UNIDAD 2

Conceptos Generales

Pronosticar. Es el arte y la ciencia de predecir los eventos del futuro, es emitir un enunciado sobre lo que es probable que ocurra en e l futuro, basndose en anlisis y en consideraciones de juicio.

Ciencia. Mtodos con bases estadsticas.

Arte. Juicio e intuicin sobre el marco metodolgico que se va a emplear. Implica, conocer el ambiente, la seleccin de la mejor tcnica, el nmero de datos histricos que debe incluirse, etc.

Hacer un pronstico es obtener conocimiento sobre eventos inciertos que son importantes en la toma de decisiones presentes.

Las tcnicas de pronsticos disminuyen la incertidumbre sobre el futuro, permitiendo estructurar planes y acciones congruentes con los objetivos de la organizacin y permiten tambin tomar acciones correctivas apropiadas y a tiempo cuando ocurren situaciones fuera de lo pronosticado.

El pronstico es una estimacin anticipada del valor de una variable, por ejemplo: la demanda de un producto.

El presupuesto es el Valor anticipado de la variable que una compaa est en posibilidad de concretizar, por ejemplo: la cantidad de producto que la compaa decide fabricar en funcin de la demanda y de la capacidad instalada.

El conocimiento de las tcnicas de pronsticos es de poco valor a menos que puedan aplicarse efectivamente en el proceso de planeacin de la organizacin.

CARACTERSTICAS DE LA DEMANDA

Demanda: Cantidad de un bien de consumo que se desea comprar por un mercado.

Existen dos tipos de demanda: 1. Demanda dependiente: Es la demanda de un producto o servicio que se deriva de la demanda de otros productos o servicios.

Demanda independiente: Esta demanda no se deriva directamente de la de otros productos. Los pronsticos de la demanda pueden ser crecientes o decrecientes, y tener naturaleza lineal o no lineal.

Mtodos Cualitativos

Estos mtodos reciben tambin el nombre de tecnolgicos, porque histricamente se usaron primero para pronosticar cambios tecnolgicos.

La posicin central en estos mtodos no la tienen los datos pasados, sino la experiencia de las personas. Frecuentemente se usa la experiencia y buen juicio de varios expertos. Estas tcnicas usan el criterio de la persona y ciertas relacin para transformar informacin cualitativa en estimados cuantitativos.

Usos de estos mtodos. Las tcnicas cualitativas se usan cuando los datos son escasos, y son tiles paraPronsticos a largo plazo, pronsticos de ventas y desarrollo de nuevos productos, inversiones de capital, planeacin estratgica y pronsticos tecnolgicos.

Dentro de estos mtodos tenemos:

El Mtodo Delphi . Este trata de obtener un consenso confiable entre diversos expertos para usarlo como base para pronosticar. Esta tcnica necesita un grupo de expertos que estn dispuestos a contestar una serie de preguntas, y exponer sus razones, respecto a algn desarrollo tecnolgico, a donde no hubo consenso indicndoles las medianas de los tiempos para los avances en que no hubo acuerdo. Su objetivo es la consecucin de un consenso basado en la discusin entre expertos. Es un proceso repetitivo. Su funcionamiento se basa en la elaboracin de un cuestionario que ha de ser contestado por los expertos. Una vez recibida la informacin, se vuelve a realizar otro cuestionario basado en el anterior para ser contestado de nuevo.Finalmente el responsable del estudio elaborar sus conclusiones a partir de la explotacin estadstica de los datos obtenidos.La metodologa de previsin Delphi utiliza juicios de expertos en tecnologa o procesos sociales considerando las respuestas a un cuestionario para examinar las probables orientaciones del desarrollo de tecnologas especficas, meta-tipos de tecnologas o diferentes procesos de cambio social. El resumen de los juicios de los expertos (en las formas de evaluaciones cuantitativas y comentarios escritos) son provistos como retroalimentacin a los mismos expertos como partes de una ronda siguiente de cuestionario (next-round). A continuacin, los expertos revalan sus opiniones a la luz de esta informacin, y un consenso de grupo tiende a emerger. Bright cree que la previsin tecnolgica, incluyendo previsin Delphi, es una forma de anlisis lgico que conduce a conclusiones sobre el futuro de atributos tecnolgicos (Scott, 2001). La tcnica delphi se basa en conceptos firmes para sacar conclusiones con argumentos soportados.

Investigacin de Mercados. Esta tcnica identifica a la poblacin de compradores prospectivos basados previa seleccin representativa, de tamao n, en la recoleccin de informacin mediante cuestionarios, entrevistas o estudios, etc., para obtener informacin o probar hiptesis acerca de mercados reales.

Consenso de un Panel . Supone que la organizacin o empresa tiene expertos que poseen conocimientos o experiencia que les permite evaluar efectivamente los eventos inciertos del futuro. Se supone adems que cada uno de los expertos reconoce la capacidad de los otros en su rea y suplementando el conocimiento de cada uno se llega a un consenso acerca del pronstico apropiado de las ventas de la empresa. El problema que en un momento puede existir al hacer uso de ste procedimiento de prediccin es que puede existir al hacer uso de este procedimiento de prediccin es que puede existir un sesgo en los resultados, debido a las jerarquas dentro del grupo causando que los expertos con menor rango se muestren renuentes en sus crticas a sus superiores aunque sientan que sus opiniones sean de mas valor que las emitidas por sus superiores.

Analoga Histrica . Se usa para productos nuevos, basndose en el anlisis comparativo de la introduccin y crecimiento de productos similares.El mtodo supone que pueden usarse la historia de las ventas de un producto introducido en el pasado para evaluar el posible xito del producto actual. Una suposicin natural en este enfoque es que los ambientes delmercado son similares para ambos productos.

Mtodos Cuantitativos

Los mtodos cuantitativos se basan en datos histricos. Esta informacin pasada se encuentra en forma numrica. Las fuentes usuales son los registros de la propia empresa o informacin oficial de diverso origen: gobierno, asociaciones de empresarios o profesionistas, organismos internacionales.

Se debe tener cuidado, sobre todo cuando la informacin proviene de la propia empresa (aunque en laproveniente de otras fuentes tambin hay que cuidarse), que haya sido cuantificada de manera uniforme.

Para informacin sobre costos, por ejemplo, hay que asegurarse que los costos incluyan los mismos conceptos en todos los aos que vamos a utilizar; de no ser as es preciso tratar previamente los datos.Para aplicar los mtodos cuantitativos es preciso convencernos, razonablemente, de que se cumple lallamada Hiptesis de Continuidad. Este supuesto es que los factores externos en los que se dieron los datos histricos no cambiarn en el futuro para el que estamos pronosticando. Estos factores son, en forma destacada:

Economa en general.Competencia en el mercado (oferta).Estado del mercado (demanda).Estado tecnolgico del producto (``ciclo de vida del producto'').

Esta continuidad del ambiente nunca se da en forma perfecta, sino en forma gradual. Se requiere buen juicio para suponer que las violaciones a la continuidad no van a afectar a los resultados de la aplicacin del mtodo de pronstico.

Dentro de los mtodos cuantitativos tenemos los siguientes :

Anlisis de series de tiempo . Se llama serie de tiempo a cualquier sucesin de observaciones de un fenmeno que es variable con respecto al tiempo.Estos mtodos suponen que la variable pronosticada tiene informacin til para el desarrollo del pronstico sobre su comportamiento anterior , considerando probable que lo que sucedi en el pasado contine ocurriendo en el futuro.Es comn representar a las series de tiempo por medio de una ecuacin matemtica que describa los valoresde la variable observada como una funcin del tiempo o equivalentemente como una curva en una grfica en la que la coordenada vertical representa la variable Y y la coordenada horizontal representa el tiempo.El anlisis consiste en encontrar el patrn del pasado y proyectarlo al futuro.

Patrones o componentes de una serie de tiempoCuando se tienen datos para hacer un pronstico, la herramienta mas til es g raficarlos! La grfica que queremos es la de los datos contra el tiempo. En el eje horizontal ponemos los tiempos y en el sentido vertical sealamos el punto cuya altura corresponda a la magnitud de la observacin que tengamos para cada tiempo. Por regla general, los datos se encuentran equiespaciados en el tiempo. Las diferentes formas que toma el arreglo de los datos en la grfica nos indican como debemos proceder en el pronstico.Las caractersticas que, de manera primordial, buscamos en la grfica son las regularidades que permitan laproyeccin del comportamiento observado en el pasado hacia el futuro. Los patrones regulares que nos son tiles son de varios tipos.

Patrn horizontal o estacionario . Se presentan como un valor constante (recta horizo ntal) alrededor del cual los datos oscilan de forma irregular. Es el patrn de datos mas simple, la mejor manera de pronosticar en una situacin como sta es estimar la altura de la lnea horizontal y usar ese valor como pronstico.Datos con tendencia. Se presentan como una lnea lisa (una recta o una curva suave) que sube o baja monotonamente y los datos oscilan errticamente alrededor de ella. La manera de pronosticar que se ocurre primero, en este caso, es la de calcular una ecuacin para la lnea y usar ese valor para pronstico.Datos estacionales. Muchas series de datos presentan este tipo de comportamiento repetitivo. La componente estacional refleja cambios hacia arriba y hacia abajo en puntos fijos en el tiempo.

El origen del nombre estacional son, precisamente las estaciones del ao. Mucha de la actividad humana y muchos fenmenos naturales varan de acuerdo a las estaciones. Por extensin, en muchas actividades se presenta una oscilacin semanal o mensual similar a la de las estaciones del ao. Por ejemplo, no es raro observar que en algunos das de la semana se incrementa el ausentismo laboral. Tenemos otro ejemplo en la cantidad de transacciones que se realizan en las oficinas bancarias, estas presentan dos ``picos'' mensuales, al principio/fi n y al medio. Cuando se estudia una serie con esta carcterstica, es deseable incorporarla al pronstico. En general se considera que esta componente o patrn ocurre con un perodo de un ao o menos.

Otro tipo de patrn, es el que se llama cclico . Este se refiere a curvaturas de largo perodo asociadas con grandes ciclos econmicos. El pronstico en estas condiciones es mucho ms complicado ya que la forma de estos ciclos no es simple y la teora econmica no se encuentra suficientemente desarrollada como para permitir una cuantificacin confiable de ellos. Claro que si observamos tal patrn en los datos, es conveniente incorporarlo al pronstico an cuando sea de una manera imperfecta.

La diferencia principal entre los efectos o patrones estacionales y c clicos es que los efectos estacionales pueden predecirse, y ocurren a un intervalo de tiempo fijo de la ltima ocurrencia, mientras que los efectos cclicos son componentes impredecibles.

MTODOS PARA SERIES DE DATOS HORIZONTALES.

Mtodos de suavizamiento o alisamiento.- Son tcnicas de pronsticos que son apropiadas para series de tiempo mas o menos estables y que presentan un patrn horizontal, es decir, las que no muestran efectos importantes de tendencia , cclicos o estacinales.Dentro de stas t cnicas de pronsticos tenemos los siguientes mtodos .

Promedio Mvil simpleEste consiste en promediar slo las ltimas observaciones. Conforme avanza el tiempo dejamos fuera del promedio a los datos ms viejos y vamos incorporando datos nuevos. Por eso recibe el nombre de promedio mvil.Un promedio mvil tiene un parmetro que es la amplitud del promedio, es decir, cuntos datos ponemos en el promedio.Si el valor de este parmetro es grande, el suavizado es mayor; si es pequeo el suavizado es menor. En trminos matemticos, el clculo de los promedios mviles se realiza de la siguiente manera:Se considera que:

X t = F t + 1

Donde :

X t = Es el promedio mvil de n trminos de x calculados hasta el perodo tF t + 1 = representa el pronstico de x en el perodo t + 1X i = valor real de x ( accidentes, ventas, demanda, etc. ) en el perodo i

1 tX t = ----- S X in i = ( t - n + 1 )

n = nmero de periodos de demanda a ser incluidos ( orden del promedio movil )? = Sumatoria

El promedio mvil hasta el perodo t se usa para el pronstico del perodo t + 1

El error correspondiente a cualquier pronstico est representado por la diferencia entre el valor real observado y el valor pronosticado. Este puede s er positivo o negativo, dependiendo de si el pronstico es demasiado bajo o es demasiado alto.

Una consideracin importante al utilizar cualquier mtodo de pronstico es la precisin del pronstico. Es evidente que lo que se desea es que los errores de lo s pronsticos sean reducidos. Unas de las herramientas estadsticas mas usadas como medidas del error para evaluar la precisin de los mtodos de pronsticos son:

La desviacin absoluta de la media (DAM) . El error medio cuadrtico (EMC).

DAM = Suma de los valores absolutos de todos los errores de los pronsticosNumero de errores absolutos tomados

ECM = suma cuadrtica del error del pronsticoNumero de errores al cuadrado tomadosEJEMPLO. Con la informacin mostrada en la siguiente tabla, Elabore promedios moviles de 3 y de 5 trminos para calcular el nmero de accidentes pronosticados para la decimatercera semana y expliquecul de los dos promedios mviles, el de 3 o el de 5 trminos, ofrece mejores pronsticos

SemanasPerodo t

1NmeroDeAccidentesX200PromedioMvil de3 trminosX tPronsticoF t + 1errorPromedioMovil de5 trminosPronstcioF t + 1errorErrorAbsoluto3 trminosErrorAbsoluto5 trminos

23135195176.66

45198310176.00234.33176.66176.0021.34134.00207.6021.34134.00

67175155227.66213.33234.33227.66- 58.33- 72.66202.60206.60207.60202.60- 32.60- 47.6058.3372.6632.6047.60

89130220153.33168.33213.33153.33- 83.3366.67193.60198.00206.60193.60- 76.6026.4083.3366.6776.6026.40

1011277235209.00244.00168.33209.00108.6726.00191.40203.40198.00191.4079.0043.60108.6726.0079.0043.60

1213240250.66244.00250.66- 4.00220.40203.40220.4036.604.00575.0036.60342.40

El promedio mvil va desechando los datos viejos conforme incorpora a los nuevos. Adems mantiene la misma ``importancia'' para la ltima observacin a lo largo del tiempo.

Usando promedios moviles de 3 trminos el nmero de accidentes pronosticados para la decimatercera semana es de 251 .

Y de 220 accidentes si usamos promedios mviles de 5 trminos.

para evaluar la precisin de estos pronstico y poder decidir cual de los 2 resultados ofrece el mejor pronstico, haremos uso de la desviacin absoluta media ( DAM ) como medida de error.575.00 342.40DAM ( 3 trminos ) = ------------------- = 63.88 DAM ( 5 trminos ) = ------------------------ = 48.919 7Conviene usar promedios mviles de 5 trminos, en virtud a que presenta menor DAM en los clculos

Promedio Mvil Ponderado

En el mtodo anterior de los promedios mviles simples cada observacin del clculo del promedio mvil recibe la misma ponderacin o peso.

En la tcnica de promedios mviles ponderados, implica la seleccin de pesos distintos para cada valor de los datos para despus calcular en calidad de pronstico un promedio ponderado. En donde la observacin mas reciente es la que recibe mayor ponderacin y el peso disminuye para los valores mas antiguos.. Por ejemplo, utilizando la serie de tiempo de la informacin del cuadro anterior , se procede a ilustrar el clculo de un promedio mvil ponderado de 3 trminos, en donde la observacin mas reciente recibe un peso de 3 tantos el que se asigna a la observacin mas antigua, y la siguiente observacin mas an tigua recibe un peso del doble que la mas antigua . El pronstico para el promedio mvil ponderado para la cuarta semana se calculara de la siguiente manera:

Pronstico para el promedio movil 3 2 1Ponderado para la cuarta semana = ------- ( 195 ) + ------- ( 135 ) + --------- ( 200 ) = 175.806 6 6

Observese que, para el promedio mvil ponderado, la suma de los pesos es igual a 1.

Alisamiento o suavizamiento exponencial

El alisamiento exponencial es una tcnica de pronstico en la que se utiliza un promedio ponderado de una serie de valores anteriores o pasados para pronosticar el valor de la serie de tiempo en el perodo siguiente. Se usa para pronsticos a corto y mediano plazo, la expresin matemtica aplicada para este modelo es la siguiente:

F t + 1 = Y t + ( 1 - ) F t

Pronstico para el perodo t + 1 dato real pronstico en el perodo tConstante de alisamiento

Los valores de la constante de alisamiento o suavizamiento debe de andar entre 0 y 1 0 < < 1 mayor produce menor suavizado y menor, mayor suavizado

Pgina 21EJEMPLO. Una cadena de tiendas de abarrotes experiment las siguientes demandas semanales (en cajas)para una marca de detergente para lavadoras automticas.

PERIODO

SEMANADEMANDAPRONSTICOERROR DEL

PRONSTICOERROR

ABSOLUTOERROR

AL CUADRADO

t Y t F t Y t - F t ( Y t - F t ) 2

12222.00000

21822.00-4.004.0016.00

32321.201.801.803.24

42121.56-0.560.560.31

51721.45-4.454.4519.78

62420.563.443.4411.84

72021.25-1.251.251.55

81921.00-2.002.003.99

91820.60-2.602.606.75

102120.080.920.920.85

1120.2621.0264.33

a).- Utilizando una con stante de alisamiento exponencial = 0.2, determnense los pronsticos correspondientes a cada una de las semanas l as como la de la dcima primera semana, empleando la tcnica de suavizamiento exponencia tambin calcule el error del pronstico pa ra cada una de las semanas. b).- Calcule el DAM y el ECM.

Solucin.

a).- Para iniciar los clculos del pronstico empleando sta tcnica, para el perodo 1 la demanda pronosticada ser la demanda real de ese mismo perodo. Y se iniciarn los clc ulos aplicando la expresin:

F t + 1 = Y t + ( 1 - ) F tAsi para el calculo del pronstico para la segunda semana ( perodo t = 2 ) , se har de la siguiente manera: Se toman los valores tanto de la demanda real (Y t = 22 ) como de la demanda pronosticada (F t = 22 )correspondientes al periodo 1 y estos se sustituyen en la ecuacin matemtica anterior, de la siguientemanera:F 1 + 1 = 0.2 Y 1 + ( 1 - 0.2 ) F 1F 2 = 0.2 ( 22 ) + ( 1 - 0.2 ) 22F 2 = 4.4 + ( 0.80 ) 22 = 22 cajas

Para el calculo del pronstico para la tercera semana ( perodo t = 3 )

Se toman los valores tanto de la demanda real (Y t = 18 ) como de la demanda pronosticada (F t = 22 ) correspondientes al periodo 2 y estos se sustituyen en la ecuacin matemtica anterior, de la siguiente manera:

F 2 + 1 = 0.2 Y 2 + ( 1 - 0.2 ) F 2F 3 = 0.2 ( 18 ) + ( 1 - 0.2 ) 22F 2 = 3.6 + ( 0.80 ) 22 = 21..20 cajas

Y as, de esta manera se continan los clculos del pronsticos para las siguientes semanas hasta llegar a la dcima primera semana cuya demanda pronosticada fue de 20..26 cajas.

Los errores semanales del pronstico se calculan restando, a la demanda real la demanda pronosticada de cada semana.21.02 64.33b).- El DAM = ------------ = 2.10 el ECM = ------------- = 6.4310 10

MTODOS PARA SERIES DE DATOS CON TENDENCIA.

Anlisis o proyeccin de tendencia. El objetivo del anlisis de tendencias es ajustar una linea de tendencia( curva ) a una ecuacin matemtica y despus se proyecta al futuro por medio de esta ecuacin.

Un enfoque matemtico para el anlisis de tendencia lineal. Identifica la ecuacin de una linea recta llamada componente lineal de tendencia de la forma Y = a + b x , en donde Y es el valor pronosticado, a es la ordenada en el origen ( intercepcin de la recta con el eje vertical ) , b es la pendiente de la linea y x es el perodo para el que se prepara el pronstico.

Los valores de a y de b se calculan con el mtodo de mnimos cuadrados. La aplicacin de ste criterio da como resultado una linea recta que minimiza el cuadrado de las distancias verticales de cada observacin a la linea.Los valores para a y b que minimizan la suma de los cuadrados de todas las distancias verticales definen la ecuacin que mejor se ajusta a los datos.

Los valores de a y b se calculan mediante las siguientes expresiones:

N x y - x y y - b xb = ---------------------------------- a = ------------------------- N x2 - ( x ) 2 N

N representa el nmero de datos reales recopilados

Esta tcnica es aplicable cuando los datos histricos del pasado presentan variaciones irregulares y tienen una tendencia a crecer o a decrecer a travs del tiempo.

EJEMPLO. La siguiente tabla representa los datos de la serie de tiempo para las ventas de automviles de la agencia ford de Navojoa, sonora determinado en los ltimos 10 aos (1991- 2000). Determine:a).- La expresin matemtica para la componente lineal de tendencia para la venta de automvilesb).- el pronstico de ventas de automviles para el ao 2001 y para el ao 2005.

AosPerodoxVentas de automvilesYXYX2

199116006001

1992250010004

1993353015909

19944640256016

19955450225025

19966750450036

19977800560049

19988900720064

19999950855081

200010100010000100

Sumas55712043850385

Solucin.

a).- Vamos a proceder a calcular la expresin lineal de tendencia para ello debemos de calcular primero losvalores de a y de b con las siguientes expresiones : en este caso N = 10 porque son 10 datos reales recopilados.

N x y - x y y - b xb = ---------------------------------- a = ------------------------- N x2 - ( x ) 2 N

10 ( 43,850 ) - ( 55 ) ( 7120 )438,500 - 391,60046,900

b = -------------------------------------------10 ( 385 ) - ( 55 ) 2=----------------------------- =3850 - 3025------------- = 56.84825

y - b x 7,120 - ( 56.84 ) ( 55 ) 7120 - 3126.20 3993.80a = ------------------------- = --------------------------------- = -------------------------- = ------------- = 399.38N 10 10 10

Sustituyendo los valores calculados de a y de b en la expresin: Y = a + b xTendremos la expresin lineal de tendencia para la venta de automviles de este problema.

Y = 399.38 + 56.84 x

Con esta ecuacin podemos calcular el pronstico de automviles para cualquier perodo o ao, con solo cambiar el valor de x en el ao o perodo que se quiera.

b).- El pronstico de ventas automviles para el ao 2001 se calcula sustituyendo el valor de x = 11 en la expresin :

Y = 399.38 + 56.84 x = 399.38 + 56.84 ( 11 ) = 399.38 + 625.24 = 1024.62 automviles

El pronstico de ventas automviles para el ao 2005, se obtiene sustituyendo en la expresin anteriorX = 15Y = 399.38 + 56.84 x = 399.38 + 56.84 ( 15 ) = 399.38 + 852.60 = 1251.98 automviles

La pendiente b = 56.84 significa que en los ltimos 10 aos, la empresa ha experimentado un crecimiento promedio en las ventas de alrededor de 56.84 unidades por ao.Proyeccin de tendencia de una serie de tiempo que presenta componente de tendencia y componente estacional .

En el tema anterior se mostr la forma que se pueden hacer pronsticos para una serie de datos que tenan un componente de tendencia. A continuacin se analizar una serie de datos que tiene tanto un componente de tendencia como una estacional.El mtodo que se considera consiste primero en eliminar el efecto estacional o el componente estacional de la serie de tiempo, para ello se calculan los ndices estacionales para cada semana, mes, bimestre, trimestre, etctera, A este paso se le denomina desestacionalizacin de la serie de tiempo .Despus de tal accin, la serie de tiempo tendr solamente un componente de tendencia . Luego entonces,podemos utilizar el mtodo que se describi en el tema anterior para determinar la expresin de la componente lineal de tendencia de la serie de datos. Finalmente para el desarrollo del pronstico consiste en incorporar el componente estacional utilizando un ndice estacional para ajustar la proyeccin de tendencia .

La expresin matemtica que se utiliza cuando la serie de tiempo presenta componente de tendencia y componente estacional es:

Y = ( a + b x ) (Indice estacional)

Componente de tendencia Componente e stacional

ESTACIONALIDAD.La estacionalidad es un patrn que a veces observamos en una serie de tiempo. Consiste en subidas y bajadas peridicas que se presentan en forma regular en la serie de tiempo.Al tiempo entre un ``pico'' y otro en la grfica de la serie, se le llama perodo estacional. La mayora de las series que presentan esta caracterstica tienen periodicidad anual; en este caso, si la serie consiste de observaciones mensuales, el perodo ser 12, en cambio, si la serie es trimestral, el perodo ser 4.

Indices estacionales ILa manera matemtica de representar la estacionalidad es a travs de los llamados ndices estacionales. Para comprender qu son, cmo se calculan y para qu sirven, veamos un ejemplo.EJEMPLO:- Los datos trimestrales de ventas ( nmero de ejemplares que se venden ) de un libro de texto universitario en los ltimos 3 aos son los siguientes:

Trimestres

aosIIIIIIIV

1998169094026252500

1999180090029002360

20001850110029302615

a.- Calcule los ndices estacionales para los 4 trimestresb. - Determine la ecuacin de la expresin de la componente lineal de tendencia.c.- Calcule las ventas pronosticadas de libros de texto para el tercer trimestre del ao 2001

solucin:

Trimestres

aosIII IIIIV totales

19981690940 26252500 7755

19991800900 29002360 7960

200018501100 29302615 8495

Para calcular ndices estacionales se pueden seguir muchos caminos, ste es quiz, el ms simple. Partiendo de los totales de cada ao, calculo un promedio trimestral para cada ao.

Trimestres

aosIIIIIIIV totalespromedios

199816909402625250077551938.75

199918009002900236079601990.00

2000185011002930261584952123.75

Estos promedios son un trimestre ``tp ico'' para cada ao. Fjese que ao con ao, las ventas en los segundos trimestre de cada ao estn en su punto mas bajo, seguidas de niveles mas altos de ventas en los terceros trimestres de cada ao esto es ocasionado por el efecto estacional, adems po demos notar que los trimestres tpicos van subiendo de valor. Esto es debido al efecto de la tendencia que tiene la serie.

Ahora se divide cada dato entre el promedio del ao que le corresponda.

Trimestres

aosIIIIIIIV

19980.870.481.351.29

19990.900.451.461.19

20000.870.521.381.23

Estos nmeros indican el porcentaje de cada uno de los trimestres en funcin del trimestre tpico de cada uno de los aos. Estos nmeros contienen la estacionalidad. Para term inar de tener los ndices estacinales, mismos que representan el efecto estacional de la serie de tiempo para cada uno de los trimestres promediamos los nmeros de cada trimestre (columna).

TrimestresI II III IVIndices Estac 0.88 0.49 1.40 1.24

El propsito de calcular indices estacionales es eliminar los efectos estacionales de la serie de tiempo. A este proceso se le llama desestacionalizar la serie de tiempo

Para desetacionalizar la serie de tiempo, se dividen las ventas de cada uno de los trimestres entre su indice estacional respectivo.

aosPerodotrimestreVentasIndiceVentas

19981Ireales1690estacional0.88desestacionalizadas1920.45

2II9400.491918.37

3III26251.401875.00

4IV25001.242016.13

19995I18000.882045.45

6II9000.491836.73

7III29001.402071.43

8IV23601.241903.23

20009I18500.882102.27

10II11000.492244.90

11III29301.402092.86

12IV26151.242108.87

La anterior informacin representa las ventas sin el componente estacional, quedndose solamente con la componente de tendencia.

ecuacin quetiene la formaY = a + b x .Ventas desestacionalY x Y x2Aosperodotrimestrex19981I1920.451920.4512II1918.373836.7343III1875.005625.0094IV2016.138064.521619995I2045.4510227.27256II1836.7311020.41367III2071.4314500.00498IV1903.2315225.816420009I2102.2718920.458110II2244.9022448.9810011III2092.8623021.4312112IV2108.8725306.45144suman7824135.69160117.51650El siguiente paso es determinar la expresin matemtica de la expresin lineal de tendencia, para ello se emplea el procedimiento anterior, es decir, debemos encontrar con los datos desestacionalizados una

Con la informacin de este cuadro se calcularn los valores de a y de b usando las siguientes expresiones: N = 12 , porque son 12 trimestres o 12 datos recopilados

N x y - x y y - b xb = ---------------------------------- a = ------------------------- N x2 - ( x ) 2 N

12 ( 160117.51 ) - ( 78 ) ( 24135.69 ) 1921410.12 - 1882583.82 38826.30b = ------------------------------------------------ = ------------------------------------- = ------------- = 22.6212 ( 650 ) - ( 78 ) 2 7800 - 6084 1716

y - b x 24135.69 - ( 22.62 ) ( 78 ) 24135.69 - 1764.36 22371.33a = ------------------------- = --------------------------------- = ----------------------- --- = ------------- = 1864.27N 12 12 12

Sustituyendo los valores calculados de a y de b en la expresin: Y = a + b xTendremos la expresin lineal de tendencia para la venta del libro de texto de este problema.

Y = 1864.27 + 22.62 x

La pendiente de 22.62 indica que, en los ltimos 12 trimestres la empresa ha tenido un crecimiento promedio desestacionalizado en las ventas del libro de texto de aproximadamente 22.62 libros por trimestre. Si se considera que la tendencia de los datos de ventas en los ltimos 12 trimestres es un indicador razonablemente bueno del futuro, entonces, puede utilizarse la ecuacin anterior para proyectar la componente de tendencia de la serie de tiempo para trimestres futuros.

Entonces para calcular los pronsticos de las ventas de l libro de texto para los trimestres futuros, considerando tanto el efecto de tendencia como el efecto estacional la ecuacin que debemos de tomar en conside racin es:

Y = ( 1864.27 + 22.62 x ) ( Indice estacional )Para calcular el pronstico de ventas para el tercer trimestre del ao 2001 debemos de sustituir en laecuacin anterior :

Perodo x = 15 y el ndice estacional para el tercer trimestre es = 1.40

De tal manera que tendremos lo siguiente:

Y = [ 1864.27 + ( 22.62 ) ( 15 ) ] ( 1.40 ) = ( 1864.27 + 339.30 ) ( 1.40 ) = 3085 libros de texto

MTODOS CAUSALES DE PRONSTICOS

Estos desarrollan un modelo de causa y efecto entre la demanda ( exteriorizacin de las necesidades y deseos del mercado y esta condicionada por los recursos disponibles ) y otras variables. Que permitan explicar mediante una ecuacin matemtica los valores de una variable en trminos de la otra. Por ejemplo, la demanda de helados puede relacionarse con la poblacin, un agricultor puede creer que la cantidad de fertilizante que utiliz influy en la cosecha lograda, etc.

Uno de los mtodos causales mejor conocido es el del Anlisis de Regresin , en donde siempre se trata del uso de dos variables numricas.A la variable que queremos explicar le llamamos dependiente ( Y ) .A la variable que usamos para condicionar o para explicar la llamamos independiente ( X1 .X2 , X 3 , ... X n)

Para ello es necesario encontrar una frmula matemtica que relacione la variable dependiente con la o las variables independientes y que permita estimar o predecir los valores futuros que puede tener una variable

( dependiente ) cuando se conocen o suponen los valores de la otra u otras variables independientes Este tcnica se aplicar cuando la variable a pronosticar Y no est en funcin del tiempo. Consideraremos el caso en que la curva de regresin de Y sobre X sea lineal.

REGRESIN LINEAL SIMPLE.

La regresin linial simple comprende el intento de desarrollar una lnea recta o ecuacin matemtica que describe la relacin entre dos variablesEn este modelo la variable a predecir Y est en funcin de una sola variable independiente X que no es de tiempo y la ecuacin matemtica que se usar ser la siguiente:

Y = A + B X

A esta expresin se le conoce como la ecuacin de la lnea de regresin .

Donde A y B son coeficientes de regresin.A = a la altura de la recta , a este nmero se le llama ordenada al origen o intercepcin. B = pendiente o inclinacin de la recta de regresinX = es la variable independiente, que representa el valor o perodo para el cual se prepara el pronstico de Y Y = Valores reales recopilados.

Hacer una regresin lineal es encontrar los valores de A y B adecuados. Estos valores se encuentran por el criterio que se llama de los mnimos cuadrados. Este criterio da como resultado una lnea recta que minimiza el cuadrado de las distancias verticales de cada observacin a la lnea.

Representa un mtodo para pronosticar demandas futuras a mediano y largo plazo , en donde la demanda presenta tendencia constante, ascendente o descendente con variaciones irregulares.

Para el calculo de los valores de A y de B se usan las siguientes expresiones:

N x y - x y y - b xB = ---------------------------------- A = ------------------------- N x2 - ( x ) 2 N

N = nmero de perodos o datos recopilados.

EJEMPLO. El dueo de una distribuidora de automviles realiz un estudio, para determinar las relaciones en un mes determinado, entre el nmero de automviles vendidos en el mes por su distribuidora con el nmero de comerciales de un minuto sobre su distribuidora televisado localmente en ese mes.Durante el perodo de 6 meses anot los resultados que se muestran en la siguiente tabla .

mesesNmero de autos vendidosnmero de comerciales televisados

N1Y10X2

2155

3133

4186

5208

6257

a).- Utilice el mtodo de regresin lineal simple para encontrar una ecuacin que permita predecir las ventas de autos en funcin de los gastos de publicidad por el nmero de comerciales de un minuto transmitidos por televisin.b).- Cul deber ser el pronstico de ventas de autos si se pusieran por televisin 4 comerciales?

SOLUCIN.Primeramente hay que determinar la siguiente tabla de valores:

mesesNmero de autos vendidosnmero de comerciales

televisados

N1Y10X2XY20X 24

21557525

3133399

418610836

520816064

625717549

Sumas10131577187

Basndose en la informacin del cuadro anterior y usando las siguientes expresiones .N x y - x y y - b xB = ---------------------------------- A = ------------------------- N x2 - ( x ) 2 N

Calculamos los valores de A y de B En este problema N = 66 ( 577 ) - ( 31 ) ( 101) 3462 - 3131 331B = -------------------------------------- = --------------------- = ------------- = 2.056 ( 187 ) - ( 31 ) 2 1122 - 961 161

101 - ( 2.05 ) ( 31 ) 101 - 63.55 37.45A = --------------------------------------- = ------------------------- = ------------- = 6.246 6 6

sustituyendo los valores de A = 6.24 y de B = 2.05 en la expresin:

Y = A + B X

Tendremos la ecuacin de la lnea de regresin lineal Y = 6.24 + 2.05 X

La cul nos permitir pronosticar las ventas de automviles en funcin del nmero de anuncios comerciales de un minutos transmitidos por la TV.

b),. Sustituyendo en la ecuacin obtenida en el inciso anterior el valor de x = 4, obtendremos el pronstico de autos si se pusieran 4 anuncios comerciales en la TV.

Y = 6.24 + 2.05 ( 4 ) = 14.44 automviles

REGRESIN LINEAL MLTIPLE.

En este modelo la variable a predecir Y est en funcin de 2 o ms variables independientes X, y la ecuacin matemtica que se utilizar ser la siguiente :

Y = a + b 1 X 1 + b 2 X2

Para el clculo de los valores de a, b 1 y b 2 se utilizan las siguientes ecuaciones normales:

1) a N + b 1 X 1 + b 2 X 2 = Y22) a X 1 + b 1 X 1

+ b 2 X 1 X 2 = X 1 Y3) a X 2 + b 1 X 1 X 2 + b 2 X 2 2 = X 2 Y

De tal manera que al resolver estas 3 ecuaciones por el mtodo de determinantes tendremos que los valores de a , b 1 y b 2 siguiendo el siguiente procedimiento:

1.- Se calcula el determinante general DG.2.- Se calcula el valor de A.A3.- Se calcula el valor de a con a = ----------DG4.- El siguiente paso es calcular el va lor de B 1B 15.- En seguida se obtiene el valor de b 1 con b 1 = --------DG

6.- Para calcular el valor que nos falta de b 2 , los valores d e a y b 1 ya conocidos se sustituyen encualquiera de las 3 ecuaciones iniciales, y por despeje se obtiene el valor de b 2.7.- Por ltimo se obtiene la expresin matemtica con la que se calcularn los pronsticos futuros en funcin de las va riables independientes X 1 y X 2Dicha expresin matemtica se determina sustituyendo los valores respectivos de a, b 1 y b 2 en laecuacin:

Y = a + b 1 X 1 + b 2 X 2

EJEMPLO.- El dueo de una distribuidora de automviles realiz un estudio, para determinar las relaciones en un mes determinado, entre el nmero de automviles vendidos en el mes por su distribuidora con el nmero de comerciales de un minuto sobre su distribuidora televisado localmente y por nmero de vendedores contratados por la empresa en ese mes .Durante el perodo de 6 meses anot los resultados que se muestran en la siguiente tabla.

meses Nmero de nmero de Nmero deautos vendidoscomerciales televisadosvendedores contratados

NYX1X2

13032

25054

34023

42562

53045

64076

a).- Utilice el mtodo de regresin lineal mltiple para encontrar una ecuacin que permita predecir las ventas de autos en funcin de los gastos de publicidad por el nmero de comerciales de un minuto transmitidos por televisin y por el nmero de vendedores contratados.b).- Cul deber ser el pronstico de ventas de autos si se pusieran por televisin 5 comerciales y secontrataran 7 vendedores?

SOLUCIN.

a).- Primeramente h ay que determinar la siguiente tabla de valores:

meses Nmero de nmero de Nmero de autos vendidos comerciales vendedores televisadoscontratados

N Y X1 X2 X1Y X2Y X1 X 2 X1 2 X 2 2

1 30 3 2 90 60 6 9 42 50 5 4 250 200 20 25 163 40 2 3 80 120 6 4 94 25 6 2 150 50 12 36 45 30 4 5 120 150 20 16 256 40 7 6 280 240 42 49 36

Sumas 215 27 22 970 820 106 139 94

La sumatoria de valores determinados en este cuadro, se s ustituyen en las ecuaciones normales para la regresin lineal mltiple para dos variables independientes X 1 y X 2.

1)a N+b 1X 1+b 2 X 2=Y

2)aX 1+b 1X 12+b 2 X1 X 2=X1Y

3)aX 2+b 1X 1 X 2+b 2 X 2 2=X2 Y

1) a ( 6 ) + b 1 ( 27 ) + b 2 ( 22 ) = 2152 a ( 27 ) + b 1 ( 139 ) + b 2 ( 106 ) = 9703) a ( 22 ) + b 1 ( 106 ) + b 2 ( 94 ) = 820

Posteriormente se procede a resolver este sistema de ecuaciones por medio del mtodo de determinantes, para ello, haremos uso del siguiente procedimiento:

1.- Se calcula el determinante general DG tomando cada uno de los valores conocidos de las tres primeras columnas de las ecuaciones normales :

62722627

DG =2713910627139 = ( 6 ) ( 139 ) ( 94 ) + ( 27 ) ( 106 ) ( 22 ) + ( 22 ) ( 27 )( 106 )

221069422106

- ( 22) ( 139 ) (22 ) - ( 106 ) ( 106 ) (6 ) - ( 94 ) ( 27 ) ( 27 )

DG = 78396 + 62964 + 62964 - 67276 - 67416 - 68526 = 1106

2.- Se calcula A , para ello nos ubicamos en la ecuaciones normales y los valores conocidos de la primera columna se cambian por los valores conocidos de la cuarta columna y se vuelven a repetir los valores conocidos de la segunda y de la tercera columna anotando stos de la siguiente manera:

215272221527

A = 970139106970139 = ( 215 ) ( 139 ) ( 94 ) + ( 27 ) ( 106 ) ( 820 ) + ( 22 ) ( 970 )( 106 )

82010694820106

- ( 820) ( 139 ) (22 ) - ( 106 ) ( 106 ) (215 ) - ( 94 ) ( 970 ) ( 27 )

A = 2809190 + 2346840 + 2262040 - 2507560 - 2415740 - 2461860 = 32910A 329103.- se calcula el valor de a con a = --------= ----------------= 29.75

DG1106

4.- Se calcula B 1 , para ello nos ubicamos en la ecuaciones normales y los valores conocidos de la segunda columna se cambian por los valores conocidos de la cuarta columna y se vuelven a repetir los valores conocidos de la primera y de la tercera columna anotando stos de la siguiente manera:

6215226215

B 1 =2797010627970= ( 6 ) ( 970 ) ( 94 ) + ( 215 ) ( 106 ) ( 22 ) + ( 22 ) ( 27 )( 820 )

228209422820

- ( 22) ( 970 ) (22 ) - ( 820 ) ( 106 ) (6 ) - ( 94 ) ( 27 ) ( 215 )

B 1 = 547080 + 501380 + 487080 - 469480 - 521520 - 545670 = - 1130

B 1 - 11305.- en seguida se obtiene el valor de b 1 con b 1 = ------------- = -------------- = - 1.02DG 11066.- Para calcular el valor que nos falta de b 2 , los valores de a = 29.75 y b 1 = - 1.02 se sustituyen en cualquiera de las 3 ecuaciones iniciales, y por despeje se obtiene el valor de b 2. En este caso haremos uso de la primera ecuacin normal .

1) ( 29.75 ) ( 6 ) - ( 1.02 ) ( 27 ) + b 2 ( 22 ) = 215

215 - ( 29.75 ) ( 6 ) + ( 1.02 ) ( 27 ) 215 - 178.50 + 27.54 64.04b 2 = --------------------------------------------------- = ----------------------------------- = --------------- = 2.9122 22 227.- Por ltimo se obtiene la expresin matemtica con la que se calcularn los pronsticos futuros de las ventas de automviles en funcin de los anuncios comerciales en TV ( X1 ) y del nmero de vendedores contratados ( X 2 ) .Dicha expresin matemtica se determina sustituyendo los valores de a = 29.75 , b 1 = - 1.02 y b 2 = 2.91 en :

Y = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 , entonces: Y = 29.75 1.02 X 1 + 2.91 X 2

b).- Cul deber ser el pronstico de ventas de autos si se pusieran por televisin 5 comerciales y se contrataran 7 vendedores? Para contestar esta pregunta en la ecuacin anterior se sustituyen los valores de X 1 = 5 y X 2 = 7

Y = 29.75 - 1.02 ( 5 ) + 2.91 ( 7 ) = 29.75 - 5.1 + 20.37 = 45.02 automviles

IV CONTROL DEL PRONSTICO

Una vez que se ha hecho el pronstic o, es necesario que continuamente estemos comparando el pronstico con la demanda real y que emprendamos la accin necesaria para corregir el pronstico cuando en la demanda haya habido cualquier cambio estadsticamente importante, tambin tenemos que dete rminar la causa o causas de dichos cambios de la demanda. El momento para hacerlo es inmediatamente despus de que se haya producido el cambio, no al ao siguiente ni cinco aos despus.

Las formas ms sencillas de instrumentos de control son las GRFICAS DE CONTROL ESTADSTICO que se emplean en el control de calidad.

Una de stas grficas que se puede utilizar cuando se dispone solamente de una cantidad mnima de datoses la grfica de escala mvil

Esta compara los cambios de la demanda habidos de un perodo hastael siguiente, con las variaciones irregulares esperadas de la demanda.La escala mvil es el valor absoluto de la diferencia en las demandas de perodos sucesivos por ejemplo: silas demandas reales de los meses de ENERO y FEBRERO de 1999 fueron de 105 y 120 respectivamente, entonces la escala mvil ( EM ) para ENERO - FEBRERO es 105 - 120 = 15

La GRAFICA DE ESCALA MOVIL se construye de la siguiente manera:

1.- Se recopila la informacin de la serie de tiempo, se elabora la grfica de estos datos y Se define el modelo o la tcnica del pronstico que se va a aplicar.2.- Se determinan los valores de escala movil ( EM ) EM3.- Se calcula la escala mvil promedio ( EM ) , mediante la expresin EM = ------------ N - 1N = numero de datos reales recopilados

4.- Se calculan los lmites Superior ( LSC ) e Inferior ( LIC ) del control del pronstico, con : LSC = 2.66 X EM LIC = - 2.66 X EM5.- Se determina el pronstico para cada perodo de tiempo. Y se determina el error del pronstico para cada uno de los perodos de tiempo . ERROR = DEMANDA REAL - DEMANDA PRONOSTICADA

6.- Se construye posteriormente la grfica de escala mvil para el control del pronstico, sealando y uniendo en ella los puntos de los valores hallado en el paso anterior y los lmites de control hallados en el paso 4 .

Tiene que haber cuando menos 10 y preferentemente 20 valores de EM que se empleen para determinar los lmites de control. Estos lmites se fijan de manera que solo quepa esperar que 3 puntos de entre 1000 caigan fuera de los lmites, y ello debido solamente al azar. As, si un punto se encuentra fuera de los lmites de control, debemos hacer una in vestigacin preliminar para haber si ha habido algn cambio manifiesto en el sistema de causas base de la demanda. Tambin sirve de advertencia de que debemos vigilar muy estrechamente este producto. Si otro punto va a dar tambin fuera de los lmites de control, debe procederse a ser una investigacin detallada respecto a la causa de tal acontecimiento.

Si todos los puntos trazados caen dentro de los lmites de control, es por lo general seguro dar por supuesto que tenemos las ecuaciones correctas para el pronstico.

Si todos los puntos caen fuera de los lmites, no tenemos las ecuaciones correctas para el pronstico, y por lo tanto, hay que revisarlas de acuerdo con ello.

ING. RAMN MORALES HIGUERAPgina 40