MATEMATICAS ESPECIALES II - 2019PRACTICA 8

Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes analıticos.Parte 1 - Soluciones alrededor de un punto ordinario.

La ED lineal de segundo orden homogenea

y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0 (1)

se encuentra entre las mas importantes desde el punto de vista de las aplicaciones.

La caracterıstica central de este tipo de ED es que el comportamiento de las soluciones en un entorno delpunto x0 dependera del comportamiento de los coeficientes p(x) y q(x) en un entorno de x0.

I Definicion. El punto x0 es un punto ordinario de la ecuacion (1) si p(x) y q(x) son analıticas en x0.Si al menos una de estas funciones no es analıtica en x0, entonces x0 es un punto singular de (1).

I Teorema. Sea x0 un punto ordinario de la ecuacion diferencial (1). Entonces, existe una unica soluciony(x), que tambien es analıtica en x0, y satisface las condiciones iniciales

y(x0) = a y′(x0) = b.

Mas aun, si los desarrollos en series de Taylor de p(x) y q(x) son validos en |x − x0| < r, entonces, eldesarrollo en series de Taylor de y(x) tambien sera valido en el mismo intervalo.

Ejemplos.

I Considerar la ecuacion diferencial (1 + x2)y′′ − 2xy′ + 4x2y = 0. Determinar el radio de convergencia de laserie solucion en un entorno de x0 = −1/2.

En este caso,

p(x) = − 2x

x2 + 1y q(x) =

4x2

x2 + 1→ x0 = −1/2 es un punto ordinario.

Razonando en el plano complejo, ambos coeficientes tienen polos simples en z = ±i. La distancia desdez0 = −1/2 a z = ±i es

√1 + 1/4 =

√5/2. Luego, los desarrollos en series de Taylor correspondientes a p(z) y

q(z) centrados en z0 = −1/2 convergen en |z + 1/2| <√

5/2. Entonces (ver teorema), el desarrollo en series deTaylor de la solucion y(x) sera convergente, al menos, en |x+ 1/2| <

√5/2.

I Encontrar la solucion general de la ecuacion y′′ − xy′ + 2y = 0 en una vecindad del punto x0 = 0.

En este caso, p(x) = −x y q(x) = 2. Ambas funciones son polinomiales y, por lo tanto, analıticas en todo punto.Consecuentemente, todo punto x (en particular, x0 = 0) es un punto ordinario para esta ecuacion. Luego,

existira una solucion de la forma y(x) =∑k≥0

akxk que converge en |x| <∞.

Para encontrar la solucion y(x) es necesario determinar los coeficientes ak para todo k. Para ello, seguiremosel siguiente procedimiento conocido como metodo de series de potencias o metodo de los coeficientesindeterminados. Consta de cinco pasos.

Primer paso: se sustituyen

y(x) =∑k≥0

akxk, y′(x) =

∑k≥1

k akxk−1, y′′(x) =

∑k≥2

k(k − 1) akxk−2

en la ecuacion diferencial

y′′(x)− xy′(x) + 2y(x) =∑k≥2

k(k − 1) akxk−2 − x

∑k≥1

k akxk−1 + 2

∑k≥0

akxk = 0.

Segundo paso: se suman las series; para ello, primero se agrupan los terminos con iguales potencias de x

2 a0 + 2 a1x+ 2∑k≥2

akxk

︸ ︷︷ ︸2∑k≥0

akxk

−a1x−∑k≥2

k akxk

︸ ︷︷ ︸−x

∑k≥1

k akxk−1

+∑k≥0

(k + 2)(k + 1) ak+2xk

︸ ︷︷ ︸∑k≥2

k(k − 1) akxk−2

= 0

2 a0 + 2 a1x+ 2∑k≥2

akxk − a1x−

∑k≥2

k akxk + 2 · 1 a2 + 3 · 2 a3x+

∑k≥2

(k + 2)(k + 1) ak+2xk

︸ ︷︷ ︸∑k≥0

(k + 2)(k + 1) ak+2xk

= 0

(2a0 + 2 · 1 a2) + (2 a1 − a1 + 3 · 2 a3)x+∑k≥2

(2 ak − k ak + (k + 2)(k + 1) ak+2)xk = 0

Tercer paso: la expresion anterior debe ser identicamente cero para todo x; esto implica que el coeficiente decada potencia de x debe ser igual a cero; es decir,

a0 + a2 = 0; a1 + 6a3 = 0; (2− k) ak + (k + 2)(k + 1) ak+2 = 0; k = 2, 3, 4, · · ·

El resultdo anterior puede escribirse de la siguiente manera

a2 = −a0; a3 = −a16

; ak+2 =k − 2

(k + 1)(k + 2)ak; k = 2, 3, 4, · · ·︸ ︷︷ ︸

relacion de recurrencia

Cuarto paso: se usa la formula de recurrencia para determinar los coeficientes ak para k ≥ 2; es decir,

k = 2 → a4 = 0,

k = 3 → a5 =1

4 · 5a3,

k = 4 → a6 =2

5 · 6a4 = 0,

k = 5 → a7 =3

6 · 7a5,

k = 6 → a8 =4

7 · 8a6 = 0,

·

·

·

k = 2n− 2 → a2n = 0, n = 1, 2, 3, · · ·

k = 2n− 1 → a2n+1 =2n− 3

2n(2n+ 1)a2n−1, n = 1, 2, 3, · · ·.

Claramente, todos los coeficientes impares dependen (por recurrencia) del coeficiente a1. Para establecer estadependencia explıcitamente, hagamos

a3 · a5 · a7 · · · a2n−1 · a2n+1 = − 1

2 · 3a1

1

4 · 5a3

3

6 · 7a5 · · ·

2n− 3

2n(2n+ 1)a2n−1 → a2n+1 = −1 · 3 · · · ·(2n− 3)

(2n+ 1)!a1.

Entonces, los coeficientes seran

a2 = −a0; a2n = 0; n ≥ 2, a2n+1 = −1 · 3 · · · ·(2n− 3)

(2n+ 1)!a1; n ≥ 1.

Quinto paso: se sustituyen los coeficientes hallados en la serie que define a y(x); es decir,

y(x) = a0 + a1x− a0x2 −1

3!a1x

3 + 0x4 − 1

5!a1 x

5 + · · · = a0(1− x2) + a1

(x−

∑k≥1

1 · 3 · · · ·(2n− 3)

(2n+ 1)!x2k+1

).

Entonces, haciendo

y0(x) = 1− x2; y1(x) = x−∑k≥1

1 · 3 · · · ·(2n− 3)

(2n+ 1)!x2k+1 → y(x) = a0 y0(x) + a1 y1(x);

se concluye que y(x) es solucion de la ED para cualquier eleccion de los coeficientes a0 y a1. En particular,eligiendo a0 = 1 y a1 = 0, se tiene que y0(x) satisface la ED. De la misma manera, eligiendo a0 = 0 y a1 = 1,se tiene que y1(x) tambien satisface la ED. Ademas,

W (y1, y2)(0) =

∣∣∣∣ y0(0) y1(0)y′0(0) y′1(0)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1 00 1

∣∣∣∣ = 1 → {y0(x), y1(x)} es linealmente independiente.

? ? ?

1. Para cada ecuacion diferencial, determinar el radio de convergencia de la serie solucion alrededor de cadauno de los puntos x0 indicados.

(a) (x2 − 2x− 3)y′′ + xy′ + 4y = 0; x0 = 4; x0 = 0; x0 = 4

(b) (x3 + 1)y′′ + 4xy′ + y = 0; x0 = 0; x0 = 2

2. Considere el PVI

{y′′ − x2y′ − 2xy = 0y(0) = 1, y′(0) = 0

. Probar primero que este problema posee una unica solucion

analıtica en x0 = 0. Luego, mostrar que la solucion esta dada por y(x) =∑k≥0

x3k

3kk!. Donde converge?

3. Utilizar el metodo de los coeficientes indeterminados para expresar la solucion general de cada una de lassiguientes ecuaciones como una serie de potencias alrededor del punto x0 = 0 y especificar un intervalo enel que la solucion es valida.

(a) (2x2 + 1)y′′ + 2xy′ − 18y = 0

(b) y′′ + x2y′ + 2xy = 0

4. Las soluciones de la ecuacion y′′−xy = 0 se denominan funciones de Airy (se encuentra en el estudio dela difraccion de la luz, la difraccion de ondas de radio alrededor de la superficie de la Tierra, problemasde la aerodinamica y la deflexion de vigas bajo su propio peso).

(a) Probar que toda funcion de Airy no trivial tiene infinitos ceros negativos.

(b) Encontrar las funciones de Airy, en forma de series de potencias de x, y verificar directamente queconvergen para todo x.

(c) Otra forma de la ecuacion de Airy es y′′ + xy = 0. Usar los resultados del inciso anterior paraencontrar la solucion general de esta ecuacion.

Funciones de Airy -- 𝑀(𝑥) = √𝐴𝑖2(𝑥) + 𝐵𝑖2(𝑥)

Las soluciones de la ecuacion de Airy tienen la siguiente propiedad que las vuelve muy interesantes(en particular, para las aplicaciones en optica): para x < 0, tienen un comportamiento similar a lasfunciones trigonometricas; para x > 0 son similares a funciones hiperbolicas.

5. La ecuacion diferencial lineal de segundo orden y′′−2xy′+2λy = 0 , donde λ es una constante no negativa,se conoce como la ecuacion de Hermite de orden λ.

(a) Utilizar el metodo de coeficientes indeterminados para hallar un conjunto fundamental de solucionespara la ecuacion de Hermite.

(b) Mostrar que la ecuacion de Hermite tiene una solucion polinomial de grado n si λ = n

Polinomios de Hermite

Se definen los polinomios de Hermite como las soluciones polinomicas de la ecuacion de Hermite conla siguiente propiedad: los terminos que contienen las potencias mas grandes de x son de la forma2nxn. La aplicacion mas conocida de los polinomios de Hermite esta relacionada con la teorıa deloscilador lineal armonico en mecanica cuantica.

6. La ecuacion diferencial (1−x2)y′′−xy′+λ2y = 0, donde λ es una constante, se conoce como la ecuacionde Tchebycheff y se presenta en muchas areas de la matematica y la fısica.

(a) Hallar dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion de Tchebycheff validas para |x| < 1.

(b) Mostrar que la ecuacion de Tchebycheff tiene una solucion polinomial de grado n si λ = n (a estospolinomios, multiplicados por constantes adecuadas, se los denomina polinomios de Tchebycheff ).

Polinomios de Tchebycheff

7. La ecuacion diferencial (1− x2)y′′(x)− 2xy′(x) + λ(λ+ 1)y(x) = 0 donde λ es una constante, se conocecomo ecuacion de Legendre.

(a) Hallar dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion de Legendre validas para |x| < 1.

(b) Mostrar que la ecuacion de Legendre tiene una solucion polinomial de grado n si λ = n (a estospolinomios, multiplicados por constantes adecuadas, se los denomina polinomios de Legendre).

Polinomios de Legendre

8. La ecuacion diferencial de Legendre con λ = 0 tiene el polinomio solucion Φ1(x) = 1 y una solucion Φ2(x)dada por una serie de potencias. Demostrar que la suma de la serie Φ2(x) viene dada por la funcion

Φ2(x) =1

2ln(1 + x

1− x

); |x| < 1.

Comprobar directamente que la funcion Φ2(x) es una solucion de la ecuacion de Legendre cuando λ = 0.

9. La ecuacion de Legendre puede escribirse en la forma: ((x2 − 1)y′)′ − l(l + 1)y = 0.

(a) Si a, b, c son constantes, siendo a > b y 4c+ 1 > 0 , demostrar que una ecuacion diferencial del tipo((x − a)(x − b)y′)′ − cy = 0 puede transformarse en una ecuacion de Legendre por un cambio devariable de la forma x = At+B , siendo A > 0 . Determinar A y B en funcion de a y b.

(b) Aplicar el metodo sugerido en en inciso anterior para transformar (x2 − x)y′′ + (2x− 1)y′ − 2y = 0en una ecuacion de Legendre y resolver.

10. ? La funcion en el lado izquierdo de la siguiente expresion

1√1− 2tx+ t2

= P0(x) + P1(x)t+ P2(x)t2 + · · ·+ Pn(x)tn + · · · 0 < t < 1.

es la funcion generatriz de los polinomios de Legendre. Utilice esta relacion para demostrar que

(a) Pn(1) = 1 y Pn(−1) = (−1)n

(b) P2n+1(0) = 0

11. ? Los polinomios de Legendre satisfacen la relacion de recurrencia (se puede demostrar usando la funciongeneratriz)

(n+ 1)Pn+1(x)− (2n+ 1)xPn(x) + nPn−1(x) = 0.

(a) Sabiendo que P0(x) = 1 y P1(x) = x, calcular P2(x), P3(x) y P4(x).

(b) Exprese el polinomio f(x) = 1 − 3x + x4 como combinacion lineal de los polinomios de Legendrehallados.

12. ? La formula de Rodrigues permite calcular los polinomios de Legendre por diferenciacion;

Pn(x) =1

2nn!

dn

dxn(1− x2)n.

Probar las siguientes relaciones de recurrencia:

(a) P ′n+1(x)− P ′n−1(x) = (2n+ 1)Pn(x)

(b) (n+ 1)Pn(x) = P ′n+1(x)− xP ′n(x)

13. ? Probar la condicion de ortogonalidad

∫ 1

−1Pm(x)Pn(x) dx =

{0, si m 6= n2

2n+ 1, si m = n

.

(Sugerencia: ((1− x2)y′(x))′ + n(n+ 1)y(x) = 0) es una expresion equivalente de la ED de Legendre.)

14. Sea y(x) =∑k≥0

ckxk una solucion de la ecuacion y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 en el intervalo |x| < r; r > 0.

Supongase que p(x) =∑k≥0

pkxk y que q(x) =

∑k≥0

qkxk en ese mismo intervalo. Demostrar que:

ck+2 = − 1

(k + 1)(k + 2)

k∑j=0

[(j + 1)pk−jcj+1 + qk−jcj ]

15. Expresar la solucion general de la siguiente ecuacion diferencial no homogenea 3y′′−xy′+y = x2 +2x+1como una serie de potencias alrededor del punto x0 = 0.

? ? ?

I Comentario final. En los ejemplos tratados, nos hemos encontrado con lo que se denomina formulas derecurrencia de dos terminos para la determinacion de los coeficientes de las series solucion. La simplicidadde estas formulas permite encontrar una expresion general para los coeficientes. Sin embargo, esta simplicidadno debe esperarse en todos los casos. Por ejemplo, para la ecuacion diferencial

y′′(x) + (p+1

2− 1

4x2)y(x) = 0; p constante, la solucion en serie y(x) =

∑k≥0

akxk conduce a

(k + 1)(k + 2)ak+2 + (p+1

2)ak −

1

4ak−2 = 0︸ ︷︷ ︸

formula de recurrencia de tres terminos

.

En general, cuando la relacion de recurrencia tiene mas de dos terminos, encontrar una formula cerrada parala determinacion de los coeficientes an en terminos de a0 y a1 puede llegar a ser una tarea muy complicada;incluso imposible. Sin embargo, enfatizamos que esto no es particularmente importante; lo que es esencial esque podamos determinar tantos coeficientes como queramos.

? ? ?

MATEMATICAS ESPECIALES II - 2019PRACTICA 8

Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes analıticos.Parte 2 - Soluciones alrededor de un punto singular regular.

Consideremos nuevamente la ecuacion diferencial

y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0. (2)

Supongamos ahora que x0 es un punto singular de esta ecuacion.

I Definicion. Se dice que x0 es un punto singular regular de la ecuacion (2) si las funciones

P (x) = (x− x0)p(x) (y) Q(x) = (x− x0)2q(x)

son analıticas en x0. Si al menos una de estas funciones resulta no analıtica en x0, entonces se dice quex0 es un punto singular irregular de la ecuacion (2).

Observese que, si x0 es un punto singular regular, la ecuacion (2) puede escribirse de la forma

(x− x0)2 y′′(x) + (x− x0)P (x) y′(x) +Q(x) y(x) = 0︸ ︷︷ ︸P (x), Q(x)→ funciones analıticas en x0

.

No se excluye la posibilidad de que x0 =∞. Para estudiar el comportamineto de la ED en un entorno delinfinito se aplica el cambio de variable ζ = 1/x y el estudio se lleva a cabo sobre la ecuacion transformadaen el punto ζ0 = 0.

Ejemplo.

I Hallar y clasificar los puntos singulares (finitos) de la ecuacion x2(x2 − 1)y′′ + 5(x+ 1)y′ + (x2 − x)y = 0.

Comencemos escribiendo la ED en la forma normal; es decir,

y′′ + 5x+ 1

x2(x2 − 1)︸ ︷︷ ︸p(x)

y′ +x2 − x

x2(x2 − 1)︸ ︷︷ ︸q(x)

y = 0 →

p(x) =

5

x2(x− 1)

q(x) =1

x(x+ 1)

→x = −1x = 0x = 1

puntos singulares.

Para x0 = 1, se tiene

P (x) = (x− 1)p(x) =5

x2Q(x) = (x− 1)2q(x) =

(x− 1)2

x(x+ 1)︸ ︷︷ ︸analıticas en x0=1 → x0=1 es singular regular

.

Para x0 = 0, se tiene

P (x) = xp(x) =5

x(x− 1)︸ ︷︷ ︸no es analıtica en x0=0 → x0=0 es singular irregular

Para x0 = −1, se tiene

P (x) = (x+ 1)p(x) = 5x+ 1

x2(x− 1)Q(x) = (x+ 1)2q(x) =

x+ 1

x︸ ︷︷ ︸analıticas en x0=−1 → x0=−1 es singular regular

.

Consideremos la ecuacion diferencial

y′′(x) + p(x) y′(x) + q(x) y(x) = 0. (3)

Asumamos, que tiene un punto singular regular en el origen (esto no implica perdida de generalidad yaque el cambio de variable u = x− x0 desplaza el punto singular x0 al origen).

Por hipotesis, los desarrollos en series

P (x) = x p(x) =∑k≥0

pnxn = p0 +

∑k≥1

pnxn y Q(x) = x2q(x) =

∑k≥0

qnxn = q0 +

∑k≥1

qnxn

seran validos en |x| < R, para algun R > 0. Observese que

p0 = P (0) = limx→0

xp(x) y q0 = Q(0) = limx→0

x2q(x).

I Definicion. I(ν) = ν(ν − 1) + p0ν + q0 se denomina polinomio indicial asociado a la ecuacion (3).Las raıces de la ecuacion indicial I(ν) = 0 se conocen como los exponentes de la singularidad enel punto singular x = 0.

Teorema (de Frobenius). Sean ν1 y ν2 las raıces de la ecuacion indicial I(ν) = 0; donde Re ν2 ≤ Re ν1.Entonces, la ecuacion (3) tiene al menos una solucion de la forma

y1(x) = |x|ν1∑k≥0

ckxk; c0 6= 0; convergente en 0 < |x| < R.

Mas aun, se puede determinar otra solucion de (3), linealmente independiente de y1(x), tambien validaen 0 < |x| < R, cuya forma dependera fuertemente de la diferencia ν1 − ν2;

- si ν1 − ν2 no es un entero; y2(x) = |x|ν2∑k≥0

dkxk; d0 6= 0,

- si ν1 − ν2 = 0; y2(x) = y1(x) ln |x|+ |x|ν1∑k≥1

dkxk,

- si ν1 − ν2 es un entero; y2(x) = Dy1(x) ln |x|+ |x|ν2∑k≥0

dkxk; d0 6= 0; D es una constante fija.

Todas los coeficientes que aparecen en estas expresiones se obtienen reemplazando

y(x) = |x|ν∑k≥0

ckxk

directamente en la ecuacion diferencial

x2y′′(x) + x2p(x)︸ ︷︷ ︸xP (x)

y′(x) + x2q(x)︸ ︷︷ ︸Q(x)

y(x) = 0 (4)

y utilizando el metodo de los coeficientes indeterminados.

I Observacion. Los exponentes de la singularidad determinan cualitativamente el comportamiento de lasolucion de la ecuacion (3) en cualquier vecindad del punto singular x = 0.

Ejemplos.

I Hallar la solucion general de la ecuacion x2y′′(x) + x(x − 12 )y′(x) + 1

2y(x) = 0. Determinar el dominio devalidez de la solucion.

Comparando la ED a resolver con la expresion (4), es evidente que

P (x) = x− 1

2y Q(x) =

1

2;

ambas funciones son analıticas en x0 = 0 y sus desarrollos en series de potencias de x convergen en |x| < ∞.En este caso, las raıces del polinomio indicial seran

I(ν) = ν(ν − 1) + P (0)ν +Q(0) = ν(ν − 1)− 1

2ν +

1

2= 0 →

{ν1 = 1ν2 = 1

2

→ ν1 − ν2 6∈ Z.

Luego, por Teorema de Frobenius, podemos asegurar que existen soluciones de la forma

y1(x) = x∑k≥0

ckxk e y2(x) =

√|x|∑k≥0

dkxk,

que son linealmente independientes y validas en 0 < |x| <∞.

Supongamos x > 0. Determinaremos y1(x) aplicando el metodo de los coeficientes indeterminados; procederemospor pasos.

Primer paso: se sustituyen

y(x) =∑k≥0

ckxk+1, y′(x) =

∑k≥0

(k + 1) ckxk, y′′(x) =

∑k≥0

(k + 1)k ckxk−1

en la ecuacion diferencial

x2∑k≥0

(k + 1)k ckxk−1 + x(x− 1

2)∑k≥0

(k + 1) ckxk +

1

2

∑k≥0

ckxk+1 = 0

Segundo paso: se suman las series; para ello, primero se agrupan los terminos con iguales potencias de x∑k≥0

(k + 1)k ckxk+1 +

∑k≥0

(k + 1) ckxk+2 − 1

2

∑k≥0

(k + 1) ckxk+1

︸ ︷︷ ︸x(x− 1

2)∑k≥0

(k + 1) ckxk

+1

2

∑k≥0

ckxk+1 = 0

∑k≥0

((k + 1)k − 1

2(k + 1) +

1

2)︸ ︷︷ ︸

k(k +1

2)

ckxk+1 +

∑k≥0

(k + 1) ckxk+2 =

∑k≥1

k(k +1

2) ckx

k+1 +∑k≥0

(k + 1) ckxk+2 = 0

∑k≥0

(k + 1)(k +3

2) ck+1x

k+2

︸ ︷︷ ︸∑k≥1

k(k +1

2) ckx

k+1

+∑k≥0

(k + 1) ckxk+2 =

∑k≥0

(k + 1)((k +3

2)ck+1 + ck)xk+2 = 0

Tercer paso: la expresion anterior debe ser identicamente cero para todo x 6= 0; esto implica que el coeficientede cada potencia de x debe ser igual a cero; es decir,

(k +3

2)ck+1 + ck = 0; k ≥ 0 → ck+1 = − 2

2k + 3ck︸ ︷︷ ︸

relacion de recurrencia

; k ≥ 0

Cuarto paso: se usa la formula de recurrencia para determinar los corficientes ck para k ≥ 1; es decir,

k = 0 → c1 = −2

3c0,

k = 1 → c2 = −2

5c1,

k = 2 → c3 = −2

7c2,

k = 3 → c4 = −2

9c3,

·

·

·

k = n− 1 → cn = − 2

2n+ 1cn−1, n = 1, 2, 3, · · ·.

Todos los coeficientes dependeran (por recurrencia) del coeficiente c0; recordemos que c0 6= 0. Para estableceresta dependencia explıcitamente, hagamos

c1 · c2 · c3 · · · cn−1 · cn = −2

3c0 · −

2

5c1 · −

2

7c2 · · · −

2

2n+ 1cn−1 → cn =

(−2)n

(2n+ 1)!!c0; n ≥ 1

Quinto paso: se sustituyen los coeficientes hallados en la serie que define a y1(x); es decir,

y1(x) = x∑n≥0

(−2)n

(2n+ 1)!!xn ← c0 = 1.

Procediendo de la misma manera, se llega a

y2(x) =√x∑n≥0

(−1)n

n!xn ← d0 = 1.

Es facil comprobar que ambas series convergen en (0,∞) (por ejemplo, usando el criterio del cociente). Tambienes evidente, de la forma de estas soluciones, que ninguna serie es un multiplo constante de la otra; de hecho,

y1(x) ∼ x; x ∈ (0, ε); ε≪ 1 y2(x) ∼√x; x ∈ (0, ε); ε≪ 1.

Por lo tanto, y1(x) e y2(x) son linealmente independientes para todo x > 0. Para x < 0, se hace la sustitucionu = −x; u ∈ (0,∞), y se repiten todos los argumentos. Ası, por el principio de superposicion,

y(x) = α |x|∑n≥0

(−2)n

(2n+ 1)!!xn + β

√|x|∑n≥0

(−1)n

n!xn

representa la solucion general de la ED, con dominio de validez en 0 < |x| <∞.

I Hallar la solucion general de la ecuacion xy′′(x) + x y′(x) + y(x) = 0. Determinar el dominio de validez dela solucion.

Comparando la ED a resolver con la expresion (4), es evidente que

P (x) = x y Q(x) = x;

ambas funciones son analıticas en x0 = 0 y sus desarrollos en series de potencias de x convergen en |x| < ∞.En este caso, las raıces del polinomio indicial seran

I(ν) = ν(ν − 1) + P (0)ν +Q(0) = ν(ν − 1) = 0 →{ν1 = 1ν2 = 0

→ ν1 − ν2 ∈ Z.

Supongamos x > 0. Por el Teorema de Frobenius, podemos asegurar que existe una solucion de la forma

y1(x) = x∑k≥0

ck xk.

Procediendo como en el ejemplo anterior, se llega a

ck+1 = − 1

k + 1ck; k ≥ 0 → cn =

(−1)n

n!c0; n ≥ 1 →︸ ︷︷ ︸

c0=1

y1(x) = x∑n≥0

(−1)n

n!xn = xe−x

Para hallar otra solucion, linealmente independiente de y1(x) en (0,∞), usaremos el metodo de reduccion delorden. Haciendo esto, se tiene

e−∫ x p(η) dη = e−x → y2(x) = y1(x)

∫ x eη

η2dη

Observese que ∫ x eη

η2dη =

∑k≥0

∫ x ηk−2

k!= lnx− 1

x+∑k≥2

xk−1

k!(k − 1).

Luego,

y2(x) = y1(x) ln(x)−(

1−∑k≥2

xk

k!(k − 1)

)e−x︸ ︷︷ ︸

funcion anaıtica en x0=0

→ y2(x) = y1(x) ln(x) +∑n≥0

dn xn; d0 6= 0.

? ? ?

1. Hallar y clasificar todos los puntos singulares (finitos) de las ecuaciones diferenciales que se indican acontinuacion.

(a) x3(x2 − 1)y′′ − x(x+ 1)y′ − (x− 1)y = 0

(b) (x+ 1)2xy′′ + xy′ − y = 0

(c) (x3 − 4x)2y′′ + 2(x+ 2)y′ + 6y = 0

(d) (ex − 1)y′′ − (x+ 1)y′ + (x− 1)y = 0

(e) x3y′′ + (sinx) y = 0

2. Probar que, haciendo el cambio de variable ζ = 1/x,

y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0 7→ y′′(ζ) +2ζ − p(ζ)

ζ2y′(ζ) +

q(ζ)

ζ4y(ζ) = 0.

Usar este resultado para chequear que la ecuacion x(1−x) y′′(x)+(1−2x) y′(x)+y(x) = 0 tiene un puntosingular regular en x0 =∞.

3. Encontrar el polinomio indicial asociado con el punto singular regular en x0 = 0 para cada una de lassiguientes ecuaciones diferenciales

(a) 4x2y′′(x) + x(2x3 − 5)y′(x) + (3x2 + 2)y(x) = 0,

(b) x2y′′(x) + ( 53 + x)xy′(x)− 1

3y(x) = 0,

(c) x3y′′(x) + (cos 2x− 1)y′(x) + 2xy(x) = 0,

(d) xy′′ + (1− x)y′ + λy = 0, λ una constante,

(e) x2y′′ − xy′ + (x2 − λ2)y = 0, λ una constante.

Sin resolver, indique la forma de las soluciones que esperarıa encontrar aplicando el Teorema de Frobenius.

4. La ecuacion diferencial x2y′′ + axy′ + by = 0; a y b constantes reales, se denomina ecuacion de Euler .Es el ejemplo mas simple de una ecuacion de segundo orden con un punto singular regular en el origen.

(a) Comprobar que la ecuacion de Euler puede ser reducida a una ecuacion diferencial con coeficientesconstantes por medio de la sustitucion |x| = et.

(b) El conjunto fundamental de soluciones dependera de las raıces del polinomio caracterıstico p(r)correspondiente a la ecuacion transformada. Si r1 y r2 son las raıces de p(r); comprobar que

- si r1 6= r2; r1, r2 ∈ R, → {|x|r1 , |x|r2},- si r1 = r2 = α+ iβ, → {|x|α cos(β ln |x|), |x|α sin(β ln |x|)},- si r1 = r2 = r → {|x|r, |x|r ln |x|}.

(c) Cual es la ecuacion indicial asociada al punto singular regular x0 = 0?

5. Encontrar todos los valores de α de manera tal que las soluciones de la ecuacion x2y′′ + αxy′ + 52y = 0

tiendan a cero cuando x→ 0.

6. Considere la ecuacion diferencial 2xy′′(x)− (3 + 2x)y′(x) + y(x) = 0.

(a) Comprobar que x0 = 0 es un punto singular regular.

(b) Comprobar que las raıces del polinomio indicial son diferentes y su diferencia no es un numero entero.

(c) Hallar dos soluciones linealmente independientes validas en (0,∞).

7. La ecuacion diferencial x(1−x)y′′+ [γ− (1 +α+β)x]y′−αβy = 0; con α, β y γ constantes, se denominaecuacion de Gauss o ecuacion hipergeometrica . Esta ecuacion permite resolver cualquier ecuaciondiferencial con tres puntos singulares.

(a) Compruebe que x = 0 es un punto singular regular y que las raıces de la ecuacion indicial son 0 y1− γ.

(b) Compruebe que x = 1 tambien es un punto singular regular y que las raıces de la ecuacion indicialson, en este caso, 0 y γ − α− β.

(c) Compruebe que x =∞ es un punto singular regular.

(d) Suponga que γ no es un entero. Encuentre dos soluciones de la ecuacion hipergeometrica validas en0 < |x| < R; cual es el valor de R?

8. Considerar la ecuacion diferencial x2y′′ + x(x− 3)y′ + 3y = 0.

(a) Demuestre que ν = 1 y ν = 3 son dos raıces de la ecuacion indicial asociada.

(b) Encuentre una solucion en series de potencias de la forma y1(x) = x3∑n≥0

anxn, a0 = 1.

(c) Compruebe que y1(x) puede escribirse como x3e−x.

(d) Halle una segunda solucion usando el metodo de reduccion del orden.

9. La ecuacion diferencial xy′′ + (1− x)y′ + λy = 0 se denomina ecuacion de Laguerre de orden λ.

(a) Probar que tiene una solucion que es analıtica para todo x y que se reduce a un polinomio cuando λes un entero no negativo.

Polinomios de Laguerre

(b) Mostrar que si λ = −1, la solucion general de la ecuacion de Laguerre en cualquier dominio que nocontenga al origen esta dada por

y = c1ex + c2

(ln |x|+

∑k≥1

(−1)k

k

xk

k!

)ex; c1, c2 son constantes arbitrarias.

10. ? La ecuacion diferencial x2y′′(x) + xy′(x) + (x2 − ν2)y(x) = 0 se denomina ecuacion de Bessel deorden ν. Una solucion de esta ecuacion es

Jν(x) =∑k≥0

(−1)k

Γ(k + 1)Γ(ν + k + 1)

(x2

)2k+ν;

se denomina funcion de Bessel de primera clase. Observese que, si ν ≥ 0, converge en [0,∞).

(a) Discutir el comportamiento de Jν(x) cuando x→ 0.

(b) Demostrar que las funciones Jν y J−ν son linealmente independientes en (0,∞) para todos los valoresno enteros de ν.

(c) Demostrar que, para todo entero p, Jp(x) = (−1)pJp(x).

11. ? La funcion de Neumann (o funcion de Bessel de segunda clase) se define por la formula

Yν(x) =cos(πν) Jν(x)− J−ν(x)

sin(πν).

Si ν no es entero positivo sabemos que Jν(x) y J−ν(x) son linealmente independientes por lo que Yν(x)resulta linealmente independiente de Jν(x) (Comprobarlo!). Para un valor entero de ν = n, la funcionde Neumann se puede determinar mediante el paso al lımite cuando ν → n. Demostrar que

limν→n

Yν(x) =1

π

(∂Jν(x)

∂ν

∣∣∣ν=n− (−1)n

∂J−ν(x)

∂ν

∣∣∣ν=n

).

Funciones de Bessel

12. (a) Sea fα(x) una solucion cualquiera de la ecuacion de Bessel de orden α y sea g(x) =√xfα(x), x > 0.

Demostrar que g(x) satisface la ecuacion diferencial

y′′ +(

1 +1− 4α2

4x2

)y = 0.

(b) Cuando 4α2 = 1, la ecuacion diferencial del inciso anterior se reduce a y′′ + y = 0, cuya soluciongeneral es y = A cosx+B sinx. Utilizar esta informacion para demostrar que, para x > 0,

J1/2(x) =

√2

πxsinx J−1/2(x) =

√2

πxcosx.

13. La siguiente ecuacion diferencial x2y′′ + xy′ + (m2x2 − n2)y = 0 aparece en numerosas aplicaciones.Demuestre que esta ecuacion puede reducirse a una ecuacion de Bessel mediante el cambio de variablez = mx.

14. Utilizando el metodo propuesto en el ejercicio anterior,

(a) compruebe que la solucion general de x2y′′+xy′+(

4x2− 925

)y = 0 es y = c1J3/5(2x)+c2J−3/5(2x),

(b) compruebe que la solucion general de x2y′′ + xy′ + (3x2 − 4)y = 0 es y = c1J2(√

3x) + c2Y2(√

3x),

(c) encuentre la solucion de x2y′′+xy′+(

4x2− 19

)y = 0 que sea continua en x = 0 y tal que y(0.3) = 2.

15. ? A partir de la definicion de Jα(x) probar que:

(a)d

dx(xαJα(x)) = xαJα−1(x),

(b)d

dx(x−αJα(x)) = −x−αJα+1(x), α ≥ 0,

(c) xJ ′α(x) = αJα(x)− xJα+1(x),

(d) xJ ′α(x) = −αJα(x) + xJα−1(x),

(e) J3/2(x) sinx− J−3/2(x) cosx =

√2

πx3.

16. ? Supongase x > 0. A partir de las formulas de derivacion, probar que

(a)

∫ x

0

tα Jα−1(t) dt = xαJα(x)

(b)

∫ x

0

t−α Jα+1(t) dt = −x−αJα(x) +1

2αΓ(α+ 1)

(c)

∫J0(x) sinx dx = xJ0(x) sinx− xJ1(x) cosx+ c