Transformada de Laplace

Universidad Tecnológica Nacional Cátedra: Cálculo Avanzado

Facultad Regional Gral. Pacheco Curso: 3º 1ª

Departamento de Ingeniería Mecánica Año: 2011

Transformada de Laplace 1/28

Transformada de Laplace

1. Introducción a la Transformada de Laplace

2. Definición y condiciones de existencia

3. Propiedades de la Transformada de Laplace

Propiedad de Linealidad

Primer teorema de traslación

4. La transformada inversa

Transformada inversa utilizando el primer teorema de traslación

5. Teorema de derivación

6. Teorema de Integración

7. Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales

8. Sistemas de ecuaciones diferenciales

9. Aplicaciones a la ingeniería: Vibraciones mecánicas

10. Función de transferencia

11. Convolución

12. Transformada de una función periódica

13. La función delta de Dirac

UTNianos

.com.ar





1. Introducción a la Transformada de Laplace

Los métodos de la transformada de Laplace tienen un papel clave en el enfoque moderno al análisis y diseño en los sistemas de ingeniería. El incentivo para desarrollar estos métodos fue

el trabajo de Heaviside, quien desarrolló un método para la solución sistemática de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes. El principal interés de Heaviside fue la

resolución de problemas prácticos y su método tenía una gran componente de intuición, adoleciendo de rigor matemático. Utilizando sus ideas se hizo posible resolver problemas de

propagación de corrientes y tensiones a lo largo de líneas de transmisión. Por tal motivo el trabajo de Heaviside cobró gran interés entre los matemáticos. La investigación prosiguió

durante varios años hasta que se reconociera que la transformación integral que había

planteado el matemático francés Pierre Simon de Laplace fuera quien dio el sustento teórico

al trabajo de Heaviside, el cual por otra parte sistematizaba la investigación de las ecuaciones

diferenciales.

Ya conocemos ejemplos en los cuales una transformación matemática nos ha sido útil para

simplificar la resolución de un problema. Podemos citar el ejemplo de los logaritmos, los

cuales son usados para simplificar problemas de multiplicación y división. Para multiplicar o

dividir dos números, los transformamos en sus logaritmos, sumamos o restamos estos y

después realizamos la transformación inversa, esto es el antilogaritmo, para obtener el

producto o cociente de los números originales. El propósito de usar una transformación es crear un nuevo dominio en el cual sea mas fácil manipular el problema a ser investigado. Una

vez obtenidos los resultados en el nuevo dominio, pueden ser transformados inversamente para dar los resultados deseados en el dominio original.

La transformada de Laplace es un ejemplo de una clase llamada transformación integral y

toma una función f(t) de una variable t ( a la cual nos referimos como tiempo) en una función F(s) de otra variable s (la frecuencia compleja). La principal ventaja de la transformada de

Laplace es que transforma ecuaciones diferenciales en el dominio de t (tiempo) en ecuaciones algebraicas en el dominio de s (frecuencia). La resolución de ecuaciones diferenciales se

reduce por tanto a resolver ecuaciones algebraicas en el dominio de s y luego aplicar la

transformada inversa para volver al dominio t. Otra ventaja al utilizar esta transformada para

resolver ecuaciones diferenciales es que como las condiciones iniciales juegan un papel

fundamental en la transformación, la solución que se obtiene ya incorpora a la solución

particular, con lo cual el método resulta ideal para problemas con valor inicial tales como los

que aparecen en circuitos eléctricos y vibraciones mecánicas.

Una aplicación particular de la Transformada de Laplace se encuentra en el campo de las

señales y el análisis de sistemas lineales. Si a un sistema le aplicamos una excitación

(entrada), produce una respuesta (salida), que si es solo función del tiempo es normal referirse

a ellas como señales. El problema que enfrenta el ingeniero es el de determinar la salida x(t) cuando está sujeta a una determinada entrada, aplicada en algún instante de tiempo. Si el

sistema es lineal e invariante en el tiempo, entonces la salida está dada por una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes lo que conforma un problema de valor inicial

que es fácil de resolver usando la transformada de Laplace. Otro punto importante en el análisis de sistema es estudiar la estabilidad de un sistema. Para ello es conveniente definir la

función transferencia como el cociente entra la transformada de salida y la transformada de entrada. Un sistema estable es aquel que frente a una entrada determinada, nos da una salida

acotada. Por otra parte cuando a un sistema estable se le suprime la entrada, su señal de salida tiende a cero a medida que el tiempo tiende e infinito. Para determinar la estabilidad de un

UTNianos

.com.ar





∫∞

−=0

).(.)}({ dttfetfLst

f(t) F(s)

L{t}

Dominio t (dominio de tiempos)

Dominio s (dominio de frecuencia)

∫∞

−==0

).(.)()}({ dttfesFtfLst

sistema se analizan los polos de la función transferencia en el dominio de las frecuencias complejas.

2. Definición y condiciones de existencia

Definimos a la transformada de Laplace de una función f(t) mediante la expresión:

Donde “s” es una variable compleja. Generalmente se acostumbra a representar la

transformada de una función f(t), por la letra mayúscula correspondiente F(s) por lo que podemos escribir:

Algunas observaciones:

• El símbolo L{…} es el operador transformada de Laplace. Dada una f(t) al

aplicarle este operador obtenemos una función F(s) que depende de la variable

compleja s.

• El límite superior de la integral es infinito, por lo cual estamos frente a una integral impropia, por lo cual cabe la pregunta de si ésta es convergente, cuestión que será

aclarada en la sección siguiente.

• El límite inferior de la integral es cero, con lo cual este operador nos brinda

información para t ≥ 0. En aplicaciones ingenieriles esto no es un problema ya

que generalmente los sistema son causales, es decir que frente a un estímulo o

entrada responden con una determinada salida, pero no es usual encontrar sistemas

cuya respuesta anteceda a la entrada.

Condiciones de existencia

Para asegurar la existencia de la transformada de Laplace se debe cumplir que la función

f(t) debe ser de orden exponencial y continua por tramos. Una función se dice que es de orden exponencial si existen números c>0, M > 0 y T>0,

tales que

UTNianos

.com.ar





∫∞

−=0

..}{ dttetLst

∫ ==+

−−=

∞−

∞

02

0

1}1{

1..

1.}{

sL

sdte

ss

stet

tLst

∫ −>+

=+

+−−

∞

=+−

∫ =−−=− ∞∞

00

3,3

1

3

).3(

0

.)3(

.3.}3{ sss

tse

dtts

edttesteteL

TteMtf ct >≤ ,.)(

Esto expresa que la gráfica de f(t) en el intervalo (T,∞) no crece más rápido que M.e

ct.

(ver figura 2.2)

Una función es continua por partes para t ≥ 0 si en cualquier intervalo existe a lo sumo un número finito de puntos tk en los cuales siendo k = 1, 2, … ,n f(t) tiene discontinuidades

finitas y es continua en cada intervalo abierto tk-1 < t < tk (ver figura 2.1)

Ejemplos de cálculos de la Transformada de Laplace mediante su definición

Ejemplo 1 - Determinar la transformada de Laplace de f(t)=t

Aplicando integración por partes:

Ejemplo 2 - Determinar la transformada de Laplace de f(t)= te

3−

t t

f(t) f(t)

Fig 2.1 Fig 2.2

f(t)

M.ect

t1 t3 t3 T

UTNianos

.com.ar





Ejemplo 3 - Determinar la transformada de Laplace de f(t) = sen(2.t)

∫ ∫∫∞ ∞

−−

∞∞ −− >=+

−==

0 000

0,).2cos(.2

).2cos(.2)2(.

).2(.)}2({ sdttes

dttess

tsenedttsenetsenL stst

stst

)}2({.42

).2(.2)2cos(.2

22

00

tsenLss

dttseness

te

s

stst

−=−

−= ∫

∞−

∞−

y despejando nos queda

4

2)}2({

2 +=

stsenL

UTNianos

.com.ar





3. Propiedades de la Transformada de Laplace

Propiedad de Linealidad

Una propiedad fundamental de la transformada de Laplace es su linealidad que se puede enunciar como sigue:

L{a.f(t)+b.g(t)} = a L{f(t)} + b L{g(t)}

Primera propiedad de Traslación

Si f(t) tiene una transformada de Laplace F(s), con Re(s) > σ, entonces la función eat.f(t)

también tiene una transformada dada por:

L{ eat

.f(t) } = F(s-a), Re(s) > σ + Re(a)

Demostración

∫∫∞

−−∞

− ==0

)(

0

).(.).(..)}({ dttfedttfeetfeLtasstatat

Si analizamos dicha integral vemos que tiene la forma de la

transformada de Laplace de (s-a) , por lo tanto:

L{ eat

.f(t) } = F(s-a), Re(s) > σ + Re(a)

También lo podemos expresar como

)()( )()}({)}({ assass

at sFtfLtfeL −→−→ ==

Ejemplo

Determina L{t.e-2t}

0)Re(,1

)(}{2

>== ss

sFtL

y aplicando el teorema de traslación:

20)Re(,)()2(}.{ )(

2 −>=+= −→

−ssFsFetL ass

t

2)Re(,)2(

1}.{

2

2 −>+

=−s

setL

t

UTNianos

.com.ar





4. La transformada inversa

Cuando definimos la transformada de Laplace dijimos que la misma transforma una función f(t) en el dominio de los tiempos en una función F(s) en el dominio de las

frecuencias. La transformada inversa, como se puede intuir, consiste en realizar el camino inverso, es decir, a partir de F(s) obtener f(t), lo cual se denota como sigue:

Si )()}({ sFtfL = , entonces f(t) = L-1

{F(s)}

El operador inverso de la transformada de Laplace también es un operador lineal, por lo

tanto:

L-1{a.F(s) + b.G(s)} = a L{F(s)} + b L{G(s)}

Evaluación de la transformada inversa

Para encontrar la transformada inversa podemos valernos de las tablas directamente,

aunque es más frecuente tener que realizar alguna manipulación aritmética para llevar la

expresión que queremos antitransformar a alguna forma tabulada. Como en muchos casos

las expresiones cuya transformada inversa que queremos obtener está en forma de función

racional P(s)/Q(s), donde P y Q son polinomios, es común la utilización de fracciones

parciales para descomponer una función complicada en varios términos mas simples.

Citamos a continuación tres casos básicos:

UTNianos

.com.ar





Ejemplo 1

Calcular

++−

−

)4)(2)(1(

11

sssL

Existen constantes A, B y C tales que

)4)(2)(1(

)2(1()4(1()4)(2(

421)4)(2)(1(

1

++−

+−++−+++=

++

++

−=

++− sss

ssCssBssA

s

C

s

B

s

A

sss

1 = A (s+2)(s+4) + B(s-1)(s+4)+C(s-1)(s+2)

Si consideramos los ceros del denominador s=1, s= -2 y s= -4 obtenemos respectivamente

1 = A . 3 . 5 A = 1/15

1 = B (-3) 2 B = -1/6

1 = C (-5)(-2) C = 1/10

Por lo tanto podemos escribir

4

10/1

2

6/1

1

15/1

)4)(2)(1(

1

++

+−

−=

++− ssssss

y entonces la antitransformada será

ttt eees

Ls

Ls

Lsss

L 421111

10

1

6

1

15

1

4

1.10/1

2

1.6/1

1

1.15/1

)4)(2)(1(

1 −−−−−− +−=

++

+−

−=

++−

Ejemplo 2

Calcular

+

+−

32

1

)2((

1

ss

sL

Reducimos en fracciones parciales:

32232 )2()2(2)2.(

1

++

++

+++=

+

+

s

E

s

D

s

C

s

B

s

A

ss

s

y resolvemos en forma análoga.

UTNianos

.com.ar





Ejemplo 3

Calcular

+

−−

)4(

2.323

1

ss

sL

Descomponemos en fracciones parciales:

4

.

)4(

2.323223 +

++++=

+

−

s

EsD

s

C

s

B

s

A

ss

s

Inversión utilizando el primer teorema de traslación:

Expresando la propiedad de traslación de la transformada en forma inversa tenemos:

L-1

{ F(s-a) } = eat

.f(t)

Lo que también podemos expresar como:

)(})]({[1tfesFL

at

ass =−→− donde F(s) debe ser reemplazado por s-a.

Ejemplo

Encuentre

+

−

2

1

)2(

1

sL

2

22

1

)2(

1

+→

=

+ ssss, y como 1/s

2 = L{t}, el primer teorema de traslación nos da que

tet

sL

2

2

1 .)2(

1 −− =

+

5. Teorema de derivación

Para la resolución de ecuaciones diferenciales, nos vemos en la necesidad de poder

calcular las transformadas de las derivadas de orden n. Por definición sabemos que

∫∞

−=

0

.. dtdt

dfe

dt

dfL

st

Integrando por partes , tenemos

UTNianos

.com.ar





[ ] ∫∞

−∞− +−=+=

0

0 )(.)0().(..)(. sFsfdttfestfedt

dfL

stst

Para deducir este resultado hemos supuesto que tanto f(t) como su primer derivada son

continuas por partes para t ≥ 0 y de orden exponencial. La ventaja de utilizar la

transformada para ecuaciones diferenciales puede verse rápidamente ya que nos permite

reemplazar una operación de diferenciación por una algebraica. Asimismo puede demostrarse este resultado para le enésima derivada con tal de que cumpla con las

condiciones antes mencionadas. Por lo tanto para el caso general podemos enunciar:

{ } )0(...)0(.)0(.)(.)( 1)1(21)( −−− −−−−= nnnnnffsfssFstfL

6. Transformada de integrales

En algunas aplicaciones se nos puede presentar algún fenómeno que se describa por una ecuación integro-diferencial, que es una ecuación que contiene tantos derivadas como

integrales de una variable incógnita. Un ejemplo típico es por ejemplo obtener la corriente que circula por un circuito serio RLC, cuya ecuación está dada por:

∫ =++t

EdiC

Ridt

diL

0

).(.1

.. ττ

Para poder resolver ecuaciones como ésta, debemos calcular la transformada de una

integral:

∫=t

dftg0

).()( ττ

)(tfdt

dg= g(0) = 0

Tomando la transformada de Laplace:

{ })(tfLdt

dgL =

que como ya sabemos por la transformada de una derivada

s.G(s) = F(s)

UTNianos

.com.ar





)(.s

1G(s) sF=

7. Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias

Con lo visto anteriormente en cuanto a la transformación de derivadas e integrales

estamos en condiciones de resolver una ecuación diferencial de coeficientes constantes. A

continuación expondremos el método aplicado para una ecuación de segundo orden no

homogénea sujeta a las condiciones iniciales x(0)= x0, x’(0)= v0

)(...2

2

tuxcdt

dxb

dt

xda =++ (t ≥ 0)

Esta ecuación diferencial puede representar el modelo dinámico de algún sistema en el cual

x(t) representa la respuesta de dicho sistema, siendo u(t) las fuerzas excitadoras.

Si aplicamos la transformada de Laplace a esta ecuación nos queda:

{ } { })(...2

2

tuLxLcdt

dxLb

dt

xdLa =+

+

aplicando la transformada de una derivada

a[s2.X(s)-s.x(0)-x’(0)] + b.[s.X(s)-x(0)] + c.X(s) = U(s)

Despejando X(s) nos queda

(a.s2 + b.s + c).X(s) = U(s) + (a.s + b).X0 + a.v0

csbsa

vaxbsasUsX

++

+++=

..

.)..()()(

2

00

Donde X(s) representa la transformada de Laplace de la respuesta del sistema en estudio, y

tomando la transformada inversa puede obtenerse la respuesta en función del tiempo.

Observaciones:

(a) Como ya lo hemos mencionado, la transformada de Laplace nos permite reemplazar la

integración y diferenciación como operaciones algebraicas

(b) Este método nos da la solución completa de la ecuación diferencial (solución general + particular) con las condiciones iniciales incluidas.

UTNianos

.com.ar





(c) El método se adapta idealmente para resolver problemas con valor inicial, pero es menos atractivo cuando se poseen como datos los valores de frontera. Sin embargo se puede utilizar

este método dejando expresadas las condiciones iniciales con literales para luego despejarlas en función de los valores de frontera

(d) El denominador de X(s) igualado a cero es la ecuación característica utilizado en el

método clásico, con lo cual es clave para determinar el comportamiento que va a tener el sistema: subamortiguado, sobreamortiguado, etc.

Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial

texdt

dx

dt

xd −=++ .2.6.5.2

2

sujeta a las condiciones x = 1 y dx/dt = 0 en t = 0

Al aplicar la transformada de Laplace

{ } { }teLxL

dt

dxL

dt

xdL

−=+

+

.2.6.5.2

2

llegamos a la ecuación transformada

1

2)(.6)]0()(..[5)]0(')0(.)(.[ 2

+=+−+−−

ssXxsXsxxssXs

de donde despejando X(s) teniendo en cuenta las condiciones iniciales nos queda

)2)(3(

5

)3)(2)(1(

2)(

++

++

+++=

ss

s

ssssX

Desarrollando en fracciones parciales:

3

1

2

2

1

1

3

2

2

3

3

1

2

2

1

1)(

+−

++

+=

+−

++

++

+−

+=

sssssssssX

Tomando las transformadas inversas, por ejemplo de tabla, nos queda:

ttt eeetx 32)( −−− −+= t ≥ 0

UTNianos

.com.ar





8. Sistemas de Ecuaciones diferenciales

En aplicaciones ingenieriles es frecuente encontrar sistemas que pueden ser modelados como un conjunto de ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes. El método es

básicamente el visto en el punto anterior, solo que en este caso tendremos un sistema de ecuaciones con igual número de incógnitas que resolvemos con los métodos vistos en

álgebra lineal, para luego antitransformar cada incógnita y obtener la respuesta del sistema en función del tiempo.

Ejemplo

Resolver las ecuaciones siguientes para t ≥ 0

3.2

.3.5.

=+++

=+++ −

yxdt

dy

dt

dx

eyxdt

dy

dt

dx t

con las condiciones iniciales x (0) = 2 ; y (0) = 1

Aplicando la transformada de Laplace en ambas ecuaciones nos queda

ssYsXysYsxsXs

ssYsXysYsxsXs

3)()()0()(.)]0()(..[2

1

1)(.3)(.5)0()(.)0()(.[

=++−+−

+=++−+−

si reemplazamos con las condiciones iniciales dadas y despejamos obtenemos:

)1)(2)(1(

15.39.22)(

)1)(2(

9.14.2)(

23

2

−++

−−−=

−+

++=

ssss

ssssY

sss

sssX

Si separamos en fracciones parciales nos queda:

1

2/25

2

2/11

1

2/12/15)(

1

3/25

2

6/11

.2

2/9)(

−−

++

++=

−+

+−−=

sssssY

ssssX

UTNianos

.com.ar





aplicando la transformación inversa:

ttt

tt

eeety

eetx

.2/25.2/11.2/12/15)(

.3/25.6/112/9)(

2

2

−++=

+−−=−

−

9. Aplicaciones a la ingeniería

A continuación vamos a desarrollar un sistema mecánico de traslación compuesto por una masa, un resorte y u amortiguador. Las variable asociadas a la ecuación diferencial

serán el desplazamiento x(t) y las fuerzas excitadoras f(t). Vamos a suponer que tanto el amortiguador como el resorte son ideales y que se comportan en forma lineal.

Masa:

2

2

.dt

xdMF = Ley de Newton

Resorte:

F = K (x2 – x1) Ley de Hooke

Amortiguador

−=

dt

dx

dt

dxBF 12.

Si modelizamos cada uno de estos elemento como un subsistema separado podemos

hacer notar en cada caso la entrada y salida correspondientes:

(a) Masa

(b) resorte

x1(t) x2(t)

F(t) F(t)

M F(t) x(t)

UTNianos

.com.ar





(c) Amortiguador

Ejemplo

Se tiene un sistema masa-resorte-amortiguador sometido a una fuerza periódica

F(t) = 4 Sen(ωt) aplicada en t=0. Determinar el desplazamiento x(t) suponiendo que:

M = 1

0 x(0)=

0)0( =x&

Como se puede observar en la figura, las fuerzas que actúan sobre la masa M son las fuerzas

aplicadas, que en este caso es la fuerza periódica F(t)=4.sen(ωt), y las fuerzas restauradoras

F1 y F2. De esta forma aplicando la ley de Newton nos queda:

)()()((. 21 tFtFtFxM −−=&&

x1(t) x2(t)

F(t) F(t)

B

M=1

M=1

K B

F1(t)=k.x F2(t)=B.x(t)

F(t)=4.sen(ωt)

F(t)=4.sen(ωt)

x(t)

UTNianos

.com.ar





reemplazando los datos en esta ecuación nos queda:

)(.4)(.25)(.6)(. tsentxtxtx ω=++ &&&

Que es la ecuación diferencial que modela el sistema descripto.

Si aplicamos la transformada de Laplace:

22

2 .4)0(.6)]0()0(.[)().25.6(

ω

ω

++++=++

sxxxssXss &

Si reemplazamos las condiciones iniciales y despejamos X(s) obtenemos:

16)3(

208

195

2

4

)414(

195

4

256

208

195

2

4

)414(

195

4

)25.6).((

.4)(

22

22222

++

++

+

−=

=++

++

+

−=

+++=

s

s

s

s

ss

s

s

s

ssssX

ω

ω

Finalmente aplicando la transformada inversa obtenemos la respuesta del sistema en

función del tiempo:

))4()4cos(.8(195

2)2cos(.4)2(.7(

195

4)(

3tsentettsentx

t −+−= −

UTNianos

.com.ar





10. Funciones de transferencia

La función de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo está definida como la razón de la transformada de Laplace de la salida del sistema (o función de respuesta) a la

transformada de Laplace de la entrada del sistema (o función de fuerza), bajo el supuesto de que todas las condiciones iniciales son cero (esto es, el sistema está inicialmente. en un estado

de reposo). Las funciones de transferencia se usan frecuentemente en ingeniería para caracterizar las

relaciones de entrada-salida de los sistemas lineales invariantes en el tiempo, y juegan un papel importante en el análisis y diseño de dichos sistemas.

Consideremos un sistema lineal invariante en el tiempo caracterizado por la ecuación

diferencial

ubdt

udbxa

dt

xda

dt

xda

m

m

nn

n

nn

n

n 001

1

1 ...... ++=+++−

−

−

donde n ≥ m, las a y las b son coeficientes constantes, y x(t) es la respuesta del sistema o salida

correspondiente a la entrada o término de fuerza u(t) aplicado en el tiempo t = 0. Aplicando la

transformada de Laplace a todo (10.1) llegaremos a la ecuación transformada.

Figura 10.1 Diagrama en bloque de la función de transferencia

Como se supone que todas las condiciones iniciales son cero vemos que, para obtener la ecuación

transformada, simplemente remplazamos d/dt por s obteniendo

( ) ( ) )(..)(.. 00

1

1 sUbsbsXasasa m

m

n

n

n

n ++=+++ −−

donde X(s) y U(s) denotan las transformadas de Laplace de x(t) y u(t).

La función de transferencia del sistema G(s) se define como

( )( )0

0

..

..

)(

)()(

asa

bsb

sU

SXsG

n

n

m

m

++

++==

y el sistema puede representarse en forma de diagrama por la operación dentro de la caja de la

figura 10.1. Esta representación se conoce como el diagrama en bloques de entrada-salida del sistema.

(10.1)

(10.2)

UTNianos

.com.ar





Escribiendo

( )( )0

0

..)(

..)(

asasQ

bsbsP

n

n

m

m

++=

++=

la función de transferencia puede expresarse como

)(

)()(

sQ

sPsG =

donde, para hacer que el sistema sea físicamente realizable, los grados m y n de los

polinomios P(s) y Q(s) deben ser tales que n ≥ m. La ecuación Q(s) = 0 es llamada la ecuación característica del sistema, su orden determina el

orden del sistema y sus raíces se conocen como polos de la función de transferencia. De la misma manera, las raíces de P(s) = 0 son los ceros de la función de transferencia.

Es importante darse cuenta de que, en general, una función de transferencia solo se usa para

caracterizar un sistema lineal invariante en el tiempo. Es una propiedad del propio sistema y

es independiente tanto de la entrada como de la salida sistema. A pesar de que una función de transferencia caracteriza la dinámica del sistema, no

proporciona información concerniente a la estructura física real del sistema, y de hecho sistemas que son físicamente distintos puede tener la misma función de transferencia ; por

ejemplo, un sistema masa-resorte-amortiguador y un circuito RLC tienen ambos la función de transferencia

γβα ++==

sssU

sXsG

2

1

)(

)()(

En el sistema masa-resorte-amortiguador, X(s) determina el desplazamiento x(t) de la masa y

U(s) representa la fuerza aplicada F(t), mientras que α denota la masa, β el coeficiente de

amortiguamiento y γ la constante de resorte. Por otro lado, en el circuito RLC, X(s) determina

la carga q(t) en el capacitor y U(s) representa la fem e(t) aplicada, mientras que a denota la

inductancia, β la resistencia y γ la capacitancia.

En la práctica, un sistema completo puede formarse de cierto número de componentes, cada

una caracterizada por su propia función de transferencia y relacionadas con una operación en

caja. Así que la función de transferencia de entrada-salida del sistema completo se obtiene por

las reglas del álgebra del diagrama de bloque.

Como G(s) puede escribirse

))...()((

))...()(()(

21

21

n

m

m

m

pspsps

zszszs

a

bsG

−−−

−−−=

donde z¡s y pis son los ceros y los polos de la función de transferencia respectivamente,

observamos que G(s) es conocida, excepto por un factor constante, si se conocen las posiciones de todos los polos y los ceros. Por consiguiente, con frecuencia se usa un dibujo de

UTNianos

.com.ar





los polos y los ceros de G(s) como una ayuda en análisis gráfico de la función de transferencia (una convención común es marcar la posición de un cero mediante un círculo O y la de un

polo mediante una cruz ). Como los coeficientes de los polinomios P(s) y Q(s) son reales, todas las raíces complejas

suceden siempre en pares complejos conjugados, así que el dibujo polo-cero es simétrico con respecto del eje real.

Ejemplo

La respuesta x(t) de un sistema a una función de fuerza u(t) está determinada por la ecuación

diferencial

udt

dux

dt

dx

dt

xd3213129

2

2

+=++

(a) Determine la función de transferencia que caracteriza al sistema.

(b) Proporcione la ecuación característica del sistema.¿ Cual es el orden del sistema ?

(c) Determine los polos y los ceros de la función de transferencia e ilústrelos en un diagrama

en el plano s.

Solución :

(a) Supongamos que todas las condiciones iniciales son cero, aplicando la transformada

de Laplace a toda la ecuación diferencial :

udt

dux

dt

dx

dt

xd3213129

2

2

+=++

llegamos a :

( ) ( ) )(32)(13129 2sUssXss +=++

Las función de transferencia del sistema está dada por :

13129

32

)(

)()(

2 +

+==

ss

s

sU

sXsG

(b) La ecuación característica del sistema es

9.s2 + 12.s +13 = 0

El sistema es de orden 2

(c) Los polos de la función de transferencia son las raíces de la ecuación característica

9.s2 + 12.s +13 = 0

UTNianos

.com.ar





que son

( )3

32

18

46814412 is

±−=

−±−=

son los polos simples :

is +−=3

2 y is −−=

3

2

Los ceros de la función de transferencia se determinan al igualar a 0 el polinomio del

numerador 2.s + 3 = 0 , dando un cero simple en :

2

3−=s

Polo (x) Cero (o)

11. Convolución

Si dos funciones f y g son continuas parte por parte para t ≥ 0 entonces su convolución, denotada por f * g, está definida mediante la integral

∫ −=t

dtgfgf0

)()(* ιιι

UTNianos

.com.ar





Ejemplo 1

La convolución de tetf =)( y )()( tsentg = es :

∫ −=t

ttdtsenesente

0

)(* ιι

( )tetsent +−−= cos2

1

Teorema de la convolución

Es posible obtener la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones, como la

dada en (11.1), sin que se tenga que evaluar en realidad la integral como se hizo en (11.2). El

siguiente resultado se conoce como teorema de la convolución.

Sean f(t) y g(t) continuas parte por parte para t ≥ 0 y de orden exponencial.

Entonces

{ } { } { })()(* tgLtfLgfL =

)()( sGsF=

Demostración

{ } ∫∞

−==0

)()()(Sean ιιιdfetfLsF

s

{ } ∫∞

−==0

)()()( βββ dgetgLsG s

Procediendo formalmente queda

= ∫∫

∞

−

∞

−

00

)()()().( ββιι β dgedfesGsF sst

βιβιβιddgfe

s )()(0 0

)(

∫ ∫∞ ∞

+−=

∫∫∞

+−

∞

=0

)(

0

)()( ββιι βι dgedf s

Dejando ι fijo hacemos t = ι + β , dt = dβ , de modo que :

(11.2)

(11.1)

UTNianos

.com.ar





∫ ∫∞ ∞

− −=0

)()()().( dttgedfsGsF st ιιι

En el plano t ι estamos integrando sobre la región sombreada mostrada en la Figura . Como f

y g son continuas parte por parte para t ≥ 0 y de orden exponencial, se puede demostrar que es

posible intercambiar el orden de integración:

∫∫ −=∞

−t

st dtgfdtesGsF00

)().()().( ιιι

dtdtgfe

t

st

−= ∫∫∞

−

00

)()( ιιι

{ }gfL *=

Cuando g(t) = 1 y G (s) = l/s, el teorema de la convolución implica que la transformada de Laplace de la integral de una función f es :

s

sFdfL

t)(

)(0

=

∫ ιι

Ejemplo 2

Calcular

−∫t

dtseneL0

)( ιιι

Solución: Con las identificaciones f(t) = te y g (t) = sen t, por el Teorema de convolución

tenemos

UTNianos

.com.ar





{ } { }sentLeLdtseneL t

t

.)(0

=

−∫ ιιι

1

1.

1

12 +−

=ss

( )( )1.1

12 +−

=ss

Algunas veces el teorema de convolución es útil para encontrar la transformada inversa de

Laplace de un producto de dos transformadas de Laplace. En virtud del teorema de

convolución, tenemos :

{ })().(* 1sGsFLgf

−=

Ejemplo 3

Determinar ( )( )

+−

−

4.1

11

ssL

Solución : Sería posible usar fracciones parciales, pero si :

1

1)(

−=

ssF y

4

1)(

+=

ssG

entonces { } tetfsFL ==− )()(1 y { } t

etgsGL41 )()( −− ==

Por lo tanto podemos escribir :

( )( ) ∫ −=

+−

−

t

dtgfss

L0

1 )()(41

1ιιι

∫−−=

t

t dee0

)(4 ιιι

∫−=

t

tdee

0

54 ιι

tttee 0

54

5

1−=

tt ee 4

5

1

5

1 −−=

UTNianos

.com.ar





12. Transformada de una función periódica

Si una función periódica tiene periodo T, siendo T > 0 , entonces f(t + T) = f(t). La

transformada de Laplace de una función periódica puede obtenerse integrando sobre un

periodo.

TEOREMA

Sea f(t) continua parte por parte para t ≥ 0 y de orden exponencial. Si f(t) es periódica de

periodo T, entonces

{ } ∫−

−−=

T

st

sTdttfe

etfL

0

)(1

1)(

Demostración Escríbase la transformada de Laplace como:

{ } ∫ ∫∞

−− +=T

T

stst dttfedttfetfL0

)()()(

Haciendo t = u + T , la última integral en (12.2) se transforma en

∫ ∫∞ ∞

+−− +=T

Tusst duTufedttfe0

)( )()(

∫∞

−−=0

)( duufeesusT

{ })(tfLe sT−=

Por lo tanto (12.2) es :

{ } { }∫−− +=

T

sTsttfLedttfetfL

0

)()()(

Despejando la { })(tfL resulta

{ } ∫−

−−=

T

st

sTdttfe

etfL

0

)(1

1)(

(12.1)

(12.2)

UTNianos

.com.ar





Ejemplo

Hallar la transformada de Laplace de la función periódica mostrada en la figura.

Solución : En el intervalo 0 ≤ t < 2 la función puede definirse por

<≤

<≤=

21 ,0

,0 ,)(

t

ttttf

y fuera del intervalo por f (t+2) = f( t) . Identificando T = 2 , usamos (12.1) e integramos por partes para obtener :

{ }

)1(

)1(1

1

1

1

01

1

)(1

1)(

22

22

1

0

2

1

2

2

0

2

s

s

ss

s

stst

s

st

s

es

es

s

e

s

e

e

dtetdtee

dttfee

tfL

−

−

−−

−

−−

−

−

−

−

+−=

−+−

−=

+

−=

−=

∫ ∫

∫

13. La función delta de Dirac

El impulso unitario

A menudo, los sistemas mecánicos están sometidos a una fuerza exterior (o a una tensión

aplicada en el caso de los circuitos eléctricos) de gran magnitud que solamente actúa durante

un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga eléctrica podría caer sobre el ala ya vibrante

de un avión o a un peso sujeto a un resorte podría dársele un golpe seco con un martillo, o

bien una pelota de golf inicialmente en reposo podría ser enviada velozmente a los aires al ser

golpeada con violencia por un bastón o palo de golf.

La función

+≥−≤

+<<−=−

attatt

attatatta

00

00

0

bien o ,0

,2

1

)(δ

puede servir de modelo matemático para tal fuerza. Para valores de a, ( )0tta −δ es

esencialmente una función constante de gran magnitud que está "conectada" o "activada" sólo

por un corto intervalo de tiempo en torno a t0. El comportamiento de ( )0tta −δ cuando a → 0

se ilustra en la Figura 13.1(b). A la función ( )0tta −δ se la llama impulso unitario ya que

tiene la propiedad de integración

(13.1)

UTNianos

.com.ar





∫∞

∞−

=− 1)( 0 dtttaδ

Figura 13.1

Función delta de Dirac

En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso unitario, que es una "función"

que se aproxima ( )0tta −δ y está definida por el límite

)(lim)( 00 tttt a −=− δδ

Esta última expresión, la cual en realidad no es una función, se puede caracterizar mediante

las dos propiedades siguientes

∫∞

∞−

=−

≠

=∞=−

1)()(

,0

,)()(

0

0

0

0

dtttii

tt

tttti

δ

δ

A la expresión ( )0tta −δ se la denomina función delta de Dirac y fue creada por el físico

británico Paul A.M. Dirac, quien la usó profusamente en su tratado clásico The Principies of Quantum Mechanics, en 1932.

Es posible obtener la transformada de Laplace de ( )0tta −δ mediante la suposición formal

{ } { })(lim)( 00 ttLttL a −=− δδ

(13.2)

0→a

0→a

UTNianos

.com.ar





Sabiendo que :

{ }

−=−

−−

sa

eeettL

sasast

a2

)( 0

0δ

Puesto que (13.3) es indeterminada cuando a → 0 aplicamos la regla de L'Hópital:

{ } 00

2lim)(lim 0

stsasa

st

a eee

ettL−

−− =

+=−δ

De esta manera definimos

{ } 0)( 0

stettL

−=−δ

Ahora bien, es razonable concluir de (13.4) que cuando t0 = 0 se tiene

{ } 1)( =tL δ

Este último resultado destaca el hecho de que δ(t) no es una función ordinaria puesto que se

espera que { })(tL δ → 0 cuando s→ ∞ .

Ejemplo

Resolver

)2('' πδ −=+ tyy

sujeta a (a) y(0) = 1, y'(0) = 0 ; (b) y(0) = 0 , y'(0) = 0 .

Estos dos problemas de valores iniciales podían servir como modelos para describir el movimiento de una masa sujeta a un resorte que tiene lugar en un medio en el cual la

amortiguación es insignificante. En t = 2π segundos la masa recibe un golpe seco. En (a) la masa se suelta desde el reposo, en un punto que está 1 unidad abajo de la posición de

equilibrio. En (b) la masa está en reposo en la posición de equilibrio.

Solución (a) Por (13.4), la transformada de Laplace de la ecuación diferencial es

11)(

)()(

2

2

2

22

++

+=

=+−−

−

s

e

s

ssY

esYssYs

s

s

π

π

Usando el segundo teorema de traslación,

)2()2(cos)( ππ −−+= tUtsentty

(13.3)

(13.4)

0→a 0→a

UTNianos

.com.ar





Puesto que sen (t - 2π) = sen t, la solución precedente se puede escribir

≥+

<≤=

2 ,cos

20 ,cos)(

π

π

tsentt

ttty

(b) En este caso la transformada de la ecuación es simplemente

1)(

2

2

+=

−

s

esY

sπ

y por lo tanto )2()2()( ππ −−= TUtsenty

>

<≤=

π

π

2 ,

20 0

tsent

t

(13.5)

(13.6)

UTNianos

.com.ar

Transformada de Laplace

Documents

Transcript of Transformada de Laplace