Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua, ManaguaUnan-Managua

Faculta de Educación e IdiomaDepartamento de Matemática

Tema: Identidades Trigonométricas

Elaborado Por:

Mileydi Raquel Samayoa Meyling Martínez Barahona Juan Antonio Martínez Marín

Carrera: Física-Matemática

Año: IV

Asignatura: Didáctica de las Matemáticas

Docente: Msc. María José López

Managua, 30 de Junio de 2012

1

Introducción

En el presente trabajo aborda una intervención didáctica relacionada con el tema de identidades trigonométricas, para dicha intervención primeramente se indagó los conocimientos previos de las y los estudiantes al realizar un diagnostico, sobre factorización, productos notables, operaciones con fracciones algebraicas, ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas que constituyen la base para el aprendizaje de las identidades trigonométricas.

A través de la intervención didáctica se prevé que las y los estudiantes del décimo grado puedan consolidar los conocimientos respecto a los temas antes mencionados a fin de introducir la temática de identidades trigonométricas.

Es meritorio mencionar que el Ministerio de Educación (MINED) establece como competencia de grado para dicha temática las siguientes:

Aplica funciones trigonométricas y sus propiedades a la demostración de identidades y la solución de ecuaciones.

Resuelve problemas de su entorno a través de la ley de seno y del coseno.

El indicador de logro que se va a trabajar después de la aplicación de la intervención es:

A plica las identidades trigonométricas fundamentales, de la suma y resta, ángulo medio y ángulo doble en la demostración de identidades trigonométricas.

Es primordial que las y los educandos puedan alcanzar el indicador de logro planteado a fin de poder aplicar los conocimientos adquiridos en situaciones de la vida real y de su entorno.

2

Tema general:

Identidades trigonométricas

Tema especifico:

Identidades trigonométricas fundamentales

Conocimientos previos:

1. Producto notables2. Factorización3. Operaciones con fracciones algebraicas4. Ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas

Competencia de Grado

Aplica funciones trigonométricas y sus propiedades a la demostración de identidades y la solución de ecuaciones.

Resuelve problemas de su entorno a través de la ley de seno y del coseno.

Indicadores de logro:

A plica las identidades trigonométricas fundamentales, de la suma y resta, ángulo medio y ángulo doble en la demostración de identidades trigonométricas.

Objetivo general :

Proponer una intervención pedagógica para la enseñanza de las identidades trigonométricas desde un enfoque por competencia.

Objetivos específicos:

Realizar un diagnóstico sobre el grado de asimilación que las y los estudiantes de décimo grado tienen acerca de las temáticas de: productos notables, factorización, fracciones algebraicas, ecuaciones lineales y cuadráticas, los cuales son conocimientos previos para poder introducir la temática de Identidades Trigonométricas.

Elaborar estrategias metodológicas para el reforzamiento de las dificultades manifestadas por los estudiantes en el diagnóstico para la temática de identidades trigonométricas.

Elaborar conclusiones sobre el desarrollo de los estudiantes durante la intervención a partir del análisis.

3

PRUEBA DIAGNOSTICA

El siguiente diagnostico tiene como propósito indagar el aprendizaje de los conocimientos sobre factorización, productos notables, despeje de ecuaciones, operaciones con fracciones, trigonometría.

El presente diagnóstico carece de puntaje.

I. Completa la siguiente tabla:

Producto factor Factor2 a-3b 2 a+3b

X2-2xy+y2

3x+5y 3x+5y4a 2-20ab+25b2

X2+5x+6 X+314m2-9m-8

II. Despeje lo que se te indiquea. La altura (h) en la ecuación de la energía potencial gravitatoria

EPG= mgh

b. En el teorema de Pitágoras el cateto a.H2= a2+b2

c. Seno en la definición de tangenteTanx=senx Cosx

d. La masa (m) en la ecuación de la energía cinética.

Ec=1/2 mv2

III. Resuelve las siguientes operaciones con fracciones algebraicas y simplifique hasta la más mínima expresión a. X 2 +5x+6 ÷ x+2

X+3 x+4

b. X-3 . 36x2-9

c. 5x + 2 .X2-9 x+3

IV. Une con una raya cada función trigonométrica y su recíprocaa. 1/cosx secxb. Tanx 1/senxc. Cscx senx/cosxd. Cotx 1/tanx

4

DATOS DEL DIAGNOSTICO

El cuadro siguiente muestra los datos obtenidos por los estudiantes de décimo grado del Colegio Liceo Cultural Nicaragüense.

En el cuadro se han indicado los logros y dificultades que los y las estudiantes presentaron al realizar la prueba diagnóstica.

Se establecieron dos claves diferentes para los casos en los cuales el estudiante no respondió nada o resolvió bien todos los ejercicios estas son:

NRS: No resolvió ni un solo ejercicio

RBT: Resolvió bien todo.

Al aplicar la prueba diagnóstica se solicitó a los y las estudiantes que no escribieran su nombre en la misma, sino que en virtud de esto se le asignó a cada prueba un número posteriormente esto con fines de análisis.

El cuadro se puede apreciar en las siguientes dos páginas.

5

Tabla Resumen de los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica.

Clave Factorizacion Productos Notables Despeje de Ecuaciones Operaciones con Fracciones

Trigonometria

01Se confunde en la resolución de trinomios.

No aplica las formulas del cuadrado y diferencia de dos cantidades.

Al despejar no aplica las propiedades de la igualdad.

NRS RBT

02 NRS NRS NRS NRS RBT

03

Confunde el desarrollo de cada uno de los casos, lo que es el trinomio y binomio.

Aplicaciones de operaciones con polinomios a la resolución de los binomios.

NRS NRS No reconoce las funciones con sus reciprocas.

04

NRS No aplica correctamente la ley de los signos de la multiplicación, al momento de resolver binomios y trinomios.

NRS NRS RBT

05 NRS NRS No pudo despejar ecuaciones no conocidas.

NRS RBT

06NRS NRS Aplicar las propiedades de

las propiedades de la igualdad.

NRS RBT

07

La ley de los signos de la multiplicación,

Multiplicación de polinomios por polinomios.

Desarrolla solo ecuaciones conocidas, no puede aplicar para variables diferentes.

Reconocer los casos de factorización, eso impidió el desarrollo de cada operación.

RBT

08No pudo resolver el trinomio de la forma ax2+bx+c

NRS Aplicar las propiedades de las propiedades de la igualdad.

NRS RBT

09NRS La ley de los signos de la

multiplicación y la ley de los exponentes.

Aplicar las propiedades de las propiedades de la igualdad.

NRS RBT

6

Tabla Resumen de los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica.

Clave Factorización Productos Notables Despeje de Ecuaciones Operaciones con Fracciones

Trigonometría

10 NRS No aplicó la multiplicación de binomio por el mismo.

NRS NRS No reconoce las funciones con sus reciprocas.

11No reconoce los casos de factorización.

NRS No aplicó correctamente los inversos de las operaciones.

No aplicó los casos de Factorización.

RBT

12NRS NRS No aplicó correctamente

los inversos de las operaciones.

NRS RBT

13Problemas con los exponentes.

Problemas con los signos. Problemas al aplicar los inversos de las operaciones.

Problemas al aplicar los casos de factorización.

Problemas al reconocer el cociente.

7

Análisis de los Resultados del Diagnóstico.

Al realizar el análisis correspondiente al diagnóstico, se pudo observar las estrategias que las y los educandos utilizan para resolver ejercicios relacionados con las temáticas de factorización, productos notables, despeje de ecuaciones y en la resolución de fracciones algebraicas, su mayor progreso está en reconocer las funciones trigonométricas con sus recíprocas.

En lo referente al contenido de factorización, la principal causa de que los y las estudiantes no hayan resuelto los ejercicios fue la identificación del procedimiento a seguir para resolver dichos casos, dicho caso se presentó en un 80% de las pruebas analizadas,

Por ejemplo cuando se le solicitó a los estudiantes que expresaran los factores de 4a2 – 20ab +

25b2, éstos no pudieron aplicar el procedimiento del cuadrado de una diferencia, y tampoco lo

pudieron resolver aplicando el caso siete de factorización según el álgebra Baldor, dejando la

respuesta en blanco, cuando su solución era: (2a - 5b)2.

Al analizar el ítem de productos notables, se observó que la mayor dificultad presentada por los estudiantes se da al desarrollar el cuadrado o cubo de un binomio, en este particular los estudiantes no aplican la regla a como debe de ser , por lo general lo que realizan es multiplicar el binomio por el mismo, teniendo problemas fundamentales en aplicar la ley de los signos al momento de multiplicar y al realizar las respectivas sumas o restas, así mismo cuando multiplican la variable multiplican sus exponentes en virtud de sumarlos, esto se presentó en un 87% de los casos.

Ejemplo de esto es:

(2a – 3b)(2a + 3b), ellos en este caso lo resolvieron así:

2a – 3b* 2a + 3b4a2 – 6ab +6ab - 9b 2 4a2 - 9b2

Llegando a la respuesta, pero a como se mencionó antes sin aplicar el procedimiento relacionado al producto.

Con respecto al despeje de ecuaciones la principal causa de los resultados fue que son capaces de despejar las ecuaciones conocidas, no así con las desconocidas, cuando pasan una cantidad al otro lado de la igualdad no aplican las leyes sino que la pasan con su mismo signo lo cual les altera el resultado, ocurre algo similar cuando quieren trasladar una cantidad que esta como denominador al otro lado de la igualdad, no aplican las leyes de las proporciones, sino que esta es colocada como denominador y no como numerador, algunos ejemplos de dicha situación son:

a. Despejar en el teorema de Pitágoras uno de los dos catetos (a,b)

H2= a2+b2

La respuesta debería de ser

a=√H 2−b2 ó b=√H 2−a2

Pero los educandos respondieron:

a=√H 2+b2 ó b=√H 2+a2

En cuanto a las fracciones algebraicas, dado que los estudiantes no reconocen los casos de factorización y productos notables, estos no pudieron resolver fracciones que requerían este tipo de procedimiento, esto se da en más del 95% de los y las estudiantes.

Conclusiones

Podemos concluir que las mayores dificultades presentadas por los estudiantes en el diagnóstico son la resolución de ejercicios de factorización en un 80%, productos notables con un 87%, fracciones algebraicas en un 100% (no pudieron resolver un solo ejercicio) y despeje de ecuaciones donde esto ocurre en el 75% de los diagnósticos analizados.

No podemos negar que aun cuando los estudiantes no aplican los procedimientos sugeridos para resolver los ejercicios de productos notables, estos utilizan la multiplicación de expresiones algebraicas para obtener las cantidades o expresiones indicadas, sin embargo en algunos casos al realizar la multiplicación se equivocan con los signos lo que al simplificar no les permite obtener el resultado deseado.

Cabe destacar que la mayor fortaleza que presentan los estudiantes es el reconocer las funciones recíprocas de las funciones trigonométricas.

De igual forma hemos determinado que es necesario para la temática de identidades trigonométricas incluir en el diagnóstico las temáticas de ecuaciones lineales y cuadráticas. (Ver anexo).

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Propuesta de Intervención.

La presente propuesta de intervención didáctica es el resultado del análisis realizado al diagnóstico aplicado a los y las estudiantes del décimo grado de secundaria del Colegio Liceo Cultural Nicaragüense sobre las temáticas de productos notables, factorización, operaciones con fracciones algebraicas, ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas, estás dos últimas temáticas las incluimos dada la importancia para poder introducir la temática de identidades trigonométricas a los y las estudiantes de decimo grado del colegio liceo cultural nicaragüense con las bases bien aprendidas.

Debido a que las mayores dificultades encontradas en el diagnóstico se aglomeran en la identificación y solución de productos notables y resolución de operaciones con fracciones algebraicas, y la importancia antes mencionada de las ecuaciones lineales y cuadráticas, esta propuesta se basa principalmente en reforzar estos contenidos.

Estrategia Metodológica: Reforzamiento.

Área: Matemática

Grado: 10mo

Indicador de logro: Aplica las identidades fundamentales, pitagóricas, de la suma, resta, Angulo medio, ángulo doble en la demostración de identidades.

Contenido:

Productos notables Factorización Fracciones algebraicas Ecuaciones lineales y cuadráticas Identidades Trigonométricas

Estrategias a desarrollarProductos notables

Iniciamos a través de una actividad, lluvia de ideas, aplicando las siguientes preguntas:a) ¿Qué entiende por producto Notable?b) Mencione algunos productos notables que conozcas.c) Menciona algunas características comunes en los productos notables.

I. Resuelve los siguientes ejercicios, señalando a la par las características y el nombre que recibe el producto resultante.

a. (3x2+5y3)(3x2+5y3)b. (5mn+4n2)(5mn-4n2)c. 9x3(5y2+4z3)d. (9x2+5x3)(9x2+5x3)(9x2+5x3)e. (7x4-3)3

f. (4x2-2)2

10

g. (9x3+7y2)(9x3-7y2)h. (6m2-3n3)(6m2+3n3)i. (4a2b+3cd) (4a2b-3cd)j. (7pr-8)9x2

k. (4mn+7)2

l. (8x3+7y2)(8x3+7y2)m. (6mn-3n3)(6mn-3n3)(6mn-3n3)n. 3(x+y)o. (x-y)(x+y)

1. Verificar en los ejercicios anteriores que factores tienen la mismas características escríbelos.

Ejemplo:g. (9x3+7y2)(9x3-7y2)o. (x-y)(x+y)

2. Anota el producto de cada factor común y anota la regla que plantearías para resolverlos.Ejemplos:

(9x3+7y2)(9x3-7y2)= 81x6-49y4

(x-y)(x+y)=x2-y2

Es multiplicar los términos comunes, elevar al cuadrado cada término de cada expresión. (Esta seria una de las respuestas de los estudiantes)

Formulando los conceptos con ayuda de la docente se concluye:

Formalizando:

1. X(a+b)=ax+bx2. (a+b)2= a2+2ab+b2

3. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

4. (a-b)2= a2-2ab+b2

5. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

6. (a+b)(a-b)=a2-b2

Si te das cuenta al resolver un caso de producto notable damos lugar a un caso de factorización.

I. Completo el o los términos que faltan en los productos notablesa. (x+3)2= x2+________+9

b. (x-5)2= ______-10x+25

c. (x-7)2=______-______+49

d. (x+9)2= x2+______+81

11

e. (__-8)=x2-______+_______

f. (x-25)(x+25)= x2-_______

II. En los siguientes productos notables corrijo y escribo la solución correctaa. (3y-6)2=9y2+36x-36 __________________________b. (2c+8)2=4c2+32c+16___________________________c. (4f-11)2=16f2+88f-121_________________________d. (x+16)2=x2+32x+526_________________________e. (x-13)(x+13)= x2+169_______________________

III. Desarrolle y después simplificaa. 9 - (4b+4)2

b. 12 - (8c+3)2

c. 2(1/2y+5)2

d. (3x+1)2 + (4x+1)(4x-1)e. 6x + 1 - (7x-4)2

IV. Responde falso o verdaderoa. A3+b3= (a+b)3 __________

b. X2+y2= (x+y)(x+y) _______

c. (x-y)(x-y)=x2+y2_________

d. 2(t3-u3)=(t-u)(t2+tu+u2) ______

V. Escribe en el paréntesis la letra correspondiente para que coincida el resultado con la operación indicada.a. (x+5)2 ( ) x3+12x2+48x+64b. (a +b)2 ( ) x2+10x+25c. (8-a)2 ( ) 25 a2 -100bd. (3x4-5y2)2 ( ) 25y2a -50ya-56e. (5 a +10b)(5 a -10b) ( ) 4x2a -32xaya+64ya

f. (7x2-12y3)(7x2+12y3) ( ) x2+8x+15g. (x+4)3 ( ) 49x4-144y6

h. (2xa-8ya)2 ( ) 49 a2+14ab+b2

i. (x+5)(x+3) ( ) 9x8-30x4y2+25y4

j. (5ya+4)(5ya+4) ( ) 64-16 a +a2

VI. Resuelve los siguientes ejercicios si hay producto notable los aplicas1. 3(x-3)2 -3x(4x-1)-(2x+1)2

2. (x-4)(x+5)(x-5)(x+4)

12

Se escribe en una cartulina y se cortaran los factores y el producto de cada uno de los siguientes ejercicios. Se combinaran con los estudiantes y se pegara la respuesta correcta en la pizarra.

(senx-cosx) (senx+cosx)= sen2x-cos2 x

(senx+cosx)2= sen2x+2senxcosx+cos2x

(senx+cosx)3=sen3x+3sen2xcosx+3sencos2x+cos3x

(senx-cosx)2= sen2x-2senxcosx+cos2x

Factorización

Para empezar a desarrollar este tema, se aplicó la dinámica del lápiz hablante realizando las siguientes preguntas a los educandos:

a) ¿Qué entiendes por factorización?b) ¿Conoces algunos casos de factorización? Menciónalos.c) ¿Qué relación existe entre productos notables y la factorización?

Se presenta la siguiente tabla solicitando a los estudiantes que determinen los factores:

Producto Factor

Factor

X2-y2

A2+2ab+b2

X2-8x+12X2-9 x-336q2-4p2 6q-2p4x2+8ax2x2+11x+5 X+5X2+10x+25

Generalizando:

Mediante la inversión de las formulas de producto notables, tenemos las siguientes formulas importantes de factorización:

a. Cuadrado de una suma x2+2xy+y2= (x+y)2

b. Cuadrado de una diferencia: x2-2xy+y2= (x-y)2

c. Diferencia de cuadrados: x2-y2= (x-y)(x+y)d. Suma de cubos: x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)e. Diferencia de cubos: x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)

13

I. Factoriza los siguientes polinomio:.

Resolverán los siguientes ejercicios aplicando los diferentes casos de factorización.

a. 2ab + 4a2b - 6ab2 =

b. b2 - 3b - 28 =

c. 49x2 - 14x + 1 =

d. 4a2 + 4a + 1 =

e. 25m2 - 70 mn + 49n2 =

f. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

g. bx - ab + x2 - ax =

h. ax + ay + x + y =

i. 4 - 12y + 9y2 =

j. x2 + 2x + 1 - y2 =

k. a2 + 12ab + 36b2 =

l. x16 - y16 =

m. 49x2 - 64t2 =

n. 121 x2 - 144 k2 =

o.

125x4− 9

16y4=

p. 5 - 180f2 =

14

q. 3x2 - 75y2 =

r. 2a5 - 162 a3 =

s. 4h2 + 5h + 1 =

t. 7x2 - 15x + 2 =

u. 2x2 + 5x - 12 =

v. 6a2 + 23ab - 4b2 =

w. a2 + 7a + 10 =

x. x2 - x - 2 =

y. s2 - 14s + 33 =

z. y2 - 3y - 4 =

aa. 8x2 - 14x + 3 =

bb. 7p2 + 13p - 2 =

cc. 2x2 - 17xy + 15y2 =

15

Fracciones algebraicas Antes de desarrollar ejercicios en donde resuelvan expresiones algebraicas se realizaran las siguientes preguntas de exploración:

1. ¿Qué es fracción algebraica?2. Proponga tres ejemplos de fracciones algebraicas3. Explica el procedimiento que debes de utilizar al simplificar fracciones

algebraicas

Reconoce que para resolver fracciones algebraicas debes de aplicar correctamente las formulas de factorización y operaciones con polinomios.

Se realizara una competencia entre los estudiantes en donde pasaran a resolver a la pizarra los siguientes ejercicios, para esto se formaran dos grupos y se rifará el ejercicio que deben resolver cada miembro del grupo en la pizarra.

1. Z 2 -9 Z3+27

2. W 3 -9w W3-6w2+9w

3. Ax-ay+bx-by 2ax-by-ay+2bx

4. X 4 +4x 2 +16 X3+8

Se aclararan cada una de las dudas en el desarrollo de cada ejercicio

I. Simplifica cada una de las siguientes fracciones algebraicas

1)

a2

ab = 2)

21mn2 x6

28m4 n2 x2 = 3)

x2 yxy =

4)

14 a3b4c5

21b5 c2 = 5)

42a2c3n26a4 c5m = 6)

2a

8a2b =

7)

9 x2 y3

24 a2 x3 y4 = 8)

17 x3 y4 z6

34 x6 y12 z10 = 9)

15a12b15 c20

75a11b16 c22 =

10)

3ab

2a2 x+2a3 = 11)

xy

3x2 y+3 xy 2 = 12)

x2−5 x+62 x−6 =

13)

15a2 bn−45a2bm10a2 b2n−30a2b2m = 14)

x2−45ax−10a = 15)

3x2 y+15 xyx2−25 =

16)

a2−a−20a2−7a+10 = 17)

3x3+9 x2

x2+6 x+9 =

16

Responde:

¿Cómo crees que se resuelven la suma y diferencias de fracciones algebraicas?

Toma en cuenta que para resolver las operaciones con fracciones algebraicas debes de aplicar siempre factorización.

Resuelve las siguientes operaciones con fracciones algebraicas.

II. Efectuar las siguientes sumas y restas con fracciones algebraicas:

1)

9x+ 5x−7x=

2)

4

a2− 5

a2− 9

a2=

3)

6 x3x−2

− 43 x−2

=

4)

4m2m+5

+ 5m+62m+5

−7m+82m+5

= 5)

1x+ 23x

− 54 x

= 6)

95x

− 52x

+ 3x=

7)

6

x2+ 72 x

− 53 x

= 8)

m−22m

+ 3m−15m

= 9)

x+68x

−2 x+512x

=

10)

y ( x+ y )x2− y2

− xx− y

= 11)

mm+4

+ 7m

m2+m−12=

12)

xx−2 y

− 2xy

x2−2xy+ yx=

13)

2xy

− x2

xy− y2+ yx− y

=

III.- Efectuar las siguientes multiplicaciones y divisiones con fracciones algebraicas:

1)

3 x2 y

⋅4 y2

9x=

2)

5 y2

ax 2⋅2ax

2

10by=

3)

3 (a−b )2x

⋅−17 (a−b )19x3

=

4)

x−2x−3

⋅x−3x−6

⋅35=

5)

−x3 y4

x4 y5⋅ x7 y8

−x16 y3=

6)

x2+5 x+6x+1

⋅2 x+23 x+9

=

7)

x2−x−6x2−5 x−14

⋅x2−3x−28x2−8 x+15

=

8)

m2+14m+48m2+4m−21

:m2+4m−32m2+3m−28

=

9)

7m2

ab2:14my2ab2

=

10)

x2−8 x+15x−1

:5 x−153 x−3

=

11)

x2+9 x+14x2−x−6

:x2+5 x−14x2+3 x−18

=

12)

m2+8m+16m2−m−20

:m2−11m+24m2−8m+15

=

17

13)

3 y2

mx3:15 ay5mx3

=

14)

x2+7 x+10x+5

:3 x+62x−14

=

15)

x2−2 x−3x2−8 x+15

:x2+5 x−6x2+x−30

= 16)

m2−8m+15m2−9m+20

:m2+2m−8m2−6m+8

=

Ecuaciones lineales y cuadráticas

A través de una actividad “el marcador hablante” responde:

1. ¿A qué llamamos ecuaciones?2. ¿Cómo diferencias una ecuación lineal de una ecuación cuadrática?3. Escribe los pasos para resolver una ecuación lineal4. Escribe el procedimiento para resolver una ecuación cuadrática.5. Menciona los métodos que se utilizan para resolver ecuaciones cuadráticas.6. Escribe a la par de cada ecuación si es lineal o cuadrática:

a. 5x + 2 = 8x + 8b. 4b2 + 2r – 1 = 0c. 1/3 a - 2/5=0d. 2r2-3=-3-2(2r-r2)e. Y2-42-y=0f. 1-25b2

g. 2d+14=0

Luego de haber contestado estas preguntas se concluirá que:Una ecuación es una afirmación de que dos expresiones son iguales, una ecuación de la forma ax+b=0, siendo a diferente de cero. Se conoce como ecuación linealY una ecuación de la forma ax2+bx+c=0 se conoce como ecuación cuadrática o de segundo grado.

I. Analiza el siguiente problema:La profesora Yareth Propone a sus alumnos que determinen el valor de la variable en la ecuación -5w + 1 = 2. José dice que la solución es w = 3, Bertha afirma que José se equivocó y que el valor es w = 1/5, Luciano dice que ambos están equivocados y que la solución es w = -1/5. Estas tu de acuerdo con alguna de las afirmaciones dadas, ¿con cuál?.Argumenta tu respuesta.

II. Solucione la ecuación dada.1. 1. 2x+14=02. 3x-5=03. 7z+5=-64. -5w+1=25. 7(y+1)-2=5(y+1)+26. X-(4-x)=5(x+1)+x7. 1/3x-2/5=0

18

8. 2-6t+2(3-t)=(t-3)5-39. 0.2x+1.25=0.510. 2r2-3=-3-2(2r-r2)11. X2-16=012. 2x2+x-1=013. 1+6x+9x2=014. 4x2+4x+1=015. 1-25b2

16. X3-81x=017. X2-60=-7x18. 2a2=a+119. Y2-42-y=020. 64p2-p4=0

Identidades Trigonométricas.

Responde a las siguientes preguntas a través de una lluvia de ideas, anotando en la pizarra las respuesta:

¿Qué entiendes por identidad?Cita algunos ejemplos de identidades.¿Qué entiendes por identidad trigonométrica?

En clase se les muestran las siguientes identidades trigonométricas básicas:

(sen)2 x + (cos)2 x = 1

(tan)2 x + 1 = (sec)2 x

(ctg)2 x + 1 = (csc)2 x

tan x=(sen x)/(cos x)

ctg x=(cos x)/(sen x)

senx cscx=1

cosx secx=1

tan x ctgx=1

Como siguiente actividad se plantea el uso de un dominó trigonométrico el cual se utilizara para que los muchachos reafirmen sus conocimientos de identidades trigonométricas jugando.

Al finalizar la clase se plantean nuevamente la pregunta:

¿Qué entiende por identidad trigonométrica?

1. Brinde dos ejemplos de identidades donde utilices funciones trigonométricas que conozcas.

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2. Anota en tu cuaderno las seis funciones trigonométricas, analiza si puedes desarrollar seis identidades fundamentales.

El docente explica: las identidades son relaciones entre funciones trigonométricas que aparecen muy a menudo en cálculos de diferentes ramas de la ciencia. Son muy útiles para simplificar el desarrollo de solución de problemas que en otro caso se volverían muy tediosos.

Identidades fundamentales son aquellas que nos permiten verificar otras identidades que presentan otro nivel mayor de dificultad.

Llega a la conclusión que debes de conocer la relación entre cada función trigonométrica y que de ella se parte para resolver cada identidad trigonométrica.

Cada una de estas actividades fueron desarrolladas en clase, los estudiantes asimilaron con éxito cada una de ellas para poder introducir el contenido de identidades trigonométricas.

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Análisis de la intervención.

Durante el primer día de la intervención se comenzó a recordar las definiciones, propiedades y procedimientos a realizarse en los diferentes casos presentados, la actitud de los estudiantes fue muy positiva, respondiendo a las interrogantes presentada por el docente.

Cabe mencionar que después de haberse aplicado la prueba diagnostica fueron motivados a documentarse sobre la temática abordada en la prueba. Sin embargo en el aula de clase se tuvieron que aclarar algunos procedimientos necesarios para hacer ejercicios, se trabajo en pareja cada una con una dificultad en común, resolvieron ejercicios en la pizarra y explicaron sus procedimientos.

En la siguiente sesión de clases los estudiantes resolvieron ejercicios planteados por el docente de forma individual, por parejas y grupal se realizaron diferentes dinámicas que apoyaron a reafirmar los presaberes de los mismos.

La resolución de diferentes ejercicios en clases prácticas con actividades de competencias permitió que los alumnos se interesaran más por los contenidos y estudiarán más, el reforzamiento en este caso fue un éxito ya que se despejaron dudas y se lograron consolidar los saberes previos de los alumnos y alumnas.

Al introducir la temática de las identidades trigonométricas los alumnos estuvieron motivados con la dinámica integradora relacionada con las figuras geométricas, ellos lograron identificar cuando es una identidad y lograron definir sus características.

Al resolver ejercicios hubo una mayor comprensión del concepto de identidad, se proporcionaron ejercicios como tareas en casa los cuales fueron revisados en sesiones posteriores de clase.

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Conclusiones

La intervención didáctica nos permitió obtener mejores resultados al introducir la temática de Identidades Trigonométricas.

Para este caso fue vital el diagnóstico aplicado a los y las estudiantes del décimo grado permitiéndonos ver las temáticas que requerían un reforzamiento y así poder introducir con una base sólida la temática de Identidades Trigonométricas.

Los estudiantes en cada clase de reforzamiento se vieron motivados logrando resultados exitosos ya que los estudiantes recordaron a su totalidad cada una de las temáticas.

Esta Intervención se realizó a través de clases prácticas, donde las y los estudiantes resolvieron individual y grupalmente ejercicios relacionados con las temáticas de factorización, productos notables, despeje de ecuaciones, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales y cuadráticas, al finalizar el reforzamiento se aplicó una prueba para comprobar la asimilación de los contenidos.

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Bibliografía

1. Baldor, Álgebra.2. Escobar, César, Fundamento de Matemáticas de 8vo. Grado3. Escobar, César, Fundamentos de Matemática de 9no. Grado4. Swokoski, Algebra con Trigonometría y Geometría Analítica5. Zill, Dennis, Algebra y Trigonometría.6. www. didactica%20de%20las%20matemáticas1/1191535.html7. www. didactica%20de%20las%20matemáticas1/ver.html

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Propuesta a anexar al diagnóstico sobre ecuaciones lineales y cuadráticas.

I. Responde a las siguientes Preguntas:1. ¿Qué entiende por ecuación?2. ¿Qué una ecuación lineal?3. ¿Qué es una ecuación cuadrática?4. Establezca diferencias entre ecuaciones lineales y cuadráticas.

II. Escribe a la par de cada ecuación si es lineal y cuadrática.1. X2-y2=02. 5d + 3 = 3 – 4d3. (x+c)2=d2

4. 12 – 6c = 9c + 35. 16x2+8dx+d2=0

III. Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. 3d2 + 8d – 42. 4x + 12 = 15 – 13 x3. 9a2 = 5 – 12ª4. 3f = 12f - 15

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