INSTITUTO TECNOLOGICODe Lzaro Crdenas

INVESTIGACION 3ECUACIONES DIFERENCIALES ORDEN SUPERIOR

MATERIA: MATEMTICAS V

NOMBRE DEL ALUMNO: ULISES RAL VALENTE ZARATE

CARRERA: INGENIERA INDUSTRIAL GRUPO: 62V SALN: E5

SEMESTRE ENERO-JUNIO/2012FECHA DE ENTREGA: 15-abril-2012

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NDICE3.1 Definicin Trasformada De Laplace . 3 3.2 Condiciones Suficientes Existencia Trasformada De Laplace 5 3.3 Trasformada De Laplace Funciones Bsicas . 9 3.4 Trasformada De Laplace Funciones Definidas Por Tramos . 11 3.5 Funcin Escaln Unitario 12 3.5.1 Trasformada De Laplace Funcin Escaln Unitario 14 3.6 Propiedades Trasformada De Laplace . 16 (Linealidad, teoremas de traslacin). 3.7 Transformada De Funciones Multiplicadas por t n , y divididas entre t ... 18 3.8 Trasformada De Derivadas Teorema ..19 3.9 Trasformada De Integrales Teorema . 21 3.10 Teorema De La Convolucion 22 3.11 Trasformada De Laplace Funcion Peridica .. 24 3.12 Funcin Delta Dirac ..25 3.13 Trasformada De Laplace Funcin Delta Dirac ... 27 3.14 Trasformada Inversa .. 30 3.15 Algunas Trasformadas Inversas .. 32 3.16 Propiedades Trasformada Inversa (linealidad, traslacin) .. ... 34 3.16.1 Determinacin Trasformada Inversa Mediante Fracciones Parciales 35 3.16.2 Determinacin Trasformada Inversa Usando Teoremas Heaviside 37

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3.1 DEFINICIN TRASFORMADA DE LAPLACE

Sea f una funcin definida para define como

, la transformada de Laplace de f(t) se

Cuando tal integral converge La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracin se considera constante La transformada de Laplace convierte una funcin en t en una funcin en la variable s Tabla de Transformadas Obtencin

Obtencin

Obtencin

Obtencin Para n entero

3

Obtencin Para

Obtencin Para s > a

Obtencin

Obtencin

Obtencin

Obtencin

4

3.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARA LA TRASFORMADA DE LAPLACE.

Sea

una funcin continua a trozos y de orden exponencial, existe. existe para .

entonces la transformada de Laplace de Es decir, existe un nmero tal que

Demostracin

Por ser

de orden exponencial existen nmeros no negativos , para . As que

, y

tales que

La primera integral

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que

5

Ahora, como

Siempre y cuando

, tenemos que la integral

Existe y con ello la transformada. Ejemplo Compruebe que la transformada

Existe, an cuando anterior.

no cumple las hiptesis del teorema de existencia

Solucin

Claramente

tiene una discontinuidad infinita en ; pero

, con lo cual no es

continua a trozos en el intervalo

6

Para calcular esta ltima integral sea

Con lo cual

Ahora note que

Figura 1.47

Donde

es el cuadrado de lado , que se muestra en la figura 1.4 Observe que si y son las regiones que se muestran en la figura 1.4 entonces

Con lo cual, tomando el lmite

3.3 TRASFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES BSICAS

Decimos que la funcin nmeros , y tales que

es de orden exponencial si existen

8

para Intuitivamente esto significa que la funcin exponencial, como se muestra en la 1.3. esta por debajo de una funcin

Figura 1.3 Observacin: algunas veces, para verificar que una funcin exponencial, conviene calcular el siguiente lmite: es de orden

para algn valor de . Si

es finito, entonces

puede ser cualquier nmero , no es de orden

mayor que (y este determina ). Por otro lado, si exponencial. Ejemplo Compruebe que Solucin es de orden exponencial.

Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hpital

para cualquier nmero positivo . Por lo tanto, si es suficientemente grande

9

, y as Ejemplo

es de orden exponencial.

Compruebe que la funcin valor de . Solucin Calculando el lmite

es de orden exponencial para cualquier

siempre y cuando

. De donde,

para grande. o

Observacin: no es difcil comprobar que cualquier polinomio de grado

funcin trigonomtrica como con constante, son de orden exponencial, as como, las sumas y productos de un nmero finito de estas funciones. En general, si producto y son de orden exponencial la suma y el

son de orden exponencial

3.4 TRASFORMADA DE LAPLACE FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS

Decimos que una funcin 1.- est definida y es continua en todo puntos10

es continua a trozos si , salvo en un nmero finito de

, para

.

2.- Para cada

los lmites

Existen. Note que, solamente uno de estos lmites es pertinente si extremos de .

es uno de los

En general, el requisito de que estos lmites sean finitos en todos los puntos implica que las nicas discontinuidades de tipo que aparecen el la figura 1.2. son discontinuidades de salto, del

Figura 1.2 Intuitivamente podramos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continuas o que no son demasiado discontinuas. Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada

3.5 FUNCIN ESCALN UNITARIO.

En ingeniera es comn encontrar funciones que corresponden a estados de s o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que acta sobre un sistema mecnico o una tensin elctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse despus de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una funcin especial llamada funcin escaln unitario.

11

Funcin de Heaviside La funcin escaln unitario o funcin de Heaviside1.2 define como se

Observacin: la funcin de heaviside se defini sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido ms general para .

Ejemplo

Trazar lagrfica de la funcin Solucin La funcin est dada por

.

y su grfica se muestra en la figura 1.5

12

Figura 1.5

Cuando la funcin de Heaviside

se multiplica por una funcin

,

definida para , sta funcin se desactiva en el intervalo en siguiente ejemplo. Ejemplo Trazar la grfica de la funcin Solucin La funcin est dada por .

, como muestra

Figura 1.6

La funcin de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.13

3.5.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCION ESCALON UNITARIOLa funcin escaln unitario es una funcin matemtica que tiene como caracterstica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado matemticamente seria de la forma:

Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instataneamente, puesto que el argumento de u (t) es el tiempo t , que cambia de un valor negativo a uno positivo. Esta funcin normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen en algn instante de tiempo, para esto se multiplica la funcin escaln unitario por la funcin que define la variable en el tiempo, como se muestra a continuacin. En la siguiente figura se tiene la grfica de una funcin f(t) definida como:

Si se toma esta funcion y se multiplica por la funcion escalon unitario u (t), se obtiene la siguiente grafica:

Como se puede observar la funcin f(t)*u(t) inicia en cero y continua en adelante con los mismos valores de f(t), esto seria la representacin de un interruptor que14

se encuentra abierto y en un tiempo t = 0, se cierra y la seal que se observa a partir de este momento tiene como valor f(t).

Debido a lo anterior se puede definir de una manera mas general la funcion escalon unitario, asi :

3.6 PROPIEDADES TRASFORMADA DE LAPLACE (LINEALIDAD, TEOREMAS DE TRASLACIN)15

Como la transformada de Laplace se define en trminos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas.1. Linealidad

La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican. Versin para la inversa:

1. Primer Teorema de Traslacin

donde

La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslacin en la variable s. Versin para la inversa:

1. Teorema de la transformada de la derivada

La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.1. Teorema de la transformada de la integral 16

1. Teorema de la integral de la transformada

Siempre y cuando exista

1. Teorema de la derivada de la transformada

1. Transformada de la funcin escaln

Si

representa la funcin escaln unitario entonces

1. Segundo teorema de Traslacin

1. Transformada de una funcin peridica

Si f(t) es una funcin peridica con perodo T:

3.7 TRANSFORMADA DE FUNCIONES MULTIPLICADAS POR TN, Y DIVIDIDAS ENTRE T.

17

Multiplicacin de una funcin por tn. La transformada de Laplace del producto de una funcin f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciacin de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciacin e integracin. Entonces:

Es decir:

Se puede usar el resultado anterior para hallar la transformada de Laplace de t2f(t):de la siguiente manera:

Los dos casos precedentes indican el resultado general para

3.8 TRASFORMADA DE DERIVADAS TEOREMA

18

Si es continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo entonces

,

Demostracin: Integrando por partes

Con un argumento similar podemos demostrar que

Ejemplo Use el resultado anterior para calcular

Solucin:

Haciendo

, tenemos que

19

y de aqu concluimos que

El siguiente resultado generaliza la transformada de una derivada. Definicin Si intervalo son continuas a trozos y de orden exponencial en el , entonces

El siguiente teorema trata sobre el efecto que tiene en una transformada la escalacin de una funcin .

3.9 TRASFORMADA DE INTEGRALES TEOREMA

20

Una transformada integral es cualquier transformada T aplicada sobre la funcin f(x) de la forma siguiente:

La entrada de esta funcin T encontramos una funcin f(t), y la salida otra funcin F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemtico. En ella t1 y t2 son dos valores que dependen de su definicin, y pueden variar desde hasta . Hay numerosas transformadas integrales tiles. Cada una depende de la funcin K de dos variables escogida, llamada la funcin ncleo o kernel de la transformacin. Algunos ncleos tienen una K inversa asociada, K 1(u,t) , que (ms o menos) da una transformada inversa:

Un ncleo simtrico es el que es inalterado cuando las dos variables son permutadas. Como un ejemplo de un uso de las transformadas integrales, podemos considerar la Transformada de Laplace. Esto es una tcnica que mapea ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo, en ecuaciones polinomiales en lo que es llamado el dominio de frecuencia compleja (La frecuencia compleja es similar a la frecuencia real, fsica, pero es ms general. Expresamente, el componente imaginario de la frecuencia compleja s = - + i corresponde al concepto habitual de velocidad angular, que se relaciona con la frecuencia por la identidad = 2 f). Para su aplicacin deben cumplirse ciertas condiciones en las funciones en que se aplicar, siendo la principal que estas deben cumplir con el principio de linealidad. Al trabajar con muchas transformadas, entre ellas la de Laplace, se facilitan los clculos al contar con tablas para las transformaciones ms comunes y sus propiedades.

3.10 TEOREMA DE LA CONVOLUCIN.

21

Si f(t) y g(t) son continuas por tramos con estos lmites [0, oo) y de orden exponencial,

sea la transformada de la multiplicacin de f por g Como se Demuestra a continuacin Sean

Al proceder formalmente obtenemos

Mantenemos fija Ty escribimos

de modo que

Estamos integrando en el plano tT sobre la parte sombreada de la figura 7.28.22

Puesto que f y g son continuas por tramos en [0, -) y son de orden exponencial, es posible intercambiar el orden de integracin:

EJEMPLO 2 Transformada de una convolucin

Evale

SOLUCIN Si f(t) = et y g(t) = sen t, el teorema de la convolucin establece que la transformada de Laplace de la convolucin de f y g es el producto de sus transformadas de Laplace:

Forma inversa del teorema de convolucin A veces, el teorema de la convolucin es til para determinar la transformada inversa de Laplace de un producto de dos transformadas de Laplace. Segn el teorema el siguiente Teorema

3.11 TRASFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCIN PERIDICA

Si f(t) es una funcin peridica con perodo T:23

Una funcin Peridica es una funcin que se repite. El perodo de la funcin es el mnimo intervalo de tiempo donde la funcin no se repite. Matemticamente una funcin es peridica con perodo T es una funcin f(t) que cumple:

Explicndolo mas simplemente, lo que es o pasa con la funcin en el intervalo describe o determina totalmente a la funcin. Grficamente una funcin peridica queda

3.12 FUNCIN DELTA DIRAC

La funcin delta de Dirac est dada por24

La funcin delta de Dirac, no es una funcin, realmente es lo que se conoce como una funcin generalizada (o distribucin). Donde se nos est dando valores iniciales. Propiedades La funcin delta de Dirac satisface las siguientes propiedades

Osase Es igual a Infinito Si t es igual a t0 , e Igual a cero si t es diferente a t0. El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la funcin delta de Dirac. Definicin

Para

Demostracin Para iniciar la prueba debemos escribir la funcin impulso unitario en trminos de la funcin escaln unitario

25

De donde tenemos que

con lo cual

A partir de Esto reafirma el hecho de que espera que cuando

es razonable concluir que . no es una funcin ordinaria, puesto que se .

3.13 TRASFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIN DELTA DIRAC

26

Para t0 < 0,

Expresamos en trminos como en una funcin escaln unitario, de acuerdo con las ecuaciones (4) y (5):

Segn la linealidad y la ecuacin

La transformada de Laplace de esta expresin es

Como esta ecuacin tiene la forma indeterminada 0/0 cuando a 0, aplicamos la regla de l'Hpital:

Cuando t0 = 0, parece lgico suponer, de acuerdo con la ecuacin (3), que

ya que L{ (t)-0} = L{ (t)}27

Este resultado subraya el hecho de que (t) no es el tipo normal de funcin porque, de acuerdo con esta propiedad EJEMPLO 1 Dos problemas de valor inicial 0 cuando

Resuelva, , sujeta a a) y (0) =1, y '(0) = 0; b) y (0) = 0, y '(0) = 0. Estos dos problemas de valor inicial podrn servir de modelos para describir el movimiento de una masa en un resorte en un medio en que el amortiguamiento sea insignificante. Cuando t = 2, se imparte un fuerte golpe a la masa. En a), la masa parte del reposo a una unidad abajo de la posicin de equilibrio. En b), la masa se encuentra en reposo en la posicin de equilibrio. SOLUCIN a) Segn (3), la transformada de Laplace de la ecuacin diferencial es

Aplicamos la forma inversa del segundo teorema de traslacin Si F(P)=L{f(t)} y a>0, entonces L{f(t-a)U(t-a)}= e-ap F(P) para obtener

Como sen(t - 2) = sen t, la solucin anterior se puede expresar

(5)

En la figura 7.52 la grfica de (5)vemos que la masa tena movimiento armnico simple hasta que fue golpeada cuando t - 2. La influencia del impulso unitario es aumentar la amplitud de oscilacin hasta

28

b) En este caso, la transformada de la ecuacin es, sencillamente,

y as

(6)

La grfica de esta ecuacin (Fig. 7.53) muestra que, como era de esperarse por las condiciones iniciales, la masa no se mueve sino hasta que se le golpea cuando t - 2.

3.14 TRANSFORMADA INVERSA

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Transformada Inversa de Laplace:

Manejo de Expresiones Racionales, directivas bsicas. La clave est en el denominador. Lo que debe de hacerse depende centralmente de l. Primeramente se factoriza y dependiendo del resultado se procede. Estos son algunos de los casos importantes.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Otros casos: Solo queda fracciones parciales.

Un resultado bsico sobre la transformada indica que El lmite de una expresin en s, que es la transformada de Laplace de una funcin, cuando s tiende a infinito debe ser cero. Para que en una expresin racional esto pase el exponente del denominador debe ser mayor que el exponente del denominador. Por eso en todos los ejemplos que se dan a continuacin esto se cumple. Ejemplo Caso: Denominador potencia de s

Ejemplo Determine:

30

Solucin Distribuimos primeramente el denominador:

Usando la propiedad de linealidad tenemos:

Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:

Por tanto:

3.15 ALGUNAS TRASFORMADAS INVERSAS31

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

Algunas transformadas inversas

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en s, una transformacin lineal; esto es, si y son constantes,

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g. La transformada inversa de Laplace de una funcin F(s) puede no ser nica. Es posible que y, sin embargo, Comportamiento de F(s) cuando Si f(t) es continua por tramos en .

y de orden exponencial para t>T, entonces

32

Demostracin Dado que f(t) es continua parte por parte en es acotada en el intervalo; o sea cuando t>T. Si M representa el mximo de , entonces . Tambin

, necesariamente

y c indica el mximo de

para s>c. Cuando

, se tiene que

, de modo que

.

3.16 PROPIEDADES DE LA TRASFORMADA INVERSA33

El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa. Teorema Linealidad de la transformada inversa Sean y funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el tales que = = y , entonces

intervalo

34

3.16.1 DETERMINACIN TRASFORMADA INVERSA MEDIANTE FRACCIONES PARCIALES

Ejemplo : Calcule

Solucin Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir

En fracciones parciales para separarlas

Ahora s una vez separadas sacamos la transformada de cada fraccin parcial

El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solucin de ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera ms eficiente con las tcnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la tcnica de solucin de ecuaciones diferenciales. Ejemplo Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial35

Solucin : Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacin diferencial

Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar

Observacin: est ecuacin diferencial puede resolverse como una ecuacin lineal con factor integrante

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3.16.2 DETERMINACIN TRASFORMADA INVERSA USANDO TEOREMAS HEAVISIDE

En ingeniera es comn encontrar funciones que corresponden a estados de s o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, saber la cantidad de electricidad que usa un sistema de luz de apagado y encendido. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una funcin especial llamada funcin escaln unitario. Funcin de Heaviside

La funcin escaln unitario o funcin de Heaviside se define como

Donde es cero si t es mayor o igual que 0 y menor que a, y es uno cuando t es mayor igual a a. La funcin de heaviside se defini sobre el intervalo , sea de un intervalo de entre cero hasta infinito, pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido ms general . Ejemplo Trazar la grfica de la funcin Solucin La funcin est dada por . para

y su grfica se muestra en la siguiente figura

37

Cuando la funcin de Heaviside , definida para

se multilplica por una funcin

, sta funcin se desactiva en el intervalo

, como muestra en siguiente ejemplo. Ejemplo Trazar la grfica de la funcin Solucin La funcin est dada por .

La funcin de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta

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