.. Una prueba de rangos para la

alternativa de escala en dos muestras provenientes de la

distribución lambda generalizada • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

2

Fecha de recepción: Junio 19 de 2008. Fecha de aceptación: Julio 25 de 2008.

Profesor de Ciencias Básicas, Universidad Libre, Bogotá. Universidad Distrital Profesor de Estadística, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá .

RESUMEN

Luis Alejandro Másmela ' Jimmy Antonio Corzo2

Un problema en estadística consiste en probar si dos poblaciones muestreadas diferen en algún sentido y un caso particular se refiere al problema de escala .

Una manera de proceder parte de obtener muestras aleatorias independientes de las poblaciones invol ucrados que se supone tiene distribuciones continuas, además de densidades correspondientes derivables. Desde el enfoque no para métrico se aborda el problema a partir de la teoría de Rangos. HETIMANSPERGER (1984) propone que poro probar Ho: T = 1 vs H 1: T > 1, en donde T es el cociente de parámetros de escala de las dos muestras, la Prueba de Rangos Localmente Más Potente (PRLMP)en el problema de escala para dos muestras se basa en el siguiente estadístico:

en donde V il) < ... < V (m +nl son las estadísticas de orden de una muestro de tamaño m + n de F.

Se construye y se estudian las bondades de una Prueba de Rangos Localmente Más Potente (PRLMP) paro el problema de escala en dos muestras, la construcción de la pruebo parte de uno aproximación o la función de puntajes dada por lo

El Invitado Especial

expresión (§), utilizando como función de densidad f, la densidad de lo función de Distribución Lambda Genera lizada. El estudio de su calidad se realiza comparando ésta con otros pruebas utilizadas para el mismo fin o través de la eficiencia relativo asintótico (ERA). Se presenta una aproximación de los momentos y de la distribución de lo estadístico de pruebo bajo HOy se da uno expresión poro lo eficacia de la pruebo.

INTRODUCCiÓN

Un problema frecuente en estadística consiste en probar si dos poblaciones muestreadas difieren en algún sentido. Suponga que los dos d istribuciones de las poblaciones involucradas son G y H ; un sistema de hipótesis para tal problema es

H o : G(x) = H(x)Vx E R

H ¡ : G(x) '" H(x) para al menos un x E R.

Corrientemente se usa el supuesto de norma lidad de las dos poblaciones involucradas para eva luar la validez de los hipótesis, cuando este supuesto respecto a las distribuciones G y H es cuestionado, una posibi l idad es enfrentar el problema a través de una prueba no paramétrica. Bajo el enfoque no paramétrico, el problema considerado se aborda o partir de dos muestras aleatorias independientes Xl '

... , Xmy Y¡, ... , Yn provenientes de distribuciones F x(x!cpx) y

FAx! cpy) respectivamente, con

Fx y Fy E 0 0' donde

no = {F: F absolutamente continua y F(O) = ~ , única}.

Los hipótesis a enfrentar son

Ho :<Px =<p y

Hl :<P x <<py

o de igual formo, SI 't

CPx' entonces

Ho :'r = 1

Hl :'r> 1, ( 1 )

pueden ser consideradas también las hipótesis alternativas 't < 1 o 't ~ 1 .

Para mayor simplicidad y sin pérdida de generalidad, haciendo cp = 1, se tiene que 't = CPy ' do~de 't es el cociente de los parámetros de escala. De esta forma, lo distribución de la población de la variab le y bajo H¡ tiene la misma

~(,) =

mediana que la distribución de lo variable X, pero resulta menos dispersa.

Para enfrentar las hipótesis en (1) existen varias pruebas basadas en los rangos de las observaciones en lo muestra combinada y ordenada, entre otros se encuentran las pruebas de KLOTZ, MOOD, ANSARI-BRADLEY y SAVAGE, ver GIBBONS & CHAKRABORTI ( 1992).

El lema de Hoefding enu nciado y demostrado en Hettman spe rg er (1984) produce la distribución del vector de rangos de una de las dos muestras bajo una alternativa general. A partir de este resultado se puede construir un conjunto de vectores de rangos C' llamado región crítica, tal que para un a fijo la pruebo que enfrenta Hovs H¡ en (1) tiene potencia

IT" i=1

;¡(~J I(ve,)

Una prueba de rangos con región crítica C' de tamaño a se llama una Prueba de Rangos Localmente Más Potente (PRLMP) si J3'(1) es máxima, en donde J3'(1) es

donde c es determinada por P HO(V ~ c) = a y V(l) < ... < V(m + ol son las estadísticas de orden de una muestra

la derivada de la potencia, PI,), evaluada en , = l. Para

probar Ho:T= 1 vsH,:T> 1, la PRLMP para el problema de escala, rechaza Ho en favor de H, cuando

(2)

de tamaño m+n de la distribución F.

Al definir

a(i) = E[-l-V / (~i))] (3) (i) f(~i))

La estadística V en (2) se puede escribir como

n

V = ¿a(R), (4)

j~l

la prueba rechaza Ho en favor de H , cuando

11

V= ¿a(Rj»c j~l

donde R hace referencia a los I

rangos de las observaciones de la variable Y en la muestra combinada y ordenada.

Se propone aquí una Prueba de RangosLocalmenteMásPotente (PRLMP) para el problema de esca la de dos muestras, con base en una aproximación a la función de puntaies dada por la expresión (3), utilizando densidades simétricas obtenidas de la Distribución Lambda Generalizada DLG (A

"A2,A3,AJ

1. Conceptos Básicos

A continuación, en la siguiente Sección se presenta la función percentil y la densidad de la Distribución Lambda Generalizada, mientras que en la segunda Sección se exponen algunas definiciones

y conceptos básicos sobre las estadísticas lineales de rangos.

2. Distribución Lambda Generalizada

La familia de Distribuciones Lambda Generalizada, DLG

(A" 1..2' 1..3' 1..4), tiene por función percentil :

donde O ~ Y ~ 1 . En esta expresión A, y 1..2 son parámetros de localización y escala, mientras que determinan sesgo y curtosis. A partir de la función percentil se puede, a través del teorema de la función inversa, obtener la siguiente expresión explícita para la densidad

A2 f(x) = A AJ-I A (1- ) ,(.-1

3Y + 4 Y

dondex=F -1(y). (6)

Esta distribución de cuatro parámetros incluye un amplio rango de formas de curvas, en especial, cuando se hace 1..3 =1..4 ' las densidades obtenidas resultan simétricas.

3. Estadística Lineal de Rangos

Para enfrentar Ho vs H, se utiliza la estadística lineal

e.+ Invitado Especial / '-'=-------------'

de rangos presentada en (4). donde a(i) debe ser no creciente (no decreciente) para i ~ (N + 1)/2 y no decreciente (no creciente) para i ~ (N + 1 )/2. Note, por ejemplo, que pora el caso donde a(i) es creciente para i ~ (N + 1)/2 y no decreciente

n N ¡.t = - ¿a(i) = na, (J 2

N i~ 1

Para obtener asintóticos de introduce lo

propiedades la pruebo se denominado

función generadora de puntajes, notada <p(u) que debe cumplir con las siguientes condiciones:

l. La función <p(u) es no creciente (no decreciente) paro u ~ 1 /2 y no decreciente (no creciente) para u ~ 1/2.

2. Paralafunción<p(u).sesupone que O <f~ (<p(u)-¡P) 2 du <00 donde ¡P =f~ <p(u)d u <oo.

Si se define a(i) = <p(i / (N+ 1 )), N = m + n, entonces

v = ~ t<!> ( R¡ ) N i = 1 N + 1

es la estadística lineal de rangos obtenida a través de

paro i ~ (N + 1 )/2, esta función da mayor peso a aquellas observaciones que se encuentran en los extremos de la muestra combinada y ordenada.

La media y la varianza de V bajo Ho están dadas por

la función generado ra de puntajes <p(u).

Hájek, Sidák & Sen (lJ99) prueban que sí para V se satisfacen las condiciones 1 y 2 y sí mín(n, m) --> 00 , entonces [1/ - EI/] / (Varl/) '/2 tiene u n a distribución normal estándar límite. Además sí N --> 00 y m/N -->A, O < A < 1, esto es, ninguno de los tamaños de muestra domina asintótica mente, entonces

EV ~ (1 - A)<j> ,

NVarV --+'-(1 - '-) J;C<!>C/l) -<F")' du,

(7)

así, la normalidad asintótica puede ser expresada en función de los parámetros asintóticos.

Con el fin de evaluar la calidad de la prueba propuesta , y

debido a que la construcción de la función potencia para pruebas no para métricas de distribución libre se convierte, en muchas ocasiones, en un problema difícil, se propone aquí obtener una expreslon para la eficacia de la prueba propuesta y, con base en la eficacia de las pruebas conocidas para el mismo fin, compararlas a través de la eficiencia relativa asintótica (ERA).

Para obtener una expreslon para la eficacia de la s estadísticas lineales de rangos para el problema de escala, se reexpresa el parámetro de interés en términos de 6. como T = e6 • Randles & Wolfe (1979) proponen una secuencia de constantes y asumiendo sobre ellas que ciertas condiciones3

se satisfacen, se sigue que la prueba basada en la estadística lineal de rangos V, con función de puntajes <p(u), tiene eficacia

- ~f ~(/lH Esc (u ,J)d" eff(V ) ~ " A(I - A)""'-¡=c=======-

~n (,,) - fj d/l (8)

proporcionando que límN--> 00

(m/ N)= A, O A < 1 , e o <p(u)<p,,,(u,f) du > O. En la expreslon (8), <p" ,(u, f) hace referencia a la función de

3 Rondles & Wolfe (1979), ci tan en el Teorema 5.2.7, debido a Noether, una serie de condiciones que deben cumpli r estas sO

puntajes correspondiente a la distribución de donde se va a muestrear, mientras que <p (u) es la función de puntajes para la prueba de escala propuesta .

donde Fx es cualquier distribución continua con

cuando fx(x) tiene mediana m'. Para la prueba de Klotz

Expresiones para las eficacias de pruebas para el problema de escala en dos muestras son presentadas por Gibbons & Chakraborti (1992). Es así como, para la prueba de Mood

mediana cero. Para la prueba de Ansari-Bradley se tiene

ejJ(K) = Jn,,(1-A)f' { cD -~~(x)]] LXj2(X)dx, (11) -00 <p(cD F(x))J

donde <1> - 1 se refiere a la función percentil de la distribución normal, mientras que <p es la función de densidad de la distribución normal.

4 . La Prueba Propuesta

Las función <p(u) obtenida a partir de densidades de la familia DLG para la alternativa de escala en dos muestras es

~(u) = _ ] + (),Je, + u ), - (1- u/"' )(~ (~ _1)u,,-2 - A.4 CJ'4 -1)(1- U) )·-2) (~U'3-1 + }'4 (1-U),,-1 )2

(1 2)

en donde O < u < l .

Puesto que se desea construir la función de puntajes con base en densidades de la DLG

centradas en cero y simétricas, la anterior expresión se condiciona a que A, = O Y A3= A

4, de aquí que la función dada

en (1 2) toma la forma:

~n s (u) = - 1 + (\ - 1) [u )., - (1 - u) '3 Ir------'------''------c,,-/1.. A 2 ,(3 - 12

3 U ,- +(1-u) (1 3)

Para la función generadora de puntajes <pOJu) se deben verificar la s condiciones enunciadas anteriormente esto es, O <J~ (<pO,(u) - ¡P)2 du < 00

donde ¡PO, = r~<p0Ju) du < oo. De este modo, las integrales que se deben calcular son:

rl A-1 Jo~ns (uJ)du = -1 +--t-

3

Á Á Á -2 Á-2 f.' ",(u,----' ---,(,,-I-,=u,-,-),'-,-,)(=-u _' -,---'("'I --,;u::.<)_'----'.) du

, (u Á, I - (I - ul' 1)2

(14) e,

f [-1+ (\~I)(UA3 -(I - UJ"' ) ]

(1 5)

Debido a lo complicado del cólculo de dichas integrales analíticamente, se optó por elegir valores particulares para A3que hicieran que estas condiciones se verificaran. Los resultados obtenidos para estas integrales por métodos numéricos, se realizan para valores de A3dados en la Tabla l. Para estos valores la integral de (14) se anula mientras que para la integra l de (15) los resultados se presentan en la tabla referida. Además, la función debe ser no creciente para u ~ 1!2 y no decreciente para u ~ 1/2 esto es, que la gráfica de la función tenga forma de U. La Figura 1 muestra la forma de algunas de las gráficas de funciones de puntajes indexadas por los valores dados al parámetro A3' A medida que el valor

Invitado Especial / ='-----------~

del parámetro decrece las funciones de puntajes asignan pesos mayores a más proporción de observaciones en torno al centro, esto se observa en la forma cada vez más apuntada que toman las gráficas entorno a u = 1/2.

Tabla 1: Fu nción de Puntajes para los valores de 1..3

considerados.

Para evaluar la calidad de la prueba propuesta se requiere una expresión para la eficacia de la misma, partiendo de la expresión en (8), para ésta, ep(u) se refiere a la función de puntajes propuesta en (13) denotada por epO,(u), dicha función depende exclusivamente del parámetro

"'3' Para ep",O.( u, f), se uti liza la expresión para la función generadora de puntajes dada en (12) pero escogiendo valores para los parámetros de acuerdo a los propuestos por

04 03 02

01349 O 1

f' ' o<p-Q,(u)du

8435531 3903372 2492683 2010224 1820019

-o 00036 3 1 428841 -o 0802 1219302

-O 1 1 176439 -o 2 0,998851 -o 3 0867688

WICZ (2000) a distribución

KARIAN & DUDE para aproximar I de donde se quie Como dichos pueden dife parámetros esco función de punta la prueba, estos por A;, y A~ , por t

re muestrear. po rá metros r I r de los gidos para la jes que genera se denotarán anta

Figura 1 : Función de Puntajes para los valo res de A3considerados.

mbdd=O. IJ.l9

r O'·"'''''.... i : D""''''''O'' i : D""''''''''' i : D" ~ - !. - !. - &.-

- .- - 7

0.0 DA 0.8 0.0 0.4 0.8 0.0 0.4 0.8 o .0 0.'1 0.8

" an,bda.)" ?O.l

0.0 0.4 0.8 0.0 0.4 0.8 0.0 0.4 0.8 .0 0.'1 0.8 ,

. ".lodoJ- ?O.S

. 0 OA 0.1':

" :x <;, ] - 1 l-u) -

2 [U ,; - (1 - U» )" 1:, (1' - 1)1 ,;-2 - A' (A'

,h (u 1)= - 1+ JS "3 4 4 't' E« , [ ]

1;U,;-1 + ;';(1 - u) '· -'

A., J ~<p2Q,(u)du

-O 4 0766919 -O 5 0687110 -O 6 0622352 -O 7 0568761 -O 8 0523682 -O 9 0485238 -10 0452064 -2 O 0,268711 -3,0 0,191330

-10 O 0063529

Con base en la expresión anterior se calculan diferentes valores de eficacias para un conjunto de pruebas propuesta al muestrear de poblaciones con diferentes distribuciones, para esto, empleando métodos numéricos se calculan las integrales involucradas en la expresión dada en (8), asignando valores específicos a los parámetros 1..3 ' A; , Y A'

4 de los cuales depende

ell a . Para I a s mismas distribuciones de donde se muestrea, consideradas en el paso anterior, se calcu lan las eficacias para las pruebas de Mood, Ansari-Bradley y Klotz, a partir de las expresiones (9), (10), y (11) comparando el conjunto de pruebas propuestas con estas últimas mediante la Eficiencia Relativa Asintótica (ERA) .

5 . Resultados

Basado en la expresión dada para el cálculo de la eficacia

~

'---

de la prueba propuesta que depende de tres parámetros

"3' ,,;, Y ,,~ se presentan algunos resultados numéricos. En estas expresiones el primer parámetro determina los puntajes para la prueba propuesta y los dos últimos determinan la distribución de donde se muestrea. Los resultados se presentan en tablas que se encuentran organizadas de la siguiente manera: Una columna encabezada con Lambda 3 que contienen los valores de este parámetro y que determinan la forma de la estadística de prueba; la siguiente columna, encabezada con IntPhi'2, especifica el valor de la integral en (15), las columnas con Eff presentan las eficacias y las etiquetadas con ERA se refieren a la eficiencia relativa asintótica. Se denota por M, AB, K Y V las pruebas de puntajes de Mood, Ansari­Bradley, Klotz y la prueba propuesta respectivamente. Una lectura de la tabla por renglones muestra, para un valor particular de "3' los cálculos a que se refiere cada columna, de esta forma, ya que las eficacias de las pruebas de Mood, Ansari-Bradley y Klotz dependen exclusivamente de la distribución de donde se muestrea y no del valor de "3' estos valores en la columna de cada tabla son constantes. Sin embargo, al ser las ERAs el cuadrado de los cocientes entre eficacias de la prueba propuesta y las diferentes

pruebas mencionadas, estos valores no son constantes en cada tabla.

Se presenta a modo de ejemplo una tabla que ilustra los cálculos de eficacias y ERAs al muestrear de una población normal, para otros resultados con muestras provenientes de otras poblaciones, ver Másmela (2007).

En la Tabla 2, la fila sombreada indica el valor de "3que define la función de puntajes para la cual, la prueba que se propone olcanza el valor más grande de eficacia. Además se observa que este valor de eficacia es mayor o igual que el mismo para las pruebas de Mood, Ansari-Bradley y Klotz. En este caso ya que se muestreó de una población con densidad simétrica, y por haberse construido la función

de puntajes con "3= "4 Y no depender de ninguno de los otros dos parámetros, la prueba que resu lta localmente más potente es aquella en donde el valor de "3 coincide con el valor que se da a este parámetro para aproximar la función de donde se muestrea, es decir ,,; . Así, al muestrear de una población con distribución normal estándar, la prueba es localmente más potente cuando "3= O, 1349, esto se debe a que el vector de parámetros paro aproximar la distribución normal es (O, 0.1975, 0.1349, 0.1349). Los va lores de "3 para los cua les la prueba propuesta

supera a la prueba de Mood están entre aproximadamente -0.4 yO.3, cuando se compara contra la prueba de Ansari­Bradley, la prueba propuesta es mejor al variar "3 entre aproximadamente -0.8 y 0.4, mientras que para la prueba de Klotz ocurre lo mismo para valores entre 0.1 y 0 .1349. En este último intervalo la prueba propuesta supera o iguala a las anteriores.

CONCLUSIONES

Se obtuvo una familia de funciones generadoras de puntajes para el problema de escala dependiente de los parámetros de la densidad de

la DLG("" "2' "3' "4) empleada para su construcción , restringiendo el espacio de variación de estos parámetros para garantizar que la función obtenida esté bien definida y por motivos de delimitación del problema.

Para medir la calidad de la prueba propuesta V se recurrió a la comparación de esta con las pruebas de Mood, Ansari­Bradley y Klotz diseñadas para el mismo fin. Di c h a comparación se realizó a través de la Eficiencia Relativa Asintótica (ERA). Se obtuvo una expresión para la eficacia de la prueba como función de los parámetros de la DLG, que incluso aproximó muy bien las eficacias de las pruebas de Mood, Ansari­Bradley y Klotz al tomar

•• Invitado Especial / =-----~

muestros de poblaciones con diferentes distribuciones,

Las ef icacias calculadas para la familia de pruebas propuestas y las ERAs de las mismas respecto a las pruebas con que se comparó, permiten confirmar el hecho que, cuando coinciden los valores de los parámetros de la DLG que definen la prueba con los que aproximan la distribución de la población de donde se muestrea, se alcanzan los valores de eficacia m ' as grondes y los valores de la ERA favorecen la prueba propuesta, Esto, iunto con los resultados obtenidos a través de las

eficacias permite verificar que las p r u e b a s con s t r u ida s, efectivamente son PRLMP para el caso de escala en dos muestras,

Para cada uno de los casos en donde se muestrea de distribuciones simétricas (normal, logística y doble exponencial), entorno al va I o r de 1..

3 que define la PRLMP

se conforman regiones en donde las eficacias de la familia de pruebas propuestas resultan mayores a las eficacias de las pruebas con que se comparó, en estas regiones las ERAs resultaron valores mayores a uno,

Para las poblaciones muestreada s con distribuciones asimétricas (McWilliams (1990)), cuando el grado de asimetría aumentó las eficacias disminuyeron, no solo para la familia de pruebas propuestas, sino también paro las pruebas con las que se comparó(Mood,Ansari-Brodley y Klotz), Esto parece indicar que como la familia de estadística de puntaies se construyó con base en distribuciones con densidades simétricas, al muestrear de poblaciones con distribuciones asimétricas, el comportamiento de la estadística desmeiora

Tabla 2: Eficacias y ERA muestreando de la distribución normal.

Muestreando de una normal Estándar (con función de )luntajcs DLG)

Larnda 3 Inl Phi"2 Eff(V) Eff(M) Eff(AB) Eff(K) ERA(V,M) ERA(V,AB) ERA(V,K)

0,4 8,435531 1,122345 1,232809 1,1 02658 1,4142 14 0,828822 1,036027 0,629829

0,3 3,903372 1,342088 1,232809 1, 102658 1,414214 1, 185141 1,481 427 0,900600

0,2 2,492683 1,409201 1,232809 1, 102658 1,4 14214 1,306635 1,633293 0,992924

0, 1349 2,01 0224 1,41 8070 1,232809 1,102658 1,4 142 14 1,323134 1,653917 1,005461

0,1 1,8200 19 1,415921 1,232809 1,102658 1,414214 1,3 19125 1,648907 1,002416

.{l,000363 1,428841 1,389847 1,232809 1,102658 1,414214 1,270990 1,588738 0,965837

.{l,0802 1,2 19302 1,37025 1 1,232809 1,102658 1,4142 14 1,235403 1,544253 0,938794

.{l,1 1,176439 1,363236 1,232809 1,102658 1,4 142 14 1,222786 1,528482 0,929206

· 1,232809 1,102658 1,155990 1,444987 0,878447 • .{l,2 0,998851 1,325479 1,414214 "' • , .{l,3 0,867688 1,286029 1,232809 1,102658 1,4142 14 1,088203 1,360253 0,826935 " ..

.{l,4 0,766919 1,246748 1,232809 1,102658 1,414214 1,022741 1,278426 0,777190

.{l,5 0,6871 10 1,208605 1,232809 1,102658 1,414214 0,961119 1,201 399 0,730363

.{l,6 0,622352 1, 172083 1,232809 1,102658 1,414214 0,903910 1,129887 0,686889

.{l,7 0 ,56876 1 1,137393 1,232809 1, 102658 1,4 142 14 0,851196 1,063995 0,646831

.{l,8 0,523682 1,104595 1,232809 1,102658 1,414214 0,802813 1,003516 0,610065

.(l,9 0,485238 1,073664 1,232809 1,1 02658 1,4142 14 0,758482 0,9481 02 0,576377

-1,0 0,452064 1,044528 1,232809 1,102658 1,4142 14 0,7 17874 0,897343 0,5455 19

-2,0 0,2687 11 0,829938 1,232809 1,102658 1,4142 14 0,453210 0,5665 13 0,344399

-3,0 0,191330 0,700934 1,232809 1,1 02658 1,4 14214 0,323268 0,404085 0 ,245654

-10,0 0,063529 0,3924 14 1,232809 1,102658 1,414214 0,101320 0, 126651 0,076994

Cada uno de los valores en la columna eficacia debe ser multiplicada por el factor A( l - A)

de acuerdo al grado de asimetría.

Para los casos de distribuciones

muestreadas asimétricas (McWilliams (1990)), cuando los valores de 1..

3 y 1..

4 fueron

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proXlmos, la prueba con mayor eficacia coi n cid i ó

e o n a q u e 11 a generada con el valor de 1..

3 utilizado

para generar la distribución

muestreada. N o o e u r rió lo m i s m o cuando los valores de

KARIAN , Z. A. & DUDEWICZ , E. J., Fitting Statistical Distributions: The generalized Lambda Distributi on and Generalized Bootstrap methods, Chopmon & Hol l/CRC. 2000.

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111 1..3 Y 1..4 fueron marcadamente diferentes, la prueba que alcanzó lo mayor efiacia no fue aquella generada con el valor de 1..

3 que fue utilizado

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