UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADMICO COORDINACIN DE EVALUACIN ACADMICA AREA DE MATEMATICA. NIVEL CENTRAL LAPSO 2011-1

TRABAJO DE DIDCTICA DE LA GEOMETRIA TEMA

Actividades Relacionadas con la geometra especficamente en el liceo bolivarianoNOMBRE DEL ESTUDIANTE: ALBARO JOSE DUGARTE CEDULA DE IDENTIDAD: V-4.4492.667 CORREO ELECTRNICO: ajdugarte@uc.edu.ve CENTRO LOCAL: CARABOBO CDIGO DEL CENTRO LOCAL: 0700 ASIGNATURA: DIDACTICA DE LA GEOMETRIA CDIGO DE LA ASIGNATURA: 552

A MANERA DE INTRODUCCION

El estudio de las propiedades de las figuras y los cuerpos implica mucho ms que reconocerlas perceptivamente y saber sus nombres. Implica conocer, cada vez con mayor profundidad, sus propiedades y poder tenerlas disponibles para resolver diversos tipos de problemas geomtricos. Este aspecto es posible de ser abordado desde el primer ciclo. El modo de pensar geomtrico supone poder apoyarse en propiedades estudiadas de las figuras y de los cuerpos para poder anticipar relaciones no conocidas. Se trata de poder obtener un resultado, en principio desconocido a partir de relaciones ya conocidas. Esta es la anticipacin. Por otra parte poder hay que saber que dicho resultado es el correcto porque las propiedades puestas en juego lo garantizan. En geometra el modo de demostrar la validez de una afirmacin no es emprico (por ejemplo midiendo o dibujando), sino racional (a travs de argumentos). Para que dicha informacin pueda ser asimilada, es necesario reflexionar crticamente sobre el entorno visual y plstico. El punto de partida del rea deber ser esta realidad cotidiana, tanto la natural, como la formada por el conjunto de imgenes y hechos plsticos en la que viven inmersos los alumnos y donde estn los objetos de los distintos diseos y las imgenes transmitidas por los diversos medios, cine, televisin, imagen digital. El saber ver constituye un proceso fsicopsquico, donde la percepcin inmediata debe ser, en primer lugar, la base para el inicio de un proceso de sensibilizacin y, posteriormente, de una comprensin ms racional. El dibujo geomtrico sirve para meditar, definir propiedades, crear y construir figuras que nos permiten solucionar problemas grficos y configurar diseos volumtricos. El alumno deber entender a la geometra como un compendio de configuraciones geomtricas que estn presentes en el mundo en el que vivimos, pero que no son descubiertas a simple vista, por lo que debern redescubrirse continuamente para solucionar problemas grficos. La materia de geometra plana en Bachillerato ser elementalmente prctica pero tambin deber fundamentarse en una fuerte base terica donde el alumno deber apoyarse para evitar la memorizacin de trazados y habituarse a razonar a travs de demostraciones tericas, histricas y lgicas Los trazados tratados durante el curso se apoyaran en la visualizacin artstica de obras de arte de distintos perodos, aunque tambin se les exigir que realicen algn proyecto o diseo en el que stos entren en juego, esto les permitir desarrollar el sentido esttico y formal de la geometra presentes en el diseo, la arquitectura y el arte en general Se tratar, al mismo tiempo, de que el alumno cubra las posibilidades expresivas de las formas reales y su interpretacin, y as estimular su capacidad creativa. El dibujo en geometra favorece por la diversidad de configuraciones presentes en el contexto (U D Ambrosio seala en el 8vo congreso del ICME de ensear matemticas partiendo del medio ambiente que rodea al Estudiante) Esto es vincular la geometra con la vida misma

Objetivo 01

Actividad 1Haga una lista de los objetivos especficos relacionados con Geometra de cada grado y ao del bachillerato (tercera Etapa) conjuntamente con sus contenidos y escriba al lado de cada uno, un actividad (cualquiera que sea pero de enseanza)

Primer ao

7 grado

Objetivo especifico nico para la geometra

En este grado se contemplan los procesos matemticos y su importancia en la comprensin del entorno

Medio ambiente = Contexto

Estudio de patrones, formas y diseos ambientales Contenidos1. Historia e importancia de la geometra en la sociedad .(para este contenido una actividad muy efectiva sera la de salir a lugares pblicos como plazas , edificios gubernamentales antiguos y edificaciones modernas asi como por el casco histrico de la ciudad con el objeto de que los estudiantes perciban las formas clsicas de la geometra usadas en el diseo de esos lugares as como reconocer y analizar cuerpos geomtricos espaciales en el contexto(modelo geomtrico presente con su historia y su importancia). Asi es mas factible que el alumno comprenda la realidad geomtrica del mundo circundante, sus por que y la analogas. Se asignara un pequeo informe sobre las formas vistas en el paseo didctico. Se les puede proyectar en video beam los videos que se encuentra en enlaces como youtube

Otra alternativa es que los estudiantes visiten la pgina: http://www.arqweb.com/lucusaugusti/obras.asp 2. Introduccin de trminos: punto, recta, segmento, semirrecta, plano y espacio. Segmento orientado. (para este contenido lo mas indicado es trabajar en el piso de granito de un aula que este dividido en cuadriculas y que tenga flejes plsticos. En dichas

cuadriculas se har mencin en la intercepcin de rectas como puntos (se ubicaran tachuelas en cada corte de Flejes para indicar los puntos como tal) luego se hara mencin a que la extensin entre 2 tachuelas es una recta que contiene diversos segmentos al colocarse varias puntos de platilina de colores entre las 2 primeras. De aqu el concepto de semirrecta sale como una porcin de la misma recta. El mismo piso y las paredes del saln deben ser ejemplo de planos y del concepto espacial (el rincn de la araa1)

La primera foto muestra el rincn de la araa, la segunda modela rectas paralelas en los dos sentidos y el tercer dibujo denota la divisin de un piso de granito con flejes plsticos, asi como las rectas paralelas verticales y horizontales 3. Estudio de ngulos: definicin, notacin, medida, clasificacin, suplemento, complemento, congruencia y medidas (el semicrculo graduado). Bisectriz. Rectas perpendiculares, paralelas y secantes. ngulos entre paralelas. Para este objetivo seguiremos usando el piso y las paredes del aula para definir el concepto de ngulo, su notacin, medida, clasificacin y todos los contenidos intrnsecos en los contenidos).Se mostraran ejemplos grficos para interpretar y relacionar de cada particularidad. Al pasar 2 hilos por el mismo punto se forman 4 ngulos comos los de la figura (rectas secantes). Se definen as los ngulos complementarios y suplementarios. Si pasa el hilo entre tres puntos alineados se tendr el Angulo llano. Al pasarlo entre dos puntos perpendiculares se tiene el Angulo recto as como al pasarlo entre otros puntos obtendremos: Los ngulos 1 y 2 son adyacentes y los que tienen la misma notacin son opuestos por el vrtice, adems en 1 los ngulos y son consecutivos y cada uno es agudo (menores de 90), adems + es obtuso. En 2 los ngulos son adyacentes, tienen el vrtice y un lado comn, y los lados en prolongacin uno del otro. En 3 son suplementarios ( + = 180) y en 4 los ngulos son complementarios ( + = 90)

1

En arquitectura se denomina as a la intercepcin del techo con 2 paredes perpendiculares entre si, lo que en la geometra descriptiva es denominado el triedro (ejes XYZ)

1

2

3

4

A la congruencia se le hace mencin en la parte donde se desarrolla un una clase con: El inicio El desarrollo y el cierre La bisectriz de un ngulo puede ser obtenida trazando la diagonal entre puntos no consecutivos en la cuadricula. Adems un ejemplo de la realidad puede ayudar (las cerchas de los galpones) Obsrvese que en los vrtices A, B C las paralelas B-1, A-3 y C-5 definen las bisectrices de los ngulos respectivos. Este es un buen momento para hacer mencin sobre los tringulos en geometra y su importancia para la Arquitectura)

El tringulo es la figura matemtica ms fuerte, la forma geomtrica ms estable, y aparece con frecuencia en las construcciones naturales y en las diseadas por el hombre. Nuestro sentido de la estabilidad y la pureza del tringulo parece muy instintiva. Su forma aparece una y otra vez en nuestro arte secular y en lo sagrado. El tringulo es la ms simple y la ms misteriosa de las formas, est siempre presente en la historia de la humanidad y el cosmos. Tal vez su estudio a profundidad nos lleve a nuevos niveles de comprensin y capacidad en el futuro.

El estudio del semicrculo graduado-transportador har que los estudiantes midan ngulos. Se pueden pegar papeles sobre las paredes (bond de 1.60 por 0.80, un reticulado de modulo 10 cm (retcula a escala de la del piso). Trazando con lpices de colores desde distintos puntos de la retcula hasta finalizar en otros puntos habremos dibujado varios ngulos. Luego Se coloca el transportador de forma que coincida el

punto de su centro (la pequea cruz que hay en la mitad de la parte recta), con el vrtice del ngulo, y que uno de los lados del ngulo pase por la marca de 0 Una analoga interesante que se les puede mencionar de este instrumento y para lo que sirve, es El Sistema Comps de un Avin. El cual se puede ver en: (http://anderson0991.blogspot.com/2009_09_20_archive.html 4. Semiplanos, interseccin de planos y planos paralelos. Seguimos en el saln de clase esta vez haremos referencia a la paredes y el piso como planos y semiplanos, adems las paredes forman planos paralelos al igual que el piso con el techo, se har nfasis en que la lnea de cambio entre paredes y piso/techo forman las intercepciones de 2 planos. La analoga de esto se puede comparar con el doblez de una hoja de papel y /o enseando el cambio de los lados de un cuerpo geomtrico. Se har hincapi en la visita de la pagina http://demianlatoso.blogspot.com/ para su respectiva lectura y visualizacion Para la actividad anterior es recomendable citar y dar ejemplos de la rutina diaria, sobre todo del espacio donde se vive y su contexto. Esas analogas son un cmulo de ejemplos de semiplanos, interseccin de planos y planos paralelos

5. Definicin y construccin de figuras y cuerpos geomtricos (paraleleppedos, esferas, conos, cilindros, pirmides, tetraedros, trapecios, paralelogramos, rombos, rectngulos o cuadrados). Para esta actividad se pedir con antelacin la tarea referida al contenido 01 adems se seguirn los ejemplos de las formas de acuerdo a lo que cada uno haya desglosado en su pequeo informe.: el docente proveer juegos didcticos de cuerpos geomtricos y todo lo que se puede constituir con la combinacin de las formas. La manera mas eficaz de lograr una actividad de aprendizaje es ver cuerpos geomtricos y hacerle anlisis con los existentes en la realidad (en esta actividad se pueden hacer proyecciones de videos de la geometra urbana y de otros que se encuentran en Internet.)Lo importante son las analogas que el estudiante sepa discernir y visualizar en el medio ambiente 6. Los instrumentos de medicin (reglas, escuadras, entre otros) para localizar puntos planos en la recta numrica o en el sistema de coordenadas cartesiano. Para este contenido es vlido enumerar la RETICULA del piso en ambos sentidos, adems de inducir a la construccin de instrumentos imaginarios a travs de hilos de colores como los indicados en la figura anexa

Representar la cuadricula a distintas escalas y comparar las dimensiones ayuda a discernir sobre la unidad de medida mtrica y sobre la proporcin. Tambin seria interesante que los alumnos refuercen esta actividad con lecturas como la que se encuentra en Internet sobre el ser humano como centro de sus propuestas de medicin, y en la que se aborda el tema de las medidas. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Antes eran el pie y la pulgada, una escala humana. Y con el mtrico perdimos eso ya que despersonaliz los instrumentos de medida. El metro, el centmetro, el decmetro no son de la escala, el modulor2 s que lo es Los siguientes enlaces pueden darle al estudiante un equilibrio en la visualizacin del concepcin de medida y en geometra puede mostrarle un panorama bastante interesante (longitud rea y volumen).Se recomienda ver:http://www.arquitectura.com/historia/protag/corbu/corbu_7/corbu_7.asp http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t5-geometria/Geometria/node9.html

Para terminar con esta actividad se recomiendan videos que ayuden a deducir de donde viene el actual sistema de medidas y como se deben usar los instrumentos de medicin en el dibujo de la geometra 7. Proyecciones ortogonales, traslaciones y simetra axial. (Para las proyecciones basta con tres bombillos colocados, uno en el techo y 2 en el centro de paredes que se crucen y colocar figuras geomtricas colgadas por hilos en el centro del saln, luego encender un bombillo a la vez y observar la figura que se proyecta en la direccin de la luz (piso y las otras 2 paredes). Hacer que dibujen la proyeccin dada sobre un papel bond de 1.60x.80 que se pegara a la pared o piso. Por su parte las traslaciones son fciles de ver con tan solo mover un objeto de sitio, un ejemplo es desplazarse uno mismo, todas y cada una de nuestras partes se trasladan la misma distancia, de igual manera pasa con los cuerpos geomtricos al trasladarse (moverse de un lugar a otro).Imprescindible que capten que las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientacin, es decir, mantienen la forma y el tamao de las figuras u objetos trasladados.

SIMETRIA AXIAL DE DOS AULAS2

Le Corbusier creo un sistema de dimensionamiento que responde a las medidas del cuerpo humano. De esta manera el Arquitecto Suizo-Francs se uni tradicin de arquitectos como Vitruvio, Da Vinci y Len Batista Alberti que tambin presentaron estudios de una relacin matemtica entre las medidas del hombre y la arquitectura.

La simetra axial mas tpica de hacer ver es la que se forma en un espejo; podemos recorrer dos salones iguales y explicar que sus puertas estn a la misma distancia de su pared divisoria (eje de simetra Axial) y si los pupitres estn ordenados por filas estas estarn dos a dos la misma distancia a la pared divisoria (eje de simetra Axial). Se complementa la enseanza mostrando algunos dibujos con simetra axial) Para terminar con esta actividad vamos a referirnos a un objetivo especfico el cual estar explicado de de la manera correcta como se debe llevar en clase por parte de un docente siguiendo la travesa pedaggica: INICIO, desarrollo y cierre. La clase estar referida a la Congruencia3 y a los ngulos complementarios y suplementarios (relacionar los objetivos especficos 14, 15, 16,17 del currculo nacional). 1) Inicio de la clase. Previo a sta se ha propuesto la investigacin del termino CONGRUENCIA, por tanto hay que dejar que los alumnos dialoguen y den ejemplos. El Docente debe aprovechar la discusin o anlisis previo para introducir el termino Angulo congruente4 en el marco del cruce de dos rectas ( ngulos opuestos por el vrtice). Duracin 10 minutos. 2) Desarrollo de la clase. Ahora se les pide a los chicos dibujar un paralelogramo en la retcula del piso para que observen algunas cuestiones como ngulos iguales, opuestos, congruentes, complementarios y suplementarios, adems de agudos y obtusos. Luego con otro hilo se deben unir los vrtices opuestos para formar las diagonales. Una pregunta seria Qu Observan? Cmo ha quedado dividido el paralelogramo? Se les pide que midan las diagonales y los lados del paralelogramo as como las distancias de la intercepcin de estas con los vrtices y que lleguen a conclusiones, las cuales deben escribirse para el portafolio Duracin de 20-25 minutos. 3) Cierre de la clase El docente har hincapi en la importancia que tiene el trmino congruencia, para el orden, la igualdad, la repeticin, la forma el tamao y la escala, y que existen unos criterios de congruencia tiles para la visualizacin y el razonamiento espacial de los modelos geomtricos. Se finaliza la actividad acadmica tomando fotos (digitalizadas) a las figuras hechas en el piso, las cuales deben formar parte del portafolio. Duracin 10 minutos

Actividad 2Elabore un cuadro comparativo entre los contenidos de la asignatura Geometra de la carrera de Educacin Matemtica de la UNA y los contenidos de geometra del pensum vigente del III Etapa y media Diversificada y Profesional, emita una conclusin al respecto.

3

En geometra dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamao, aunque su posicin u orientacin sean distintas. 4 ngulos congruentes se denominan aquellos ngulos que tienen la misma medida

CUADRO COMPARATIVO

Objetivos de la Materia Geometra Mencin: Matemtica Cdigo 754

Contenidos de Geometra del pensum vigente para los grados/aos de tercera etapa en los LiceosSptimo Grado Historia e importancia de la geometra en la sociedad introduccin de trminos: punto, recta, segmento, semirrecta, plano y espacio. Segmento orientado; estudio de ngulos: definicin, notacin, medida, clasificacin, suplemento, complemento, congruencia y medidas. Bisectriz. Rectas perpendiculares, paralelas y secantes. ngulos entre paralelas; semiplanos, interseccin de planos y planos paralelos; definicin y construccin de figuras y cuerpos geomtricos; los instrumentos de medicin para localizar puntos planos en la recta numrica o en el sistema de coordenadas cartesiano; proyecciones ortogonales, translaciones y simetra axial. Octavo Grado Estudio de las pendientes en las construcciones de autopistas, calles, y en los cortes realizados por carpinteros, herreros y albailes; la astronoma y la ingeniera y su vinculacin con los polgonos segn sus lados: tringulos, clasificacin, semejanza y desigualdad triangular, cuadrilteros entre otros. Circunferencia y crculo. Polgonos inscritos en la circunferencia; estudio y comprensin del concepto de vector, sus operaciones y propiedades y su utilidad en aeronutica. Noveno Grado Criterios de congruencias y semejanza: comparaciones de tringulos, el teorema de Pitgoras, Euclides, Thales y proporcin; razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo. Identidades fundamentales. Medidas de ngulos. Razones trigonomtricas de ngulos notables. Teorema del seno y coseno. Aplicaciones a: triangulaciones de terrenos, calculo de distancias, estimacin de altura de edificaciones o de objetos celestes, entre otros; comprensin del espacio geogrfico a travs de las regiones poligonales, permetro, semipermetro; superficies esfricas en el universo: definicin y propiedades; construcciones con regla y comps; postulados de las dos circunferencias, longitud de la circunferencia, el numero Pi(). El crculo y su rea.

Bolivarianos

Conocer los conceptos fundamentales de la lgica matemtica y su aplicacin para obtener razonamientos correctos Aplicar las nociones de segmento(y su medida), ngulos, semirrecta y el postulado de la regla en la solucin de problemas Aplicar los resultados de semejanza y la congruencia de tringulos, as como el paralelismo de rectas en la resolucin de problemas y en la demostracin de nuevos teoremas Aplicar las propiedades de los cuadrilteros convexos: paralelogramos, rectngulos, rombos, cuadrados y trapecios en la resolucin de problemas y en la demostracin de nuevos teoremas Aplicar las propiedades de las circunferencias, cuerdas y dimetros, los ngulos inscritos, semiinscritos ,interiores y exteriores, los polgonos inscritos y circunscritos a una circunferencia en la resolucin de problemas y en la demostracin de nuevos teoremas Construir usando regla y comps objetos geomtricos partiendo de determinadas condiciones. Estudiar l rea de las figuras planas.

4ao: Mencin ciencias naturales y mencin ciencias sociales

La circunferencia trigonomtrica: medidas de ngulo. Circunferencia trigonomtrica. Razones trigonomtricas de un arco o ngulo. Reduccin de un ngulo al primer cuadrante. ngulos que tiene en comn una razn trigonomtrica. Relaciones entre las razones trigonomtricas de un ngulo. Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de dos ngulos. Seno, coseno y tangente de un ngulo doble y un ngulo medio. Identidades y ecuaciones trigonomtricas, funciones trigonomtricas, definicin, representacin grafica y anlisis de curva. Funciones trigonomtricas inversas y la circunferencia trigonomtrica. Estudio y abordaje de problemas relacionados con las funciones trigonomtricas. Razones trigonomtricas en el triangulo rectngulo.

5ao Mencin ciencias naturales y mencin ciencias socialesAnlisis de las cnicas a partir de situaciones reales: elipses, hiprbolas y parbolas. Circunferencia como caso particular de la elipse.

Una vez hechos los anlisis de los contenidos del programa de geometra de la carrera de Educacin Matemtica de la UNA con los contenidos de geometra del currculo nacional vigente y el de los Liceos bolivarianos procedemos a hacer: Comparaciones y comentarios de la actividad 2 Segn la ley, el currculo bsico nacional es el que est vigente hasta tanto no se apruebe definitivamente el Sistema Educativo Bolivariano, aunque este ultimo ya se viene implementando en algunos Liceos, aun no tiene la consistencia y la aceptacin como tal. De los contenidos dados en la U.N.A en Geometra (754) los relativos a la lgica no concuerdan con ninguno de los dados en la tercera etapa y ciclo diversificado (4to y 5to ao) ni con los que ofrece el currculo del Liceo Bolivariano al menos en geometra5 . El programa de la U.N.A se recrea mas con los contenidos del 7mo 8vo y 9no grados (de ambos currculos), ya que los del 4 to y 5to ao de ambas propuestas comulgan mas con la trigonometra y geometra analtica, sin embargo a nivel general todos los contenidos de la geometra U.N.A (al menos en el papel) estn intercalados en cada nivel de la educacin bsica y diversificada. Respecto a la parte histrica (7mo grado) el programa de la U.N.A no contempla un objetivo que enmarque a la geometra en la historia de la matemtica6, ni que narre las crnicas de sus protagonistas, hechos y ancdotas. Esto es imprescindible en la formacin del Docente en el rea de matemtica ya que lo sita en la parte filosfica/pedaggica en su parte de motivacin a la enseanza de la misma geometra. No solo es importante saber a travs de las demostraciones el por que de los problemas geomtricos sino tambin estar al tanto de cmo surgieron , bajo que situacin se dio, y/o que lo origino Siempre detrs de todo proceso demostrativo debe haber una crnica o ancdota que contar y a veces suele ser muy interesante amena y de inspiracin para modelos de enseanza. En lo que respecta a los contenidos del 7mo grado, todos tienen una correlacin suficiente con el contenido de la materia de la U.N.A exceptuando topicos propios de la geometra descriptiva que no se contemplan en el programa de la materia de la carrera de educacin mencin matemtica (no obstante esos temas son vistos en otras asignaturas del pensum de la Carrera). De los puntos tratados en el 8vo grado , los contenidos se ajustan a los vistos en la materia de la U.N.A salvo las aplicaciones que en el pensum Bolivariano son bstante integrales y contextualizadas. De igual manera ocurre con los contenidos del 9no grado salvo las razones trigonomtricas y su ambientacin, as como el manejo de instrumentos de dibujo. El programa de geometra (754) de la Universidad Nacional Abierta tiene los contenidos que necesita el docente en la tercera etapa de educacin bsica, pero muchos de ellos estan basados en la demostracin y no en la aplicacin practica como es que deben ensearse en los Liceos y escuelas, incluso hay un objetivo en la asignatura de la U.N.A que versa textualmente as: Construir usando regla y compas objetos geomtricos partiendo de determinadas condiciones. Esto ni remotamente se ha hecho as en algn examen. Los contenidos para el 4to y 5to ao como tal no son vistos en la geometra de la U.N.A ya que son tratados en la Universidad como temas conocidos previamente o son vistos en las matemticas de estudios generales. El caso de la trigonometra es inquietante, ya que sta disciplina es una parte grande que trata de geometra y de matemtica, que debera verse ella sola como una asignatura aparte pues tiene gran cantidad de aplicaciones que no son difciles de contextualizar y que son utiles en muchas profesiones sobre todo tcnicas. Emitiendo Conclusiones Pedaggicas al respecto Los objetivos del programa de geometra (754) estn redactados con verbos como conocer aplicar y construir y las evaluaciones en su mayora estn diseadas para demostrar determinada proposicin, teorema o principio geomtrico, los cuales se hacen bajo cnones matemticos. Esto hace que la evaluacin no vaya de acorde con lo que el docente necesita en los salones de clase, mas ahora que el currculo Bolivariano esta siendo mas explicito en lo de5 6

A esta parte de la enseanza de la geometra se le llama Estudio de patrones formas y diseos ambientales En el pensum de educacin Mencin Matemtica no se contempla esta asignatura.

contextualizar los contenidos en reas de aprendizaje tales como el ser humano y su interaccin con otros componentes del ambiente a travs de componentes como los procesos matemticos y su importancia en la comprensin del entorno y los aprendizajes que el alumno debe lograr mediante la creatividad, convivencia, participacin, valorizacin y reflexin del estudio de patrones geomtricos, formas y diseos ambientales y de otros contenidos que a bien el facilitador sepa ofrecerle; pero si ste no tiene la preparacin adecuada para aproximar su asignatura a los nuevos tiempos, seguiremos improvisando y cometiendo los mismos errores de otrora poca. Algo para culminar para que quede de ejemplo la contextualizacion de la geometra El diseo innovador de la Casa de la Opera de Sydney desconcert a los constructores durante aos, hasta que se dieron cuenta de que todas las especificaciones del proyecto se podan lograr si cortaban tringulos de una misma esfera. Como todas las piezas son del mismo tipo y de una superficie que tiene propiedades geomtricas bien conocidas, los cmputos necesarios (como, por ejemplo, el determinar las fuerzas estructurales) se simplificaron considerablemente y el sueo se convirti en una magnfica realidad. Muchos de los clculos envueltos en planos audaces son posibles gracias a diseos asistidos por ordenadores y a las matemticas detrs de stos. Arquitectos e ingenieros modelan formas complejas usando sucesiones de polgonos y superficies curvas simplescon caractersticas conocidasde modo que las propiedades estructurales del diseo puedan ser determinadas. Elementos en edificios grandes que anteriormente se escogan para que fueran uniformes debido a consideraciones de complejidad, ahora pueden ser tan individuales como sus diseadores

A continuacin y a manera de informacin para la catedra Didactica de la geometra Codigo 552 se exponen cuadros y esquemas de los objetivos generales segn el currculo Nacional para cada

uno de los grados que conforman la Tercera Etapa de la EB (cuestin bastante distinta a como se presentan el currculo del liceo bolivariano que sin variar los contenidos, presenta una estructura muy diferente) En la tabla de abajo se muestran estos objetivos. Los cinco primeros objetivos generales son comunes a los tres grados mencionados. Tabla 47. Lista de objetivos generales para cada grado de la Tercera EtapaOBJETIVOS GENERALES SEPTIMO GRADO OCTAVO GRADO NOVENO GRADO

I. II.

Manifestar una actitud favorable hacia la Matemtica. Mostrar disposicin favorable a la bsqueda de la comprensin del conocimiento matemtico. III. Participar, cooperar y tener iniciativa en el trabajo escolar, responsabilidad y respeto hacia compaeros y docentes. IV. Emplear correctamente el lenguaje matemtico. V. Seguir instrucciones.

VI.

VIII.

XIII.

Expresar en forma de ecuaciones, situaciones referidas a relaciones numricas. VII. Estudiar el conjunto de los nmeros enteros (Z). VIII. Estudiar el conjunto de los nmeros racionales (Q). IX. Resolver problemas en los cuales se utilicen relaciones entre circunferencias, crculos, rectas, segmentos de rectas, polgonos y sus elementos. X. Resolver problemas de clculo de reas y de volmenes. XIII. XI. Aplicar el concepto de probabilidad al plantear y resolver problemas. XIV. XII. Estudiar nociones elementales de Estadstica Descriptiva. Estudiar nociones elementales de Informtica.

VI.

Estudiar funciones VI. Estudiar el conjunto de numricas. los nmeros reales (R). VII. Resolver problemas en VII. Estudiar funciones los que se utilicen las reales. operaciones definidasVIII. Resolver en problemas Z y Q. mediante la aplicacin de Estudiar figuras en el algunos teoremas plano. referentes a la Geometra IX. Estudiar vectores en el del plano. plano. IX. Resolver problemas en X. Estudiar los cuales se utilicen transformaciones en el nociones elementales de plano. Estadstica y Probabilidad. XI. Estudiar congruencia nociones de figuras en el plano. X. Estudiar elementales de XII. Efectuar operaciones con Informtica. polinomios en una variable y coeficiente en Q. Aplicar nociones elementales de estadstica descriptiva. Estudiar nociones elementales de Informtica.

Vistos los objetivos generales de los tres grados de la Tercera Etapa, pasaremos a ver los objetivos especficos de la geometra para cada uno de los grados mencionados. La tabla que sigue muestra todos estos objetivos.

7

Tomada del libro digitalizado Evaluacin de los aprendizajes. Cdigo 551. UNA. Unidad 2 http://academico.una.edu.ve/foro/course/view.php?id=35

SEPTIMO GRADO

OCTAVO GRADO

NOVENO GRADO

1. Expresar en forma de ecuaciones,situaciones referidas a relaciones entre nmeros naturales. Resolver ecuaciones en el conjunto de los nmeros naturales.

1. Identificar funciones.Aplicar el concepto de funcin entre conjuntos numricos Aplicar el concepto de funcin biyectiva.

1. Identificar elementos delconjunto de los nmeros irracionales (I). Representar sobre una recta nmeros irracionales.

2. Identificar elementos delconjunto de los nmeros enteros (Z).

2. Resolver problemas en los que se 3. Resolver problemas en los que se 4. Hallar proyecciones ortogonales 5. Representar puntos en unsistema de coordenadas rectangulares.

2. Identificar elementos del

utilicen las operaciones definidas en Z. utilicen las operaciones definidas en Q. de puntos y segmentos sobre una recta.

conjunto de los nmeros reales (R).

3. Aplicar las relaciones de ordenmenor que y mayor que en Z.

Efectuar aproximaciones racionales de nmeros reales.

3. Calcular la suma de dos nmerosAplicar las propiedades de la adicin de nmeros reales. Resolver problemas en los cuales se utilicen la adicin y sustraccin de nmeros reales.

4. Calcular la suma de dos nmerosenteros.

reales utilizando aproximaciones racionales.

5. Aplicar las propiedades de laadicin en Z.

6. Calcular la diferencia de dosnmeros enteros.

6. Identificar funciones afines.Representar grficamente funciones afines en el plano. 7. Representar vectores en el plano. equipolentes.

4. Calcular el producto de dosnmeros reales utilizando aproximaciones racionales.

7. Calcular el producto de dosnmeros enteros.

8. Aplicar las propiedades de lamultiplicacin en Z.

5. Aplicar las propiedades de lamultiplicacin de nmeros reales 6. Expresar mediante radicales , potencias de nmeros reales con exponente racional Expresar mediante radicales, potencias de nmeros reales con exponente racional. Operar con radicales, utilizando las leyes de la potenciacin en R con exponente racional. Operar con radicales semejantes.

9. Calcular potencias de nmeros

8. Representar vectores 9. Hallar la suma de dos vectores. 10. Identificar las propiedades de laadicin de vectores al efectuar grficamente operaciones. Efectuar el producto de un nmero racional por un vector 11. Aplicar la traslacin a figuras planas

enteros con exponente natural.

Aplicar las propiedades de la potenciacin de nmeros enteros con exponente natural.

7.

10. Establecer las relaciones dividea y es mltiplo de en Z. Calcular el mnimo comn mltiplo de nmeros enteros.

11. Identificar elementos delconjunto de los nmeros racionales (Q) 12. Calcular la suma de dos nmeros racionales. Resolver problemas en los cuales se utilice la adicin de nmeros racionales.

8. Aplicar el proceso deracionalizacin de fracciones con radicales. Aplicar las relaciones de orden y / en R. Aplicar la compatibilidad de la adicin y la multiplicacin con la relacin de orden en R.

12. Aplicar la rotacin a figurasplanas 13. Aplicar la simetra axial a figuras planas.

14. Trazar figuras congruentes 15. Utilizar los criterios decongruencia de tringulos Resolver problemas donde se utilicen los criterios de congruencia de tringulos. el vrtice.

13. Aplicar las propiedades de laadicin en Q. Resolver problemas en los cuales se utilicen las propiedades de la adicin de nmeros racionales.

9. Resolver ecuaciones en las cualesse utilice el valor absoluto de nmeros reales. un punto dado de la recta real. puntos dados de la recta real.

16. Identificar ngulos opuestos por 10. Determinar las coordenadas de 17. Identificar los ngulosdeterminados por una recta secante a dos rectas paralelas.

11. Calcular la distancia entre dos

SEPTIMO GRADO SEPTIMO GRADO

OCTAVO GRADO OCTAVO GRADO

NOVENO GRADO NOVENO GRADO

22. Aplicar diferentes medidas de 14. Calculardel diferencia de dos volumen la Sistemanmeros racionales. Internacional(SI) en clculo aproximados Resolver problemas en los Usar lasse utilicen entre el cuales relaciones la adicin y metro cbico, el nmeros sustraccin de decmetro cbico y el centmetro cbico. racionales.27. Resolver problemas en los cuales 15.se utilicenel producto de dos Calcular las frmulas para el nmeros volmenes clculo de racionales.

18. Establecer la funcin polinmica. 19. Calcular la suma de dospolinomios.

12. Identificar intervalos en la recta 24. Identificar las actividadesreal. fundamentales de la programacin. Usar la notacin de intervalos como subconjunto de R. Representar intervalos en la recta R.

20. Aplicar las propiedades de laadicin de polinomios. Calcular la diferencia de dos polinomios.

13. Resolver inecuaciones de primergrado con una incgnita. Resolver inecuaciones de primer grado con valor absoluto. Resolver sistemas de inecuaciones de primer grado.

21. Calcular el producto de dospolinomios

Aplicar las propiedades de Usar las relaciones entre las la multiplicacin en Q. medidas de capacidad y las de volumen.28.Resolver se utilice la cuales problemas donde se apliquen las nociones multiplicacin de nmeros elementales de Probabilidades racionales. 29. Representar eventos de un 16.experimento cociente mediante Calcular el aleatorio de dos nmeros de rbol diagramas racionales.

22. Aplicar las propiedades de lamultiplicacin de polinomios.

Resolver problemas en los

23. Aplicar productos notablesCalcular el cociente de dos polinomios

14. Determinar las coordenadas deun punto del plano respecto al Sistema de Coordenadas Cartesianas.

24. Identificar cuando dos sucesosson independientes Calcular la probabilidad compuesta de sucesos independientes.

17. Calcular potencias de en 30 Agrupar datos estadsticos intervalos racionales con nmeros de clase.Determinar la frecuencia Aplicar y la frecuencia absoluta absoluta las propiedades de la acumulada en una coleccin de potenciacin de nmeros datos agrupados exponente racionales con

Calcular las distancia entre dos puntos del plano real de coordenadas conocidas.

15. Analizar las caractersticas de lafuncin cuadrtica.

exponente entero.

25. Calcular la Media Aritmtica y laModa de una distribucin de datos agrupados. Resolver problemas en los que se usen la Media Aritmtica y la Moda de una distribucin de datos agrupados.

16. Resolver ecuaciones de segundogrado con una incgnita.

entero.

17. Resolver problemas en donde seutilicen ecuaciones de segundo grado con una incgnita. Resolver analticamente sistemas de ecuaciones

18. Aplicar las relaciones deorden menor que y mayor que en Q 19. Determinar la expresin decimal de un numero racional Representar sobre una recta expresiones decimales de nmeros racionales

26. Introducir los smbolos usados enlos diagramas de flujo. Utilizar diagramas de flujo. resolver problemas utilizando un computador. lenguajes de un computador. lenguajes de un computador

18. Aplicar el teorema de Pitgorasen la resolucin de problemas. la resolucin de problemas.

27. Reconocer los pasos a seguir para 19. Aplicar el teorema de Euclides en 28. Reconocer los diferentes tipos de 20. Aplicar el teorema de Thales enla resolucin de problemas.

20. Resolver problemas en los cuales 29. Reconocer los diferentes tipos de 21. Aplicar semejanza de tringulos en la resolucin de problemas. se utilicen relaciones entre loselementos de un tringulo

22. Resolver problemas en los cualesse utilicen nociones elementales de Estadstica. Resolver problemas en los cuales se utilicen nociones elementales de Probabilidad.

21. Resolver problemas en los cualesse utilicen relaciones entre cuadrilteros y sus elementos

23. Distinguir los subsistemas queconforman un computador.

Ahora veremos la estructura curricular del liceo bolivariano en la parte que concierne a la matemtica y en donde esta inmersa la geometra LA MATEMATICA EN EL LICEO BOLIVARIANO

http://matematicosbolivarianos.blogspot.es/La educacin en cualquier pas es la base de la sociedad, en nuestro caso se realiza una bsqueda permanente de conocimiento para mejorar el nivel de educacin desde cualquier punto de vista. El componente los procesos matemticos y su importancia en la comprensin del entorno alcanza en el rea de geometra el siguiente objetivo nico en todos los grados y aos de la secundaria acuerdo 1ao (/mo grado) Estudio de patrones, formas y diseos ambientales, historia e importancia de la geometra en la sociedad; introduccin de trminos: punto, recta, segmento, semirrecta, plano y espacio. Segmento orientado; estudio de ngulos: definicin, notacin, medida, clasificacin, suplemento, complemento, congruencia y medidas. Bisectriz. Rectas perpendiculares, paralelas y secantes. ngulos entre paralelas; semiplanos, interseccin de planos y planos paralelos; definicin y construccin de figuras y cuerpos geomtricos; los instrumentos de medicin para localizar puntos planos en la recta numrica o en el sistema de coordenadas cartesiano; proyecciones ortogonales, translaciones y simetra axial. 2ao: Estudios de patrones, formas y diseos ambientales, estudio de las pendientes en las construcciones de autopistas, calles, y en los cortes realizados por carpinteros, herreros y albailes; la astronoma y la ingeniera y su vinculacin con los polgonos segn sus lados: tringulos, clasificacin, semejanza y desigualdad triangular, cuadrilteros entre otros. Circunferencia y crculo. Polgonos inscritos en la circunferencia; estudio y comprensin del concepto de vector, sus operaciones y propiedades y su utilidad en aeronutica. 3ao: Estudios de patrones, formas y diseos ambientales, criterios de congruencias y semejanza: comparaciones de tringulos, el teorema de Pitgoras, Euclides, Thales y proporcin; razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo. Identidades fundamentales. Medidas de ngulos. Razones trigonomtricas de ngulos notables. Teorema del seno y coseno. Aplicaciones a: triangulaciones de terrenos, calculo de distancias, estimacin de altura de edificaciones o de objetos celestes, entre otros; comprensin del espacio geogrfico a travs de las regiones poligonales, permetro, semipermetro; superficies esfricas en el universo: definicin y propiedades; construcciones con regla y comps; postulados de las dos circunferencias, longitud de la circunferencia, el numero Pi. El crculo y su rea. 4ao: Mencin ciencias naturales y mencin ciencias sociales: Estudios de patrones, formas y diseos ambientales, la circunferencia trigonomtrica: medidas de ngulo. Circunferencia trigonomtrica. Razones trigonomtricas de un arco o ngulo. Reduccin de un ngulo al primer cuadrante. ngulos que tiene en comn una razn trigonomtrica. Relaciones entre las razones trigonomtricas de un ngulo. Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de dos ngulos. Seno, coseno y tangente de un ngulo doble y un ngulo medio. Identidades y ecuaciones trigonomtricas, funciones trigonomtricas, definicin, representacin grafica y anlisis de curva. Funciones trigonomtricas inversas y la circunferencia trigonomtrica. Estudio y abordaje de problemas relacionados con las funciones trigonomtricas. Razones trigonomtricas en el triangulo rectngulo. 5ao Mencin ciencias naturales y mencin ciencias sociales: Estudios de patrones, formas y diseos ambientales, anlisis de las cnicas a partir de situaciones reales: elipses, hiprbolas y parbolas. Circunferencia como caso particular de la elipse.

Estructura curricular de Liceos bolivarianos

Objetivo 02 Actividad 1Disee una actividad en la cual pueda explicar el teorema de Pitgoras a sus estudiantes, utilizando contextos extraescolares.

http://www.xtec.es/~smuria/projecte/act8ex.htm

Para esta demostracin tomaremos dos cuadrados regulares de dimensiones 9cmx9cm (hechos en cartn/cartulina segn dimensiones especificadas en la cuadricula de diseo geomtrico). Par nuestro ejercicio tomaremos a= 3 y b= 2a = 6

Dejamos un cuadrado libre sin recortar y trabajamos con el otro Cada lado del cuadrado que recortaremos lo dividimos en tres partes llamadas a c/u y medimos partiendo de un vrtice inicial, la longitud b= 2a y seguidamente la medida a hasta llegar al siguiente vrtice, ah hacemos lo

mismo medimos b= 2a y luego medimos a. Haremos esto en 4 reiteradas veces hasta llegar al vrtice desde donde partimos. El resultado debe ser algo semejante a la figura A

1

2 3

1

Y

Z2

X3Figura A

4Figura B

4

Si recortamos la figura A y unimos los tringulos de manera que al adosarlos en el cuadrado que no hemos recortado y lo hacemos tal como lo indican los numerales 1, 2, 3, 4, tendremos la figura B. Ntese que en la figura B han queda fijos los cuadrados X,Y que dando solamente fel cuadrado Z que no es otro que el formado por el cuadrado interno que queda en la figura A. Teniendo esto podemos decir que: La suma del rea del cuadrado X mas la suma del rea del cuadrado Y es igual al rea total del cuadrado Z, dicho de otra forma

X2+Y2 = Z2Se recomienda a los alumnos hacer esta actividad en su casa y traerla a clase para su debida revisin anlisis y correccin. El docente podr proveer modelos de fotos que llamen el intereses al estudiante y lo gue en el desarrollo de la actividad.

Lo mismo que se hizo en la actividad de la cuadricula en el piso para las figuras y las formas geomtricas se puede hacer con los principios dados aqu para demostrar este teorema, hara falta hilo de colores y tachuelas, sin embargo pensamos que el muchacho tambin tiene el derecho de descubrirlo por si mismo a travs de las manualidades.

Actividad 2Usando el geoplano (construya uno si no lo tiene), presente la demostracin de algn contenido de geometra (menos el teorema de Pitgoras) y explique cmo lo hizo. Para cada paso debe hacer la grfica respectiva El Geoplano es un recurso didctico geomtrico para estimular la creatividad de los alumnos. Sirve para la introduccin de gran parte de los conceptos geomtricos; el carcter manipulativo de ste permite a los alumnos una mayor comprensin de toda una serie de trminos abstractos, que muchas veces o no entienden o generan ideas errneas en torno a ellos. Existen distintos tipos de geoplanos dependiendo de la posicin de los clavos o puntillas. Los ms utilizados son los geoplanos cuadrados, triangulares (isomtrico) y circulares. El geoplano tiene una analoga con la cuadricula de la que hemos hablado en objetivos anterior DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Vamos a demostrar usando el geoplano que Si por un punto cualquiera de la bisectriz de un ngulo trazamos una recta paralela a uno de sus lados y lo interceptamos con el otro, entonces el triangulo que se forma es issceles Si por el punto de corte entre la paralela dibujada anteriormente se traza una paralela a la bisectriz dada y prolongamos el otro lado del ngulo hasta interceptar esta otra paralela entonces el triangulo que se forma es congruente con el primero. Y si trazamos una recta paralela a la Bisectriz por el extremo del otro ngulo hasta interceptar a la primera

paralela trazada entonces el paralelogramo formado es congruente a la unin de los tringulos issceles formados previamente.

Foto de nio con geoplano Arriba geoplanos comerciales

Actividad 3De acuerdo con la lectura del profesor Mguez, analice una leccin de geometra de un texto de matemtica de autor (es) venezolano (s).

Texto Matemtica 7mo Grado. Distribuidora escolar Autor Profesor J.Gimenez Romero Ediciones ENEVA. Editorial LOGOS ANALISIS DE LECCION DE GEOMETRIA El autor a al principio se emplaza en un ambiente distinto al del Aula y con toda la instrumentacin del dibujo geomtrico. Plantea el manejo de los instrumentos como algo previamente aprendido (Argumento con el cual no estamos de acuerdo ya que muchos estudiantes de ese nivel aun no los saben manipular). Sin embargo en su esbozo inicial hace nfasis en lo que se va a hacer, prcticas como MEDIR, CONSTRUIR, TRAZAR y COMPROBAR acciones propias de la geometra, dejando claro que estas acciones surgieron debido a la imaginacin, observacin, experimentacin e intuicin de pueblos de pocas remotas (esto es un contexto histrico) quienes trabajaron todo esto en un gran espacio llamado Medio ambiente o Entorno real. Luego de dejar claro las acciones en el hecho histrico, deja moldeada informacin relevante para el futuro de los estudiantes (grados superiores) en donde se refiere que se har uso de razonamientos matemticos para deducir propiedades geomtricas que por el momento se vern de manera grafica. Finaliza dejando claro 2 puntos: Que en el gran espacio llamado contexto real se repetirn muchas de las cosas que hicieron las civilizaciones antiguas hasta que Thales de Mileto aplica a la matemtica y a la geometra algo denominado RAZON (razonamiento, anlisis, creatividad entre otras actividades cognitivas) cuyo contenido que va mas all del simple dibujo con instrumentos o a mano alzada Y que dibujar los objetos geomtricos de manera elegante , y con su debida proporcin es tan importante como lo anterior , ya que permite a la razn ser integral y constructivista Pasando ahora al tema escogido estamos ubicados en el capitulo V, titulado GEOMETRIA especficamente en el numeral 5.9, cuyo contenido se refiere a TRAZADO DE RECTAS PERPENDICULARES. El titulo de la leccin sugiere al estudiante una de las acciones planteadas previamente: TRAZAR y en un objetivo que es el contenido (rectas paralelas) el cual es posible que ya tenga conocimientos de l. En tres enunciados pequeos, describe la INFORMACION de manera especfica, lo que es y como se logra y mas abajo hace representaciones detalladas a travs de la VISUALIZACION permitiendo as identificar de manera dibujada el contenido. Es as como el esquema esta inmerso a travs de los instrumentos de dibujo; esto permite al estudiante volver a percibir un mtodo para lograr lo que se quiere que aprenda, incluso nuevas experiencias con los instrumentos serian motivacin a repetir con actividades anlogas, todo el proceso en otro contexto fuera del aula. Hay una sencillez en el planteamiento inicial que revela en el texto una relacin directa con contenidos que deben haberse visto ya (enlace Cognitivo). La propuesta de ejercicios se hace teniendo en cuenta tpicos pasados que son relacionados con el nuevo tema bajo una concepcin adecuada, aunque sin contextualizar integralmente pero son incorporados para motivar el repaso (reforzamiento del aprendizaje) y quizs a una contextualizacin personalizada por parte del estudiante(es probable que esa haya sido la intencin). No se hace sealamientos de hechos histricos como tal de manera que el contenido es presentado solo con la parte conceptual del mismo.

Se percibe una falta detallada de evidencias de la realidad8 que estimulen a los muchachos a buscar patrones que converjan en su propio contexto. No hay vinculacin directa con el siguiente tema (bisectriz de ngulos) a no ser que sea de orden implcito y grafico a travs de dibujos que insinan la intercepcin de rectas para formar ngulos que contienen trazos en el vrtice adems de sus propios lados. Segn el criterio 6, el tema presenta una buena secuencia que fortalece lo previamente dado. Aqu es donde el autor ordena e introduce armnicamente conceptos anteriores y hace nfasis en cada uno de una manera sencilla y de acuerdo al nivel del 7 mo grado. Utiliza el dibujo y sus instrumentos para plasmar el procedimiento geomtrico idealizando a travs del concepto que hay la presencia de un facilitador en el momento de la lectura del topico. Los ejemplos del nico concepto tratado en el numeral 5.9 estn bien abordados para el nivel en que fueron diseados, aunque la falta de cierta contextualizacion no los desmejora (quizs mencionar la geometra Urbana y la infinidad de modelos que hay en ella, dejara una excelente motivacin a los muchachos) El tema y los ejercicios no contemplan actividades en las que se oriente la diversidad de aplicaciones ni se especifique la novedad de problemas bajo comparaciones reales as como tampoco se ven dirigidos a ser realizados por 2 o mas estudiantes con alguna vocacin posterior(futuros ingenieros, mdicos, militares y educadores entre otras). No hay una buena promocin bajo los auspicios de los criterios de los esposos Van Hiele ya que por citar, no se contempla la orientacin a contrastar con otras asignaturas y/o realidades los conocimientos que pudieran adquirirse. Incluso cada ejercicio es independiente, aunque tienen secuencia conceptual no se observa que el grado de dificultad9 ascienda del uno al otro. Los ejercicios planteados son los mismos problemas clsicos de la geometra elemental (esto en verdad es sine qua non en la asignatura). Quizs la manera de enfocarlos no permite novedades y por eso se notan elaborados para la memorizacin, aunque las representaciones que se bosquejan esconden una induccin hacia el pensamiento creativo (pero no se ve con claridad). Tampoco se ven caractersticas que permitan ubicar en un contexto sencillo cualquiera de los ejercicios: simplemente es la manera clsica del proceso de llegar a resultados, resolviendo problemas de Geometra No se visualizan sntesis que motiven a ir tras nuevas actividades geomtricas ni para descubrir o crear algo nuevo a partir del concepto, tampoco se dejan interrogantes que coloquen al estudiante por caminos de innovacin y bsqueda de libertad creativa, aunque la sencillez de los conceptos y sus graficas sintetizan de forma encubierta en este particular, no hay elementos que as vislumbren un eplogo relacionado con eventos reales, solo hay un resumen de contenidos Al final del capitulo se presentan problemas y ejercicios con sus soluciones sencillas y con lenguaje consono al nivel. Tambin hay un resumen general de todo el capitulo donde no se hace mencin a la leccin dada (TRAZADO DE RECTAS PERPENDICULARES), adems se esboza una recapitulacin excelente de todos los tpicos del capitulo pero sin dibujos (pareciera que aqu el autor deja al estudiante la libertad de hacer sus propios grficos).8

Algo as como que las rectas verticales y las horizontales pudieron ser una sugerencia de la construccin de paredes de casas y edificios antiguos. Quizs citar a Rene descartes y su sistema cartesiano asi como contextualizar con la cartografa y sus ejes ortogonales (paralelos y meridianos junto a los puntos cardinales y su representacin en mapas y planos

9

Pareciera que el mismo nivel para el grado es simplemente visulizacion e informacin respecto a conceptos que en posteriores grados serviran para las otros niveles de los Van Hiele

En la parte de resolucin de problemas hay variedad de planteamientos con mtodos sencillos que no necesitan la orientacin del docente , lo que hace de la auto evaluacin algo ameno ya que robustece las partes conceptual y de aplicacin con la del procedimiento a seguir confirmando as como podra ser una futura evaluacin presencial. Al final del capitulo hay un esquema/resumen total de contenidos (tambin para la leccin analizada) en la que se hace una sinopsis de estos, equivalentes al cierre de una clase. En el mismo resumen se llega a comparaciones y conclusiones relativos entre diversos tpicos de geometra Finalmente en el apartado de respuestas/soluciones a los ejercicios, estas se dan sin alardes matemticos empleando lenguaje lgico, trivial y entendible con el cual el estudiante puede llegar a activar su imaginacin para dibujar las soluciones planteadas. En dichas respuestas esta inmerso un procedimiento adecuado que permite recordar y reforzar lo aprendido.