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Unidad 1Álgebra de matrices

Objetivos

Al nalizar la unidad, el alumno: • Conocerá qué es una matriz y cuáles son sus elementos. • Distinguirá los principales tipos de matrices. • Realizará operaciones básicas entre matrices. • Aplicará el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones mxn. • Aplicará el álgebra de matrices a la solución de problemas.

Matemáticas para negocios 9

Introducción

El estudio y solución de problemas de cualquier tipo, y en este caso los relacionados con los negocios, puede llevarse a cabo de múltiples formas; sin embargo, de manera generalizada suele decirse que para resolver alguno de estos problemas se requiere de tres etapas principales, siendo éstas: 1) Formulación del problema, por ejemplo, mediante un modelo matemático, 2) Solución del modelo matemático (problema) y 3) Implementación de la solución o mejora. Dado este escenario es entonces que para realizar de manera eciente el segundo paso mencionado nos disponemos a estudiar el álgebra de matrices, considerando desde las deniciones, hasta las operaciones básicas y también el método de Gauss-Jordan, todo lo cual se utilizará para resolver algunos modelos.

1.1. Matrices

Las matrices son arreglos rectangulares de números, algunas provienen de un sistema de ecuaciones lineales, en los que sólo se consideran los coecientes de las variables o los coeficientes y valores de las constantes tomando en cuenta su posición exacta dentro del sistema.

Un arreglo rectangular o matriz es de la forma:

=

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

mxn

m m mn

a a a

a a aA

a a a

(1)

donde los aij son escalares y se les denomina componentes o entradas de la matriz

los cuales se encuentran dispuestos en n columnas y m renglones o las. Se puede utilizar A

mxn para indicar la matriz o sólo el símbolo en letras mayúsculas .A El par

de números m × n nos dice el tamaño de la matriz a la cual también se le llama orden.

Denición 1.1.

10 Unidad 1 ▪ Álgebra de matrices

De lo anterior podemos decir que la primera la de la matriz A es (a11

, a12

, ... a1n

)

y la primera columna

11

21

1m

a

a

a

A partir de esto definiremos un vector renglón y un vector columna.

Un vector renglón de n componentes ordenados es de la forma:

(a1, a

2, …, a

n) (2)

Un vector columna de n componentes ordenados es de la forma:

1

2

n

b

b

b

(3)

Se presenta una matriz 3×2:

− − − −

1 5

2 3

5 7

Un vector renglón de cinco componentes: (5,4,3,2,1).

Y un vector columna de tres componentes:

−

15

5

12

Denición 1.2.

Denición 1.3.

Ejemplo 1


1.1.1. Tipos de matrices

a) Matrices cuadradas

Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de columnas y las. Una matriz cuadrada de n las y n columnas se dice que tiene orden n.

×

=

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

(4)

La diagonal principal de la matriz cuadrada = ijA a son las entradas 11 22, , , nna a a , esto es, donde =i j .

Ejemplo de una matriz cuadrada y los componentes de la diagonal principal.

7 1 5

6 4 8

1 3 2

y los componentes de la diagonal principal son 7, 4 y 2.

Las matrices cuadradas de acuerdo con el valor y la distribución de sus elementos se clasican como: Una matriz cuadrada

n n ijA a× = se denomina diagonal si todas las entradas fuera de la diagonal principal son cero.

11

22

33

0 0

0 0

0 0

c

c

c

(5)

Un caso especial de matriz diagonal es la llamada matriz identidad, en la que los elementos de la diagonal principal son 1.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(6)

Ejemplo 2

Denición 1.4.


Éste es un ejemplo de matriz diagonal diferente a la matriz identidad, ya que los elementos de la diagonal principal son todos diferentes a la unidad.

7 0 0

0 5 0

0 0 9

Una matriz cuadrada n n ijA a× = se denomina triangular superior si todas las

entradas abajo de la diagonal principal son cero.

11 12 13

22 23

33

0

0 0

c c c

c c

c

(7)

Éste es un ejemplo de matriz triangular superior.

7 3 8

0 5 1

0 0 9

Una matriz cuadrada n n ijA a× = se denomina triangular inferior si todas las

entradas arriba de la diagonal principal son cero.

11

21 22

31 32 33

0 0

0

c

c c

c c c

(8)

Éste es un ejemplo de matriz triangular inferior:

7 0 0

4 5 0

5 1 9

Ejemplo 3

Denición 1.5.

Ejemplo 4

Denición 1.6.

Ejemplo 5


Dos matrices A y B son iguales, es decir A = B, si tienen el mismo orden y todas

sus entradas correspondientes son iguales:

= 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

;

= 11 12 13

21 22 23

31 32 33

b b b

B b b b

b b b

; si =ij ija b entonces =A B . (9)

Éste es un ejemplo de dos matrices iguales:

=

7 6 8

4 5 2

5 1 9

A ;

=

7 6 8

4 5 2

5 1 9

B como =ij ija b , entonces =A B .

Con estas deniciones es posible establecer las bases de las operaciones con matrices y la manera de realizar las mismas.

b) Transpuesta

Una matriz particular es la transpuesta AT de la matriz A, si resulta de intercambiar las las por las columnas de la matriz A:

=

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

entonces su transpuesta es

=

11 21 1

12 22 2

1 2

m

mT

n n mn

a a a

a a aA

a a a

(15)

Debe notarse que si A es una matriz m × n, entonces AT es una matriz n × m. Además existen propiedades que la matriz transpuesta cumple:

Propiedades. Transpuesta de una matriz:

i) ( )+ = +T T TA B A B

ii) ( ) =TTA A

iii) ( ) =T TkA kA , k es un escalar.

iv) ( ) =T T TAB A B

Denición 1.7.

Ejemplo 6


3 2

1 2

3 4

5 6

A × =

entonces su transpuesta es 2 3

1 3 5

2 4 6TA ×

=

Una matriz cuadrada n n ijA a× = es simétrica si = TA A

Éste es un ejemplo de matriz simétrica:

Con = 1 2

2 1A se calcula

= 1 2

2 1TA y como = TA A , A es simétrica.

Una matriz cuadrada n n ijA a× = es antisimétrica si − = TA A

Éste es un ejemplo de matriz antisimétrica:

Con = −

0 2

2 0A se calcula

− = 0 2

2 0TA y

− − = 0 2

2 0A ; como − = TA A ,

A es antisimétrica.

1.2. Operaciones con matrices

Dado que las matrices son entidades matemáticas de gran utilidad, como los números por ejemplo, a continuación se presentan las operaciones que se pueden realizar entre matrices.

Ejemplo 7

Denición 1.8.

Ejemplo 8

Denición 1.9.

Ejemplo 9


1.2.1. Multiplicación por un escalar

La multiplicación o producto de un escalar k por una matriz A, representado por ⋅k A

o por kA es la matriz que se obtiene al multiplicar cada componente de A por k:

=

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

ka ka ka

ka ka kakA

ka ka ka

(10)

cabe mencionar que en todas las operaciones deben respetarse las leyes de los signos.También se dene –A = –1A.

Sea

51 2 1

2 3 7 2

1 2 3 4

1 2 3 4

2 4 6 8A

− − − − = − entonces,

( ) ( ) ( ) ( )( )

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − 51 2 12 3 7 2

2 1 2 2 2 3 2 4

2 1 2 2 2 3 2 42

2 2 2 4 2 6 2 8

2 2 2 2

A

Es decir

− − − − = − 1043 7

2 4 6 8

2 4 6 82

4 8 12 16

1 1

A

1.2.2. Suma de matrices

La suma de matrices sólo está denida para matrices del mismo tamaño, esto es, con el mismo número de columnas y renglones. Para explicar la suma de matrices necesitamos las matrices A y B del mismo tamaño:

=

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

y

=

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

b b b

b b bB

b b b

Ejemplo 10


La suma de matrices, denotada por A+B, es la matriz que se obtiene sumando las componentes correspondientes:

+ + + + + + + = + + +

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a b

a b a b a bA B

a b a b a b

(11)

Sean las matrices A y B:

= − 5 1

0 2A ;

− = 3 8

5 4B , entonces

+ + − − + = = + − + 5 3 1 ( 8) 8 7

0 5 2 4 5 2A B y

− − − − = = − − − − − 5 3 1 ( 8) 2 9

0 5 2 4 5 6A B

A continuación se presentan las propiedades básicas de las operaciones de multiplicación por un escalar y de la suma de matrices:

Propiedades. Multiplicación por un escalar y suma de matrices.

Del conjunto de todas las matrices, tomamos las matrices A, B y C y los escalares k

1 y k

2 cualesquiera, entonces se tiene que:

i) ( )+ + = + +( )A B C A B C

ii) ( )+ =0A A

iii) ( )+ − = 0A A

iv) + = +A B B A

v) ( )+ = +1 1 1k A B k A k B

vi) ( )+ = +1 2 1 2k k A k A k A

vii) ( ) ( )=1 2 1 2k k A k k A

viii) ⋅ =1 A A y ⋅ =0 0A

Ejemplo 11


1.2.3. Multiplicación de matrices

La multiplicación o producto de matrices denotado por ⋅A B , para su mejor comprensión, requiere partir del caso más sencillo que es el producto de un vector renglón por un vector columna, y al resolver éste, la metodología se repite en matrices de mayor tamaño.

Sea el vector renglón ( )= iA a y el vector columna ( )= iB b , entonces el producto interno está dado por:

( )1

21 2 1 1 2 2, ,..., n n n

n

b

bA B a a a a b a b a b

b

⋅ = = + + +

(12)

Cabe señalar que tanto el vector renglón A como el vector columna B tienen n elementos, por lo que el producto interno está denido.

Considera los siguientes vectores:

( )= − −1 23 75, 7, , 2,A y

= −

25

17

2

8

3

B , entonces

⋅ = −46.56A B , redondeado a dos decimales.

Con lo anterior podemos acercarnos de mejor manera a la multiplicación de matrices como sigue:

Multiplicación de matrices

Sea ( )= ijA a y ( )= ijB b dos matrices donde el número de columnas de A es igual al número de las de B; esto es, que A es una matriz m×p y B es una matriz p×n. Entonces la matriz AB = C es la matriz m×n, donde la componente

Ejemplo 12

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅− + − ⋅ = + − + + − + −1 2 1 2 2 1 23 5 7 7 15 7 75 2 7 8 2 3 10 56 2 3A B

Denición 1.10.


ij es la que se obtiene multiplicando la la i-ésima de A por la columna j-ésima de B:

A B = C

11 1

1

1

i i

m m

a a

a a

a a

p

p

p

11 1 1

1

j n

i j

p p j p n

b b b

b

b b b

=

11 1

1

n

ij

m mn

c c

c

c c

(13)

Donde 1 1 2 2ij i j i j ip pjc a b a b a b= + + + . Además se observa que A tiene p columnas y B p las tal como se requiere, en otro caso la multiplicación no está denida.

+ + + = + + + 0 1 2 0 0 1 1 2 2

0 1 2 0 0 1 1 2 2

t t t xt yh xt yh xt yhx y

h h h zt wh zt wh zt whz w

El orden en que se realiza cada operación se puede ver siguiendo la secuencia de los términos encerrados con cuadrados y los términos circulados. Así el componente c

11 se obtiene del producto del primer renglón de A con la primera

columna de B:

( ) = +

00 0

0

tx y xt yh

h

Obteniendo el resto de los componentes de manera similar.

Ahora otro ejemplo:

+ + + − = = − + + + − 2 6 1 2 1 (2)(1) (6)(3) (2)(2) (6)(0) (2)(1) (6)( 1)

4 3 3 0 1 (4)(1) (3)(3) (4)(2) (3)(0) (4)(1) (3)( 1)

+ + − − = = + + − 2 18 4 0 2 6 20 4 4

4 9 8 0 4 3 13 8 1

Ejemplo 13


También se debe destacar que la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, los productos AB y BA no son necesariamente iguales.

1.3. Solución de ecuaciones de orden m × n, mediante el método de Gauss-Jordan

Una de las herramientas más práctica y comúnmente utilizada para resolver sistemas de ecuaciones es el método de Gauss-Jordan; con el fin de comprender y aplicar dicho método, partiremos de la representación de sistemas de ecuaciones lineales en matrices y revisaremos los conceptos de matrices escalonadas y operaciones elementales entre las.

1.3.1. Sistemas de ecuaciones lineales: representación por matrices

Los sistemas de ecuaciones pueden representarse mediante matrices, donde lo importante son los coecientes del sistema de ecuaciones y su posición dentro del mismo. Para ejemplicar lo anterior se presenta la manera en la que se realiza tal representación matricial.

El sistema de ecuaciones lineales

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 1 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =+ + + =

(14)

Es equivalente a la ecuación matricial

=

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

o sólo =AX B (15)

Donde A es una matriz m×n, X y B son vectores columna. Con esta correspondencia entre el sistema de ecuaciones lineales (14) y la ecuación matricial (15) se observa


que la solución de la ecuación matricial también corresponderá a la solución del sistema de ecuaciones lineales.

De la ecuación matricial (15), la matriz A se conoce como la matriz de coecientes del sistema de ecuaciones (14) y a la siguiente matriz se le conoce como la matriz

aumentada del sistema de ecuaciones (14):

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

(16)

La cual se obtiene aumentando una última columna a la matriz de coecientes y escribiendo en esta última columna los términos independientes del sistema de ecuaciones.

Obtener las matrices de coecientes y aumentada del sistema de ecuaciones lineales:

+ − =+ − = −

− + + =1 2

1 2

7 11 2 9 3

3 2 1 7

4 1 3 5

2 8

n

n

n

x x x

x x x

x x x

(I)

La matriz de coecientes y aumentada del sistema de ecuaciones (I) son respectivamente:

− − − 79

3 2 1

4 1 3

2 8

y

− − − − 7 19 3

3 2 1 7

4 1 3 5

2 8

(I)

Se dice que un sistema =AX B es inconsistente si no tiene solución y que es consistente si el sistema tiene al menos una solución.

Ejemplo 14


1.3.2. Matrices escalonadas

Para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales a través del álgebra de matrices, se debe obtener matrices escalonadas y matrices escalonadas reducidas por renglones, por lo anterior se presenta la siguiente denición:Una matriz A escalonada es aquella que:

i) El número de ceros anteriores a la primera componente distinta de cero de una la crece la por la hasta llegar a las donde todos sus componentes sean ceros, si existen estos componentes.

ii) La primera componente distinta de cero de cada renglón es una componente distinguida del renglón y si es un número 1 se le llama pivote.

iii) En particular se llama matriz escalonada reducida por renglones o las, si las componentes distinguidas de la matriz todas son iguales a 1 y los elementos por arriba y por debajo del pivote son todos iguales a cero.

La matriz A es una matriz escalonada con componentes distinguidas subrayadas y la matriz B es una matriz escalonada reducida por renglones también con los pivotes subrayados.

=

3 1 2 5

0 0 2 8

0 0 0 4

0 0 0 0

A ;

1 0 0

0 1 3

0 0 0

B

=

El 3 es la primera componte distinta de cero del primer renglón, el 2 es la primera componente distinta de cero del segundo renglón y el número de ceros anteriores a este 2 aumentó respecto del primer renglón y así sucesivamente para los cuatro renglones de la matriz A, por lo tanto es una matriz escalonada. De igual forma se observa que la matriz B es una matriz escalonada reducida por renglones. Pero, ¿cómo se obtienen las matrices escalonadas reducidas por renglones? Esta pregunta se responde en la sección siguiente, donde se establecen las operaciones con las o renglones de una matriz para obtener la matriz escalonada reducida por renglones.

Ejemplo 15


1.3.3. Operaciones elementales entre renglones

Las operaciones elementales entre renglones o las de una matriz son: i) Multiplicar o dividir todo un renglón por un número diferente de cero. ii) Sumar o restar un múltiplo de un renglón a otro renglón. iii) Intercambiar dos renglones.

Para realizar la reducción por renglones de una matriz se utilizan las operaciones denidas bajo la siguiente notación: 1. →i iR kR El i-ésimo renglón se reemplaza por el mismo renglón

multiplicado por el escalar k.

2. → ±j j iR R kR El j-ésimo renglón se reemplaza por la suma (resta) del j-ésimo renglón y k veces el i-ésimo renglón.

3. →i jR R El i-ésimo renglón se intercambia con el j-ésimo renglón.

1. →i iR kR , se presenta la operación en varios pasos con nes de enfatizar la multiplicación del escalar con todos los componentes del mismo renglón.

2. → ±j j iR R kR , se presenta la operación en varios pasos con nes de enfatizar la suma (resta) y multiplicación del escalar con todos los componentes del mismo renglón.

→− →− − − − → − − − − − − → − −

2 2 1 1 2

133 5 3 51 1

2 4 4 4 4 4 4

7 71 13 9 3 9 3

3 2 1 7 3 2 1 7

1 3(1) 3( ) 3( ) 3( )

2 8 2 8

R R R R R

R

R

R

( ) ( ) ( ) ( )3 9 15 5 4314 4 4 4 4 4

3 9 15 3 9 154 4 4 4 4 4

7 71 19 3 9 3

3 3 2 1 7 0

3 3

2 8 2 8

− − − + + − − → − − − −

Ejemplo 16

( ) ( ) ( ) ( )→− − − − − → − − → − − − − −

12 24

1

3 51 1 1 1 12 4 4 4 4 4 4 4

7 7 71 1 13 9 3 9 3 9 3

3 2 1 7 3 2 1 7 3 2 1 7

4 1 3 5 4 1 3 5 1

2 8 2 8 2 8

R R

R

R

R


3. →i jR R , se presenta la operación en varios pasos con nes de enfatizar el intercambio de renglones:

→− − − → − − −

1 3

5 43 71 11 4 4 4 9 3

3 5 3 51 12 4 4 4 4 4 4

7 5 431 13 9 3 4 4 4

0 2 8

1 1

2 8 0

R R

R

R

R

1.3.4. Método de Gauss-Jordan

Método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la reducción por renglones de la matriz aumentada del sistema, una vez realizado esto, se obtienen las soluciones del mismo, recuperando directamente de la matriz escalonada el valor de las incógnitas del sistema. El método puede enunciarse como sigue:

i) Obtener la matriz aumentada del sistema =AX B . ii) Reducir la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por

renglones. iii) Obtener las soluciones del sistema.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales con el método de Gauss-Jordan:

− =− + =

2 6

2 9

x y

x y

i) Obtener la matriz aumentada del sistema =AX B . Se obtiene con los coecientes de cada variable y los términos independientes

de cada ecuación.

− − 1

2

1 2 6

2 1 9

R

R

ii) Reducir la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por renglones. Para reducir la matriz aumentada se utilizan las operaciones elementales

entre renglones:

→−→ +

→ +

− − − → → − − − − → −

12 232 2 1

1 1 2

1 2

2

2

1 2 6 1 2 6 1 2 6

2 1 9 0 3 21 0 1 7

1 0 8

0 1 7

R RR R R

R R R

R

R

Ejemplo 17


iii) Obtener las soluciones del sistema.

Para obtener las soluciones del sistema leemos de la matriz escalonada reducida por renglones que = −8x y = −7y , que son los valores que están localizados en la última columna de la matriz escalonada que les corresponde a los pivotes de x y y .


5 14

3 15 42

x y

x y

− = −− = −

i) Se obtiene la matriz aumentada del sistema AX = B

1 5 14

3 15 42

− − − −

ii) Se lleva a la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por renglones

2 2 13

1 5 14 1 5 14

3 15 42 0 0 0

→ −− − − − → − − R R R

iii) Se obtienen las soluciones del sistema

El nuevo sistema es: 5 14x y− = −Por lo tanto 5 14x y= − ty =Donde t es un parámetro que puede tomar cualquier valor.El sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones.


546

869

=−=−

yx

yx

Ejemplo 18

Ejemplo 19


i) Se obtiene la matriz aumentada del sistema AX = B

−−

546

869

ii) Se lleva a la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por renglones

−

− →

−− →

−− −→→

3

100

9

8

3

21

546

9

8

3

21

546

869122

11 69

1

RRRRR

iii) Se obtienen las soluciones del sistemaEl sistema no tiene solución. Se observa en la segunda ecuación que el sistema equivalente

tiene una inconsistencia, esto es:

3

100

9

8

3

2

−=−=−yx

yx

Cabe señalar que el estudio y práctica de los conceptos previamente revisados, sentarán las bases necesarias para el uso del álgebra de matrices y el método de Gauss-Jordan para la resolución de problemas; estas herramientas serán utilizadas en los capítulos siguientes, donde se resolverán problemas en el ámbito de la toma de decisiones apoyada en resultados cuantitativos de modelos matemáticos.

1.4. Aplicaciones a los negocios

En el área de los negocios se presentan una gran cantidad de problemas en los cuales la necesidad de obtener soluciones cuantitativas nos lleva a plantear modelos matemáticos. Resolver estos problemas, en ocasiones, implica encontrar la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Aun y cuando el planteamiento de los diferentes problemas generen muy variados sistemas de ecuaciones lineales, los métodos para encontrar su solución son los mismos, uno de ellos es el que abordamos en temas anteriores que es el de Gauss-Jordan y que retomaremos ahora para resolver problemas relacionados con los negocios.


Una situación común en los negocios es el cambio de divisas, ya que en la actualidad cualquier negocio con socios o tratos internacionales necesariamente deberá manejar equivalencias y cotizaciones de diferentes tipos de monedas.

En alguno de estos casos es necesario plantear sistemas de acuaciones lineales para su solución. Ejemplo 1. En un viaje de negocios se realizan las siguientes operaciones con dinero; se cambia 2960 pesos por dólares y euros, importe por el cual se reciben 160 euros y 80 dólares. Después, se cambian 4800 pesos y se reciben 200 euros y 200 dólares. ¿Es posible expresar cuál es la cotización del tipo de cambio del euro y del dólar mediante un sistema de ecuaciones lineales? Para expresar este planteamiento, primero se plantea el sistema de ecuaciones que modela la situación:Se dene x como el tipo de cambio del euro y y como el tipo de cambio del dólar. Entonces, las dos operaciones se establecen como:

+ =160 80 2960x y (1)

+ =200 200 4800x y (2)

Entonces la matriz aumentada del sistema de ecuaciones es:

160 80 2960

200 200 4800

Resolviendo el sistema de ecuaciones con el método de Gauss-Jordan, se tiene:

1 0 13

0 1 11

Es decir que el valor de las variables del sistema de ecuaciones son:

=13x

=11y

Lo cual quiere decir que el tipo de cambio para el euro es de 13 y de 11 para el dólar.

Un empleado recibió un bono por la cantidad de $14,800 el cual decidió invertir en dos diferentes instrumentos. Si el instrumento A le produjo un rendimiento de 4% mensual y el instrumento B un rendimiento de 6% mensual y si el empleado

Ejemplo 20


recibió $752 de intereses en total en el primer mes, ¿qué cantidad de dinero invirtió en cada uno de los instrumentos?

Si se definen a

x: cantidad de dinero a invertir en el instrumento A y: cantidad de dinero a invertir en el instrumento B

Podemos establecer la relación entre estas variables mediante el siguiente sistema de ecuaciones.

14800

0.04 0.06 752

x y

x y

+ =+ =

En la primera ecuación se establece que la suma de las cantidades invertidas en los dos diferentes instrumentos es igual a la cantidad total a invertir que es de $14,800.

En la segunda ecuación se establecen los rendimientos de cada uno de los instrumentos que en total producen $752 de intereses.

La matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones es:

1 1 14800

0.04 0.06 752

Resolviendo el sistema de ecuaciones con el método de Gauss-Jordan

de donde 8000

6800

==y

x

El empleado invirtió $6,800 en el instrumento A y $8,000 en el instrumento B.

En la siguiente sección se presenta una serie de ejercicios, desde las operaciones básicas con matrices hasta las aplicaciones a los negocios.

2 22 2 1

1 1 2

1

0.04 0.021 1 14800 1 1 14800 1 1 14800

0.04 0.06 752 0 0.02 160 0 1 8000

1 0 6800

0 1 8000

R RR R R

R R R

→→ −

→ −

→ → →


Ejercicios


Considera las siguientes matrices:

=

1 8 2

2 9 5

5 6 7

A ,

= − −

5 2 0

6 1 5

3 1 3

B ,

= − −

5 17 2

6 527 5 3

3 18 4

0

0

C , ( )= 3 2 1D ,

( )= 4 7 2E y = 5

1G


Realiza las siguientes multiplicaciones por escalares:

a) 3A

b) 12 A

c) −2C

d) − 25 B

e) 3C


Realiza las siguientes sumas:

a) +A A

b) +A B

c) −A B

d) +B C

e) −2 2A B


Realiza las siguientes multiplicaciones:

a) DA

b) EC

c) AB

d) BA


e) +( )D A C

f) EG

1.2.4. Transpuesta

Realiza en cada caso lo que se pide:

a) TA

b) ( )+ TA B

c) TB

d) ¿Es simétrica la matriz

=

8 10 3

10 4 2

6 2 14

H ?

e) ¿Es antisimétrica la matriz

− = − −

0 15 24

15 0 15

24 15 0

J ?

1.3. Solución de sistemas de orden m × n, mediante el método de Gauss-Jordan


Obtén las matrices de coecientes y aumentada de los sistemas de ecuaciones: a)

+ =− =

2 3 0

0

x y

x y

b) + =− =

2 3 5

7

x y

x y

c)

+ + =− + =+ − =

1 2 3

1 2 3

3 71 41 2 32 5 8 9

2 16

8 1

x x x

x x x

x x x

d)

+ + =− − − = −

+ + =1 2 3

1 2 3

1 2 3

11

10

2 3 5 7

x x x

x x x

x x x

e)

− + =− + − = −

+ + =

1 1 11 2 32 3 4

1 1 11 2 32 3 4

1 1 11 2 35 7 9

10

2

3

x x x

x x x

x x x



Indica cuáles son las componentes distinguidas y pivotes de las matrices: a)

1 0

0 1

b)

3 2 4

0 2 6

0 0 3

c)

1 2 0

0 1 6

0 0 0

d)

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

e)

− −

0 1 8 2 0 3 0

0 0 0 1 0 1 1

0 0 0 0 0 1 9

0 0 0 0 0 0 1


Realiza correctamente la operación entre renglones que se indica en cada inciso:

a) → → − −

11 15

1

2

3

5 2 0

6 1 5

3 1 2

R R

R

R

R

b) → − →

2 2 1

12

2

3

1 8 2

2 9 5

5 6 7

R R R

R

R

R

c)

→ → − → − → − → − → − −

7 31 1 3 3 15 8 2 3

5 11 7 2

6 5 6 5 6 52 2 22 7 5 3 7 5 3 7 5 3

3 31 13 8 4 8 4

0 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?

0 0 ? ? ? ? ? ?

R R R R R R R

R

R

R


d) Reduce por renglones las matrices:

i) − = − 2 1

3 3

2 4 12

3A

ii)

=

8 10 6

10 4 16

6 2 10

B


i) Obtener o contar con un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones y n incógnitas.

ii) Obtener la matriz aumentada del sistema =AX B

iii) Reducir la matriz aumentada a la forma escalonada reducida por renglones.

iv) Obtener las soluciones del sistema.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con el método de Gauss-Jordan:

a) − =

− + =53

6 2 0

5 0

x y

x y

b) + =+ =

8 7 30

5 4 18

x y

x y

c) − =

− + = −3

3 2 11

x y

x y

d)

− + =− + + =

+ + =1 2 3

1 2 3

1 2 3

10

3 2

4

x x x

x x x

x x x

e)

+ + =− + − =

+ + =1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 5 57

2 1 1

3 4 4 55

x x x

x x x

x x x



1. Un sábado por la noche, como dueño de una zapatería examinas los recibos de las ventas semanales. De acuerdo con el reporte se vendieron 300 pares de zapatos tenis de dos modelos diferentes cuyos precios son de $1,500 para el modelo A y de $1,250 para el modelo B. La máquina registradora falló y sólo se cuenta con el registro del número total de pares vendidos y del total de ingresos que fue de $406,250. Necesitas hacer un nuevo pedido a tu proveedor por lo que requieres determinar el número exacto de pares vendidos de cada modelo.

Resuelve el sistema de ecuaciones empleando el método de Gauss-Jordan.

2. Una exportadora de tres productos diferentes (x, y, z) trabaja en tres diferentes países (A, B, C) debido a esto sus productos tienen diferentes precios de venta en cada uno de los países. Los totales que la exportadora ha obtenido son de $310,000, $439,000 y $355,000 respectivamente. Los datos con los que se cuentan son: para el país A los precios son de $20, $35 y $72; en el país B de $40, $30 y $110; y en el país C de $10, $55 y $80; para los tres productos, respectivamente. ¿Cuántos productos de cada tipo se exportaron? Considera que la cantidad de productos de cada tipo es igual para los tres países.

3. Se propone un negocio con dos tipos de socios, mayoritarios y minoritarios. Y para tener un portafolios de inversión con dos instrumentos se requieren dos montos de $174,000 y $296,000, cada uno; sabiendo que en el monto menor los socios mayoritarios invierten $3,000 y los minoritarios $1,200 y que para el monto mayor $5,000 y $2,300, mayoritarios y minoritarios respectivamente, ¿cuál es la cantidad de socios de cada tipo que se requieren para poder realizar las dos inversiones simultáneamente?


Autoevaluación

1. Indica cuáles de las siguientes matrices son de orden 2×3.

=

1 5

0 1

0 0

A ;

− = −

4 3

6 12

1 9

B ; = 1 1 5

0 0 0C ;

=

x y

D z w

h q

; = 0 1 2

x y zE

h h h

a) 2 3C × , 2 3E × b) 2 3A × , 2 3D × c) 2 3B × , 2 3E × d) 2 3A × , 2 3B × e) 2 3C × , 2 3D ×

2. Es el resultado de −

1 14 241 3

:

a) −

1 116 8

314 4

b) −

1 18 16

3 14 4

c) −

4 12

1 2

d) −

3 14 4

1 18 16

e) −

1 2

4 12

3. Suma las matrices − = −

2 1

1 2A y

− = − 4 5

8 5B

a) − −

6 6

7 10

b) − − −

2 11

9 7

c) − −

6 6

7 10


d) − −

6 6

7 3

e) − −

6 6

7 3

4. Calcula la multiplicación de matrices ( ) − ⋅ − 1 1

2 35 7

a) −(13 19) b) −( 13 19) c) (13 19) d) − −( 13 19) e) La multiplicación no está denida.

5. ¿Cuál es el resultado de

⋅ = ⋅ − = − −

2 1 2 5 2 0

7 0 4 1 2 1

1 3 5 2 1 2

A B

a)

−

12 2 1

35 3 6

1 0 15

b)

− −

19 17 9

1 5 6

4 17 6

c)

−

24 5 18

17 2 5

1 4 10

d)

−

7 8 3

27 18 8

12 9 7

e)

− − −

15 2 1

43 3 6

5 2 9


6. Es la matriz transpuesta de

0 0

1 1

2 2

3 3

a w h t

b x h t

c y h t

d z h t

a)

1 0 2 3

1 0 2 3

b a c d

x w y z

h h h h

t t t t

b)

2 0 1 3

2 0 1 3

c a b d

y w x z

h h h h

t t t t

c)

0 1 2 3

0 1 2 3

a b c d

w x y z

h h h h

t t t t

d)

3 0 1 2

3 0 1 2

d a b c

z w x y

h h h h

t t t t

e)

0 2 1 3

0 2 1 3

a c b d

x w y z

h h h h

t t t t

7. ¿A cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales corresponde la

matriz aumentada

− −

1 8 2 10

5 1 5 12

2 7 1 10

?

a)

+ + =+ + =+ + =8 2 10

5 5 12

2 7 10

w x y

w x y

w x y

b)

+ − =+ + =

− + + =8 2 10

5 5 12

2 7 10

x y z

x y z

x y z


c)

− + + =+ + =+ − =

8 2 10

5 5 12

2 7 10

w x y

w x y

w x y

d)

+ − =+ + =

− + + =5 2 10

8 7 12

2 5 10

x y z

x y z

x y z

e)

− + + =+ + =+ − =

5 10

8 5 12

5 2 10

x y z

x y z

x y z

8. Resuelve el sistema de ecuaciones + =+ = −

− + =2

2 5

3 34

x y

x y

x y a) 7x = ; 9y = b) 7x = − ; 9y = − c) 7x = − ; 9y = d) 9x = − ; 7y = − e) 9x = − ; 7y = 9. Calcula la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

+ − =− + =

− + + =0 1 2

0 1 2

0 1 2

2 2 4 6

6 2 5 4

2 3 17

x x x

x x x

x x x

a) =0 2x ; =1 6x ; =2 1x

b) =0 6x ; =1 1x ; =2 2x

c) =0 1x ; =1 2x ; =2 6x

d) = −0 1x ; =1 2x ; =2 6x

e) =0 1x ; =1 6x ; =2 2x


Respuestas a los ejercicios



Realiza las siguientes multiplicaciones por escalares:

a) =3A

3 24 6

6 27 15

15 18 21

b) 12 A =

12

9 52 2

5 72 2

4 1

1

3

c) −2C =

107

1012 47 5 3

3 14 2

1 0

0

− − − − −

d) − 25 B =

− − − − − −

45

12 25 5

6 625 5 5

2 0

2

e) 3C =

− −

5 3 37 2

6 3 2 3 5 37 5 3

3 3 38 4

0

0


Realiza las siguientes sumas:

a) +A A =

2 16 4

4 18 10

10 12 14

b) +A B =

6 10 2

8 8 10

8 5 10


c) −A B =

− −

4 6 2

4 10 0

2 7 4

d) +B C =

− −

40 57 2

48 7 207 5 3

27 58 4

0

3

e) −2 2A B =

− −

8 12 4

8 20 0

4 14 8


Realiza las siguientes multiplicaciones de matrices:

a) DA =( )12 48 23

b) EC = ( )= −269 13 3528 10 3

c) AB =

− − −

59 8 46

79 10 60

82 3 51

d) BA =

9 58 20

29 69 42

16 33 22

e) +( )D A C =( )909 969 7956 20 3

f) Como se observa 1 3xE y 2 1xG , por lo tanto esta multiplicación no está denida.

1.2.4. Transpuesta

Realiza en cada caso lo que se pide:

a)

=

1 2 5

8 9 6

2 5 7

TA


b) ( ) + =

6 8 8

10 8 5

2 10 10

TA B

c)

= − −

5 6 3

2 1 1

0 5 3

TB

d) La matriz H no es simétrica.

e) La matriz J es antisimétrica.

1.3. Solución de sistemas de ecuaciones m × n, mediante el método de Gauss-Jordan


Obtén las matrices de coecientes y aumentada de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) − 2 3

1 1 y

− 2 3 0

1 1 0, respectivamente.

b) − 2 3

1 1 y

− 2 3 5

1 1 7, respectivamente.

c)

− − 3 712 5 8

2 1 1

1 1 8 y

− − 3 71 42 5 8 9

2 1 1 16

1 1 8 1

d)

− − −

1 1 1

1 1 1

2 3 5

y

− − − −

1 1 1 11

1 1 1 10

2 3 5 7

e)

− − −

1 1 12 3 4

1 1 12 3 4

1 1 15 7 9

y

− − − −

1 1 12 3 4

1 1 12 3 4

1 1 15 7 9

10

2

3



Indica cuáles son las componentes distinguidas o pivotes de las matrices: a)

1 0

0 1

b)

3 2 4

0 2 6

0 0 3

c)

1 2 0

0 1 6

0 0 0

c)

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

d)

− −

0 1 8 2 0 3 0

0 0 0 1 0 1 1

0 0 0 0 0 1 9

0 0 0 0 0 0 1


Realiza correctamente la operación entre renglones que se indica en cada inciso:

a) →

→ − − 1

1 15

1

2

3

5 2 0

6 1 5

3 1 2

R R

R

R

R

− −

21 5

2

3

1 0

6 1 5

3 1 2

R

R

R

b) → − →

2 2 1

12

2

3

1 8 2

2 9 5

5 6 7

R R R

R

R

R

− 1

2

3

1 8 2

0 7 1

5 6 7

R

R

R


c)

d) Reduce por renglones las matrices:

i) 1 0 8

0 1 7

− − ii)

−

1 0 2

0 1 1

0 0 0


a) 40625012501500

300

=+=+yx

yx

b)

40625012501500

30011

c) x= 125 y=175 Se vendieron 125 pares del modelo A y 175 pares del modelo B.

a) =1x , = 3y b) = 2x , = 2y c) = 5x , = 2y

d) =1 4x , = −2 3x ; =3 3x

e) =1 1x , =2 5x ; =3 8x


1) x = 125; y = 175

2) = 2300x ; = 2400y ; = 2500z

3) 50 mayoritarios y 20 minoritarios en ambas inversiones.

7 31 1 3 3 15 8 2 3

5 7 7 711 7 2 10 10 10

6 5 6 5 6 52 2 2 412 7 5 3 7 5 3 7 5 3 80

3 3 6 51 1 41 23 8 4 8 4 80 7 5 3

0 1 0 1 0 1 0

0 0

0 0 0 0

R R R R R R R

R

R

R

→ → − → − → − → − → − − − − −


Respuestas a la autoevaluación

1. a) 2. e) 3. e) 4. b) 5. d) 6. c) 7. b) 8. c) 9. e)

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