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Mauricio Galvez Legua (mgalvez@uni.edu.pe)

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En el mundo de la informtica impera el sistema de numeracin binario, pero tambin se suele abreviar utilizando el sistema de numeracin hexadecimal. Es tarea nuestra el interpretar la informacin en el formato de dichos sistemas de numeracin y poder realizar las conversiones necesarias.

En esta unidad aprenderemos todo lo relacionado a estos dos importantes sistemas de numeracin.

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Describir que es un sistema de numeracin y que tipos existen.

Utilizar la notacin binaria para leer y escribir nmeros en sistema base 2.

Emplear la notacin hexadecimal para leer y escribir nmeros en sistema base 16.

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Sistemas de numeracin Sistemas de numeracin no posicionales

Sistemas de nmeros romanos Sistemas de numeracin posicionales

Sistemas de base 10 Sistemas de base 2 Sistemas de base 16

Conversiones Conversin de decimal a binario. Conversin de decimal a hexadecimal. Conversin de binario a decimal. Conversin de binario a hexadecimal. Conversin de hexadecimal a binario. Conversin de hexadecimal a decimal.

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Un sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas de generacin que permiten construir todos los nmeros vlidos en el sistema.

Ejemplo: Hay que tener en cuenta que el hombre usa el sistema decimal, (segn una opinin bastante general debido a una circunstancia ms o menos afortunada: por la simple razn de que tiene diez dedos entre las dos manos).

La palabra dgito y dedo tienen la misma raz latina, por eso usamos una numeracin con 10 dgitos o dedos.

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De una forma general y amplia podemos clasificar los sistemas de numeracin en dos grandes tipos:

No Posicionales

Posicionales

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El valor de los smbolos que componen el sistema es fijo, y no depende de la posicin que ocupa el smbolo dentro del nmero.

Ejemplo: Nmeros Romanos. El sistema de los nmeros romanos no es estrictamente

posicional. Por esto, es muy complejo disear algoritmos de uso general (por ejemplo, para sumar, restar, multiplicar o dividir).

Como ejemplo, en el nmero romano XCIX (99 decimal) los numerales X (10 decimal) del inicio y del fin de la cifra equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posicin dentro de la cifra.

7

El valor de los smbolos que componen el sistema depende del valor que se les ha asignado, y de la posicin que ocupan en el nmero.

Son aquellos donde los dgitos tienen que ser multiplicados por potencias de la base segn su posicin.

Ejemplo: el nmero 427 en el sistema decimal: (427)10 = 4 x 10

2 + 2 x 101 + 7 x 100

Conclusin: Un nmero abcd en base m: (abcd)m ser descompuesto como:

(abcd)m = a x m3 +b x m2 +c x m1 +d x m0

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El sistema decimal se compone de 10 numerales o smbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Estos smbolos se llaman dgitos y organizados en un orden jerrquico sirven para representar cualquier cantidad. Se suele obviar el subndice 10 de la base.

Al sistema de base 10 se le denomina sistema decimal.

Es un sistema de valor posicional; en el cual el valor de un dgito depende de su posicin.

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El sistema de base 2 posee solo dos dgitos (0,1). Es un sistema de valor posicional. Se le denomina sistema binario y se suele colocar el

subndice 2 una letra b. Ejemplo:

11011b es (1101)2

Al trmino dgito binario se la suele denominar bit (binary digit).

10

Binario Binario Binario Binario

000

001

010

011

100

00

101

0000

110

111

0

01

10

11

1 0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Decimal Decimal Decimal Decimal

0

1

2

3

4

0

5

0

6

7

0

1

2

3

1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Al conjunto de 4 dgitos binarios se le denomina nibble.

Al conjunto de 8 dgitos binarios se le denomina byte (B)

Al conjunto de 16 dgitos binarios se le denomina word (W)

nibble

Al conjunto de 32 dgitos binarios se le denomina double word (DW)

11

Hex

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

Binario

0000 0000 0000

0000 0000 0001

0000 0000 0010

0000 0000 0100

0000 0000 1000

0000 0001 0000

0000 0010 0000

0000 0100 0000

0000 1000 0000

0001 0000 0000

0010 0000 0000

0100 0000 0000

Valor

0

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

210

Decimal

0

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024 Este valor se conoce como 1K

El gran problema con el

sistema binario es que se

requiere de muchos dgitos

para representar nmeros

relativamente grandes.

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Otro ejemplo del uso de los bits es la creacin de los mapas de caracteres, esto significa la forma como estn diseados cada carcter que visualizamos en la pantalla.

En realidad no es mas que un arreglo de bits en los cuales se coloca 1 si se quiere pintar un punto en pantalla.

13

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

= 18h

= 24h

= 42h

= 42h

= 7Eh

= 42h

= 42h

= E7h

Los Mapas de Caracteres se almacenan en una

memoria del tipo ROM llamado ROM de Caracteres y esta ubicado en la interfase de video.

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Usando varios bits, podemos representar muchas cosas. Para ello lo nico que necesitamos saber es el numero de combinaciones que podemos tener con n bits.

Nmero de combinaciones = 2n

# bits

1

2

3

4

5

6

7

8

Combinaciones

2

4

8

16

32

64

128

256

15

Ejemplo : Si quisiramos representar las notas de un alumno (0 al 20). Cuantos bits necesitamos ?

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Revisando la tabla anterior podemos darnos cuenta que el numero de bits que puede cubrir las 21 posibles notas es 5 bits.

Ejemplo : Representar los meses del ao.

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Como son 12 meses, se requiere 4 bits, los cuales nos proporciona hasta 16 combinaciones.

El sistema de base 16 posee 16 dgitos.

Es un sistema de valor posicional.

Se le denomina sistema hexadecimal y se suele colocar el subndice 16 una letra h.

Ejemplo: 8CA2H 8CA2h es (8CA2)16

Al trmino dgito hexadecimal se le suele denominar nibble.

Hexadecimal

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

Decimal

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Binario

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111 Cualquier dgito hexadecimal se puede

representar con un nmero binario de 4 dgitos.

18

19

En la computadora, a cada interfase se le asigna uno o ms nmero para poder identificarlo. Dicho nmero es llamado puerto (port).

La computadora puede trabajar hasta con 64K puertos o lo que es lo mismo:

0000h

FFFFh Ciertas interfases ya tienen

asignado un puerto fijo, como es el caso del puerto de impresora (tambin llamado LPT1):

Intervalo de E/S = 0378h 037Fh

Mtodo de divisiones sucesivas.

Convertir el nmero 42 a binario:

20

Respuesta = 101010

Mtodo de suma de potencias de 2

Ejemplo: Convertir (23)10 a binario:

32 16 8 4 2 1

1 0 1 1 1

21

El nmero ser (10111)2

En este caso si nos conviene las divisiones sucesivas en vista que son muchos los dgitos hexadecimales y el resultado ser generalmente de menos dgitos que los decimales.

Convertir (1869)10 a hexadecimal:

22

En este caso si nos conviene las divisiones sucesivas en vista que son muchos los dgitos hexadecimales y el resultado ser generalmente de menos dgitos que los decimales.

Convertir (1237)10 a hexadecimal:

23

Para realizar la conversin basta con sumar los pesos de cada dgito segn su posicin:

(abc)2 a decimal : a.22 + b.21 + c.20

Ejemplo: Convertir 11000101b a decimal:

Digito 1 1 0 0 0 1 0 1

Peso 128 64 32 16 8 4 2 1

24

Entonces sumaremos 128 + 64 + 4 + 1

Finalmente: 11000101b = 195

Los sistemas de base 2 y de base 16 tienen una muy cercana relacin porque 24 =16

Esto quiere decir que para pasar un nmero de base 2 a base 16 bastar con agrupar de a 4 de izquierda a derecha los dgitos binarios y reemplazarlos luego por su equivalente hexadecimal.

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Ejemplo: Queremos convertir el nmero 11000101b a hexadecimal. Emplearemos entonces una tabla de

equivalencias para hacer nuestra conversin:

Al nmero a convertir lo agrupamos de derecha a izquierda en paquetes de 4 bits, quedando:

1100 0101 Entonces en la tabla encontramos que 1100

binario equivale a C hexadecimal y que 0101b equivale a 5H, por lo tanto:

11000101 = C5H

26

Hexadecimal

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

Binario

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Hacemos el proceso inverso de la conversin anterior, es decir, cada dgito hexadecimal se reemplaza por sus respectivos 4 dgitos binarios.

Ejemplo: Convertir 378H a binario:

27

Recordemos que de la tabla:

3H = 0011b

7H = 0111b

8H = 1000b

Ahora simplemente reemplazamos cada dgito por su equivalente:

378h = 001101111000b

Para hacer esta conversin hacemos la tradicional descomposicin polinmica, es decir multiplicar cada dgito por la potencia de 16 respectiva:

(pqr)16 = p . 16

2 + q . 161 + r . 160

Ejemplo: Convertir 3FFh a decimal: 3FEh = 3 . 162 + F . 161 + E . 160

= 3 . 256 + 15 . 16 + 14 . 1 = 768 + 240 + 14 = 1022 Entonces 3FEh = (1022)10

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