablico

.Despus,hallarunafuncinvectorialque represente la grfica. Solucin. En la figura se muestrala interseccin de las dos superficies. Como enelejemplo3,unaopcinnaturalparaelparmetroes.Conesta opcin, se usa la ecuacin dada

para obtener

. Entonces

. Comolacurvaseencuentrasobreelplanoxy,hayqueelegirparazlaraz cuadrada positiva. As se obtienen las ecuaciones paramtricas siguientes. x=t,

y

La funcin vectorial resultante es

,(funcin vectorial) De los puntos (-2,4,0) y (2,4,0) que se muestran en la figura, se ve que la curva es trazada a medida que t crece de -2 a 2. NOTA: Las curvas en el espacio pueden especificarse de varias maneras. Por ejemplo,lacurvadelejemplo4sedescribecomolainterseccindedos superficies en el espacio. 3.2 LMITE DE UNA FUNCIN La nocin de lmite de una funcin en un nmero (un punto de la recta real) se presentar mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la grfica de la funcin Para todo punto x 1 podemos trazar la grfica por los mtodosconocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la grfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestralos correspondientes valores de f (x). x se acerca al 1 por la izquierdax se acerca al 1 por la derecha x0,90,990,99911,0011,011,1 f ( x )2,712,97012,997001?3,0030013,03013,31 f (x) se acerca al 3f (x) se acerca al 3 La figura 1 es la grfica de la funcin y como podemos observar, en dicha grfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la funcin f no est definida en el nmero 1. Es de notar que sta grfica es la de la funcinmenos el punto (1; 3). La funcin g se obtiene a partir de la funcin f, factorizando el numerador y simplificando. La discusin anterior conduce a la siguiente descripcin informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un nmero L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el lmite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos Definicin de lmite de una funcin Sea f una funcin definida en todo nmero de algn intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el nmero a mismo. El lmite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como, si para cualquier, no importa que tan pequea sea, existe unatal que sientonces Esta definicin indica que los valores de f(x) se aproximan al lmite L conforme x se aproxima al nmero a, si el valor absoluto de la diferenciapuede hacerse tan pequea como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a. En la definicin no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la funcin no necesita estar definida en a para que exista. Ejemplos 1. 1) Utilicemos la definicin para demostrar que Como la funcin est definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definicin para hacer la demostracin.Se debe demostrar que para cualquierexiste unatal que sientonces(A) sientonces sientonces sientonces Entonces, si tomamosse cumple la proposicin (A). Esto demuestra que Tomando,luego, para esos valores deylos nmeros x que pertenecen al intervalo abiertoverifican la proposicin(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene: entonces Esto verifica la proposicin (A) para el valor especfico tomado para x. 2) Demostrar usando la definicin de lmite que Como la funcinest definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el nmero 1, podemos aplicar la definicin para realizar la demostracin. En efecto,sientonces(B) sientonces sientonces sientonces sientonces Ahora, cuando x se acerca a 1, x +2 se acerca a 3, luego, entonces,por lo tanto,De la proposicin (B) se obtiene que, sientoncesSi tomamosse cumple la proposicin (B), lo que demuestra que Ejercicios propuestos 1. Demuestre, aplicando la definicin que el lmite es el nmero indicado. 1) 2) 3) 4) Con la finalidad de calcular los lmites de funcionesde una manera ms fcil y eficaz, que aplicando la definicin, son empleados los teoremas 2.1 al 2.10.Teorema 1. Lmite de una funcin lineal.Seadonde m y b son dos nmeros reales cualesquiera y, entonces Ejemplo 2. Teorema 2. Lmite de una funcin constante. Si c es una constante (un nmero real cualquiera), entonces Ejemplo 3. Teorema 3. Lmite de una funcin identidad. Sea, entonces Ejemplo 4. Teorema 4. Lmite de la suma y de la diferencia de funciones. Siy, entonces Ejemplo 5. Sean,yentonces, y Teorema 5. Lmite de la suma y de diferencia de n funciones. Sientonces: Teorema 6. Lmite del producto de dos funciones. Siy, entonces Ejemplo 6. Sean,yentonces, Teorema 7. Lmite del producto de n funciones. Sientonces Teorema 8. Lmite de la n-sima potencia de una funcin. Siy n es cualquier nmero entero positivo, entonces Ejemplo 7. Sea,entonces, Teorema 9. Lmite del cociente de dos funciones. Siy, entonces Ejemplo 8. Sean,yentonces, Teorema 10. Lmite de la raz n-sima de una funcin. Si n es un nmero entero positivo y, entonces con la restriccin que si n es par, L > 0. Ejemplo 9. Sea,entonces Teorema 12. Lmite del logaritmo de una funcin. Sean: b un nmero real positivo y distinto de 1, yentonces Ejemplo 10. Calcule:aplicando el teorema 2.12. Apliquemos el teorema exigido: Sin aplicar el teorema: Teorema 11. Unicidad del lmite de una funcin. Siyentonces, Este teorema asegura que si el lmite de una funcin existe ste es nico.Infinitsimo La funcin f es un infinitsimo en el punto a si y slo si Ejemplos 10. 1) La funcin f (x) = x es un infinitsimo en 0 pues 2) La funcin g (x) = x 1 es un infinitsimo en 1 porque 3) La funcin h (x) = sen x es un infinitsimo en 0 ya que 4) La funcin m(x) = 4-2x es un infinitsimo en 2 pues 5) La funcin r(x) = cos x es un infinitsimo enporque Infinitsimos equivalentes. Dos infinitsimos en un mismo punto son equivalentes, cuando el lmite de su cociente es la unidad. Cuando en un lmite, un infinitsimo est multiplicado o dividido se le puede sustituir por otro infinitsimo equivalente. La suma de varios infinitsimos de distinto orden se puede reducir al infinitsimo de menor orden. Infinitsimos ms frecuentes en 0. Ejemplos 11. 1) 2) 3) 4) Ejercicios propuestos 2. Calcule los siguientes lmites: 1)2)3)4)5) 6)8)9)10) 11)12)13) Lmite por la izquierda. Sea f definida en cada nmero del intervalo abiertoEl lmite de f (x), cuando x se acerca al nmero a por la izquierda es L, lo cual se escribe si para cualquiersin importar que tan pequea sea, existe unatal que sientonces Lmite por la derecha. Sea f una funcin definida en cada nmero del intervalo abiertoEl lmite de f(x), cuando x se acerca al nmero a por la izquierda es L, lo cual se escribe si para cualquiersin importar que tan pequea sea, existe unatal que sientonces Teorema 12. Elexiste y es igual a L, si y slo si,yexisten y son iguales a L. Funciones que crecen sin lmite Sea f una funcin definida en algn intervalo abierto que contiene al nmero a, excepto posiblemente en a mismo. La funcin f (x) crece sin lmite, cuando x se aproxima al nmero a, lo cual se escribesi para cualquier N > 0 existe unatal que: sientonces f (x) > N Ejemplo 13. Supongamos que f es la funcin definida porLa grfica de esta funcin se muestra en la figura siguiente. El comportamiento de la funcin f es que crece sin lmite cuando x se acerca al nmero cero por la izquierda o por la derecha. Cuando esto sucede decimos que el lmite de f(x) es menos infinito cuando x tiende al nmero 0, lo que se indica mediante la siguiente notacin: Funciones que decrecen sin lmite. Sea f una funcin definida en algn intervalo abierto que contiene al nmero a, excepto posiblemente en a mismo. La funcin f (x) decrece sin lmite, cuando x se aproxima al nmero a, lo cual se escribesi para cualquier N < 0 existe unatal que sientonces f (x) < N Ejemplo 14. Supongamos que f es la funcin definida por la ecuacinLa grfica de f se muestra en la figura siguiente. A partir de la grfica se observa que el comportamiento de la funcin f es que decrece sin lmite cuando x se acerca a "0" por la izquierda o por la derecha. Este comportamiento lo expresamos diciendo que el lmite de f (x) es menos infinito cuando x tiende a cero, lo que se escribe de la siguiente manera: Ahora consideremos la funcin h definida por la ecuacinLa grfica de h se presenta en la figura 4. El comportamiento de h cuando x se acerca al nmero 1 por la izquierda es diferente a su comportamiento cuando x se acerca al 1 por la derecha. Cuando se acerca al 1 por la izquierda h(x) decrece sin lmite, mientras que cuando x se acerca al 1 por la derecha h(x) crece sin lmite. Estos comportamientos de h lo escribimos de las siguientes maneras: y Ejemplos 15. Determine el lmite analticamente y apoye la respuesta trazando la grfica de la funcin. 1) Solucin: La grfica de la funcines mostrada a continuacin. En la grfica se observa que cuando x se acerca al nmero 2 por la derecha g(x) crece sin lmite. 2) Solucin La grfica de la funcines mostrada en la figura 6. Observemos que f (x) decrece sin lmite cuando x se acerca al 0 por la izquierda. 3) Solucin: La grfica de la funcinse muestra en la figura 7: Observando la grfica podemos verificar que cuando x se acerca al nmero -2 por la derecha, f (x) decrece sin lmite. Lmites indeterminados. Los lmites indeterminados que estudiaremos en ste captulo son: La forma indeterminada Si f y g son dos funciones tales queyentonces la funcintiene la forma indeterminadaen a. La manera de resolver los lmites indeterminadosser explicada mediante dos: Ejemplos 16. 1) Calcular Se tiene queyentonces, Para eliminar la indeterminacin, factorizamos el numerador y el denominador, simplificamos y resolvemos el lmite obtenido, as: Por lo tanto, 2) Calcular Aqu tenemos: yluego, En ste caso procedemos de la siguiente manera: multiplicamos el numerador y el denominador por la conjugada dedicha conjugada es: luego se resuelve el lmite resultante, as: Por lo tanto, La forma indeterminada Si f y g son dos funciones tales queyentonces la funcines indeterminada con la forma La forma de resolver stos lmites ser explicada mediante dos ejemplos. Ejemplos 17 1.Calcular Es evidente queypor lo tanto, Para resolver ste lmite dividimos el numerador y el denominador entre la x de mayor exponente, as: Por lo tanto, 2) Calcular En este casoy, por lo tanto, Para resolver, dividamos el numerador y el denominador entrepues ste es la potencia de x de mayor exponente, as: Por lo tanto, La forma indeterminada Si f y g son dos funciones tales queyentonces la funcines indeterminada de la formaLa manera de resolver stos lmites ser explicado con ejemplos. Ejemplos 18 1) Calcular Como y entonces, Para resolver ste lmite racionalizamos, as: Hemos transformado el lmite en otro indeterminado de la formaque se resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre x, as: Por lo tanto, 2) Calcular Como: yentonces, Para resolver ste lmite racionalizamos, as: El lmite se transform en otro indeterminado de la formaque se resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre la potencia de x de mayor exponente, que en el caso que nos ocupa esas: Por lo tanto, Teorema 23. Teorema de estriccin o del encaje. Sipara todo x en un intervalo abierto que contiene a a, excepto en el propio a y sientonces Ejemplo 2.19. Sean f, g y h las funciones definidas pory Las grficas de estas funciones estn trazadas en la figura 8. Las grficas de h, f y g son parbolas que tienen sus vrtices en el punto (3; 2). Las tres funciones estn definidas en x = 3. Tambin se observa que Adems,yPor lo tanto, de acuerdo al teorema de estriccin Ejercicios propuestos 3 Calcule los siguientes lmites. 1)2)3)4) 5) 6)recuerde que: 7)recuerde que: 8)9)10) 11)12)13) Dadas las funciones indicadas, calcule el lmite sealado si existe, sino existe establezca la razn.14) 15) Utilice el teorema de estriccin para determinar el lmite. 16)sipara toda x 17)dado quepara toda x en el intervalo 18)dado quepara toda x en el intervalo Continuidad de una funcin. Funcin continua en un nmero. Una funcin f es continua en un nmero a si y slo si se satisfacen las tres condiciones siguiente: i.f (a) existe; ii.existe; iii. Si por lo menos una de estas tres condiciones no se cumple en a, entonces se dice que la funcin f es discontinua en a. Ejemplos 20. 1) La funcin definida pores discontinua en 2, pues dicha funcin no est definida en el 2. Veamos como es su comportamiento grficamente, mostrado en la figura 9. La grfica muestra un salto en el punto (2; 4), esto se debe a la discontinuidad de la funcin en x= 2, por lo tanto, f(2) no existe. Observando la grfica se sospecha queexiste y es igual a 4. Veamos si esto es cierto: Cuando una funcin fpresenta las caractersticas anteriores, es decir, no est definida en un nmero a peroexiste, se dice que f presenta una discontinuidad removible o eliminable, porque si f es redefinida en a de manera quela nueva funcin es continua en a. Si una discontinuidad no es removible se dice que es una discontinuidad esencial. La discontinuidad de la funcines removible, porque si se redefine en 2, se obtiene la siguiente funcin: La funcin F es continua en 2, puesto que, y 2) Sea g la funcin definida porLa grfica de la funcin es mostrada en la figura 10.

La grfica de g se rompe en el punto dondepues la funcin no est definida en dicho punto. Adems,yluego, no existe. Por lo tanto, i)no est definida. ii)no existe. Entonces, la funcin g es discontinua eny la discontinuidad es esencial porqueno existe. La discontinuidad de ste ejemplo recibe el nombre de discontinuidad infinita. 3) Sea h la funcin definida por La grfica de h es mostrada en la siguiente figura: Veamos que sucede con las condiciones de continuidad de la funcin h en x = 2. i) g(2) = 3 ii)y, por lo tanto,no existe. Como la condicin ii) no se cumple, h es discontinua en 2. La discontinuidad es infinita, y desde luego esencial. 3.3 DEFINICIN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIN VECTORIAL Para todo t en que el lmite exista. Si r(c) existe, se dice que r es derivable en c. Si r(c) existe para todo c en el intervalo abierto, se dice quer es derivable enelintervaloI.Laderivilidaddefuncionesvectorialespuedeextendersea intervalos cerrados, considerando lmites laterales.Aparte de la notacin anterior se emplean otras notaciones para representar la derivada de una funcin vectorial. Tal como se muestran a continuacin: Laderivacindefuncionesvectorialespuedeefectuarsecomponentea componente.Paraconvencersedeello,bastaconsiderar la funcin:y aplicar la definicin de derivada, con lo que se obtiene: ( )( ) ( )tt r t t rt rlmtA A += A 0( ) | | ( ) | |dtdrt rdtdt r D , ,( ) ( ) ( ) j t g i t f t r + = 3.4 3.4 INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES Sea R(u) = R1 (u)i + R2 (u)j + R3 (u)k un vector funcin de una sola variable escalaru,endondeR1 (u),R2(u),R3(u),sesuponencontinuasenun intervalo dado. En estas condiciones:

Se llama integral indefinida de R(u).

Si existe un vector S(u) de forma que

se verifica que

en donde C es un vector constante arbitrario independiente de u.

La integral definida entre los lmites de u = a y u = b es

Integracin de funciones vectoriales Si f, g y h son integrables, entonces las integrales indefinida y definida de una funcin vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k se definen respectivamente por: " r(t) dt = [ "f(t) dt] i +[ "g(t) dt] + [ "h(t) dt]k Ejemplo: SiR(t) = 6t2 i + 4e-2tj +8 cos 4tk Entonces" r(t) dt = [6t2 dt]i + [ " 4e-2t dt]j + [ "8 cos 4t dt]k = [2t3 + c1]i + [-2e-2t +c2]j + [ "2 sen 4t + c3]k= 2t3i-2e-2tj + 2sen 4tk +C Ejercicios: 3.-r(t)=ti+ 2tj + cos tk, t "0 z y x15.- r(t) = < t cos t - sen t, t + cos t=e2t (2t + 1)i + e-2tj + 1/2et2k +C 3.5 LONGITUD DE UN ARCO Enmatemtica,lalongituddearco,tambinllamadarectificacindeuna curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensinlineal.Histricamente,hasidodifcildeterminarestalongituden segmentosirregulares;aunquefueronusadosvariosmtodosparacurvas especficas, la llegada del clculo trajo consigo la frmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. Al considerar una curva definida por una funciny su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuacin: (1) En el caso de una curva definida paramtricamente mediante dos funciones dependientes de t comoe, la longitud del arco desde el puntohasta el puntose calcula mediante: (2) Si la funcin esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ngulo polar estn relacionados mediante, la longitud del arco comprendido en el intervalo, toma la forma: (3) En la mayora de los casos, no hay una solucin cerrada disponible y ser necesario usar mtodos de integracin numrica. Por ejemplo, aplicar esta frmula a la circunferencia de una elipse llevar a una integral elptica de segundo orden. Entre las curvas con soluciones cerradas estn la catenaria, el crculo, la cicloide, la espiral logartmica, la parbola, la parbola semicbica y la lnea recta. [editar] Deduccin de la frmula para funciones de una variable Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una funcin, y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b. Con este propsito podemos disear una serie de tringulos rectngulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este mtodo "ms funcional" tambin podemos exigir que las bases de todos aquellos tringulos sean iguales a x, de manera que para cada uno existir un cateto y asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa igual a, al aplicarse el teorema pitagrico. As, una aproximacin de S estara dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que; Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresin; Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma: Ahora bien, mientras ms pequeos sean estos n segmentos, mejor ser la aproximacin buscada; sern tan pequeos como deseemos haciendo que x tienda a cero. As, x deviene en dx, y cada cociente incremental yi / xi se transforma en un dy / dx general, que es por definicin. Dados estos cambios, nuestra aproximacin anterior se convierte en una sumatoria ms fina y ahora exacta, una integracin de infinitos segmentos infinitesimales; 3.6 VECTOR TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL Vectortangenteunitarioyvectornormalunitarioprincipal:seaCuna curvaenelespaciodescritaporr(t)=f(t)+g(t)+H(t)k,endondefgyh tienen segundas derivadas.Vector tangente unitario |r (t)|T = r (t) /Vector binormal unitario.- Vector unitario definido mediante B = T X NLos tres vectores unitarios T, N, B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientacin derecha, llamado triedo mvil Radio de curvatura.-El reciprocodelacurvatura,p=1/ksellamaradiodecurvatura.Elradiode curvatura en un punto p de una curva es el radio de una circunferencia que se ajusta a la curva mejo que cualquier otra.Por ejemplo, un automvil que recorre una pista curvada. Puede considerarse que se mueve sobre una circunferencia.Definicin del Vector Tangente Unitario:Sea c : [a , b] R3 una trayectoria infinitamente diferenciable (es decir, existen derivadasdetodoslosordenes).Supongamosquec(t)0paratodot.El vectorEstangenteacenelpuntoc(t)ypuestoqueT(t))=1,Tsedenomina vector tangente unitario de cEjemplo 1.-Si c(t) = (2 cos t , 2 sen t, t)Encontrar el vector tangente unitario.Solucin:.. c(t) = (2 sen t , 2 cos t, 1)Por lo tanto, el vector tangente unitario es:Definicin de Vector Normal Principal (unitario):Sea C una curva suave representada por c en un intervalo abierto I. Si T(t) 0, el vector normal principal en t se define como:Ejemplo 2.- Hallar el vector Normal principal para la hlice: c(t) = (2 cos t, 2 sen t, t) Solucin: Por el ejemplo1 sabemos que el vector tangente unitario es: T(t) viene dada por: T(t) = ( 2 cos t, 2 sen t, 0)ComoT(t) = =se sigue que el vector normal principal es:N(t) = (2 cos t , 2 sen t, 0) = (-cos t, sen t , 0)Consideremos un tercer vector:Definicin de vector Binormal:El vector Binormal es un vector unitario perpendicular a T y a N definido por:B = T H NEjemplo 3.-Hallar el vector Binormal principal para la hlice: c(t) = (2 cos t, 2 sen t, t) Solucin:B = =Los tres juntos, T, N y B, forman un sistema ortogonal orientado positivamente, que podemos interpretar en movimiento a lo largo de la trayectoriaVector tangente unitarioLa geometra diferencial constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio. Sea C una curva en el espacio definida por la funcin R(t), dR/dt es un vector en la direccin de la tangente a C. A dicho vector le llamaremos T(t).Vector normal unitarioConsideramoslalongituddearcoSmedidaapartirdeunpuntofijodeC.La variacindeTconrespectodeSesunamedidadelacurvaturadeCyse obtienepordT/ds.LadireccindedT/dsenunpuntocualquieradeCesla correspondiente a la normal a curva en dicho punto. El vector unitario N en la direccindelanormalsellamanormalprincipalalacurva.As,dT/ds=kN, siendo k la curvatura de C en el punto dado. El recproco de la curvatura r = 1/k se llama radio de curvatura.Vector binormal unitarioEl vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al planoformadoporTyNsellamabinormalalacurva.LosvectoresT,N,B, forman un triedro tri-rectngulo a derechas en cualquier punto de C. 3.7 CURVATURA La curvatura de una curva en el plano, en un punto de la curva, mide la rapidez con la que la curva abandona la tangente en ese punto. Cmo medimos la curvatura? Por un lado, una recta no tiene curvatura, luego su curvatura es cero, por otro lado, una recta podemos imaginarla como una circunferencia de radio infinito, entonces la curvatura podemos medirla por el inverso del radio de curvatura (1 / R) El radio de curvatura de una circunferencia, es el radio de la circunferencia. Para el caso de una curva cualquiera, el radio de curvatura en un punto, es el radio de la circunferencia que pasa por ese punto y otros dos infinitamente prximos (por tres puntos slo pasa una circunferencia).En general, el radio de curvatura vara en cada punto de la curva.Torsin La curvatura de las curvas en el espacio (por ejemplo la hlice, cuya imagen es similar a un muelle) se define de manera similar (el radio ser el de una esfera) a la curvatura de las curvas en el plano, pero en este caso la curvatura se llama torsin. La torsin mide la variacin de la direccin del plano osculador. Dado un punto en una curva, el plano osculador es el plano mas prximo a la curva que pasa por ese punto. Por lo tanto una curva tiene infinitos planos osculadores (uno en cada punto). Curvatura de una superficie El concepto es similar. La curvatura de una superficie, en un punto, mide la rapidez con la que la curva abandona el plano tangente a la curva en ese punto. En una superficie la curvatura depende de la direccin en la que nos movamos (este detalle no tiene sentido en el caso de curvas lineales, pues slo nos podemos mover a lo largo de la curva). Euler demostr que en cada punto de una superficie existen dos direcciones en las que la curvatura alcanza su mximo y su mnimo y que estas direcciones son perpendiculares entre si.Podemos visualizar la curvatura de una superficie viendo un cilindro. Si nos movemos a lo largo del cilindro (sobre la generatriz) la curvatura es cero y si nos movemos en direccin perpendicular a la generatriz (recorriendo una circunferencia) la curvatura ser mxima (igual a 1 / R, siendo R el radio de la circunferencia). Para calcular la curvatura en una direccin que forma un ngulo a con respecto a una de las direcciones de curvatura mxima o mnima, aplicamos la frmula: ka = k1 cos2 a + k2 cos2 a Algunas superficies tienen algunos puntos en los que la curvatura, en ese punto, es la misma sea cual sea la direccin. Esos puntos se llaman puntos umbilicales. En la esfera todos los puntos son puntos umbilicales, el elipsoide con los tres ejes distintos, tiene 4 puntos umbilicales.3.8 APLICACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES Una aplicacin F : I Rn, donde I es un subconjunto de R se llama una funcin vectorial. Puesto que para cada t I, F( t ) Rn, entonces F( t ) = ( f 1( t ), f 2( t ), ..., f n( t ) ) Las funciones f i : I R, i = 1, 2, ...n son las funciones componentes de F. Es por ello que todas las propiedades de F, como veremos, reposan en las propiedades de las funciones componentes. Ejemplos: 1. F( t ) = P + tA, t R, P y A vectores fijos de Rn es una funcin vectorial que representa una recta enRn. 2. F( t ) = ( cos t, sent ), t R es una funcin vectorial que representa una circunferencia de centro cero y radio uno enR2. 3. F( t ) = ( t, t2 ), t R es una funcin vectorial que representa una parbola La imagenF( I ) es un subconjunto de Rn y determina una curva en l. Es claro que que una curva enRn puede estr determinada por diferentes funciones vectoriales, por ejemplo: a( t ) = ( t, t 2 ), t 0 y b( t ) = ( t2, t 4 ), definen la misma curva en enR2. No obstante, aunque es un