Transformada de Laplace

Ecuaciones Diferenciales Facultad de Química e Ingeniería Química

Magister Luis Núñez Ramírez Página 1

1) INTRODUCCIÓN:

A modo de introducción histórica, diremos que la expresión

F(z) = ∫

f(t)

Fue acuñada en primer lugar por Pierre—Simón Laplace en 1782. Su

utilización dentro de la técnica se debe en su forma rigurosa a Thomas

Bromwich, el cual formalizó utilizando las funciones de variable compleja y la

Transformada de Laplace un cálculo operacional inventado por Oliver Heaviside

para la resolución de circuitos eléctricos.

La transformada de Laplace nos proporciona una herramienta de gran alcance

formulada para solucionar una amplia variedad de problemas del valor inicial.

La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los

problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas

fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para

recuperar las soluciones de los problemas originales.

Además, es un procedimiento que permite cambiar funciones de la variable del

tiempo t a una función de la variable compleja s.

Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:

Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones

diferenciales lineales.

Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se

pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.

Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por

operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.



Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el

funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de

ecuaciones diferenciales correspondiente

2) DEFINICION DE LA TRANSFORMADA

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de

ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de

Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras.

Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una

función en una variable de entrada en otra función en otra variable.

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se

define como

cuando tal integral converge

Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se

considera constante

2. La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable

s

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#Convergencia



EJEMPLO:

Determine la transformada de Laplace de la siguiente función:

Usando la definición:

Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que

De donde

Y

siempre y cuando s > 1, de otra manera este límite no existiría.

Por lo tanto la transformada de Laplace de f (t) = et es

http://1.bp.blogspot.com/-JL2jRcIa6QM/Tb_8bULnJRI/AAAAAAAAAAY/6YsHlwTBZB8/s1600/dibujo2.png

http://1.bp.blogspot.com/-V0fwD8Zcb5Y/Tb_8pqXHVgI/AAAAAAAAAAc/B5F9P9bos6o/s1600/dibujo2.png

http://4.bp.blogspot.com/-uJkrgD8abzA/Tb_82Q_Q_0I/AAAAAAAAAAg/3t3mIpENsCI/s1600/dibujo2.png

http://1.bp.blogspot.com/-wZyPXuNFZIA/Tb_9CxiMIoI/AAAAAAAAAAk/BcG_iEV9Wh8/s1600/dibujo2.png

http://3.bp.blogspot.com/-A2RO1MEB_fI/Tb_9LpzKuwI/AAAAAAAAAAo/hSaPCisNmyY/s1600/dibujo2.png

http://2.bp.blogspot.com/-l4SyGk_EJ2M/Tb_9YORxHKI/AAAAAAAAAAs/TrspSQCa0Ts/s1600/dibujo2.png



3) CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE LA

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede

ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay

funciones discontinuas, que pueden tener transformada; entonces, existen condiciones para

que una función tenga transformada de Laplace, estas condiciones son suficientes pero no

necesarias.

Condiciones para la existencia de la transformada de una función:

1. De orden exponencial

2. Continua a trozos

3.1 FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL

Decimos que la función F: [0,+∞] → es de orden exponencial si existen números

, y tales que:

Para .

Intuitivamente esto significa que la función está por debajo de una función

exponencial, como se muestra en la figura.

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#funcion_seccionada



Observación: algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial,

conviene calcular el siguiente límite:

para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor

que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.

1. Ejemplo

Compruebe que es de orden exponencial.

Solución

Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hôpital :

para cualquier número positivo . Por lo tanto, si es suficientemente grande , y

así es de orden exponencial.



2. Ejemplo

Compruebe que la función es de orden exponencial para cualquier valor de .

Solución

Calculando el límite

siempre y cuando . De donde, para grande.

Observación: no es difícil comprobar que cualquier polinomio de grado o función

trigonométrica como Sen(bt), Cos(bt), con constante, son de orden exponencial, así

como, las sumas y productos de un número finito de estas funciones. En general, si

y son de orden exponencial la suma y el producto son de orden

exponencial.

3. Ejemplo

Compruebe que la función no es de orden exponencial.

Solución

Calculando el límite tenemos que

para cualquier valor de , con lo cual la función no es de orden exponencial.

El siguiente resultado enuncia un resultado que parece obvio.



3.2 FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS:

Decimos que una f: [a, b] → R función, es continua a trozo si

1. está definida y es continua en todo , salvo en un número finito de

puntos , para

2. Para cada los límites :

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos

de .

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que

las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la

figura

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi continuas o

que no son demasiado discontinuas.



Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es

que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.

Así como hay tablas de integrales para facilitar la solución de problemas de integración,

utilizaremos las tablas de transformadas de Laplace para agilizar la solución de problemas

de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

Demostración de la Existencia de la Transformada

Sea una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la

transformada de Laplace de existe. Es decir, existe un número tal que

existe para .

Demostración

Por ser de orden exponencial existen números no negativos , y tales que

, para . Así que:



La primera integral

es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que

Ahora, como

siempre y cuando , tenemos que la integral:

existe y con ello la transformada.



Observación: el teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la

existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función que

no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún así tenga transformada, como lo muestra el

siguiente ejemplo.

1. Ejemplo

Compruebe que la transformada

existe, aún cuando no cumple las hipótesis del teorema de existencia anterior.

Solución

Claramente tiene una discontinuidad infinita en , con lo cual no es

continua a trozos en el intervalo ; pero ;

Para calcular esta última integral sea



con lo cual

Ahora note que



Donde es el cuadrado de lado , que se muestra en la figura. Observe que si

y son las regiones que se muestran en la figura entonces:

Con lo cual, tomando el límite

Y así, Por lo tanto

El siguiente ejemplo muestra una función para la cual no existe la transformada de Laplace.



2. Ejemplo

Compruebe que no existe.

Solución

Usando la definición

Y puesto que la integral impropia

Diverge, la transformada no existe.



TABLA DE TRANSFORMADA DE LAPLACE

Demostraciones

1. Demostrar :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la

función

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#Teorema3



y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde :

Por tanto

2. Demostrar :


función

y por consiguiente


de donde y utilizando la obtención 2 y la linealidad de la transformada:

Por tanto

3. Demostrar :


función


http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#Obtencion2





y por consiguiente


de donde:

Por otro lado, si ahora utilizamos el mismo teorema de la transformada de la

derivada pero usando la función

y por consiguiente


Si resolvemos este sistema de ecuaciones simultaneas en y

obtenemos las fórmulas deseadas.

4. Deducción de :


función

y por consiguiente







de donde:

Por tanto y despejando :

Ejemplos:

1)

L L + L =

2)

L L + 6 L - 3 L =

3)

L = L + 3 L + 3 L + L =

4)

L = L + 2 L + L =

5)

L L - 5 L + 10 L - 10 L + 5

- L =



I. Linealidad

La transformada de Laplace es una transformación lineal.

)()(

)()()(

)()(

)()()(

SS

SSS

FLFL

GLFLGFL

Equivalentemente:

)()(

)(

)(

)()(

:,,)(

,)(

SS

S

S

GbLFaL

entoncessGL

sFL

a, b constantes reales y además:

,

))(()(())()(( )()()(

máxstodopara

tGbLtFaLtbGtaFL sss

Ejemplo: Determine:

Solución:

Usando la propiedad de linealidad tenemos:

Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:

Haciendo álgebra:

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.html#Teorema1



Por tanto:

II. Propiedad de Traslación

Si:

Entonces:

Ejemplo: Determine:

Solución:

Para usar el teorema de traslación reconocemos:

Y por tanto:




Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:

Haciendo álgebra:

Por tanto:

III. Propiedad de Cambio de Escala

Si:

Demostración:

Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de variable,

=

=

=



Ejemplo:

Si

Calcule:

Solución:

Usando la propiedad de escalamiento

=

=

=

IV. Transformada de Laplace de la derivada

Sea f una función real tal que:

• f es una función continua y de orden exponencial

• f es una función continua a trozos ( seccionalmente continua)



Entonces se tiene:

Si

Generalización:

Si son continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo

, entonces

=

=

Ejemplo: Determinar:

Sabiendo que y(0)=3 y que y'(0)=-1.

Solución:

Aplicando la propiedad de linealidad:

Por el teorema de la transformada de la derivada:





Y

De donde:

Agrupando términos:

Y por tanto:

V. Teorema de la transformada de la integral


xdxsenL

t

30

2



Solución:

)36(

181)(3:

)36(

18)(,3)(

2

0

2

2

2

ssss

sFxdxsenLLuego

sssFentoncestsentfSea

t

VI. Multiplicación por tn


Solución:

Para usar el teorema de la derivada de la transformada reconocemos que n=2 y f(t)=sen(2

t), por consiguiente la aplicación de reduce a:

Desarrollando este segundo miembro:

Asi:




Por tanto:

VII. División por t

Siempre y cuando exista :


Solución:

Para usar el teorema de la transformada de la integral debemos ver si se cumple que:

existe, para ello utilicemos la regla de L'Hopital:




Por tanto podemos aplicar el teorema y nos queda el desarrollo:

Desarrollando esta integral:

Recordemos que esto se calcula mediante limites:

Como

La integral finalmente queda:

Y por tanto



TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Definición

Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir,

, entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita

es , es decir,

Observación

Existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única.

En efecto, es posible que , siendo . Para nuestro propósito

esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y de orden exponencial en

y , entonces ; pero, si y son continuas y de

orden exponencial en y , entonces se puede demostrar que las

funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de

discontinuidad.

Ejemplo

Calcule , donde esta dada por

¿Qué se puede concluir?



Solución

Usando la definición de transformada

Pero, anteriormente hemos comprobado que

con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo, la

transformada inversa de

no es única.

El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito.



Teorema [Comportamiento de en infinito]

Sea una función continua a trozos y de orden

exponencial en , entonces

Demostración

Puesto que es continua a trozos en necesariamente es acotada en este

intervalo; o sea, para todo . De donde

y así cuando , de modo que cuando .

Observación:

El resultado anterior es válido independientemente de que sea continua a trozos o de

orden exponencial, basta con que existe.

Ejemplo

¿Por qué no existe una función tal que ?

Solución

Suponga que existe, entonces por el teorema anterior

lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función.

Observación: con un argumento similar podemos concluir que no existen una función

tal que , , , , es decir, estas



funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una función racional

es la transformada de alguna función si el grado del numerador es menor que la

del denominador .

Los siguientes resultados son útiles en análisis de sistemas de control automático,

especialmente cuando se trazan gráficas.

Tabla

Para n entero

Para

Para s > a



Ejemplo 1

Determinar

Utilizando las transformaciones de la Tabla obtenemos:

Ejemplo 2

Determinar



Ejemplo 3

Determinar

Por fracciones parciales.....

Ejemplo 4

Determinar

Ejemplo 5

Determinar

Podemos separar el 6 en y sacamos el 3

Luego tenemos que es de la forma



Por lo que obtenemos que

Ejemplo 6

Determinar

Podemos separar en dos partes

Podemos factorizar un 2 en ambas partes

Por lo que nos queda de la forma y respectivamente

Por lo tanto obtenemos que

Ejemplo 7

Determinar

obtenemos que

restamos el corrimiento y obtenemos



Ejemplo 8

Calcular la Transformada de Laplace

Puesto que

por lo tanto tenemos que:

Ejemplo 9

Calcular

Aplicando completación de cuadrados obtenemos los siguiente.

Ahora expresando la ecuación como

finalmente aplicando las transformadas inversas básicas q conocemos obtenemos que:

Ejemplo 10

Calcule



Ejemplo 11

Calcule

Utilizando fracciones parciales encontramos los valores de nuestras constantes.

Ya que tenemos nuestros valores tenemos que

Ejemplo 12

Calcular la transformada inversa de Laplace

identificamos que

Entonces

valuada de 0 a T



En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que

poseen transformada de Laplace.

1. Linealidad

Idea

La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que

multiplican.

Versión para la inversa:

, Hallar F (t)

Solución:

{ } {

} {

} {

} {

}

2. Primer Teorema de Traslación

donde

Idea

La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la

variable s.

http://www.blogger.com/post-edit.g?blogID=3575003725249456336&postID=2480484413415181139




Versión para la inversa:

Solución:

{ } {

} {

}

3. Teorema de la transformada de la derivada

{ } { }

Demostración:

{ }

{ }

{ }

Ejemplo:

{ (

)}

Solución:

{ } { } { } { }

{ }

{ }

{ (

)} { }




4. Teorema de la transformada de la integral

{ } {∫

}

Demostración:

{ } {

} ∫

{∫

}

Ejemplo:

{∫

}

{ } {

} ∫

{∫

}

{ } {∫

}

Aplicando el resultado al

ejercicio.

{

}

{∫

}




5. Propiedad de cambio de escala

{ } { }

(

)

Demostración:

∫

∫

{ }

(

)

Ejemplo:

Solución:

{

} {

}



6. Propiedad por la multiplicación por S

Teorema:

{ } { }

{ } { }

{ } { } { } { } { }

Ejemplo:

{

}

Solución:

{

} {

}

{

}

7. Propiedad por la división por S

Teorema:

{ } {

} ∫

Demostración:

{ } { }

{∫

{

} ∫

}





Ejemplo:

{

(

)}

:

{

(

)} { }

{

}

{

} ∫

8. Segundo teorema de Traslación

{ } { }

Demostración:

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫




∫ { }

TEOREMA (FORMULA DEL DESARROLLO DE HEAVISIDE)

Sean P(s) y Q(s) polinomios en los cuales P(s) es de grado menor que el grado Q(s).

Si Q(s) tiene n raíces diferentes α1 , α2 , … , αn ; entonces

[

] ∑

α

α

α

Demostración

Si el polinomio Q(s) tiene n raíces diferentes α1 , α2 , … , αn ; por lo tanto de acuerdo al

método de la descomposición de las funciones racionales se puede expresar asi:

α

α

α

α

A la ecuación (1) multiplicamos por , es decir:

α

(

α

α

α

α )

α

Ahora tomando límite cuando y aplicando la regla de L´Hospital, se tiene:

α

α

α

α



= α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

Remplazando (3) en (1) se tiene:

α

α

α

α

α

α

α

α

α

[

] [

α

α

α

α

α

α

α

α

α ]

α

α α

α

α α

α

α α

Por lo tanto, se cumple:

[

] ∑

α

α

α

Ejemplo.-

Calcular [

]

Solución

+ 2



= 15 , = -6 , = 10

[

]

+

OBSERVACION.

Supongamos que f(s) =

son polinomios en donde el

grado P(s) es menor que el grado de Q(s), pero en este

caso Q(s) =0 tiene una raíz “a” de multiplicidad m,

mientras que las otras raíces b1 , b2 , … ,bn son todas

distintas entre si.

Entonces se tiene:

i) f(s) =

=

ii)

Entonces la transformada inversa es:

[ ] [

] (

)



CO NVOLUCIÓN

Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una

suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar

para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con la

multiplicación ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto de las

transformadas, pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es

cierto.

Definición [Convolución]

La función , donde es el conjunto de funciones

continuas en el intervalo dada por

se conoce como la convolución de y .

La convolución tiene muchas de las propiedades de la multiplicación ordinaria, como

veremos en el siguiente teorema.

Teorema [Propiedades de la convolución]

Sean y funciones continuas en el intervalo , entonces

1. (ley conmutativa)

2. (ley distributiva)

3. (ley asociativa)

4.

Demostración

La demostración de estas propiedades es muy simple. Haremos la primera de ellas y

dejamos las restantes al lector.



Observación: sin embargo, existen algunas propiedades de la multiplicación ordinaria que

la convolución no tiene. Por ejemplo, no es cierto en general que ; para ver esto,

note que

Ejemplo

Calcule la convolución de y .

Solución

Usando la definición e integración por partes, tenemos que



Ejemplo

Calcule la convolución de las funciones y .

Solución

Usando la definición e integración por partes

Observación: para calcular la integral

del ejemplo anterior, hemos usado la identidad



Otras identidades que pueden ser útiles en el cálculo de integrales similares son

El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teórica y práctica, como

veremos.

Teorema [Teorema de convolución]

Si y existen para , entonces

Observación: La forma inversa del teorema de convolución

es muy importante en la solución de ecuaciones diferenciales, pues nos puede evitar el

cálculo de fraciones parciales complejas.

Ejemplo

Calcule

Solución

Usando el teorema de convolución tenemos que



Observación: como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado

obtenido anteriormente

como obtuvimos en el ejemplo anterior.

Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolución

para el cálculo de transformadas inversas.

Ejemplo

Calcule la siguiente transformada inversa

Solución

Usando el teorema de convolución



Observación: en este ejemplo el uso de fraciones parciales resulta viable, pues

Los siguientes ejemplos muestran situaciones donde el uso de fraciones parciales puede ser

realmente complejo, comparado con el uso del teorema de convolución.

Ejemplo


Solución

Usando el teorema de convolución, tenemos



Observación: en este ejemplo la expansión en fraciones parciales no es tan simple

Ejemplo


Solución

Usando convolución



El siguiente corolario es útil en el cálculo de la transformada de una integral.

Corolario

Tomando en el teorema de convolución tenemos que

donde

Demostración

Ejemplo

Calcule la siguiente transformada

Solución

Usando el corolario anterior y el teorema de multiplicación por , tenemos que



FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN PERIÓDICA

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:

f(x) = f(x + zT)

La función f(x) = sen x es periódica de periodo 2π, ya que cumple que:

sen (x + 2π) = sen x



La función f(x) = tg x es periódica de periodo π, ya que cumple que:

tg (x + π) = tg x

La función mantisa, f(x) = x - E(x), es periódica de periodo 1.

Si tenemos una función periódica f(x) de periodo T, la función g(x) = f(kx) tiene de

periodo:



Hallar el periodo de las funciones:

1) f(x) = sen 2x

2) f(x) = tg (1/2)x

3) f(x) = E (1/2)x

Transformada de una función periódica

Si f(t) es una función periódica con período T:

Ejemplo: Sobre la transformada de una función periódica

Problema Determine la transformada de la función cuya gráfica es:

Solución Esta función es periódica con período T=2 y para el cálculo de su transformada podemos

utilizar la fórmula:

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#funcion_periodica



Puesto qur la función es seccionada en el intervalo [0,2] entonces la integral se calcula

también por secciones:

Así:

Por tanto

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

La función escalón unitario es una

función matemática que tiene como

característica, el tener un valor de 0

para todos los valores negativos de

su argumento y de 1 para todos los

valores positivos de su argumento,

expresado matemáticamente seria

de la forma:

Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el argumento de u(t)

es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo.



Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen en algún

instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por la función que

define la variable en el tiempo, como se muestra a continuación.

En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función f(t) definida como:

Si se toma esta función y se multiplica por la función escalón unitario u(t), se obtiene la

siguiente gráfica:

Como se puede observar la función f(t)*u(t) inicia en cero y continua en adelante con los

mismos valores de f(t), esto seria la representación de un interruptor que se encuentra

abierto y en un tiempo t = 0, se cierra y la señal que se observa a partir de este momento

tiene como valor f(t).



Aunque esta señal es muy útil, en algunos casos no se desea que la señal inicie exactamente

en t=0, sino que inicie antes o después como se demuestra en la figura:

En las dos imágenes anteriores se realizo un corrimiento sobre el eje del tiempo, en una se

hizo hacia la izquierda y en otra hacia la derecha, en ambos casos se vario la forma de u(t),

es así, que para realizar el corrimiento hacia la izquierda se cambio la función u(t) por

u(t+1), logrando un corrimiento hacia la izquierda de 1, dando como resultado que la

función f(t) no inicie en t = 0, sino que inicie en t = -1,si se desea que el valor de t para que

inicie la función f(t) sea por ejemplo t = -5, solo se debe variar u(t) a u(t+5) y multiplicarlo

por f(t); así mismo, para realizar el corrimiento hacia la derecha de la función f(t)*u(t) se



debe variar u(t), en este caso se resta el valor en el cual se quiere que la función u(t)

cambie de estado.

Debido a lo anterior se puede definir de una manera más general la función escalón

unitario,así:

Como se puede observar cuando to = 0, se tiene como resultado la definición dada

anteriormente.

Otra utilización de la función escalón unitario es la de formar funciones de pulsos o tipo

puerta, como la que se muestra a continuación:

En esta imagen se muestra la gráfica de una

función que tiene el valor de f(t) en los

valores de t comprendidos entre 1 y –1, y

siendo 0 para cualquier otro valor de t, para

definir esta función se puede utilizar

cualquiera de las siguientes expresiones :

Aunque ambas funciones dan como resultado la gráfica mostrada anteriormente, en la

primera se utiliza la suma de funciones escalón unitario, mientras que en la segunda, se

utiliza la multiplicación de funciones escalón unitario. Este tipo de función comúnmente se

llama función puerta de f(t).

En forma general se tendría, la siguiente expresión para realizar una función puerta,

fpuerta(t), donde se conectaría en un tiempo t1 y se desconectaría en un tiempo t2



para t1< t2

Existen otras muchas funciones que se pueden expresar utilizando la suma o la

multiplicación de funciones escalón unitario, es también lógico que f(t), puede ser cualquier

tipo de función que varíe en el tiempo, ya sea una expresión matemática, una variable

estadística, etc.

Transformada de una función escalón unitario

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su

nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0

para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo.

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una

señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

DEFINICION:

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien

activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o

una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto

tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir

una función especial llamada función escalón unitario o función Heaviside.

La función Heaviside, es una función discontinua cuyo valor es 1 para el argumento

positivo y 0 en el resto del intervalo.

Definimos sólo en el eje no negativo puesto que es todo lo que nos interesa en

el estudio de la transformada de Laplace.

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Oliver_Heaviside



En el sentido más amplio, cuando . Cuando una función definida

para se multiplica por , la función escalón unitario "desactiva" una porción

de la gráfica de esa función.

Consideraciones

La función escalón unitario también se puede utilizar para escribir en forma compacta

funciones definidas por tramos.

Una función general definida por tramos del tipo:

Es la misma que:

Para 3 funciones tendríamos entonces que:

Es la misma que:

Ejemplo1



Ejemplo2

Ejemplo3

Grafica f(t)

Ejemplo4

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Tras.jpg



FUNCION GAMMA

Ahora estudiaremos una función conocida como la función gamma Γ(n) la cual es de gran

importancia en análisis y en aplicaciones. Esta función se define en términos de una

integral impropia, la cual no puede calcularse en términos de funciones elementales.

Definición

La función Γ: [ 0; ∞[ → ʀ dada por:

Γ(n) = ∫

… (α)

Esta integral es convergente para valores positivos n > 0, y para valores negativos n

exceptuando los valores -1,-2,-3,-4…, a la función gamma también se le denomina función

factorial y se aplica en las ecuaciones diferenciales que admiten soluciones por series

infinitas.

Su representación grafica es:



En la siguiente tabla se indica algunos valores de Γ(n) donde 0 < n ≤ 1, calculados según

(α) mediante series infinitas.

n 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Γ(n) 9.5 4.59 2.99 2.22 √ 1.49 1.30 1.16 1.07

Propiedades de la Función Gamma

1. Γ(n + 1) = n Γ(n)

Demostración

Por definición de función Gamma se tiene:

Γ(n + 1) = ∫

= ∫

= ∫

Integrando por partes: {

=> {

Γ(n + 1) = [ | ∫

=

∫

∫

n Γ(n)

Por lo tanto:



Γ(n + 1) = n Γ(n)

2. Γ(n + 1) = n! , ɏ n ɛ

Demostración

Aplicando repetidas veces la propiedad (1)

Γ(n + 1) = n Γ(n) = n(n – 1) Γ(n – 1) = n(n – 1)(n – 2) Γ(n – 2)

= n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…(n – (n – 1)) Γ(1)

= n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…3.2.1 Γ(1) = nΓ(1) = n!

Por lo tanto:

Γ(n + 1) = n!

Observación.

Γ(1) = ∫

= ∫

= 1 => Γ(1) = 1

Ejemplo:

Demostrar que: Γ(

) = √

Solución

Por definición de la función Gamma se tiene:

Γ(n) = ∫

, de donde: Γ(

) = ∫

= ∫

Sea t = => dt = 2xdx ; cuando x = 0, t =0 y cuando x →+∞; t →+∞

Γ(

) =∫

= ∫

= ∫

√

= √

Por lo tanto

Γ(

) = √



Aplicación de la función Gamma

Cálculo fraccionario:

La n-ésima derivada de ab (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera:

=

Como n! = Γ(n + 1) entonces

donde n puede ser cualquier número

donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites.

De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de x, de e inclusive de una

constante c = c :

√

√

√

√

√

http://www.monografias.com/trabajos6/lide/lide.shtml



APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN LA

SOLUCION DE ECUACIONES DIFRENCIALES

Teorema [Del valor inicial]

Si y existe y

es igual a ,

entonces

Demostración: Como

y

siempre y cuando sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que

siempre y cuando sea continua por la derecha en .

Ejemplo

Si , calcule .

Solución

Usando el teorema del valor inicial

Note que no fue necesario calcular .



Condiciones Iniciales

A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones

prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En

algún intervalo I que contenga a xo, el problema

Resolver: dny = F(x, y, y',..., y(n-1))

dxn

Sujeta a: y(x0) = y0, y'(x0) = y1, ... , Y(n-1)(x0) = y n-1,

En donde y0, y1 ,..., y n-1 son constantes reales especificadas arbitrariamente, se

llama problema de valor inicial. Los valores dados de la función desconocida,

y(x), y de sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0: y(x0) = y0, y'(x0) =

y1,...,y(n-1) (x0) = y(n-1) se llaman condiciones iniciales.

Problemas de Valor Inicial

Una de las principales aplicaciones de la Transformada de Laplace es la solución de

problemas de valor inicial (PIV) que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias con

coeficientes constantes. Algunas de las ventajas de el uso de la TL en la solución de

problemas de valor inicial son los siguientes:

No es necesario encontrar previamente la solución general de la

ecuación.

Esta técnica permite manejar fácilmente PIV’s que contienen funciones

continuas a trozos.

Permite manejar también ecuaciones integro-diferenciales.

Para resolver un PIV utilizando TL:

PASO 1 Calcule la TL de ambos miembros de la ED.

PASO 2 Despejar de la expresión obtenida en el paso 1, la TL de la

variable que se busca.

PASO 3 EncuentrelaTL-Inversadelaexpresiónencontradaenelpaso2.

Ejemplo 1 Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial

Solución

Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial



Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar

Observación: está ecuación diferencial puede resolverse como una ecuación lineal con

factor integrante .

Ejemplo 2

Resuelva

Valores Iniciales



Solución

Aplicando los valores Iniciales y simplificando obtenemos

Aplicando Laplace Inversa Obtenemos

Utilizando el primer teorema de traslación sabemos que:

Aplicando el desfase de seria igual a:

Por con siguiente nuestra respuesta seria



Ejemplo 3

Resuelva el siguiente problema de valor inicial

donde está dada por

Solución

La función f(t) puede interpretarse como una fuerza externa que actúa en un sistema

mecánico sólo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este

problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente.

Primero usemos la función de Heaviside para reescribir f(t):

Aplicando transformada tenemos que



Al aplicar la transformada inversa obtenemos

La gráfica de se muestra en la figura 1.

Figura 1

Ejemplo 4

Resuelva el siguiente problema de valor inicial

Solución: Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que



Y al aplicar la transformada inversa

La gráfica de la solución se muestra en la figura 2

Figura 2

Ejemplo 5

Resolver el siguiente problema de valor inicial



Solución

En este caso la ecuación diferencial tiene coeficientes variables, por lo que la transformada

de Laplace resulta muy útil.

0

0

0

Integrando obtenemos que

De donde obtenemos que

Para determinar el valor de obsérvese que . Con lo cual

la solución al problema está dada por.

http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES



Ejemplo 6

Una partícula se mueve a lo largo del eje de manera tal que su aceleración en

cualquier tiempo está dada por . Encuentre la posición de la

partícula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente la partícula está localizada

en y está viajando a una velocidad de .

Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada

la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería

Integrando con respecto a obtenemos

y usando la condición podemos hallar que , con lo cual la velocidad en

cualquier tiempo sería



Integrando de nuevo

y usando la condición podemos determinar que y obtener la posición

de la partícula en cualquier tiempo

En la figura 3 se muestra la gráfica de la posición de la partícula versus tiempo.

Figura 3



Aplicación De Las Ecuaciones Diferenciales En Circuitos Eléctricos”

Considérese el flujo de la corriente eléctrica en un circuito sencillo en serie. La corriente

I=0(fi)(t) (medida en amperes) es una función del tiempo t. La resistencia “R” (ohms), la

capacitancía “C” (en farads) y la inductancia “L” (en henrys) son todas positivas y, en

general, pueden depender del tiempo t y la corriente I. Para una gran variedad de

aplicaciones, esta dependencia puede despreciarse; se supondrá que “R, C y L” son

constantes conocidas. El voltaje aplicado “E” (volts) es una forma dada del tiempo

frecuentemente de la forma Eo Cos wt. Otra consideración física que aparecerá en estas

condiciones es la carga total:

Dado en coulombs del capacitor, en el instante t. La carga Q está relacionada con la

corriente I por:

El flujo de corriente en el circuito bajo condiciones dichas se expresa por la segunda ley de

Kirchhoff: “En un circuito cerrado, el voltaje aplicado es igual a la suma de las caidas del

voltaje en el resto del circuito”.

De acuerdo a las leyes fundamentales de electricidad, se sabe que:

a) Caída de voltaje a través de la resistencia = IR

b) Caída de voltaje a través del capacitor = (1/c)(Q)

c) Callad de voltaje a través de la inductancia = L(dT7dt)

Por lo tanto:

La teoría de los circuitos eléctricos, que consisten de inductancias, resistores y capacitares,

se basa en las leyes de Kirchhoff: “El flujo neto de corriente a través de cada nodo es cero

es cero”.

“La caída neta de voltaje alrededor de cada circuito cerrado es cero”.

Además de las leyes de Kirchhoff, se tiene la relación entre la corriente I en amperes, a

través de cada elemento del circuito, y la caída de voltaje V en volts, a través de ese

elemento; a saber,



V=RI R= resistencia en ohms

C(dv/dt) C= capacitancia en farads

L(di/dt) L= inductancia en henrys

Las leyes de Kirchhoff y la relación corriente- voltaje para cada circuito proporcionan un

sistema de ecuaciones algebraicas y diferenciales, a partir de las cuales puede determinarse

el voltaje y la corriente en todo el circuito

La solución de la ecuación diferencial utilizando la transformada de Laplace:

Sabemos que la transformada de Laplace de una función está dada

por:

Si la función f en el dominio del tiempo fuese tan sencilla como f(t)=1,una función

constante, entonces

Si f(t) fuese f(t)=sent, entonces



La transformada inversa,permitirá pasar del domino de Laplace o de la “frecuencia”,al

dominio del “tiempo”.

En base a los dos ejemplos anteriores,podemos afirmar que:

Estudiaremos el comportamiento de un circuito RC en el dominio del tiempo.

El condensador en el circuito siguiente,se encuentra cargado inicialmente hasta V0

voltios.Estamos interesados en las expresiones en el dominio del tiempo correspondientes a

la inetensidad i(t) de la corriente y el voltaje v(t).

Comenzamos determinando i . Al transferir el circuito al dominio “s”,utilizaremos el

circuito equivalente para el condensador cargado,utilizando un circuito,en serie de una

malla,de donde se genera la expresión

Al resolver la ecuación para I, se obtiene



La cual se transforma por la transformada inversa de Laplace en

La manera más sencilla en este caso, de determinar v(t) es utilizando la ley de Ohm

En una red que contiene un inductor, un resistor y un capacitor están definidas por

el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:

Ejemplo 1

Resuelva el sistema de ecuciones para una red electrica con las condiciones

y las corrientes i1,i2 iguales a cero en el momento i



Solución

Sistema de ecuaciones:

sujetas a:

Se aplica la transformación de Laplace a cada ecuación del sistema y se simplifica:

Despejamos para :

Se saca la transformada inversa de Laplace:



Ejemplo 2

Encuentre la solución para la ecuación diferencial obtenida de un sistema LC sabiendo

que y .

Por los cursos de física tenemos que la ecuación para el sistema sería la siguiente

Debemos tomar el cuenta lo siguiente

Aplicamos la transformada de LaPlace

Despejamos para Q

Aplicamos la transformada inversa de LaPlace y vemos

claramente que tenemos un coseno



Cinética Química Aplicada

Reacciones Complejas

Muchas reacciones no pueden expresarse en ecuaciones simples de orden cero, uno o

segundo orden ,pues comprenden más de una etapa o reacción elemental y por eso se

denomina ¨Reacciones complejas¨

Estos procesos se resumen en dos tipos:

1. Reacción reversible u opuesta.

A +B ↔ C +D

2. Reacciones irreversibles simultaneas o paralelas.

3. Reacciones irreversibles consecutivas (sucesivas )o en serie.

Reacciones reversible u opuesta

Son aquellas que se ajustan a esquemas del tipo:

En estos procesos del estado final corresponde a un equilibrio dinámico finito y la

velocidad de acercamientos a este estado estará dada por la diferencial de la velocidad de

formación de reactivos en productos ( reacción directa) y la velocidad de regeneración de

los reactivos partiendo de los productos formados (reacción directa o inversa)

C

B K1

K2

A

K1

K2



Son importantes si ambas velocidades son de un orden uno.

Para la deducción de la ecuación de velocidad de un proceso de reacciones opuestas se debe

solucionar la ecuación diferencial de velocidad neta para la desaparición de los reactivos o

la formación de los productos.

En el caso simple las reacciones opuestas de orden uno en ambos sentidos y cuyo esquema

será:

La ecuación de velocidad a la que reacciona A es directamente proporcional a la

concentración de A que queda por reaccionar o sea :

-dA = kd[A]

La ecuación de velocidad a las que reacciona A es directamente proporcional a la

concentración A que puede reaccionar o sea:

Ahora bien ,si llamamos como:

a = [A]0 = Concentración inicial de A

X = Concentración de A que ha reaccionado a tiempo dado a la vez será lo que se ha

formado de B a ese tiempo , o sea [B]t .

a-x = Concentración de A que queda por reaccionar por lo que se puede expresar la

velocidad de la reacción como velocidad de formación de B (dx/dt) al pasar el tiempo y

al depender el proceso total o neto de las dos reacciones (descomposición y regeneración

de A) ,este se puede escribir en la reacción siguiente:



dx / dt = kd [A] - ki [B]

Y si [A] = a-x y [B] = x se tiene que :

dx / dt = Kd (a-x) – ki * x

Ahora como al cabo de un tiempo suficiente se alcanzara el estado d equilibrio y en tal

estado , la velocidad neta de la reacción es cero, podemos decir que:

Kd (a – xeq ) =ki xeq

Porque esto sucedió cuando x = xeq

Despejando Kd a en función xeq se tiene :

Kd a = xeq (kd + ki)

Y si se sustituye dx / dt , se obtiene:

dx /dt = (kd + ki) (xeq – x)

Donde

X= concentración de B que se ha formado a un tiempo t o concentración de A que ha

reaccionado a este tiempo.

xeq =Concentración de B en el equilibrio.

De la integración por sustitución de la anterior ecuación entre los limites

t = 0 ; u = xeq y t=t ; u = xeq - x

resulta

ln [xeq / xeq - x] = (kd + ki) t



o lo que es lo mismo

ln [Beq / Beq - Bt ] = (kd + ki) t

Como xeq =[B]eq y x =[B]t y la concentración inicial de A (A0) es la suma de [B]eq + [A]eq

se puede expresar xeq y x en términos de A de la siguiente manera :

xeq = [B]eq = [A]0 - [A]eq

x = [B]t = [A]0 - [A]t y sustituir en la anterior ecuación de modo que resultara:

ln [A0 - Aeq / At – Aeq ] = (kd + ki) t

Es importante conocer que cuando se alcanza el estado de equilibrio , la velocidad neta de

la reacción es cero pues la velocidad hacia la derecha (descomposición) o sea:

Vd = Vi

Vd = kdA y Vi =kiB ; Se tiene en el equilibrio que :

Kd [A]eq = Ki [B]eq y kd/ki = Beq / Aeq = Keq

Estas son las relaciones de importancia cuando se quiere obtener el valor de cada una de

las constantes , siendo Keq la constante de equilibrio de la reacción.

En consecuencia , conociendo la constante de equilibrio y la pendiente de la ecuación

cinética que representa la evolución hasta el estado de equilibrio , es posible determinar los

valores individuales de las constantes cinéticas.

La representación de ln[B]eq = [B]t vs t o de ln[A]t = [A]eq vs t deberá ser una reacción

cuya pendiente será igual a (kd + ki)



Un ejemplo típico de las reacciones de orden uno en ambos sentidos (opuestos ) representa

la mutorrotación de la glucosa catalítica de acido do bases :

Glucosa β ↔ Glucosa θ

Reacciones simultaneas, paralelas o colaterales

Son aquellas que pueden representarse con un esquema del tipo:

Un ejemplo del esquema 1 es de la reacción del fenol con acido nítrico para formar los

isómeros de o- y p- nitro fenol.

C

B K1

K2

A

B

A

P +R +S



La interpretación cinética de este tipo se realiza a partir de las ecuaciones de velocidad

correspondiente al modelo supuesto.

En el caso del esquema

La velocidad de formación de los productos B y C , aceptando que son reacciones de orden

uno , vendrá expresada por las ecuaciones:

d[B] / dt = k1[A] d[C] / dt = k2[A]

Ahora bien , la velocidad de descomposición de la especie A , sea la suma de las

velocidades de formación de B y C ,por lo que :

d[A] / dt = - ( k1[A] + k2[A] )

d[A] / dt = - k[A] donde k =k1 + k2

C

B K1

K2

A



Utilizando la transformada de La Place para resolver las ecuaciones diferenciales

anteriores, se obtiene que

a - [A] = A0 * Ke-t

b - [B] = K1 A0 (1 - e-kt

) / K

c - [C] = K2 A0 (1 - e-kt

) / K

Gráficamente, estas ecuaciones corresponden a curvas como las siguientes:

Figura: Perfil de las curvas concéntricas – tiempo para el esquema de reacciones

simultaneas siendo K2 >K1.

De las ecuaciones cinéticas de [B] y [C], se puede obtener para un valor determinado de

reacción (t∞) la relación :

[B]∞ / [C]∞ = K2 /K1

Según las ecuaciones anteriores , en una reacción que ocurre a través de un mecanismo de

reacciones paralelo al orden uno , las ecuación de velocidad de descomposición

(desapararicion) del reactante ([A]) se ajusta a un proceso de orden uno , donde la

velocidad de la reacción será máxima en el instante t=0 y la constante de la velocidad será

la suma de las contantes de cada una de las reacciones de formación de productos.

Así , también , la relación entre las concentraciones de los productos formados, al cabo de

un tiempo determinado (t∞) , será igual a la de las constantes de velocidad , y ya que dichas

constantes son función de la temperatura a la que se lleva a cabo la reacción , resulta

también que la reacción estequiometria de los productos formados será función de la

temperatura cuando las reacciones son de orden uno.



Cuando el mecanismo de una reacción en párelo (lateral) corresponde a un esquema tipo :

Donde K0 es una constante de orden cero y K1 una constante de orden uno; se tiene que la

velocidad de formación del producto B sigue una cinética de orden cero, mientras que la

velocidad del producto C , una cinética de orden uno.

Ya que la velocidad de descomposición (desaparición) de la especia A , será la suma de las

velocidades de formación de B y C , por lo que:

d[B] / dt = k0 d[C] / dt = k1[A]

La velocidad de desaparición (descomposición) de la especie A, será la suma de las

velocidades de formación B y C , por lo que :

d[A] / dt = - ( k0 + k1[A] )

Y utilizando transformadas de La Place para resolver estas ecuaciones diferenciales, se

obtiene que :

a. [A] = A0 – e-k1t

- k0 (1 – e-k1t

)

b. [B] = k0t

c. [C] = A0 –(1 - e-k1t

)- k0t + k0 (1 – e-k1t

) / k1

En este tipo de reacciones donde el mecanismo de reacción involucrara un proceso de orden

cero , llegara un momento donde la reacción se detiene pues el reactante [A] se ha agotado.

Por esto es importante determinar el tiempo necesario para que esto ocurra.

C

B K0

K2

A



Partiendo de que la reacción termina cuando [A] = 0 , podemos obtener el tiempo que dura

dicha reacción :

t* = ln [k1A0 / k0 +1] * 1 / ki

También si se conoce este valor , se podrá conocer la concentración de los productos B y C

al finalizar dicha reacción ya que:

[B] = K0 t* donde t será el tiempo necesario para que finalice la reacción y [C]= A0 –(K0t*)

o sea la concentración inicial de A menos lo que se formo de B al tiempo que finalizo la

reacción será lo que se ah formado de C.

Reacción consecutiva o en serie

Reacciones en serie serán aquellas reacciones donde una especie química que aparece como

producto en una reacción se consume como rescatante en la siguiente.

Esquemáticamente, se puede representar así:

1.

2.

C + A → E

3.

El comportamiento cinético de una reacción de tipo donde K2 > k1

K2

ko K1



Permite concluir que:

La velocidad de desaparición del reactante es máxima inicialmente.

La formación de los productos finales presenta un periodo inicial de velocidad lenta y

posteriormente alcanza su valor máximo y

La concentración de las especies intermedias presenta un valor máximo. Esto

gráficamente lo observamos en la figura siguiente:

La figura muestra el perfil de curvas concentración tiempo para el esquema de reacciones

en serie donde K2 > k1

Las ecuaciones de velocidad que corresponde a la evolución de cada especie con el tiempo

para el esquema indicado, serán:

-d[A] / dt = k1[A]

d[B] / dt = k1[A] - k2[B]

-d[C] / dt = k2[B]

Utilizando transformada de Laplace, se obtiene las ecuaciones integradas correspondientes:



[A] = [A]0 * A0 e-k1t

[B] = k1[A]0 (e-k1t

- e-k2t

)

[C] = [A]0[ 1 + (k2 * e-k1t

- k1 * e-k2t

) / k2 - k1 )

También la concentración de C (producto final o terminal) a un tiempo determinado se

puede obtener por diferencia de la siguiente manera:

[C]t= [A]0 – ([B]t + [A]t)

El perfil de los gráficos (concentración –tiempo) para A ,B y C permite observar que la

concentración de [B] presenta un máximo cuyas coordenadas son [B]max , tmax*.

Estos pueden calcularse conociendo la concentración inicial de A y los valores de ambas

constantes (k1 y k2) con las siguientes ecuaciones:

tmax = ln [ (k2 / k1)/ k2 - k1 ] y [B]max = A0*e-k2tmax

Reacción en serie del tipo 3

Cuando el comportamiento cinético de una reacción es del tipo:

El reactante A llegara a agotarse a un determinado tiempo . de manera que la reacción se

regirá por un esquema más sencillo a a partir de la concentración que se forma de [B] a ese

tiempo para seguir produciendo C, o sea:

B → C cuando [A] se agota

K1



Teniendo en cuenta estas consideraciones , tendremos dos etapas , antes y después que [A]

se termine , se representan con las siguientes ecuaciones diferenciales:

Si

-d[A] / dt = k0

d[B] / dt = k0- k1[B]

-d[C] / dt = k1[B]

Utilizando transformada de Laplace para dar solución a estas ecuaciones , se obtienen las

siguientes correspondientes ecuaciones integradas:

[A] = [A]0 – k0t

[B] = k0 ( 1 - e –k1t

)

[C] = k0t - k0 ( 1 - e –k1t

) / k1

Partiendo de la ecuación

A =A0 – K0t

Se puede calcular el tiempo al cual [A] se termina , de modo que :

t = A0 / B0

A partir de este momento el comportamiento cinético de la reacción será del tipo:

Donde la concentración inicial de [B] será aquella que se formo en el momento que A se

termino.



Partiendo de las correspondientes ecuaciones de velocidad , se obtiene las ecuaciones

cinéticas integradas:

dB / dt = - K1B

[B] = B0 *e-K1t

donde [B]0 =[B] al tiempo que [A] se termino.

[B] = Concentración de B cualquier tiempo después que [A] se termino.

dC / dt = k1B

[C]= [B]0 (1 - ek1t

)

Ejemplo

Si se sabe que [A] se termina a las 25 horas y se quiere calcular [B] y [C] a las 30 horas de

iniciada la reacción , o sea , 5 horas después que [A] se agoto , se cumplirá el esquema:

Por lo que

[B]5h =B0 * e –k1*5

Y [B]0 será [B]25h y se calculara con la ecuación:

[B]0 =[B]25h = k0 / k1 (1 – )

Para calcular [C] se debe tomar en cuenta que C se ha formado durante 30 horas a través de

las dos etapas antes y después que A se agotara por lo que se pueden obtener dos formas :

1. Por diferencia

C30 = [A]0 - [B]30h o sea la concentración inicial de A menos la concentración de B , cinco

horas después que A se termino ([B]5h )

2. Sumando C25h antes + C5h después ; o sea :

C30h= k0 / k1 (1 – ) + [B]0 (1 – )

Transformada de Laplace

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