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Espacios de Hardy

Gisela Clemente

22 de abril de 2017

ÍNDICE Análisis Funcional

Índice

1. Introducción 3

2. Preliminares 4

2.1. Funciones en el toro, series y coe�cientes de Fourier . . . . . . . . . 42.2. Interpolación y aproximación de la identidad . . . . . . . . . . . . . 11

3. Espacios de Hardy 17

3.1. Introducción a los espacios de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Límites radiales y la integral de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3. Factorización en H1(D) y productos de Blaschke . . . . . . . . . . 24

4. El shift unilateral y factorización de funciones. 30

4.1. Isometrías. Los operadores shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2. Shifts unilateral y bilateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5. Subespacios invariantes y reductores. 46

5.1. Funciones internas y externas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Bibliografía 57

1

ÍNDICE Análisis Funcional

Agradecimientos

A Laura Epelbaum por su ayuda incondicional.

2

Introducción Análisis Funcional

1. Introducción

Dada una sucesión q = (qn)n>0 en l2, su correspondiente forma de Hankel l2 × l2(en principio, de�nida para sucesiones de soporte �nito) está dada por

H(a, b) =∞∑

j,k=0

ajbkqk+j.

Estas formas se pueden pensar también como operadores bilineales en H2(T) ×H2(T), donde H2(T) es el espacio de Hardy en el toro T, formado por las funcionesen L2(T) cuyos coe�cientes de Fourier negativos son cero. Para esto, identi�camoslas sucesiones (aj) en l2 con funciones f =

∑ane

int. Si consideramos entoncesla función ψ(t) =

∑∞n=0 qne

int, la forma de Hankel en H2(T) × H2(T) se puedeexpresar en términos de la siguiente integral

H(f, g) =

∫f(t)g(t) ¯ψ(t)dt.

En el primera sección de este trabajo, presentamos algunas nociones básicas deanálisis armónico como preliminares a lo que trabajaremos en los capítulos subsi-guientes.

En el segunda sección introducimos los espacios de Hardy Hp(D) y Hp(T) y proba-mos una serie de resultados que apuntan a demostrar un Teorema de factorizaciónpara funciones de H1(D) como producto de funciones en H2(D). Luego, a partirde este resultado, probamos que existe una isometría entre los espacios Hp(D) yHp(T).

Por último, se estudiará el shift unilateral, uno de los operadores más interesantes.El estudio de los subespacios invariantes de este operador conduce naturalmente auna factorización de las funciones en H2.

Veremos, además, que todos los subespacios invariantes del shift unilateral puedenser explícitamente descriptos como subespacios de H2.

3

Funciones en el toro, series y coe�cientes de Fourier Análisis Funcional

2. Preliminares

En esta sección introducimos algunas nociones básicas de análisis armónico, de�ni-mos la transformada de Hilbert y la Proyección de Riesz y probamos dos Teoremasclásicos, el Teorema de aproximación de la identidad y el Teorema de interpolaciónde Marcinkiewicz, que nos serán de utilidad para demostrar los resultados de lassiguientes secciones.

2.1. Funciones en el toro, series y coe�cientes de Fourier

Comencemos por introducir la notación que usaremos a lo largo de este trabajo.

Notamos con D al disco unitario en el plano complejo, es decir

D{z ∈ C : |z| < 1};

y notamos con T al toro, esto es

T = {z ∈ C : |z| = 1}.

A las funciones de�nidas en T las vamos a identi�car con funciones de�nidas en[−π, π], 2π-periódicas vía:

f(t) = f(eit)

A partir de esta identi�cación, tenemos identi�cados también los espacios Lp(T)con Lp(−π, π), donde a ambos los consideramos con la medida de Lebesgue nor-malizada.

A partir de estas nociones, podemos introducir la siguiente de�nición:

De�nición 2.1. Sea f una función en L1(T), de�nimos para n en Z el n-ésimocoe�ciente de Fourier de f de la siguiente forma

f(n) =1

2π

∫ π

−πf(t)e−intdt.

4

De manera análoga podemos de�nir ahora el n-ésimo coe�ciente de Fourier parauna medida µ en el toro, boreliana y de variación acotada como

µ(n) =1

2π

∫ π

−πf(t)e−intdµ(t).

Vamos a de�nir también la serie de Fourier de una función f en L1(T), en prin-cipio, como la serie formal

∞∑n=−∞

f(n)eint

Observación 2.2. Si f es una función en L1(T) y n es un entero, entonces lafunción que asigna f → f(n) es lineal y se tiene

|f(n)| =∣∣∣ 1

2π

∫ π

−πf(t)e−intdt

∣∣∣ 6 ‖f‖1,

lo cual prueba además que es acotada.

Una herramienta importante que vamos a utilizar también a lo largo de este trabajoson los polinomios trigonométricos, que de�nimos a continuación.

De�nición 2.3. De�nimos los polinomios trigonométricos como las funciones Q(z)con z en T y de la forma

Q(z) =N∑

n=−N

cnzn,

donde N es un número natural.

Veamos ahora que los polinomios trigonométricos son densos en los espacios Lp(T)para 1 6 p < 1.

Proposición 2.4. Sea 1 6 p < 1, se tiene entonces que los polinomios trigonomé-tricos son densos en Lp(T).

5

Demostración. Por el Teorema de Stone-Weierstrass, resulta que los polinomiostrigonométricos son densos en C(T) con la norma del supremo. Como la conver-gencia uniforme implica convergencia en Lp(T) para 1 6 p < 1, el resultado dela proposición es inmediato entonces de observar que las funciones continuas sondensas en Lp(T) para 1 6 p < 1.

>

Además de los polinomios trigonométricos en general, nos van a resultar de particu-lar interés las sumas parciales de la serie de Fourier de una función f , que de�nimosa continuación.

De�nición 2.5. De�nimos para una función f en L1(T) la suma parcial SNf dadapor

SNf(t) =∑|n|6N

f(n)eint.

Observación 2.6. Las funciones eint, n ∈ Z forman un conjunto ortonormal enL2(T). En efecto

1

2π

∫ π

−πeinteimtdt =

1

2π

∫ π

−πeinteimtdt = δn,m.

De�nición 2.7. De�nimos el subespacio de los polinomios trigonométricos de gra-do menor o igual a N como

VN = {PN ∈ L2(−π, π) : PN(t) =N∑

n=−N

aneint, an ∈ C}

Tenemos entonces la siguiente propiedad

Proposición 2.8. SNf es la proyección ortogonal de f sobre VN , es decir, SNfpertenece a VN y para todo PN ∈ VN se tiene

1

2π

∫ π

−π(f − SN(f))PNdt = 0

6


Demostración. Es claro a partir de la de�nición que SNf pertenece a VN . Paracompletar la prueba veamos que f − SNf es ortogonal a las funciones eikt para|k| 6 N . En efecto,

1

2π

∫ π

−π(f(t)− SN(f))e−iktdt =

1

2π

∫ π

−πe−iktdt− 1

2π

N∑n=−N

∫ π

−πf(n)einte−iktdt = 0

Como las funciones eikt son una base de VN , se tiene lo que queríamos.

>

Corolario 2.9. A partir de la Proposición (2.8) es inmediato que para todo PNen VN vale que

‖f − PN‖22 = ‖f − SNf‖2

2 + ‖SNf − PN‖22

En particular, resulta que SNf es la mejor aproximación de f en el subespacio VN ,es decir,

‖f − SNf‖2 6 ‖SNf − PN‖2

para todo PN en VN .

Observación 2.10. Si PN es un polinomio trigonométrico en VN ,

PN =∑|n|6N

aneint,

entonces

‖PN‖22 =

N∑n=−N

|an|2. (1)

Esta igualdad es inmediata de la ortogonalidad de las funciones eint.

Estamos ahora en condiciones de probar el siguiente resultado.

7

Teorema 2.11. Sea f una función en L2(−π, π), entonces SNf → f en L2(−π, π).

Demostración. Sean f una función en L2(−π, π) y ε > 0. Por la Proposición (2.4)existenM0 = M0(ε) y PM0 un polinomio trigonométrico en VM0 tal que ‖f−PM0‖2 <ε. Entonces, si N >M0, resulta que PM0 ∈ VN y por el Corolario (2.9) tenemos

‖f − SNf‖2 6 ‖f − PM0‖2 < ε.

Luego SNf → f en L2(−π, π) como queríamos. >

A partir de este resultado identi�camos a las funciones en L2(T) con su serie deFourier. Observemos además que como ‖SNf‖2 → ‖f‖2 tenemos la igualdad deParseval

‖f‖22 =

∞∑n=−∞

|f(n)|2.

Estamos ahora en condiciones de de�nir la transformada de Hilbert y la proyecciónde Riesz en para funciones en L2(T).

De�nición 2.12. Dada una función f en L2(T), f ∼∑f(n)eint, de�nimos la

transformada de Hilbert de f como

Hf(t) =∞∑

n=−∞

(−i)sg(n)f(n)eint. (2)

de�nimos la proyección de Riesz de f como

P+(f) =∞∑n=0

f(n)eint. (3)

Observación 2.13. La proyección de Riesz y la transformada de Hilbert se rela-cionan a partir de la siguiente igualdad

P + f =f +Hf

2+f(0)

2(4)

8

Veamos que la transformada de Hilbert está bien de�nida como un operador deL2(T) en L2(T). En efecto, si f es una función en L2(T), N , M ∈ N , N > M , setiene que∥∥∥∥ N∑n=−N

(−i)sg(n)f(n)eint −M∑

n=−M

(−i)sg(n)f(n)eint∥∥∥∥2

2

=

∥∥∥∥ N∑M<|n|6N

(−i)sg(n)f(n)eint∥∥∥∥2

2

=N∑

M<|n|6N

|(−i)sg(n)|2|f(n)|2

6∑M<|n|

|f(n)|2.

Como ‖f‖22 =

∑|f(n)|2, se tiene que∑

M<|n|

|f(n)|2 → 0, (M →∞).

Dado que el espacio L2(T) es completo, esto prueba que la serie

∞∑n=−∞

(−i)sg(n)f(n)eint,

de�ne una función en L2(T). Por lo tanto, H está bien de�nido como operador deL2(T) en L2(T). Más aún, de la igualdad (2.13) , se desprende la buena de�niciónde la proyección de Riesz como operador de L2(T) en L2(T). El siguiente Teoremanos permitirá extender la transformada de Hilbert a un operador acotado de Lp(T)en Lp(T).

Teorema 2.14. Sea 1 0 tal que para toda fen C∞(T) se tiene

‖Hf‖p 6 Ap‖f‖p.

Corolario 2.15. La transformada de Hilbert y la proyección de Riesz se extiendena operadores acotados de Lp(T) en Lp(T).

Demostración. En el caso de la transformada de Hilbert, el resultado es conse-cuencia del Teorema (2.14) y de la densidad de las funciones C∞ en Lp(T) para

9

1 

Veamos ahora que a partir de este resultado, podemos extender el Teorema (2.11)a los espacios Lp(T) para 1 < p < ∞, es decir, que SNf → f en Lp(T). Para ello,vamos a probar necesitar la siguiente Proposición.

Proposición 2.16. Sea 1 0 independiente de N y de f tal que

‖SNf‖p 6 C‖f‖p (5)

Demostración. Sea 1 0 talque se cumple (6) . Dados ε > 0 y f en Lp(T) sabemos que existen M0 en N y unpolinomio trigonométrico PM en VM tal que ‖f − PM‖p 6 ε Entonces, si N >M0,como SN(PM) = PM tenemos

‖f − SNf‖p 6 ‖f − PM‖p + ‖SN(f − PM)‖p6 (1− C)‖f − PM‖p6 (1− C)ε.

Para ver la otra implicación, supongamos ahora que SNf → f para toda f enLp(T). Entonces ‖SNf‖p 6 C(f) para todo N . Tenemos entonces, por el principiode acotación uniforme, que existe una constante independiente de f y de N tal que‖SNf‖p 6 C‖f‖p.

>

Estamos ahora en condiciones de probar el siguiente Teorema:

Teorema 2.17. Sea 1 < p <∞, entonces SNf → f para toda f en Lp(T).

10

Interpolación y aproximación de la identidad Análisis Funcional

Demostración. Dada f en Lp(T), se tiene que

e−imtP+(eimtf) ∼∞∑n=0

f(n−m)ei(n−m)t =∞∑

n=−m

f(n)eint

Se sigue entonces que

SN(f) = eiNtP+(eintf)− ei(N+1)tP+(e−i(N+1)tf)

Por lo tanto,‖SNf‖p 6 2‖P+‖Lp(T)→Lp(T)‖f‖p 6 C‖f‖p.

Por la Proposición (2.16) resulta que SN → f en Lp(T) para toda f en Lp(T), comoqueríamos probar. >

2.2. Interpolación y aproximación de la identidad

Para �nalizar la sección, vamos a probar dos Teoremas que nos serán de utilidadmás adelante.

Comencemos por de�nir una aproximación de la identidad en T

De�nición 2.18. Una aproximación de la identidad en T (con parámetro ε → 0)es una familia de funciones kε en L

1(T) con las siguientes propiedades:

(i) Existe una constante c > 0 tal que ‖kε‖1 6 c para todo ε > 0.

(ii) 12π

∫ π−π kε = 1 para todo ε > 0.

(iii) Para todo δ > 0 se tiene que 12π

∫δ<|t|<π |kε(t)|dt→ 0 si ε→ 0.

Tenemos entonces el siguiente Teorema:

11

Teorema 2.19. (Teorema de aproximación de la identidad). Sea kε una aproxima-ción de la identidad en T. Se tiene:

(1) Si f es una función en Lp(T) con 1 6 p <∞, entonces ‖kε ∗ f − f‖p → 0 siε→ 0.

(2) Si f es una función continua en T, entonces ‖kε ∗ f − f‖∞ → 0 si ε→ 0.

Demostración. Comencemos por ver (1). Dada una función g continua en T, setiene para t, s en [−π, π] que

|g(t− s)− g(t)|p 6 (2‖g‖∞)p. (6)

Aplicando entonces el Teorema de convergencia dominada, obtenemos que∫ π

−π|g(t− s)− g(t)|pdt→ 0, si s→ 0 (7)

Si consideramos ahora una función f en Lp(T) arbitraria, de aproximar a f poruna función continua g se obtiene∫ π

−π|f(t− s)− f(t)|pdt→ 0, si s→ 0 (8)

Dado η > 0, por (8) , existe un δ > 0 tal que si |s| 6 δ, entonces∫ π

−π|f(t− s)− f(t)|pdt <

(η

2c

)p(9)

donde c es la constante de la De�nición (2.18) (i).

Si consideramos ahora kε ∗ f(t) − f(t), como kε tiene integral 1 para todo ε > 0,tenemos

kε ∗ f(t)− f(t) = kε ∗ f(t)− f(t)1

2π

∫ π

−πkε(s)ds

=1

2π

∫ π

−π(f(t− s)− f(t))kε(s)ds

=1

2π

∫|s|6δ

(f(t− s)− f(t))kε(s)ds

+1

2π

∫δ<|s|6π

(f(t− s)− f(t))kε(s)ds,

donde δ > 0 es el valor determinado en (9) .

12

Tomando entonces norma p obtenemos:∥∥∥∥ 1

2π

∫|s|6δ


∥∥∥∥p

61

2π

∫|s|6δ‖(f(t− s)− f(t))‖p|kε(s)|ds

61

2π

∫|s|6δ

δ

2c|kε(s)|ds

6η

2.

Por otra parte, por la propiedad (iii) en la De�nición (2.18) , existe ε0 > 0 tal quepara todo ε < ε0 se cumple

1

2π

∫δ<|s|6π

|kε(s)|ds 6η

4‖f‖p.

Tenemos entonces para ε > ε0∥∥∥∥ 1

2π

∫δ<|s|6π


∥∥∥∥p

61

2π

∫δ<|s|6π

2‖f‖p|kε(s)|ds 6η

2.

Por lo tanto, para todo ε > ε0 se tiene

‖kε ∗ f − f‖p 6 η.

Como η > 0 era arbitrario, se sigue que

‖kε ∗ f − f‖p → 0 si ε→ 0

Veamos ahora el caso (2). Sea f una función continua en T. Como T es compacto,f es uniformemente continua en T, luego dado η > 0 existe δ > 0 tal que si |s| 6 δentonces

|f(t− s)− f(t)| 6 η

2c, (10)

para todo t en [−π, π]. Tomemos ahora ε0 > 0 tal que para todo 0 < ε < ε0 se tiene

1

2π

∫δ<|s|6π

|kε(s)|ds 6η

4‖f‖p(11)

Combinando (10) y (11) , tenemos:

‖kεf − f‖∞ 61

2π

∫|s|6δ|kε(s)|‖f(t− s)− f(t)‖∞ds

+1

2π

∫δ<|s|6π

|kε(s)|‖f(t− s)− f(t)‖∞ds

6η

2+η

2= η,

13

(12)

lo cual prueba que kε ∗ f converge uniformemente a f si ε→ 0 .

>

Nuestro siguiente objetivo es probar el Teorema de interpolación de Marcinkiewicz.Para ello introducimos las siguientes de�niciones:

De�nición 2.20. Si T es un operador lineal o sublineal y 1 6 p, q 6∞, diremosque T es de tipo fuerte (p, q) si T : Lp → Lq es acotado. Si 1 6 p, q <∞ diremosque T es de tipo débil (p, q) si existe C > 0 tal que para todo λ > 0,

|{x : |Tf(f) > λ}| 6(C‖f‖pλ

)q(13)

Observación 2.21. Si T es de tipo fuerte (p, q) entonces T es de tipo débil (p, q).

Demostración. Basta con observar que

|{x : |Tf(x)| > λ}| =∫{|Tf(x)|>λ}

dx 6∫|Tf |q

λqdx 6

(C‖f‖pλ

)q>

De�nición 2.22. De�nimos la función de distribución de una función f , df (λ) :(0,+∞ ]→ (0,+∞ ] como

df (λ) = |{x : |f(x)| > λ}|.

Observación 2.23. Si 1 6 p <∞, por el Teorema de Fubini, se tiene que

‖f‖pp =

∫ ∞0

pλp−1df (λ)dλ

14

Veamos ahora sí el Teorema de interpolación de Marcinkiewicz.

Teorema 2.24. (Teorema de interpolación de Marcinkiewicz).

Sean 1 6 p0 < p1 6 p y T un operador sublineal de�nido en Lp0 + Lp1 tal queT es de tipo débil (p0, p0) y (p1, p1). Entonces T es de tipo fuerte (p, p) para todop ∈ (p0, p1).

Demostración. Dado λ, escribimos a f como f = f0 + f1, donde

f0 = fχ{x:|f(x)|>cλ}, f1 = fχ{x:|f(x)|6cλ}

para cierta constante c que vamos a elegir después.

Como T es sublineal, |Tf(x)| 6 |Tf0(x)|+ |Tf1(x)|, entonces

dTf (λ) 6 dTf0(λ/2) + dTf1(λ/2)

Además, por hipótesis sabemos que

dTf0(λ/2) 6

(2A0‖f0‖p0

λ

)y que

dTf1(λ/2) 6

(2A1‖f1‖p1

λ

)Para completar la demostración, separamos en dos casos.

Si p1 =∞, tomamos c = 1/2A1. Para este valor de c se veri�ca:

‖Tf‖∞ 6 A1‖f1‖∞ 6 A1cλ = λ/2

15

lo que implica que dTf1(λ/2) = 0. Tenemos entonces:

‖Tf‖pp = p

∫ ∞0

λp−1dTf (λ)dλ

6 p

∫ ∞0

λp−1dTf0(λ/2)dλ

6 p

∫ ∞0

λp−1

(2A0‖f0‖p0

λ

)p0dλ

= p(2A0)p0∫ ∞

0

λp−1−p0∫|f0(x)|p0dxdλ

= p(2A0)p0∫ ∞

0

λp−1−p1∫{|f |>cλ}

|f(x)|p0dxdλ

=

∫|f0(x)|p0

∫ |f(x)|/c

0

λp−1−p1dλdx

=p

p− p0

(2A0)p0(2A1)p−p0‖f‖pp.

Si ahora p1 <∞, tenemos:

‖Tf‖pp = p

∫ ∞0

λp−1dTf (λ)dλ

6 p

∫ ∞0

λp−1(dTf0(λ/2) + dTf1(λ/2))dλ

6 p

∫ ∞0

λp−1−p0(2A0)p0∫{|f |>cλ}

|f(x)|p0dxdλ

+ p

∫ ∞0

λp−1−p1(2A1)p1∫{|f |6cλ}

|f(x)|p1dxdλ

=

(p2p0

p− p0

Ap00

cp−p0+

p2p1

p1 − pAp11

cp−p1

)‖f‖pp.

Si elegimos c tal que (2A0c)p0 = (2A1c)

p1 se obtiene que

‖Tf‖p 6 2p1/p

(1

p− p0

+1

p1 − p

)1/p

A1−θ0 Aθ1‖f‖p,

donde1

p=

θ

p1

+1− θp0

, 0 < θ < 1

Esto completa la prueba. >

16

Introducción a los espacios de Hardy Análisis Funcional

3. Espacios de Hardy

En esta sección introducimos los espacios de Hardy Hp(D), probamos una identi-�cación de los espacios Hp(D) con un subespacio de Lp(T) y la relación de estasfunciones con sus coe�cientes de Fourier. Como consecuencia vamos a obtener unademostración de un Teorema de F. y M. Riesz sobre medidas de variación acotadaen el toro.

3.1. Introducción a los espacios de Hardy

De�nición 3.1. De�nimos los espacios Hp(D) para 1 6 p <∞ como

Hp(D) =

{f : D→ C analítica : sup

0<r<1

(1

2π

∫ 2π

0

|f(reit)|p)1/p

<∞

}

Para p =∞ de�nimos:

Hp(D) =

{f : D→ C analítica : sup

0<r<1|f(reit)|p <∞

}

Si notamos con fr(eit) = f(reit), la norma de f en Hp(D) es

‖f‖Hp(D) = ‖f‖p = sup0<r<1

‖fr‖Lp(T)

Observemos que ‖f‖p cumple la desigualdad triangular. Para esto, �jemos 0 < r <1. Se tiene entonces:

‖(f + g)r‖p = ‖fr + gr‖p 6 ‖fr‖p + ‖gr‖p,

y tomando supremos sobre r, se obtiene el resultado.

Más aún, Hp(D) es un espacio de Banach.

17

Límites radiales y la integral de Poisson Análisis Funcional

En efecto, sea {fn} una sucesión de Cauchy en Hp(D), y �jemos 0 < r < R < 1.Aplicando la fórmula de Cauchy e integrando en el disco de centro 0 y radio R setiene que

(R− r)|fn(z)− fm(z)| = (R− r)∣∣∣∣ 1

2π

∫|w|=R

fn(w)− fm(w)

w − zdw

∣∣∣∣6 (R− r) 1

2π

∫|w|=R

|fn(w)− fm(w)|R− r

d|w| = R‖(fn − fm)R‖1

6 ‖(fn − fm)R‖1 6 ‖(fn − fm)R‖p 6 ‖fn − fm‖p,

de lo que se sigue que las{fn} convergen uniformemente sobre compactos a unafunción f que resulta holomorfa en el disco. Dado ε > 0, existe un m0 tal que‖fn − fm‖p < ε para todo n > m0. Luego, para cualquier r < 1,

‖(f − fm0)r‖Lp(T) = lımn→∞

‖(fn − fm0)r‖Lp(T) 6 ‖fn − fm0‖p < ε

por lo que f{fn} converge a f en Hp(D). Esto muestra que Hp(D) es un espaciode Banach. Más aún, se tiene de la desigualdad de Hölder que H∞ ⊂ Hp ⊂ Hs si1 6 s < p <∞.

3.2. Límites radiales y la integral de Poisson

Comencemos primero por de�nir los espacios Hp(T)

De�nición 3.2. De�nimos los espacios Hp(T) para 1 6 p 6∞ como

Hp(T) = {f ∈ Lp(T) : f(n) = 0 para n < 0}.

En lo que sigue probaremos una serie de resultados que nos permiten relacionar lasfunciones de Hp(D) con el espacio Hp(T). El objetivo es que quede demostrado al�nal de la sección el siguiente Teorema:

18

Teorema 3.3. Sea 1 6 p 6∞ y f una función en Hp(D); entonces

g(eit) = lımr→1−

f(reit)

en Lp(T), de�ne una función en Hp(T). Además, f resulta la integral de Poisson deg y ‖g‖p = ‖f‖Hp(D). Más aún, la asignación que manda f a la función g de�nidade esta forma, resulta un isomor�smo isométrico entre Hp(D) y Hp(T).

Comencemos entonces por de�nir la integral de Poisson y ver que efectivamentelas funciones de Hp(D) se pueden recuperar como la integral de Poisson de unafunción g en las condiciones del Teorema (3.3) . A esta función g la llamaremos ellímite radial de f .

De�nición 3.4. De�nimos para 0 6 r < 1 el núcleo de Poisson Pr(t) : [0, 2]→ Ccomo:

Pr(s) :=∑n∈Z

r|n|eins.

Con esta de�nición, introducimos entonces para funciones en Lp(T) la integral dePoisson de g como la función g(z) de�nida en D de la siguiente forma:

g(reit) =1

2π(Pr ∗ f)(t).

Para medidas µ de�nidas en el toro y de variación acotada, de�nimos la integralde Poisson como

µ(reit) =

∫ π

−πPr(t− s)dµ(s).

Es importante observar que la función g de�nida de esta forma, resulta una funciónarmónica en D.

Observación 3.5. El núcleo de Poisson Pr(t) cumple las condiciones del Teoremade aproximación de la identidad:

Veamos primero que para todo r < 1 se tiene

1

2π

∫ π

−πPr(t)dt = 1

En efecto, como la serie ∑n∈Z

r|n|eint,

19

se encuentra dominada por la serie geométrica convergente∑r|n|, tenemos con-

vergencia uniforme y podemos intercambiar la serie con la integral al calcular

1

2π

∫ π

−πPr(t)dt =

∑n∈Z

1

2π

∫ π

−πr|n|eintdt = 1

donde la última igualdad resulta de observar que los eintn∈Z son ortogonales a 1 sin 6= 0 , por lo que el único término que no integra 0 en la serie es el correspondientea n = 0. Por otra parte, tenemos que el núcleo de Poisson es una función positiva,ya que

Pr(s) =∑n∈Z

r|n|eint =∞∑n=0

rneins +∞∑m=0

rme−ims − 1

=1

1− reis+

1

1− re−is− 1

=1− r2

|1− res|2> 0.

Concluimos entonces que para todo r < 1 vale

1

2π

∫ π

−π|Pr(t)|dt = 1

Notemos además que la cuenta anterior prueba que

Pr(s) =1− r2

|1− reis|2= Re

(1 + reis

1− re−is

)Por último, dado 0 < δ < π, tenemos:∫

δ<|s|<π|Pr(t)|dt =

∫δ<|s|<π

1− r2

|1− reit|2dt 6

∫δ<|s|<π

1− r2

|1− reiδ|2dt

6 2π1− r2

|1− reiδ|2−→ 0

cuando r → 1−. Por lo tanto, Pr(t) cumple las hipótesis del Teorema de aproxima-ción de la identidad.

Proposición 3.6. Sea g : D→ C armónica y de�namos para 0 < r < 1 la funcióngr(θ) = g(reiθ). se tiene entonces que:

(1) Si 1 0 tal que ‖gr‖Lp(T) 6 c para todo 0 < r < 1.

20

(2) g es la integral de Poisson de una función h continua si y sólo si las funciones(gr)r convergen uniformemente cuando r → 1−.

(3) g es la integral de Poisson de una medida de variación acotada µ si y sólo siexiste una constante c > 0 tal que ‖gr‖L1(T) 6 c para todo 0 < r < 1.

(4) g es la integral de Poisson de una función h ∈ L1 si y sólo si las funciones(gr)r convergen en L1(T) cuando r → 1−.

Demostración. Para 1 < p 6 ∞, la implicación ⇒) que estamos considerando en(1) resulta de aplicar la propiedad de la convolución

‖f ∗ g‖p 6 ‖f‖p‖g‖1.

En nuestro caso, tenemos

‖gr‖Lp(T) = ‖h ∗ Pr‖Lp(T) 6 ‖h‖Lp(T)‖Pr‖L1(T) = ‖h‖Lp(T).

La implicación ⇒) en los casos (2) y (4) resulta de observar que el núcleo dePoisson cumple las condiciones del Teorema de aproximación de la identidad. Si,como indica (3), g es la integral de Poisson de una medida µ, tenemos:

gr(t) =1

2π

∫ π

−πPr(t− s)dµ(s)

Se sigue entonces que

‖gr‖L1(T) =1

2π

∫ π

−π|gr(t)|dt

61

2π

∫ π

−π

∫ π

−πPr(t− s)d|µ(s)|dt

=1

2π

∫ π

−π

∫ π

−πPr(t− s)dtd|µ(s)| = ‖µ‖.

⇐) Para el caso (1), supongamos que existe una constante c > 0 tal que para todo0 < r < 1 se tiene que ‖gr‖Lp(T) 6 c (1 < p 6∞), entonces existe una subsucesióngrj tal que grj →w∗ h ∈ Lp (por el Teorema de Alaoglu, sumado a que Lq(T) esseparable, lo que permite tomar sucesiones, donde 1

p+ 1

q= 1) Entonces∫ π

−πgrj(t)u(t)→

∫ π

−πh(t)u(r)dt, ∀u ∈ Lq(T)

Veamos que g es la integral de Poisson de h, esto es, gr(t) = 12π

(Pr ∗ h)(t). Como ges armónica, si notamos con cn el n-ésimo coe�ciente de Fourier de g, tenemos que

g(reit) =∑n∈Z

cnr|n|eint = gr(t)

21

Si consideramos entonces los coe�cientes de Fourier de estas funciones, tenemosque

gr(t) = cnr|n| −→ cn

cuando r → 1−.

Tenemos luego que

grj(n) =1

2π

∫ π

−πgrj(t)e

−intdt→ 1

2π

∫ π

−πh(t)e−intdt = hr(n)

Esto implica que hr(n) = cn, de lo que se obtiene

1

2π(h ∗ Pr)(t) =

∑n∈Z

cnr|n|eint = gr(t)

como queríamos. Para la implicación restante en (2), tenemos que si las funcionesfr convergen uniformemente a h en T, tomando

F (reit) = f(reit)− 1

2π(Pr ∗ h)(t)

obtenemos una función armónica en D, continua en D que vale 0 en el borde, porlo que F ≡ 0.

Completemos ahora la prueba para el caso (4). Si las funciones gr convergen enL1(T) a una función h, se tiene que

gr =1

2π

∫ π

−πgr(t)e

−intdt→ 1

2π

∫ π

−πh(t)e−intdt = hr(n)

Y razonando como antes, resulta que g es la integral de Poisson de h.

Para ver el caso restante, (3), de�nimos para 0 6 r < 1 las siguientes funcionaleslineales Λrf en C(T)

Λrf =

∫Tfgrdσ,

donde σ es la medida de Lebesgue normalizada. Por hipótesis ‖Λr‖ 6 c para todo0 6 r < 1. Como C(T) es un espacio de Banach separable, existe una medida µ enT, con ‖µ‖ 6 c y una subsucesión rj → 1 tal que Λrj → µw∗. Como las funcioneshrj(z) = g(rjz) son armónicas en D, continuas en D, por (2) se pueden calcularcomo la integral de Poisson de sus restricciones al toro. Se tiene entonces que

g(z) = limjhrj(z)

= limj1

2π

∫ π

−πPr(t− s)hrj(eis)ds

=1

2π

∫ π

−πPr(t− s)dµ(eis)ds,

22

que es la integral de Poisson de la medida µ, como queríamos.

>

Es importante notar que como el espacio Hp(D) está compuesto por funcionesholomorfas, podemos aplicar la proposición anterior en este contexto.

Proposición 3.7. . Si 1 < p 6∞ y g ∈ Hp(T), g(reit), la integral de Poisson deg, pertenece a Hp(D) y para 1 6 p <∞, resulta que gr converge a g en Lp(T).

Demostración. Si z = reit ∈ D, tenemos que

g(z) =

∫g(w)

∞∑n=−∞

r|n|eintwndσ(w),

donde por dσ entendemos la medida de Lebesgue normalizada en T. Entonces,como la serie converge uniformemente para |w| = 1,

g(z) =∞∑

n=−∞

∫g(w)r|n|eintwndσ(w)

=∞∑

n=−∞

g(n)r|n|eint =∞∑n=0

g(n)zn

pues, por hipótesis, g(n) = 0 para n < 0. Por lo tanto, g resulta analítica. Además,aplicando el Teorema de aproximación de la identidad para la integral de Poisson,tenemos que si 1 6 p < 1, ‖gr − g‖Lp(T) → 0 si r → 1−. Si p =∞, ‖gr‖∞ 6 ‖g‖∞,por lo que se tiene que g ∈ H∞(D). >

Observación 3.8. Con el mismo argumento, si µ es una medida compleja devariación acotada en T con µ(n) = 0 para n < 0 entonces la integral de Poisson dede�ne una función en H1(D)

A la inversa, tenemos el siguiente resultado:

23

Factorización en H1(D) y productos de Blaschke Análisis Funcional

Proposición 3.9. Sea 1 < p <∞ y f ∈ Hp(D), entonces existe g(w) = limr→1−f(rw)en Lp(T). Además, g(n) = 0 para n < 0 y g = f .

Demostración. Supongamos que f ∈ Hp(D), 1 < p 6∞, por la Proposición (3.6), el límite del enunciado existe (y f resulta la integral de Poisson de g). Ahora, si1 0 y fr(n) = 0 si n < 0. Si p =∞se tiene que fr →w∗ g si r → 1−. Como wn ∈ L1(T) para todo n, el mismo argumen-to muestra que g(n) = 0 para n < 0. >

Es importante notar que esta proposición prueba el Teorema (3.3) para 1 < p 6∞

3.3. Factorización en H1(D) y productos de Blaschke

En lo que sigue, probaremos varios resultados sobre los ceros de funciones en H1(D)para obtener un resultado de factorización de funciones de H1(D) como productode funciones de H2(D). Además probaremos el caso p = 1 del Teorema (3.3) ,concluyendo con su demostración.

Proposición 3.10. Sea f ∈ H1(D), f 6= 0 y sea (zn)n la sucesión de ceros de f .Entonces ∑

(1− |zn|) <∞

Demostración. Sin pérdida de generalidad, suponemos f(0) 6= 0 (si no, podemostomar f = f(z)

zkpara un k adecuado). Sea r < 1 tal que f(rz) no se anula y

consideramos los ceros z1, z2, . . . , zm de f en |z| < r , contados con multiplicidad(como son aislados, son �nitos). Como f ∈ H1(D), la función fr(z) = f(rz) esanalítica en |z| 6 1 y sus ceros son z1

r, z2r, . . . , zm

rLuego, podemos escribir

f(rz) = g(z)m∏n=1

z − zn/r1− znz/r

, (14)

24

donde g es analítica y no se anula en un abierto que contiene a D. En consecuencia,log|g| es armónica y, por el Teorema de valor medio para funciones armónicas,tenemos

log|g(0)| = 1

2π

∫ π

0

log(|g(eiθ)|)dθ =1

2π

∫ π

0

log(|f(eiθ)|)dθ, (15)

pues para cada k el factor k-ésimo del producto en (14) cumple∣∣∣∣ eiθ − zk/r1− zkeiθ/r

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ eiθ − zk/re−iθ − zk/r

∣∣∣∣ = 1

Por (14) tenemos que

f(0) = g(0)m∏n=1

−znr,

y por lo tanto

|g(0)| = |f(0)|m∏n=1

∣∣∣∣ r−zn∣∣∣∣ .

Combinando esto con (15) , obtenemos

log|f(0)|+∑|zn|<r

log

(r

|zn|

)=

1

2π

∫ 2π

0

log|f(reiθ)|dθ.

Como −log(x) es convexa, aplicamos la desigualdad de Jensen

log|f(0)|+∑|zn|<r

log

(r

|zn|

)6

1

2πlog

(∫ 2π

0

|f(reiθ)|dθ)

6 log‖f‖H1(D).

Sea ahora 0 < r′ < 1 y N en N, y consideramos

N∑n=1

log

(r′

|zn|

)Como estamos tomando �nitos zn, podemos encontrar un r > r′ y su�cientementecerca de 1 tal que para todo 1 6 n 6 N se cumple |zn| < r y tal que f(rz) no seanule en |z| = 1. Tenemos entonces que

N∑n=1

log

(r′

|zn|

)6∑|zn|<r

log

(r

|zn|

)6 log‖f‖H1(D).

Tomando r′ → 1−, obtenemos

N∑n=1

log1

|zn|6 ‖f‖H1(D).

25

Como las sumas parciales están acotadas, concluimos que∑log

1

|zn|<∞. (16)

Dado que para 126 |z| 6 1 se tiene

1− |z| 6 log

(1

|z|

)6 2(1− |z|),

la condición (16) es entonces equivalente a∑(1− |zn|) <∞

que es lo que queríamos probar. >

En la siguiente proposición introducimos los productos de Blaschke.

Proposición 3.11. . Sea (zn)n∈N una sucesión en D con zn 6= 0 para todo n y∑(1− |zn|) <∞. Sea k ∈ N0 y de�namos para z ∈ D

B(z) := zk∞∏n=1

|zn|zn

z − zn1− znz

. (17)

Entonces, B ∈ H∞(D) y B no tiene ceros excepto en los puntos (zn)n (y en elorigen, si k >0). Además, la función B(z) cumple que |B(eiθ)| = 1 en casi todopunto. A la función B(z) se la llama un producto de Blaschke.

Demostración. Para ver que el producto converge y de�ne una función holomorfa,veamos que la serie

∞∑n=1

∣∣∣∣1− zn − z1− znz

|zn|zn

∣∣∣∣ , (18)

converge uniformemente sobre compactos del disco D. Dado 0 < r < 1, si |z| 6 r,el término general de la serie se acota como∣∣∣∣ zn + |zn|z

(1− znz)zn

∣∣∣∣ (1− |zn|) 6 |zn||z|+ |zn||zn|(1− |zn||z|)

(1− |zn|) 61 + r

1− r(1− |zn|),

Por hipótesis, la serie con este término general converge, por lo que la serie en (18)converge uniformemente sobre compactos de D, lo que equivale a la convergencia

26

del producto. Más aún, se tiene que B es holomorfa en D y tiene los ceros corres-pondientes. Podemos además calcular el módulo de cada factor de (17) en T dela siguiente forma:

|zn||zn||eiθ − zn||1− zneiθ|

=|eiθ − zn|

|eiθ||e−iθ − zn|= 1

y por el Teorema de módulo máximo, podemos a�rmar que cada factor tiene módulomenor o igual a 1 en D, y por lo tanto |B(z)| 6 1 en D. Consideramos ahora

BN(z) :=N∏n=1

zn − z1− znz

|zn|zn

.

Se tiene que B(z)BN (z)

es otro producto de Blaschke y∣∣∣∣ B(0)

BN(0)

∣∣∣∣ 6 1

2π

∫ 2π

0

∣∣∣∣ B(eiθ)

BN(eiθ)

∣∣∣∣ dθ 6 1

2π

∫ 2π

0

|B(eiθ)|dθ 6 1

pues |BN(eiθ)| = 1, ya que se trata de un producto �nito de factores que, comovimos antes, tienen módulo 1 en T. Tomando N →∞, obtenemos que∫ 2π

0

|B(eiθ)|dθ = 1.

Como además |B(eiθ)| 6 1, resulta que |B(eiθ)| = 1 en casi todo punto.

>

Con estos resultados, podemos probar el siguiente Teorema:

Teorema 3.12. Sea 0 < p <∞, f ∈ Hp(D), f 6= 0. Sea B el producto de Blaschkeformado con los ceros de f . Luego, existe una función h sin ceros en D, h ∈ H2(D),con ‖h‖H2(D) = ‖f‖Hp(D), tal que

f = Bh2/p. (19)

En particular, toda f ∈ H1(D) es un producto

f = gh, (20)

donde ambos factores están en H2(D) y ‖f‖H1(D) = ‖g‖H2(D)‖h‖H2(D)

27

Demostración. Por la Proposición (3.11) basta observar que si tomamos g = f/B,se tiene que g ∈ Hp(D). Además, dado que |B(z)| = 1 para casi todo z en T,‖f‖Hp(D) = ‖g‖Hp(D). Como D es simplemente conexo y g no se anula en D, existe hholomorfa en D tal que |h|2 = |g|p, de lo que obtenemos (19) . Observemos ademásque ‖h‖Hp(D) = ‖g‖Hp(D). Para obtener (20) , escribimos f = (Bh)h como en (19) .>

Con estos resultados, podemos completar la demostración del Teorema (3.3) parael caso p = 1.

Teorema 3.13. Sea f ∈ H1(D), entonces existe g(w) = limr→1−f(rw) en L1(T),g pertenece a H1(T), f resulta la integral de Poisson de g y ‖g‖L1(T) = ‖f‖H1(D).

Demostración. Si f ∈ H1(D), por el Teorema (3.12) , existen funciones h, k ∈H2(D) tales que f = hk. Llamamos también h y k a las funciones que éstas de�nenen el toro por límite radial. Por lo visto anteriormente, podemos recuperar h y k apartir de las integrales de Poisson de sus límites radiales. Si 0 < r, s < 1, entonces∫

|f(rw)− f(sw)|dσ(w) 6∫|h(rw)||k(rw)− k(sw)|dσ(w)

+

∫|k(sw)||h(rw)− h(sw)|dσ(w)

6 ‖hr‖2‖kr − ks‖L2(T) + ‖ks‖L2(T)‖hr − hs‖L2(T)

Acotando ‖kr‖L2(T) y ‖ks‖L2(T) por max{‖h‖H2(D), ‖k‖H2(D)} resulta que fr es deCauchy en L1(T). Sea g su límite, tenemos entonces que f es la integral de Poissonde g. Mas aún, tenemos que

‖f(reit)‖L1(T) = ‖Pr ∗ g‖L1(T) 6 ‖Pr‖1‖g‖L1(T) = ‖g‖L1(T).

Usando ahora que ‖fr‖L1(T) → ‖g‖ en L1(T), obtenemos

‖f‖H1(D) = sup0<r<1

‖fr‖L1(T) = lımr→1−

‖fr‖L1(T) = ‖g‖L1(T).

Por otra parte, fr → g en L1 implica que fr(n) → gr(n) para todo n, por lo quegr(n) = 0 para n < 0, lo cual completa la prueba. >

28

Finalmente, si volvemos sobre la Proposición (3.6) , ya vimos a lo largo de lasección la identi�cación entre funciones en Hp(D) y Hp(T) para todo 1 6 p 6 ∞.Concluimos con un Teorema que relaciona el caso restante de esta proposición, esdecir, sobre medidas complejas de variación acotada en T.

Teorema 3.14. (Teorema de F. y M. Riesz). Si µ es una medida compleja (devariación acotada) en T tal que µ(n) = 0 para n < 0 entonces es absolutamentecontinua con respecto a la medida de Lebesgue y g = dµ/dm pertenece a H1(T)

Demostración. Como ya vimos, si µ(n) = f , se tiene que

f(z) =∞∑n=0

µ(n)zn

para |z| < 1, por lo que f es analítica. Además, ‖fr‖1 6 ‖µ‖, por lo que f ∈ H1(D).Si g(w) = lımr→r− f(rw), entonces g = f , por lo que la integral de Poisson µ− g esidénticamente cero, de lo que se obtiene que µ(n) 6 g(n) para todo n. Observemosque esto dice que para todo n, se tiene

1

2π

∫ π

−πg(t)eintdt =

1

2π

∫ π

−πeintdµ(t).

Por linealidad, podemos extender esta igualdad a los polinomios trigonométricos.Como los polinomios trigonométricos son densos en C(T), resulta que dµ = gdσ

>

29

Isometrías. Los operadores shift Análisis Funcional

4. El shift unilateral y factorización de funciones.

4.1. Isometrías. Los operadores shift

Cada operador unitario es una Isometría, pero el inverso es falso. El ejemplo están-dar es el shift unilateral. Este operador es, sin duda, el operador no normal másestudiado.

Por otra parte, el espacio de Hilbert más conocido es el `2 y se de�ne como

`2 =

{{an}∞n=0 :

∞∑n=0

|an|2 <∞

}.

La norma del vector es

‖ {an}∞n=0 ‖ =

(∞∑n=0

|an|2)1/2

y el producto interno de los vectores {an}∞n=0 y {bn}∞n=0 es

({an}∞n=0 , {bn}∞n=0) =

∞∑n=0

anbn.

El espacio `2 es separable y todos los espacios de Hilbert complejos separablesin�nito-dimensional son isomorfos entre sí. Sin embargo, es útil considerar espaciosde Hilbert particulares que tienen una estructura adicional. Nos concentraremosen el espacio Hardy-Hilbert, que es un espacio de Hilbert cuyos elementos sonfunciones analíticas.

Vimos que espacio Hardy-Hilbert, denotado como H2, consiste en todas las funcio-nes analíticas que tienen representaciones como series de potencias con coe�cientescomplejos.Esto es, H2 = {f : f(z) =

∑∞n=0 anz

ny∑∞

n=0 |an|2 <∞} . El producto interno enH2 está de�nido por

(f, g) =∞∑n=0

anbn para f(z) =∞∑n=0

anzn y g(z) =

∞∑n=0

bnzn.

La norma del vector

f(z) =∞∑n=0

anzn

30

es

‖f‖ =

(∞∑n=0

|an|2)1/2

.

Luego,

{an}∞n=0 7−→∞∑n=0

anzn

es claramente un isomor�smo de `2 en H2. Así, en particular, H2 es un espacio deHilbert.

Para cada número real p ≥ 1, el espacio Hp consiste en el conjunto de todas lasfunciones f analíticas en D tal que sup0<r<1

12π

∫ 2π

0|f(reiθ)|pdθ <∞. La norma Hp

de f está de�nida como(sup0<r<1

12π

∫ 2π

0|f(reiθ)|pdθ

)1/p

. Todos los espacios Hp

son espacios de Banach pero H2 es el único que es un espacio de Hilbert.

De�nición 4.1. El shift unilateral es el operador S : `2 → `2 de�nido por

S(α0, α1, ...) = (0, α0, α1, ...).

Teorema 4.2. (i) El shift unilateral es una isometría (i.e. ‖ Sf ‖=‖ f ‖ para todof ∈ `2).

(ii) El adjunto del shift unilateral, S∗, tiene la siguiente forma:

S∗(a0, a1, ...) = (a1, a2, ...)

para todo (a0, a1, ...) ∈ `2.

Demostración. Para probar (i), hay que mostrar que

‖ (a0, a1, ...) ‖=‖ (0, a0, ...) ‖ .

Pero esto es trivial ya que

∞∑k=0

|ak|2 = |0|2 +∞∑k=1

|ak−1|2.

Para probar (ii), sea A el operador de�nido por A(a0, a1, ...) = (a1, a2, ...). Seax = (a0, a1, ...) e y = (b0, b1, ...) son dos vectores cualquiera. Notar que

(Sx, y) = ((0, a0, a1, ...), (b0, b1, ...)) =∞∑k=1

ak−1bk

31


y

(x,Ay) = ((a0, a1, ...), (b1, b2, ...)) =∞∑k=0

akbk+1.

Como estas sumas son iguales, se sigue queA = S∗. >

De�nición 4.3. Para x ∈ `(Z) el shift bilateral es el operador T : `2(Z) 7−→ `2(Z)de�nido por T (..., x−1, x0, x1, ...) = (..., x−2, x−1, x0, ...) y en términos de la baseestándar en `2(Z) es T (en) = en+1.

Proposición 4.4. (i) El shift bilateral es un operador unitario.(ii) El adjunto del shift bilateral está dado por

T ∗(..., a−2, a−1, a0, a1, ...) = (..., a−1, a0, a1, a2, ...).

Demostración. Es claro que ‖ Tx ‖=‖ x ‖ para todo x ∈ `(Z), y entonces T es unaisometría. Se de�ne el operador lineal A como

A(..., a−2, a−1, a0, a1, ...) = (..., a−1, a0, a1, a2, ...).

Obviamente, AT = TA = I, y entonces T es una isometría invertible; i.e., T es unoperador unitario. Se necesita probar que (Tx, y) = (x,Ay) para todo x e y ∈ `(Z).Sea x = (..., a−2, a−1, a0, a1, ...) y y = (..., b−2, b−1, b0, b1, b2, ...). Notar que

(Tx, y) =∞∑

n=−∞

an−1bn

y

(x,Ay) =∞∑

n=−∞

anbn+1.

Estas sumas son iguales entre sí. Por lo tanto,A = T ∗. >

De�nición 4.5. Un operador S actuando sobre un espacio de Hilbert H se llamaun shift unilateral si hay una secuencia de subespacios ortogonales de a pares H0,H1, ... tal que H = H0 ⊕H1 ⊕ ... y S mapea Hn isométricamente sobre Hn+1 paratodo n ≥ 0.

32


El shift unilateral es un shift unilateral donde cada Hn es el espacio unidimensionalgenerado por el enésimo vector básico. Es claro que en la de�nición anterior cadauno de los espaciosHn tiene la misma dimensión, aunque cada uno puede ser in�nitodimensional. Llamamos a esta dimensión en común la multiplicidad de S. De hecho,es fácil ver que S es un shift unilateral, luego ranS = H⊥0 y la multiplicidad de Ses dimH0 = dim(ranS)⊥.

Proposición 4.6. Dos shifts unilaterales son unitariamente equivalentes si y sólosi tienen la misma multiplicidad.

Corolario 4.7. Si S es un shift unilateral en H, L = H (SH), y T está de�nidasobre L ⊕ L⊕ ... por

T (f0 ⊕ f1 ⊕ ...) = 0⊕ f0 ⊕ f1 ⊕ ...,

luego S y T son unitariamente equivalentes.

Demostración. De hecho T es un shift unilateral con la misma multiplicidad que S.>

Proposición 4.8. Si T está de�nida sobre L ⊕ L⊕ ... por

T (f0 ⊕ f1 ⊕ ...) = 0⊕ f0 ⊕ f1 ⊕ ...,

luegoT ∗(f0 ⊕ f1 ⊕ ...) = f1 ⊕ f2 ⊕ ...

Este operador T usualmente se lo conoce como el "backward"shift de multiplicidaddim L.

Si S es una isometría y M es un subespacio invariante, luego claramente S|Mes también una isometría. Si SM = M, luego la restricción de S a M es unaisometría suryectiva, y por lo tanto es unitaria.

33

Proposición 4.9. Si S es una isometría yM es un subespacio tal que SM =M,luegoM reduce a S, S| M es unitario, yM⊆ ∩nSnH.

Demostración. Recordar que S es una isometría si y sólo si SS∗ = 1. Así SM =Mimplica que S∗M = S∗SM = M; entonces M reduce a S. Claramente S| M esunitario. TambiénM = SnM⊆ SnH para todo n ≥ 1.

Si S es una isometría,no puede ser unitaria si no es sobreyectiva. Entonces parauna isometría S considerar los subespacios cerrados SH, S2H, S3H, .... O bien todosestos espacios son iguales (en cuyo caso S es unitario) o no hay dos de ellos igua-les.También SH ⊇ S2H ⊇ ...; entonces considerar L∞ ≡ ∩nSnH. Tener en cuentaque dado que S es uno-a-uno y Sn+1H ⊆ SnH, SL∞ = ∩nSn+1H = L∞. Entoncespor la proposición anterior, S|L∞ es unitario y L∞ reduce S. También cada subes-pacio invarianteM con SM =M está contenido en L∞; esto es, L∞ es la "parteunitaria"de S. >

En la teoría de operadores, la descomposición de Wold o la descomposición de Wold-von Neumann, llamada así por Herman Wold y John von Neumann, es un teoremade clasi�cación para operadores lineales isométricos en un espacio de Hilbert dado.A�rma que cada isometría es una suma directa de copias del shift unilateral y unoperador unitario.

Teorema 4.10. La descomposición de Wold-von Neumann. Si S es una isometríasobre H y L∞ = ∩nSnH, luego S|L∞ es unitario, y S|L⊥∞ es un shift unilateral. Asícada isometría sobre un espacio de Hilbert es la suma directa de un shift unilateraly un unitario.

Demostración. Sea Ln = SnH para n ≥ 0 (entonces L0 = H); claramente Ln ⊇Ln+1. Sea Hn = Ln (Ln+1).El hecho de que S sea una isometría implica que cadaLn, y por lo tanto cadaHn, es cerrado. >

Observación 4.11. (1) Hn ⊥ Hm para n 6= m.

De hecho, si n < m, luego

Hm ⊆ Lm ⊆ Ln+1 ⊆ H⊥n .

34


(2) L⊥∞ = H0 ⊕H1 ⊕ ...Si m > n, luego Hn ⊥ Lm. Por lo tanto, Hn ⊥ ∩m≥n+1Lm = L∞. EntoncesH0⊕H1⊕ ... ⊆ L⊥∞. Por otra parte, si f ∈ (H0⊕H1⊕ ...)⊥, luego para cadan ≥ 1, f ∈ (H0 ⊕ ...Hn)⊥ = Ln+1. Entonces f ∈ L∞.

(3) L∞ reduce S, SL∞ = L∞, y S|L∞ es unitario.

Esto es una consecuencia de la proposición anterior, como se discutió antesde la enunciación de este teorema.

(4) SHn = Hn+1.

Es fácil ver que SHn ⊆ Sn+1H. También si f ∈ Hn y h ∈ H, luego 〈Sf, Sn+2h〉 =〈f, Sn+1h〉 = 0. Por lo tanto,SHn ⊆ Hn+1. A la inversa,f ∈ Hn+1 =Ln+1 (Ln+2), luego hay un vector g en Ln con Sg = f . Si h ∈ Ln+1,luego Sh ∈ Ln+2 y entonces 0 = 〈f, Sh〉 = 〈Sg, Sh〉 = 〈g, h〉.Por lo tanto,g ∈Ln (Ln+1) = Hn y f = Sg ∈ SHn.

Combinando las observaciones (2) y (4), se sigue que S|L⊥∞ es un shift unilateralde multiplicidad dim H0.

Una isometría se dice pura si no hay un subespacio reductor en el que sea unita-rio.Por la Proposición 4.9 , esto es equivalente a decir que no hay un subespacioinvarianteM tal que S|M es unitario.

Corolario 4.12. Una isometría es pura si y sólo si es un shift unilateral.

Demostración. Si S es pura, el teorema anterior implica que S debe ser un shiftunilateral. A la inversa, si S es un shift unilateral yM es un subespacio invariantepara S tal que SM = M ,luego la Proposición 4.9 implica M ⊆ ∩nSnH = (0).>

De�nición 4.13. Un operador U sobre un espacio de Hilbert K es un shift bilateralsi hay subespacios ortogonales de a pares {Kn : n ∈ Z, } tales que K =

⊕nKn y U

mapea Kn isométricamente en Kn+1 para todo n en Z.La multiplicidad de U es ladimensión de K0 (=dim Kn para todo n).

Es fácil ver que un shift bilateral es unitario y su multiplicidad es un unitario inva-riante completo.De�nimos el shift bilateral como el shift bilateral de multiplicidad1.

35


Hay una relación entre los shifts unilateral y bilateral. Por ejemplo, si U es un shiftbilateral relativo a los espacios {Kn} y H = K0⊕K1⊕ ..., luego H es invariante porU y S = U |H es un shift unilateral. Notar que la multiplicidad de S es la mismaque la multiplicidad de U . La inversa también es cierta.

Suponer que S es un shift unilateral sobre H = H0 ⊕H1 ⊕ ..., SHn = Hn+1. Si e0

es un vector unitario en H0 y en = Sne0 para n ≥ 1, luego {en} es una sucesiónortonormal.Utilizando esta técnica se produce el siguiente resultado:

Proposición 4.14. Si S es un shift unilateral sobre H de multiplicidad α y {ei :1 ≤ i ≤ α} es una base de H (SH), luego {Snei : n ≥ 0 y 1 ≤ i ≤ α} es la basepara H.

Corolario 4.15. Si S es un shift unilateral de multiplicidad α y 1 ≤ β ≤ α,luego hay un subespacio invariante M para S tal que S|M es un shift unilateralde multiplicidad β.

Teorema 4.16. Si S es una isometría en H, luego hay un espacio de Hilbert Kconteniendo H y un unitario U : K 7−→ K tal que UH ⊆ H y U |H = S.Además,K puede ser elegido para ser el subespacio reductor más chico para U que contieneH; en este caso, U y K son únicos hasta la equivalencia unitaria.

Demostración. Primero asumamos que S es un shift unilateral. Por Corolario 4.7se puede asumir que H = L ⊕ L ⊕ ... y S(f0 ⊕ f1 ⊕ ...) = 0 ⊕ f0 ⊕ f1 ⊕ .... Porconveniencia escribimos esto como H = L0 ⊕ L1 ⊕ ..., donde Ln = L para todon ≥ 0. Sea K =

⊕∞n=−∞ Ln, donde Ln = L para todo n.De�nimos U sobre K por

U(...⊕ f−2 ⊕ f−1 ⊕ f0 ⊕ f1 ⊕ f2 ⊕ ...) = ...⊕ f−2 ⊕ f−1 ⊕ f0 ⊕ f1 ⊕ f2 ⊕ ..., dondeˆdenota la ubicación de la coordenada cero-ésima. Claramente U un unitario; dehecho, U es un shift bilateral con la misma multiplicidad de S.También es claro que UH ⊆ H y U |H = S.Suponer que K′ es un subespacio re-ductor de U y H ⊆ K′. Entonces K′ ⊇ U∗nL0 para cada n ≥ 1. Pero L−n = U∗nL0

y entonces se sigue que K′ = K.Si R es cualquier espacio de Hilbert conteniendo a H y V : R −→ R es un unitariotal que VH ⊆ H y V |H = S, luego los subespacios V nL0, n ∈ Z, son cerra-dos y ortogonales de a pares y V mapea V nL0 isométricamente sobre V n+1L0.AsíM = {V nL0 : n ∈ Z} reduce a V y V |M es un shift bilateral que extiende a S ytiene la misma multiplicidad que S. Esto establece la unicidad en el caso en que Ssea un shift.

36


Ahora para una isometría. Usando la Descomposición de von Neumann-Wold,S = S1⊕S0 enH = H1⊕H0, donde S1 es un shift unilateral y S0 es unitario. Sea U1

un shift bilateral sobreK1 ⊇ H1 tal que U1|H1 = S1.SeaK = K1⊕H0 y U = U1⊕S0.La unicidad se sigue de la unicidad establecida cuando la isometría es un shift.>

Si U es la extensión unitaria de la isometría S para la cual K es el subespacioreductor más chico de U que contiene H, luego U se llama la extensión minimalunitaria de S.

Corolario 4.17. La extensión unitaria minimal de un shift unilateral de multipli-cidad α es un shift bilateral de multiplicidad α.

Corolario 4.18. Sea S un shift unilateral de multiplicidad α y sea U su extensiónminimal unitaria actuando en K.Si {ei : 1 ≤ i ≤ α} es una base para H (SH),luego {Unei : n ∈ Z, 1 ≤ i ≤ α} es una base para K.

El siguiente resultado será importante más adelante. Parte de la teoría dice que siN es un operador normal y R es un espacio reductor, N |R tiene una función demultiplicidad dominada por la función de multiplicidad de N . Esto no ha intro-ducido ninguna inconsistencia en el lenguaje, y la de�nición de multiplicidad paraun shift bilateral se ajusta a la de�nición de multiplicidad de operadores normales.Así si U es un shift bilateral de multiplicidad α y R es un subespacio reductortal que U |R es también un shift bilateral, luego la multiplicidad de U |R es a losumo α. Esto, junto con el Corolario 4.17, puede ser usado para probar la siguienteproposición.

Proposición 4.19. Si S es un shift unilateral de multiplicidad α actuando sobreH y M es un subespacio invariante para S, luego S|M es un shift unilateral demultiplicidad β ≤ α.

Demostración. Es claro que S|M es una isometría.Como S es pura,S|M tambiéndebe ser pura.Por Corolario 4.12, S|M es un shift unilateral; sea β la multiplicidadde S|M. Queda por demostrar que β ≤ α. Para esto es su�ciente asumir que

37

α <∞.Sea U , actuando en K,la extensión unitaria minimal de S y sea {ei : 1 ≤ i ≤ α} unabase ortonormal paraH(SH). Por el corolario anterior, {Unei : n ∈ Z, 1 ≤ i ≤ α}es una base para K. Sea f1, ..., fβ una base paraM (SM). Por lo tanto,

β =

β∑j=1

‖ fj ‖2

=

β∑j=1

α∑i=1

∞∑n=0

| 〈fj, Unei〉 |2

=

β∑j=1

α∑i=1

∞∑n=0

| 〈U∗nfj, ei〉 |2

=α∑i=1

β∑j=1

∞∑n=0

| 〈U∗nfj, ei〉 |2

= ≤α∑i=1

‖ ei ‖2 (Desigualdad de Bessel)

= α

>

Finalmente, consideremos las propiedades espectrales de los shifts unilaterales. Re-cordar que para cualquier operador T en B(H), el espectro de punto aproximadode T ,σap(T ), se de�ne por ser el conjunto de números complejos λ que satisfaceinf{‖ (T − λ)f ‖:‖ f ‖= 1} = 0. Equivalentemente, λ ∈ σap(T ) si y sólo si niKer(λ − T ) = (0) ni ran(λ − T ) es no cerrado. Así σap(T ) = σl(T ), el espectroizquierdo de T . También σle(T ) es el espectro esencial de T ; esto es, el espectro iz-quierdo del cociente de T en el Álgebra de Calkin B(H)/B0(H). El espectro esencialderecho y el espectro esencial de T se denotan por σre(T ) y σe(T ), respectivamente.

Proposición 4.20. Si S es el shift unilateral de multiplicidad 1, luego las siguien-tes a�rmaciones son válidas:

(A) σ(S) = clD, σap(S) = ∂D, σp(S) = ∅.(B) Para |λ| < 1, dim Ker(S∗ − λ) = 1 y (1, λ, λ2, ...) ∈ Ker(S∗ − λ).(C) σe(S) = σle(S) = σre(S) = ∂D.

38

Demostración. Como ‖ S ‖= 1, σ(S) ⊆ clD. Si λ es un número complejo distintode 0, h = (α0, α1, ...) ∈ `2 y Sh = λh, luego 0 = λα0, α0 = λα1, .... Por lo tanto,0 = α0 = α1 = ... Así, σp(S) = ∅.(B) Si |λ| < 1, poner Kλ = (1, λ, λ2, ...). De la Proposición 4.8 se sigue que

S∗(α0, α1, ...) = (α1, α2, ...).

Por lo tanto,S∗Kλ = (λ, λ2, ...) = λKλ.

Esto es, λ es un valor propio de S∗ con autovector Kλ. Para completar la prueba,es necesario mostrar que CKλ es el espacio propio entero para S∗ correspondientea λ.Si h = (α0, α1, ...) ∈ Ker(S∗ − λ), luego

(α1, α2, ...) = λ(α0, α1, ...).

Así αn = λαn−1 para todo n ≥ 1. Así αn = λnα0 para todo n ≥ 0 y entoncesh = α0Kλ. Esto prueba (B).

(A) Como σ(S)∗ = σ(S∗), la parte (B) implica que D ⊆ σ(S). Así σ(S) = clD.Ahora si |λ| < 1 y h ∈ `2, luego

‖ (S − λ)h ‖≥ | ‖ Sh ‖ −|λ| ‖ h ‖ | = (1− |h|) ‖ h ‖ .

Así λ 6∈ σap(S) y entonces σap(S) ⊆ ∂D. Pero en general, la frontera del espectrode un operador está contenido en el espectro del punto aproximado.Por lo tanto,σ(S) = ∂D.Esto completa la prueba para (A).

(C) Como σap(S) = ∂D, ran(S−λ) es cerrado y Ker(S−λ) = (0) cuando |λ| < 1.Por lo tanto, σle(S) y σe(S) son subconjuntos de ∂D.Como dim Ker(S∗ − λ) = 1 cuando |λ| < 1, se cumple que σre(S) ⊆ ∂D.Pero como S no tiene valores propios, λ en ∂D pertenecen al espectro aproximadode S porque ran(S − λ) no es cerrado.Por lo tanto, ∂D ⊆ σle(S) ∩ σre(S).

>

Porque un shift de multiplicidad α es la suma directa de α copias del shift demultiplicidad 1, la prueba del próximo resultado se puede obtener del anterior.

39

Shifts unilateral y bilateral. Análisis Funcional

Proposición 4.21. Si S es un shift unilateral de multiplicidad α, luego las siguien-tes a�rmaciones son válidas:(A) σ(S) = clD, σap(S) = ∂D, σp(S) = ∅.(B) Para |λ| < 1, ran(S − λ) es cerrado y dim Ker(S∗ − λ) = α.(C) σle(S) = ∂D.(D) Si α <∞, σre(S) = σe(S) = ∂D.(E) Si α =∞, σre(S) = σe(S) = clD.

Es prácticamente imposible describir los subespacios invariantes de los ope-radores shift en términos de sus representaciones en espacios de secuencias. Sinembargo, se pueden dar descripciones completas de sus "lattices"subespacio inva-riante cuando son vistos como operadores en H2 y L2. Este descubrimiento de ArneBeurling en 1949 llevó al interés del estudio de H2.

De�nición 4.22. El operador Mz ("multiplicación por z") en H2 es

(Mzf) (z) = zf(z)

Claramente si f(z) =∑∞

n=0 anzn, luego (Mzf) (z) =

∑∞n=0 anz

n+1. Por lo tanto,Mz actúa como un shift unilateral.

Teorema 4.23. El operador Mz en H2 es unitariamente equivalente al shift uni-lateral.

Demostración. Si V es un operador unitario que mapea `2 en H2 dado por

V (a0, a1, ...) =∞∑n=0

anzn,

es trivial veri�car que V S = MzV. >

4.2. Shifts unilateral y bilateral.

En esta sección se hace un estudio más detallado del shift unilateral de multipli-cidad 1. Sea U un shift bilateral en `2(Z) : Uen = en+1, donde {en} es la baseusual para `2(Z). U es un operador estrella-cíclico unitario y esto es equivalente

40

a la multiplicación por z, la variable independiente, sobre L2(µ) para alguna me-dida µ en ∂D. La introducción a la teoría funcional comienza mostrando que unisomor�smo que implementa tal equivalencia unitaria es una Transformada de Fou-rier. En efecto,la Transformada de Fourier es el único isomor�smo que implementaesta equivalencia unitaria y toma e0 como una función constantemente igual a 1.La medida normalizada de Lebesgue en ∂D se denotarán por m y los espacios deLebesgue de esta medida se denotarán por Lp(∂D) o simplemente Lp.

De�nición 4.24. Si f ∈ L1, luego la Transformada de Fourier de f es la funciónf : Z 7−→ C de�nida por

f(n) =

∫fzndm.

Notar que como m es una medida �nita, Lp ⊆ L1 para 1 ≤ p ≤ ∞.Por lo tanto,f está de�nida por f en Lp y para toda p. Un polinomio trigonométrico es unafunción p en C(∂D) de la forma p(z) =

∑nk=−n akz

k.

Lema 4.25. Los polinomios trigonométricos son uniformemente densos en el es-pacio de funciones continuas en el círculo y, por lo tanto, densos en Lp para1 ≤ p < ∞; estos son débilmente densos en L∞.Así {zn : n ∈ Z} es una baseortonormal para L2.

Teorema 4.26. Si f ∈ L2, luego f ∈ `2(Z). Si V : L2 7−→ `2(Z) está de�nidopor V f = f , luego V es un isomor�smo y si W denota la multiplicación por z enL2,luego VWV −1 es un shift bilateral.

Demostración. La primera parte, que f ∈ `2(Z), así como también la a�rmaciónde que V es una isometría es consecuencia directa de la identidad de Parseval ydel hecho que {zn} es una base para L2. Si f = zn, luego es sencillo probar quef(k) = 0 si k 6= n y f(n) = 1. Esto es, f es el vector básico enésimo en `2(Z). Asíran V es denso y entonces V debe ser un isomor�smo.Si {en} es la base usual en `2(Z), luego el párrafo anterior muestra que V (zn) =en. Así VW (zn) = V (zn+1) = en+1 = UV (zn). Esto completa la demostración.>

Corolario 4.27. Si U es un shift bilateral de cualquier multiplicidad, luego σ(U) =∂(D).

41

Recordar que las propiedades espectrales de un shift unilateral S de multiplicidadα se determinaron en la Proposición 4.21.

De�nición 4.28. Para 1 ≤ p ≤ ∞, Hp = {f ∈ Lp tal que f(n) = 0 para n < 0}.

Ahora volvamos a la notación del Teorema 4.26. Si `2 ≡ `2(N ∪ {0}), luegoV −1`2 = H2. Como V −1en = zn, se sigue que los polinomios analíticos son densosen H2. También, el shift unilateral, U |`2, es unitariamente equivalente a W |H2.Esta información está reunida en el siguiente teorema.

Teorema 4.29. Los polinomios analíticos son densos en H2 y el shift unilateral esunitariamente equivalente a la multiplicación por z en H2. Además, el isomor�smoque implementa esta equivalencia unitaria es la restricción de la Transformada deFourier.

Así el shift unilateral será identi�cado con la multiplicación por z en H2 yambos serán denotados por S.En la Proposición 4.20 se mostró que cuando |λ| < 1,el vector (1, λ, λ2, ...) ∈`2 y es un autovector para S∗ correspondiente al autovalor λ. Equivalentemente,Ker(S − λ)∗ está generado por (1, λ, λ2, ...). Mapeando este vector en H2 por laTransformada de Fourier inversa dada por la función

∞∑n=0

λnzn = (1− λz)−1 ≡ kλ(z).

Notar que kλ ∈ H2∩L∞ = H∞. La próxima proposición registra esta informaciónjunto con una propiedad adicional de la función kλ.

Proposición 4.30. Si |λ| < 1 y kλ(z) = (1 − λz)−1, luego kλ ∈ H∞, ‖ kλ ‖2=(1− |λ|2)−1/2, 〈p, kλ〉 = p(λ) para todo los polinomios, y S∗kλ = λkλ.

Demostración. Para calcular la norma de kλ, aplicamos la identidad de Parsevala kλ =

∑n λ

nen. También si n ≥ 0,luego 〈zn, kλ〉 = λn.Por lo tanto, 〈p, kλ〉 =p(λ) para cada polinomio. El resto de la prueba se sigue de la Proposición 4.20.>

42

La razón por la que un autovector kλ se distingue de sus múltiplos escalares esel hecho que 〈p, kλ〉 = p(λ) para todos los polinomios p. Se verá que esta propiedades importante. De hecho la función kλ se llama el núcleo de reproducción para H2

a λ.Ya se ha establecido que H2 es un subespacio cerrado de L2 y {zn : n ≥ 0} es unabase ortonormal de H2. Entonces si f ∈ H2, f =

∑∞n=0 f(n)zn, donde f(n) es el

coe�ciente enésimo de Fourier y

∞∑n=0

|f(n)|2 =‖ f ‖2<∞.

Se sigue que el radio de convergencia de la serie de potencias∑

n f(n)zn es a losumo 1. Así cada f en H2 está asociada con una única función analítica de�nidaen el disco unitario abierto, D. Esta conexión con las funciones analíticas puede serexplorada y, como resultado, se puede obtener información sobre H2.

Proposición 4.31. Si φ ∈ H∞ y f ∈ H2, luego φf ∈ H2.A la inversa, si φ ∈ L∞y φf ∈ H2 para toda f en H2 , luego φ ∈ H∞.

Demostración. Sea φ ∈ L∞ y k ∈ Z. Para cualquier n en Z se sigue que

(φzk)(n) =

∫φzkzndm =

∫φzn−kdm = φ(n− k).

Si φ ∈ H∞, k ≥ 0, y n ≤ −1, luego φzk(n) = φ(n − k) = 0 cuando n − k ≤ −1.Así φzk ∈ H2 para todo k ≥ 0. Por lo tanto, φp ∈ H2 para todos los polinomios p.Luego φH2 ⊆ H2 por Proposición 4.29.A la inversa, asumimos que φ ∈ L∞ y φf ∈ H2 para toda f en H2. En particular,φ = φ1 ∈ H2. Por lo tanto, los coe�cientes de Fourier negativos de φ se anulan y en-tonces φ ∈ H∞. >

Corolario 4.32. H∞ es una subálgebra de L∞.

Demostración. Si φ, ψ ∈ H∞ y f ∈ H2, luego (φψ)f = φ(ψf). Pero la propo-sición anterior implica que ψf ∈ H2. Aplicando la proposición otra vez muestraque φ(ψf) ∈ H2. La inversa de la proposición ahora muestra que φψ ∈ H∞.>

43


Así para cada φ en H∞ el operador φ(S) puede ser de�nido en H2 por φ(S)f =φf . La notación más tradicional es φ(S) = Tφ, el operador Toeplitz analítico consímbolo φ.Ahora probaremos uno de los más célebres teoremas en análisis, el Teorema deBeurling. Esto se derivará como una consecuencia de un resultado un poco másgeneral que será útil en desarrollos futuros.

Teorema 4.33. Si µ es una medida soportada en ∂D y U = Nµ, luego M esun subespacio invariante para U si y sólo si hay una función de Borel φ y unsubconjunto de Borel ∆ de ∂D tal que φχ∆ = 0 (c.t.p. [µ]), |φ|2µ = m,y

M = φH2 ⊕ L2(ψ|∆).

Demostración. Asumimos que existen la función φ y el conjunto ∆. Para h enH2,

∫|φh|2dµ =

∫|h|2dm. Así h 7−→ φh es una isometría de H2 en L2(µ). Por lo

tanto, M0 = φH2 es un subespacio cerrado de L2(µ) y claramente M0 ∈ LatU .L2(µ|∆) ∈ LatU . También el hecho que φχ∆ = 0 (c.t.p. [µ]) implica que

φH2 ⊥ L2(µ|∆)

en L2(µ). Por lo tanto,

M = φH2 ⊕ L2(µ|∆) ∈ LatU.

Para la inversa asumimos que M ∈ LatU . Entonces U |M es una isometría y,por Teorema 4.10, se descompone en la suma directa de un shift unilateral y ununitario.Se probará que si U |M es un shift o un unitario, luego M tiene una delas dos formas. Dado que la condición φχ∆ = 0 (c.t.p. [µ] ) es equivalente a lacondición que φ ∈ L2(µ|∆)⊥, esto completa la prueba.Si U |M es unitario,M es un subespacio reductor para U(4.9). Por Corolario (*)hay un conjunto de Borel ∆ tal queM = L2(µ|∆).

Corolario (*): Si µ es cualquier medida soportada compacta en C, luego {Nµ}′

=Aµ.

Ahora supongamos que M ∈ Lat(U) y U |M es un shift. Como U |M tiene unaextensión unitaria estrella-cíclica (viz, U), la extensión unitaria minimal de U |Mes la restricción de U de algún subespacio reductor. Este espacio reductor tienela forma L2(µ|Λ) para algún conjunto de Borel Λ contenido en ∂D. Esto dice doscosas.Primero, que la extensión unitaria minimal de U |M, V ≡ U |L2(µ|Λ) es unaestrella-cíclica, y entonces U |M es un shift de multiplicidad 1 (Corolario 4.18).Segundo, V ∼= Nm, el shift bilateral. Por lo tanto, µ|Λ y m son mutualmente abso-lutamente continuos.Como U |M es un shift de multiplicidad 1, hay un isomor�smo W : H2 7−→M talque WS = UW , donde S es la multiplicación por z en H2. Sea φ = W (1); entonces

44

φ ∈ L2(µ). Como 1 es un vector cíclico de S, φ es un vector cíclico para U |M. Tam-bién {znφ : n ∈ Z} es una base ortonormal para L2(µ|Λ) que es shifeado por V . En-toncesW extiende a un isomor�smoW : L2 7−→ L2(µ|Λ) tal queWNm = VW . Co-moW (1) = φ,Wh = φh para toda h en L2 y m = |φ|2µ. Además se sigue queM =WH2 = φH2. >

Notar que si la medida µ del teorema anterior es tal que hay un subespacio in-varianteM con U |M no unitario, luego la existencia de la función φ implica quem << µ. Esto esencialmente prueba lo siguiente.

Corolario 4.34. Si µ es una medida soportada en ∂D y U = Nµ, luego U tieneun subespacio invariante no reductor si y sólo si m << µ.

Demostración. Se demostró la mitad de la prueba antes del corolario. Si m <<µ, luego hay una función φ en L2(µ) tal que m = |φ|2µ. Hay que demostrarahora que M = φH2 es un subespacio invariante para U que no es reductor.>

La descomposición en suma directa en el teorema anterior es precisamente la des-composición de von Neumann-Wold de la isometría Nµ|M. Si el subespacio inva-rianteM tiene la formaM = φH2 para una función φ tal que |φ|2µ = m, decimosqueM es un subespacio puro invariante. Una terminología más tradicional es lla-mar a tales subespacios Subespacios invariantes simples.

Corolario 4.35. Si µ es una medida en ∂D tal que la medida de Lebesgue no esabsolutamente continua con respecto a µ, luego los polinomios son densos en L2(µ).

Demostración. Sea P 2(µ) la clausura de los polinomios en L2(µ).Entonces P 2(µ) esun subespacio invariante paraNµ. Por el corolario anterior,P 2(µ) es reductor. Por lotanto, P 2(µ) = L2(µ|∆) para algún subconjunto de Borel ∆ de ∂D. Pero 1 ∈ P 2(µ),entonces ∆ = ∂D [µ]. >

Ahora consideremos el caso especial de que la medida µ en el Teorema 4.33 es lamedida de Lebesgue. Si φ ∈ L2 y |φ|2m = m, luego |φ| = 1 c.t.p. Así es imposible

45

Subespacios invariantes y reductores. Análisis Funcional

que haya un conjunto de Borel ∆ tal que fχ∆ = 0 a menos que m(∆) = 0. Por lotanto, en este caso, cada subespacio invariante debe tener una forma u otra. Estoes, cada subespacio invariante para el shift bilateral es o bien puro o bien reductor.Esto se resume de la siguiente manera:

Corolario 4.36. Si U es un shift bilateral en L2 y M ∈ LatU , luego o bien hayun conjunto de Borel ∆ tal que M = L2(m|∆) o hay una función φ en L∞ con|φ| = 1 c.t.p. yM = φH2.

5. Subespacios invariantes y reductores.

Hay algunos subespacios invariantes triviales del shift unilateral. Pensando a Scomo un operador de `2, es claro que, para cada número natural n, el subespacioque consiste en aquellas secuencias curas primeras n coordenadas son cero bajoS. El subespacio invariante para Mzen H2 es el subespacio de H2 que consiste enaquellas funciones cuyas primeras n derivadas se anulan en el origen.El shift unilateral tiene muchos subespacios invariantes que son difíciles de describiren `2. Veremos que todos los subespacios invariantes del shift unilateral pueden serexplícitamente descriptos como subespacios de H2.Una familia de tales subespacios es la siguiente. Para cada z0 ∈ D sea

Mz0 ={f ∈ H2 : f(z0) = 0

}.

Como f(z0) = 0 implica z0f(z0) = 0, es claro que Mz0 ∈ LatU . Esto tambiénse puede obtener como consecuencia del hecho de que las funciones kernel kz0 sonvectores propios para S∗, lo que implica que {kz0}

⊥ ∈ LatU yMz0 = {kz0}⊥ .

Es fácil determinar los subespacios reductores del shift unilateral.

De�nición 5.1. El subespacioM reduce el operador A siM yM⊥ son invariantesbajo A.

46


Teorema 5.2. Sea P la proyección sobre el subespacioM. LuegoM es un subes-pacio reductor para A si y sólo si PA = AP . También,M reduce A si y sólo siMes invariante bajo A y A∗.

Demostración. Si M es un subespacio reductor, luego M y M⊥ son invariantesbajo A. Si P es la proyección sobreM, es fácil ver que I−P es la proyección sobreM⊥. Luego A(I − P ) = (I − P )A(I − P ). Distribuyendo la última ecuación setiene A− AP = A− PA− AP + PAP , lo que se simpli�ca a PAP = PA. ComoM∈ LatA se tiene también que AP = PAP y así PA = AP .Inversamente, se asume AP = PA. Sea f ∈M; para probar queM es invariante,se necesita probar que Af ∈ M. Por hipótesis, PAf = APf y, como Pf = f , sesigue que PAf = Af , que es equivalente a Af ∈ M. Así M ∈ LatA. Tambiénse tiene que (I − P )A = A(I − P ) y con un argumento análogo se prueba que sif ∈M⊥, luego Af ∈M⊥. Por lo tanto,M⊥ ∈ LatA y A es reductor.Para la segunda parte del teorema notar que, como P es autoadjunto, PA = APsi y sólo si PA∗ = A∗P . Esto signi�ca queM es reductor para A si y sólo siM esreductor para A∗. En particular,M es invariante para A y A∗.Para la inversa de la segunda parte, observar que PAP = AP y PA∗P = A∗P . Sise toma el adjunto de la última ecuación se sigue que AP = PA y asíM es reductor,por la primera parte del teorema. >

Teorema 5.3. Los únicos subespacios reductores del shift unilateral son {0} y elespacio completo.

Demostración. Esto se demuestra fácilmente usando cualquier representación deS. Suponer que M es un subespacio de `2 que reduce S y es diferente a {0}. Sedebe demostrar queM = `2.ComoM 6= {0}, se deduce que existe un vector no nulo

(a0, a1, a2, ...) ∈M.

ComoM es reductor, es invariante bajo S y S∗. Se elije k0 tal que ak0 6= 0. LuegoS∗k0(a0, a1, a2, ...) tiene una primera coordenada distinta de cero y está enM. Re-etiquetando,se puede asumir que a0 6= 0. Luego,

SS∗(a0, a1, a2, ...) = (0, a1, a2, ...),

y así (0, a1, a2, ...) ∈M. Se sigue que

(a0, a1, a2, ...)− (0, a1, a2, ...) = (a0, 0, 0, ...) ∈M,

ya queM es un subespacio. Dividiendo por a0, se ve que (1, 0, 0, 0, ...) está enM; es-to es, e0 ∈M.Como en = Sne0 para cada n, se sigue queM contiene cada vector bá-sico en, entoncesM = `2. >

47


El shift bilateral tiene muchos subespacios reductores. Para caracterizarlos, esútil empezar determinando los operadores que conmutan con este shift.

De�nición 5.4. El conmutante de un operador lineal acotado A es el conjunto detodos los operadores lineales acotados que conmutan con A.

De�nición 5.5. Sea φ la función en L∞. El operador de multiplicación por φ,denotado por Mφ, está de�nido por Mφf = φf para cada f ∈ L2.

Teorema 5.6. Si φ es una función en L∞, luego ‖Mφ ‖=‖ φ ‖∞.

Demostración. Sea f ∈ L2 con ‖ f ‖= 1. Como |φ(eiφ)| ≤‖ φ ‖∞ c.t.p, se sigue que

‖Mφf ‖2=1

2π

∫ 2π

0

|φ(eiφf(eiφ)|2dθ ≤‖ φ ‖2∞

1

2π

∫ 2π

0

|f(eiφ)|2dθ.

Esto implica que ‖Mφf ‖≤‖ φ ‖∞ .Ahora se establece la otra desigualdad. Sea λ0 =‖ φ ‖∞. Si λ0 = 0 no hay nada queprobar, entonces se asume λ0 6= 0. Para todo número natural n, el conjunto

En =

{eiθ : |φ(eiθ)| > λ0 −

1

n

}tiene medida positiva.Si χn es la función característica de este conjunto y m es la medida de Lebesguenormalizada en S1, se tiene, cuando n es su�cientemente grande, que λ0 − 1

n> 0,

‖Mφχn ‖2 =1

2π

∫En

|φ(eiθ)|2dθ

≥ 1

2π

∫En

(λ0 −

1

n

)2

dθ

=

(λ0 −

1

n

)2

m(En).

También, ‖ χn ‖2= m(En). Se sigue que si fn = χn/ ‖ χn ‖, luego

‖Mφfn ‖≥ λ0 −1

n

48


para n su�cientemente grande, y entonces

‖Mφ ‖≥ λ0 −1

n.

Así, ‖Mφ ‖≥ λ0 =‖ φ ‖∞ . >

Teorema 5.7. El conmutante de T (considerado como un operador en L2) es

{Mφ : φ ∈ L∞} .

Demostración. Recordar que T = Meiθ . Si φ ∈ L∞, luego claramente Mφ conmutacon Meiθ y así {Mφ : φ ∈ L∞} está contenido en el conmutante.Inversamente, se asume que A es el conmutante de T . Se de�ne φ = Ae0. Clara-mente φ ∈ L2. Se debe demostrar que φ ∈ L∞ y que A = Mφ. Como A conmutacon T n para cada número natural n, se sigue que

Aeinθ = AT ne0 = T nAe0 = einθAe0 = φeinθ,

para n = 0, 1, 2, .... Como T es invertible, se sigue que AT−1 = T−1A, y así queAeinθ = φeinθ para todo entero n. Por linealidad, se sigue que Ap = φp para todoslos polinomios trigonométricos p.Si f es una función en L2, luego existe una sucesión de polinomios trigonométricos{pn} tales que {pn} −→ f en L2 cuando n −→ ∞. Como A es continuo, se sigueque {Apn} −→ Af , y así que {φpn} −→ Af en L2.Ahora, como {pn} −→ f en L2, existe una subsucesión {pni}, tal que {pni} −→ fen casi todo punto en S1. Así {φpni} −→ φf en casi tod punto. Pero {φpni} −→ Afen L2. Por lo tanto, Af = φf en casi todo punto. Esto es, A = Mφ.Queda por demostrar que φ ∈ L∞. Se �ja un número natural n y sea En ={eiθ : |φ(eiθ)| > n

}. Se debe demostrar que m(En) = 0 para n su�cientemente

grande, donde m es la medida de Lebesgue normalizada en S1. Sea χn la funcióncaracterística en En (que está en L2). Luego

‖ Aχn ‖2=‖ φχn ‖2=1

2π

∫En

|φ(eiθ)|2dθ ≥ n2m(En).

También,

‖ χn ‖2=1

2π

∫En

dθ = m(En).

Así ‖ Aχn ‖2≥ n2 ‖ χn ‖2. Por lo tanto, si n >‖ A ‖, luego ‖ χn ‖= 0, entoncesm(En) = 0. Esto es, φ ∈ L∞. >

49

Se puede describir explícitamente los subespacios reductores de un shift bilate-ral.

Corolario 5.8. Los espacios reductores del shift bilateral en L2 son los subespaciosME =

{f ∈ H2 : f(eiθ) = 0 c.t.p. en E

}para conjuntos medibles E ⊂ S1.

Demostración. Fijado cualquier subconjunto medible E de S1 y sea

ME ={f ∈ H2 : f(eiθ) = 0 c.t.p. en E

}.

Si f(eiθ0) = 0, luego eiθ0f(eiθ0) = 0, entoncesME es invariante bajo T . De manerasimilar, si f(eiθ0) = 0, luego e−iθ0f(eiθ0) = 0, entoncesME es invariante bajo T ∗.Por lo tanto,ME es reductor.SiM es un subespacio reductor de T y P es la proyección sobreM, luego TP = PT .Por el teorema previo, P = Mφ para alguna φ ∈ L∞. Como P es una proyección,P 2 = P y así M2

φ = Mφ. Esto implica que φ2 = φ en casi todo punto.Pero esto implica que φ = χF , la función característica del conjunto medible F ={eiθ ∈ S1 : φ(eiθ) = 1

}. AsíM = {f ∈ L2 : fχF = f}. Sea E el complemento de F ;

luegoM ={f ∈ L2 : f(eiθ) = 0c.t.p en E

}=ME. >

Se puede dar una descripción de de los subespacios invariantes no reductores de unshift bilateral.

Para cada entero n, sea en(eiθ) = einθ, considerada como una función en S1. Esbien sabido que el conjunto {en : n ∈ Z} forma una base ortonormal para L2.Sede�ne el espacio H2 como el siguiente subespacio de L2:

H2 = {f ∈ L2 : (f , en) = 0para n<0}.

Esto es, f ∈ H2 si su serie de Fourier es de la forma f(eiθ) =∑∞

n=0 aneinθ con

∞∑n=0

|an|2 <∞.

Es claro que H2 es un subespacio cerrado de L2. También u hay una identi�caciónnatural entre H2 y H2. Es decir, identi�camos la función f ∈ H2 que tiene serie deFourier

∑∞n=0 ane

inθ con la función analítica f(z) =∑∞

n=0 anzn. Esta identi�cación

es claramente un isomor�smo entre H2 y H2. Por supuesto, esta identi�cación,aunque natural, no describe la relación entre f ∈ H2 y f ∈ H2 como funciones.

50


Teorema 5.9. Los subespacios de L2 que son invariantes pero no reductores parael shift bilateral son de la formaM = φH2, donde φ es una función en L∞ tal que|φ(eiθ)| = 1 c.t.p.

Demostración. Primero notar que φ ∈ L∞ y |φ(eiθ)| = 1 c.t.p. implica que eloperador Mφ es una isometría, ya que, para cualquier f ∈ L2,

‖ φf ‖2=1

2π

∫ 2π

0

|φ(eiθ)f(eiθ)|2dθ =1

2π

∫ 2π

0

|f(eiθ)|2dθ =‖ f ‖2 .

Como Mφ es una isometría, MφH2 = φH2 es un subespacio cerrado. Como TH2

está contenido en H2 y Mφ conmuta con T , se sigue que TφH2 ⊂ φH2. Por lotanto, cada subespacio de la forma φH2 es invariante bajo T .Es fácil mostrar que ningún subespacio de este tipo reduce T . Dada cualquier φcomo arriba, φ ∈ φH2. Pero T ∗φ = e−iθφ 6∈ φH2, ya que e−iθ 6∈ H2.Inversamente, seaM cualquier subespacio de L2 que es invariante bajo T pero noes reductor. La idea de la demostración de queM tiene la forma deseada provienedel siguiente razonamiento:SiM fuere igual a φH2, con |φ(eiθ)| = 1c.t.p. y f ∈ H2, luego

(φeiθf, φ) =1

2π

∫ 2π

0

φ(eiθ)φ(eiθ)eiθf(eiθ)dθ =1

2π

∫ 2π

0

eiθf(eiθ)dθ = 0.

Así φ es ortogonal a eiθφH2; i.e., φ ⊥ TM. Así si φ satisface la conclusión delteorema, φ ∈M TM. Esto motiva la elección de φ de abajo.Si TM = M, luego M = T−1(M) = T ∗(M). Así, la suposición de que M noreduce implica que TM es un espacio apropiado deM.Se elije cualquier función enMTM tal que ‖ φ ‖= 1.Se muestra |φ(eiθ)| = 1c.t.p.y queM = φH2.Primero que todo, como φ ⊥ TM, se sigue que φ ⊥ T nφ para todo n ≥ 1. Estoimplica que

1

2π

∫ 2π

0

φ(eiθ)φ(eiθ)e−inθdθ = 0

para n = 1, 2, 3, ..., que puede ser escrito como

1

2π

∫ 2π

0

|φ(eiθ)|2e−inθdθ = 0

para n = 1, 2, 3, ...1

2π

∫ 2π

0

|φ(eiθ)|2e−inθdθ = 0

para n ∈ Z− {0}.

Así |φ(eiθ)| es constante. Como ‖ φ ‖= 1, se sigue que |φ(eiθ)| = 1 c.t.p. Notar queesto prueba, en particular, que φ ∈ L∞.

51

Ahora se muestra queM = φH2. Primero notar que, |φ(eiθ)| = 1 c.t.p. implica queMφ es un operador unitario, ya que su inverso es M 1

φ. Así Mφ manda el conjunto

ortonormal {einθ}∞n=−∞ al conjunto ortonormal {φeinθ}∞n=−∞. En particular, mandala base ortonormal {einθ}n≥0 de H2 a la base ortonormal {φeinθ}n≥0 de H2, y labase ortonormal {einθ}n<0 de (H2)⊥ a la base ortonormal {φeinθ}n<0 de (φH2)⊥.Como φ ∈M y φeinθ = T nφ para n ≥ 0, se sigue que φH2 ⊂M.Para probar la otra contención, se supone que f ∈ M. Para demostrar que f estáen φH2 basta con establecer que f es ortogonal a (φH2)⊥.Para n < 0,

(φeinθ, f) =1

2π

∫ 2π

0

φ(eiθ)einθf(eiθ)dθ

=1

2π

∫ 2π

0

φ(eiθ)e−inθf(eiθ)dθ.

Notar que, como n es negativo, T−nf ∈ TM. Pero T−nf = e−inθf , entoncese−inθf ∈ TM. Como φ ⊥ WM, se sigue que

1

2π

∫ 2π

0

φ(eiθ)e−inθf(eiθ)dθ = 0.

Por lo tanto, f ⊥ (φH2)⊥. O, equivalentemente, f ∈ φH2. >

Ahora se plantea la pregunta de hasta qué punto los subespacios invariantes delshift unilateral determinan de forma única la función φ.

Teorema 5.10. Si |φ1(eiθ)| = |φ2(eiθ)| = 1, c.t.p., luego

φ1H2 = φ2H

2

si y sólo si hay una constante c de módulo 1 tal que φ1 = cφ2.

Demostración. Claramente φ1H2 = cφ1H

2 cuando |c| = 1. Inversamente, suponerque φ1H

2 = φ2H2 con |φ1(eiθ)| = |φ2(eiθ)| = 1, c.t.p. Luego existen funciones f1 y

f2 en H2 tales que φ1 = φ2f2 y φ2 = φ1f1.

Como |φ1(eiθ)| = 1 = |φ2(eiθ)| c.t.p, se sigue que

φ1φ2 = f2

yφ2φ1 = f1;

52

i.e., f1 = f2. Pero como f1 y f2 están en H2, f1 = f2 implica que f1 tiene coe�cientesde Fourier iguales a cero para todos los índices positivos y negativos. Como elúnico coe�ciente distinto de cero está en el primer lugar, f1 y f2 son constantes,obviamente con módulos igual a 1.

>

Como el shift unilateral es una restricción del shift bilateral a un subespacioinvariante, los subespacios invariantes del shift unilateral están determinados porel Teorema 5.9 éstos son subespacios invariantes del shift bilateral que están con-tenidos en H2. En este caso, las funciones que generan los subespacios invariantesson ciertas funciones analíticas cuya estructura es importante.

De�nición 5.11. Una función φ ∈ H∞ que satisface |φ(eiθ)| = 1 c.t.p. es unafunción interna.

Teorema 5.12. Si φ es una función interna no constante, luego |φ(z)| < 1 paratodo z ∈ D.

La de�nición de funciones internas requiere que las funciones estén en H∞. Amenudo es útil saber que esto sucede si una función está en H2 y tiene valoreslímite de módulo 1 c.t.p.

Teorema 5.13. Sea φ ∈ H2. Si |φ(eiθ)| = 1, luego φ es una función interna.

Corolario 5.14. Teorema de Beurling. Cada subespacio invariante del shiftunilateral que no sea {0} tiene la forma φH2, donde φ una función interna.

Demostración. El shift unilateral es la restricción de la multiplicación por eiθ a H2,entonces siM es un subespacio invariante del shift unilateral, éste es un subespacioinvariante del shift bilateral contenido en H2. Así, por Teorema 5.9,M = φH2 paraalguna función medible que satisface |φ(eiθ)| = 1 c.t.p. (Notar que {0} es el únicosubespacio reductor del shift bilateral que está contenido en H2.) Como 1 ∈ H2,φ ∈ H2.Traduciendo esta situación de nuevo a H2 en el disco, daM = φH2 con φ interna,por Teorema 5.13. >

53

Funciones internas y externas. Análisis Funcional

De�nición 5.15. Si A es cualquier subconjunto no vacío de un espacio de Hilbert,luego el span de A, a menudo denotado por ∨{f : f ∈ A} o ∨A, es la intersección detodos los subespacios que contienen A. Es obvio que ∨A es siempre un subespacio.

Corolario 5.16. Cada subespacio invariante del shift unilateral es cíclico.

Demostración. SiM es un subespacio invariante del shift unilateral, tiene la formaφH2 por el Teorema de Beurling. Para cada n, S2φ = znφ, entonces ∨∞n=0{Snφ}contiene todas las funciones de la forma φ(z)p(z), donde p es un polinomio. Comolos polinomios son densos en H2 (como las sucesiones �nitas son densas en `2), sesigue que

∞∨n=0

{Snφ} = φH2.

>

5.1. Funciones internas y externas.

Se verá que cada función en H2, distinta de la función constante 0, puede ser escritacomo producto de una función interna y un vector cíclico para el shift unilateral.Se demostrará que tales vectores cíclicos tienen una forma especial.

De�nición 5.17. La función F ∈ H2 es una función externa si F es un vectorcíclico para el shift unilateral. Esto es, F es una función externa si

∞∨K=0

{SkF} = H2

.

Teorema 5.18. Si F es una función externa, luego F no tiene ceros en D.

54


Demostración. Si F (z0) = 0, luego (SnF )(z0) = zn0F (z0) = 0 para todo n. Comoel límite de una sucesión de funciones en H2 que se anulan en z0 también se anulaen z0,

∞∨K=0

{SkF}

no puede ser todoH2. Por lo tanto, no hay z0 ∈ D con F (z0) = 0. >

Recordar que una función analítica en D es idénticamente cero si se anula enun conjunto que tiene un punto límite en D. El próximo teorema es un resultadoanálogo para valores límite de funciones en H2.

Teorema 5.19. El F. y M. Teorema de Riesz. Si f ∈ H2 y el conjunto{eiθ : f(eiθ) = 0} tiene medida positiva, luego f es idénticamente 0 en D.

Demostración. Sea E = {eiθ : f(eiθ) = 0} y sea

M =∞∨k=0

{Skf} =∞∨k=0

{eikθf}.

Luego cada función g ∈ M se anula en E, ya que todas las funciones eikθflo hacen. Si f no es idénticamente cero, se sigue del Teorema de Beurling queM = φH2 para alguna función interna φ. En particular, esto implica que φ ∈ M,entonces φ se anula en E. Pero |φ(eiθ)| = 1 c.t.p. Esto contradice la hipótesisque E tiene medida positiva, por lo tanto f y f deben ser idénticamente cero.>

Otro resultado que se sigue del Teorema de Beurling es la siguiente factorizaciónde funciones en H2.

Teorema 5.20. Si f es una función en H2 que no es idénticamente cero, luego f =φF , donde φ es una función interna y F es una función externa. Esta factorizaciónes única salvo factores constantes.

Demostración. Sea f ∈ H2 y considerar∨∞n=0{Snf}. Si éste span está es H2, luego

f es externa por de�nición, y se puede tomar φ como la función constante 1 yF = f para obtener la conclusión deseada.

55


Si∨∞n=0{Snf} 6= H2, por el Teorema de Beurling, debe existir una función interna

no constante φ con∨∞n=0{Snf} = φH2. Como f está en

∨∞n=0{Snf} = φH2, existe

una función F en H2 con f = φF . Se debe demostrar que F es externa.El subespacio invariante

∨∞n=0{SnF} es igual a ψH2 para alguna función interna

ψ. Luego, como f = φF , se sigue que Snf = Sn(φF ) = φSnF para cada enteropositivo n, de lo que se puede concluir, tomando spans lineales, que φH2 = φψH2.El Teorema 3.10 ahora implica que φ y φψ son múltiplos constantes de cada uno.Por lo tanto, ψ debe ser una función constante. Así

∨∞n=0{SnF} = H2, entonces F

es una función exterior.Notar que si f = φF con φ interna y F externa, luego

∨∞n=0{Snf} = φH2. Así, la

unicidad de la factorización se deriva del Teorema 5.10. >

De�nición 5.21. Para f ∈ H2, si f = φF con φ interna y F externa, se llama φparte interna de f y F la parte externa de f .

Teorema 5.22. Los ceros de una función en H2 son precisamente los ceros de suparte interna.

Demostración. Se sigue inmediatamente del Teorema 5.18 y del Teorema 4.20.>

Entender la estructura de Lat S como un lattice requiere ser capaz de determinarcuándo φ1H

2 está contenido en φ2H2 para funciones internas φ1 y φ2. Ésto se

logrará mediante el análisis de una factorización de las funciones internas.

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BIBLIOGRAFÍA Análisis Funcional

Bibliografía

[1] J.B. Conway, A course in Operator Theory, Graduate studies in mathema-tics; v.21. Board(1991).

[2] G. Hoepfner, Hardy spaces, its variants and applications, Temple University,Brasil (2007).

[3] D. Stojanoff, Un curso de Análisis Funcional, U.N.L.P., Argentina (2012).

[4] J. Balkare, Shift Operator in `2 Space, Royal Institute of Technology (2014).

[5] R. Martínez, A. Rosenthal, An Introduction to Operators on the Hardy-Hilbert Space, Springer (2007).

[6] S. Ferguson y M. Lacey, A characterization of product BMO by commu-tators, Acta Math. 189 (2002), 143-160.

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