UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO FACULTAD DE INGENIERA CIVILCURSO:FISICA IIIFLUJO ELECTRICO Y LA LEY DE GAUSSAUTOR:Mag. Optaciano L. VsquezGarcaHUARAZ- PER2010I. INTRODUCCINPara realizar una tarea existe dos formas: (a) fcil y (b) difcil. La manera fcil consiste en utilizar las herramientas apropiadas. En fsica una herramienta importante para simplificar la solucin deproblemas es el uso de las propiedades de simetra de los sistemas. Muchos sistemas fsicos tienen simetra , por ejemplo un cilindro no seve diferente despus de hacerlo girar en torno a su eje, una esferacargada se ve idntica al hacerle girar en torno a cualquier eje. La ley de Gauss nos ayuda a simplificar los clculos de camposelctricos si se usa adecuadamente la simetra. Por ejemplo el calculodel campo de distribuciones lineales, cilndricas, esfricas mediante eluso de la Ley de Gauss se simplifica enormemente. De hecho dicha ley establece una relacin entre las cargas elctricas yel campo elctrico.II. CARGA Y FLUJO ELECTRICO Enel captuloanterior sedeterminel campoelctricocuando se conoca la distribucin de carga. Ahora se puede plantear la situacin inversa: Si seconoce la disposicin del campo elctrico en una reginQu se puede saber acerca de la distribucin de cargaen dicha regin.CARGA Y FLUJO ELECTRICO_2 Para conocer elcontenido de la caja,es necesario medirE slo en lasuperficie de la cajaCARGA Y FLUJO ELECTRICO_3En la figura (a) la caja est vaca entonces E = 0, en la fig. (b)hay una carga positiva y otra negativa es decir la carga netaen la caja es nulo sin embargo no existe flujo neto; en la fig.(c) la caja est vaca sin embargo existe carga fuera de lacaja.III. FLUJO ELECTRICO La figura muestra un flujo uniforme de un fluido deizquierda a derecha. El flujo volumtrico en metroscbicos por segundo a travs del rea perpendicular delalambre esdVAdtu =FLUJO ELECTRICO_2 Al inclinar el rectngulo un ngulo de modo que sucara no sea perpendicular a la velocidad entonces elflujo volumtrico escosdVAdtu | =dVAdtu =FLUJO ELECTRICO_3En forma anloga al flujo de fluidos podemos definir el flujoelctrico E a partir de una de las propiedades de las lneas defuerza el nmero de lneas Npor unidad de reaperpendicular que pasa a travs del rea unitaria perpendicularA es numricamente igual a la intensidad de campo elctricoE. Es decir# de lneas NEA Ao =3.1 Flujo de un campo uniforme a travs de una superficie plana Definimos al flujo elctrico(E), que atraviesa unasuperficieperpendicular alcampo como el productodelamagnituddel campoelctrico E y el rea Aperpendicularal campodela superficie atravesadapor las lneas de fuerza Es decir elflujo no es massino el nmero de lneasde fuerza que atraviesauna determinada superficieEEAu =3.2Flujo a travs de un rea paralela al campo elctrico Si las lneas de fuerza son paralelas entoncesel flujo es nulo. Es decir0Eu =3.3 Flujo elctrico a travs de una superficie inclinada Si el rea se encuentrainclinada respecto alcampo entonces el flujoelctrico sercosEEA EA uu = =. .EE A E nA u = =3.3Flujo elctrico en general_1Si la superficie no es plana y el campo es no uniforme, paraevaluar el flujo, se divide a la superficie en elementos de rea, i i iA An A = A3.3Flujo elctrico en general_1 El flujo elctrico a travs de cada elemento de rea es El flujo neto ser, , cos . .E i i i i i i i iE A E n A En A u Au = A = = A( ) . .limiE i i iA oSEn A E ndAAu = A =}}EA d3.3Flujo elctrico en general_2 Si la superficie es cerradalos vectores unitarios ycomo tal el rea tienedistintas direcciones. En este caso el flujo puedeser positivo, negativo o nulo El flujo neto ser( ) . .limiE i i iA osEn A E ndAAu = A =}}3.3Flujo elctrico en general_3Cuando una lnea ingresa a la superficie el flujo esnegativoCuando una lnea sale de la superficie el flujo es positivoEJEMPLO 01 En forma cualitativaindique el tipo de flujo enlas grficas mostradasEjemplo 02Una hoja plana de papel con un rea de 0,250 m2, estorientada de tal modo que la normal a la hoja forma unngulo de 60 con un campo elctrico uniforme cuyamagnitud es de 14 N/C. (a) Determine la magnitud del flujoelctrico a travs de la hoja, (b) Depende su respuesta alinciso (a) de la forma de la hoja? Porqu?. (c) Con qungulo entre la normal a la hoja y el campo elctrico es lamagnitud del flujo a travs de la hoja i) mximo, ii) mnimo?Ejemplo 03Considere una caja triangular cerrada en elinterior de un campo elctrico horizontal demagnitud E = 7,8.104N/C como se muestra en lafigura. Determine el flujo elctrico a travs de: (a)lasuperficierectangularvertical, (b)lasuperficieinclinada y (c) la superficie completa del cuboEjemplo 04Un cubo de arista lest ubicado en un campoelctrico E como se muestra en la figura. Halle el flujoa travs de cuboEjemplo 05Un cubo se encuentra en el interior de un campomagntico dado por la ecuacin.Encuentre el flujo elctrico a travs de: (a) la cara derecha,(b) la cara izquierda, (c) a travs del cubo (3 4 ) / E xi j NC = +Ejemplo 06El cilindro se encuentra en un campo horizontal. Cules el flujo: (a) a travs de la base, (b) a travs de la tapay (c) a travs de la superficie lateral y (d) neto-Ejemplo 07 Un cono con una base de radio R y altura H se colocaen una mesa. Si existe un campo elctrico verticalcomo se muestra en la figura. Determine elflujoelctrico: (a) a travs de la base y (b) a travs de lasuperficie lateral.Ejemplo 08 Calcular el flujoelctricototal atravsdelasuperficiedel paraboloidedebidoauncampoelctrico horizontal uniforme de magnitud Eodirigido como se muestra en la figuraEjemplo 09 Una carga puntual Q se localiza justo por encima delcentro de la cara plana de un hemisferio de radio R, comose muestra en la figura. Determine el flujo elctrico quepasa: (a) a travs de la superficie curva y (b) a travs dela cara plana.Ejemplo 10 Una carga puntual Q est localizada en el centro de uncilindro corto. El dimetro del cilindro es igual a sulongitud L. Cul es el flujo total a travs de la superficielateral del cilindro?.Ejemplo 11Una carga puntualpositiva q = 3 C esencerrada por unacscara esfrica deradio r = 0,20 mcentrada en la carga.Encontrar el flujoelctrico a travs de laesfera debido a estacargaEjemplo 12a) Determinar el flujo elctrico a travs de una superficiecuadrada de lado 2l debido a una carga +Q localizada a unadistancia perpendicular desde el centro del plano como semuestra en la figura.b) Utilizando el resultado obtenido en la parte (a), si la cargaes +Q es ahora localizada en el centro del cubo como semuestra en la figura. Cul es flujo total emergente delcubo?Ejemplo 13Una carga puntual Q , est a una distancia d de unasuperficie circular S de radio R = 3 cm como se muestraen la figura. Determine el flujo del vector a travs de SEjemplo : solucin El flujo diferencial debido a +q es El flujo total ser ( )( ) ( )( )( )202 20 03/ 2 32 200. .4cos 24 4( )22E rEQd E dA e ndArQ Q ddA adar r rQd Qdadad adara dtcu ttc tccc| |u= = |\ .| |= = |\ .u= =+r rr r2 2 3/ 22 2 00 002 2012 ( ) 212RREaEQd ada Qda da dQ dR dc cc=u = = ++ (u = (+ }Ejemplo 14La intensidad de campo elctricoen una regin del espacio estdado por.Determine: (a) el flujo elctricoque emana del cubo, (b) la carganeta contenida en el cubo de 1 mde lado.SolucinEjemplo 15Un campo elctrico vale para E = 200 i N/C para x > 0 y , E =-200 i N/C para x < 0. Un cilindro circular recto de 20 cm delongitud y 5 cm de radio tiene su centro en el origen y su ejeest a lo largo del eje x de modo que una de las caras est enx = +10 cm y la otra x = -10 cm. (a) Cul es el flujo salienteque atraviesa cada cara?. (b) Cul es el flujo a travs de lasuperficie lateral del cilindro?. (c) Cul es el flujo neto queatraviesa toda la superficie cilndrica?.SolucinIV. Ley de GaussFlujo que emana de una carga puntualConsideremos una carga +q en elcentro de unasuperficie gaussiana esfrica como se muestra en la fig.IV. Ley de GaussFlujo que emana de una carga puntualEl flujo a travs de dA esEl flujo neto ser. .Ed E dA E ndA u = =222 . .1 .E rS SE rSESkqE ndA e ndARkq e ndARkqdARu= =u=u=}} }}}}}}( )224 4EkqR kqRt t| |u = = |\ .0Eqcu =IV. Ley de Gauss: Cargas puntuales0Eqcu =IV. Ley de GaussFlujo que emana de una carga puntualEl resultado obtenido es independientedel radio.Este resultado puede interpretarsetambin en trminos de las lneas defuerza. La figura muestra dossuperficies esfricas concntricas deradios R y 2R, respectivamentecentradas en la carga puntual q. Cadalnea de flujo que atraviesa la superficiepequea tambin atraviesa la superficiegrande, por lo que el flujo neto a travsde cada superficie es el mismo.IV. Ley de GaussFlujo que emana de una carga puntual (superficie irregular)Consideremos una carga +q en elinteriorde unasuperficie arbitraria.IV. Ley de GaussFlujo que emana de una carga puntual (superficie irregular)Se divide a la superficie enelementos de rea dA a unadistancia r de q. El flujo ser El flujo neto ser. .Ed E dA E ndA u = =22.cosE rEkqd e ndArdAd kqruu=u=r2cosE ESdAd kqruu = u =} }}IV. Ley de Gauss:Angulo slido De la definicin de ngulo slido d,subtendido por elemento desuperficie visto desde la carga(vase la figura), se tiene Al remplazar en la ecuacin anteriorse tiene Pero el ngulo slido es 4stereoradianes2 2. cosre ndA dAdr ruO = =rESkq d kq u = O = O}}( )0 044Eq qttc cu = =IV. Ley de Gauss:Carga fuera de la superficieSi la carga est fuera de la superficie como se muestra, laley de Gauss se expresa en la forma.0ESEE ndA u =u =}}rIV. Ley de Gauss:Cargas fuera e interiores a la superficie gaussianaSi existen un conjunto N decargas interiores a lasuperficie y un conjunto decargas externas N. La ley deGauss se expresa en la forma( )1 2010.1......1ESE NNE iiE ndAq q qqcc=u=u= + + +u=}}rr0encEQcu =IV. Ley de Gauss:Distribuciones de cargas en el interior de la superficie gaussianaSi la carga que se encuentra en elinterior es una distribucin lineal,superficial o volumtrica, la ley deGauss se escribe0.1.ESSE ndAE ndA dqcu==}}}} }rrIV. Ley de Gauss: ConclusinDada una distribucin de carga, discreta o contnua, elflujo elctrico total producido por la carga y que va atravs de cualquier superficie gaussiana cerrada S, estrelacionada con la carga total dentro de la superficie porla ecuacinDonde , E es el campo elctrico producido por todas lascargas, las interiores y las exteriores, y Qenc, es la cargatotal contenida en la superficie gaussiana.0.encSQE ndAc=}}rV. Aplicaciones de la Ley de Gauss: V. Aplicaciones de la Ley de Gauss_0Considere una partcula, una efedra metlica, un cascarn metlicoesfrico, y un cubo plstico, todos ellos poseen cargas idnticas Q.Cada una de ellas esta rodeada por superficies gaussianas esfricasidnticas.Las lneas de flujo a travs de la superficie gaussiana:1. Es el mismo para las cuatro distribuciones2. Es mucho mayor para el cascarn3. Es mucho mayor para el cubo4. Depende de cmo es la distribucin de carga en el cubo5. Otra.EJEMPLO 02 Calcular el flujo elctrico a travs de cada una delas superficies mostradas en la figuraEjemplo 03Ejemplo 03Encuentre el flujo neto a travs de cada una de las superficies cerradas.+-S1S2S3Ejemplo 07Unacargapuntual Q=5 Cselocalizaenelcentro de un cubo dearista L = 0,1m.Adems simtricamentealrededor de Q como semuestra en la figura,existen otras seiscargas puntuales q= -1C. Determineel flujoelctrico a travs deuna de las caras delcubo.V. Aplicaciones de la Ley de Gauss_1 5.1 Campo elctrico E de una distribucin decarga lineal.Un alambre delgado infinito transporta una cargadistribuida uniformemente a lo largo de su longitudcon una carga por unidad de longitud . Determineel campo elctrico en un punto situado aunadistancia r perpendicular al alambre.Solucin del problema de la barra cargada En la figura se muestra el alambre y la superficiegaussianaescogida. As mismosemuestralaslneasde campoSolucin Problema de la barra cargadaEl flujo elctrico a travs de la superficie gaussiana cilndrica esAplicando la ley de Gauss se tiene1 2 31 1 2 2 3 3. . . .ES S S SE ndA En dA En dA En dA u = = + +}} }} }} }}r r r rr r r r( ) ( )1 2 31 20 0sup,cos90 cos902o oES S SE latE dA E dA E dAE A E rl tu = + +u = =}} }} }}14444442 4444443 14444442 4444443( )0 02enc encEQ QE rl tc cu = =( )0 00222rlE rl ErE er tc tctc= ==rrV. Aplicaciones de la Ley de Gauss_2 5.2 Campo elctrico E de una distribucin decarga laminar.Una lmina plana delgada e infinita transporta una cargadistribuida uniformemente a lo largo su superficie con unacarga por unidad de rea . Determine el campo elctrico Ecreado por la lmina en un punto situado a una distancia zperpendicular a la superficie.Solucin del problema del plano cargado El flujo elctrico a travs de la superficie es1 2 31 1 2 2 3 3. . . .ES S S SE ndA En dA En dA En dA u = = + +}} }} }} }}r r r rr r r r1 2 30 01 2 301 2 1 2cos 0 cos 0 cos900 ( )oES S SEE dA E dA E dAE A EA E E Au = + +u = + + = +}} }} }}14444442 4444443Solucin del problema del plano cargadoAplicando la ley de Gauss, tenemos0 0022encE zzQ AEAEoc cocu = ==00para02para02zk zEk zococ>= rr rrrr r rr rRRRE e er rE e r Rr,Continuacin solucin problema de la cascara cilndricab)Campo E para puntos interioresAplicando la ley de Gauss tenemos1 2 31 1 2 2 3 3. . . .ES S S SE ndA En dA En dA En dA u = = + +}} }} }} }}r r r rr r r r( ) ( )1 2 31 20 0sup,cos90 cos902tu = + +u = =}} }} }}14444442 4444443 14444442 4444443o oES S SE latE dA E dA E dAE A E rL( )0 02tc cu = =enc encEQ QE rL,( )0020tc==rrr rE rLE eV. Aplicaciones de la Ley de Gauss_45.4 Campo elctrico Ede un cilindro slidocargado.Un cilindro no conductorde radio R y longitud muygrande que posee unadensidad de cargavolumtricauniformeseencuentra ubicada talcomo se muestra en lafigura. Determine el campoelctrico en puntosexteriores e interiores a ladistribucina) Campo para puntos exterioresb) Campo para puntos interioressolucina. Campo en puntos exteriores. En la figura se muestra ladistribucin de carga y la superficie gaussiana.El flujo elctrico ser1 21 1 2 2 3 33. . . .ES S S SE ndA En dA En dA En dA u = = + +}} }} }} }}r r r rr r r r1 2 31 20 0sup,cos90 cos90( ) (2 )o oES S SE latE dA E dA E dAEA E rL tu = + +u = =}} }} }}14444442 4444443 14444442 4444443solucinAplicando la ley de Gauss0 0(2 )enc encEQ QE rL tc cu = =2 20 020( )(2 )22rRL RE rL ErRE er t tc cc= ==rr2220 002 2 para 2r r rr rRRRE e er rE e r Rrtc ctc| | |\ .= == >rr rrrSolucin ..contb) Campo para puntos interiores: En la figura se muestra ladistribucin y su superficie gaussianaAplicando la ley de GaussExpresando la densidad de carga volumtrica en funcin de ladensidad lineal se tiene0 0(2 )enc encEQ QE rL tc cu = =20 00( )(2 )2 para 2r rrLE rL E rE re r R t tc cc= == }}}}rrrrGrafica Campo E distancia rEjemplo Se tiene una lnea cargada delongitud L y densidad decarga uniforme , ubicada a lolargo del eje z con susextremos en z = z0 y en z = z0+ L. Determine la fuerza sobreesta lnea debida a una esferade radio R (R < z0) que llevauna distribucin uniforme decarga VIII. CONDUCTORES_01 Todo conductor se encuentra formando un arreglo atmicocomo se muestra en la figuraVIII. CONDUCTORES_01 CONDUCTORES_01VIII. CONDUCTORES_1 Si colocamos un conductoresfrico en un campo externo E0,las cargas positivas y negativasse mueven hacia las regionespolares Estas cargas inducen un campoelctrico E en direccin opuestaal campo original. Debido a que el conductor tienecargas mviles, stas semovern hasta que E cancele aE0. En el equilibrio electrosttico elcampo E puede desaparecerEn exterior alconductor elcampoelctrico debido a las cargasinducidas corresponden a undipolo elctrico y el campoelctrico total es simplementeE = E0 + E1. Campo elctrico en el interior de conductoresVIII: Conductores_2Si hubieseunacarganeta dentro delconductor slido,entonces por la ley deGauss, E no ser ceroall. Por lotanto, todoel exceso de cargadebe fluir hacia lasuperficie delconductor como semuestra en la figura.2. Cualquier carga neta puede residir enla superficie del conductor.VIII: Conductores_22. Cualquier carga neta puede residir en la superficie del conductor.VIII: Conductores_33. La componente tangencial del Campo en la superficie es cero.Consideremoslaintegral delnea alrededor de unatrayectoria cerrada mostradaen la figura.Debido a que el campoelctrico, es conservativo, laintegral delneaalrededordela trayectoria cerrada abcddesaparece, es decirSe concluye que.abcdE ds}rr( ) ( ) ( ) ( ). ' 0 0t n nabcdE ds E l E x l E x = A A + A+ A =}rr0 sobre la superficie del conductortE =Campo elctrico en la cercana de un conductor Aplicandola ley deGauss setiene02 2 2 2 3 30 ,1 ,2 .2 20 ,10 ,10. . .. 0 0cos 0 0 0encEenctapa base S latenctapaoenctapaQQEn dA En dA En dAQEn dAQE dAAEAccccocu=+ + =+ + =+ + ==}} }} }}}}}}r r rr r rrr0nAE eoc=rrEjemploEjemplo. Conductor con una carga puntual en el interior de una cavidad.Considere al conductor hueco mostrado en lafigura, el cual lleva una carga neta +Q.adicionalmente, existeunacargapuntual +qdentro de la cavidad. Cules la carga en lasuperficie interna y externa al conductor?.Ejemplo. Conductor con una carga puntual en el interior de una cavidad.El conductor mostrado en seccin transversal llevauna carga total de +3 nC. La carga puntual aisladadel conductor que se encuentra en el centro tieneunacargade-5nC. Determinelacantidaddecarga en las superficies externa e interna alconductorEjemplo. Conductor con una carga puntual en el interior de una cavidad.La figura muestra un cascarn conductor esfrico de radiointerior R. Una carga puntual q se encuentra ubica a unadistancia R/2 delcentro de la cscara. Sielcascarn eselctricamenteneutro. Culessonlascargassobrelassuperficies externa e interna delcascarn?. Estn estascargas distribuidas uniformemente?. Cul es el patrn decampo dentro y fuerza del cascarn?.EJEMPLO. Dos lminas infinitas de carga, conductoras, seencuentran paralelas entre s. Como se observa en lafigura. La lmina de la izquierda tiene una densidadde carga superficialuniforme +o y la derecha tieneunadensidaddecargasuperficial -o. Determineelcampo elctrico entre las placasPlacas planas conductorasEJEMPLO. La figuramuestrala seccin transversal de treslminas no conductoras infinitamente grandessobre las cuales ha sido distribuidouniformemente carga. Las densidades de cargasson o1 =+2C/m2 ; o2 =+4C/m2y o3 =-5C/m2y la distancia L = 1,5 cm . Determine la expresinvectorial del campo elctrico en el punto P.EjemploUna esfera de radio R es rodeado porun cascarn conductoresfrico deradio interno 2R y radio externo 3R,como se muestra en la figura.Laesfera interna es de un materialaislante y tiene una carga neta +Qdistribuida uniformemente a travs desu volumen. El cascarn esfrico tieneuna carga neta +q. Use la ley deGauss y determine el campo elctricoen las siguientes regiones. (a) 0 < r 3 R; (e) determine la densidad decarga superficial sobre las superficiesinterna y externa del cascarnEjemploLafiguramuestraunaporcindeuncableconcntricolargoenseccintransversal. El conductor internoposeeuna carga 6 nC/m; el conductor exterior est descargado.(a) Determine el campo elctrico para todos los valores der, donde r es la distancia desde el eje del sistema cilndrico.(b) Cules son las densidades superficiales de cargasobre las superficies interior y exterior del conductorexterno?.Ejemplo Ejemplo Una corteza esfrica deradio R = 3 m tiene sucentro en el origen y esportadora de una cargacuya densidad superficiales = 3 nC/m2.Unacarga puntual q = 250 nCse encuentra sobre el ejey en y = 2 m. Determineel campo elctrico sobreel eje x en (a) x = 2 m y(b) en x =4 mEjemplo: Campo elctrico en la cercana de una placa plana conductora Considere una superficiegaussiana en forma depldora (cilindro). EnlacercanaexternaEesperpendicular a la superficie En el interior E es nuloPor tanto0 0q AEAoc c= =0Eoc=Campo entre dos placas conductorasCampo Dentro de un conductor huecoEjemplo EjemploUna esfera slida noconductora de radio a con sucentro en el origen tiene unacavidad de radio b con sucentro en el punto como semuestra en la figura. La esferatiene una densidad de cargavolumtrica uniforme .Determine la intensidad decampo elctrico en cualquierpunto interior a la cavidad.Solucin El campo resultante dentro de lacavidad es la superposicin dedos campos, uno E+ , debido a laesfera de radio a consideradacompacta con densidad de cargapositiva uniforme y el otro campoE-, debido a la esfera de radio bconsiderada con densidad decarga negativa uniforme -. Portanto. El campo E+ se obtiene tomandola superficie gaussiana mostrada yaplicando la ley de Gauss0,0 200,2 300.cos 0 44(4 )33encSGrSGrE ndA QE dA dV rdrE r rE recc tc t tc== =| |= |\ .=}}}} } }rrrr0 003 33rrE re rrE r c cc| |= = |\ .=rrrrrSolucin El campo E_ se obtiene tomandola superficie gaussiana mostrada yaplicando la ley de Gauss Aplicando el principio desuperposicin tenemos El campo resultante es0,0 200,2 300.cos180 44(4 )33encSGrSGrE ndA QE dA dV rdrE r rE recc tc t tc== = | | = |\ .= }}}} } }rrrr10 0103 33rrE re rrE r c cc| |= = |\ .=rrrrr10 03 3E E E r r c c+ = + = r r rr r00 0( )33 3E r rE b bic c c= = =rr rr r rProblema ejemplo NUna esfera slida no conductorade radio R posee una densidadde carga proporcional a ladistanciadesdeel centrodadapor = Ar para r < R, donde Aes una constante. (a) Encuentrela carga total sobre la esfera, (b)Encuentrelaexpresinparaelcampo elctrico dentro de laesfera (r < R) y fuera de laesfera (r > R) y (c) represente lamagnitud del campo elctricocomo una funcin de ladistancia r.SolucinParte (a)( )( )2344dQ dV Ar rdrdQ Ardr tt= ==30404444RRQ dQ A rdrrQ AQ ARttt= =| |= |\ .=} }SolucinContinua( )( )1102 21 100 02 31 10021 10.1 1(4 ) 44encSrrrQE ndAE r dV Ar rdrAE r rdrAE rct tc ccc== ===}}} }}rr( )( )02 22 200 02 32 2004220 2.1 1(4 ) 4para 4encSRrRQE ndAE r dV Ar rdrAE r rdrARE r Rrct tc ccc== === >}}} }}rrEjemplo Un sistema se compone de una bola de radio R, cuyacarga tiene simetra esfrica Q, y el medio circundantecon densidad volumtrica de carga = A/r , donde A esuna constante y r, la distancia desde el centro de la bola.Determine la carga de esta ltima que asegure que elmdulo del vector de intensidad de campo elctricofuera de ella no dependa de r. Cul es esta intensidadde campo?. Las constantes dielctricas de la bola y delmedio circundante se suponen iguales a la unidad.SolucinEn la figura se muestra laesfera y el mediocircundante Debido a que la esfera est en elinterior del medio, escogemos unasuperficie gaussiana de formaesfrica de radio r > R, que rodeaa la esfera, como se muestra en lafigura y aplicamos la ley de Gauss.Solucin Aplicando la ley de gauss setiene Integrando y simplificandotenemos La condicin del problema exige El campo elctrico ser( )0,2 20.4 (4 )encSGrRE ndA QArE Q dV Q rdrrcc t t= ( (= + = + ( }}} }rr22 2 202 220(4 ) 4 2 ( )212 ( )4rRrrE Q A Q A r RE Q A r Rrc t t tttc (| | (( = + = + | (\ . ( = + 2 2 2 22 20 02 22 2 22( ) ( )1 12 ( ) 2 ( )4 42 ( )2ER ErQ A R R Q A r RR rQ Q A r RR r rQ ARt ttc tctt= (( + = + = +=2 2202 2 220012 ( )412 2 ( )42rE Q A r RrE AR A r RrAE ettct ttcc ( = + ( = + =rrEjemploUnaplacaplanamuy grandedeespesordesuniformementecargadaconunadensidaddecarga volumtrica . Encuentre la intensidad decampo elctrico para todos los puntoEjemploSolucinParte (a) E para puntointernos. Aplicando la ley de Gauss1 2 30 ,1 2 300.. . .0enSGenS S ScilQE ndAQE n dA E n dA E n dAVEA EAccc=+ + =+ + =}}}} }} }}rrr r rr r r220 0( (2 ))2 ( )R xE R E xi t tc c= =r r00para0para0E xi xE xi xcc= >= =