Transformada de Laplace
8
TRANSFORMADA DE LA PLACE Transformada de Laplace de derivadas. Obtener la transformada de Laplace de f ' (t). resolviendo la integral por partes: L {f ' ( t ) } = L { f(t) } - f(0) Resultado. Obtener la transformada de Laplace de f '' (t) . Haciendo f ' (t) = g(t) ; f '' (t) = g ' (t) ;y g(0)= f ' (0) ; y aplicando el resultado anteriormente obtenido de la transformada, para la primera derivada tenemos: L { f ' ' (t) } = L { f ' (g) } = s L {g (t)} - g(0) ; s L { g( t ) } = s L { f ' ( t ) } = s ( - f (0) + s L { f (t) } ) L { f ' ' (t) } = s 2 L { f (t) } - s f (0) - f ' (0) Resultado. Generalizando tenemos: L { } = s n L { f (t) } - s n-1 f (0) - s n-2 f ' (0) - .... - f n-1 (0) Función Gamma Obtener la función gamma de 1: sustituir x=1 Resultado. Obtener la función gamma de ( x+1) : Integrando por partes: VIA PINARES, Ericson 1320161 Página 1
-
Upload
ericsson-via -
Category
Documents
-
view
7 -
download
3
description
Transformada de Laplace
Transcript of Transformada de Laplace
TRANSFORMADA DE LA PLACE
TRANSFORMADA DE LA PLACE
Transformada de Laplace de derivadas.
Obtener la transformada de Laplace de f ' (t).
L {f ' ( t ) } = L { f(t) } - f(0) Resultado.Obtener la transformada de Laplace de f '' (t) .
Haciendo f ' (t) = g(t) ; f '' (t) = g ' (t) ;y g(0)= f ' (0) ; y aplicando el resultadoanteriormenteobtenido de la transformada, para la primera derivada tenemos:
L { f ' ' (t) } = L { f ' (g) } = s L {g (t)} - g(0) ;
s L { g( t ) } = s L { f ' ( t ) } = s ( - f (0) + s L { f (t) } )
L { f ' ' (t) } = s2 L { f (t) } - s f (0) - f ' (0) Resultado.
Generalizando tenemos:
L { } = sn L { f (t) } - sn-1 f (0) - sn-2 f ' (0) - .... - f n-1 (0)
Funcin Gamma
INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/tranalg/Image587.gif" \* MERGEFORMATINET Obtener la funcin gamma de 1: sustituir x=1
Resultado.
Obtener la funcin gamma de ( x+1) : Integrando por partes: = Resultado.Generalizando tenemos que: Esta es la propiedad ms importante de la funcingamma.
Aplicando la funcin gamma obtener la transformada de Laplace de f(t) =;siendo nun entero no negativo y, t ;
L { } = si sustituimos tenemos que L{}= Resultado.As como hay tablas de integrales para facilitar la solucin de problemas de integracin, utilizaremos las tablas de transformadas.
de Laplace para agilizar la solucin de problemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogneas, que en el tema anterior resolvimos por el mtodo de coeficientes indeterminados.
A continuacin se presentan las transformadas de Laplace ms comunes que utilizaremos, en la solucin de problemas algebraicos y en los problemas de aplicacin.
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
= L {f (t)}=F(s)
FORMULAS
_____________________|____________________________
; s>a
; s>0
; s>0
; s>0
; s>0
; s>a
; s>a
;
INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/tranalg/Image653.gif" \* MERGEFORMATINET
32. Ejemplo Siendo la frmula 33. Ejemplo
INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/tranalg/Image660.gif" \* MERGEFORMATINET Siendo la frmula En todos los casos a, b, k, son constantes y adems .
34.
INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/tranalg/Image664.gif" \* MERGEFORMATINET 35.36.37.38.39.40.
41.
42.
43.
44.
45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. RESOLVER LAS ECUACIONES UTILIZANDO
LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE.
Problema 1.- con las condiciones : Paso 1.- Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuacin trmino a trmino. Paso 2.-- Sumando los trminos semejantes Paso 3.- Se factoriza la transformada : Paso 4.- Se despeja la transformada: Paso 5.-- Se obtiene la transformada inversa de Laplace
;
Paso 6.- ;
INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/tranalg/Image699.gif" \* MERGEFORMATINET Paso 7.- Se obtiene el resultado final:
Resultado
Una grfica de la solucin es:
VIA PINARES, Ericson 1320161Pgina 1
