Matemáticas III

Unidad IV

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4.1 DEFINICION DE UNA FUNCION DE 2 VARIABLES

Una función de 2 o varias variables independientes, básicamente es una

extensión de la definición típica de la función.

Se dice entonces que una función de dos variables es una regla que asigna a

cada par ordenado de números reales de un conjunto , un numero real

único denotado por . El conjunto D es el dominio de y su imagen es el

conjunto de valores que toma f es decir

A veces escribimos para ser explicito el valor tomado por f en un punto

. las variables son variables independientes y es variable dependiente.

Para que nos quede mas clara la definición de dos variables, consideremos los siguientes casos de aplicación:

La temperatura t en un punto de la superficie terrestre en cualquier tiempo

depende de la longitud y la longitud del punto. Podemos considerar que es

una función de las dos variables x y y. Indicamos la dependencia funcional al

escribir .

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4.2 GRAFICA DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES

Si una función esta dada por una formula y no se especifica su dominio,

entonces el dominio de se entiende que es el conjunto de todos los pares

para las cuales la expresión dada es un conjunto real bien definido.

Antes de graficar una función de dos variables iniciamos conociendo como se genera una ecuación de dos variables o más variables; considerando los siguientes casos.

Ejemplo

1. Un estanque mide 30 m de profundidad, 200 m de diámetro y esta infestado de

algas. Suponer que la densidad de las algas en el punto metros bajo la

superficie, metros al este y metros al norte del centro de la superficie del

estanque, se calcula mediante la fórmula:

Encuentre una función que representa la superficie del estanque y otra que representa la oportunidad

Considerando

Superficie:

Profundidad:

2.- Dada la función

a) hallar su dominio

b) evaluar la función en

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c) espose su grafica

a)

b)

c)

4.3 CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

CURVAS DE NIVEL

Hasta aquí tenemos dos métodos para visualizar funciones:

Diagramas sagitales y graficas. Un tercer método, empleado por quienes hacen mapas, es un campo de contorno, en el que se unen puntos de elevación constante para formar curvas de contorno o curvas de nivel.

Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas con

ecuaciones , donde es una constante (que pertenece ala imagen de

f).

Una curva de nivel es el conjunto de los puntos del dominio de en

donde toma un valor dado , en otras palabras muestra donde la grafica de

tiene altura .

SUPERFICIES DE NIVEL

Las superficies de nivel son las superficies con ecuaciones se mueve a lo

largo de una superficie de nivel el valor de permanece fijo.

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4.4 LÍMITES Y CONTINUIDAD

Definición de límite de una función de dos variables.

Sea una función de dos variables cuyo dominio incluye puntos arbitrariamente

cercanos a

Entonces decimos que el límite de cuando se aproxima a es

y escribimos:

Ejemplos:

Encuentre el límite, si existe, o demuestre que el límite no existe.

2.-

3.- )= = =

4.-

5.-

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CONTINUIDAD

Una función de dos variables se denomina continua en si:

=

Ejemplos:

1.- ¿ en donde es continua la función =

2.-

(2, 1)

3.- 1

) (0, 0)

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4.5 DEFINICION DE DERIVADAS PARCIALES, DE FUNCIONES DE 2 VARIABLES, ASI COMO SU INTERPRETACION

GEOMETRICA

Si , las primeras derivadas de respecto de , y son las funciones

definidas como:

Siempre que el límite existe.

Ejemplo:

1) Encuentre la derivada parcial de la función

SOLUCION:

1.- se deriva con respecto a la primera variable independiente, de tal forma que la segunda variable dependiente es considerada como constante.

2.- se deriva con respecto a la segunda variable, considerando a la primera como una constante.

3.- ahora utilizaremos el operador de derivación parcial en el mismo ejercicio; el cual es

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Donde:

=operador de derivación parcial

= función a la que se aplica

= indica con respecto a que variable se esta derivando

Por lo que:

2) Encuentre las derivadas parciales de la función

3) Si encuentre

4) Si encuentre e

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5) hallar evaluarlas en (1, )

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4.6 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Tal como sucedía para las derivadas ordinarias es posible hallar las segundas derivadas parciales, terceras o de orden más alto, supuesto que existan.se denota por el orden en el que se van efectuando las derivaciones. Por ejemplo, la función

tienen las siguientes derivadas parciales de segundo orden.

1.- derivar 2 veces respecto a x

2.- derivar 2 veces respecto a y

3.- derivar primero respecto y luego respecto a

4.- derivar primero respecto a , después respecto a

La tercera y la cuarta se llaman derivadas parciales cruzadas (o mixtas).

EJEMPLO:

Hallar las derivadas parciales de segundo orden de

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Verifique las derivadas parciales cruzadas , e son iguales:

4.7.- INGREMENTOS, DIFERENCIALES Y REGLA DE LA CADENA

En este tema generalizamos alas funciones de variables bajo las nociones de incremento diferencial.

Del curso anterior matemáticas II sabemos que una diferencial se calcula a partir

de:

En este curso sabemos que , es una notación para representar las

funciones de de dos variables, entonces el incremento de viene dado por:

Si , y son incrementos de y , las diferenciales de las

variables independientes y son e

Entonces la diferencial total de la variable de la pendiente ” ” es :

Ejemplo:

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Calcular la diferencial total de la función . Si cambia de

2 a 2.5 y ” ” de 3 a 2.96; compare los valores con y

Regla de la cadena

La regla de la cadena para funciones de una variable establece que si “ ” es igual

a y es una función diferenciable de , entonces la derivada de la

función compuesta es

Sea donde es una función diferenciable de y . Si y

siendo y funciones derivables de , entonces es una función

derivable, es decir,

Ejemplo. Sea donde y hallar

Sea donde ; y hallar

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4.8 DERIVADA PARCIAL EXPLICITA

Definición de la ecuación define implícitamente a y como una función variable de x, entonces:

, para

Si la ecuación define implícitamente a z como función diferenciable de x e y, entonces:

y , para

Ejemplo:

1.- Hallar dado que :

2.- Hallar y sabiendo que:

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4.9 COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS

El sistema de coordenadas cilíndricas, un punto en el espacio tridimensional

esta representado por la Terna coordenada donde y son las

coordenadas polares de la proyección de en el planos al punto .

Esto se representa en la siguiente figura.

Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares, emplearemos las ecuaciones:

Mientras que para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas usamos:

Ejemplo:

1.- Determine el punto con coordenadas y encuentre sus coordenadas

rectangulares.

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2.- Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto (3,-3,-7)

COORDENADAS CILÍNDRICAS

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de u eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría.

Por ejemplo el eje de un cilindro circular con ecuación cartesiana es el

eje . En las coordenadas cilíndricas, este cilindro tiene ecuación . Esta es la

razón del nombre que recibe como coordenadas cilíndricas.

Ejemplo:

3.- Encuentre la ecuación en coordenadas cilíndricas de un elipsoide

.

Sabemos que

Retomando la ecuación de la elipsoide

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Ecuación de la elipsoide en coordenadas cilíndricas.

COORDENADAS ESFÉRICAS

Las coordenadas esféricas de un punto en el espacio se muestra en la

siguiente figura:

Un sistema de coordenadas esféricas se aplica en un problema donde hay simetría alrededor de un punto y el origen se pone en ese punto. Por ejemplo, la

esfera con centro en el origen de radio tiene la ecuación ; esta es la razón

por la cual reciben el nombre de coordenadas esféricas.

Sabemos que y ; de modo que para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares empleamos las ecuaciones:

Del mismo modo, la formula de la distancia muestra que .

Ejemplo:

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4.- Dado el punto . Hallar el punto y encontrar sus coordenadas rectangulares.

5.- El punto esta dado en coordenadas rectangulares. Encuentre sus coordenadas esféricas.

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4.10 DERIVADA DIRECCIONAL, GRADIENTE, DIVERGENTE Y ROTACIONAL

DERIVADA DIRECCIONAL

Si f es una función diferenciable de y , su derivada direccional en la dirección

del vector unitario es:

Ejemplo:

1.- Calcular la derivada direccional de . En en la dirección

de .

GRADIENTE

Sea z una función de , es decir ; y tal que existen y el gradiente

de f denotado por es el valor:

Otra notación usual para el gradiente es .

Ejemplo:

Calcular el gradiente de:

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4.11 APLICACIONES GEOMETRICAS Y FISICAS DE LOS OPERADORES VECTORIALES

En este tema daremos solución a diversos ejercicios de carácter geométrico y físico; en los cuales aplicaremos los conceptos vistos y analizados en esta unidad.

1.- Hallar la pendiente de la superficie dada por:

en el punto en las direcciones de e .

; en direcciones de e

2.- La temperatura en ºC sobre la superficie en un placa metálica viene dada por:

midiéndose e en pulgadas desde el punto

¿En que dirección crece la temperatura mas rápidamente?

¿A que ritmo se produce este crecimiento?

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PROPIEDADES DEL GRADIENTE

Sea diferenciable en le punto .

1.- Si , entonces, para todo .

2.- La dirección de máximo crecimiento de viene dada por .El valor

máximo de: es .

3.- La dirección del mínimo crecimiento de viene dada por . El valor

mínimo de es .