U01 Análisis Dimensional

2012

Instituto de Robótica Creativa Von

Braun

http://www.roboticaperu.edu.pe/lms

20/11/2012

Análisis Dimensional

www.roboticaperu.edu.pe/lms Análisis Dimensional

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Tabla de contenido INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 3

OBJETIVOS .............................................................................................................................. 3

ÁREAS DE LA FÍSICA ................................................................................................................. 4

Magnitud ............................................................................................................................. 4

Unidades ............................................................................................................................. 4

Medición ............................................................................................................................. 5

Cantidad .............................................................................................................................. 5

Tipos de Cantidades: Homogénea ........................................................................................... 6

Tipos de Cantidades: Heterogénea.......................................................................................... 6

MAGNITUDES FÍSICAS .............................................................................................................. 7

Las Unidades deben ser: ........................................................................................................ 7

Magnitudes: Ejemplo ............................................................................................................ 7

MAGNITUDES .......................................................................................................................... 9

Magnitudes Fundamentales ................................................................................................... 9

Ejercicio: Perímetro............................................................................................................. 10

Ejercicio: Área .................................................................................................................... 10

Ejercicio: Volumen .............................................................................................................. 11

Masa ................................................................................................................................. 12

Tiempo .............................................................................................................................. 12

Magnitudes Derivadas ......................................................................................................... 12

Ecuaciones Dimensionales ................................................................................................... 12

Ejemplos ............................................................................................................................ 13

Ejercicios ........................................................................................................................... 16

Reglas de las Ecuaciones Dimensionales ................................................................................ 17

Principios de Homogeneidad ................................................................................................ 18

BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 22


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INTRODUCCIÓN

Existen diferentes sistemas de unidades. Las cantidades físicas pueden expresarse en distintas unidades según la escala en que esté graduado el instrumento de medición. Una distancia puede expresarse en metros, kilómetros, centímetros o pies, sin importar cuál sea la unidad empleada para medir la cantidad física distancia, pues todas ellas se refieren a una dimensión fundamental llamada longitud, representada por L. El buen manejo de las dimensiones de las cantidades físicas en una ecuación o fórmula física, nos permite comprobar si son correctas y si se trabajaron debidamente. El Análisis Dimensional es una parte de la física que estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales, esto con el fin de descubrir valores numéricos a los que llamaremos "dimensiones", los cuales aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales.

OBJETIVOS

Analizar las formulas físicas mediante el principio de homogeneidad dimensional.

Describir las unidades básicas de los diferentes sistemas de unidades (Sistema Internacional e Inglés).

Definir y analizar los conceptos de espacio, tiempo y masa.

Determinar la dimensión de las diferentes magnitudes físicas derivadas.

Desarrollar operaciones haciendo uso del Sistema Internacional de Unidades.

Emplear los diferentes factores de conversión, para la transformación de un sistema de unidades a otro.


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ÁREAS DE LA FÍSICA

La infinidad de fenómenos físicos de nuestro mundo han sido divididos para su estudio en las siguientes áreas:

La Mecánica, que se ocupa de los efectos de las fuerzas sobre los objetos materiales.

La Termodinámica, que se ocupa del calor, la temperatura y el comportamiento de grandes cantidades de partículas.

Sonido, que se ocupa del estudio de las ondas mecánicas.

El Electromagnetismo, que se ocupa del estudio de las cargas, las corrientes y los campos electromagnéticos.

La Relatividad, una teoría que describe el movimiento de las partículas con cualquier rapidez y que conecta el espacio con el tiempo.

La Mecánica Cuántica, una teoría que se ocupa del comportamiento de las partículas en el nivel sub-microscópico y también del mundo macroscópico.

Magnitud

Magnitud es todo aquello que se puede medir, que se puede representar por un número.

Ejemplo: podemos definir como “magnitud” las “piezas Lego”:

Unidades

Para medir debemos diseñar el instrumento de medida o patrón y escoger una cantidad de esa magnitud que tomamos como unidad.

Ejemplo:

Definimos como patrón “un ladrillo lego de 2x2”:

Definimos como patrón “una espiga de conexión”:

No estamos haciendo distinción entre piezas grandes o pequeñas, redondas o

cuadradas, etc.


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Medición

La medición es un proceso básico de la ciencia que consiste en comparar un patrón seleccionado con el objeto o fenómeno cuya magnitud física se desea medir para ver cuántas veces el patrón está contenido en esa magnitud.

Ejemplo: Tomando como patrón “ladrillo lego de 2x2”

Podemos medir cuantas piezas lego son iguales a ella:

Ejemplo: Si definimos nuestro patrón como “ladrillo lego de 2x2 de color rojo”

Entonces, el número de piezas lego iguales a ella es:

Cantidad

Cantidad es lo que resulta de una medición (de una magnitud) que se expresa con números acompañado por unidades, de la forma siguiente: Cantidad = Números x Unidades Ejemplo:

Cantidad = 6 “piezas Lego”

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6

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Tipos de Cantidades: Homogénea

Una cantidad es homogénea cuando posee objetos de una misma especie o está constituido por una sola sustancia.

Ejemplos: Ladrillo lego de 2x2 de color rojo.

Ejemplo: Un rebaño de ovejas.

Tipos de Cantidades: Heterogénea

Es heterogénea cuando posee objetos de diferentes especies o está constituida por varias sustancias.

Ejemplos: 6 “piezas Lego”

Ejemplo: Una ensalada de frutas.


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MAGNITUDES FÍSICAS

Una magnitud física es una propiedad o cualidad medible de un sistema físico, es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición. Las primeras magnitudes definidas estaban relacionadas con la medición de longitudes, áreas, volúmenes, masas patrón, y la duración de periodos de tiempo.

Las Unidades deben ser: Reproducibles por cualquiera y no manipulables (que nadie varíe de manera localista lo que corresponde a un mismo nombre. Ejemplo: libra de Roma y libra de Florencia).

Ejemplo: Definir “ladrillo lego de 1x2 de color amarillo”

Universales y Contrastables: Utilizadas por todos los países y accesible, para él que quiera calibrar con ellas otros patrones de medida. Inalterables por las condiciones atmosféricas, el uso, etc.

Magnitudes: Ejemplo

Podemos medir la cantidad de piezas que hay: “7”

La idea de cómo deben ser las unidades, surge como una consecuencia de la Revolución

Francesa.

Para que se puedan tener múltiplos y submúltiplos en un sistema coherente surge el

Sistema Internacional de Unidades.


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También podemos medir la cantidad en engranajes que hay: “3”

Podemos medir la cantidad de “dientes” que tiene cada engranaje:

8 24 24

También podemos medir la cantidad de «pivotes» que hay:

2 4 6

Podemos definir que nuestro “patrón” de medida son los “agujeros”, entonces tenemos:

5 agujeros 7 agujeros 15 agujeros


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MAGNITUDES

Existe una gran cantidad de magnitudes, en forma general se clasifican de acuerdo a su origen y de acuerdo a su naturaleza:

Por su origen: - Magnitudes Fundamentales - Magnitudes Derivadas

Por su naturaleza: - Magnitudes Escalares - Magnitudes Vectoriales

Magnitudes Fundamentales Las Magnitudes Fundamentales son aquellas que no se pueden expresar en función a otras, estas se toman arbitrariamente y sirven de base para el desenvolvimiento de la ciencia. Las Magnitudes Fundamentales son aquellas tomadas convencionalmente y sirven de base para las demás magnitudes. Actualmente se emplea un sistema fundamental denominado: Sistema Internacional de Unidades (SI), que está basado en el sistema métrico decimal, en este sistema se consideran siete magnitudes fundamentales y dos auxiliares:

Para informar el resultado de una medición de cierta cantidad a alguien que desea reproducir esta medición, debemos definir la unidad de la cantidad. En 1960 un comité internacional llegó a un acuerdo sobre un sistema de patrones y designaciones para estas cantidades fundamentales, llamado Sistema Internacional de Unidades, la cual define:

- Unidad de longitud: metro - Unidad de masa: kilogramo - Unidad de tiempo: segundo

Juguemos!!!

Longitud Masa Tiempo


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10

Ejercicio: Perímetro

Calcular el perímetro de la siguiente figura:

Calcular el perímetro de la siguiente figura:

Ejercicio: Área


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Ejercicio: Volumen


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Masa La masa, en física, es la cantidad de materia de un cuerpo. Es más difícil producir un cambio en el estado de movimiento de un objeto cuya masa es grande que en un objeto de masa pequeña.

Masa

Tiempo El tiempo es la magnitud física con la que medimos la duración o separación de acontecimientos.

Tiempo

Magnitudes Derivadas En función a las Magnitudes Fundamentales, se pueden escribir muchas otras magnitudes como: el área, la velocidad, la densidad, la presión, etc. Cuando se mezclan las magnitudes fundamentales se obtienen otras magnitudes denominadas Derivadas.

Ecuaciones Dimensionales Empleando las magnitudes fundamentales se pueden escribir otras magnitudes denominadas derivadas. Se llama Ecuación Dimensional a la relación que existe entre las magnitudes derivadas y las fundamentales. Los objetivos de la Ecuación Dimensional son:

Escribir las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales.

Demostrar la validez de una fórmula física mediante el principio de homogeneidad dimensional.

Determinar formulas físicas empíricas a partir de datos experimentales obtenidos en un laboratorio.

La notación usada son los corchetes: [ ].


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Ejemplos

Hallar la ecuación dimensional de la velocidad.

Sabemos que:

Represándolo:

Calculando

Calcular la ecuación dimensional de la aceleración.

Sabemos que:

Represándolo:

Calculando

Calcular la ecuación dimensional de la fuerza.

Sabemos que:

Represándolo:

Calculando


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Calcular la ecuación dimensional de la presión.

Sabemos que:

Represándolo:

Calculando

Calcular la ecuación dimensional de la densidad.

Sabemos que:

Represándolo:

Calculando

Calcular la ecuación dimensional del trabajo.

Sabemos que:

Represándolo:

Calculando


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Calcular la ecuación dimensional de la energía.

Sabemos que:

Represándolo:

Calculando

Calcular la ecuación dimensional de la energía cinética.

Sabemos que:

Represándolo:

Calculando

Calcular la ecuación dimensional de la torque.

Sabemos que:

Represándolo:

Calculando


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Calcular la ecuación dimensional de la potencia.

Sabemos que:

Represándolo:

Calculando

Ejercicios Calcular [G] de la ley de la gravitación universal, enunciada por Newton, la cual indica que la fuerza de atracción entre dos partículas de masas y separadas por una distancia “r” es: Solución:

Para resolver este problema debemos recordar la ecuación dimensional de la fuerza:


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Reglas de las Ecuaciones Dimensionales Regla 1: La adición o sustracción no se aplica a las ecuaciones dimensionales. El sumar o restar magnitudes de la misma naturaleza obtenemos otra magnitud de la misma naturaleza:

Metros ± metros = metros L ± L = L

Aceleración ± aceleración = aceleración LT-2 + LT-2 = LT-2

Regla 2: Las leyes de la multiplicación y la división son aplicadas a las ecuaciones dimensionales:

(L) (LT) = L2T

(no tiene dimensión)

Ejemplo: LxM Ejemplo: L/M

Regla 3: Las constantes matemáticas (números) no tiene unidades:

Función trigonométrica: [ ] Función logarítmica: [ ] Los exponentes: [ ]

Las constantes matemáticas: [ ]

[√ ]

Los ángulos: [ ] [ ]


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Principios de Homogeneidad En una ecuación homogénea de adición o sustracción todos los términos tienen la misma ecuación dimensional:

S = A + B + C

[ ] [ ] [ ] [ ]

Ejercicio 1:

La expresión:

P=2xt

Es dimensionalmente correcta, donde: P (presión), t (tiempo), D (densidad) y F (fuerza). Calcular x, y, z.

Solución: - Recordemos que:

P=

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

D=

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

F= [ ] [ ][ ] [ ]

- Sustituyen en la ecuación:

[ ] [ ][ ][ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

- Utilizando el Principio de Homogeneidad:

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]


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Ejercicio 2:

Halle la dimensión de N en: N=

+

dónde:

- F (fuerza), - m (masa), - t (tiempo)

Solución:

[ ] [ ][ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

Para que la ecuación dimensional: [ ] sea correcta A debe ser igual a M. Entonces:

[ ]

[ ]

Ejercicio 3:

En la ecuación dimensionalmente correcta halle la ecuación dimensional de Y:

xY=√

- m (masa), - P (potencia), - W (trabajo) - V (velocidad)

Solución: - Dentro de la raíz cuadrada hay una suma y podemos usar el principio de homogeneidad:

[ ] [ ] [ ][ ]

- Reemplazando en la misma ecuación:

xY=√

[ ][ ] √[ ] [ ]

[ ]

[ ] √[ ][ ]

[ ] √

[ ]


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Ejercicio 4:

Halle la dimensión de E en: E= donde h (longitud).

Solución:

- Reemplazando la unidad de h:

[ ]

Para que la ecuación dimensional: sea correcta debe cumplirse que: x=L

- Entonces se tiene que:

[ ]

Para que la ecuación dimensional: sea correcta debe cumplirse que: y=

- Reemplazando el valor de y:

[ ]

Finalmente para que la ecuación dimensional sea correcta se debe cumplir: z=

Por lo tanto E es igual a: [ ] Ejercicio 5:

Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta, donde: s (área), a (aceleración) y v (velocidad). Halle la ecuación dimensional de y:

(

)

Solución:

- Usando las ecuaciones dimensionales:

[ ][ ] [ ][ ] [ (

)]

[ ] [ ]

[ ] [ ]


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La función logaritmo se aplica a los números, luego:

[ ][ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

- Reemplazando (II) en (I):

[ ]


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BIBLIOGRAFÍA

http://www.chemedia.com/cgi-bin/smartframe/v2/smartframe.cgi?http://europa.eu.int/comm/translation/bulletins/puntoycoma/87/pyc876_es.htm

La vida de Einstein: http://www.einstein.unican.es/

http://www.sc.ehu.es/acpmiall/index.htm

http://www.editorialjuventud.es/3287-1.html

http://astronomia2009.es/Proyectos_de_ambito_nacional/La_medida_del_Radio_de_la_Tierra/Documentacion:_Quien_era_Eratostenes.html




http://www.einstein.unican.es/

http://www.sc.ehu.es/acpmiall/index.htm




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