APROXIMACIONES DE LA FÓRMULA DE TAYLOR CON EL MATHEMATICA

Luisa Lucila Lazzariilazzari@econ.uba.ar

Andrea Parmamatejuan1@yahoo.com.ar

Julio C. Ferreirojcferreiro@speedy.com.ar

1ª Cátedra de Análisis Matemático II

Facultad de Ciencias EconómicasUniversidad de Buenos Aires

Julio 2006

1- INTRODUCCION

Este trabajo forma parte de una investigación iniciada en el año 2005, que consiste en el diseño y desarrollo de aplicaciones del software Mathematica como herramienta de cálculo simbólico y numérico, y recurso didáctico, para ser usada en la enseñanza de las asignaturas Análisis Matemático I y II.

El objetivo fundamental es que el alumno desarrolle algunas actividades con el programa Mathematica que le permitan facilitar la construcción del conocimiento de los temas desarrollados en las clases teóricas. Las ventajas del uso de la tecnología en la educación matemática son muy significativas, pues permite un manejo más dinámico de múltiples sistemas de representación de objetos matemáticos.

En esta presentación se analizan diferentes casos de aproximación de funciones, expresadas en forma explícita o definidas implícitamente por una ecuación, mediante las fórmulas de Taylor y de Mac Laurin. Este tema desempeña un papel importante en muchas áreas de la matemática aplicada y computacional.

Además de obtener la fórmula de Taylor con el Mathematica, se visualizan y comparan los gráficos de la función original con sus aproximaciones lineales, cuadráticas y de orden superior. Para el caso de funciones de dos variables independientes se realiza el gráfico de las curvas de nivel y se muestran sus diferencias.

2. POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

2.1. Desarrollo de la función f : en la proximidad de x= 0

El programa Mathematica tiene un comando llamado Series que permite obtener el desarrollo de una función f en serie de potencias en la proximidad de x = a hasta orden n. Su sintaxis es: Series[f, {var, a, n}]En primer lugar se considera una función sencilla y se obtiene el desarrollo de Mac Laurin, hasta orden 5.

en la que representa el resto o cota de error de

Lagrange que se obtiene al aproximar la función mediante un polinomio de 5º grado.Se realiza el gráfico de la función cuya fórmula es (Figura 1) con el Mathematica,

considerando . Para trabajar más cómodamente se define la función a utilizar mediante la forma genérica f [var_] = , así es fácil invocarla cuando se la precise

Nótese que la Figura 1 no está en la misma escala en ambos ejes, pero de este modo se aprecian mejor algunas de sus características. Si se considera una aproximación de 1º orden, se obtiene el polinomio cuya gráfica (Figura 2)

es de grado 0, pues

Figura 1.

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-1

-0.5

0.5

1

Figura 2.

[1]

Luego se obtienen las aproximaciones de 2º y 3º orden que son iguales y de grado 2, pues .

Se grafican estos polinomios, designándolos (Figura 3).

Se calculan los polinomios de 4º y 5º grado, , que son iguales pues . Su gráfica se muestra en la Figura 4.

Figura 3.

Figura 4.

2.2. Visualización simultánea de funciones

Para visualizar dos o más gráficos en el mismo sistema de ejes cartesianos, se utiliza el comando Show del Mathematica. La gráfica de la función original y su aproximación de grado 2, se presentan en la Figura 5.

En la Figura 6 están representadas todas las aproximaciones obtenidas, junto con la función original.

Figura 5. Gráfico de la función y su aproximación de grado 2

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-2

2

4

Figura 6. Gráfico de la función y sus aproximaciones

Si se desea dibujar todas las aproximaciones en una matriz de gráficos para su mejor visualización, se utiliza la opción GraphicsArray, combinada con Show (Figura 7).

3. SERIE DE TAYLOR

Sea una función de una variable independiente con derivadas de todos los órdenes en algún intervalo , con .

La fórmula de Taylor es:

con

y .

La serie de Taylor

representa a la función f en el intervalo si y solo si .

3.1. La serie de Taylor para la función

En 2.1. se desarrolló la función obteniéndose la expresión [1]. Entonces

[2]

Figura 7. Diferentes aproximaciones de la función

La expresión [2] es válida, siempre que

Para se cumple

De modo que

Pero a su vez la serie de potencias es convergente .

En efecto,

,

por lo tanto el radio de convergencia es infinito. A su vez si la serie es convergente se puede

asegurar que . . Como consecuencia y la serie [2] representa a

la función.

3.2. La función de Cauchy

La función de Cauchy está definida de la siguiente manera:

f : /

Para , la función f(x) tiene derivadas de todos los órdenes, que se determinan mediante las reglas de derivación elementales.Se calculan con el Mathematica las derivadas de orden 1º, 2º y enésimo.

Por lo tanto las derivadas son:

Se observa que , para es una combinación lineal de expresiones del tipo ,

donde .

Además se verifica que , es decir . Esto se comprueba

fácilmente haciendo el cambio de variable .

Por lo tanto la función de Cauchy tiene derivadas de todos los órdenes nulas en el origen. La serie de Mac Laurin es:

.

Finalmente se observa que esta serie no representa la función de Cauchy, pues converge a y = 0.

Es obvio que para esta función no se cumple . Es posible visualizar esta situación en

la Figura 8, sacando como conclusión que

Figura 8. Función de Cauchy y convergencia de la serie

4. POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

4.1. Polinomio de Mac Laurin para la función f : 2/f (x, y) = sen x sen y

Para obtener el polinomio de 2º grado que aproxime la función f(x, y) = sen x sen y en un entorno del origen se utiliza la fórmula de Mac Laurin para dos variables independientes, con ayuda del operador diferencial simbólico.

Para una aproximación de 2º orden, la fórmula de Mac Laurin se reduce a:

Donde

Reemplazando en la expresión anterior, se obtiene

El error en la aproximación es

En la Figura 9 puede observarse el gráfico de la función y la aproximación de segundo orden.

Si se desarrolla la función en un entorno del origen hasta el término de cuarto orden, se obtiene la siguiente expresión:

Figura 9. f(x;y) = senx seny y su aproximación de 2º orden

En la Figura 10.a se presenta el gráfico del polinomio de 4º orden de aproximación y en la Figura 10.b el polinomio y la función, superpuestos. Se observa que en la Figura 10.b, la parte que tiene mallado en el entorno del origen (ver recuadro), aproxima con más exactitud que en la Figura 10.a.

4.2. Comparación de curvas de nivel

Se obtienen con el Mathematica las curvas de nivel de la función original y se comparan con las de sus aproximaciones de 2º y 4º orden.

Figura 10. a. Polinomio de 4º orden Figura 10. b. Función y polinomio superpuestos

-2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2

-1

0

1

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2-1

0

1

-2

-1

0

1

2

Figura 11. Curvas de nivel de la función

Figura 12. Curvas de nivel del polinomio de 2º grado

Se observa que las curvas de nivel de la función original (Figura 11) son más similares a las de su aproximación de 4º orden (Figura 13).

5. POLINOMIO DE TAYLOR PARA FUNCIONES DEFINIDAS EN FORMA IMPLÍCITA

5.1. Gráfica de una función definida implícitamente en un determinado dominio

Dada la ecuación [3]

se analiza si la misma define una función en un entorno del punto (1;1). Para ello se verifican, con la ayuda del Mathematica, las hipótesis del Teorema de Cauchy-Dini:

a)

0

Figura 13. Curvas de nivel del polinomio de 4º grado

b) Las derivadas parciales de son continuas en un

c)

Al cumplirse las condiciones de Cauchy-Dini, se asegura la existencia de la función en un entorno del punto (1; 1).Para dibujar esta función con el Mathematica (Figura 14) se obtiene la intersección de los gráficos de

y de z = 0 (curva de nivel cero de la función ).

Agregando al comando Show un punto de vista adecuado, se obtiene la gráfica de en un con bastante precisión (Figura 15.a).

También se puede realizar la gráfica de la función en un entorno del punto (1;1) trabajando con el comando ContourPlot, considerando un rango conveniente para x e y (Figura 15.b).

Figura 14. Intersección de los gráficos de y de z = 0

5.2. Polinomio de Taylor para la función definida implícitamente en un determinado dominio

En primer lugar se calcula la derivada primera de la función en el punto (1;1), utilizando la

fórmula:

1

Por lo tanto

Ahora se calcula la derivada segunda

Para ello se debe derivar la función [4], teniendo en cuenta que .Se asigna a la variable y la expresión en [4] y luego se deriva. Esto se puede realizar debido a que el Mathematica es un programa de cálculo simbólico.

[4]

Figura 15.a. Gráfico de la función como intersección de los gráficos de y de z = 0

Figura 15.b. Gráfico de la función dada en forma implícita como curva de nivel

y por la regla generalizada de la cadena para funciones de varias variables, se obtiene:

El Polinomio de Taylor de orden dos que aproxima a la función en un E(1;1) es:

La gráfica de la aproximación de 2º orden se presenta en la Figura 16.

También se representa (Figura 17) la aproximación de 1º orden en un entorno del punto (1;1).

:

Figura 16. Aproximación de 2º orden

Figura 17. Aproximación de 1º orden

Finalmente se compara la función original, con sus aproximaciones de 1º y 2º orden (Figura 18).

Para hallar el polinomio de grado tres, se calcula con el Mathematica.

Se observa la complejidad de las expresiones de las derivadas sucesivas y la ventaja del uso del software para realizar este tipo de cálculos.Así, el polinomio de tercer grado que aproxima a una de las posibles funciones definidas implícitamente en el entorno considerado es:

y el de cuarto grado, es:

En la Figura 19 se muestra la función original con sus aproximaciones de 2º, 3º y 4º orden.

Figura 18. Función original y aproximaciones de 1º y 2º orden

6. CONCLUSIONES

El uso de la computadora en la enseñanza de la matemática permite incluir ejercitación más compleja desde el punto de vista del cálculo y también más próxima a las reales condiciones del trabajo que desempeñarán los alumnos en su vida profesional, a la vez que dinamiza la operatoria rutinaria. Potencia el desarrollo del conocimiento y del aprendizaje, la creatividad, el aprendizaje por descubrimiento y exploración y la resolución de problemas concretos vinculados a su desempeño profesional.

El empleo de programas de cálculo simbólico, como el Mathematica, para el estudio y representación de funciones mediante el desarrollo de Taylor resulta muy adecuado, tanto desde el punto de vista didáctico como práctico.

Este tema es muy importante para los estudiantes de carreras de Ciencias Económicas dado la gran cantidad de aplicaciones que presenta, entre las que se pueden mencionar:

En Análisis Numérico, entre otros temas, se aplica al cálculo de errores, ajuste de datos observados a una curva por mínimos cuadrados, en los métodos numéricos de integración, en el método de Runge-Kutta para problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias.

En la Teoría de Inversiones, los desarrollos en serie de Taylor permiten obtener modelos más generales de inversiones bajo incertidumbre, en particular los que emplean movimientos Brownianos y el lema de Ito, como así también la ecuación de Kolmogorov.

En Estadística y Econometría se suelen hacer lineales los estimadores aplicando la fórmula de Taylor. También se utiliza en la formulación y estimación de modelos especiales, como los intrínsecamente lineales (que resultan no lineales respecto a las variables pero lineales respecto a los parámetros a estimar) y los íntrinsecamente no lineales (que son modelos no lineales respecto a las variables y a los parámetros); así como recurso en demostraciones teóricas referidas al testeo de hipótesis.

En Administración Financiera, se utiliza en particular en el tema de cobertura de un portafolio de inversiones. La serie de Taylor en dos o más variables permite expresar el cambio del portafolio en función del precio del activo y del tiempo, para períodos de tiempo cortos. Esto es posible dado que si la volatilidad del activo se considera constante, el valor del portafolio puede expresarse en

Figura 16. Aproximación de 2º ordenFigura 16. Aproximación de 2º ordenFigura 16. Aproximación de 2º orden

Figura 19. Función original con sus aproximaciones de 2º, 3º y 4º orden.

función del precio del activo y del tiempo; y si la volatilidad del activo se asume variable, el portafolio es función de la volatilidad, el precio y el tiempo, en cuyo caso el desarrollo de Taylor corresponde a tres variables.

Referencias bibliográficas

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Equipo de apoyo necesario: PC y cañón de proyección