NOMBRE: JAIRO HERNANDEZ GUTIERREZ CARRERA: ING. CIVIL CATEDRATICO: OSCAR GARIZURIETA CASTILLO SEMESTRE: 2 1.1 Conjuntos, sus operaciones, leyes y su representacin. DEFINICIN Y NOTACIN DE CONJUNTOS El trmino conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemticas modernas; Adems de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teora de la probabilidad. Su origen se debe al matemtico alemn George Cantor (1845 1918). Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una coleccin o listado de objetos con caractersticas bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado. Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente: La coleccin de elementos debe estar bien definida. Ningn elemento del conjunto se debe contar ms de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contar slo una vez. El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia. NOTACIN A los conjuntos se les representa con letras maysculas A, B, C, ... y a los elementos con letras minsculas a, b, c, ..., por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los nmeros en el lanzamiento de un dado. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntosfinitos e infinitos. FINITOS: Tienen un nmero conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por sulongitud o cantidad. El conjunto de das de la semana INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud. El conjunto de los nmeros reales Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la seleccin de una forma particular d eexpresin depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo: EXTENSIN: Cuando se describe a cada uno de los elementos. A = {a, e, i, o, u} Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el smbolo de pertenencia o eselemento de, con el smbolo , en caso contrario . A = {1, 2, 3} 2A; 5A TIPOS DE CONJUNTOS CONJUNTO VACI O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por o { }. A = {x2 + 1 = 0 | xR} El conjunto A, es un conjunto vaco por que no hay ningn nmero real que satisfaga a x2+1 = 0 CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una poblacin o universo, en un problema en especial. No es nico, depende de la situacin, denotado por U o. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS IGUALDAD DE CONJUNTOS Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A tambin pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece tambin a A. A = B SUBCONJUNTO Si todo elemento de un conjunto A es tambin elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Representado por el smbolo . AB o BA SUBCONJUNTOS PROPIOS Se dice que es un subconjunto propio de A s todos los elementos de un conjunto B se encuentran incluidos en l A, denotado por . AB o BA La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto esfinito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendr 2n subconjuntos. A = {1, 2 } El total de subconjuntos es: 22 = 4 {1,2}, {1}, {2}, { } CONJUNTOS DISJUNTOS Son aquellos que no tienen elementos en comn, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos. F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} G = {a, b, c, d, e, f} PARTICIN Cuando un conjunto es dividido en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos, se ledenomina particin. *OPERACIONES DE CONJUNTOS -Unin. -Interseccin. -Diferencia. -Complemento. -Producto cartesiano. UNIN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. Launin de A y B, expresada por AB, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B. AB = {x | xA o xB} DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La diferencia o complemento relativo de B con respecto a A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B. A - B = {x | xA, xB} Nota: A - BB - A COMPLEMENTO ABSOLUTO O SIMPLEMENTE COMPLEMENTO. Sea A un subconjunto cualesquiera del conjunto universal. El complemento de A es el conjunto de elementos queperteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto A, denotado por A o Ac. A = {x | xU, xA} Nota: A = U - A PRODUCTO CARTESIANO. Sean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o producto cartesiano expresado por A x B est formado por las parejas ordenadas (a, b) donde aA y bB. A x B = {(a, b) | a A y bB} LEYES DE CONJUNTOS DE IDEMPOTENCIA *AA = A AA = A ASOCIATIVA *(A B) C = A (B C ) *(A B) C = A (B C) CONMUTATIVA -A B = B A A B = B A DISTRIBUTIVA -A (BC) = (A B) (A C) -A (B C) = (A B) (A C) DE IDENTIDAD *A U = U A U = A *A = AA= DE INVOLUCIN -(A) = A * DE COMPLEMENTO A A = UAA = U= = U 1.2INTRODUCCIN A LA PROBABILIDAD Elconceptodeprobabilidadnaceconeldeseodelhombredeconocercon certezaloseventosfuturos.Esporelloqueelestudiodeprobabilidades surgecomounaherramientautilizadaporlosnoblesparaganarenlos juegosypasatiemposdelapoca.Eldesarrollodeestasherramientasfue asignado a los matemticos de la corte. Coneltiempoestastcnicasmatemticasseperfeccionaronyencontraron otrosusosmuydiferentesparalaquefueroncreadas.Actualmentese contino con el estudio de nuevas metodologas que permitan maximizar el usodelacomputacinenelestudiodelasprobabilidadesdisminuyendo, de este modo, los mrgenes de error en los clculos. A travs de la historia se han desarrollado tres enfoques conceptuales diferentes para definir la probabilidad y determinar los valores de probabilidad

El enfoque clsico Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es: El enfoque clsico de la probabilidad se basa en la suposicin de que cada resultado sea igualmente posible. 1.2.1PROBABILIDAD DE EVENTOS ALEATORIOS Un evento aleatorio se define como un fenmeno que en la realizacin experimentalsu observacinocurreo no ocurre. Por ejemplo, la posicin de la molcula A en un determinado instante se encuentre dentro del volumen ubicado al interior de la caja (Fig. 1.1). Si la molcula A pudiese ser fotografiada, la fotografa obtenida determinar dos posibles resultados, que se encuentre al interior de , en cuyo caso consideramos que el evento ha ocurrido, o que la molcula se encuentre fuera de , entonces el evento no ha ocurrido. Un experimento que determina la observacin de un evento aleatorio es llamado una prueba. Habitualmente, se entiende por probabilidad de un evento aleatorio como la razn entre el nmero de pruebas m en que el evento ha ocurrido y el nmero totalMde pruebas, de tal manera que Msea suficientemente grande. Si designamos la probabilidad de que el evento A ocurra por W(A), tenemos que W(A) = - m/M o W(A) = lim m/M M Por qu se impone el requerimiento de que el nmero de pruebas M sea suficientemente grande? Y cun grande debe ser? El hecho de que M debe ser grande es obvio conforme a la precisin para determinar el valor de la probabilidad. Supongamos que fotografiamos la molcula en la caja y paramos despus de obtener la primera fotografa mostrando a la molcula dentro de la regin . Si el nmero total de fotografas fue de 127, podra ser prematuro concluir queW(A) = 1/127. De la primera forma, fotografamos la molcula en la caja consecutivamente en diferentes instantes. No resulta difcil ver que que estos instantes deben estar separados en intervalos de tiempo suficientemente grandes. Si una serie de fotografas es tomada a una velocidadmuy alta, durante ese tiempo lamolcula no lograrmoverse a una distancia considerable; al evaluar la razn m/M sobre la base de tal serie, inevitablemente llegaremos a un resultado impropio. Los intervalos de tiempo entre fotografas deben ser, por ejemplo, de tal forma que la molcula tenga tiempo para viajar a cualquier punto de la caja. Desde el punto de vista experimental, el criterio de eleccin del intervalo de tiempo entre fotografas consiste en que en series repetidas de pruebas a intervalos ms grandes que el original deben converger al mismo valor lmite m/M. 1.2.2. DIAGRAMAS DE RBOl Un diagrama de rbol es una representacin grfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de maneras de ser llevado a cabo Ejemplos propuestos de diagrama de rbol. 1. Un mdico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a su sexo (masculino o femenino), tipos de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presin sangunea (normal, alta y baja). Mediante un diagrama de rbol indique en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este mdico. R = 24 2. Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como mximo, l empieza a jugar con un dlar, apuesta cada vez un dlar. El se va a retirar de jugar si: pierde todo su dinero, si gana tres dlares (esto si completa un total de cuatro dlares), o si completa los cinco juegos. Mediante un diagrama de rbol indique: a) Cuntas maneras hay de que se efectu el juego de este hombre? R = 11 b) Cul es la probabilidad de que pierda todo su dinero? R = 0.3636 c) Cul es la probabilidad de que gane cuatro dlares? R = 0.2727 Sea el experimento de lanzar dos dados bien balanceados al aire una sola vez, mediante la utilizacin de un diagrama de rbol, enliste todos los elementos que componen el espacio muestral de este experimento. R = 36 3. Un millonario excntrico clasifica sus autos por marca, color y polarizado y sin polarizar. Teniendo este Ferrari, Alfa Romeo, Porche, desea pintarlos en color rojo, gris, blanco, polarizarlos o no, mediante un diagrama de rbol indique en cuantas formas pueden quedar sus autos.R = 18 4. Una pareja planea tener tres hijos y desean saber la probabilidad de que los tres sean nios en tres partos, mediante un diagrama de rbol obtenga la probabilidad correspondiente.R = 0.125 Para la construccin de un diagrama en rbol se partir poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompaada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, segn las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1. EJEMPLO: 1.2.3 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES. P E R M U T A C I O N E S El nmero de permutaciones de n objetos es el nmero de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en trminos de orden. Permutaciones En n Objetos Permutaciones de n elementos tomando n a la vez es igual a: nPn = n! = (n) x (n-1) x x (2) x (1) Hay dos tipos de permutaciones: Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podra ser "333". Sin repeticin: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez. PERMUTACIONES CON REPETICIN Son las ms fciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son: n n ... (r veces) = nr (Porque hay n posibilidades para la primera eleccin, DESPUS hay n posibilidades para la segunda eleccin, y as.) Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 nmeros para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos: 10 10 ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones As que la frmula es simplemente: nr donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa) PERMUTACIONES SIN REPETICIN En este caso, se reduce el nmero de opciones en cada paso. Por ejemplo, cmo podras ordenar 16 bolas de billar? Despus de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez. As que tu primera eleccin tiene 16 posibilidades, y tu siguiente eleccin tiene 15 posibilidades, despus 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sera: C O M B I N A C I O N E S En el caso de las combinaciones, lo importante es el nmero de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden. Por lo tanto en las combinaciones se busca el nmero se subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de n objetos. 16 15 14 13 ... = 20,922,789,888,000 Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, slo 3 de ellas, as que sera solamente: 16 15 14 = 3360 Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16. Pero cmo lo escribimos matemticamente? Respuesta: usamos la "funcin factorial" La funcin factorial (smbolo: !) significa que se multiplican nmeros descendentes. Ejemplos: 4! = 4 3 2 1 = 24 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040 1! = 1 Nota: en general se est de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningn nmero d 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones. As que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones seran: 16! = 20,922,789,888,000 Pero si slo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar despus de 14. Cmo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!... 16 15 14 13 12 ... = 16 15 14 = 3360 13 12 ... Lo ves? 16! / 13! = 16 15 14 La frmula se escribe: donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa) COMBINACIONES CON REPETICIN En realidad son las ms difciles de explicar, as que las dejamos para luego. 2. COMBINACIONES SIN REPETICIN As funciona la lotera. Los nmeros se eligen de uno en uno, y si tienes los nmeros de la suerte (da igual el orden) entonces has ganado! La manera ms fcil de explicarlo es: imaginemos que el orden s importa (permutaciones),despus lo cambiamos para que el orden no importe.Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qu 3 bolas se eligieron, no el orden. Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones. Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden. Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son: El orden importa El orden no importa1 3 2 1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 As que las permutaciones son 6 veces ms posibilidades. De hecho hay una manera fcil de saber de cuntas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es: 3! = 3 2 1 = 6 (Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 3 2 1 = 24 maneras distintas, prueba t mismo!) As que slo tenemos que ajustar nuestra frmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos): EJEMPLO: 1.2.4. Espacio muestral y eventos

ElusodeconjuntosrepresentadospordiagramasdeVenn,facilitala compresin de espacio muestral y evento, ya que el espacio muestral S, se puedeequipararconelconjuntouniverso,debidoaqueScontienela totalidaddelosresultadosposiblesdeunexperimento,mientrasquelos eventosEcontienensolounconjuntoderesultadosposiblesdel experimento,mientrasquelospuntosmuestralesseequiparanconlos elementos.Vamosasuponerqueelexperimentoqueserealizaesellanzamientode un dado y queremos conocer cul es la probabilidad de que caiga un 3 o un 5? Si S contiene la totalidad de los resultados posibles, entonces S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} puesto que el dado tiene 6 caras y si buscamos la probabilidad P de que caiga 3 o 5, esto constituye un evento entonces, E = {3, 5}.ElespaciomuestralS,estrepresentadoporunrectngulo,estecontieneeventosE representadosatravsdecrculosypuntosmuestrales.DadoqueenEexistendos elementos y en S seis, la probabilidad P de que ocurra E es 2 de 6 y se obtiene al dividir el nmero de elementos en E sobre el nmero de elementos en S.EspacioMuestral.-Sellamaespaciomuestral(E)asociadoaunexperimentoaleatorio,el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} E = {c, s}.Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E = (c,c), (c,s), (s,c), (s,s). Porejemplo,cuandosetomaunacartadeunmazonormalde52cartas,una posibilidad del espacio de muestreo podra ser el nmero (del as al rey), mientras queotraposibilidadseraelpalo(diamantes,trboles,corazonesypicas).Una descripcincompletadelosresultados,sinembargo,especificaraambos valores,nmeroypalo,ysepodraconstruirunespaciodemuestreoque describiesecadacartaindividualcomoelproductocartesianodelosdos espacios de muestreo descritos. Losespaciosdemuestreoaparecendeformanaturalenunaaproximacin elementalalaprobabilidad,perosontambinimportantesenespaciosde probabilidad.Unespaciodeprobabilidad(,F,P)incorporaunespaciode muestreoderesultados,,perodefineunconjuntodesucesosdeinters,la-lgebra F, por la cul se define la medida de probabilidad P. Podemosdiferenciarentredostiposdeespaciosmuestrales:discretosy continuos. Discretos Son aquellos espacios donde el nmero de sucesos elementales es finito o infinito numerable. En la teora de probabilidades se llama espacio muestral o espacio de muestreo al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamndose a los sucesos que contengan un nico elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estara formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}. Para algunos tipos de experimento puede haber dos o ms espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podra ser el nmero (del as al rey), mientras que otra posibilidad sera el palo (diamantes, trboles, corazones y picas). Una descripcin completa de los resultados, sin embargo, especificara ambos valores, nmero y palo, y se podra construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos. Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximacin elemental a la probabilidad, pero son tambin importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, , pero define un conjunto de sucesos de inters, la -lgebra F, por la cul se define la medida de probabilidad P. Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios muestrales: discretos y continuos. Discretos Son aquellos espacios donde el nmero de sucesos elementales es finito o infinito numerable. Espacio Probabilstico discreto Es aquel cuyo espacio muestral es discreto.Podemos diferenciar varios tipos de espacio probabilstico discreto: Espacio Probabilistico Discreto Equiprobable Su espacio muestral es finito de tamao n. La probabilidad de cualquier suceso elemental E es , de aqu se deduce que para todo suceso A la probabilidad esEspacio Probabilistico Finito Su espacio muestral es discreto finito. Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen.Procesos Estocasticos Finitos Y Diagramas de rbol Un proceso estocstico es una sucesin finita de experimentos aleatorios, cada uno de ellos con un n finito de resultados posibles. Se representan con diagrama de rbol. Ejemplo Imaginemos que se lanzan una moneda y un dado La probabilidad de un camino es la multiplicacion de sus probabilidades. La probabilidad de sacar una cara y un tres ser ----> La probabilidad de un suceso cualquiera es la suma de las probabilidades de los caminos La probabilidad de sacar impar ser ----> 1.3. DEFINICIONES DE PROBABILIDAD. Definicin 1. Dado un experimento aleatorio con un espacio de n sucesos elementales , la probabilidad del suceso A, que designamos mediante P(A),es la razn entre la cantidad de casos favorables para la ocurrencia de A y la de casos posibles. En otros trminos P(A) = Na,n donde naes la cantidad de casos favorables de A. 1.3.1. DEFINICIN CLSICA. Esta definicin clsica de probabilidad fue una de las primeras que se dieron (1900) y se atribuye a Laplace; tambin se conoce con el nombre de probabilidad a priori pues, para calcularla, es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el nmero de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso. La aplicacin de la definicion clsica de probabilidad puede presentar dificultades de aplicacin cuando el espacio muestral es infinito o cuando los posibles resultados de un experimento no son equiprobables. Ej: En un proceso de fabricacin de piezas puede haber algunas defectuosas y si queremos determinar la probabilidad de que una pieza sea defectuosa no podemos utilizar la definicin clsica pues necesitaramos conocer previamente el resultado del proceso de fabricacin. Para resolver estos casos, se hace una extensin de la definicin de probabilidad, de manera que se pueda aplicar con menos restricciones, llegando as a la definicin frecuentista de probabilidad. Definicin Frecuentista de la Probabilidad La definicin frecuentista consiste en definir la probabilidad como el lmite cuando n tiende a infinito de la proporcin o frecuencia relativa del suceso. Es imposible llegar a este lmite, ya que no podemos repetir el experimiento un nmero infinito de veces, pero si podemos repetirlo muchas veces y observar como las frecuencias relativas tienden a estabilizarse. Esta definicin frecuentista de la probabilidad se llama tambin probabilidad a posteriori ya que slo podemos dar la probabilidad de un suceso despus de repetir y observar un gran nmero de veces el experimento aleatorio correspondiente. Algunos autores las llaman probabilidades tericas. Definicin Subjetiva de la Probabilidad Tanto la definicin clsica como la frecuentista se basan en las repeticiones del experimento aleatorio; pero existen muchos experimentos que no se pueden repetir bajo las mismas condiciones y por tanto no puede aplicarse la interpretacin objetiva de la probabilidad. En esos casos es necesario acudir a un punto de vista alternativo, que no dependa de las repeticiones, sino que considere la probabilidad como un concepto subjetivo que exprese el grado de creencia o confianza individual sobre la posibilidad de que el suceso ocurra. Se trata por tanto de un juicio personal o individual y es posible por tanto que, diferentes observadores tengan distintos grados de creencia sobre los posibles resultados, igualmente vlidos. Definicin Axiomtica de la Probabilidad La definicin axiomtica de la probabilidad es quizs la ms simple de todas las definiciones y la menos controvertida ya que est basada en un conjunto de axiomas que establecen los requisitos mnimos para dar una definicin de probabilidad. La ventaja de esta definicin es que permite un desarrollo riguroso y matemtico de la probabilidad. Fue introducida por A. N. Kolmogorov y aceptada por estadsticos y matemticos en general. 1.3.2. Con base en la frecuencia relativa. Los conceptos de frecuencia absoluta y relativa de un suceso y las propiedades de las frecuencias relativas tienen una gran importancia como base para el estudio de la probabilidad y la estadstica por tres motivos, ntimamente relacionados: Las propiedades de las frecuencias relativas, que pueden observarse empricamente, sonlabasedeladefinicinaxiomticadelaprobabilidad,yaquelosaxiomasson abstraccionesdeestaspropiedades.Elclculodeprobabilidadesquesederivade estosaxiomasnodeterminaelcontenidoespecficodeltrminoprobabilidaden cadaaplicacinparticular,sinoquesufuncinprincipalesdescubrir,apartirde ciertasprobabilidadesinicialesdadas,otrasprobabilidadesimplicadasporellas.Sin embargo,losaxiomaspuedenusarseparadefinirimplcitamenteloqueesla probabilidad,limitandoaslasposiblesinterpretacionesdeestetrmino.Adems, dichosaxiomashancontribuidoaestablecerunabasesatisfactoriadelClculode Probabilidades,dandorespuestasalasparadojaseinconsistenciasobservadascon anterioridad. Laideadefrecuenciarelativaeslabasedelaconcepcinfrecuencialdela probabilidadysirvedepuenteentrelaestadsticaylaprobabilidad.Lainferencia estadstica tiene como fin principal la obtencin de conclusiones sobre poblaciones apartirdedatosobtenidosdemuestrasdelasmismas.Granpartedelos procedimientosestadsticosestnbasadosenhiptesissobrelasdistribucionesde probabilidad de las poblaciones subyacentesy su aplicacin requiere la estimacin delvalorparticulardelosparmetrosdedichasdistribucionesenloscasos particulares.Esprecisamentelaacepcinfrecuencialdelaprobabilidadlaque permite justificar esta estimacin. 1.Los teoremas de lmite, de tanta importancia en el Clculo de Probabilidades, estn basados en admitir la posibilidad de repeticin de un experimento y en las frecuencias relativas o en la distribucin de frecuencias. Estos teoremas permiten precisar la idea de convergencia estocstica y proporcionan aproximaciones para distribuciones de probabilidad que de otro modo seran difciles de calcular. Ms recientemente, los teoremas de lmite, combinados con las posibilidades informticas, proporcionan una base para la utilizacin de la simulacin como mtodo de resolucin de problemas probabilsticos complejos. En Batanero y Serrano (1995) hemos analizado cmo el concepto de aleatoriedad lleva implcitas dos ideas matemticas: repetibilidad de un experimento aleatorio e independencia de los ensayos sucesivos. En el estudio de las frecuencias relativas se encuentran implcitas estas dos exigencias, por lo que su comprensin precisa la de experimento aleatorio. Este ha sido tambin un aspecto analizado en los libros de texto, cuyos resultados han sido publicados en Ortiz de Haro (1995) y Ortiz de Haro y cols. (1996). Otro punto importante es el desarrollo del razonamiento proporcional en el alumno, puesto que la frecuencia relativa se define precisamente mediante una proporcin. Respecto al estudio de las frecuencias relativas y sus propiedades. Malara (1989) seala los siguientes objetivos que deberan contemplarse para el nivel no universitario: Conocimiento del hecho de que puede observarse empricamente una estabilizacin gradual de las frecuencias relativas en series de ensayos suficientemente largas. Esto se observa en datos socio-econmicos, biolgicos, atmosfricos, mdicos, etc. que pueden obtenerse en distintos anuarios estadsticos En consecuencia, consideramos que este tema es lo suficientemente fundamental, para que sea deseable su anlisis en los libros de texto. En primer lugar hemos diferenciado el tipo de tratamiento que en los textos se da a este tema, pudindose encontrar explcito, implcito o no tratarse. Hemos hallado un tratamiento explcito en [A], [C], [D], [F], [G], [I] y [K] y un tratamiento implcito en [B], [E] y [H]. En [J] no se trata este tema. Significados personales e institucionales de los objetos matemticos 1.3.3. AXIOMTICA. Un axioma es una premisa que se considera evidente y es aceptada sin requerir una demostracin previa. En un sistema hipottico-deductivo, es toda proposicin que no se deduce de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lgico, por oposicin a los postulados.[1] En matemtica, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostracin, como punto de partida para demostrar otras frmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas verdades evidentes porque permiten deducir las dems frmulas. En lgica matemtica, un postulado es un proposicin, no necesariamente evidente: una frmula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccin para llegar a una conclusin. Enmatemticasedistinguendostiposdeproposiciones:axiomaslgicosy postulados. Losaxiomassonciertasfrmulasenunlenguaje quesonuniversalmentevlidas, estoes,frmulasquesonsatisfechasporcualquierestructurayporcualquier funcin variable. En trminos coloquiales, son enunciados que son verdaderos en cualquiermundoposible,bajocualquierinterpretacinposibleyconcualquier asignacindevalores.Usualmentesetomacomoaxiomasunconjuntomnimo de tautologas que son suficientes para probar una teora. Axiomtica Conjuntodeproposicionesdeducidaslgicamentedealgunosprincipiosno demostrables,yque,segnalgunos,puedefundarelanlisisgeogrfico.Varios tipos de aximtica han sido propuestos: unaaxiomticageomtrica,quedefinealespaciogeogrficocomoun conjunto de lugares localizables por coordenadas, separados por una distancia, y provistos de atributos (Bguin, Thisse, 1979; ver tambin Bunge (1962); una axiomtica gentica, introducida por G. Nicolas (axioma corolgico: "puede ser geogrfico todo objeto que, en el sentido estadstico del trmino, diferencia al espacio terrestre"; axioma de situacin: "puede ser geogrfico todo objeto (material o inmaterial) en relacin espacial con un objeto situado (total o parcialmente) en otro lugar de la superficie terrestre"; axioma de sucesin; 1.4. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA Eventosindependientes:doseventosAyBsonindependientessislaocurrenciaono ocurrencia afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro.Algunasvecesessencillodeterminarlaindependenciaporejemplolosdoseventos consideradosserefierenaensayosnorelacionadostalescomoellanzamientodedos monedas de diferente denominacin en consecuencia los resultados con ambas monedas son independientes. La falta de independencia o sea la dependencia es demostrada por la siguiente ilustracin considrese el experimento donde se lanzan dos dados y se observa los dos eventos la suma es igual a 10 y nmero doble que se establece P(10)=3/36=1/12, P(doble)=6/36=1/6 la ocurrencia de 10 afecta la probabilidad de doble? Considrese esta preguntadelamanerasiguiente:aocurridounasumaiguala10debedeserunodelos resultados siguientes [(4,6),(5,5),(6,4)] una de estas tres posibilidades es nmero doble.En consecuencia debe concluirse que P (doble sabiendo que ha ocurrido un diez), escritaP(doble/10), es igual a 1/3 ya que un tercio es distinta a la probabilidad de un doble puede concluirsequeelevento10afectalaprobabilidaddeunnmerodobleasundobley10 son eventos dependientes. El smbolo P(A/B)=P(B/A)=PB.Considreselaprobabilidadcondicional.Tmese,porejemplo,elexperimentodondese lanzaundado:S=[1,2,3,4,5,6]en esteexperimento pueden definirse doseventoscomoA =ocurre un 4, y B=ocurre un nmero par. Entonces P(A)=1/6, el evento A se satisfaceexactamenteporunodelosseismustralesigualmenteprobablesenS.Laprobabilidad condicionaldeAdadoB,P(A/B),seencuentrademanerasimilar,peroSyanoeseste caso elespacio muestral.Esto puedeverse dela manera siguiente: selanzaundado sin quesepuedaver,aunquerecibelainformacindequeelnmeroobtenidoseapar,es decir que ha ocurrido el evento B. Esta es la condicin dada, conocindola a uno se la pide asignarlaprobabilidaddeleventoocurreun4.Slohaqytresposibilidadesenelnuevo espaciomuestral(reducido),[2,4,6].Cadaunodelostresresultadosesigualmente probable: en consecuencia P(A B)=1/3. 1.5. TEOREMA DE BAYES En la teora de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763 [1] que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en trminos de la distribucin de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribucin de probabilidad marginal de slo A. En trminos ms generales y menos matemticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podra saber -si se tiene algn dato ms-, la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestin para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculacin ntima con la comprensin de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados. Sea {A1,A3,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresin: donde: P(Ai) son las probabilidades a priori. P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hiptesis Ai. P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori. Frmula de Bayes UNIDAD II 2. VARIABLES ALEATORIAS YDISTRIBUCIONES 2.1VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIONES DE DENSIDADDE PROBABILIDAD Y DE DISTRIBUCINConceptos bsicos Una variable aleatoria es una funcin que cuantifica los resultados de un experimento aleatorio. Una variable aleatoria discreta X slo puede asumir una cantidad de valores susceptible de contarse. En estadstica la distribucin de probabilidad para una variable aleatoria discreta X es una tabla, grfica o frmula que da la probabilidad P(X = x) asociada a cada posible valor de X. Si consideremos el experimento de lanzar dos veces una moneda balanceada y se observa el nmero X de caras. Calculemos la distribucin de probabilidad para X. Sean Ci y Si la observacin de una cara y un sello, respectivamente, en el i simo lanzamiento, para i = 1, 2. ESPACIO MUESTRAL. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadstico denotado por S o VARIABLE. Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la duracin de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante. VARIABLE ALEATORIA: Es una funcin que asocia un nmero real a cada elemento del espacio muestral. 2.2. VALOR ESPERADO Y MOMENTOS. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra. Una variable aleatoria se puede clasificar en: Variable aleatoria discreta. Variable aleatoria continua. Variable aleatoria discreta. Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativosdiscretosysonrespuestasnumricasqueresultande un proceso de conteo. La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar. El nmero de guilas en cinco lanzamientos de una moneda. Nmero de circuitos en una computadora. El nmero de vehculos vendidos en un da, en un lote de autos Variable aleatoria continua. Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; sta puede asumir infinito nmero de valores y stos se pueden medir. La estatura de un alumno de un grupo escolar. El peso en gramos de una moneda. La edad de un hijo de familia. Las dimensiones de un vehculo. Segn las matemticas el valor esperado se define como la suma de los productos de las probabilidades de los diferentes sucesos y sus respectivos beneficios. Veamos un ejemplo prctico de ello. Tenemos un dado, si lo tiramos y sacamos un numero par nos pagan $2, si tiramos y sacamos 1 o 3, pagamos $3, si sale un 5 no pagamos ni nos pagan. Como sabremos si bajo estas condiciones, jugar nos es rentable o no, para ello utilizares el concepto de Valor Esperado. Suceso A = {2,4,6}, suceso B = {1,3}, suceso C = {5}. Probabilidad de que pase cada suceso: Sa {3/6}, Sb {2/6), Sc {1/6}, si simplificamos nos queda Sa {1/2} Sb {1/3} Sc {1/6}. Valor de Cada Suceso. Sa = +2 Sb = -3 Sc = 0, para que entienda este calculo cuando ocurra el suceso A ganaremos $2 por eso es +2, cuando ocurra B pagaremos $3 por lo cual nuestro valor esperado es -3, cuando ocurra C no pagaremos ni ganaremos es igual a 0. Valor Esperado para este juego: P A V A + P B V B + P C V C = 1/2 2 + 1/3 (-3) + 1/6 0 = 1 1 + 0 = 0 Esta claro que ante estas regla de juego no ganaremos ni perderemos. Esto no quiere decir que de 20 tiros ganemos 15 y perdamos 5, lo que quiere decir que a largo plazo nuestra ganancia o prdida media ser nula. Pero bien llevemos este concepto al campo que nos compete, EL POKER. El valor esperado es la ganancia/perdida media en una accin particular. Es decir el beneficio que se espera obtener de una apuesta. Se abrevia mediante siglas en Ingles EV, + cuando nuestra esperanza es positiva y cuando es negativa. Nuestro objetivos como jugadores de poker es intentar que cada uno de nuestro movimientos tenga EV +. Para ello debemos jugar concentrados y analizar cada ronda de apuestas. En principio un par de cartas no tiene ni buena ni mala EV, para arribar a esta conclusin debemos evaluar el contexto en el que estamos jugando dicha mano. Bien veamos un ejemplo sencillo, AA Vs mano aleatoria en All-in pre-flop. Sabes que el par de hacer gana el 85% de las veces contra manos al azar aleatoriamente. Suponiendo que nosotros tenemos un stack de $50 y que nuestro oponente tambin tiene $50 dlares, en el bote en ese momento hay $100 y nosotros decidimos ir all in. Cual es nuestro valor esperado. Bien hagamos los clculos. Suceso A (85/100), suceso B (15/100), valor de cada suceso Sa ($150) Sb(-$50), Valor Esperado para este juego: P A V A + P B V B = 85/100 (150) + 15/100 (-50) = $120 Por lo tanto tendremos una EV + de $120. En trminos generales cada vez que tu ganes ganaras $150 y cuando pierdas perders $50, pero si repitiramos la jugada un milln de veces, tu ganancia promedio se acercaran cada vez mas al valor esperando. La representacin mas obvia de valor esperado es la teora de los pot odds, que ya la eh explicado en un post anterior. Bsicamente los pot odds nos ayudan a elegir las manos o proyectos que tienen un valor esperado positivo. Vemos otros ejemplos de valor esperado, recibimos AJ de pick, estamos en el ciega pequea, ocho jugadores entran a al mano, el flop nos trae 2 5 8 (corazn, pick, pick).Distribucin de probabilidad. Es una distribucin terica de frecuencias que describe cmo se espera que varen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenmenos estadsticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Se pueden clasificar en: Distribuciones discretas. Son aquellas donde las variables asumen un nmero limitado de valores, por ejemplo el nmero de aos de estudio. Distribuciones continuas. Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados lmites; por ejemplo, la estatura de un estudiante. Distribuciones Continuas x1 xn x P(x) x1 x2 xn x P(x) Discretas Uniforme Continuas Exponencial Normal FUNCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS La distribucin de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede ser: 1.- Una relacin terica de resultados y probabilidades que se puede obtener de un modelo matemtico y que representa algn fenmeno de inters. 2.- Una relacin emprica de resultados y sus frecuencias relativas observadas. 3.- Una relacin subjetiva de resultados relacionados con sus probabilidades subjetivas o artificiales que representan el grado de conviccin del encargado en tomar decisiones sobre la probabilidad de posibles resultados. Sabemos que una variable aleatoria discreta o discontinua es aquella en la que existe una distancia bien definida entre dos de los valores consecutivos que asume; y dichos valores son numerables. Existen varios modelos matemticos que representan diversos fenmenos discretos de la vida real. Las ms tiles son: 1.- La distribucin uniforme discreta. 1.- La distribucin de probabilidad Binomial o de Bernoulli. 2.- La distribucin de probabilidad Hipergeomtrica. 3.- La distribucin de probabilidad de Poisson. 2.3 UNIFORME DISCRETA Si la variable aleatoria X asume valores de X1, X2, ..., Xk con iguales probabilidades, entonces la distribucin uniforme es:f(x,k)=1/ k Tenemos esta distribucin cuando el resultado de una experiencia aleatoria puede ser un conjunto finito de n posibles resultados, todos ellos igualmente probables. Un ejemplo puede ser la variable X, puntuacin en el lanzamiento de un dado regular. Esta variable toma seis valores posibles, todos con la misma probabilidad p = 1/6. La funcin de densidad de esta variable ser: f(k) = P[X = k] = 1/6 k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 2.3.1. BERNOULLI Experimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: xito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoriadiscreta X tal que:xito 1 fracaso 0 Si la probabilidad de xito es p y la de fracaso 1 - p,podemos construir una funcin de probabilidad: 1 , 0 ) 1 ( ) (1= =x p p x Px xUn tpico experimento de Bernoulli es el lanzamiento deuna moneda con probabilidad p para cara y (1-p) paracruz. Funcin de distribucin: La distribucin de Bernuilli es el modelo que sigue un experimento que se realiza una sola vez y que puede tener dos soluciones: acierto o fracaso:Cuando es acierto la variable toma el valor 1Cuando es fracaso la variable toma el valor 0 Ejemplo: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no sale); p robabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten);p robabilidad de acertar una quiniela (o aciertas o no aciertas) Al haber nicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios:A la probabilidad de xito se le denomina "p"A la probabilidad de fracaso se le denomina "q" Verificndose que:p + q = 1 Veamos los ejemplos antes mencionados :Ejemplo 1: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire:Probabilidad de que salga cara: p = 0,5Probabilidad de que no salga cara: q = 0,5p + q = 0,5 + 0,5 = 1 Ejemplo 2: Probabilidad de ser admitido en la universidad:Probabilidad de ser admitido: p = 0,25Probabilidad de no ser admitido: q = 0,75p + q = 0,25 + 0,75 = 1 Ejemplo 3: Probabilidad de acertar una quiniela:Probabilidad de acertar: p = 0,00001Probabilidad de no acertar: q = 0,99999p + q = 0,00001 + 0,99999 = 1 == =1 para , 10 para , 1) (xx px FEjercicio: Calcular la esperanza y la varianzade la distribucin de Bernoulli. p X P X Px X P x X Ex= = + = = = = ==) 1 ( 1 ) 0 ( 0) ( ] [10) 1 () 1 ( 1 ) 0 ( 0) ( ]) [ ( ] [ ) (22 2 2102 2 2 2p p p pp X P X Pp x X P x X E X E X Varx = = = + = = = = == 2.3.2. BINOMIALLa distribucin binomial aparece cuando estamos interesados en el nmero de veces que un suceso A ocurre (xitos) en n intentos independientes de un experimento. P. ej.: # de caras en n lanzamientos de una moneda. Si A tiene probabilidad p (probabilidad de xito) en un intento, entonces 1-p es la probabilidad de que Ano ocurra (probabilidad de fracaso). Experimento aleatorio: n = 3 lanzamientos de una moneda. Probabilidad de xito en cada lanzamiento (cara) = p. Probabilidad de fracaso en cada lanzamiento (cruz) = 1- p = q. Supongamos que el experimento consta de nintentos y definamos la variable aleatoria: X = Nmero de veces que ocurre A. En nuestro ejemplo: X = Nmero de veces que sale cara. Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... N Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en x de los n intentos ocurre A y en n - x no. Entonces la probabilidad de cada posible ordenacin es pxqn-xy existenidnticas ordenaciones. La funcin de probabilidad P(X = x) ser la distribucin binomial: x n x x n xp px n xnp pxnx p p n B = ||.|

\|= = ) 1 ()! ( !!) 1 ( ) ( ) , (Distribucin binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p) Ejercicio:Cul es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2 sean nias? 2 4 25 0 1 5 02422 4 5 01-x n x) . - ( ) . ( ) p(x ;n ;. pp) ( pxnp(x)||.|

\|== = =||.|

\|=Caractersticas de la distribucin binomial Media= E(X) = n p = 5 0.1 = 0.5 = 5 0.5 = 0.25 n = 5p = 0.1 0 .2 .4 .6 012345 X P(X) Desviacin estndar 1 . 1 ) 5 . 0 1 ( 5 . 0 567 . 0 ) 1 . 0 1 ( 1 . 0 5) 1 (= == = =ooo p npn = 5p = 0.5 .2 .4 .6 012345 X P(X) 0 2.3.3. POISSON. Las distribucin de Poisson parte de la distribucin binomial: Cuando en una distribucin binomial se realiza el experimento un nmero "n" muy elevado de veces y la probabilidad de xito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribucin de Poisson: Se tiene que cumplir que: " p " < 0,10 " p * n " < 10 La distribucin de Poisson sigue el siguiente modelo: Vamos a explicarla: El nmero "e" es 2,71828 " l " = n * p (es decir, el nmero de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de xito en cada ensayo) " k " es el nmero de xito cuya probabilidad se est calculando Veamos un ejemplo: La probabilidad de tener un accidente de trfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, cual es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribucin de Poisson. Luego, P (x = 3) = 0,0892 Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de trfico en 300 viajes es del 8,9% Caractersticas: En este tipo de experimentos los xitos buscados son expresados por unidad de rea, tiempo, pieza, etc, etc,: - # de defectos de una tela por m2 - # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por da, hora, minuto, etc, etc. - # de bacterias por cm2 de cultivo - # de llamadas telefnicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc. - # de llegadas de embarcaciones aun puerto por da, mes, etc, etc. Para determinar la probabilidad de que ocurran x xitos por unidad de tiempo, rea, o producto, la frmula a utilizar sera: donde: p(x, ) = probabilidad de que ocurran x xitos, cuando el nmero promedio de ocurrencia de ellos es = media o promedio de xitos por unidad de tiempo, rea o producto c = 2.718 x = variable que nos denota el nmero de xitos que se desea que ocurra Hay que hacer notar que en esta distribucin el nmero de xitos que ocurren por unidad de tiempo, rea o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, as como cada rea es independiente de otra rea dada y cada producto es independiente de otro producto dado. 2.3.4 GEOMETRIA La distribucin geomtrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecucin del xito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera . Tambin implica la existencia de una dicotoma de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre s. Proceso experimental del que se puede hacer derivar Esta distribucin se puede hacer derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en el que tengamos las siguientes caractersticas El proceso consta de un nmero no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluir cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (xito). Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no A La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es qsiendo (p + q = 1). Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas ,por tanto , las pruebas ,son independientes (si se trata de un proceso de "extraccin" ste se llevar a , cabo con devolucin del individuo extrado) . (Derivacin de la distribucin). Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que tomemos como variable aleatoria X = el nmero de pruebas necesarias para obtener por primera vez un xito o resultado A , esta variable se distribuir con una distribucin geomtrica de parmetro p.

Obtencin de la funcin de cuanta De lo dicho anteriormente , tendremos que la variable X es el nmero de pruebas necesarias para la consecucin del primer xito. De esta forma la variables aleatoria toma valores enteros a partir del uno ; 1,2,

dado que se trata de sucesos independientes y conocemos las probabilidades luego la funcin de cuanta quedara 2.4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS.Saber: Definir el concepto de distribucin continua de probabilidad, Explica el mtodo de clculo de varianza y valor esperado de una probabilidad con variables continuas. Describir las propiedades de: - Distribucin normal - Chi cuadrada - t de Student. - Distribucin F. Hacer: Calcular la probabilidad y varianza de una distribucin continua utilizando tablas. Distribucin normal La distribucin normal de probabilidad es una distribucin continua y su mayor aplicacin se relaciona en investigaciones, donde se utilizan muestras que se interesa analizar probabilidades, referentes al peso,.estatura, ingresos, gastos Algunas observaciones o puntos a considerar en esta distribucin pudieran ser las siguientes: 1. Hay diferentes formas y tamaos de las distribuciones pero todas se distinguen por tener media y desviacin estndar. 2. El punto ms alto de la campana o curva normal es la media. 3. La media puede tomar cualquier valor positivo, cero o negativo. 4. La distribucin es simtrica, esto quiere decir que lo que hay a la derecha de la media es una imagen de lo que hay a la izquierda. 5. La desviacin estndar determina el ancho de la curva. Cuando la desviacin es mayor se tienen curvas ms amplias y achaparradas, y cuando la desviacin es menor son ms altas y delgadas. 6. El rea bajo la curva es igual a la probabilidad y siempre es igual a La distribucin normal es continua en vez de discreta. La media de una variable aleatoria normal puede tener cualquier valor y la varianza cualquier valor positivo. La funcin de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal con media y varianza 2 est dada por Donde: x = Variable aleatoria continua que se desea investigar. = Promedio poblacional que toma la variable aleatoria continua. = Desviacin estndar poblacional. La relacin de la campana de gauss con la media y la desviacin estndar est indicada en la siguiente grfica: Funcin de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal con media y varianza 2.El eje horizontal se conoce con la variable z y es una variable Funcin de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal con media y varianza 2.El eje horizontal se conoce con la variable z y es una variable normalizada o estandarizada. Ejemplo 1. El gerente de produccin de una fbrica de telas tiene como estndar que la merma de la tela sea en promedio 300 metros y se sabe que la desviacin estndar normalmente se encuentra en 50 metros. En caso de que la merma de la fbrica llegara a 362 metros ese valor sera inaceptable para los dueos del negocio, determine que tan probable es que esto llegue a ocurrir. 2.4.1. UNIFORME La distribucin Uniforme es el modelo (absolutamente) continuo ms simple. Corresponde al caso de una variable aleatoria que slo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos a y b, de manera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de (a, b)) tienen la misma probabilidad. Tambin puede expresarse como el modelo probabilstico correspondiente a tomar un nmero al azar dentro de un intervalo (a, b). De la anterior definicin se desprende que la funcin de densidad debe tomar el mismo valor para todos los puntos dentro del intervalo (a, b) (y cero fuera del intervalo). Es decir, Grficamente: La funcin de distribucin se obtiene integrando la funcin de densidad. Grficamente: Ladistribucinexponencialeselequivalentecontinuodeladistribucingeomtrica discreta. Esta ley de distribucin describe procesos en los que:Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que,eltiempoquepuedaocurrirdesdecualquierinstantedadot,hastaqueelloocurraen uninstantetf,nodependedeltiempotranscurridoanteriormenteenelquenoha pasado nada.Ejemplos de este tipo de distribuciones son:El tiempo que tarda una partcula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley quesigueesteeventoseutilizaenCienciapara,porejemplo,ladatacindefsileso cualquier materia orgnica mediante la tcnica del carbono 14, C14;Eltiempoquepuedetranscurrirenunserviciodeurgencias,paralallegadadeun paciente;En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempoiguales,eltiempoquetranscurreentrelaocurrenciadedossucesos consecutivossigueunmodeloprobabilsticoexponencial.Porejemplo,eltiempoque transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.Concretando,siunav.a.continuaXdistribuidaalolargode,estalquesufuncinde densidad es El trmino crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud M tal que su variacin en el tiempo es proporcional a su valor, lo cual implica que crece muy rpidamente en el tiempo de acuerdo con la ecuacin: Donde: Mt es valor de la magnitud en el instante t > 0; M0 es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuando empezamos a medirla; r es la llamada tasa de crecimiento instantnea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre t = 0 y t > 0; e = 2,718281828459... El nombre naturalmente se refiere al crecimiento de una funcin exponencial de la forma y = ax con r = ln(a). Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en laltimaecuacina=2yxunvalorentero.Porejemplo,six=4,entoncesy= 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1.024. Y as sucesivamente. 2.4.3 NORMAL Y NORMAL ESTNDAR N(0, 1)La distribucin normal estndar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, = 0, y por desviacin tpica la unidad, =1.Su funcin de densidad es: Su grfica es: La probabilidad de la variable X depender del rea del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla. Tipificacin de la variable Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribucin N(, ) en otra variable Z que siga una distribucin N(0, 1). La probabilidad de la variable X depender del rea del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla. Tipificacin de la variable Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribucin N(, ) en otra variable Z que siga una distribucin N(0, 1). 2.4.4. APROXIMACIONES CON LA NORMAL.Esta distribucin es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadsticas. Su propio nombre indica su extendida utilizacin, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenmenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucin. Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcin de densidad cuya grfica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor depy valores dencada vez mayores, se ve que sus polgonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". En resumen, la importancia de la distribucin normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenmenos naturales que siguen el modelo de la normal Caracteres morfolgicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, dimetros, permetros,... Caracteres fisiolgicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un frmaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociolgicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. Caracteres psicolgicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptacin a un medio,... Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadsticos muestrales, por ejemplo : la media. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ... Y en general cualquier caracterstica que se obtenga como suma de muchos factores. FUNCIN DE DENSIDAD Empleando clculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la funcin de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la frmula: La distribucin normal queda definida por dos parmetros, su media y su desviacin tpica y la representamos as FUNCIN DE DISTRIBUCIN Puede tomar cualquier valor (- , + ) Son ms probables los valores cercanos a uno central que llamamos mediaConforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simtrica). Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de forma ms o menos rpida dependiendo de un parmetro o , que es la desviacin tpica. TIPIFICACIN Por tanto su funcin de densidad es UNIDAD3 3. ESTADSTICA DESCRIPTIVA Y LATEORA DEL MUESTREOCONCEPTOS BSICOSINTRODUCCINLa investigacin cuya finalidad es: el anlisis o experimentacin de situaciones para el descubrimiento de nuevos hechos, la revisin o establecimiento de teoras y las aplicaciones prcticas de las mismas, se basa en los principios de Observacin y Razonamiento y necesita en su carcter cientfico el anlisis tcnico de Datos para obtener de ellos informacin confiable y oportuna. Este anlisis de Datos requiere de la Estadstica como una de sus principales herramientas, por lo que los investigadores de profesin y las personas que de una y otra forma la realizan requieren adems de los conocimientos especializados en su campo de actividades, del manejo eficiente de los conceptos, tcnicas y procedimientos estadsticos.ESTADSTICAEs el conjunto de procedimientos y tcnicas empleadas para recolectar, organizar y analizar datos, los cuales sirven de base para tomar decisiones en las situaciones de incertidumbre que plantean las ciencias sociales o naturales.ESTADSTICA INDUCTIVA Y DEDUCTIVAUno de los problemas fundamentales de la Estadstica es el estudio de la relacin existente entre una poblacin y sus muestras. Segn la direccin de tal relacin la Estadstica puede ser:Deductiva, cuando a partir del conocimiento de la poblacin se trata de caracterizar cada muestra posible. Deductiva, cuando a partir del conocimiento de la poblacin se trata de caracterizar cada muestra posible.Inductiva, cuando a partir del conocimiento derivado de una muestra se pretende caracterizar la poblacin.ESTADSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIALEstadstica Descriptiva se refiere a la recoleccin, presentacin, descripcin, anlisis e interpretacin de una coleccin de datos, esencialmente consiste en resumir stos con uno o dos elementos de informacin (medidas descriptivas) que caracterizan la totalidad de los mismos. La estadstica Descriptiva es el mtodo de obtener de un conjunto de datos conclusiones sobre si mismos y no sobrepasan el conocimiento proporcionado por stos. Puede utilizarse para resumir o describir cualquier conjunto ya sea que se trate de una poblacin o de una muestra, cuando en la etapa preliminar de la Inferencia Estadstica se conocen los elementos de una muestra.Estadstica Inferencial se refiere al proceso de lograr generalizaciones acerca de las propiedades del todo, poblacin, partiendo de lo especfico, muestra. las cuales llevan implcitos una serie de riesgos. Para que stas generalizaciones sean vlidas la muestra deben ser representativa de la poblacin y la calidad de la informacin debe ser controlada, adems puesto que las conclusiones as extradas estn sujetas a errores, se tendr que especificar el riesgo o probabilidad que con que se pueden cometer esos errores. La estadstica inferencial es el conjunto de tcnicas que se utiliza para obtener conclusiones que sobrepasan los lmites del conocimiento aportado por los datos, busca obtener informacin de un colectivo mediante un metdico procedimiento del manejo de datos de la muestra.Deductiva, cuando a partir del conocimiento de la poblacin se trata de caracterizar cada muestra posible.Inductiva, cuando a partir del conocimiento derivado de una muestra se pretende caracterizar la poblacin.ESTADSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIALEstadstica Descriptiva se refiere a la recoleccin, presentacin, descripcin, anlisis e interpretacin de una coleccin de datos, esencialmente consiste en resumir stos con uno o dos elementos de informacin (medidas descriptivas) que caracterizan la totalidad de los mismos. La estadstica Descriptiva es el mtodo de obtener de un conjunto de datos conclusiones sobre si mismos y no sobrepasan el conocimiento proporcionado por stos. Puede utilizarse para resumir o describir cualquier conjunto ya sea que se trate de una poblacin o de una muestra, cuando en la etapa preliminar de la Inferencia Estadstica se conocen los elementos de una muestra.Estadstica Inferencial se refiere al proceso de lograr generalizaciones acerca de las propiedades del todo, poblacin, partiendo de lo especfico, muestra. las cuales llevan implcitos una serie de riesgos. Para que stas generalizaciones sean vlidas la muestra deben ser representativa de la poblacin y la calidad de la informacin debe ser controlada, adems puesto que las conclusiones as extradas estn sujetas a errores, se tendr que especificar el riesgo o probabilidad que con que se pueden cometer esos errores. La estadstica inferencial es el conjunto de tcnicas que se utiliza para obtener conclusiones que sobrepasan los lmites del conocimiento aportado por los datos, busca obtener informacin de un colectivo mediante un metdico procedimiento del manejo de datos de la muestra. ANALISIS ESTADSTICOEl anlisis estadstico es todo el proceso de organizacin, procesamiento, reduccin e interpretacin de datos para realizar inferencias.DATOS Y VARIABLESCuando se consideran los mtodos de organizacin, reduccin y anlisis de datos estadsticos, se hace necesario aclarar los siguientes conceptos.Variables: es toda caracterstica que vara de un elemento a otro de la poblacin.Datos: son medidas o valores de las caractersticas susceptibles de observar y contar, se originan por la observacin de una o ms variables de un grupo de elementos o unidadesCLASIFICACIN DE VARIABLESLas variables pueden clasificarse en: categricas o cualitativas (atributos), no tienen ningn grado de comparacin numrica, ejemplo: sexo, estado civil; y numricas o cuantitativas, son caractersticas factibles de expresar por medio de nmeros, estas pueden ser Discretas, que solo pueden tomar ciertos valores aislados en un intervalo, y Continuas, que pueden tomar cualquier valor en un intervalo.REPRESENTACIN DE DATOSLos datos son colecciones de un nmero cualquiera de observaciones relacionadas entre si, para que sean tiles se deben organizar de manera que faciliten su anlisis, se puedan seleccionar tendencias, describir relaciones, determinar causas y efectos y permitan llegar a conclusiones lgicas y tomar decisiones bien fundamentadas; por esa razn es necesario conocer lo mtodos de Organizacin y Representacin, la finalidad de stos mtodos es permitir ver rpidamente todas las caractersticas posibles de los datos que se han recolectado. Representacin Tabular:Presenta las variable y las frecuencias con que los valores de stas se encuentran presentes en el estudio.Representacin Grfica :Se llaman grficas a las diferentes formas de expresar los datos utilizando los medios de representacin que proporciona la geometra. METODOS DE REPRESENTACIN DE DATOS CUANTITATIVOSArreglo de Datos. Es una forma de presentar los datos en un arreglo ascendente o descendente. Ofrece las ventajas siguientes: describe los valores mnimos y mximos, en l se pueden dividir los datos fcilmente en secciones, permite darse cuenta de los valores que aparecen ms de una vez, se puede observar la distancia entre valores consecutivos.Diagrama de Puntos. Muestra la frecuencia con que aparece cada uno de los valores REPRESENTACIN DE DATOSLos datos son colecciones de un nmero cualquiera de observaciones relacionadas entre si, para que sean tiles se deben organizar de manera que faciliten su anlisis, se puedan seleccionar tendencias, describir relaciones, determinar causas y efectos y permitan llegar a conclusiones lgicas y tomar decisiones bien fundamentadas; por esa razn es necesario conocer lo mtodos de Organizacin y Representacin, la finalidad de stos mtodos es permitir ver rpidamente todas las caractersticas posibles de los datos que se han recolectado. MEDIA ARITMTICAEs una medida matemtica, un nmero individual que representa razonablemente el comportamiento de todos los datos.Para datos no agrupados X = S xi / nPara datos agrupados X = S fi Xi / S fidonde Xi es la marca de clase para cada intervalo y fi es la frecuencia de claseCaractersticas de la Media:1. En su clculo estn todos los valores del conjunto de datos por lo que cada uno afecta la media.2. La suma algebraica de las desviaciones de los valores individuales respecto a la media es cero.3. La suma del cuadrado de las desviaciones de una serie de datos a cualquier nmero A es mnimo si A = X4. Aunque es confiable porque refleja todos los valores del conjunto de datos puede ser afectada por los valores extremos, y de esa forma llegar a ser una medida menos representativa, por lo que si la distribucin es asimtrica, la media aritmtica no constituye un valor tpico.LA MODAEs el valor de un conjunto de datos que ocurre ms frecuentemente, se considera como el valor ms tpico de una serie de datos.Para datos agrupados se define como Clase Modal el intervalo que tiene ms frecuencia.La moda puede no existir o no ser nica, las distribuciones que presentan dos o ms mximos relativos se designan de modo general como bimodales o multimodales.Caractersticas de la Moda.1. Representa ms elementos que cualquier otro valor2. No est afectada por los valores extremos pero para datos continuos es dudoso su clculo.3.1. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA, DE FRECUENCIARELATIVA Y ACUMULADA.DISTRIBUCION DE FRECUENCIA Si se renen grandes cantidades de datos sueltos es til distribuirlos en clases o categoras y determinar el nmero de individuos que pertenecen a cada categora, a lo que se le llama frecuencia de clase. A una disposicin tabular de los datos por clases, con sus correspondientes frecuencias de clase, se le conoce como distribucin de frecuencia o tabla de frecuencias.INTERVALOS DE CLASE Y LMITES DE CLASEEl smbolo que define una clase, como el 6062 se llama intervalo de clase. A los nmeros 60 y 62 se les conoce como limites de clase; el numero mas pequeo (60) es el limite inferior de clase, mientras que el numero mas grande (62) es el limite superior de clase. Se acostumbra usar los trminos clase e intervalo de clase indistintamente, aunque el intervalo de clase es en realidad un smbolo de la clase.A un intervalo de clase que, por lo menos tericamente, no tiene lmite de clase inferior o lmite de clase superior se le llama intervalo de clase abierto. Por ejemplo, en grupos de edades de individuos, el intervalo de clase 65 aos a mas es un intervalo de clase abierto. FRONTERAS DE CLASESi se miden estaturas con exactitud de 1 pulg., en teora el intervalo de clase 6062 incluye todas las medidas desde 59.5000 hasta 62.5000 pulg. Estos nmeros, indicados brevemente por los nmeros exactos 59.5 y 62.5 se llaman fronteras de clase o limites verdaderos de clase; el numero menor (59.5) es la frontera inferior de clase y el numero mayor (62.5), la frontera superior de clase.En la prctica, las fronteras de clase se obtienen promediando los lmites superior e inferior de un intervalo de clase. Algunas veces se emplean las fronteras para simbolizar clases. Por ejemplo, las clases en la primera columna de la tabla 21 se podran indicar mediante 59.562.5, 62.565.5, etctera. MARCA DE CLASELa marca de clase, que es el punto medio del intervalo de clase, se obtiene promediando los lmites inferior y superior de clase. De este modo, la marca de clase del intervalo 6062 es (60+62)/ 2 = 61. A la marca de clase tambin se le denomina punto medio de clase.REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA.1. Determinar el nmero mayor y el menor en los datos sueltos con el fin de especificar el rango (la diferencia entre ambos). 2. Dividir el rango en un nmero adecuado de intervalo de clase del mismo tamao. Si esto no es posible, usar intervalos de clase de distintos tamaos 2.o intervalos de clase abiertos. Se suelen tomar entre 5 y 20 intervalos de clase, segn los datos. Los intervalos de clase se eligen tambin de modo tal que las marcas de clase (o puntos medios) coincidan con los datos realmente observados. Ello tiende a disminuir el llamado 3.error de agrupamiento que se produce en anlisis matemticos posteriores. No obstante, las fronteras de clase no debieran coincidir con los datos realmente observados. 3. Determinar el nmero de observaciones que corresponden a cada intervalo de clase; es decir, 3.2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA,MEDIANA, MODA, PROMEDIO (PONDERADO,MVIL), MEDIA GEOMTRICA, MEDIA ARMNICA,CUANTILES (CUARTELES, DECILES Y PERCENTILES).La estadstica descriptiva en su funcin bsica de reducir datos, propone una serie de indicadores que permiten tener una percepcin rpida de lo que ocurre en un fenmeno. La primera gama de indicadores corresponde a las Medidas de Tendencia Central. Existen varios procedimientos para expresar matemticamente las medidas de tendencia central, de los cuales, los ms conocidos son: la media aritmtica, la moda y la mediana. Medidas de tendencia central: Son indicadores estadsticos que muestran hacia que valor (o valores) se agrupan los datos. Esta primera parte la dedicaremos a analizar tres medidas de tendencia central: La media aritmtica La moda La mediana En el suplemento de este capitulo incluiremos otras medidas de tendencia central Equivale al clculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muestrales de datos poblacionales, la media aritmtica se representa con un smbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la poblacin, este indicador ser ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el smbolo ser X. Media aritmtica ( o X): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre el nmero total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos. Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos tanto poblacionales como muestrales: sin agruparlos o agrupndolos en tablas de frecuencias. Esta apreciacin nos sugiere dos formas de representar la media aritmtica. Media aritmtica para datos no agrupados Podemos diferenciar la frmula del promedio simple para datos poblaciones y muestrales: MODA La medida modal nos indica el valor que ms veces se repite dentro de los datos; es decir, si tenemos la serie ordenada (2, 2, 5 y 7), el valor que ms veces se repite es el nmero 2 quien seria la moda de los datos. Es posible que en algunas ocasiones se presente dos valores con la mayor frecuencia, lo cual se denomina Bimodal o en otros casos ms de dos valores, lo que se conoce como multimodal.

En conclusin las Medidas de tendencia central, nos permiten identificar los valores ms representativos de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a concentrar. La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendra cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La Mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta porciento de los datos. Por ltimo la Moda nos indica el valor que ms se repite dentro de los datos. 3.3. MEDIDAS DE DISPERSIN: RANGO O AMPLITUD DEVARIACIN, DESVIACIN MEDIA, VARIANZA,DESVIACIN ESTNDAR, MOMENTOS Y KURTOSIS.Se llama dispersin de un conjunto de datos al grado en que los diferentes valores numricos de los datos tiende a extenderse alrededor del valor medio utilizado.Este grado de dispersin se mide por medio de los indicadores estadsticos llamados medidas de dispersin, entre ellas tenemos el rango, la varianza, y la desviacin tpica.A pesar de la gran importancia de las medidas de tendencia central y de la cantidad de informacin que aportan individualmente, no hay que dejar de sealar que en muchas ocasiones esa informacin, no slo no es completa, sino que puede inducir a errores en su interpretacin. Veamos algunos ejemplos.

Consideremos dos grupos de personas extrados como muestras respectivas de dos poblaciones distintas: el primero est compuesto por 100 personas que asisten a la proyeccin de una pelcula para nios, y el segundo por 100 personas elegidas entre los asistentes a una discoteca juvenil. Pudiera ocurrir que, aun siendo las distribuciones de las edades de ambos grupos muy distinta, la media y la mediana coincidieran para ambas. (Da un ejemplo concreto en que esto ocurra).

Igualmente ocurre en este otro ejemplo. La caja de un kiosco registra las siguientes entradas en miles de pesos, a lo largo de dos semanas correspondientes a pocas distintas del ao

1 semana2 semana 1030 2040 3050 5050 6060 8060 10060 350350 La media y la mediana de ambas distribuciones coinciden (el valor de ambas es 50 en los dos casos) y, sin embargo, las consecuencias que se podran derivar de una y otra tabla son bien distintas. Comprendemos pues, a la vista de estos ejemplos, la necesidad de conocer otras medidas, aparte de los valores de centralizacin, que nos indiquen la mayor o menor desviacin de cada observacin respecto de aquellos valores. Las medidas de desviacin, variacin o dispersin que estudiaremos a continuacin son: Rango o amplitud, desviacin media y desviacin tpica. RANGO, AMPLITUD TOTAL O RECORRIDO El rango se suele definir como la diferencia entre los dos valores extremos que toma la variable. Es la medida de dispersin ms sencilla y tambin, por tanto, la que proporciona menos informacin. Adems, esta informacin puede ser errnea, pues el hecho de que no influyan ms de dos valores del total de la serie puede provocar una deformacin de la realidad. Comparemos, por ejemplo, estas dos series: Serie 1: 15778991017 Serie 2: 24681012141618 Ambas series tienen rango 16, pero estn desigualmente agrupadas, pues mientras la primera tiene una mayor concentracin en el centro, la segunda se distribuye uniformemente a lo largo de todo el recorrido. El uso de esta medida de dispersin, ser pues, bastante restringido. DESVIACIN MEDIA

En teora, la desviacin puede referirse a cada una de las medidas de tendencia central: media, mediana o moda; pero el inters se suele centrar en la medida de la desviacin con respecto a la media, que llamaremos desviacin media.

Puede definirse como la media aritmtica de las desviaciones de cada uno de los valores con respecto a la media aritmtica de la distribucin, y de indica as: x 2-33 233 4-11 4-11 4-11 500 611 722 833 833 Nx xDM=Ntese que se toman las desviaciones en valor absoluto, es decir, que la frmula no distingue si la diferencia de cada valor de la variable con la media es en ms o en menos. Ya se habr advertido que esta expresin sirve para calcular la desviacin media en el caso de datos sin agrupar. Veamos un ejemplo: Se tiene los valores 2, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8. Averiguar la desviacin media de estos valores. x 2-33 233 4-11 4-11 4-11 500 611 722 833 833 x x xDM = 1,8 Veamos ahora cmo se calcula la desviacin media en el caso de datos agrupados en intervalos. Nx nDMi =Nx x nDMm i =) (donde observamos que ahora las desviaciones van multiplicadas por las frecuencias de los intervalos correspondientes. Adems, las desviaciones son de cada centro, o marca de clase, a la media aritmtica. Es decir, Ejemplo: Para hallar la desviacin media de la siguiente tabla referida a las edades de los 100 empleados de una cierta empresa:Ejemplo: Para hallar la desviacin media de la siguiente tabla referida a las edades de los 100 empleados de una cierta empresa: Claseni 16-202 20-248 24-288 28-3218 32-3620 36-4018 40-4415 44-488 48-523 Ejemplo: Para hallar la desviacin media de la siguiente tabla referida a las edades de los 100 empleados de una cierta empresa: Claseni 16-202 20-248 24-288 28-3218 32-3620 36-4018 40-4415 44-488 48-523 Clasenixmni xmni 16-202183616,7233,44 20-24822176 24-288 28-3218 32-3620 36-4018 40-4418 44-488 48-523 100 x x veamos cmo se procede: DM = 6,09 La desviacin media viene a indicar el grado de concentracin o de dispersin de los valores de la variable. Si es muy alta, indica gran dispersin; si es muy baja refleja un buen agrupamiento y que los valores son parecidos entre s. La desviacin media se puede utilizar como medida de dispersin en todas aquellas distribuciones en las que la medida de tendencia centralms significativas haya sido la media. Sin embargo, para las mismas distribuciones es mucho ms significativa la desviacin tpica, que estudiaremos a continuacin, y eso hace que el uso de la desviacin media sea cada vez ms restringido. DESVIACIN TPICA Es sin duda la medida de dispersin ms importante, ya que adems sirve como medida previa al clculo de otros valores estadsticos.

La desviacin tpica se define como la raz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media de la distribucin. Es decir, para datos sin agrupar, o bien: Nx xS=2Clculo de la desviacin tpica para datos no agrupados en clases Veamos la frmula anterior aplicada a un caso concreto. Hallar la desviacin tpica de la serie: 5, 8, 10, 12, 16. x 2 5-5,227,04 8-2,24,84 10-0,20,04 121,83,24 165,833,64 Clculo de la desviacin tpica para datos agrupados en clases y agrupados por frecuencias Mtodo largo: Se aplica la siguiente frmula Nf xS=23.4. MUESTREO ALEATORIO: SIMPLE, SISTEMTICO,ESTRATIFICADO, POR CONGLOMERADOS.Consideremos una poblacin finita, de la que deseamos extraer una muestra. Cuando el p roceso de extraccin es tal que garantiza a cada uno de los elementos de la poblacin lamisma oportunidad de ser incluidos en dicha muestra, denominamos al proceso de seleccinmuestreo aleatorio.El muestreo aleatorio se puede plantear bajo dos puntos de vista:Sin reposicin de los elementos;Con reposicin.Muestreo aleatorio sin reposicinConsideremos una poblacin E formada por N elementos. Si observamos un elemento particular, , en un muestreo aleatorio sin reposicin se da la siguiente circunstancia:La probabilidad de que e sea elegido en primer lugar es ;Si no ha sido elegido en primer lugar (lo que ocurre con una probabilidad de ), la probabilidad de que sea elegido en el segundo intento es de .en el (i+1)-simo intento, la poblacin consta de N-i elementos, con lo cual si e no ha sido seleccionado previamente, la probabilidad de que lo sea en este momento es de .Si consideramos una muestra de elementos, donde el orden en la eleccin de losmismos tiene importancia, la probabilidad de eleccin de una muestra cualquiera es Muestreo aleatorio con reposicinSobre una poblacin E de tamao N podemos realizar extracciones de n elementos, pero de modo que cada vez el elemento extrado es repuesto al total de la poblacin. De esta forma un elemento puede ser extrado varias veces. Si el orden en la extraccin de la muestra interviene, la probabilidad de una cualquiera de ellas, formada por n elementos es:Si el orden no interviene, la probabilidad de una muestra cualquiera, ser la suma dela anterior, repitindola tantas veces como manera de combinar sus elementos sea posible. Es decir, sea n1 el nmero de veces que se repite cierto elemento e1 en la muestra; sea n2 el nmero de veces que se repite cierto elemento e2; sea nk el nmero de veces que se repite cierto elemento ek,de modo que . Entonces la probabilidad de obtener la muestra El muestreo aleatorio con reposicin es tambin denominado muestreo aleatorio simple, que como hemos mencionado se caracteriza por quecada elemento de la poblacin tiene la misma probabilidad de ser elegido, ylas observaciones se realizan con reemplazamiento. De este modo, cada observacin es realizada sobre la misma poblacin (no disminuye con las extracciones sucesivas).Sea X una v.a. definida sobre la poblacin E, y f(x) su ley de probabilidad. Adems todos las observaciones de la v.a. son independientes, es decirLas relaciones(7.1)-(7.2) caracterizan a las muestras aleatorias simples.La seleccin de una muestra aleatoria puede realizarse con la ayuda de #.#>3.5. MUESTREO NO ALEATORIO: DIRIGIDO, POR CUOTAS,DELIBERADO.En general, el muestreo no aleatorio es aquel que elige cada uno de los elementos de lamuestra sin entervencion del azar. Es decir, los elementos se seleccion bajo algun critero, donde no interviene la casualidad. Su principal debilidad es que sus resultados no tienen propieades para hacer inferenciaestadistica acerca de la poblacion.Entre los mas conocidos esta el muestreo sistematico,que no se incluye aqui, el muestreo por cuotas, etc. En el muestreo sistematico se ordenan los elementos bajo algun criterio, estatura, promedio,tamao de ingreso, poblacion, etc. y se van eligiendo los elementos, bajo unadiscriminacion sistematica. El muestreo por cuotas se asienta generalmente sobre la base de un buen conocimientode los estratos de la poblacin y/o de los individuos ms "representativos" o "adecuados para los fines de la investigacin Entre los tipos comunes de muestras no aleatorias se incluyen: 1. Muestra de conveniencia. Un grupo existente, por ejemplo la gente en una reunin,2. podra ser designado como muestra. Este es un mtodo fcil y barato, pero el sesgo 3.suele ser imposible de estimar. El mtodo es popular en las demostraciones de cursos4. sobre mtodos, donde los datos obtenidos de la muestra no se usarn. Asimismo, esto 5.es un mtodo posible cuando usted necesita a algunos clientes potenciales asistir al6. desarrollo de producto, a condicin de que los resultados obtenidos sean probados7. ms adelante con una muestra mejor escogida de la clientela-objetivo. 2. Muestra de voluntarios es creada cuando todos los miembros de la poblacin tienen laoportunidad de participar en la muestra. Si usted inserta una forma de cuestionario en un peridico o en una pgina del Internet y pide que la gente d sus opiniones sobre un asunto, usted conseguir una muestra de voluntarios. Un otro ejemplo es la respuesta de los clientesque llega a una empresa. Una muestra de voluntarios puede ser una alternativa prctica cuando no hay lista de los miembros de la poblacin de quien una muestra aleatoria se podra escoger, o cuando es difcil de contactar a la gente en una muestra porque sus direcciones no se saben.La desventaja es que es difcil determinar la presencia del sesgo, es decir si las opinionesu otras caractersticas interesantes de los voluntarios se desvan de sos de la poblacin.Cuando en vista de esta pregunta, hay dos cuestiones que plantearse: Qu es la poblacin que usted apunta? Es cierto que todos los miembros de la poblacin concernida tenan las mismas oportunidades de ser incluidos en la muestra?Hay cualquier razn por qu puedan diferir los voluntarios del resto de la poblacin? Por ejemplo, tienen ellos, o por lo menos algunos de ellos, una razn especial para ofrecerse? Muestra - bola de nieve. Cuando se entrevista a miembros de un grupo,podemos pedir a las personas que nos indiquen otros individuos en ese grupoque podran dar informacin sobre ese tema; podramos tambin pedirles quenos indicasen personas que compartan sus puntos de vista y tambin otras quesean de opinin opuesta. Entonces entrevistaremos a nuevos individuos ycontinuaremos del mismo modo hasta que no obtengamos nuevos puntos devista de nuevos entrevistados. Este es un buen mtodo por ejemplo pararecoger los distintos puntos de vista existentes en un grupo, pero su i nconveniente es que no obtenemos una idea exacta de la distribucinde las opiniones. Una muestra que consiste en todos los casos disponibles.A veces el investigador es interesado en una poblacin de que slo unos pocoscasos o especmenes estn disponibles para el estudio, y estos entonces debenservir como una muestra de la poblacin. Tales muestras tpicas son: 4a. Casos restantes4b. Casos permitidos. UNIDAD4 4. -INFERENCIA ESTADSTICALa Inferencia Estadstica es aquella rama de la Estadstica mediante la cual se trata de sacar conclusiones de una poblacin en estudio, a partir de la informacin que proporciona una muestra representativa de la misma. Tambin es denominada Estadstica Inductiva o Inferencia Inductiva ya que es un procedimiento para generar nuevo conocimiento cientfico. La muestra se obtiene por observacin o experimentacin. La necesidad de obtener un subconjunto reducido de la poblacin es obvia si tenemos en cuenta los costes econmicos de la experimentacin o el hecho de que muchos de los mtodos de medida son destructivos. Toda inferencia inductiva exacta es imposible ya que disponemos de informacin parcial, sin embargo es posible realizar inferencias inseguras y medir el grado de inseguridad si el experimento se ha realizado de acuerdo con determinados principios. Uno de los propsitos de la inferencia Estadstica es el de conseguir tcnicas para hacer inferencias inductivas y medir el grado de incertidumbre de tales inferencias. La medida de la incertidumbre se realiza en trminos de probabilidad. La inferencia Estadstica puede dividirse en dos apartados de acuerdo con el conocimiento sobre la distribucin en la poblacin. De acuerdo con la forma en que se estudian los parmetros o caractersticas desconocidas, la inferencia puede dividirse en dos apartados: Estimacin: Se intenta dar estimaciones de los parmetros desconocidos sin hacer hiptesis previas sobre posibles valores de los mismos. Estimacin puntual: Un nico valor para cada parmetro. Estimacin por intervalos: Intervalo de valores probables para el parmetro. Contraste de Hiptesis: Se realizan hiptesis sobre los parmetros desconocidos y se desarrolla un procedimiento para comprobar la verosimilitud de la hiptesis planteada. Veamos los conceptos con un ejemplo concreto tomado de un estudio de investigacin real. El estudio pertenece a otro ms amplio llevado a cabo en colaboracin por los Departamentos de Qumica Analtica, Nutricin y Bromatologa , y Estadstica y Matemtica Aplicada. El objetivo original del trabajo consiste en estudiar los vinos jvenes embotellados de dos Inferencia. 4.1 ESTIMACIN PUNTUAL Y POR INTERVALOS DE CONFIANZA.Si a partir de las observaciones de una muestra se calcula un solo valor como estimacin de un parmetro de la poblacin desconocido, el procedimientos se denomina estimacin puntual.Por ejemplo queremos estimar la nota media de los alumnos de bachiller en la asignatura de matemticas que notaremos. Sea X la variable aleatoria que indica la nota obtenida por cada estudiante. Tomamos una muestra de tamao n y denotamosla nota media de la muestra. Si al tomar unamuestra de 100 estudiantes o obtenemos que la media es 62, este nmero lo tomaramos comoestimativo de. Decimos que 62 es una estimacin puntual deUn estimador puntual T de unparmetroes cualquier estadstica que nos permita a partir de los datos mustrales obtenervalores aproximados del parmetro. Para indicar que T es un estimador del parmetroescribimos=T . Con esto queremos decir que empleamos la expresin dada mediante T para obtener valoresprximos al valor del parmetro.Es muy probable que haya error cuando un parmetro es estimado. Es cierto que si el nmero deobservaciones al azar se hacesuficientemente grande, stas proporcionaran un valorque casi sera semejante al parmetro; pero amenudo hay limitacionesde tiempo y de recursos y se tendr que trabajar con unas cuntas observaciones. Para poder utilizarla informacin que setenga de la mejor forma posible, se necesita identificar las estadsticas que seanbuenos estimadores. Hay cuatro criteriosque se suelen aplicar para determinar si una estadsticaes un buen estimador: Insesgamiento, eficiencia, consistencia y suficiencia. ESTIMACION POR INTERVALOS Nos proponemos determinar dos nmeros entre los cuales se halla elparmetro estudiado con cierta certeza. El procedimiento para obtener un intervalo (de confianza) para unparmetro, la media, por ejemplo, requiere de la determinacin deun estimador del parmetro y de la distribucin del estimador. Ejemplo Tratamos de obtener un intervalo de confianza para la media de unapoblacin normal. Sabemos que si X sigue una normal de mediay varianzaentonces lamedia muestral sigue una normal de la misma media y de varianza la varianza poblacional partida por n, tamao de la muestra. Vamos a determinar a y b tales que P[a< 50 cm/seg De donde puede surgir una Hiptesis Nula sobre un parmetro? Cul sera el inters dependiendo del origen de la hiptesis? 1) Origen: Experiencia, pruebas pasadas o conocimiento del proceso. Inters: averiguar si ha cambiado el parmetro 2) Origen: Alguna teora o modelo sobre el funcionamiento del proceso. Inters: Verificar la valids de dicha teora 3) Origen: Especificaciones de diseo, obligaciones contractuales, normas a cumplir o solicitudes del cliente. Inters: probar el cumplimiento o incumplimiento de las especificaciones. La verdad o falsedad de la hiptesis NO puede conocerse con total seguridad a menos que pueda examinarse toda la poblacin UMSNH - FIE Procedimiento General para la prueba de una hiptesis Tomar un muestra aleatoria Calcular un estadstico basado en la muestra Usar el estadstico y sus propiedades para tomar una decisin sobre la Hiptesis Nula UMSNH - FIE Ejemplo: Consideremos el ejemplo anterior de la rapidez de combustin. Aqu se tena:H0: = 50 cm/seg H1: = 50 cm/seg Aceptacin de H0.- Un valor de la media muestral x muy cercano a 50 cm/seg es una evidencia que apoya a la hiptesis nula, sin embargo es necesario introducir un criterio para decidir que tanto es muy cercano, para el ejemplo este criterio pudiera ser: 48.5 s x s 51.5, si esto ocurre se acepta H0

De lo contrario, es decir, six < 48.5 o x >51.5, se aceptaH1 _ _ __ 48.5 5051.5 Regin CrticaRegin de aceptacinRegin Crtica Se acepta H1Se acepta H0Se acepta H1

=50 = 50 = 50 Valores Crticos UMSNH - FIE El procedimiento anterior puede llevarnos a una de dos conclusiones errneas: Error Tipo I.- Se rechaza H0 cuando sta es verdadera En el ejemplo se cometer un error de tipo I cuando =50, pero x para la muestra considerada cae en la regin crtica Y se cometer un error de tipo II cuando = 50 pero x para la muestra considerada cae en la regin de aceptacinError Tipo II.- Se acepta H0 cuando sta es falsa _ _ Condicin real Decisin H0 verdaderaH0 falsa Rechazar H0 Error Tipo Iok Aceptar H0 okError Tipo II UMSNH - FIE A la probabilidad de cometer un error de Tipo I se denota por o, y se le llama el nivel o tamao de significancia de la prueba es decir o = P(error Tipo I)= P(rechazar H0 | H0 es verdadera) Ejemplo: Calcular o para el ejemplo de la rapidez de combustin para una muestra de N=10 datos, suponiendo que la desviacin estndar de la rapidez de combustin es o=2.5 cm/seg._ o = normcdf(48.5,50,0.79) + (1-normcdf(51.5,50,0.79)) = 0.288+ 0.288 = 0.0576 Esto significa que el 5.76% de