Matematicas financieras 3

72
Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes 1 Carlos Mario Morales C ©2012

Transcript of Matematicas financieras 3

1. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes1Carlos Mario Morales C 2012 2. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes2Matemticas FinancierasNo est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito del titular del copyright.DERECHOS RESERVADOS 2011 por Carlos Mario Morales C. carrera 77c No 61-63 Medelln-ColombiaTelfono: 421.28.93E_Mail: [email protected] digital en Colombia.Datos Catalogrficos para citar este libroMatemticas FinancierasCarlos Mario Morales C.Editorial propia. Medelln, 2012ISBN: PendienteFormato 21x24 cm. Paginas: 3. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes3UNIDAD 3: ANUALIDADES Y GRADIENTESOBJETIVOAl finalizar la unidad los estudiantes estarn en capacidad de calcular operaciones financieras en las cuales la contraprestacin se hace a travs de cuotas peridicas. Para esto deducir los modelos matemticos para calcular el valor actual, futuro, inters y nmero de pagos para diferentes tipos de operaciones y aplicar estos en situaciones de la vida empresarial.CONTENIDO1. Anualidades2. Anualidades anticipadas3. Anualidades diferidas4. Anualidades perpetuas5. Gradientes6. Ejercicios resueltos7. Ejercicios propuestosAnualidades y gradientes 4. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes4IntroduccinEs corriente que se pacte entre el deudor y acreedor el pago de una obligacin financiera en cuotas peridicas a una tasa de inters, durante un tiempo determinado. Cuando las cuotas son constantes la operacin recibe el nombre de anualidad, por el contrario si las cuotas son cambiantes se le denomina gradiente. Cuando, por ejemplo, una persona compra un automvil pagado una cuota inicial y el resto del dinero en cuotas mensuales iguales durante un tiempo determinado, se configura una operacin financiera de anualidades; si por el contrario las cuotas crecen con la inflacin por ejemplo, la operacin se denomina gradiente.Anualidad o gradiente es un sistema de pagos a intervalos iguales de tiempo; de esta forma, no significa pagos anuales, sino pagos a intervalo regular; definida as en la vida cotidiana se encuentran innumerables ejemplos de este tipo de operaciones: el pago de dividendos, los fondos de amortizacin, los pagos a plazos, los pagos peridicos a las compaas de seguros, los sueldos, y en general todo tipo de renta son, entre otros, ejemplos de anualidades o gradientes.En este tipo de operaciones se distinguen los siguientes elementos: la renta o pago, el periodo de pago o de renta, el tiempo o plazo y la tasa de inters. La renta se define como el pago peridico, tambin denominado como cuota o deposito. El periodo de renta es el tiempo que se fija entre dos pagos consecutivos; el tiempo o plazo de la operacin es el intervalo de tiempo que sucede desde el inicio del primer periodo de pago y el final del ltimo. Finalmente la tasa de inters es el tipo de inters que se acuerda en la operacin.Dependiendo de la forma como se pacten los montos y periodos de pago las operaciones se pueden clasificar en ordinarias, variables, anticipadas, diferidas, perpetuas. En esta unidad de aprendizaje se analizan cada una de ellas determinndose los modelos matemticos que permiten simular y analizar estos tipos de operacin financiera. 5. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes51. AnualidadesSon operaciones financieras en las cuales se pacta el cubrimiento de las obligaciones en una serie de pagos peridicos iguales que cumple con las siguientes condiciones: Los pagos (rentas) son de igual valor. Los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de inters El nmero de pagos y periodos pactados es igualLas anualidades que cumplen con estas condiciones son las ordinarias o vencidas y las anticipadas. Los modelos matemticos que se deducen para el clculo y anlisis de este tipo de anualidades tienen en cuenta las anteriores condiciones; por lo cual, es necesario que al momento de aplicarse las formulas a situaciones particulares, se asegure que se cumplan dichas condiciones.Ejemplo 1.Determinar si el siguiente sistema de pagos corresponde a una anualidad.RespuestaEl sistema de pagos no corresponde a una anualidad ya que no obstante los pagos son iguales y se hacen a intervalos de tiempo igual, el nmero de pagos no es igual al nmero de periodos0123456AAAAAAA 6. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes6Ejemplo 2.Determinar si el siguiente sistema de pagos corresponde a una anualidad.RespuestaSi se supone que la tasa de inters que se aplica a cada pago es la misma, se puede afirmar que el sistema corresponde a una anualidad teniendo en cuenta que los pagos son iguales, se hacen a intervalo de tiempo igual y los periodos pactados corresponden al nmero de pagos. Es la forma general de una anualidad ordinaria o vencidaEjemplo 3.Determinar si el siguiente sistema de pagos corresponde a una anualidad.RespuestaEl sistema de pagos no corresponde a una anualidad ya que no obstante que el nmero de pagos es igual al nmero de periodos y los intervalos de tiempo son iguales los pagos no son iguales.Ejemplo 4.Determinar si el siguiente sistema de pagos corresponde a una anualidad.0123456AAAAAA0123456AAAAAA0123456AAAAAA 7. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes7RespuestaSi se supone que la tasa de inters que se aplica a cada pago es la misma, se puede afirmar que el sistema corresponde a una anualidad teniendo en cuenta que los pagos son iguales, se hacen a intervalo de tiempo igual y los periodos pactados corresponden al nmero de pagos. Es la forma general de una anualidad anticipada1.1 Valor presente de la anualidadPara la deduccin del modelo matemtico se considera una operacin en la cual un prstamo se paga en cuotas iguales , a una tasa de inters efectiva por periodo , durante periodos. La situacin se muestra en la grafica No 7.GRAFICA NO 7 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDADPara calcular el valor presente se utiliza la formula (12), considerando cada valor de A como un valor futuro y sumando todos los resultados en 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Factorizando A, se obtiene: [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )Multiplicando esta por el factor ( ) , esto da como resultado la siguiente ecuacin:0123n-2n-1nAVpi 8. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes8( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )Restando la ecuacin (a) de la (b), se obtiene: ( ) [ ( ) ( ) ]Despejando de este resultado el Vp, se obtiene: [ ( ) ]La cual tambin se puede expresar como: [ ( ) ] ( )Donde:El factor * ( ) + suele nombrarse como: ( ). Este significa el factor para hallar , dado el pago o renta , la tasa de inters efectiva a la cual son trasladados los pagos al valor inicial y el nmero de pagos . La formula (23) se puede escribir en notacin clsica, como: ( ) ( )Ejemplo 5.Un pequeo empresario para reponer su equipo de produccin hoy, est en capacidad de realizar 36 pagos de $2000.000 mensuales, a partir del prximo mes; si el banco que financia la operacin cobra una tasa de inters del 24% N-m. De cunto dinero dispondr para la reposicin de los equipos?SolucinParmetros 9. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes9o Pagos: $2000.000o Numero de pagos: 36o Tasa de inters: 24% N-mRepresentacin grficaPara determinar lo que el pequeo empresario tendr disponible para reposicin de equipos, se debe hallar el valor presente de los pagos mensuales. En la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosPara determinar el valor presente, lo primero que se debe hacer es hallar la tasa efectiva mensual a partir de la tasa nominal, para esto se utiliza la formula (15):Teniendo la tasa efectiva de inters se procede a calcular el valor presente, considerando ( ). Ntese que la tasa efectiva de inters coincide los periodos en los cuales se realiza los pagos. El calculo se realiza utilizando la formula (23) [ ( ) ][ ( ) ]RespuestaEl pequeo empresario dispondr de para la reposicin de los equipos.01233435362000.000Vp =?j = 24%N-m 10. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes101.2 Pagos o renta a partir del valor presenteDe la ecuacin (23) se puede deducir el factor para hallar , dado el valor presente , o lo que es igual ( ). [ ( ) ] ( ) ( ) ( )Los smbolos tienen el mismo significado que en la ecuacin (23)Ejemplo 6.Una persona desea comprar un automvil que tiene un precio de $64000.000 a travs de un crdito. Si la empresa de financiamiento ofrece las siguientes condiciones: prstamo del 90% del valor total en cuotas iguales durante 60 meses y una tasa efectiva de inters del 0,95% EM, Cul ser el valor de la cuota mensual?SolucinParmetroso Valor del automvil: $64000.000o Financiacin: 90% del valor totalo Numero de pagos: 60o Tasa de inters: 0,95% EMRepresentacin grficaConsiderando que solo se financia el 90% del valor del vehculo el prstamo debe ser por un valor de: En la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosPara determinar el valor de los pagos mensuales, ( ), para lo cual se aplica0123585960A= ?Vp =57600.000i = 0,99% EM 11. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes11directamente la formula (25), considerando la tasa efectiva de inters mensual: [ ( ) ][ ( ) ]RespuestaEl valor de la cuota mensual ser de $1.3 Pagos o renta con base en el valor futuroIgual que se hizo en el la deduccin anterior, para determinar este modelo, se considera una operacin en la cual el valor final es equivalente a pagos iguales , a una tasa de inters efectiva por periodo , durante periodos. La situacin se muestra en la grafica No 8.GRAFICA NO 8 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDADPara determinar el valor futuro ( ) remplazamos en la formula (24) el valor presente en funcin del valor futuro, formula (12). ( ) ( ) [ ( ) ] ( )Remplazando ( ) en ( ), se obtiene: ( ) [ ( ) ]0123n-2n-1nAVfi 12. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes12[ ( ) ] ( ) ( ) ( )Ejemplo 8.De cunto deber ser el ahorro mensual de una persona que proyecta adquirir una casa de $100000.000 dentro de cinco aos, si la fiducia le asegura una tasa de inters efectiva mensual del 0,7%.SolucinParmetroso Valor futuro: $100000.000o Numero de pagos: 5 aos = 60 meses (inicia un mes despus de tomar la decisin)o Tasa de inters: 0,7% EMRepresentacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosPara determinar los pagos del ahorro ( ) se aplica directamente la formula (26), considerando la tasa efectiva de inters mensual: [ ( ) ][ ( ) ]RespuestaSe deber realizar un ahorro de $ mensual0123585960A= ?Vf =100000.000i = 0,7 EM 13. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes131.4 Valor futuro de la AnualidadDe la formula (26) se puede determinar el valor futuro en funcin de los pagos, as: [ ( ) ] ( ) ( ) ( )Ejemplo 7.Un padre de familia quiere conocer de cunto dispondr para la educacin superior de su hijo, si inicia un ahorro mensual de 300.000, un mes antes de que cumpla 10 aos y hasta cuando cumpla 18, edad en la cual estima iniciara los estudios universitarios; la fiducia donde se realiza el ahorro asegura una de inters del 10% N-mSolucinParmetroso Valor de los pagos: $300.000o Numero de pagos: 8 aos = 96 meseso Tasa de inters: 10% N-mRepresentacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosPara determinar el valor futuro del ahorro ( ) inicialmente se debe hallar la tasa de inters efectiva mensual, para esto se aplica la formula (15), considerando que la tasa de inters que ofrece la fiducia esta expresa en nominal:Con esta tasa de inters efectiva se puede calcular, ( ), para lo cual se aplica directamente la formula (28), considerando la tasa efectiva de inters mensual:0123949596A= 300.000Vf =?j = 10% N-m 14. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes14[ ( ) ][ ( ) ]RespuestaEl Padre de familia dispondr de $ cuando su hijo cumpla 18 aos1.5 Nmero de pagos con base en el valor futuroSi se conocen el , los pagos , y la tasa de inters , de la ecuacin (28) se puede determinar el valor de ; es decir, el nmero de pagos. Lo mismo se podra hacer a partir de la ecuacin (23) cuando se conocen , los pagos , y la tasa de inters . A continuacin se deduce la formula para calcular el valor de , a partir de la ecuacin (28). [ ( ) ] ( ) ( )Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuacin se obtiene: ( ( ) ) ( )Por propiedades de los logaritmos, se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Despejando , se obtiene: ( ) ( ) ( ) 15. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes15Ejemplo 8.Cuntos pagos semestrales de $600.000 deber realizar un padre de familia para pagar la universidad de su hijo que en futuro estima le costar $4500.000; el banco reconoce por este tipo de ahorros una tasa de inters del 7% N-sSolucinParmetroso Valor futuro: 4500.000o Valor de los pagos: $600.000o Tasa de inters: 7% N-sRepresentacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosInicialmente se hallar la tasa de inters efectiva semestral aplicando la formula (15), considerando que la tasa de inters nominal que cobra el banco:Con esta tasa de inters efectiva, el valor futuro , y el valor de los pagos se puede determinar el valor de para lo cual se aplica directamente la formula (30), considerando la tasa efectiva de inters semestral: ( ) ( )( ) ( ) ( )Esta respuesta indica que deben hacerse 6,77 pagos semestrales. No obstante, desde el punto de vista practico el ahorrador (deudor) tiene dos opciones:a) Terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 6, aumentando el ltimo pago0123n-2n-1nA= 600.000Vp=4500.000j = 7% N-s 16. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes16b) O terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 7, disminuyendo el ultimo pagoRespuestaSe deben realizar 6 o 7 pagos.1.6 Nmero de pagos con base en el valor presenteSi se conocen el , los pagos , y la tasa de inters , de la ecuacin (23) se puede determinar el valor de ; es decir, el nmero de pagos. A continuacin se deduce la frmula para calcular el valor de , a partir de la ecuacin (23). [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) ( )Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuacin, se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ejemplo 9.Cuntos pagos semestrales de $600.000 deber realizar un padre de familia para pagar la universidad de su hijo que hoy da cuesta $4500.000; el banco cobra tasa de inters del 3,5% ESSolucinParmetroso Valor presente: 4500.000o Valor de los pagos: $600.000o Tasa de inters: 3,5% ES 17. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes17Representacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosEl nmero de pagos se puede calcular directamente de la formula (31), considerando la tasa efectiva de inters semestral: ( ) ( )( ) ( )Esta respuesta indica que deben hacerse 8,85 pagos semestrales. No obstante, desde el punto de vista practico el ahorrador (deudor) tiene dos opciones:a) Terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 8, aumentando el ltimo pagob) O terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 9, disminuyendo el ltimo pagoRespuestaSe deben realizar 8 o 9 pagos.1.7 Tasa efectiva de inters a partir del valor presenteCuando se tienen los dems elementos de la anualidad, es decir: el valor presente o valor futuro , el valor y numero de pagos se puede determinar el valor de la tasa de inters a partir de la formula (23) o (28). No obstante por tratarse de ecuaciones con ms de una raz, no es posible hallar la solucin analticamente; por esta razn se debe utilizar un mtodo de tanteo y error. [ ( ) ]0123n-2n-1nA= 600.000Vp=4500.000i = 3,5% ES 18. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes18[ ( ) ]La forma de proceder en estos casos, es la siguiente:a) Se asigna un valor inicial a la tasa de inters y se calcula la ecuacin.b) Si el valor es menor que la igualdad entonces se disminuye la tasa y se vuelve a calcular, en caso contrario se aumenta la tasa y se vuelve a calcularc) Cuando se logre determinar dos valores, uno mayor y otro menor, suficientemente aproximados a los valores de la igualdad, se procede a calcular la tasa de inters por interpolacin.Con el siguiente ejemplo se ilustra el anterior procedimiento:Ejemplo 10.Si una compaa de pensiones ofrece, por un pago inmediato de $90 millones, una renta de $5 millones durante 30 aos. Qu tasa de inters est reconociendo?SolucinParmetroso Valor presente: 90000.000o Valor de los pagos: $5000.000o Numero de pagos: 30 anualesRepresentacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosPara determinar la tasa de inters se parte de la formula (23): [ ( ) ]0123282930A= 5000.000Vp=90000.000i = ? EA 19. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes19De acuerdo al procedimiento descrito se le da valor inicial a la tasa (efectiva anual) y se calcula el valor del lado derecho, as para un valor de , se obtiene:Considerando que el valor de la derecha es mucho mayor al lado izquierdo, aumentamos el valor de y se vuelve a calcular. En este caso se calcula para , obteniendo:Considerando que el valor de la derecha es mayor al lado izquierdo, aumentamos el valor de y se vuelve a calcular. En este caso se calcula para , obteniendo:Considerando que en este caso el valor de la menor al lado derecho, se puede concluir que la tasa de inters est entre 3% y 4%. El valor exacto se calcula por interpolacin como se indica a continuacin:98002.206,753%90000.000X86460.166,504%Aplicando una sencilla regla de tres: si para una diferencia entre 98002.206,75 y 86460.166,50, existe una diferencia del 1%; que diferencia en % habr para diferencia entre 98002.206,75 y 90000.000, as se obtiene la fraccin que sumada a 3% completa la tasa de inters.Sumando el resultado a 3%, se obtiene la tasa de inters buscada: 3,693%Este resultado se puede comprobar remplazando este valor en la ecuacin (23) y verificando que se cumple la igualdad. [ ( ) ]RespuestaLa compaa de pensiones reconoce una tasa efectiva anual de: 3,693% 20. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes202. Anualidades anticipadasEn los negocios es frecuente que los pagos se efecten al comienzo de cada periodo; es el caso de los arrendamientos, ventas a plazos, y contratos de seguros, este tipo de operaciones financieras reciben el nombre de anualidades anticipadas.Una anualidad anticipada es una sucesin de pagos o rentas que se efectan o vencen al principio del periodo del pago. En la grfica No 9 se comparan las anualidades vencidas y anticipadasGRAFICA NO 9 COMPARACIN DE ANUALIDADES VENCIDAS Y ANTICIPADAS2.1 Valor presente de las anualidades anticipadasPara la deduccin del modelo matemtico se considera una operacin en la cual un prstamo se paga en cuotas iguales , a una tasa de inters efectiva por periodo , durante periodos, desde el periodo 0. La situacin se muestra en la grafica No 10.GRAFICA NO 10 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADASi se analiza la operacin se puede afirmar que el valor presente en este caso se puede determinar como la suma de y el valor presente de una anualidad durante n-1 periodos.. . .0123n-2n-1nAnualidad Vencida231n-1nAnualidad Anticipada0123n-2n-1nA i 21. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes21[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )Ejemplo 11.El contrato de arriendo de una oficina fija pagos de $4000.000 mensuales al principio de cada mes, durante de un ao. Si se supone un inters del 2,5% efectivo anual; Cul ser el pago nico al inicio del contrato que cubre todo el arriendo?SolucinParmetroso Valor de los pagos anticipados: $4000.000o Numero de pagos: 12 mensualeso Tasa de inters efectiva mensual: 2,5%Representacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosPara determinar el valor presente de la anualidad anticipada se aplica directamente la formula (32): [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]RespuestaEl valor total del contrato al momento de su firma es:0123101112A= 4000.000 =?i = 2,5% EM 22. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes222.2 Valor futuro de las anualidades anticipadasPara la deduccin del modelo matemtico se considera una operacin en la cual un ahorro se paga en cuotas iguales , a una tasa de inters efectiva por periodo , durante periodos, desde el periodo 0. La situacin se muestra en la grafica No 11.GRAFICA NO 11 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADASi se analiza la operacin se puede afirmar que el valor futuro de la anualidad anticipada es igual al valor futuro de la anualidad durante n periodos (desde -1 hasta n-1) trasladada 1 periodo, ha travs de la formula (11), hasta el periodo n. [ ( ) ]( ) ( )Ejemplo 12.Una empresa arrienda una bodega que tiene de sobra por $5000.000 mensuales, los cuales se pagan de manera anticipada. Si cada que recibe el arriendo lo coloca en un fondo de inversiones que promete una tasa de inters del 2% EM. Cunto podr retirar al cabo de un ao?SolucinParmetroso Valor de los pagos anticipados: $5000.000o Numero de pagos: 12 mensualeso Tasa de inters efectiva mensual: 2%Representacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:0123n-2n-1nA i-1 23. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes23ClculosPara determinar el valor futuro de la anualidad anticipada se aplica directamente la formula (33): [ ( ) ]( ) [ ( ) ]( )RespuestaEl valor ahorrado por el empresario al cabo de un ao es:3. Anualidades diferidasHasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente despus de que se plantea la operacin; no obstante, existen transacciones donde los pagos o rentas se realizan despus de haber pasado cierta cantidad de periodos, en estos casos la operacin se denomina anualidad diferida. En la grfica No 12 se ilustran este tipo de actividades.GRAFICA NO 12 ANUALIDAD DIFERIDA0123101112A= 5000.000 =?i = 2% EM123n-3n-2n-1nAi0 24. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes243.1 Valor presente de las anualidades diferidasEn este caso se halla el valor presente de la anualidad en un periodo antes de iniciarse los pagos, utilizando para ello la formula (23), el valor hallado se traslada al periodo 0 utilizando para ello la formula (12)Ejemplo 12.Una empresa acepta que un cliente le pague el valor de una compra realizada el da de hoy, en seis cuotas mensuales de $800.000 a partir del sptimo mes. Si la empresa aplica una tasa efectiva de inters del 2,5% EM, Cul ser el valor de la venta?SolucinParmetroso Valor de los pagos: $800.000o Numero de pagos: 6 mensuales, a partir del mes 7o Tasa de inters efectiva mensual: 2,5%Representacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosPara determinar el valor presente inicialmente calculamos el valor presente de la anualidad en el periodo 6, utilizando para ello la ecuacin (23): [ ( ) ] [ ( ) ]Este valor se traslada al periodo 0, para esto se utiliza la formula (12)12378910800.000 ?i = 2,5%01112 25. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes25( ) ( )RespuestaEl valor de la venta realizada por la empresa es:3.2 Valor futuro de las anualidades diferidasEn este caso se halla el valor presente de la anualidad un periodo antes de iniciarse los pagos, utilizando para ello la formula (23), el valor hallado se traslada al periodo n utilizando para ello la formula (11)Ejemplo 13.Si un padre inicia un ahorro mensual de $50.000, cuando su hijo cumple 1 ao, Cul ser el valor ahorrado, cuando este cumpla 18 aos, si el banco donde hace el deposito le reconoce un inters anual del 0,6% EM?SolucinParmetroso Valor de los pagos: $50.000o Numero de pagos: 204 mensuales, a partir del mes 12o Tasa de inters efectiva mensual: 0,6%Representacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosPara determinar el valor futuro inicialmente calculamos el valor presente de la1111221121221321450.000 ?i = 0,6%0215216 26. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes26anualidad en el periodo 11, utilizando para ello la ecuacin (23): [ ( ) ] [ ( ) ]Este valor se traslada al periodo 216, para esto se utiliza la formula (11) ( ) ( )RespuestaEl valor del ahorro cuando el hijo cumpla 18 aos es :4. Anualidades perpetuasCuando el nmero de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua.Al deducirse los modelos matemticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor presente ya que por tratarse de una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de anualidades sera infinito.Partiendo del valor presente de la anualidad formula (23) se puede hallar el limite cuando n tiende a infinito, teniendo en cuenta la definicin de anualidad perpetua. [ ( ) ] im A [ ( ) ] im ( )Ejemplo 14.El consejo municipal de Santa Fe de Antioquia resuelve crear un fondo para proveer a perpetuidad las reparaciones del puente colonial de esa poblacin que se estima tendr un costo anual de $91 millones de pesos, doce aos despus de una reparacin general. Cunto se deber colocar en el fondo al momento de terminar la reparacin general, si 27. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes27la tasa de inters de colocacin del mercado es del 7% anual?SolucinParmetroso Valor de los pagos: $91 milloneso Numero de pagos: infinitos, a partir del ao 12o Tasa de inters efectiva anual: 7%Representacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosLo que habr que depositar en el fondo ser igual al valor presente de la anualidad perpetua calculada en el ao 11, para lo cual se utiliza la formula (34), y este valor trasladado al momento 0, que es donde se supone se termino la reparacin general, para esto se utiliza la formula (12): ( ) ( )RespuestaEn el fondo se deben colocar:11112131415n-291 millones ?i = 7% EA0n-1 28. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes285. GradientesSon operaciones financieras en las cuales se pacta cubrir la obligacin en una serie de pagos peridicos crecientes o decrecientes que cumplen con las siguientes condiciones: Los pagos cumplen con una ley de formacin Los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de inters El nmero de pagos y periodos pactados es igualLa ley de formacin, la cual determina la serie de pagos, puede tener un sinnmero de variantes; no obstante, en la vida cotidiana las ms utilizadas son el gradiente aritmtico y el geomtrico; las cuales a su vez pueden generar cuotas crecientes o decrecientes.Como el lector ya lo habr deducido, las anualidades son casos particulares de los gradientes donde el crecimiento es cero, lo que causa que los pagos sean todos iguales; entonces igual que el caso de la anualidad los modelos matemticos que se deducen para el clculo y anlisis de los gradientes tienen en cuenta las anteriores condiciones por lo cual, es necesario que al momento de aplicarse las formulas a situaciones particulares, se asegure que se cumplan dichas condiciones5.1 Gradiente aritmticoPara el gradiente aritmtico, la ley de formacin indica que cada pago es igual al anterior, ms una constante ; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes, negativa lo cual genera cuotas decrecientes. En el caso de que la constante sea cero, los pagos son uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad.5.1.1 Ley de formacinConsiderando que los pagos en cada periodo sern diferentes, entonces estos se identificaran con un subndice que indica el consecutivo del pago.De acuerdo a la ley de formacin, en este caso, cada pago ser igual al anterior ms una constante, as como se muestra a continuacin: 29. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes29 ( )5.1.2 Valor presente de un gradiente aritmticoPara la deduccin del modelo matemtico se considera una operacin en la cual un prstamo se paga en una serie de cuotas formada a travs de un gradiente aritmtico, a una tasa de inters efectiva por periodo , durante periodos. La situacin se muestra en la grafica No 13.GRAFICA NO 13 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMTICOPara calcular el valor presente se utiliza la formula (12), considerando cada valor de las cuotas y sumando todos los resultados en 0. ( )0123n-2n-1nVpi ( ) ( ) ( ) 30. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes30( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Rescribiendo la ecuacin se obtiene el siguiente resultado:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )De la anterior expresin se puede concluir que la primera parte, las fracciones con numerador corresponde al valor presente de la anualidad y que las otras expresiones tienen como factor comn K; de esta forma la ecuacin se puede escribir como:[ ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )Supongamos que el factor de es igual , es decir: [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]Si multiplicamos la ecuacin anterior por ( ), entonces se obtiene: ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )( )]Si se resta ( ) de , se obtiene: ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )( )] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 31. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes31[ ( ) ] ( ) ( )Remplazando (b) en (a), se obtiene: [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )Ejemplo 15.Un padre de familia esta dispuesto a realizar el ahorro que se muestra en la grafica; de cunto debera ser la inversin hoy para igualar dicho ahorro, s el banco reconoce una tasa de inters del 5% semestral.SolucinParmetroso Valor del pago inicial: $800.000o Numero de pagos: 6 semestraleso Tasa de inters efectiva anual: 5% ESo El gradiente tiene un crecimiento de $200.000, es decirClculosPara hallar el equivalente del ahorro se debe calcular el valor presente del gradiente, para lo cual se utiliza la formula (35): [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]0123456 Vp = ?i =5% 32. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes32[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]RespuestaEl valor equivalente del ahorro al da de hoy es:5.1.3 Valor futuro de un gradiente aritmticoPara hallar el valor futuro ( ), basta remplazar el valor presente ( ) del gradiente, formula (37), en la formula (11). ( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ( )Ejemplo 15.Qu valor recibir una persona que realiza el ahorro semestral que se indica en la grfica? El banco donde se realiza el ahorro reconoce una tasa de inters del 6% semestral.SolucinParmetroso Valor del pago inicial: $800.000o Numero de pagos: 6 semestrales0123456 Vf = ?i 33. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes33o Tasa de inters efectiva anual: 6% ESo El gradiente tiene un crecimiento de $500.000, es decirClculosPara hallar el valor final del ahorro se debe calcular el valor futuro del gradiente , para lo cual se utiliza la formula (38): [ ( ) ] [ ( ) ][ ( ) ] [ ( ) ]RespuestaEl valor final del ahorro es:5.1.4 Valor presente de un gradiente aritmtico infinitoCuando se habla de pagos de gradientes matemticos infinitos, solo tiene sentido hablar del valor presente, como equivalente de dichos pagos. La principal aplicacin de dicha serie es el clculo del costo de capital.GRAFICA NO 14 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMTICO INFINITOModelo matemtico01234Vp = ?i 34. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes34Planeando la ecuacin de valor de la serie se obtiene: im [ [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]] im [ ( ) ] im [ ( ) ] im [ ( ) ] [ ] ( )Ejemplo 16.Qu valor deber cancelar una persona un ao antes de su retiro para recibir anualmente una pensin de 30 millones, la cual se incrementara 2 millones cada ao? El fondo de pensiones reconoce una tasa de inters del 6,5% anual.SolucinParmetroso Valor del pago inicial: $30000.000o Numero de pagos: infinitoso Tasa de inters efectiva anual: 6,5% EAo El gradiente tiene un crecimiento de $2000.000, es decirClculosPara hallar el valor inicial que debe colocar la persona se debe calcular el valor presente del gradiente infinito , para lo cual se utiliza la formula (37):01234 Vp = ?i = 6,5 % 35. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes35( )RespuestaEl futuro pensionado deber cancelar :5.2 Gradiente geomtricoPara el gradiente aritmtico, la ley de formacin indica que cada pago es igual al anterior, multiplicado por una constante (1+G); si G es positiva el gradiente ser con cuotas crecientes, si G es negativo el gradiente ser decreciente y si G es igual a 0, los pagos son uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad.5.2.1 Ley de formacinConsiderando que los pagos en cada periodo sern diferentes, entonces estos se identificaran con un subndice que indica el consecutivo del pago.De acuerdo a la ley de formacin, en este caso, cada pago ser igual al anterior multiplicado por una constante, as como se muestra a continuacin: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5.2.2 Valor presente de un gradiente geomtricoPara la deduccin del modelo matemtico se considera una operacin en la cual un prstamo se paga en una serie de cuotas formadas a travs de un gradiente 36. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes36geomtrico, a una tasa de inters efectiva por periodo , durante periodos. La situacin se muestra en la grafica No 14.GRAFICA NO 14 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMTRICOPara calcular el valor presente se la ecuacin de valor, para lo cual se utiliza la formula (12), considerando cada valor de las cuotas y sumando todos los resultados en 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Multiplicando la ecuacin anterior por ( ) ( ) , se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Restando ( ) de ( ), se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0123n-2n-1nVpi( )( )( ) ( ) ( ) 37. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes37[ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( )Si el valor presente es indeterminado; no obstante, esta situacin se puede aclarar usando la regla de Lpital y derivando la expresin con respecto a ; as como se muestra a continuacin: im ( ) [ ( ) ( ) ] im ( ) [ ( ) ( ) ] im [ ( ) ( ) ] ( ) ( )De ( ) y ( ) se puede concluir que:( ) [ ( ) ( ) ]( )( )Ejemplo 17.Cul ser el valor hoy de una pensin de un trabajador que le pagaran durante su poca de jubilacin 24 pagos anuales iniciando en 2000.000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de inters del 7% EASolucinParmetros 38. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes38o Valor del pago inicial: $2000.000o Numero de pagos: 24 anualeso Tasa de inters efectiva anual: 7% EAo El gradiente tiene un crecimiento del 10% anual, es decirRepresentacin graficaClculosPara hallar el valor inicial de la pensin que se deber pagar se aplica la formula (38) cuando , considerando que se trata de un gradiente geomtrico con un crecimiento del 10%. ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ]RespuestaEl valor presente de la pensin es :Ejemplo 18.Cul ser el valor hoy de una pensin de un trabajador que le pagaran durante su poca de jubilacin 24 pagos anuales iniciando en 2000.000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de inters del 10% EASolucinParmetroso Valor del pago inicial: $2000.000012324 Vp = ?i = 7 % 39. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes39o Numero de pagos: 24 anualeso Tasa de inters efectiva anual: 10% EAo El gradiente tiene un crecimiento del 10% anual, es decirRepresentacin graficaClculosPara hallar el valor inicial de la pensin que se deber pagar se aplica la formula (38) cuando , considerando que se trata de un gradiente geomtrico con un crecimiento del 10%. ( ) ( )RespuestaEl valor presente de la pensin es :5.2.3 Valor futuro de un gradiente geomtricoPara hallar el valor futuro ( ), basta remplazar el valor presente ( ) del gradiente, formula (40), en la formula (11). ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]( )012324 Vp = ?i = 7 % 40. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes40( ) [( ) ( ) ]De otro lado, ( ) ( ) ( )De esta manera,( ) [( ) ( ) ]( )( )Ejemplo 19.Cul ser el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de 3000.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de inters del 3,5% ESSolucinParmetroso Valor del pago inicial: $3000.000o Numero de pagos: 36 semestraleso Tasa de inters efectiva semestral: 3,5% ESo El gradiente tiene un crecimiento del 4% anual, es decirRepresentacin grafica 41. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes41ClculosPara hallar el valor final del ahorro se aplica la formula (39) cuando , considerando que se trata de un gradiente geomtrico con un crecimiento del 4%. ( ) [( ) ( ) ] ( ) [( ) ( ) ]RespuestaEl valor del ahorro es:Ejemplo 20.Cul ser el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de 3000.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de inters del 4% ESSolucinParmetroso Valor del pago inicial: $3000.000o Numero de pagos: 36 semestraleso Tasa de inters efectiva semestral: 4% ESo El gradiente tiene un crecimiento del 4% anual, es decirRepresentacin grafica012336 Vf = ?i = 3,5% 42. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes42ClculosPara hallar el valor final del ahorro se aplica la formula (39) cuando , considerando que se trata de un gradiente geomtrico con un crecimiento del 4%. ( )( )RespuestaEl valor del ahorro es:5.2.4 Valor presente de un gradiente aritmtico infinitoCuando se habla de pagos de gradientes geomtricos infinitos, solo tiene sentido hablar del valor presente, como equivalente de dichos pagos. La situacin se ilustra en la grafica No 16.012336 Vf = ?i = 4% 43. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes43GRAFICA NO 16 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMTRICO INFINITOModelo matemticoDe la ecuacin ( ) para cuando , se obtiene: ( ) [ ( ) ( ) ] im ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) im [( ( ) ( ) ) ]Si entonces la expresin ( ( ) ( ) ) es mayor que 1, y no tendr lmite cuando tiende a .Si entonces la expresin ( ( ) ( ) ) es menor que 1, y por consiguiente el lmite ser igual , cuando tiende a . ( ) [ ] ( ) ( )De la ecuacin ( ) para cuando , se obtiene: im ( ) ( )En este caso, no hay lmite01234Vp = ?i 44. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes44De ( ) y ( ) entonces se puede escribir el valor presente de un gradiente geomtrico infinito, como:( )( )Ejemplo 21.Cul ser el valor de la prima de un seguro que pretende realizar pagos de forma indefinida, iniciando en 4000.000 con incrementos mensuales del 1%? Suponga que se reconoce una tasa de inters del 1,5% EMSolucinParmetroso Valor del pago inicial: $4000.000o Numero de pagos: infinitoso Tasa de inters efectiva mensual: 1,5% EMo El gradiente tiene un crecimiento del 1% mensual, es decirRepresentacin graficaClculosPara hallar el valor de la prima del seguro se debe calcular el valor presente de la serie infinita de la formula (42), considerando que , y teniendo en cuenta que se trata de un gradiente geomtrico con un crecimiento del 1%.0123 Vp = ?i = 1,5% 45. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes45( )( )RespuestaEl valor del ahorro es: 46. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes466. Ejercicios resueltos6.1 Un padre de familia cuando su hijo cumple 12 aos hace un depsito de $X en una fiduciaria con el objeto de asegurar sus estudios universitarios, los cuales se iniciara al cumplir 20 aos. Se estima que para esa poca el valor de la matrcula anual de la universidad va ser de $3000.000 y no sufrir modificaciones durante los seis aos que duraran sus estudios, Cul deber ser el valor del depsito $X? Suponga que la fiducia le reconoce una tasa de inters del 30% anual.SolucinParmetroso Valor de los pagos: $3 milloneso Numero de pagos: 6, a partir del ao 12o Tasa de inters efectiva anual: 7%Representacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosPara calcular el deposito se calcula el valor presente 7 de la anualidad, aplicando la formula (23) y el resultado se traslada al periodo 0, es decir cuando el hijo cumple 12 aos, utilizando la formula (12) [ ( ) ] [ ( ) ] ( )131920212223243 millones ?i = 30% EA1226017 8 9 10 11 12 13 47. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes47( )7RespuestaEl deposito que deber hacer el padre de familia es:6.2 Una pequea empresa solicita un prstamo el da 1 de marzo de 2010 y acuerda efectuar pagos mensuales de $1200.000, desde el 1 de octubre de 2010, hasta el 1 de agosto de 2011. Si el banco aplica una tasa de inters del 3.5% efectivo mensual, Cul ser el valor del prstamo?SolucinParmetroso Valor de los pagos: $1200.000o Numero de pagos: 11, a partir del 1 de octubreo Tasa de inters efectiva mensual: 3,5%Representacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosPara calcular el prstamo se calcula el valor presente de la anualidad, aplicando la formula (23) y el resultado se traslada al periodo 0, es decir el 01 de marzo del 2010, utilizando la formula (12) [ ( ) ] [ ( ) ]1200.000 ?i = 3,5% EM01.03.100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1701.10.1001.08.11 48. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes48( ) ( )RespuestaEl prstamo ser de:6.3 Un inversionista que deposit el primero de abril de 2010, $10 millones, en un fondo que paga un inters del 6% N-s Cuntos retiros semestrales de $800.000 podr hacer, si el primer retiro lo hace el primero de abril de 2013?SolucinParmetroso Valor de los pagos: $800.000o Tasa de inters: 6% N-so Periodos semestralesRepresentacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosPara calcular el nmero de retiros, inicialmente llevamos el deposito inicial hasta seis meses antes de iniciar lo retiros, es decir el 01 de abril del 2013; esto con el fin de configurar la anualidad, para esto se utiliza la formula (11)Tasa de inters efectiva se calcula a partir de la formula (15)Numero de periodos: 5 periodos (semestres)800.000 j = 6% N-s01.04.100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n 01.04.1101.04.1201.04.13 49. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes49( ) ( )A partir de la anualidad configurada se puede calcular el numero de retiros (pagos) utilizando la formula (31)( ) ( ) ( ) ( )RespuestaEl inversionista podr hacer: retiros semestrales de $800.000 y un veinteavo retiro por una fraccin de los $800.0006.4 Un trabajador deposita en un fondo de pensiones el da de hoy la suma de $1000.000 y dentro de tres aos $3000.000; al final del ao 5 comienza a hacer depsitos anuales de $5000.000, durante 6 aos, Cunto dinero podr retirar anualmente en forma indefinida, comenzando al final del ao 14? El fondo reconoce una tasa del 20% efectivo anualSolucinParmetroso Valor de los pagos: 5000.0000o Tasa de inters: 20% EAo Periodos anuales: 6o Depsitos extras; ao 1: 1000.000, ao 3: 3000.000Representacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:A = ? i = 20% EA0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 n 50. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes50ClculosPara determinar el valor que trabajador puede retirar anualmente en forma indefinida se debe configurar la anualidad perpetua con valor presente en el periodo 13. Este valor se calcula, por su parte, como el valor futuro de la anualidad con pagos de $5000.000, traslada al periodo 13, ms el valor futuro, en este mismo periodo, de los ahorros de $1000.000 y 3000.000. Para calcular los valores futuros se utilizan las formulas (11) y (28).( ) ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]( )Para determinar el monto que puede retirar a perpetuidad, aplicamos la formula (34), despejando ARespuestaEl trabajador podr realizar retiros anuales de 23013.807,716.5 Una empresa estudia el arriendo de una casa lote para sus operaciones. Su agente inmobiliario le presenta dos ofertas: una casa para la cual se estima un costo de mantenimiento de $2.000.000 anuales y de $3.000.000 cada 4 aos para reparaciones mayores; de otro lado se ofrece una casa que requerir de una suma de $3.000.000 anuales para mantenimiento y de $2.500.000 cada tres aos para reparaciones adicionales. Si la casa-lote se va usar por tiempo indefinido y suponiendo que el costo de capital de la empresa es del 35% efectivo anual. Cul de las dos alternativas le aconsejara tomar a la empresa?SolucinParmetros 51. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes51o Casa No 1o Anualidad mantenimiento: 2000.0000 anual; anualidad de reparaciones $3000.000 cada 4 aoso Casa No 2o Anualidad mantenimiento: 3000.0000 anual; anualidad de reparaciones $2500.000 cada 3 aoso Tasa de inters: 35% EAo Periodos anuales: perpetuoRepresentacin grficaEn la siguientes grficas se representan las dos alternativas:Casa No1Casa No2ClculosPara determinar la mejor alternativa; se compara el valor presente de ambas alternativas. El calculo del valor presente se realiza aplicando la formula (34) y considerando que ambos casos el valor presente es la suma de las dos anualidades en el periodo cero (0)Casa No1 i = 35% EA0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n i = 35% EA0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n 52. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes52Para la anualidad de cada cuatro aos se debe determinar la tasa efectiva equivalente partiendo de la tasa efectiva anual, para ello se utiliza la formula (16), considerando que es igual a 1 y es ( ) ( )Considerando esta tasa de inters se puede ahora calcular el valor presente de la alternativa, como sigue:Casa No2Para la anualidad de cada tres aos se debe determinar la tasa efectiva equivalente partiendo de la tasa efectiva anual, para ello se utiliza la formula (16), considerando que es igual a 1 y es ( ) ( )Considerando esta tasa de inters se puede ahora calcular el valor presente de la alternativa, como sigue:RespuestaEl valor presente de la segunda alternativa es mucho mayor que el de la primera por lo cual la mejor opcin ser la casa No1 53. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes536.6 Con una tasa de inters del 24% N-t, Cul debe ser el valor de los pagos semestrales vencidos que, hechos por 10 aos, amortizarn una deuda de $120000.000?SolucinParmetroso Valor presente o actual: $120000.000o Tasa de inters: 24% N-to Periodos semestrales: 20Representacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosConsiderando que se trata de pagos semestrales es necesario determinar la tasa de inters efectivo semestral a partir de la tasa nominal trimestral dada. Para esto, inicialmente se halla la tasa efectiva trimestral a partir de la nominal, utilizando para ello la formula (15)A partir de esta tasa se halla la tasa efectiva semestral, utilizando para ello la formula (16), considerando que es igual a 4 y es ( ) ( )Considerando esta tasa de inters se puede ahora calcular los pagos de la anualidad, utilizando para ello la formula (25), como sigue:[ ( ) ] [ ( ) ]RespuestaLas cuotas semestrales para pagar la deuda son dei = 24% N-t0 1 2 3 4 5 6 7 8 16 17 18 19 20 ? 54. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes546.7 Con una tasa de inters del 24% N-t, Cul debe ser el valor de los pagos semestrales anticipados que, hechos por 10 aos, amortizarn una deuda de $120000.000?SolucinParmetroso Valor presente o actual: $120000.000o Tasa de inters: 24% N-to Periodos semestrales: 20Representacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosConsiderando que se trata de pagos semestrales es necesario determinar la tasa de inters efectivo semestral a partir de la tasa nominal trimestral dada. Para esto, inicialmente se halla la tasa efectiva trimestral a partir de la nominal, utilizando para ello la formula (15)A partir de esta tasa se halla la tasa efectiva semestral, utilizando para ello la formula (16), considerando que es igual a 4 y es ( ) ( )Considerando esta tasa de inters se puede ahora calcular los pagos de la anualidad, despejando A de la formula (32), como sigue:i = 24% N-t0 1 2 3 4 5 6 7 8 16 17 18 19 20 ? 55. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes55[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ]RespuestaLas cuotas semestrales anticipadas para pagar la deuda son de6.8 Un seor desea comprar una pliza de seguro que garantice a su esposa el pago de $4000.000 mensuales durante 10 aos y adicionalmente $5000.000 al final de cada ao durante este mismo perodo. Si el primer pago se efecta al mes del fallecimiento del seor, hallar el valor de la pliza de seguro suponiendo que la compaa de seguros garantiza el 24% N-mSolucinParmetroso Tasa de inters: 24% N-mo Anualidad 1: $4000.000 mensuales durante 120 meseso Anualidad 2: $5000.000 anuales durante 10 aosRepresentacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosEl valor de la pliza corresponde al valor presente de la suma de las dos anualidades. Para realizar el clculo se requiere hallar la tasa efectiva de intersi = 24% N-m0 1 2 3 12 13 24 36 48 117 118 119 120 56. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes56anual y mensual equivalente a la tasa nominal dada.Tasa efectiva mensualTasa efectiva anualA partir de esta tasa efectiva mensual se halla la tasa efectiva anual, utilizando para ello la formula (16), considerando que es igual a 12 y es ( ) ( )Considerando estas tasas de inters se puede ahora calcular los valores presentes de las anualidades y sumarlos para obtener el valor de la pliza. Para esto se utiliza la formula (23), como sigue:[ ( ) ]Anualidad mensual [ ( ) ]Anualidad anual [ ( ) ]Valor de la pliza:RespuestaEl valor de la pliza es: 57. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes576.9 Una pequea empresa acuerda con su banco un prstamo el cual se pagara en 12 cuotas mensuales. Si el primer pago es de $6000.000 y los pagos sucesivos disminuyen cada uno en $800.000a) Cul ser el valor del ltimo pago?b) Cul ser el valor final de los pagos, suponiendo una tasa del 36% N-m?SolucinParmetroso Tasa de inters: 36% N-mo Pagos mensuales decrecientes, con yRepresentacin grficaEn la siguiente grfica se representa la operacin:ClculosPara calcular el pago en el periodo 12, se utiliza la ley de formacin del gradiente matemtico considerando y . ( ) ( )Para realizar el clculo del valor final se requiere hallar inicialmente la tasa efectiva de inters mensual equivalente a la tasa nominal dada.Tasa efectiva mensualConsiderando la tasa de efectiva mensual se puede ahora calcular el valor final dei = 36% N-m0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 58. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes58los pagos. Para esto se utiliza la formula (36), como sigue:[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]RespuestaEl valor de la pliza es:6.10 Hallar el valor de $X en el flujo de caja que se muestra en la grfica, considerando una tasa de inters efectiva del periodo del 30%SolucinParmetroso Tasa de inters: 30% Eo Pagos mensuales crecientes, con yClculosEl Valor de X ser equivalente al valor de la serie gradiente aritmtica que inicia en el periodo 2, valorada en el periodo 5, ms el valor futuro en el periodo 5 de los valores de los periodos 1 y 2.Lo primero es hallar el valor presente de la serie gradiente en el periodo 2, una vez hallado, este se lleva al periodo 5. Para calcular el valor presente del gradiente80.0000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10100.000120.000220.000200.000180.000160.000140.000X 59. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes59se utiliza la formula (35), considerando que[ ( ) ] [ ( ) ( ) ][ ( ) ] [ ( ) ( ) ]Para hallar el valor futuro del valor anterior en el periodo 5, aplicamos la formula (11), considerando 3 periodos y la tasa de inters efectiva del periodo ( ) ( ) ( )Para hallar el valor futuro de los valores de los periodos 1 y 2 se aplica igualmente la formula (11)( )( ) ( )( ) ( )El valor de X, ser igual a la suma de ( ), ( ) y ( )RespuestaEl valor de X es:6.11 Hallar el primer pago de un gradiente aritmtico creciente en $300.000, que tenga 50 pagos y que sea equivalente a 50 pagos que crecen un 20%, con primer pago de $1000.000, suponga una tasa del 20% 60. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes60SolucinParmetroso Tasa de inters: 20% Eo Serie gradiente aritmtica, con ? y , yo Serie gradiente geomtrica, con y yClculosPara hallar el primer pago de la serie aritmtica con y pagos; se debe hallar primero el valor presente de la serie geomtrica con y un . Para esto se aplica la formula (38), considerando que( )( )Considerando que el gradiente aritmtico es equivalente, entonces el valor presente debe ser igual al del gradiente geomtrico; con esto y sabiendo el numero de pagos, inters y valor del incremento, utilizando la formula (35), se puede despejar el valor de [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]RespuestaEl valor de la primera cuota del gradiente aritmtico es:6.12 Con inters efectivo del 14% hallar el valor final de la siguiente serie.Periodo123456789101112Valor3005007009001.1001.3001.000700400100-200-500 61. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes61SolucinEn la tabla se identifican dos seriesa) La primera es una serie aritmtica creciente que se inicia en el periodo 0 y termina en el periodo 6, con yb) La segunda es una serie aritmtica decreciente que se inicia en el periodo 6 y termina en el periodo 12, con yo Tasa de inters: 14% EClculosEl Valor final ser igual a la suma de las dos series creciente y decreciente valoradas en el periodo 12. Para calcular el valor final se utiliza la formula (36) y la formula (11)[ ( ) ] [ ( ) ] ( )Primera serieEl valor final de esta serie en el periodo 6, es:[ ( ) ] [ ( ) ]Considerando que se requiere el valor equivalente en el periodo 12, se halla el valor futuro del anterior valor en 12 utilizando la formula (11) ( ) ( )Segunda serieEl valor final de esta serie en el periodo 12, es:[ ( ) ] [ ( ) ] ( )El valor de la serie ser igual , es decir: 62. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes62RespuestaEl valor final de la serie ser:6.13 Con inters efectivo del 6% hallar el valor presente de la siguiente serie.Periodo1234567891011Valor606060607286,4103,68124,42149,3 + 9,4179,16215SolucinEn la tabla se identifica lo siguiente:a) Una anualidad con pagos , iniciando en el periodo y terminando enb) Una serie gradiente geomtrica creciente que se inicia en el periodo y termina en el periodo , con yc) Un pago de 9,4 en el periodo 9o Tasa de inters: 6% EClculosEl valor presente de la serie ser igual a la suma del valor presente de la anualidad, ms el valor de la serie geomtrica valorada en 0, ms el valor presente del pago realizado en el periodo 9.AnualidadPara calcular el valor presente en 0 de la anualidad se utiliza la formula (23), considerando , y la tasa de inters efectiva del periodo[ ( ) ] [ ( ) ] ( )Gradiente geomtricoPara valorar el gradiente en el periodo 0, inicialmente se calcula el valor presente en 4 el gradiente utilizando la formula (38), considerando que , seguidamente para este valor se calcula el equivalente en 0, utilizando la formula () ( ) [ ( ) ( ) ] 63. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes63( ) [ ( ) ( ) ]Para hallar el valor en el periodo 0, se utiliza la formula (12), considerando 4 periodos ( )( ) ( )Pago periodo 9El valor presente del pago del periodo 9, se calcula utilizando la formula (12)( )( ) ( )El valor de la serie ser igual a la suma deRespuestaEl valor inicial de la serie ser:6.14 Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos, si el primero corresponde a $1000.000, son crecientes en un 10% y la tasa efectiva es del 8%.SolucinParmetroso Serie gradiente creciente con yo Numero de pagos: infinitoso Tasa de inters: 8% EClculosRecordemos que en la formula (40) si el , entonces el valor presente del gradiente es infinito, considerando que este es el caso, entonces: 64. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes64( )RespuestaEl valor inicial de la serie ser: 6.15 Cul ser el valor inicial equivalente de una serie infinita de pagos mensuales que crecen cada mes en $300.000, cuyo primer pago es de $2000.000 y para el cual se reconoce una tasa del 2.5% efectivo mensual?SolucinParmetroso Serie gradiente aritmtica creciente con yo Numero de pagos: infinitoso Tasa de inters: 2,5% EMClculosEl valor equivalente inicial de una serie aritmtica infinita se calcula utilizando la formula (37), considerando el primer pago, el gradiente y la tasa de inters.( )RespuestaEl valor inicial de la serie es:6.16 Para el mantenimiento y preservacin de la carretera de acceso a una vereda los vecinos de la regin quieren establecer un fondo. Se estima que los trabajos para el prximo ao tendrn un costo de 10 millones de pesos; y que este se incrementar todos los aos en un 18%. Hallar el valor del fondo, suponiendo que la fiducia reconoce un inters del 28% efectivo anualSolucin 65. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes65Parmetroso Serie gradiente geomtrica creciente con yo Numero de pagos: infinitoso Tasa de inters: 28% EAClculosEl valor del fondo ser el valor inicial de la serie geomtrica infinita de los pagos estimados para el mantenimiento y preservacin, de esta forma el valor se calcula utilizando la formula (40), considerando que la tasa de inters es mayor que el gradiente.( )( )RespuestaLos vecinos deben establecer un fondo con un valor inicial de :6.17 Una entidad financiera presta a un cliente $30 millones, con un inters del 34.8% N-m. El deudor tiene un plazo de 15 aos para amortizar la deuda, mediante pagos mensuales. Suponiendo que la primera cuota es de $100.000 y vence al final del primer mes, cul debe ser el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para cancelar la deuda?SolucinParmetroso Valor inicialo Valor de la primera cuota:o Numero de pagos: 180, mensualeso Tasa de inters: 34.8% N-mClculosPara calcular el gradiente de la serie geomtrica creciente, inicialmente se debe calcular la tasa de inters efectiva mensual, utilizando la formula (15); seguidamente se despejara de la formula (38), previendo que . 66. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes66( ) [ ( ) ( ) ]Considerando que se trata de una ecuacin de orden con varias races de orden superior, la solucin debe hacerse por tanteo y error. Despus de hacer algunos tanteos se llega a un valor de 3,48%RespuestaLa cuota debe tener un incremento mensual de:6.18 A un pequeo empresario le ofrecen en comodato un restaurante durante un ao, se le garantiza al menos la venta mensual de 6.000 almuerzos durante todo ao; los cuales le sern pagados a razn de $5.000 cada uno, al final del ao sin intereses. El empresario calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo ser de $2.000 los cuales debern ser pagados al principio de cada mes. El valor de los insumos se estima tiene un incremento del 5% mensual. El costo mensual de mano de obra, la cual se considera permanecer estable es de $2500.000; adems estima que requerir hacer una inversin inicial de $10 millones para la adecuacin del restaurante. Suponiendo un inters mensual del 3%. Calcular cul ser el valor de su ganancia en pesos de hoySolucinParmetroso Valor total de los almuerzos: o Costo de los insumos: con incrementos mensuales de (serie geomtrica creciente con pagos anticipados)o Costo de la mano de obra: (anualidad con pagos vencidos)o Inversin inicialo Tasa de inters: 3% EMClculosEl valor de la ganancia ser igual a los ingresos menos los egresos; valorados en el periodo 0 (en pesos de hoy).Periodo 0 (en pesos de hoy)Para hallar la ganancia se calcula los ingresos, costo de insumos y mano de obra en 0; no es necesario calcular el equivalente de la inversin, teniendo en cuenta que este pago se realiza en este mismo periodo. 67. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes67Valor presente de los ingresos, se calculan utilizando la formula (12)( )( ) ( )Valor presente de los insumos, considerando que se trata de un gradiente geomtrico se utiliza la formula (38) teniendo en cuenta que el primer pago es: ( ) lo anterior considerando que se trata de pagos anticipados. A esta serie se le debe sumar el pago se hace en el periodo 0.( ) [ ( ) ( ) ] ( )Valor presente de la mano de obra, considerando que se trata de una anualidad se utiliza la formula (23), teniendo en cuenta que , e [ ( ) ][ ( ) ] ( )La ganancia como se indico es igual a los ingresos ( ) menos el valor de los insumos ( ), menos el valor de la mano de obra ( ) y menos el valor de la inversin deRespuestaLa utilidad a valores actuales que obtendr el empresario es: 68. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes687. Ejercicios propuestos7.1 Cuando su hijo cumple 10 aos, un padre hace un depsito de $X en una fiduciaria a nombre de su hijo con el objeto de asegurar los estudios universitarios, los cuales iniciar cuando cumpla 18 aos. Si la Fiducia reconoce una tasa de inters del 20% N-t y estimando que para esa poca el valor de la matrcula anual en la universidad ser de $2500.000 y que permanecer constante durante los seis aos que duran los estudios; Cul deber ser el valor del depsito?7.2 Una persona quiere solicitar un prstamo bancario el da 1 de marzo del 2008; su capacidad econmica solo le permite realizar pagos mensuales de $240.000, a partir del 1 de octubre del mismo ao y hasta el 31 de diciembre del 2010. Si la entidad bancaria aplica una tasa de inters del 1,8% EM; De qu valor deber ser el prstamo?7.3 Una persona prxima a pensionarse deposita en un fondo de inversin el 1 de mayo del 2000, la suma de $10000.000. Si el fondo reconoce en promedio un inters del 36% N-s; Cuntos retiros mensuales de $800.000 podr hacer, a partir de la fecha de jubilacin que se estima ser el 1 de abril del 2006?7.4 Un inversionista deposita hoy $1 millones, $3 millones en 2 aos; al final del ao 4 comienza a hacer depsitos semestrales de $800.000, durante 6 aos; Si el fondo de inversiones le reconoce una tasa de inters del 12%EA; Cunto dinero podr retirar mensualmente, en forma indefinida, comenzando al final del ao 10?7.5 Una empresa tiene dos alternativas para una instalacin de produccin: la primera de ellas requiere la suma de $2.500.000 mensuales como costo de mantenimiento y de $10000.000 cada 4 aos para reparaciones adicionales; de otro lado, la segunda alternativa requerir de una suma de $3.000.000 mensuales para mantenimiento y de $12500.000 cada tres aos para reparaciones adicionales. Considerando que la instalacin se usara por tiempo indefinido y que el costo de capital de la empresa es del 35% EA; Cul de las dos alternativas es ms conveniente?7.6 Si un banco aplica una tasa de inters del 24% N-t; Cul deber ser el valor de los pagos semestrales vencidos, hechos durante un periodo de 10 aos, para amortizar una deuda de $45000.000?7.7 Una entidad financiera presta a un cliente $300 millones, con un inters del 34.8% N. El deudor tiene un plazo de 20 aos para amortizar la deuda, mediante pagos semestrales. Suponiendo que la primera cuota es de $2000.000 y vence al final del primer semestre, Cul ser el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para cancelar la deuda?7.8 A un pequeo empresario le ofrecen en comodato un restaurante durante dos aos, se le garantiza al menos la venta mensual de 10.000 platos durante todo ao; los cuales le sern pagados a razn de $6.000 cada uno, al final del ao sin 69. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes69intereses. El empresario calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo ser de $2.000 los cuales debern ser pagados al principio de cada mes. El valor de los insumos se estima tiene un incremento del 4% mensual. El costo mensual de mano de obra, la cual se considera permanecer estable es de $3500.000; adems estima que requerir hacer una inversin inicial de $50 millones para la adecuacin del restaurante. Suponiendo un inters mensual del 3%. Calcular el valor de la ganancia en pesos al final del comodato.7.9 Si un banco aplica una tasa de inters del 24% N-t; Cul deber ser el valor de los pagos semestrales anticipados, hechos durante un periodo de 10 aos, para amortizar una deuda de $45000.000?7.10 Un seor desea contratar una pliza de seguro que garantice a sus hijos el pago de $2500.000 mensuales durante quince aos y adicionalmente $5000.000 al final de cada ao durante ese periodo. Si el primer pago se realiza un mes despus de la muerte del seor; Cul ser el valor pliza? La compaa de seguros aplica una tasa de inters del 24% N-m7.11 Una empresa metalmecnica tiene cuatro opciones para la compra de una maquinaria: el modelo A cuesta $300 millones; el modelo B, $500 millones, el C $700 millones y el modelo D, $900 millones. Si la persona puede hacer 42 pagos mensuales de mximo $30 millones comenzando al final del mes 6. Cul ser el modelo ms costoso que podr comprar? Suponga una tasa del 24% N-m7.12 Un filntropo ha creado una institucin de caridad y desea asegurar su funcionamiento a perpetuidad. Se estima que esta institucin necesita para su funcionamiento $10000.000, al final de cada mes, durante el primer ao; $12000.000, al final de cada mes, durante el segundo ao y $13000.000, al final de cada mes, en forma indefinida. Suponiendo que la fiducia que administrara el dinero reconoce una tasa de inters del 30% N-m; Cul ser el valor del depsito que deber hacer el filntropo al inicio en la fiducia?7.13 Un grupo de benefactores decide dotar un hospital de los equipos de laboratorio que requiere para operar. Se estima que el costo de los equipos el 1 de julio del 2011 es de $45500.000 y que el costo de operacin trimestral indefinidamente es de $3000.000 a partir del primero del 1 de agosto, fecha en la cual entrar en funcionamiento. Cul debe ser el valor de la donacin que se haga el 1 de enero del 2010 si el dinero es invertido inmediatamente en una fiduciaria que garantiza el 24% N-t?7.14 Si se desea cancelar una deuda de $9500.000 en pagos mensuales iguales durante tres aos, el primero al final de mes, y adems se efectuaran abonos anuales extraordinarios de dos y media veces la cuota mensual, comenzando al final del primer ao; De cunto sern las cuotas mensuales y las extraordinarias? Suponga una tasa de inters del 36% N-b7.15 Si una fiducia reconoce una tasa del 20% EA; Qu es ms conveniente para una institucin de caridad recibir una renta perpetua de $4800.000 cada 5 aos 70. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes70recibiendo el primer pago al final del cuarto ao o recibir $2000.000 anuales de renta perpetua comenzando al final del primer ao?7.16 Se quiere financiar la compra de un carro que tiene un costo de $47000.000 mediante el pago de 60 cuotas mensuales vencidas; y cuotas anuales vencidas extraordinarias del 5% del valor total durante el periodo de vigencia del prstamo. Si la entidad financiera aplica una tasa de inters del 1,8 EM; Cul ser el valor de las cuotas mensuales?7.17 Una mquina llegar al final de su vida til dentro de 2 aos; para esa poca se estima que una nueva costar $90000.000; adems que la mquina vieja podr ser vendida en $20000.000; Qu ahorro trimestral debe hacer un empresario en una cuenta que paga el 30% N-m con el objeto de hacer la compra en el momento oportuno; si tiene previsto hacer el primer deposito al final del sexto mes?7.18 Para cancelar una deuda un banco exige 12 pagos mensuales vencidos. Si el banco aplica una tasa de inters del 36% N-m y el primer pago es de $6000.000, disminuyendo $800.000 por mesa. Cul ser el valor del ltimo pago?b. Al final; Qu valor total se habr pagado?7.19 Si un Banco aplica una tasa de inters del 4% ES a un prstamo que se paga en 15 cuotas mensuales que decrecen linealmente en $40.000 y el primer pago es de $500.000; Cul ser el valor del prstamo?7.20 Para el siguiente flujo de caja, calcule el valor de X, si se aplica una tasa de inters del 25% N-b. Los periodos son meses.Periodo12345678Valor2.0002.5003.1253.906,254.882,810X-50.0007.21 Una persona quiere comprar un automvil, que actualmente cuesta $40 millones; para tal fin, decide establecer un fondo mediante depsitos mensuales crecientes en un 10%. Si el primer depsito es de $500.000, el cual se hace al final del primer mes; Cunto tiempo le llevar reunir el dinero necesario para la compra, si el automvil sube de precio cada mes un 1%? Suponga que los rendimientos pagados a los depsitos son el del 4% EM7.22 Cuntos pagos mensuales deben hacerse para cancelar una deuda de $20 millones, con intereses del 33% N-m? Suponga que la primera cuota es de $500.000 y que la cuota crece $50.000 mensualmente7.23 Un benefactor quiere donar un monto de dinero que en un futuro sirva para operar el centro de urgencias de un Hospital. Si los costos de operacin son inicialmente de $20000.000 y se incrementan 3% cada mes; Cunto deber depositar el benefactor, si la fiducia reconoce una tasa de inters del 8% EA?7.24 Para mantener en buen estado la escuela de un pueblo, loa habitantes desean establecer una fiducia, para proveer recursos para las reparaciones futuras. Si se 71. Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes71estima una inversin inicial de $25000.000 y que el costo de mantenimiento para el prximo ao es de 10 millones; igualmente, se estima que este costo se incrementar todos los aos en un 15%. Considerando que la fiducia reconocer una tasa de inters del 22% EA; Cunto ser el valor inicial que se deber depositar en la fiducia?7.25 Qu suma de dinero debe ahorrar un padre de familia mensualmente en una entidad que reconoce inters racional y paga una tasa de inters simple del 21% anual, para dentro de seis meses pagar la matrcula de su hijo en la Universidad que tiene un costo de $3000.000? 72. Glosario de trminos72