-41-

TEMA II

TRANSFORMADAS DE LAPLACE.FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

2.1.-Introducción.

2.2.-Transformada de Laplace.

2.3.-Transformada Inversa de Laplace.

2.4.-Análisis de Circuitos en el dominio de Laplace.2.4.1.-Circuitos Transformados.2.4.2.-Aplicación en el estudio de Transitorios.

2.5.-Funciones de Transferencia.

2.6.-Transformada de Fourier.

-42-

(1)

II.1.- INTRODUCCIÓN

La "Transformada de Laplace" es una operación matemática, como pueda serla "derivada", la "integral" o el mismo "logaritmo".

Su utilidad más importante reside en su aplicación a la resolución de Sistemasde ecuaciones diferenciales.

Al igual que los apartados anteriores, no se pretende (sería imposible porcuestiones de tiempo, aparte de que al ser un proceso estrictamente matemático, nocorresponde a esta publicación su estudio sino su aplicación) explicar en detalle lateoría concerniente a esta operación matemática, sino que nos limitaremos a apuntarlevemente sus fundamentos, y sobre todo a especificar el proceso que se sigue en suutilización.

En un problema concreto nos encontraremos con una ecuación integro/diferen-cial, más o menos complicada, que deberemos resolver (al menos obtener la parteestacionaria de ésta). Si tomamos "Transformadas de Laplace" (igual como podemostomar logaritmos en una ecuación) todas las derivadas (del orden que sean) e integra-les desaparecen, con lo cual se transforma la ecuación (o sistema de ecuaciones) enuna ecuación con variable compleja P que se resolverá por métodos convencionales.Una vez obtenida la solución deseada, se tomarán "Transformada inversa de Laplace"(igual que se toman antilogaritmos) para obtener la solución, realmente deseada, enel dominio temporal.

Nosotros, normalmente, nos saltaremos no solo el primer paso (partiremos yade las ecuaciones en el dominio de Laplace) sino que, en muchos casos (estudiofrecuencial), no necesitaremos dar el comportamiento temporal, sino que lo que nosinteresará es la respuesta en frecuencia (que es, prácticamente, el dominio deLaplace).

Al igual que con el Operador D, podemos avanzar que la impedancia de unabobina es, en este caso, ZL=Ls y para un condensador ZC=1/Cs (s, o bien p, es lavariable compleja de parte real F y parte imaginaria w).

Definición de Transformada Integral (en general):

"Sea una función de dos variables K(s,t). Siempre podremos definir:

Diremos que f(s) es la Transformada Integral de F(t) mediante el núcleo K(s,t).A F(t) también se le llama Transformada Inversa de f(s)".

Algunas de las más conocidas son:

-43-

(2)

(3)

(4)

(5)

a)Transformada de LAPLACE:En este caso, el camino de integración es C = [0, +4444) y el núcleo:

o sea:

siendo la variable t real y la variable s (o p) compleja.Es la más utilizada de las que vamos a presentar.

b)Transformada de FOURIER:

En este caso, el camino de integración es C = (-4444, +4444) y el núcleo:

o sea:

siendo en este caso ambas variables reales.

Cabe mencionar que esta transformada puede considerarse un casoparticular de la transformada de Laplace, donde la parte real de la variablecompleja s es nula (F = 0).

Tampoco conviene confundir esta operación con el desarrollo en Seriede Fourier), ya que esta transformada se utiliza en el caso de tener funcionesno periódicas (que como se verá es un requisito imprescindible para las seriesde Fourier), a pesar de que el sentido físico asociado es el mismo. Latransformada de Fourier (FT en terminología anglosajona) se utiliza ampliamen-te para el estudio en frecuencia (en la mayoría de los casos, incluso la variables es sustituida por la w de frecuencia angular o pulsación). Así mismo, uncampo donde tiene especial importancia es en el de las imágenes (puedeconsiderarse que el ojo humano realiza constantemente transformaciones deesta índole), de hecho, existe otra variedad de ésta (la Transformada Rápida deFourier, abreviadamente FFT), ampliamente utilizada en el tratamiento digital deimágenes.

-44-

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

c)Transformada de MELLIN:

En este caso, el camino de integración es C = [0, +4444) y el núcleo:

o sea:

siendo la variable t real y la variable s compleja.

d)Transformada de HANKEL:

En este caso, el camino de integración es C = [0, +4444) y el núcleo:

donde Jn(t) es una de las llamadas funciones de Bessel, ampliamente utilizadasen le campo de la mecánica cuántica y de las ondas electromagnéticas (porejemplo en la transmisión a través de guías de onda).En definitiva:

(siendo la variable t real y la variable s compleja)

II.2.-TRANSFORMADA DE LAPLACE

Comenzaremos calculando la transformada de Laplace (conviene no confundiresta expresión con la de Laplaciano, que es un concepto totalmente distinto) dealgunas funciones interesantes (impulso, escalón, rampa y senoidal), para observar suobtención explícita, pero no es esta nuestra principal finalidad, ya que la obtención detransformadas de Laplace la realizaremos a través de unas tablas que facilitaremosposteriormente, y que pueden obtenerse de forma más completa en libros dedicamosa este campo.

a)Función impulso (delta de Dirac):

-45-

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

b)Función escalón (función de Heaviside):

c)Función rampa: F(t) = t

c)Función seno: F(t) = sen kt

-46-

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

A continuación se enunciarán (obviamente sin demostrar) algunas de laspropiedades más importantes de la Transformada de Laplace (obsérvese que, endefinitiva, esta operación es una integración, por lo cual gran parte de las propiedadesde las integrales, y de su metodología operativa siguen cumpliéndose):

(para abreviar, consideraremos f(s) = ‹‹‹‹ [F(t)])

P1)Linealidad:

P2)Traslación:

P3)Sustitución:

P4)Transformada de la derivada:

P5)Transformada de la integral:

-47-

(26)

(27)

(28)

(29)

P6)Derivada de una Transformada:

P7)Integral de una Transformada:

También son importantes los siguientes teoremas:

T1)Teorema del valor inicial:

Este teorema permite conocer el valor de una función en el origen, sinnecesidad de calcular su antitransformada y sustituir en ella la variable indepen-diente t por 0:

T2)Teorema del valor final:

Este teorema también es muy importante, pues permite conocer elcomportamiento asintótico de una función temporal, a partir de su transformadade Laplace. Hay que indicar que este teorema solamente se cumple cuando ellímite existe y es finito, en otros caso pueden obtenerse soluciones erróneas (osea, solo es aplicable cuando el sistema es estable):

Para terminar con este apartado de Transformadas de Laplace, vamos a indicaruna tabla que contiene las más usuales, y que se utilizará normalmente cuando seanecesario (salvo funciones extrañas, no tendremos que realizar su cálculo de formaexplícita).

-48-

N.º f(s) F(t)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1)))

s

a)))))))

s2+a2

s))))))))

s2+a2

1)))))

s+"

a)))))))))))

(s+")2+a2

s+")))))))))))

(s+")2+a2

n!))))))

sn+1

n!))))))))))

(s+")n+1

2sa))))))))))

(s2+a2)2

a2-s2

- ))))))))))))(s2+a2)2

1

sen at

cos at

e-"t

e-"tsen at

e-"tcos at

tn

tne-"t

t sen at

t cos at

-49-

(30)

(31)

II.3.-TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Como ya se ha mencionado con anterioridad, podemos definir la operación

contraria a la Transformada de Laplace, de la siguiente manera:

Si f(s) = ‹ (F(t) Y F(t) = ‹‹‹‹-1 [f(s)]Presenta las siguientes propiedades:

a) La Transformada de Laplace (y su inversa) de una función nula es cero.

b) Teorema de Lerch: Si f(s) = ‹ [F(t)] y existe una G(t) tal que ‹ [G(t)] = f(s)

entonces F(t) y G(t) difieren en una función nula.

c) ‹-1[f(s+a)] = e-at@‹

-1[f(s)]

d) Traslación: ‹-1[e-as@f(s)] = H(t-a)@F(t-a)

e)

f)

Vemos así que, al aplicar la Transformada de Laplace (‹ [y(t)] = Y(s) , con

s=FFFF+jw ) a una ecuación diferencial, pasamos del dominio del tiempo (t) al de la

variable compleja s, transformándose la ecuación integro-diferencial en una ecuación

algebraica de la variable s, que habrá de resolverse. Una vez obtenida la expresión de

Y(s), bastará buscar la transformada inversa de Laplace, con el fin de obtener la

solución de la ecuación diferencial en el dominio del tiempo (y(t) = ‹ [Y(s)]). Este

proceso es formalmente análogo a cuando tomamos logaritmos para transformar

productos en sumas y luego tomar antilogaritmos.

Nótese que, a partir de este momento, cambiamos la notación, escribiendo en

minúsculas las funciones del tiempo (y(t)) y en mayúsculas las trasformadas, funciones

de s (Y(s)).

-50-

Veamos un ejemplo de aplicación de lo anteriormente dicho:

EJEMPLO:Resolver la ecuación diferencial siguiente para las condiciones iniciales

y(0)=-1 ; y'(0)=2.

Tomando transformadas:

Sustituyendo estos datos en la ecuación, y despejando Y(s) se obtiene:

El último paso sería tomar transformada inversa de Laplace para obtener y(t).

Por desgracia, esta función no tiene una transformada inversa que podamos encontrar

en las tablas, por lo que habrá que realizar un proceso previo de factorización de esa

fracción, siguiendo cualquiera de los métodos conocidos (y ampliamente utilizados en

el cálculo integral).

-51-

(41)

(42)

Operando se obtienen los valores: A = 5/2 ; B = -5 y C = 3/2.

En este momento sí que podemos tomar transformadas inversas de Laplace:

Así pues, la solución final es:

Para terminar con este apartado, consideraremos de nuevo la ecuación

diferencial:

Aplicando la transformada de Laplace a los dos miembros y considerando

valores iniciales nulos en la función y sus derivadas resulta:

(ao@sn + a1@sn-1 + ... + an)@X = (bo@sm + b1@sm-1 + ... + bm)@Y Y

expresión que es equivalente a la que ya vimos del operador D, sin más que

cambiar el operador diferencial D por la variable compleja s. Así, al ser las dos

expresiones equivalentes, la función de transferencia o transmitancia, se puede

expresar también por el cociente de las transformadas de Laplace, siempre que se

mantengan nulas las condiciones iniciales de la función y sus derivadas.

Más adelante volveremos a redefinir el fundamental concepto de función detransferencia asociado ya a un circuito eléctrico, no a una ecuación diferencial lineal

como hemos hecho ahora.

-52-

II.4.-Análisis de Circuitos en el dominio de Laplace.

Hasta ahora hemos utilizado la transformación de Laplace para pasar de ondas

a transformadas y transformar ecuaciones diferenciales de los circuitos en ecuaciones

algebraicas. De por sí, este procedimiento permitiría resolver circuitos, con solo añadir

el cálculo de la transformada inversa de Laplace. Estas operaciones son útiles y

proporcionan una buena visión de la naturaleza del conjunto de definición de s. No

obstante, la utilidad de la transformación de Laplace no se reduce a la resolución de

ecuaciones diferenciales, sino que proporciona otra representación de las señales y

sistemas. La verdadera ventaja de la transformación de Laplace aparece cuando

transformamos el propio circuito y analizamos su comportamiento en el conjunto de

definición de s.

En la siguiente figura se indica el esquema del análisis de circuitos en el dominio

de definición de s. Comenzamos con un circuito descrito, en la forma usual, en el

conjunto de definición de t. Transformamos el circuito al conjunto de definición s,

escribimos directamente en éste las ecuaciones de equilibrio del sistema en forma de

ecuaciones algebraicas y después despejamos las transformadas de intensidad o de

tensión mediante técnicas algebraicas. Si es necesario, podemos obtener las ondas

de tensión o intensidad efectuando la transformación inversa de Laplace. En el camino

vemos que se puede seguir otro camino para llegar a la onda solución, utilizando la

ecuación diferencial del circuito y las técnicas clásicas en el conjunto de definición del

tiempo.

Del diagrama de flujo de dicha figura, puede parecer que el análisis del circuito

en el conjunto de definición de s es sólo una manera de esquivar el procedimiento

clásico de integración de la ecuación diferencial. Ahora bien, es algo más que eso.

Proporciona un nuevo punto de vista, una manera diferente de pensar en señales y

circuitos. La transformada solución, en realidad, no es más que otra representación de

la señal. La transformada solución contiene los mismos datos que la onda solución

pues, de no ser así, no podríamos recobrar la onda a partir de la transformada

utilizando la transformación inversa. Podemos ya empezar a pensar que la

transformada solución es la solución; a pensar en el comportamiento del circuito a

-53-

Figura 1

través de las transformadas de señal en vez de a través de las ondas de señal. En

pocas palabras, podemos empezar a pensar en los circuitos en el conjunto de

definición de s.

Pero ¿cómo vamos a transformar el propio circuito?. Sabemos que el

comportamiento del circuito radica en un equilibrio establecido por condiciones de dos

tipos: (1) condiciones impuestas a la conexiones y (2) condiciones impuestas a los

dispositivos. Las primeras están representadas matemáticamente por ecuaciones que

se obtienen de la aplicación de las Leyes de Kirchhoff. Las condiciones impuestas a

los dispositivos vienes expresadas matemáticamente por las relaciones i-v de los

elementos que se utilizan para modelar los dispositivos del circuito. Dicho de otro

modo, las ecuaciones de las conexiones y las ecuaciones de los dispositivos

constituyen el fundamento del análisis de circuitos. ¿Cómo vamos a transformar los

circuitos?. Debemos mirar cómo altera la transformación de Laplace a las ecuaciones

de conexión y de los elementos.

-54-

( ) ( ) ( ) ( )i t i t i t i t1 2 3 4 0+ + + = (43)

( ) ( ) ( ) ( )I s I s I s I s1 2 3 4 0+ + + = (44)

( ) ( ) ( )v t v t i ts= = e depende de la carga (45)

( ) ( ) ( )V s V s I ss= = e depende de la carga (46)

II.4.1.-Circuitos Transformados.

Las ecuaciones de las conexiones se basan en las leyes de Kirchhoff. En el

conjunto de definición del tiempo, una ecuación típica de la primera ley de Kirchhoff

sería:

Concretamente, esta ecuación dice que la suma algebraica de las ondas de intensidad

que llegan a un nudo es nula para todos los valores de t. Si tomamos la transformada

de Laplace de esta ecuación, la propiedad de linealidad de la misma nos permite

escribir

Y, en concreto, esta ecuación nos dice que la suma de transformadas de

intensidad es nula para todo valor de s. Está claro que esta idea es generalizable para

cualquier número de corrientes que concurran en un nudo. Igualmente claro resulta que

también es aplicable a la segunda Ley de Kirchhoff. Por tanto, las Leyes de Kirchhoff

no se ven alteradas por la transformación de Laplace y serán aplicables a las ondas

en el conjunto de definición de t, así como a sus transformadas en el de s. Por tanto,

las condiciones impuestas a las conexiones de un circuito son las mismas en el

conjunto de definición de t que de s.

Pasemos a las condiciones impuestas a los dispositivos y consideremos, en

primer lugar, la fuente de tensión de señal representada en la Figura 2a.

Las relaciones i-v para este elemento son

Esto nos dice que una fuente de tensión produce una onda preestablecida entre

sus terminales y puede suministrar una onda de intensidad cualquiera, según la

demanda del circuito a que esté conectada. Tomando transformada de Laplace de esta

relación tenemos:

-55-

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Resistencia

Bobina

Condensador

v t Ri t

v t Ldi t

dtv t

Ci t dt v

R R

LL

c c c

t

=

=

= +∫1

00

(47)

Figura 2

Esto nos dice que la fuente de tensión produce una transformada preestablecida

y puede suministrar cualquier transformada de intensidad que se necesite.

Está claro que la misma idea es aplicable a la fuente de intensidad representada

en la Figura 2b. Por tanto, las fuentes de señal se comportan exactamente de igual

manera en el conjunto de definición de s, con la diferencia que pensamos en ellas

considerándolas productoras de una transformada en vez de una onda.

Consideremos a continuación los tres elementos de circuito lineales pasivos

representados en la figura 3. En el conjunto de definición del tiempo, las relaciones i-v

son

Estas relaciones se pueden transformar al conjunto de definición de s utilizando

las propiedades de linealidad, derivación e integración de la transformada de Laplace:

-56-

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Resistencia Bobina

Condensador

V s RI sV s Ls I s Li t

V sCs

I sv t

s

R R

L L L

C Cc

== − =

=

+

=0

1 0(48)

Figura 3

Como era de esperar, las relaciones i-v en el conjunto de definición de s dan,

para los tres elementos, ecuaciones algebraicas lineales. En particular, en el caso de

la resistencia vemos que la Ley de Ohm dice lo mismo en el conjunto de definición de

la variable s.

Las ecuaciones de estos tres elementos llevan a los modelos de circuito en el

conjunto de definición de s representados en la Figura 3.

Las condiciones iniciales asociadas a los dos elementos almacenadores de

-57-

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Resistencia Bobina

Condensador

V s RI sV s Z I s Li t

V s Z I sv t

s

R R

L L L L

C C Cc

== − =

= +=

00

(49)

( )

Resistencia Bobina

Condensador

Z RZ Ls

Z sCs

R

L

C

==

=1

(50)

energía se modelan en forma de fuentes de tensión conectadas en serie con los

elementos. Los símbolos de los elementos en el conjunto de definición de s

representan lo que se conoce con el nombre de impedancia del elemento. El concepto

de impedancia permite escribir las anteriores relaciones en la forma

El símbolo Z representa la impedancia del elemento, la cual se puede definir

diciendo que es el factor de proporcionalidad, en la relación, en el conjunto de

definición de s, entre la transformada de la intensidad y la transformada de la tensión.

Comparando las dos últimas expresiones, identificamos las impedancias de los tres

elementos den la forma

La impedancia es un concepto inherente al conjunto de definición de s ya que

se basa en una proporcionalidad entre una transformada de intensidad y una

transformada de tensión. Constituye una generalización del concepto de resistencia y

de ahí el nombre de “impedancia”. La impedancia de una resistencia es una constante:

su resistencia. La impedancia de los dos elementos almacenadores de energía no son

constantes sino que dependen de la frecuencia compleja s.

Ni que decir tiene, que se obtendrían unos resultados duales, si eligiésemos a

la intensidad como variable dependiente y la tensión como variable independiente.

Llegaríamos a las ecuaciones duales, e introduciríamos el término de admitancia Y.

Para estas relaciones (despejando la intensidad en las ecuaciones anteriores), se

obtiene

-58-

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Resistencia

Bobina I

Condensador

I s GV s

sLs

V si t

sI s Cs V s Cv t

R R

L LL

C C c

=

=

+

=

= − =

1 0

0

(51)

( )

( )

( )

Resistencia Y

Bobina

Condensador = Cs

RR

LL

CC

sZ R

G

Y sZ Ls

Y sZ

= = =

= =

=

1 1

1 1

1

(52)

El concepto de admitancia constituye una generalización del de conductancia

y podemos definirla diciendo que es el recíproco de la impedancia (Y = 1/Z). Las

admitancias de los tres elementos son

También vemos que las admitancias de los elementos son el factor de

proporcionalidad de las características i-v que relaciona la transformada de tensión con

la transformada de intensidad. En cualquier circunstancia, en el conjunto de definición

de s los elementos pasivos se pueden representar por impedancias, con fuentes de

tensión representativas de las condiciones iniciales puestas en serie con los elementos

almacenadores de energía, o bien por admitancias con fuentes de intensidad

representativas de las condiciones iniciales conectadas en paralelo.

El análisis de circuitos en el conjunto de definición de s sigue una marcha

paralela a la del análisis en el conjunto de definición de t ya que las leyes de Kirchhoff

no se alteran, por lo que serán de aplicación los métodos estudiados de análisis por

nudos y por mallas, así como todos los teoremas vistos en teoría general de circuitos

(Thevenin, Norton, compensación, reciprocidad, máxima transferencia de potencia, ...).

Para transformar un circuito al conjunto de definición de s, sustituiremos cada

elemento por su modelo en éste. En el caso de fuentes y de resistencias no hay

cambio alguno. En el caso de condensadores y bobinas sustituiremos el elemento por

-59-

Figura 4

su impedancia en serie con una fuente de tensión de condiciones iniciales, o bien por

su admitancia en paralelo con una fuente de intensidad de condiciones iniciales.

Nótese que en el conjunto de definición de s las condiciones iniciales del circuito

aparecen en forma de fuentes en éste y no en forma de condiciones en los límites para

la solución de la ecuación diferencial del circuito.

Las relaciones i-v en el conjunto de definición de s tienen un carácter del tipo de

Ley de Ohm que lleva consigo la impedancia o admitancia del elemento. Todas estas

facultades hacen que el análisis de circuitos en el dominio de Laplace sea un proceso

algebraico análogo al del análisis de circuitos resistivos en el dominio del tiempo.

-60-

II.4.2.-Aplicación en el estudio de Transitorios

El principio de superposición resulta, a menudo, ser una herramienta útil en el

análisis de circuitos. Tal como se había utilizado con anterioridad, el principio indica

que toda respuesta de un circuito lineal que contenga varias fuentes de tensión o

intensidad se pueden obtener sumando algebraicamente la respuesta debida a todas

las tensiones actuando juntas, hallando después la respuesta debida a todas las

fuentes de intensidad y así se obtendrá la respuesta total sumando algebraicamente

(superponiendo) estas dos respuestas.

Cuando los circuitos se transforman al conjunto de definición de s, el diagrama

se complica un tanto con las fuentes de intensidad y tensión. Sin embargo, todas las

fuentes se pueden agrupar o como señales de entrada o como fuentes de condiciones

iniciales. El principio de Superposición nos dice entonces que toda respuesta puede

hallarse en la forma:

Respuesta = Respuesta a estado nulo + Respuesta a entrada nula

donde la primera de ellas (respuesta a estado nulo) la originan las fuentes de señal

de entrada y se encuentra haciendo iguales a cero todas las condiciones iniciales

(estado nulo). La segunda componente (respuesta a entrada nula) la originan las

fuentes de condición inicial, y se halla desconectando todas las fuentes de señal de

entrada (entrada nula).

EJEMPLO.

En la figura 5a se ha representado el circuito RL serie excitado por tensión,

estando la bobina inicialmente magnetizada, de forma que por ella circula una corriente

inicial iL(0). Encontrar la expresión matemática, en el dominio del tiempo, de la corriente

que circula por la bobina.

-61-

Figura 5

( ) ( )− = + =Vs

V s V sR L 0 (53)

( ) ( ) ( )Ls R I sVs

Li tL+ = + = 0 (54)

( ) ( )( )

I sV L

s s R Li

s R LL=

++

+/

/ /0

(55)

En la Figura 5b podemos ver el circuito transformado al conjunto de definición

de s. La suma de transformadas de tensión a lo largo de un bucle de este circuito es

Las tensiones VR(s) y VL(s) se pueden escribir en función de la intensidad de

malla I(s) utilizando las ecuaciones de los elementos en el conjunto de definición de s:

VR(s) = RI(s) y VL(s) = LsI(s) - LiL(t=0)

Sustituyendo estas relaciones en la anterior ecuación que da la ley de Kirchhoff

y agrupando términos, se tiene

Despejando I(s),

Esta es la transformada de la intensidad de malla correspondiente a una función

-62-

( ) ( )i tVR

VR

e i t eRtL

L

RtL= − + =

− −0 (58)

( ) ( )I s

V Rs

V Rs R L

i ts R L

L= ++

+=

+/ /

/ /0 (56)

( ) ( )i tVR

iVR

e tL

RtL= + −

≥

−0 0 (57)

escalón a la entrada. Para obtener la transformad inversa de Laplace, habrá que

desarrollar previamente en fracciones parciales:

Efectuando la transformación inversa tenemos

El primer término del segundo miembro es la respuesta forzada y el segundo

término es la respuesta natural.

También podemos separar la respuesta de la siguiente forma

donde los dos primeros términos constituyen la respuesta a estado nulo (condiciones

iniciales nulas) y el tercero corresponde a la respuesta a entrada nula (V=0).

Este resultado podría haberse obtenido aplicando el principio de Superposición

a las dos fuentes existentes: dejando solamente V, se obtendría la primera y dejando

solamente iL(0) se obtendría la otra (la suma de ambas da la solución total).

Nótese que siempre, la respuesta forzada está incluida en la componente de

estado cero y la respuesta natural lo está en las dos componentes.

II.5.-FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Una aplicación importante del análisis de circuitos es el proceso de una señal

en su paso de la entrada a la salida. En el conjunto de definición de s, dicho proceso

de señal está descrito por una función racional de la variable frecuencia compleja

llamada función de transferencia. La función de transferencia se define de la manera

siguiente:

-63-

( )T s =Transformada de la respuesta a estado nulo

Transformada de la señal de entrada(59)

Figura 6

Notemos que la definición formal sólo es aplicable a la respuesta a estado nulo

e implica que el circuito tenga una sola entrada. Estas dos condiciones simplifican el

proceso de hallar y utilizar funciones de transferencia.

En la Figura 6 se ilustra el esquema de la transferencia de la señal de la entrada

a la salida. Hay una sola señal de entrada, sea una intensidad I1 o una tensión V1, y

una sola salida, bien sea una tensión V2 o una intensidad I1 (es útil aquí recordar los

conceptos vistos en teoría de cuadripolos lineales). Como las señales de entrada y de

salida pueden adoptar una de dos formas posibles, se pueden definir cuatro tipos

diferentes de funciones de transferencia (V2/V1, I2/I1, V2/I1, I2/V1).

Centraremos nuestra atención en las dos funciones adimensionales:

-64-

( ) ( )( )

( ) ( )( )

Funcion de transferencia de tension

Funcion de transferencia de intensidad

= =

= =

T sV sV s

T sI sI s

2

1

2

1

(60)

x t dt( ) 2< ∞

−∞

+∞

∫ (61)

( ) ( )X f x t e dtj ft= −

−∞

+∞

∫ 2p (62)

( ) ( )x t X f e dfj ft=−∞

+∞

∫ 2p (63)

La característica distintiva de una función de transferencia es que contiene una

entrada en un lugar de una red y una respuesta que se produce en algún otro punto.

II.6.-TRANSFORMADA DE FOURIER

Una onda no periódica x(t), se dice que satisface las condiciones de Dirichlet si:

a)x(t) es absolutamente integrable, esto es, si

b)el número de máximos y de mínimos y el número de discontinuidades en

cualquier intervalo finito es finito.

Para tales ondas se define la Transformada de Fourier (varía respecto la

indicada en la introducción en un factor de escala), denotada por X(f), por

donde f es la frecuencia. La anterior integral se llama integral de Fourier. La función

del tiempo x(t) se llama transformada inversa de Fourier de X(f) y se obtiene de la

forma siguiente

-65-

( ) ( )X x t e dtj tw w= −

−∞

+∞

∫ (65)

( ) ( )x t X e dj t=−∞

+∞

∫1

2pw ww (64)

( )W X f dff

f= ∫2 2

1

2(66)

( )X j e e dta j f

at j ft= =+

− −+∞

∫ 20

12

p

p(67)

donde x(t) y X(f) forman un par de transformadas de Fourier. En lugar de f, la velocidad

angular T= 2Bf puede utilizarse, en cuyo caso, las anteriores expresiones se

convierten en

A la cantidad |X(f)|2 se la denomina densidad de energía o espectro de la onda

x(t). A diferencia de las ondas periódicas, el contenido de energía de una onda no

periódica x(t) para cada frecuencia es cero. Sin embargo, el contenido de energía en

un intervalo de frecuencias f1 y f2 es

EJEMPLO:

Determinar la transformada de Fourier de x(t) = e-atu(t), a>0. Dibujar la gráfica

de X(f) para -4<f<+4.

A partir de la definición, obtenemos:

(Nótese que se obtiene el mismo resultado que si en la transformada de Laplace

hubiésemos sustituido la variable compleja s por su parte imaginaria jT).

Al ser X(f) una función compleja con variable real, la representaremos dibujando

su módulo y su fase, en función de dicha variable f (también podríamos haber optado

por dibujar su parte real y su parte imaginaria).

-66-

Figura 7 Figura 8

( )x tT t T

=− < <

10 para para el resto

(68)

( ) [ ] ( )X f e dt

j fe

sen fTf

j ft j fT

T

T

T= =

−=−

−−∫2 21

22p p

pp

p(69)

Figura 9

En la Figura 7 puede apreciarse el módulo de la transformada y en la 8 el

argumento (en radianes).

EJEMPLO:

Determinar la transformada de Fourier de una onda cuadrada (no repetitiva)

Aplicando la definición:

Como x(t) es par, X(f) es real. Su representación es (para T=1/2):