A

B

C

Hipot

enus

aCateto

Cateto

Triangulo

TEOREMA DE PITÁGORAS

A

B C

CATETO

CATETO

HIPOTENUSA

2 2(CATETO) (CATETO) 2(HIPOTENUSA)

3

45 512

1320

21 29

A C

Hipot

enus

a

Cateto adyacenteal <B

Cateto opuestoal <B

B

A Cb

B

ac

Calcular las razones trigonométricas de los ángulos A y B.

Nombre Símbolo

Seno Sen A = co

Coseno Cos A = ca

Tangente Tan A = co

Cotangente CotA = ca

Secante Sec A = hip

Cosecante Csc A = hip

hiphipca

ca

co

co

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS

qq=

CatetoOpuestoasen

Hipotenusa

CatetoAdyacentea

cosHipotenusa

Hipotenusasec

CatetoAdyacentea

Hipotenusa

cscCatetoOpuestoa

CatetoAdyacentea

cotCatetoOpuestoa

CatetoOpuestoa

tanCatetoAdyacentea

CATETO

OPUESTO

A

CATETO ADYACENTE A

HIPOTENUSA

SENO COSENO

TANGENTE COTANGENTE

SECANTE COSECANTE

12

35

H2 2 2H 12 35

TEOREMA DE PITÁGORAS

H 1369 37

sen

cos

tan 12373537

1235

cot

sec

csc 3512

37353712

EJEMPLO :

Ejercicio:

Sabiendo que es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....

23

Razones Recíprocas

Sen ACos ATan ACot ASec ACsc A

•Sen A ( Csc A ) = 1

•Cos A ( Sec A ) = 1

•Tan A ( Cot A ) = 1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

1sen

csc

1

cossec

1tan

cot

EJEMPLOS

o

1A)

sen36ocsc 36 o

1B)

cos 17osec 17

sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1

D)sen2 csc 2 1o oC) tan 49 cot 49 1

oE)cos 63 sec 1 o63

F) tan 2 cot 1 2

CO-RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS

LAS CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SON:

SENO Y COSENO

TANGENTE Y COTANGENTE

SECANTE Y COSECANTE

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

sen cos

cos

tan

sen

cot a

b ccot

sec

csc

tan

csc

sec

“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”

EJEMPLOSoA)sen25 oB)tan 43 oC)sec 60

ocos 65ocot 47ocsc 30

...............

...............

...............

o o O25 65 90 o o O43 47 90 o o O60 30 90

oD)sen cos 20 o O20 90 o70

E) tan 5 cot o5 90 o15

F)sen5

cos

5 2

2 5

3

rad10

))

((o30

o37 o45

4 3

4

3 3

3 3

CALCULAR : cot

83 3

cot4

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

HHsen

H cos

L sec L tan

L

5

o62

o5sen62

o5 cos 62

8

8 tan8 sec

CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO

CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO

L

L cot

L csc k

o24

ok csc 24

ok cot 24

EJEMPLO

)

)

mCalcular L en términos de m y ;

L

CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO

SOLUCIÓN

m

m tanL

L m tanm

cot L m tan m cot

L m cot m tan L m (cot tan )

ÁREA DEL TRIÁNGULO

A B

C

ab

c

abS senC

2

bcS senA

2

acS senB

2

EJEMPLO

5m

8m

O60

o(5)(8)S sen60

2

(5)(8) 3S ( )

2 2 210 3m

Uso de la calculadora

• 1. Hallar el valor de las funciones trigonométricas para 50° con la calculadora.

Sen 50°= Cot 50°=

Cos 50°= Sec 50°=

Tan 50°= Csc 50°=

Uso de la calculadora

• 2. Hallar la medida del ángulo agudo “A” si

sen A = 0.74314.

• 3. Hallar la medida del ángulo B si cot B= 0.26795

Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo rectángulo consiste en hallar la medida de sus ángulos agudos y la longitud de sus 3 lados.

Ejemplos

• Resolver los siguientes triángulos rectángulos.

• 1.

B

A C

a

b

80

63°

a = 71.28b = 36.32< B = 27°

• 2. B

A C

5

12

cc = 13

< A = 22.62°< B = 67.38°

• 3.

A C

a

b=20

c

39° 25´

B

a = 16.4c = 25.9

< B = 50.58° = 50° 35’

Aplicaciones• 1. Desde la cúspide de un faro de 30 m

de altura sobre el nivel del mar se observa que el ángulo de depresión respecto de un barco es de 25°; calcular la distancia horizontal del faro al barco.

x = 64.3 m

• 2. Hallar el ángulo de elevación del Sol si una persona de 1.80 m proyecta una sombra de 3.6 m.

=26.56°

• 3. ?Qué ángulo debe formar con el piso una escalera de 6 m de longitud, si se quiere alcanzar la parte más alta de una pared de 3 m?

<B = 30°

• 4. ?A qué distancia del pie de una torre de 40 m de altura deberá colocarse un observador para que el ángulo de elevación a la cúspide de la torre sea de 60°?

x = 23.0 m