Teoría Electromagnética

Densidad de flujo eléctrico y ley de Gauss

Presentado por:

Juan David Jimenez Mulford

Profesora:

Melissa Acosta

Universidad de la costa

Barranquilla - Atlántico

Grupo: AD

Septiembre del 2015

1. Densidad de flujo eléctrico

Hay una magnitud física que relaciona el campo eléctrico con la constante dieléctrica. Se sabe que la capacidad se expresa de las siguientes maneras.

C = Q/V o C = εa/d

Igualando...

Q = εV a/d

Y como se sabe que el campo eléctrico:

E = V/d, entonces: Q = εEa y Q/a = Εe

La magnitud εE tiene el nombre de: Densidad de flujo eléctrico o desplazamiento eléctrico y se representa por la letra D (vector de desplazamiento eléctrico).

Se dice que la densidad de flujo eléctrico es el número de líneas de fuerza por metro cuadrado de superficie. D = Q/a = εE (coulombios/m2)

De la fórmula se observa que el producto D x “a” (a = área perpendicular a las líneas de fuerza) da el valor de la carga Q que crea el campo.

El producto "D x a" se llama flujo eléctrico y es la una magnitud importante en la teoría electromagnética.

2. Ejemplo 1

Dos láminas infinitas no conductoras, con carga uniforme están enfrentadas

paralelamente. La de la izquierda tiene una densidad de carga superficial   y l. a

de la derecha . Halle el campo eléctrico en todas las regiones, para la siguiente configuración:

Solución

El campo eléctrico producido por una lámina infinita está dado por:

Normal a la superficie

El campo resultante se obtiene por la superposición de los campos generados por cada lámina.

 

 

 

Centro:

Derecha:

Ejemplo 2

Una esfera de radio R y carga uniforme por unidad de volumen, tiene una cavidad esférica. El centro de la cavidad esta desplazada respecto al centro de la esfera por una distancia a. Demuestre que el campo eléctrico en la cavidad es uniforme y viene dada por:

Siendo al vector posición que apunta desde el centro de la esfera al centro de la cavidad.

Solución

Supongamos que la cavidad es una esfera de signo negativo. Por lo tanto el campo total en un punto situado dentro de la cavidad es la superposición del campo creado por la esfera de radio R y por la esfera de radio b que es la cavidad.

Del problema 5, tenemos que el campo E en el punto p debido a la esfera de radio R, es:

Y el campo E’ creado por la cavidad en el mismo punto es:

Por el principio de súper posición

Así:

Desarrollando:

3. Ley de Gauss

El flujo eléctrico total fuera de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada, dividida por la permitividad.

El flujo eléctrico a través de un área, se define como el eléctrico multiplicado por el área de la superficie proyectada sobre un plano perpendicular al campo. La ley de Gauss es una ley general, que se aplica a cualquier superficie cerrada. Es una herramienta importante puesto que nos permita la evaluación de la cantidad de carga encerrada, por medio de una cartografía del campo sobre una superficie exterior a la distribución de las cargas. Para geometrías con suficiente simetría, se simplifica el cálculo del campo eléctrico.

Otra forma de visualizar esto es considerar una sonda de área A, que puede medir el campo eléctrico perpendicular a esa área. Si se escoge cualquier trozo de superficie cerrada y realizamos sobre esa superficie la medida del campo perpendicular, al multiplicarlo por su área, obtendremos una medida de la carga eléctrica neta dentro de esa superficie, sin importar como está configurada esa carga interna.

4. Ejemplos ley de Gauss

- Ejemplo de densidad de carga lineal

La geometría es similar a la del caso anterior. La diferencia es que ahora la densidad de carga no es uniforme. Se anula en el punto medio del hilo y es positiva en la parte superior y negativa en la inferior, alcanzando un máximo en valor absoluto en los extremos. Para un elemento de línea dx la carga es

dq = λ(x)dx = Axdx

En este caso la carga total es:

La carga total es cero. Como puede verse en el dibujo, la distribución de carga es simétrica respecto al punto medio, positiva por arriba y negativa por abajo, de modo que la carga neta se anula.

Este problema muestra como dar la carga total de un objeto no proporciona toda la información de la distribución de carga que tiene. Así, este hilo tiene carga total cero, pero va a producir un campo eléctrico, pues hay separación de cargas positivas y negativas en él.

- Ejemplo de densidad de carga superficial

Si despreciamos el grosor del disco, podemos considerarlo una superficie, por lo que son necesarias dos coordenadas para especificar un punto. Nos dicen que el disco tiene una densidad superficial de carga uniforme σ0. Si consideramos un elemento de superficie dS, la carga de dicho elemento es

- dq = σ0dS

La carga total del disco se obtiene sumando la carga de todos los elementos de superficie que podemos considerar en él, es decir

-

Al ser la densidad de carga uniforme puede salir de la integral. Entonces la integral es la suma de las áreas de todos los elementos de superficie del disco, es decir, el área total del disco.

Si la densidad de carga no fuese uniforme habría que hacer la integral correspondiente. Para ello podrían usarse las coordenadas cartesianas x e y, aunque en este caso suele ser más cómodo usar las coordenadas

polares r y φ. La elección del sistema de coordenadas depende de cómo se especifique la densidad de carga σ.

- Ejemplo de densidad de carga volumétrico

En este caso la distribución de carga es un volumen, es decir, se necesitan tres coordenadas para especificar cada uno de sus puntos. Estas pueden ser las coordenadas cartesianas, una vez que hemos escogido un sistema de ejes como se indica en la figura. Sin embargo, cuando se trata con esferas, a menudo es mejor utilizar las coordenadas esféricas r, θ y φ. r es la distancia del punto al origen, θ es el ángulo que forma con el eje Z la línea que une el origen con el punto y φ es el ángulo que forma con el eje X la proyección de esa línea sobre el plano XY.En este caso la densidad de carga es uniforme, por lo que no será necesario utilizar estas coordenadas. Para un elemento de volumen dV como el de la figura, la carga eléctrica es

dq = ρ0dV

La carga en toda la esfera es la suma de la carga de todos los posibles elementos de volumen en su interior, esto es

5. Bibliografía

- http://www.unicrom.com/ Tut_densidad_flujo_electrico_densidad_corriente.asp

- http://www.av.anz.udo.edu.ve/file.php/1/ElecMag/Capitulo%20III/ problemasGauss.html

- http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/gaulaw.html - http://laplace.us.es/wiki/index.php/Ejemplos_de_densidades_de_carga