Trabajo 2 Unidad 2

CONTROL DIGITAL, DEBER NO. 2, JULIO 2015 1

Diseno de Controladores Digitales en forma directaJoselyn Gallegos, Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPE

Abstract—En el presente articulo se muestra el diseno de doscontroladores el primero de orden tres y el segundo de ordencuatro, se realiza el analisis de dichos controladores con ayuda deMatlab, variando varios parametros como el tiempo de muestreo(T ), el ındice de amortiguamiento (ξ) y la frecuencia natural noamortiguada (ωn)

I. Primer Controlador Digital1. En el sistema de la figura disene el controlador digital

de forma directa de manera que los polos dominantesdel sistema tengan una frecuencia natural no amor-tiguada ωn = 2rad/seg, ξ = 0.7. Utilice T = 0.1como periodo de muestreo nominal. De ser necesarioutilice polos complementarios no dominantes en laconformacion de la ecuacion caracterıstica.

Teniendo la Funcion de la planta:

gs =10

s2 + 2s(1)

Y la Funcion del controlador:

gs =s0z + s1z + r

(2)

Se discretiza la planta, obtienendo la funcion de trans-ferencia

gz =b1z + b2

z2 + a1z + a2(3)

gz =0.0468z + 0.0438

z2 − 1.819z + 0.8187

Con la planta discretizada y la forma del controlador seforma la primera ecuacion

∆1 = (z2 + a1z + a2)(z + r) + (b1z + b2)(z2 + a1z + a2) (4)

La segunda ecuacion es:

∆2 = z3 + d1z2 + d2z + d3 (5)

Al igualar las ecuaciones (4) y (5) se obtiene el sistemade ecuaciones que se plantea a continuacion como unaecuacion de matrices b1 0 1

b2 b1 a10 b2 a2

s0s1r

=

d1 − a1d2 − a2d3

(6)

En donde la primera matriz la conforman los coeficientesde la planta, la segunda matriz esta formada por loscoeficientes del controlador y la tercera matriz estaformada por los coeficientes del diseno

Para calcular los polos dominantes en el plano ”s” seusa la siguiente ecuacion:

p1 = −ξωn + jωn

√1 − ξ2 (7)

p2 = −ξωn − jωn

√1 − ξ2 (8)

Reemplazando los datos de diseno proporcionados en elenunciado en las ecuaciones (7) y (8) se obtiene los dospolos dominantes

p1 = −1.4 + j1.428 (9)p2 = −1.4 − j1.428

Pasando estos polos al plano ”z” mediante la relacion

z = esT (10)

se obtiene los dos polos dominantes en z:

z1 = 0.8605 + j0.1237 (11)z2 = 0.8605 + j0.1237

Dado que la ecuacion (5) es de tercer orden, es necesarioaumentar un polo no dominante, el cual debe ser almenos 10 veces la parte real de los polos imaginarios.

p3 = −10ωnξ (12)p3 = −10 ∗ 2 ∗ 0.7

p3 = −14

Al ingresar estos datos en Matlab se obtienen las graficastanto de la planta sin controlador como de la planta concontrolador.


1.1 Modifique el periodo de muestreo a T = [0.5,1].Analice la sensibilidad del periodo de muestreoen su diseno.

• Con T=0.5 seg

• Con T=0.6 seg

• Con T=0.7 seg

• Con T=0.8 seg

• Con T=0.9 seg

• Con T=1 seg

1.2 Utilizando el esquema de la figura 2, realicela programacion del software para la imple-mentacion del controlador digital, con sus val-ores nominales.

La funcion implementada en Matlab es la sigu-iente:function m=cdig1(x);global ek1;global mk1;yk=x(1);sp=x(2);t=x(3);b0=x(4);b1=x(5);a1=x(6);if t==0

ek=sp-yk;


m=b0*ek;ek1=ek;mk1=m;

endif t>0

ek=sp-yk;m=-a1*mk1+b0*ek+b1*ek1;ek1=ek;mk1=m;

end

Teniendo como resultado la siguiente senal desalida

1.3 Analice la respuesta de salida de la planta; delcontrolado y el rechazo a las perturbaciones simodifica el valor de ωn a [1, 3] y luego el ındicede amortiguamiento a [0.5, 0.8].Manteniendo constante ξ = 0.7 y variando ωn =[1, 3]

• Para ωn = 1

– Funcion del controlador

– Senal de salida con perturbacion

– Senal de salida sin perturbacion

– Senal del controlador

• Para ωn = 2





• Para ωn = 3






Manteniendo constante ωn = 2 y variando ξ =[0.5, 0.8]

• Para ξ = 0.5





• Para ξ = 0.6






• Para ξ = 0.7





• Para ξ = 0.8





1.4 Analice la incidencia del polo complementarioal acercar o alejar a la parte real del polodominante en la respuesta del sistema.

• Senal de salida con el polo no dominante en−2.1


• Senal de salida con el polo no dominante en −7



II. SEGUNDO CONTROLADOR DIGITAL

2. Repita el punto 1 y sus analisis si ahora elcontrolador digital tiene la forma que se indica en

la figura 3.

Teniendo la Funcion de la planta:

gs =10

s2 + 2s

Y la Funcion del controlador:

gs =s0z

2 + s1z + s2z2 + (r − 1)z − r

(13)

Se discretiza la planta, obtienendo la funcion detransferencia

gz =b1z + b2

z2 + a1z + a2

gz =0.0468z + 0.0438

z2 − 1.819z + 0.8187

Con la planta discretizada y la forma del controladorse forma la primera ecuacion

∆1 = (z2 + a1z + a2)(z2 + (r − 1)z − r) + (14)(b1z + b2)(s0z

2 + s1z + s2) (15)

La segunda ecuacion es:

∆2 = z4 + d1z3 + d2z

2 + d3z + d4 (16)

Al igualar las ecuaciones (4) y (5) se obtiene elsistema de ecuaciones que se plantea a continuacion

como una ecuacion de matrices

b1 0 0 1b2 b1 0 a1 − 10 b2 b1 a2 − a10 0 b2 −a2

s0s1s2rEndondelaprimeramatrizlaconformanloscoeficientesdelaplanta, lasegundamatrizestaformadaporloscoeficientesdelcontroladorylaterceramatrizestaformadaporloscoeficientesdeldisenoParacalcularlospolosdominantesenelplano”s”seusalasiguienteecuacion :to

p1 = −ξωn + jωn

√1 − ξ2

p2 = −ξωn − jωn

√1 − ξ2

Reemplazando los datos de diseno proporcionados en elenunciado en las ecuaciones (7) y (8) se obtiene los dos

polos dominantes

p1 = −1.4 + j1.428 (18)p2 = −1.4 − j1.428

Pasando estos polos al plano ”z” mediante la relacion

z = esT

se obtiene los dos polos dominantes en z: (18)

z1 = 0.8605 + j0.1237

z2 = 0.8605 + j0.1237

Dado que la ecuacion (5) es de cuarto orden, es necesarioaumentar dos polos no dominantes, los cuales deben ser al

menos 10 veces la parte real de los polos imaginarios.

p3 = −10ωnξ

p3 = −10 ∗ 2 ∗ 0.7

p3 = −14p4 = −14


Al ingresar estos datos en Matlab se obtienen las graficastanto de la planta sin controlador como de la planta con

controlador.

2.1 Modifique el periodo de muestreo a T = [0.5,1].Analice la sensibilidad del periodo de muestreoen su diseno.

• Con T=0.5 seg

• Con T=0.6 seg

• Con T=0.7 seg

• Con T=0.8 seg

• Con T=0.9 seg

• Con T=1 seg

2.2 Utilizando el esquema de la figura 2, realicela programacion del software para la imple-mentacion del controlador digital, con sus val-ores nominales.

La funcion implementada en Matlab es la sigu-iente:function m =cdig2(x)global ek1;global ek2;global mk1;global mk2;

yk=x(1);sp=x(2);t=x(3);

b0= x(4);b1=x(5);b2= x(6);a1= x(7)-1;a2= x(7);

if t==0ek=sp-yk;m=b0*ek;ek1=ek;mk1=m;

end


if t>0ek=sp-yk;m=b0*ek+b1*ek1+b2*ek2-a1*mk1+a2*mk2;ek2=ek1;ek1=ek;mk2=mk1;mk1=m;

endend

Teniendo como resultado la siguiente senal desalida

1.3 Analice la respuesta de salida de la planta; delcontrolado y el rechazo a las perturbaciones simodifica el valor de ωn a [1, 3] y luego el ındicede amortiguamiento a [0.5, 0.8].Manteniendo constante ξ = 0.7 y variando ωn =[1, 3]

• Para ωn = 1





• Para ωn = 2





• Para ωn = 3






Manteniendo constante ωn = 2 y variando ξ =[0.5, 0.8]

• Para ξ = 0.5





• Para ξ = 0.6






• Para ξ = 0.7





• Para ξ = 0.8





1.4 Analice la incidencia del polo complementarioal acercar o alejar a la parte real del polodominante en la respuesta del sistema.• Senal de salida con el polo no dominante en

−2.1





APPENDIX APROOF OF THE FIRST ZONKLAR EQUATION

Some text for the appendix.

ACKNOWLEDGMENT

The authors would like to thank...

REFERENCES

[1] H. Kopka and P. W. Daly, A Guide to LATEX, 3rd ed. Harlow,England: Addison-Wesley, 1999.

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