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Ecuaciones Diferenciales
y lgebra Lineal

Unidad 1

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

INTRODUCCIN

Los trminos ecuaciones y diferenciales

nos hacen pensar en la solucin de ciertos

tipos de ecuaciones que contienen derivadas diferenciales.

Ecuacin con derivadas

Ecuacin con diferenciales

ECUACIN DIFERENCIAL

Una ecuacin diferencial (ED) es una ecuacin que relaciona a una funcin desconocida y una o ms derivadas de esta funcin con respecto a una o ms variables independientes.

Si la funcin desconocida depende de una sola variable, la ecuacin diferencial se llama ordinaria. Si por el contrario dependiese de ms de una variable, se llama parcial .

Definicin

EDO y EDP

EDO

EDP

Nuestra atencin se centrar sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuacin diferencial ordinaria es aquella que tiene a y como variable dependiente y a x como variable independiente.

Se acostumbra expresar en la forma:

OBSERVACIN

El orden de una ecuacin diferencial es igual al de la derivada de ms alto orden que aparece (de manera no trivial) en la ecuacin.

ORDEN

Ejemplos:

xy + 5(y)4 = 3x6y4 es de 2do orden.

exy - y/x + sen(xy) = 0 es de 3er orden.

EDO LINEAL

Una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es lineal, si se puede escribir de la forma:

donde:

son funciones de x

Una ecuacin diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no-lineal.

SOLUCIN DE UNA EDO

Decimos que y =(x) es una solucin de la ecuacin diferencial:

en el intervalo I si:

para todo x I.

EJEMPLOS

Indique si las funciones dadas son soluciones de las EDO en cierto intervalo I.

USO DE CLASSPAD

Utilice su calculadora para comprobar si la siguiente es una familia de soluciones de la EDO.

USO DE CLASSPAD

Al sustituir la familia de funciones en la EDO, se satisface la igualdad.
Luego, s es una familia de soluciones de la EDO.

INTERVALO DE VALIDEZ

es solucin de:

Como funcin

Como solucin:

es solucin de:

Como funcin:

Como solucin:

Si y(0)=-1

INTERVALO DE VALIDEZ

SOLUCIN IMPLCITA

La relacin G(x;y)=0 se llama solucin implcita de una EDO en un intervalo I si existe alguna funcin que satisface tanto la relacin como la EDO en I.

EJEMPLOS

Indique si las relaciones dadas son soluciones implcitas de las EDO en I.

FAMILIA DE SOLUCIONES

Algunas veces, a una solucin de una ecuacin diferencial se le llama integral de la ecuacin y a su grfica curva integral o curva solucin. Como la solucin general de una ecuacin diferencial lineal de orden n tiene n constantes, se acostumbra llamarla familia n-paramtrica de soluciones y se denota por:

Esto quiere decir que una EDO tiene una cantidad infinita de soluciones que corresponden a la eleccin arbitraria de esos parmetros.

SOLUCIN GENERAL Y PARTICULAR

Si encontramos una familia n-paramtrica de soluciones que contiene a TODAS las soluciones de una EDO, llamaremos a esta familia solucin general de la EDO.

Dada una familia n-paramtrica de soluciones de una EDO, una solucin que se obtiene al dar valores a los n parmetros se llama solucin particular.

Observacin: Las EDO lineales siempre tienen solucin general.

EJEMPLOS

1) Verifique si la familia mostrada es una familia uniparamtrica de soluciones de la EDO:

2) Verifique si las siguientes funciones son soluciones de la EDO y clasifquelas como solucin particular y/o trivial.

3) Diga si la familia uniparamtrica de 1) es o no solucin general de la EDO. Por qu?

Un problema de valor inicial (o de Cauchy) consta de una ecuacin diferencial de orden n y de n condiciones iniciales impuestas a la funcin desconocida y a sus n-1 primeras derivadas en un valor de la variable independiente.

Es decir:

PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)

EJEMPLO

MODELACIN (Paracadas)

Por la 2da Ley de Newton:

Resolver los ejemplos del libro de texto de las pginas 20 a 26.

MODELACIN (varios)

EDO VARIABLE SEPARABLE

EDO LINEAL

EDO EXACTA

EDO HOMOGENEA

EDO de primer orden
Clasificacin

EDO VARIABLE SEPARABLE

Repaso:

Resolver ejemplo 1 2 de la pg. 46 del Zill.

ECUACIN LINEAL DE PRIMER ORDEN

Una EDO de la forma:

se llama ecuacin lineal de primer orden (EDOL).

Realizando las operaciones adecuadas se escribe en la forma estndar:

Un factor integrante para una EDOL de primer orden es:

FACTOR INTEGRANTE DE UNA EDOL

Resolver un ejemplo de la pg 55 del Zill.

Definicin: La forma diferencial

es exacta en un rectngulo R, si existe una funcin f (x,y) que cumple:

para todo (x,y) en R.

A f (x,y) se le llama Funcin Potencial.

(1)

FORMA DIFERENCIAL EXACTA

El diferencial de f satisface:

Ejemplo: Verificar en la forma diferencial

Es f nica o no?

NOTA

En (1) sean M, N y sus derivadas parciales de primer orden continuas en R, luego la condicin necesaria y suficiente para que la forma diferencial sea exacta es:

CONDICIN

Definicin: Una EDO de la forma

se llama exacta si la forma diferencial (1) es exacta.

Ejemplo:

es exacta.

EDO EXACTA

MTODO DE SOLUCIN DE UNA EDO

1: Verificar si es exacta o no.

2: Si fuese exacta, hallar por integ. parcial:

3: Como

Derivando resolver

4: Hallar g integrando parcialmente la

expresin anterior.

5: La solucin es

MTODO DE SOLUCIN DE UNA EDO

(contina)

Definicin: Una funcin f(x,y) se llama homognea de grado n si:

Ejemplo:

FUNCIN HOMOGNEA

Definicin: La EDO

se llama homognea si M y N son ambas homogneas del mismo grado.

Con uno de los cambios siguientes y=ux x=vy , podemos convertirla en una EDO de variable separable.

(2)

EDO HOMOGNEA PRIMER ORDEN

Resolviendo:

EJEMPLO:

EDO de Variable Separable

Hacemos:

Resuelva la EDO:

USO DE CLASSPAD

La EDO es de variable separable. Se separan las variables y luego se integra :

USO DE CLASSPAD

MODELOS LINEALES

Plantear los ejemplos del 1 al 5 de las pginas 83 a 87 del texto.

Comentar los resultados (soluciones) que da el texto.

0

2

=

+

y

dx

dy

x

0

)

1

2

(

=

-

+

dy

xy

xdx

y

y

x

dx

dy

cos

2

-

=

'

'

'

'

3

y

y

y

-

=

y

x

y

w

x

w

+

=

-

2

(

)

(

)

0

;...,

;

;

;

=

n

y

y

y

y

x

F

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

10

...()

nn

nn

axyaxyaxygx

-

-

+++=

(

)

0

)

(

;

,...

0

;

=

x

a

n

k

x

a

n

k

(

)

(

)

0

;...;

;

;

;

=

n

y

y

y

y

x

F

(

)

(

)

0

;...,

;

;

;

=

n

x

F

f

f

f

f

2

/

1

4

'

:

EDO

16

1

:

funcin

xy

y

x

y

=

=

5

3

'

:

EDO

2

:

funcin

=

+

=

x

y

x

y

0

'

:

EDO

1

:

funcin

=

+

=

y

xy

x

y

x

x

Bxe

Ae

y

2

2

:

funcin

+

=

0

4

4

:

EDO

2

2

=

+

-

y

dx

dy

dx

y

d

x

x

f

y

1

)

(

=

=

0

=

+

y

y

x

{

}

0

-

=

R

domf

+

=

;

0

I

0

;

-

=

I

c

x

y

+

=

2

1

0

2

2

=

+

xy

y

{

}

1

;

1

-

-

=

R

domf

1

;

1

-

=

I

1

1

2

-

=

x

y

y

x

y

y

x

-

=

=

+

'

:

EDO

25

:

relacin

2

2

(

)

0

'

2

:

EDO

0

1

:

relacin

2

2

=

+

+

=

-

-

-

-

y

y

e

xy

e

xy

y

y

(

)

0

;...;

;

;

;

2

1

=

n

c

c

c

y

x

G

2

)

'

(

'

:

EDO

y

xy

y

+

=

2

c

cx

y

+

=

9

3

)

+

=

x

y

a

0

)

=

y

b

4

/

)

2

x

y

c

-

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

000101

;;;...

;;...;()

n

n

n

n

n

dy

fxyyy

dx

yxyyxyyxy

-

-

-

=

===

2

)

1

(

3

2

=

+

=

y

y

x

y

dv

mmgkv

dt

=-

mg

kv

2

2

dydv

Fmm

dtdt

==

)

(

)

(

)

(

0

1

x

g

y

x

a

dx

dy

x

a

=

+

)

(

)

(

'

x

q

y

x

p

y

=

+

=

dx

x

p

e

x

u

)

(

)

(

dy

y

x

N

dx

y

x

M

)

,

(

)

,

(

+

(,)

f

Mxy

x

=

(,)

f

Nxy

y

=

(,)(,)

dfMxydxNxydy

=+

dy

y

x

dx

y

x

)

2

(

)

2

(

+

-

-

2

2

2

)

,

(

2

2

y

xy

x

y

x

f

-

-

=

x

N

y

M

=

0

)

,

(

)

,

(

=

+

dy

y

x

N

dx

y

x

M

0

)

2

(

)

2

(

=

+

-

-

dy

y

x

dx

y

x

+

=

)

(

)

,

(

)

,

(

y

g

dx

y

x

M

y

x

f

-

=

dx

y

x

M

y

y

x

N

y

g

)

,

(

)

,

(

)

(

'

(,)

f

Nxy

y

=

c

y

x

f

=

)

,

(

(

)

22

,

fxyxyxy

=-+

(

)

(

)

,,

n

ftxtytfxy

=

(

)

(

)

,,0

MxydxNxydy

+=

(

)

dy

y

x

ydx

+

=

2

0

2

2

=

-

-

x

y

cy

)

(

2

y

x

y

dx

dy

+

=

)

(

2

ux

x

ux

dx

du

x

u

+

=

+

)

1

(

2

u

u

dx

du

x

u

+

=

+

dx

du

x

u

dx

dy

+

=

ux

y

=

y

x

dx

dy

3

tan

=

dx

x

dy

y

3

tan

=