Texto del estudiante 6° - 2016

8/18/2019 Texto del estudiante 6° - 2016

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6 º B

á s i c o M

a t e m á t i c a

Texto delEstudiante

EDICIÓN ESPECIAL PARA ELMINISTERIO DE EDUCACIÓN

PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN



Matemática

Básico6º

Texto del Estudiante



Copyright © 2009 by Harcourt, Inc.

© 2014 de esta edición Galileo Libros Ltda.

Todos los derechos reservados. Ninguna

parte de esta publicación puede ser

reproducida o transmitida en cualquier

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electrónico o mecánico, incluyendo

fotocopia, grabación o cualquier sistema

de almacenamiento y recuperación de

información sin el permiso por escrito del

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Versión original

Mathematics Content Standards for

CaliforniaPublic Schools reproduced by permission,

California Department of Education,

CDE Press, 1430 N Street, Suite 3207,

Sacramento, CA 95814

ISBN: 978-956-8155-20-9

Tercera reimpresión 2015

Impreso en Chile.

Se terminó de imprimir esta tercera

reimpresión de 245.000 ejemplares en el

mes de enero del año 2016.

Este método de enseñanza de la matemática ha sido diseñado yrealizado por autores profesores de varias universidades de los EstadosUnidos de América y adaptado al currículum nacional chileno porGalileo Libros Ltda.

Director del programa: Richard Askey, profesor emérito dematemáticas de la Universidad de Wiscosin. Coordinadores: Evan M.Maletsky, Joyce McLeod. Autores colaboradores: Angela G. Andrews,

Juli K. Dixon, Karen S. Norwood, Tom Roby, Janet K Scheer, JennieM. Bennett, Linda Luckie, Vicki Newman, Robin C. Scarcella, DavidG. Wright. Supervisores: Russell Gersten, Michael DiSpezio, TyroneHoward, Lidya Song, Rebecca Valbuena.

El presente título forma parte del PROYECTO GALILEO para laenseñanza de la matemática.

Editoras

Yuvica Espinoza LagunasSilvia Alfaro SalasSara Cano Fernández

Redactores / Colaboradores

Silvia Alfaro Salas

Profesora de Matemática yComputación. Licenciada en

Matemática y Computación.Universidad de Santiago de Chile.

Yuvica Espinoza Lagunas

Profesora de Educación GeneralBásica.Pontificia Universidad Católicade Chile.

Marco Riquelme Alcaide

Profesor de Matemáticas delPrograma de Educación Continua

para el Magisterio. Universidadde Chile.

Victoria Ainardi Tamarín

Profesora de Matemáticas por laUniversidad de Concepción.

Vilma Aldunate Díaz

Profesora de Educación GeneralBásica.Universidad de Chile.

Pamela Falconi Salvatierra

Profesora de Educación GeneralBásica.Pontificia Universidad Católicade Chile.

Marcelo Andrés Gaete Varela

Profesor de Educación GeneralBásica mención Matemática.Instituto Providencia.

Postítulo Matemática. UMCE

Equipo Técnico

Coordinación:Claudio Silva Castro

Diseñadores:

Camila Rojas RodríguezCristhián Pérez Garrido



6º

Matemática

Básico

Texto del Estudiante



1CAPÍTULO

2CAPÍTULO

Teoría de los números .............................................................. 2 Muestra lo que sabes ........................................................................3

Lección 1-1 Factores y múltiplos .........................................................4

Lección 1-2 Números primos y compuestos ......................................8

Lección 1-3 Máximo común divisor ...................................................10

Lección 1-4 Mínimo común múltiplo .................................................12

Lección 1-5 Taller de resolución de problemas Destreza: identificar relaciones ....................................16

Práctica adicional .............................................................................18

Práctica con un juego .......................................................................19

Repaso / Prueba del Capítulo 1 ..................................................20

Enriquecimiento ................................................................................21

Aprendizaje en espiral ......................................................................22

Índice

Fracciones y números mixtos .......................................... 24

Muestra lo que sabes ..................................................................... 25

Lección 2-1 Fracciones equivalentes y fracciones en sumínima expresión ............................................................. 26

Lección 2-2 Fracciones y números mixtos ...................................... 30

Lección 2-3 Comparar y ordenar fracciones ynúmeros mixtos ................................................................ 32

Práctica adicional ............................................................................ 34

Práctica con un juego ...................................................................... 35

Repaso / Prueba del Capítulo 2 ................................................. 36

Enriquecimiento .............................................................................. 37

Aprendizaje en espiral ..................................................................... 38

UNIDAD

1

Números, conceptos de fraccionesy operaciones ............................................................................. XII

IV



Fotografías comentadassobre un hecho de la vida

o de la sociedad al cual se

le aplica la matemática

Matemática en Contexto

Almanaque para

estudiantes

Contar votos . . . . 112

. . . . . . . 1

Escribe/Taller

Escribir paraexplicar . . . . . . . . . 15

Lee/Taller

Atracción atracción . . . . . . . . . 49

ENRIQUECE TU

VOCABULARIO

Números racionales

http://www.ditutor.com/

numeros_racionales/operacionesracionales.html

E nlac e

WEB

Adición y sustracción de fracciones ................................40

Muestra lo que sabes....................................................................... 41

Lección 3-1 Adición y sustracción de fracciones ............................ 42

Lección 3-2 Adición y sustracción de números mixtos .................. 46

Lección 3-3 Manos a la obra Representar sustracciones de números mixtos ........................................................50

Lección 3-4 Algoritmo de la sustracción de números mixtos ........ 52

Lección 3-5 Taller de resolución de problemas

Estrategia: hacer un diagrama ......................................54

Lección 3-6 Practicar adiciones y sustracciones de fracciones .......................................................................58






3CAPÍTULO

4CAPÍTULO

Multiplicar decimales ..............................................................68 Muestra lo que sabes....................................................................... 69

Lección 4-1 Manos a la obra Representar la multiplicación de números decimales por números naturales ............ 70

Lección 4-2 Álgebra Patrones en factores y productosdecimales ........................................................................72






V



6CAPÍTULO

Razones y porcentajes ......................................................... 94

Muestra lo que sabes......................................................................95

Lección 6-1 Razones ..........................................................................96

Lección 6-2 Porcentajes ....................................................................98

Lección 6-3 Manos a la obra Resolver problemas usando la calculadora .................................................100

Lección 6-4 Taller de resolución de problemas Estrategia: información relevante e irrelevante .......102

Práctica adicional ......................................................................... 106

Repaso / Prueba del Capítulo 6 .............................................. 108

Enriquecimiento ........................................................................... 109

Repaso / Prueba de la unidad .......................................................110

Dividir decimales .......................................................................80

Muestra lo que sabes....................................................................... 81

Lección 5-1 Manos a la obra Dividir decimales pornúmeros naturales con material concreto ................... 82

Lección 5-2 Dividir decimales por números naturales deun dígito y múltiplos de 10 ............................................. 84


Práctica con un juego ....................................................................... 89



Aprendizaje en espiral ...................................................................... 92

5

CAPÍTULO

VI



7APÍTULO

Fotografías comentadassobre un hecho de la vida




ENRIQUECE TUVOCABULARIO

Almanaque para

estudiantes

La velocidaddel sonido . . . . . . 166

Escribe/Taller

Escribir unproblema . . . . . . . 125

Multiplicar y dividir decimales

http://www.salonhogar.net/

Salones/Matematicas/4-6/Mult_

div_decim/Indice.htm

http://www.sectormatematica.

cl/basica/santillana/operaciones_

con_decimales.pdf

http://odas.educarchile.cl/objetos

digitales/odas_matematicas/16_

calculando_porcentajes/

LearningObject/index.html

www.profesorenlinea.cl/

matematica/Ecuaciones_Ayuda.

html

www.problemasdematematica.

com/contenidos/Ecuaciones.htm

Expresiones algebraicas 116 Muestra lo que sabes ................................................................................. 117

Lección 7-1 Escribir expresiones algebraicas ................................... 118

Lección 7-2 Evaluar expresiones algebraicas .................................... 122

Lección 7-3 Taller de resolución de problemas Destreza: ordenar en secuencia y

priorizar información .............................................................. 126

Lección 7-4 Tablas y patrones ..................................................................... 128

Práctica adicional ...........................................................................130

Práctica con un juego .....................................................................131

Repaso / Prueba del Capítulo 7 ................................................132

Enriquecimiento ..............................................................................133

Aprendizaje en espiral ...................................................................134

E nlac e

WEB

8CAPÍTULO

Ecuaciones con adiciones 136 Muestra lo que sabes ................................................................................... 137

Lección 8-1 Ecuaciones ................................................................................... 138

Lección 8-2 Manos a la obra Representar ecuaciones con adiciones .............................................................................. 140

Lección 8-3 Resolver ecuaciones con adición ................................... 142


Estrategia: escribir una ecuación ................................... 144



Repaso / Prueba del Capítulo 8 ................................................150


Aprendizaje en espiral ....................................................................152

9

APÍTULO

Ecuaciones con sustracciones .......................................154 Muestra lo que sabes..................................................................... 155

Lección 9-1 Manos a la obra Representar ecuacionescon sustracción .............................................................. 156

Lección 9-2 Resolver ecuaciones con sustracción ....................... 158

Práctica adicional ........................................................................... 160

Práctica con un juego ..................................................................... 161

Repaso / Prueba del Capítulo 9 ................................................ 162


Repaso / Prueba de la unidad ....................................................... 164

. . . . . 115

Álgebra: expresiones y ecuaciones .............. 114

VI

UNIDAD

2



12CAPÍTULO

Geometría en movimiento ............................................... 210 Muestra lo que sabes...................................................................211

Lección 12-1 Teselados ..................................................................212

Lección 12-2 Patrones geométricos ..............................................216

Práctica adicional .........................................................................218

Práctica con un juego ................................................................... 219

Repaso / Prueba del Capítulo 12 ............................................220

Enriquecimiento ...........................................................................221

Aprendizaje en espiral .................................................................. 222

11CAPÍTULO

Figuras planas ......................................................................... 192 Muestra lo que sabes..................................................................... 193

Lección 11-1 Triángulos .................................................................... 194

Lección 11-2 Trazar triángulos ......................................................... 196


Estrategia: buscar un patrón ..................................... 200Práctica adicional ...........................................................................204


Repaso / Prueba del Capítulo 10 ..............................................206


Aprendizaje en espiral ....................................................................208

Relaciones entre ángulos ...................................................170

Muestra lo que sabes......................................................................171Lección 10-1 Tipos de ángulos .........................................................172

Lección 10-2 Medir y trazar ángulos.................................................176

Lección 10-3 Ángulos complementarios..........................................182

Lección 10-4 Taller de resolución de problemas Estrategia: Hacer un diagrama ..................................184

Práctica adicional ........................................................................... 186

Práctica con un juego ..................................................................... 187

Repaso / Prueba del Capítulo 11 .............................................. 188


Aprendizaje en espiral .................................................................... 190

10

CAPÍTULO

UNIDAD

3 Geometría - Medición ........................................................ 168

VIII

Fotografías comentadas

sobre un hecho de la vida




Almanaque para

estudiantes

Castillos de arena . 244

ENRIQUECE TU

VOCABULARIO

Medir y trazar ángulos

www.vitutor.com/di/m/b_3.html

http://www.educarchile.cl/ech/

pro/app/detalle?id=180274

https://www.thatquiz.

org/es/previewtest?E/E/

E/S/10551331546490

Diagrama de tallo y hoja

http://www.sangakoo.com/es/

temas/diagramas-en-arbol

Teselados

http://www.

disfrutalasmatematicas.com/

geometria/teselaciones.html

Lee/Taller

En la esquina . . . . 181

nlac e

WEB

. . . . . 169



Probabilidades

www.profesoresenlinea.cl/

matematica/probabilidades.htm

15CAPÍTULO

Probabilidad de sucesos ................................................... 268 Muestra lo que sabes.....................................................................269

Lección 15-1 Probabilidades de ocurrencia de eventos................ 270

Lección 15-2 Probabilidades y resultados posibles ...................... 272



Repaso / Prueba del Capítulo 15 ..............................................278


Repaso / Prueba de la unidad ...................................................280

Fotografías comentadas

sobre un hecho de la vida




Almanaque paraestudiantes

Juegos de mesa . . 282

ENRIQUECE TUVOCABULARIO

Escribe/Taller

Escribir para demostrao contradecir . . . . 275

Escribe/Taller

Escribirpreguntas . . . . . . 257

14CAPÍTULO

Hacer gráficos de datos ....................................................248 Muestra lo que sabes................................................................... 249

Lección 14-1 Gráficos de barras .....................................................250

Lección 14-2 Diagramas de puntos ................................................252

Lección 14-3 Gráficos circulares ....................................................254

Lección 14-4 Taller de resolución de problemas Destreza: usar un gráfico ..........................................258

Lección 14-5 Diagramas de tallo y hojas .......................................260

Práctica adicional ......................................................................... 262

Práctica con un juego ................................................................... 263

Repaso / Prueba del Capítulo 14 ............................................ 264

Enriquecimiento ............................................................................ 265

Aprendizaje en espiral ............................................................. 266

E nlac e

WEB

13CAPÍTULO

Figuras bidimensionales

y tridimensionales ................................................................ 224 Muestra lo que sabes....................................................................225

Lección 13-1 Área Total ...................................................................226

Lección 13-2 Volumen de paralelepípedos .................................... 230

Lección 13-3 Taller de resolución de problemas Estrategia: hacer una representación ..................... 234

Práctica adicional ..........................................................................238

Práctica con un juego ....................................................................239

Repaso / Prueba del Capítulo 13 .............................................240

Enriquecimiento .............................................................................241

Repaso / Prueba de la unidad ..................................................242

. . . . . 247

Glosario ..........................................................................................................................284

Índice temático ..........................................................................................................287

Solucionario .................................................................................................................289

Bibliografía ...................................................................................................................298

UNIDAD

4Datos y probabilidades .................................................. 246

IX



Temperaturas máximas y mínimas promedio

de Antofagasta

Temperatura mínima

Temperatura máxima

Las Matemáticas son una ciencia que utiliza un lenguaje formal que nospermite representar la realidad a través de símbolos, palabras y números.

Este año, aprenderás maneras de comunicarte en términos matemáticos amedida que comentas, lees y escribes acerca de lo que estás aprendiendo.

En la gráfica lineal doble, se muestran las temperaturas máximas y mínimasmensuales de Antofagasta, ciudad que se encuentra en el norte de nuestropaís.

Comenta acerca del gráfico lineal doble.

1. ¿Qué te dicen las palabras del título promedio, máximas y mínimas acercade los datos?

2. ¿Por qué el gráfico tiene una leyenda en la parte superior?

3. ¿Qué puedes inferir si observas la tendencia de las líneas del gráfico?

Adaptado de Servicio Metereológico de Chile.

X



4. ¿En qué mes se registra la temperatura máxima más baja?

5. ¿En qué meses se registran las temperaturas máximas más altas?

6. ¿Cuál es el mes en que se da la temperatura mínima más baja y cuáles el mes en que se da la temperatura mínima más alta?

Inventa y escribe un problema en que tengas que usar un gráficolineal doble.

Este año, escribirás muchos enunciados de problemas. Cuando veas lafrase Plantea un problema, debes volver a leer el problema planteadoen esa página y usarlo para escribir tu propio problema.

En el problema que escribes, puedes

cambiar los números o parte de la información.

cambiar la información conocida o desconocida.

escribir un problema abierto que tenga más de unarespuesta correcta.

Plantea un problema Elige una de las tres maneras de escribir unproblema nuevo. Usa la información del gráfico lineal doble.

X



Números, conceptosde fracciones y operaciones



1CAPÍTULO 11

42

63

84 105

126

2

1

3

1

Fracciones equivalentes

¿Qué sabes acerca de fracciones equivalentes?¿Qué experiencia te ayudó a aprender acerca

de las fracciones equivalentes?

¿Qué conceptos matemáticos se muestran en las fotografíasde Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes usar fraccionescuando cocinas?

REPASO DEL VOCABULARIO Cuando trabajaste confracciones, aprendiste los conceptos que aparecen acontinuación.

fracciones equivalentes Fracciones que, aún cuando se

escriben de forma diferente, representan la misma parte conrespecto del todo. Ejemplo: 1/2 y 2/4.

número mixto Un número representado por un número enteroy una fracción.

Completa con fracciones equivalentes a la fracción que está alcentro del círculo como se muestra abajo.

p Si medimos cuidadosamente losingredientes con la ayuda de fracciones

y números mixtos obtenemos lascantidades exactas para la elaboraciónde recetas de cocina.

p Los números son necesarios para

obtener las cantidades exactas. Sin

esta medición los platos tendrían

sabores diferentes.

p Después los platos cocinados se pre-

sentan de diversas formas, asemeján-

dose a figuras geométricas.

Matemáticaen Contexto

Ejemplo

1UNIDAD 1



2

Teoría de los númerosLa idea importante El estudio de la teoría de los números ayuda, entre otras cosas, a

comprender el concepto de factores y múltiplos.

A partir de la información del gráfico,responde:

¿Cuál es la diferencia entre la mayorenergía generada por el sistema y lamenor cantidad de energía? ¿Cuál esla energía que más se ocupaba en elaño 2008?

Adaptado de: http://antiguo.minenergia.cl

En Chile se han realizado

estudios para identificar

zonas en nuestro país

que por sus características

naturales podrían tener

ventajas para la construcción

de proyectos de energía

eólica (generada por el

viento). Entre ellas se

encuentran algunas zonas

costeras de las regiones de

Atacama, Coquimbo y Maule.

Información adaptada de:http://antiguo.minenergia.cl

2

Generación eléctrica por sistema: 2008

DATO BREVE

Tipos de energía

E ó l i c

a

P e q

u e ñ

a

B i o

m a s a

G a s

n a t u

r a l

P e t r ó l e

o

C a r b ó n

H i d

r o e m b

a l s e

H i d

r o p o s a d a

( s i n e m b

a l s e )

P e q

u e ñ

a h i d

r o

40

35

30

25

20

15

10

5 C a n t i d a d d e e n e r g í a

g e n e r a d a p o r s i s t e m a ( e n % )

x

y



3CAPÍTULO 11

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitanpara el aprendizaje del capítulo 1.

Comparar y ordenar números naturales hasta 100 000

Escribe <, > o = según corresponda en cada uno de los círculos grises.

1. 11 000 11 050 2. 21 034 22 345 3. 45 687 45 238

4. 14 329 14 329 5. 60 806 68 600 6. 12 000 1 200

Ordena los números de mayor a menor.

7. 47 899; 48 799; 48 797 8. 40 133; 43 100; 14 330

9. 78 311; 78 300; 78 310 10. 94 586; 92 801; 99 934

Representar multiplicacionesEn tu cuaderno, representa en una cuadrícula los factores de cada multiplicación y su

producto.

11. 4 por 3

12. 2 por 6

13. 5 por 5

14. 9 por 1

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

número compuestofactormáximo común divisor (m.c.d.)fracción simplificada a su mínima

expresiónmínimo común múltiplo (m.c.m.)múltiplonúmero primodescomposición en factores primos

PREPARACIÓN

múltiplo Nombre que se le da al producto de dichonúmero por otro número cualquiera.

factor Nombre que se le da a los términos que semultiplican para obtener un producto.

factor primo Un número mayor que 1 que tiene comoúnicos factores el 1 y sí mismo.

matriz Nombre que se le da a un arreglo bidimensional deelementos (números) dispuestos en filas y columnas.

3CAPÍTULO 1



4

Muchos números se pueden separar en factores de diferentes maneras.

Una matriz es un conjunto o grupo de objetos dispuestos en forma

rectangular, formando filas y columnas.

16 1 • 16 16 4 • 4 16 2 • 8

El 1 representa el número de filas, y el 16, el número de columnas.

factor factor

Actividad Materiales ■ fichas cuadradas ■ papel cuadriculado

Haz matrices para mostrar todos los factores de 24.

• Usa las 24 fichas para hacer unamatriz. Dibújala en tu cuaderno.Escribe los factores que muestra la

matriz.

12

2

2 • 12 24 Factores: 2, 12

• Haz tantas matrices diferentescomo puedas con 24 fichas.Dibújalas en tu cuadernoy escribe los factores quemuestran.

8

3

3 • 8 24 Factores: 3, 8

6

4

4 • 6 24 Factores: 4, 6

24

1

Por lo tanto, los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

• ¿Puedes ordenar las fichas de cada matriz de otra manera y mostrar losmismos factores? Explica.

1 • 24 24 Factores: 1, 24

El 2representael número

de filas.

El 12 representa el número de columnas.

L E C C

I Ó N

Factores y múltiplosOBJETIVO: comprender los factores y los múltiplos.

Aprende

1. 8 42. 6 73. 2 94. 5 55. 3 10

Un factor es un número que se multiplica por otro número para hallar un producto. Cada número naturalmayor que 1 tiene por lo menos dos factores, ese número y 1.

18 1 • 18 7 7 • 1 342 1 • 342

No olvides anotar el1 y el número mismocomo factores.



5CAPÍTULO 1

Hallar múltiplosEl múltiplo de un número es el producto de dicho número por otro númerocualquiera mayor que cero.Para hallar los múltiplos de cualquier número, se multiplica dicho número porotro número natural cualquiera (1, 2, 3..) diferentes de cero.

PROBLEMA Raquel tiene una pulsera de recuerdos nueva con 20 eslabones.

Pon un recuerdo en cada eslabón que sea un múltiplo de 3. ¿Qué eslabonestienen recuerdos?

Utiliza las fichas bicolor para representar.

Por lo tanto, los eslabones 3o, 6o, 9o 12o, 15o y 18o tienen recuerdos.

• ¿Qué pasaría si la pulsera tuviera 27 eslabones? ¿Qué otroseslabones tendrían recuerdos?

Multiplica y haz una lista.

Halla los primeros seis múltiplos de 4.

1 • 4 4 2 • 4 8 3 • 4 12 4 • 4 16 5 • 4 20 6 • 4 24

Por lo tanto, los primeros seis múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20 y 24.

• Explica cómo sabes que 30 es un múltiplo de 5.

• ¿Puede un número que es un múltiplo de 3 tener 5 como un factor? Explica.

1. Usa las matrices para encontrar los factores de 12.

• 12 • 12 • 12

Completa: los factores de 12 son 1,, 3, , 6 y

3 6 9 12 15 18

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

Los números de las fichas rojas son todos múltiplos de 3.

Práctica con supervisión

Idea matemáticaUn múltiplo de un

número es cualquierproducto que contenga

ese número como unfactor. El número de

múltiplos que tiene unnúmero

es infinito.



6

Usa matrices para hallar todos los factores de cada producto.

2. 20 3. 5 4. 49 5. 28 6. 25

Haz una lista de los primeros diez múltiplos de cada número.

7. 6 8. 2 9. 11 10. 4 11. 8

12. Explica En el contexto de múltiplos y factores, ¿qué relaciónexiste entre los números 3 y 12?

Resuelve los siguientes problemas.

47. ¿Qué múltiplos de 4 no son factores de 48?

48. ¿Qué factores de 48 son también múltiplos de 4?

49. Clara pagó $40 por dos recuerdos. El precio de cada recuerdo era un múltiplo de $ 4.

¿Cuáles son los precios posibles de los recuerdos?

50. ¿Cuál es la pregunta si en el contexto de los factores y múltiplos,

la respuesta es 1, 2, 3, 6, 9 y 18?

Usa matrices para hallar todos los factores de cada producto.

13. 30 14. 42 15. 9 16. 50 17. 33

18. 64 19. 21 20. 75 21. 18 22. 17

Haz una lista de los primeros diez múltiplos de cada número.

23. 9 24. 1 25. 7 26. 10 27. 12

28. 3 29. 8 30. 5 31. 2 32. 6

¿Es 6 un factor de cada número? Escribe sí o no.

33. 6 34. 16 35. 48 36. 24 37. 18

¿Es 36 un múltiplo de cada número? Escribe sí o no.

38. 8 39. 9 40. 18 41. 36 42. 5

Halla el múltiplo que falta respetando el orden de la secuencia.

43. 4, 8, , 16 44. 7, 14, 21, 45. 5, , 15, 20 46. 9, 18, 27,

Práctica independiente y resolución de problemas



7CAPÍTULO 1

Comprensión de los aprendizajes

2 3 4 5 1 7

8 9 10 11 12 13 14

16 17 18 19 20 15 21

22 23 24 25 27 2826

29 30 31

6

51. e ro ten a o tas. er . u ntas equedaron?

52. Eva tiene 93 figuras de acción. ¿Cuántosestantes necesitará si pone 3 figuras de acción

en cada estante?

53. Una matriz tiene 4 filas y 3 columnas en cadafila. ¿Cuántas fichas hay en total?

54. u m tp o e es tam n un actor e

55. Ana está ordenando 9 fotografías en hilerasiguales. ¿De qué maneras puede ordenar lasfotografías?

A hileras de 1, 3 o 6

B hileras de 1, 2 o 9

C hileras de 1, 3 o 9

D hileras de 3, 6 o 9

RAZONAMIENTO LÓGICO A partir del 1o de diciembre, un camiónde helados visita la calle de Sara cada 3 días y la calle de Emacada 5 días. ¿Cuáles son los primeros 2 días que el camión visitaambas calles el mismo día?

Los días que el camión de helados visita ambas calles son múltiploscomunes de 3 y 5.

Un múltiplo común es un múltiplo de dos o más números. Puedesusar una recta numérica para hallar los múltiplos comunes.

Ejemplo Usa una recta numérica.

Primero haz una lista de seis múltiplos de cada uno. Halla los múltiplos comunes.

1. 2 y 4 2. 9 y 12 3. 4 y 8 4. 3 y 5

5. 3 y 6 6. 2 y 5 7. 3 y 9 8. 5 y 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Por lo tanto, los primeros 2 días que el camión visita ambas calles son el 15 y 30 de diciembre.



8

Aprende

Números primos y compuestosOBJETIVO: Identificar números primos y compuestos.

PROBLEMA En una carrera de bicicletas de 40 kilómetros hay una estaciónde bebidas en cada señal que indica cuatro kilómetros de recorrido y unaestación de refrigerios en cada señal que indica seis kilómetros de recorrido.¿En qué señales habrá una estación de bebidas y una de refrigerios?

Puedes hallar los múltiplos comunes de 4 y 6 para resolver el problema. Losmúltiplos comunes son múltiplos de dos o más números.

Ejemplo 1 Halla los múltiplos comunes de 4 y 6 que son menores queo iguales a 40.

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36.

Los múltiplos comunes de 4 y 6 son 12, 24 y 36.

Entonces, habrá una estación de bebidas y una de refrigerios en las señales de12, 24 y 36 kilómetros.

• Explica los patrones que observas en los múltiplos de 4 y 6.

1. 7 · 4 2. 8 · 33. 9 · 6 4. 5 · 45. 12 · 5

Los factores comunes son factores de dos o más números.

Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Factores de 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

1

El número 1 tiene un solofactor, que es 1, entonces no esun número primo ni un númerocompuesto.

Entonces, los factores comunes de 24 y 32 son 1, 2, 4 y 8.

Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene como únicosfactores el 1 y sí mismo. Un número compuesto es un número natural mayorque 1 que tiene dos o más factores distintos de uno.

Ejemplo 2 Halla los factores comunes de 24 y 32.

Ejemplo 3 Halla los factores de cada número. Indica si el número es primo,compuesto o ninguno de los dos.

12

Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12El número 12 es compuesto.

29

Factores de 29: 1, 29El número 29 es primo.

Vocabulario

múltiplo número primofactor número compuesto

L E C C

I Ó N

Los números 0 y 1no son primos nicompuestos.



9CAPÍTULO 1


1. Haz una lista con los múltiplos de 6 y 9 menores que 60.Luego, enumera los múltiplos comunes de 6 y 9.

Escribe los tres primeros múltiplos comunes.

2. 8 y 12 3. 4 y 5 4. 5 y 12 5. 2, 4 y 12 6. 3, 4 y 8

Escribe los factores comunes.

7. 12 y 2 8. 6 y 7 9. 36 y 40 10. 6, 12 y 24 11. 3, 5 y 15

12. Explica ¿Por qué el número 2 es el único número primo par? Explica.

Escribe los tres primeros múltiplos comunes.

13. 4 y 9 14. 10 y 14 15. 8 y 18 16. 3, 8 y 16 17. 2, 4 y 7Escribe los factores comunes.

18. 25 y 70 19. 15 y 30 20. 50 y 70 21. 32 y 45 22. 24 y 42

23. 4, 6 y 16 24. 18, 45 y 72 25. 8, 30 y 46 26. 7, 18 y 21 27. 4, 28 y 36

Indica si el número es primo, compuesto o ninguno de los dos.

28. 98 29. 61 30. 0 31. 37 32. 82 33. 1

Halla el factor desconocido.

34. 75 · 15 35. 110 5 · · 11 36. 42 2 · · 7 37. 48 · 3 · 4

38. En la clase del profesor Gómez hay 12 niños y18 niñas. El profesor dividirá al curso en gruposde manera tal que todos los grupos tengan lamisma cantidad de niños y la misma cantidad deniñas. ¿Cuáles son los grupos posibles?

39. ¿Qué número es menor que 30 y tieneexactamente ocho factores?

40. Razonamiento ¿Será primo o compuesto elproducto de dos números primos? Explica.

41. Escribe 65 como el producto de dos númerosprimos.

42. El producto de 9 y 6 es 54. Explicacómo hallar el múltiplo de 3 que da como resultadoun producto de 54 cuando se multiplica por 3.

43. Expresa el número 0,03 en fracción.

44. Si a = 1,05; b = 2 y c = 2,57, ¿cuál es el valora + b + c ?

45. Escribe el número que falta para que se cumplala relación 3,57 > _____ > 3,55

46. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplocomún de 6 y 8?

A 18

B 24

C 40

D 42

Práctica adicional en la página 18, Grupo A





10

Aprende

Máximo común divisorOBJETIVO: hallar el máximo común divisor de dos o más números yusarlo para resolver problemas.

Escribe todos los factores.

1. 17 2. 273. 20 4. 745. 33

Vocabulariomáximo común divisor (m.c.d.)

descomposición en factores primos

diagrama de escalera

Factores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36Factores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Piensa: Los factores o divisorescomunes son 1, 2, 3, 6. Por lotanto, el m.c.d de 36 y 42 es 6.

La descomposición en factores primos de un número se obtiene cuando unnúmero está expresado como el producto de sus factores primos. Por ejemplo,sabemos que 12 4 · 3. Si usamos solo números primos, sería 12 2 · 2 · 3.Entonces, la descomposición en factores primos de 12 es 2 · 2 · 3.

Puedes usar la descomposición en factores primos o un diagrama escalera parahallar el m.c.d. de dos o más números.

Usa la descomposición en factores Usa un diagrama de escalera parahallar el m.c.d. de 12, 18 y 48.

Entonces, la mayor cantidad de petunias que pueden plantar en cadahilera es 6.

primos para hallar el m.c.d. de8, 12 y 20.

8 2 · 2 · 212 2 · 2 · 320 2 · 2 · 5

2 · 2 4

Usa solamente números primos.Escribe la descomposición enfactores primos de cada número.

Determina los factores primoscomúnes y halla el producto.

2 12 18 48 3 6 9 24 2 3 8

2 · 3 6

Divide cada número entre un

factor común de los números.Continúa dividiendo hasta quelos números no tengan factorescomunes.

Halla el producto de los divisores.

Entonces, el m.c.d. de 8, 12 y 20 es 4. Entonces, el m.c.d. de 12, 18 y 48 es 6.

• Sebastián usó un diagrama de escalera para hallar el m.c.d. de 36 y 48. Dividió entre 3 y luego entre 4.¿Cambiaría el m.c.d. si eligiera dos factores comunes diferentes? Explica tu respuesta y da un ejemplo.

L E C C

I Ó N

Cuando se enumeran losfactores de un número,ninguno de los factorespuede ser mayor que elnúmero mismo.

PROBLEMA En un jardín rectangular, Patricia y su mamá quieren plantar

36 petunias rojas y 42 petunias blancas en hileras iguales. Si plantan petuniasdel mismo color en una hilera, ¿cuál es la mayor cantidad de petunias quepueden plantar en cada hilera?

¿Cómo podrías encontrar los factores de 36 y 42 para hallar el máximo factorcomún entre ambos números? Explica.

El máximo común divisor (m.c.d.), es el mayor número o factor que divideexactamente a todos y cada uno de los números.

Los factores de un número dividen de forma exacta a dicho número. Ejemplo:

2 x 3 = 6 6 : 2 = 3 6 : 3 = 2

Por lo tanto, todo factor de un número es a la vez divisor de dicho número.



11CAPÍTULO 1

1. Completa la descomposición en factores primos para hallar el m.c.d. de 12 y 28.

Factores de 12: 2 · · 3 Factores de 28: 2 · 2 · m.c.d.: 2 · =

Halla el Máximo Común Divisor (m.c.d.) entre los siguientes grupos de números.

2. 18, 24 3. 50, 75 4. 45, 81 5. 6, 9, 18 6. 6, 10, 12

7. Explica la descomposición en factores primos para hallar el m.c.d. entre 8 y 52.

Halla el Máximo Común Divisor (m.c.d.) entre los siguientes grupos de números.

8. 26, 28 9. 12, 40 10. 96, 120 11. 14, 21 12. 9, 16

13. 42, 96 14. 21, 56 15. 9, 48 16. 15, 28 17. 16, 35

18. 16, 32, 48 19. 3, 9, 18 20. 20, 50, 70 21. 32, 36, 45 22. 4, 12, 20

Halla dos pares de números que se correspondan con cada enunciado.

23. El m.c.d. es 8. 24. El m.c.d. es 6. 25. El m.c.d. es 12. 26. El m.c.d. es 15.

Resuelve el siguiente problema.

27. La clase de Ana venderá cajas con plantas. Cada caja tendrá un tipo de planta y todas las cajas tendránla misma cantidad. Si hay 60 begonias, 48 geranios y 96 caléndulas, ¿cuál es el mayor número deplantas que los niños pueden colocar en cada caja?

Del 28 al 29, usa la siguiente información.

Un curso de la Escuela Básica Pablo Neruda recibirá 24 lapiceras, 16 reglas, 32 lápices y 12 cuadernospara un proyecto escolar. Cada estudiante que reciba los elementos obtendrá la misma cantidad de cadaobjeto que los demás estudiantes.

28. ¿Cuál es el mayor número de estudiantes que recibirá los elementos si se usa cada objeto?

29. Si hubiera 20 reglas y 16 lápices más, ¿cuál podríaser el mayor número de estudiantes que recibieralos elementos si se usara cada objeto?

30. Da un ejemplo para ilustrar elsiguiente enunciado: “El m.c.d. de un númeroy uno de sus múltiplos es el número mismo”.

Práctica adicional en la página 18, Grupo B

Comprensión de los aprendizajes 31. Si a = 43,72 y b = 4,9. Calcula el valor de:

a – (a – b)

32. ¿Qué factores de 16 son también factores de64?

33. 68,2 – 48,9

34. ¿Cuál de los siguientes números es el máximocomún divisor de 56 y 49?

A 2 C 7

B 4 D 9





12

Aprende

Un exponentemuestra cuántasveces se usa comofactor un númerollamado base.

En 23 2 · 2 · 2,

el exponente 3muestra que labase 2 se usa comofactor tres veces.

Vocabulario

mínimo común múltiplo (m.c.m.)PROBLEMA Para una comida escolar al aire libre, cada uno de los20 padres voluntarios necesita una bandeja grande y una cucharade servir. Las bandejas vienen en juegos de 8 y las cucharas, en juegos de 12. ¿Cuál es la menor cantidad de bandejas y cucharas quedebe comprar la escuela para tener el mismo número de bandejas ycucharas, y que alcancen para todos los padres?

Usa una lista.

Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, …

Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, …

Los primeros tres múltiplos comunes son 24, 48 y 72. El mínimo común múltiplo,o m.c.m., es 24.

Usa la descomposición en factores primos.

8 2 · 2 · 2

12 2 · 2 · 3

2 · 2 · 2 · 3 24

Anota la descomposición en factores primos decada número.

Escribe la mayor cantidad de veces que aparececada factor en cualquier descomposición enfactores primos. Multiplica.

Entonces, la menor cantidad de bandejas y cucharas que debe comprar laescuela es 24.

• ¿Qué sucedería si las bandejas vinieran en juegos de 6 y las cucharas en juegos de 12? ¿Cuál sería la menor cantidad de bandejas y cucharas quedebería comprar la escuela?

• Usa la descomposición en factores primos para hallar el m.c.m. de 16 y 24.

Ejemplo 1 Halla pares de números con un m.c.m. de 20.

Puedes resolver este problema al usar el m.c.m. y uno de sus factores.Factores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

Pares de números posibles: 1, 20 2, 20 4, 20 5, 20 10, 20

• ¿Qué otros pares de números tienen un m.c.m. de 20?

Mínimo común múltiploOBJETIVO: hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números yusarlo para resolver problemas.

Escribe los primeros 4 múltiplode cada número.

1. 4 2. 6 3. 12

4. 8 5. 15

R e cuer d a

L E C C

I Ó N

¿Como puedes encontrar el primer múltiplo común (m.c.m) entre 8 y 12?



13CAPÍTULO 1

1. Haz una lista con los primeros seis múltiplos de 12 y 18. Encierra en un círculo losmúltiplos comunes. Luego, halla el mínimo común múltiplo.

Escribe el m.c.m. de los números.2. 9, 12 3. 4, 30 4. 5, 25 5. 3, 5, 15 6. 2, 3, 4

Escribe dos números a partir del m.c.m. dado.

7. 15 8. 16 9. 44 10. 100 11. 56

12. Explica cómo cada uno de los siguientes pares de números 12 y 24; 3 y 8; 6 y 8 serelaciona con su m.c.m. 24.

El m.c.m. de tres númerosPuedes usar métodos similares para hallar el m.c.m. de tres números.

Usa una lista para hallar el m.c.m. de 10, 14 y 70.

Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, …

Múltiplos de 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, …Múltiplos de 70: 70, 140, …

Entonces, el m.c.m. de 10, 14 y 70 es 70.

Usa la descomposición en factores primos para hallar el m.c.m. de 6, 9 y 15.

6 2 · 3

9 3 · 3

15 3 · 5

2 · 3 · 3 · 5 90

Escribe la descomposición en factores primos de cada número.

Escribe la mayor cantidad de veces que aparece cada factoren cualquier descomposición en factores primos. Multiplica.

Entonces, el m.c.m. de 6, 9 y 15 es 90.

Ejemplo 2 Encuentra grupos de tres números cuyo m.c.m. sea 36.

36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Haz una lista con los factores de 36.

1, 2, 36 2, 9, 36 3, 4, 36 Primero, usa el m.c.m., 36, y otros dos factoresal azar. Se dan grupos posibles.

2, 4, 9 4, 6, 9 9, 12, 184, 9, 12 6, 12, 18 12, 18, 36

Luego, halla otro grupo de tres factoresde 36 que tengan un m.c.m. de 36. Se dangrupos posibles.




14


Naranja Manzana Guinda

Escribe el m.c.m. de los números.

13. 15, 25 14. 8, 14 15. 8, 16 16. 11, 22 17. 4, 18

18. 3, 12, 15 19. 10, 16, 20 20. 4, 36, 54 21. 2, 7, 10 22. 27, 3, 6

Escribe dos números a partir del m.c.m. dado.

23. 40 24. 39 25. 24 26. 30 27. 22

Escribe tres números a partir del m.c.m. dado.

28. 10 29. 20 30. 18 31. 28 32. 45

USA LOS DATOS Para los problemas 33 y 34,

utiliza el gráfico de la derecha.

33. Marco compró igual cantidad de botellas de jugode naranja, manzana y guinda para el paseo al

aire libre. ¿Cuál es la menor cantidad de cadauno que puede haber comprado para tener elmismo número de botellas de cada jugo y queno haya sobras?

34. ¿Qué sucede si Marco compra igual cantidadde botellas de dos tipos de jugo? ¿Comprarámás botellas si elige jugo de naranja y manzana,de guinda y naranja, o de manzana y guinda?¿Cuántas botellas de cada jugo comprará?Explica tu razonamiento.

35. El m.c.m. de dos números es 18. El m.c.d. delos números es 3. ¿Cuáles son los númerosposibles?

37. Plantea un problema Lee otra vez el problema35. Escribe un problema similar en el quecambies el m.c.m. y el m.c.d.

36. El m.c.m. de dos números es 40. El m.c.d. delos números es 4. ¿Cuáles son los númerosposibles?

38. Laura dice que el m.c.m. de dosnúmeros primos diferentes es su producto.Explica si tiene razón o no.

39. ¿Por qué entre 3 y 6 el m.c.m. es 6, que es iguala uno de ellos, pero entre 3 y 4 es 12, que esdiferente a ambos números?

40. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre 4 y 6?

41. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 12 y 18?

A 6 C 36

B 30 D 120

42. ¿Qué números son dos múltiplos comunes de 4,10 y 12?

43. El m.c.m. de tres números es 90. Uno de losnúmeros es 15.¿Cuáles pueden ser los otros dos?

A 6, 8 C 2, 10

B 18, 30 D 30, 50

Práctica adicional en la página 18, Grupo C


N ú m e r o d e b o t e l l a s p o r p a q u e t e



15CAPÍTULO 1

Escribir paraexplicar

Primero, halla los factores comunes de 4 y 6.4: 1, 2, 4

6: 1, 2, 3, 6Luego multiplica el número de años que dura el período del

presidente por el número de años que el alcalde cumple con su cargo.4 · 6 24

Por último, divide el producto entre el máximofactor común para hallar el mínimo común múltiplo.

24 : 2 12

Consejos para escribir unaexplicación

• Menciona cuál es el problema en laprimera oración.

• Usa conectores como primero, luego y por

último para mostrar el orden de los pasos.

• Usa términos matemáticos correctos.

• Muestra todos los cálculos.

• Menciona la solución del problema en laúltima oración de tu explicación.

Resolución de problemas Escribe una expli-

cación para mostrar cómo resolver cada problema.

1. Daniela colgará luces rojas, blancas y azules para una

fiesta. Las luces rojas vienen en paquetes de 6, las

blancas, en paquetes de 8 y las azules, en paquetes

de 3. Planea colgar la misma cantidad de cada color.

¿Cuál es el menor número de luces de cada color

que debe comprar? ¿Cuántos paquetes de cada

color debe comprar?

2. Rafael tiene 12 carteles y 36 boletas de muestra

para la elección escolar. Está armando paquetes,

todos con la misma cantidad de carteles y de

boletas. ¿Cuál es la mayor cantidad de paquetes

que puede armar sin que sobren objetos? ¿Cuántos

de cada uno de los objetos habrá en cada paquete?

Los factores comunes son 1 y 2.

Escribir una explicación ayuda a analizarcuidadosamente los pasos que hicieron faltapara resolver un problema. También sirve paracomprender un concepto matemático.

El gobierno que asumió la presidencia en el año1994 duró seis años. Los alcaldes duran 4 años. Siel presidente y alcalde asumen el mismo año, ¿encuántos años más podrán presentarse a la elección juntos?

El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es el númeromenor de años que pasarán antes de que elpresidente y el alcalde puedan postularse para lareelección en el mismo año. Lee la explicación deLaura acerca de su solución.

El máximo factor común es 2.

Entonces, en 12 años, el alcalde y el presidente podrán postularse para la reelección en el mismo año.

15CAPÍTULO 1



16

a b a · b m.c.d. m.c.m. m.c.d. · m.c.m.

3 4 12 1 12 12

4 6 24 2 12 24

3 6 18 3 6 18

8 24 192 8 24 192

7 3 21 1 21 2115 9 135 3 45 135

54 9 486 9 54 486

Observa los pares de números y describe las relaciones.

Par de números

Halla la fila con 3 y 6. El número 6 es unmúltiplo de 3. ¿Cuál es la relación entre elm.c.m. y los números?

Halla la fila con 3 y 4. El m.c.d. de los númeroses 1. ¿Cuál es la relación entre el m.c.m. y elproducto de los números?

Halla la fila con 8 y 24. El número mayor es elm.c.m. ¿Cuál es la relación entre el m.c.d. y los números?

Relación

Cuando un número es múltiplo delotro, el m.c.m. es el número mayor.

Cuando el m.c.d. es 1, el m.c.m. esel producto de los números.

Cuando el m.c.m. es el número mayor,el m.c.d. es el número más pequeño.

Piensa y comentaUsa las relaciones que se muestran arriba para ayudarte a resolver los problemas.

a. Observa la tabla. ¿Qué otros pares de números tienen la misma relación que3 y 6? ¿Cómo puedes hallar el m.c.m. de cada par de números?

b. El m.c.d. de 14 y 17 es 1. ¿Cómo puedes hallar el m.c.m.?

c. El m.c.m. de 5 y 10 es 10. ¿Cómo puedes hallar el m.c.d.?

Lee para entenderPROBLEMA Patricio y Sandra hicieron la tabla que se muestra abajo para

identificar las relaciones entre un par de números, su máximo común divisory su mínimo común múltiplo. ¿Qué relaciones se muestran?

Destreza: identificar relacionesOBJETIVO: resolver problemas con la destreza identificar relaciones.

L E C C

I Ó N



17CAPÍTULO 1

Aplicaciones mixtas

1. Pedro y Martín quieren ver si hay alguna relación entre dos números primos ysu m.c.m. Hicieron una tabla como ayuda. ¿Qué relaciones ves?

a b m.c.m.

2 3 6

2 5 10

3 5 15

3 7 21

5 7 35

13 11 143

Primero, observa cada par de números y su m.c.m.

Luego, decide si hay alguna relación.

2. ¿Qué pasaría si hubiera tres números primos? ¿Qué relación hay entrelos números y su m.c.m.? Explica tu respuesta.

3. ¿Qué relación hay entre la suma de dos números pares y la sumade dos números impares? Explica y da un ejemplo.

4. Existe una relación entre los números compuestos 4, 16, 36, 81, 100 y144. Identifica la relación y escribe otros dos números que tengan la misma

relación. 5. ¿En qué se relacionan el producto de dos números pares y el producto de

un número par y uno impar? ¿Se relacionan de igual manera el producto dedos números pares y el de dos números impares? Explica y da un ejemplo.

6. En un paradero de buses, un bus pasa con una frecuencia de 18 minutos,otro cada 15 minutos y un tercero cada 8 minutos. ¿Dentro de cuántosminutos, como mínimo, se encontrarán en el paradero los tres buses?

7. Joaquín ha coleccionado estampillas de América y Europa. Las estampillasde América están agrupadas en sobres de 24 estampillas cada uno y no

sobra ninguna, mientras que las estampillas de Europa las ha agrupado ensobres de 20 y tampoco sobran. Sabiendo que el número de estampillas esel mismo tanto para América como para Europa, ¿cuántas estampillas comomínimo hay en cada caja?

8. Bernardita quiere comenzar a vender bombones. Con lo que aprendió en sutaller de chocolatería, hizo 32 bombones de trufa, 24 de frambuesa y 28 demanjar. ¿Cuántos paquetes con la misma cantidad de bombones de cadatipo puede hacer?

Resolución de problemas con supervisión



18

Grupo A Escribe los primeros tres múltiplos comunes.

1. 4, 6 2. 3, 8 3. 7, 14 4. 3, 4, 12 5. 4, 5, 8

Escribe los factores comunes.

6. 20, 40 7. 7, 17 8. 32, 40 9. 16, 32, 64 10. 5, 10, 35

Indica si el número es primo, compuesto o ninguno de los dos.

11. 51 12. 42 13. 19 14. 0 15. 29

Grupo B Halla el m.c.d.

1. 16, 24 2. 8, 16 3. 18, 54 4. 4, 14 5. 84, 108

6. 15, 36 7. 18, 42 8. 24, 84 9. 21, 56 10. 15, 70

11. María tiene 16 rosas y 12 azucenas paracolocar en floreros. Si coloca la misma cantidad

de rosas y azucenas en cada florero, ¿cuál es elmayor número de floreros que necesitará paracolocar todas las flores?

12. ¿Cuál es la mayor cantidad de bolsas decumpleaños que puede hacer Iván con 20

sorpresas y 16 globos si cada bolsa tiene elmismo número de regalitos y globos, e Iván usatodos los objetos?

Práctica adicional

Grupo C Escribe el m.c.m. de los números.

1. 4, 6 2. 7, 14 3. 10, 15 4. 3, 4 5. 6, 24

6. 12, 18, 36 7. 6, 12, 18 8. 10, 16, 20 9. 3, 7, 21 10. 10, 18, 72

11. 7, 5 12. 9, 6, 4 13. 8, 18 14. 15, 12 15. 6, 8, 48

16. El m.c.m. de dos números es 16. El m.c.d. delos números es 4. ¿Cuáles son los números?

17. El m.c.m. de dos números es 40. El m.c.d. delos números es 20. ¿Cuáles son los números?



19CAPÍTULO 11

¡Preparados!2 jugadores

¿Listos?• 29 papelitos• bolsa de papel• 30 fichas• 2 monedas diferentes

¡Ya!

Los jugadores escriben en papelitos los números

del 2 al 30 y los ponen en una bolsa.

Cada jugador elige una moneda y la coloca enla SALIDA.

Por turnos, cada jugador saca un número dela bolsa.

Identifica si el número es primo o compuesto.•Si el número es compuesto, el jugador usa lasfichas para hacer todas las matrices posiblesque muestren el número.

•Si el número es primo, continúa el siguiente

jugador. El otro jugador comprueba las matrices.

El jugador 1 avanza dos lugares por cada maque haga de un número compuesto.Si el jugador 2 puede hacer otra matriz delnúmero del jugador 1, puede avanzarun espacio.

Gana el primero que alcanza la LLEGADA.

S a l i d

a

L l e g

a d a

¿Primo o compuesto?

19CAPÍTULO 1



20

Repasar el vocabulario y los conceptos

Repasar el vocabulario y los conceptos.

1. El número 3 es el ____ de los números 6 y 15.

2. Un número que es factor y múltiplo de 24 es _____.

3. Factor de todos los números_____ . 4. 6 es factor de_____.

5. 6 es múltiplo de _____. 6. Primer múltiplo común de 6 y 9 ____.

Usando los términos “Factores” o “Múltiplos”, completa cada frase según corresponda.

7. 25, 100 y 150 son _________ de 25. 8. 1, 2, 5, 10, 25, y 50 son __________ de 50.

9. Cada número tiene una cantidad infinita de __________.

10. Si un número x divide a otro número y en forma exacta, se dice que x es un _______de y .

11. ¿Cuál de los siguientes números es un número primo?

A 4

B 9

C 13

D 15

VOCABULARIO

máximo común divisor (m.c.d.)

mínimo común múltiplo (m.c.m.)

número compuesto

número primo

Repasar las destrezasHalla el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de números.

12. 3, 4 13. 8, 64 14. 15, 18 15. 9, 12, 18 16. 10, 20, 50

Repasar la resolución de problemas

Resuelve.

17. Marco descubrió que existe una relación entre los números compuestos 6 y 24. Identifica la relación yescribe otros dos números que tengan la misma relación.

18. Raúl escribió los números 12 y 18 en el pizarrón. Descubrió que el m.c.m. de 12 y 18 es 36. ¿Cuál esel m.c.d. del par de números?

19. Amalia escribió los números primos 3 y 11. Dice que cuando el m.c.d. de dos númeroses 1, el m.c.m. es el cociente de los números. ¿Tiene razón? Explica.

Repaso/Prueba del capítulo 1



21CAPÍTULO 1

Paso 3 Compara la suma y el número.

Paso 4 Clasifica el número.

Paso 2 Halla la suma de los divisorespropios.

Paso 1 Escribe los divisores propiosdel número.

18 21 6

1, 2, 3, 6, 9 1, 3, 7 1, 2, 3

21 11 6

21 18 11 21 6 6

abundante deficiente perfecto

13. Emilio escribió los números primos 31 y 13sobre una hoja. ¿Qué notas acerca de losnúmeros primos 31 y 13? Explica.

14. Razonamiento El primer número abundanteimpar se encuentra entre 800 y 1 000. Si susfactores primos son 3, 3, 5 y 7, ¿cuál es elnúmero?

Entonces, 18 es un número abundante, 21 es un número deficiente y 6 es un número perfecto.

PruébaloClasifica cada número en abundante, deficiente o perfecto.

1. 29 2. 30 3. 28 4. 17 5. 64 6. 24

7. 51 8. 48 9. 12 10. 40 11. 53 12. 496

Explica la razón por la que el producto de 2 y cualquier número perfecto siempre será unnúmero abundante.

¿Ser perfecto o no ser perfecto?

Enriquecimiento • Números perfectos,abundantes y deficientes

Los números pueden clasificarse en abundantes, deficientes o perfectos. Laclasificación de un número depende de la suma de sus divisores propios.Los divisores propios son los factores del número, excluyendo al númeromismo.

La suma de los divisores propios de un número abundante es mayor que el

número en sí. La suma de los divisores propios de un número deficiente es

menor que el número en sí. La suma de los divisores propios de un número

perfecto es igual al número en sí.

EjemploClasifica los números 18, 21 y 6 en abundantes, deficientes o perfectos.

Clasi f ica el número18 después

de analizar la suma de sus

di visores propios.

Paso 1: 1, 2, 3, 6, 9

Paso 2: 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 2

21CAPÍTULO 1



22

Patrones y álgebra

6. Si x 5 3, ¿cuál es el valor de 12 : x ?

A 2

B 4

C 6

D 8

7. Si n es par menor que 8 y mayor que 4, ¿qué

valor tiene n?:

A 2

B 4

C 6

D 8

8. ¿Qué valor debe ir en el recuadro para que secumpla la igualdad 125 2 _____ 5 50?

A 50

B 45

C 75

D 100

9. ¿Cuál es el valor de “ x ” en la siguiente

ecuación 2 x + 4 x = 18?

A x = 6

B x = 18

C x = 3 D x = 12

10. Explica cómo se halla el valor

de la expresión x 10 para x 12.

Aprendizaje en espiral

Números y operaciones

1. ¿Qué fracción equivalente resulta al multiplicarel númerador y denominador de la fracción 7

__

8

por el número 5?

A 35

8

B 12

13

C 35

40

D 40

35

2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayorque 5

7

?

A 6

10

B 36

42

C 48

68

D 2

3

3. De las fracciones que aparecen, ¿cuál es lafracción equivalente a 1

4?

A 7

12

B 915

C 8

32

D 2

4

4. ¿Cuál es la fracción impropia que representa el

número mixto 8 enteros 1

4?

A 36

4

B 833

C 33

4

D 4

33

5. Explica cómo se escribe 3

8

como número decimal.



23CAPÍTULO 1

Datos y probabilidades

11. La figura UVWX es un cuadrado. Cada ladomide 3,5 centímetros. ¿Cuál es su perímetro?

U

X W

V

12. Si el área del triángulo UWX es de 12 centímetroscuadrados, ¿cuál es el área total de UVWX ?

A 7 cm

B 7 cm2

C 14 cm2

D 24 cm2

13. La red que observas a continuación representala red de un:

A paralelepípedo

B cubo

C pirámide cuadrada

D prisma triangular

14. ¿Cuántos vértices tiene la red del cuerpo

geométrico anterior?

A 12

B 8

C 16

D 14

15. La señora González registró la asistencia acinco funciones de un concierto en la siguientetabla.

¿Qué día asistieron más personas?

A Viernes C Martes

B Jueves D Miércoles

16. ¿Cuántas personas más asistieron el día

viernes que el jueves?

A 28

B 18

C 16

D 26

17. ¿Cuál de las siguientes preguntas no puedescontestar con los datos de la tabla?

A ¿Cuál es la cantidad de asistentes en lasemana hábil?

B ¿Cuál es la cantidad de hombres y mujeresque asistieron a cada concierto?

C ¿Cuántos asistentes más hubo el díamiércoles que el lunes?

D ¿Cuántos asistentes menos hubo el díamartes que el viernes?

Geometría – Medición

Asistencia al conciertoFunciones Cantidad de personas

Lunes 125

Martes 234

Miércoles 190

Jueves 305

Viernes 331



En la receta de la derecha semuestran los ingredientes parapreparar un brazo de reina.

Si quiero cocinar para 12personas, ¿qué cantidad de cadaingrediente necesito?

El brazo gitano tiene su origen en un monje berciano que enel medievo recorrió el mundo y en un monasterio egipciodescubrió este postre. Se le empezó a llamar «brazo egipciano»y la palabra degeneró en la actualEs un pastel formado por una capa delgada de bizcocho, concrema o dulce de fruta por encima que se enrrolla en forma de

cilindro.En Chile se le llama brazo de reina y tiende a rellenarse conmanjar o con mermelada de fruta.

Adaptado de: http://lema.rae.es

Ingredientes de Brazo de reina

• Preparación: 1 hora. Para: 6 personas

• 4 huevos a temperatura ambiental

• 3/4 cucharadita de polvos de hornear

• 1/2 cucharadita de sal

• 3/4 taza de azúcar granulada

• 1 cucharadita de extracto de vainilla

• 3/4 taza de harina

• azúcar flor

www.recetaschilenas.com

DATO BREVE

Fracciones y números mixtosLa idea importante Determinar equivalencias entre fracciones impropias y números mixtos, y

representarlos en la recta numérica.

24



1000

B

ml

20ºC

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que senecesitan para el aprendizaje del capítulo 2.

Que fracción de 1 litro representa:

1. 500 ml ____________ 2. 250 ml ____________

3. 100 ml ____________ 4. 750 ml ____________

Comparar y ordenar fracciones y números mixtosCompara. Escribe , o .

5. 5

__

6 1

__

6 6. 1

__

4 3

__

4 7. 22

__

5 23

__

5 8. 1

__

2 1

__

3

9. 41

__

6 41

__

3 10. 42

__

5 42

__

3 11. 1

__

4 1

__

5 12. 1

__

2 4

__

5

Ordena de menor a mayor.

13. 1

__

3 , 2

__

3 , 1

__

6 14. 2

__

5 , 1

__

2 , 3

___

10 15. 52

__

3 , 52

__

6 , 5 2

___

12 16. 23

__

4 , 21

__

8 , 4 1

___

12

Practicar operaciones de divisiónHalla el cociente.

17. 54 : 9 18. 42 : 6 19. 24 : 6 20. 120 : 4 21. 21 : 7

22. 84 : 7 23. 0 : 7 24. 36 : 4 25. 32 : 8 26. 72 : 2

27. 108 : 2 28. 56 : 8 29. 88 : 8 30. 60 : 2 31. 49 : 7


fracciones impropiasfraccionesmínima expresiónnúmero mixto

PREPARACIÓN

Fracciones propias Son aquellas fracciones donde el numeradores menor que el denominador. Ejemplo: 3/4

Fracciones impropias Son fracciones mayores que 1 entero, donde

el numerador es mayor el denominador. Ejemplo: 4/3fracciones equivalentes Son dos o más fracciones querepresentan el mismo valor. Las fracciones equivalentes seescriben de forma diferente, pero representan la misma parte ocantidad. Ejemplo: 1/2 = 2/4

número mixto Un número mixto se forma a partir de unafracción impropia. Tiene una parte entera y una parte fraccionariamenor que 1.

números naturales Conjunto de números desde el 1 hasta infinito.

250 ml

500 ml

750 ml

1000 ml

25CAPÍTULO 2



Actividad

Materiales ■ barras de fracción

• Comienza con tres barras de fracción de 1

4.

• Coloca barras de fracción de 1

8 a lo

largo de las tres barras de 1

4 hasta que la longitud sea la misma.

• ¿Cuántas barras de 1

8 hay?

En la representación se muestra que 3

4 6

8. Entonces, Daniel debe

llenar seis veces la taza para medir de 1

8.

• Usa las barras de fracción. ¿Cuántas doceavas partesequivalen a 3

4? Completa 3

4

12

1 __

6

___

12

Si multiplicamos el numerador y el denominador por 2,

para que el valor de la fracción sea el mismo, obtenemos:

4

___

12

__ 3

Si dividimos el numerador y el denominador

por 4, obtenemos:

• Observa los ejemplos A y B. ¿Qué operación da como resultado unafracción con más partes que la fracción original? Explica cómo lo sabes.

Otra forma de hallar una fracción equivalente es amplificando (multiplicando numerador ydenominador de la fracción por un mismo número natural diferente de 1) o simplificando (dividiendoel numerador y el denominador de la fracción por el mismo número natural diferente de 1, que seafactor de ambos).

Ejemplo 1 Completa.

Halla el m.c.d.

1. 8, 12 2. 21, 283. 9, 30 4. 32, 605. 20, 45

Vocabulariofracciones equivalentes

mínima expresión o fracción

simplificada

máximo común divisor (m.c.d)

Entonces16 y

212 son fracciones

equivalentes.

Entonces4

12 y13 son fracciones

equivalentes.

Fracciones equivalentes yfracciones en su mínima expresión OBJETIVO: identificar y escribir fracciones equivalentes, y escribir fraccionessimplificadas a su mínima expresión.

PROBLEMA Para una receta de galletas de avena, se necesitan taza de azúcar. Daniel usará una taza de para medir las tazas

de azúcar. ¿Cuántas veces debe llenar la taza de de azúcar parapreparar las galletas de avena?

Las fracciones equivalentes son dos o más fracciones querepresentan el mismo valor o cantidad.

3

4

1

81

8

L E C C

I Ó N

Aprende

1

6

2

12

2

2· =

Puedes leer 3

_ 4 6

_ 8 como tres

cuartos es equivalente a seisoctavos.

1

3

4

4=:

:4

12

1 11

26



Fracción simplificada a su mínima expresiónUna fracción está en su mínima expresión cuando el único factor común del numeradory el denominador es 1.

17

24 es una fracción en su mínima expresión porque el único factor común de 17 y 24 es 1.

18

24 no es una fracción en su mínima expresión porque 18 y 24 tienen el factor común 6.

1. Observa la representación. Cuenta cuántasdoceavas partes equivalen a 3

4. Completa: 3

4 =

12.

Completa.

2. 3

5 =

10 3. 5

6 =

24 4. 6

8 =

4 5. 2

10 =

80 6. 25

40 =

8 7. 8

12 =

36

Usa los factores comunes.

24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 2436: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Usa diagrama de factores primos.

24

___

36 2 __

3

Entonces, 2

_

3 es la fracción en su mínima expresión 24

__

36 .

Puedes hallar una fracción en su mínima expresión en un solo paso si divides por el máximo común

divisor (m.c.d.).

Ejemplo 3 Escribe la fracción en su mínima expresión.

18

___

24

18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Halla el m.c.d.

24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24m.c.d. 6

20

___

64

20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Halla el m.c.d. 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64m.c.d. 4

Ejemplo 2 Escribe 24

__ 36 como fracción en su mínima expresión.

Entonces, 3

_ 4 es la fracción simplificada a su mínima

expresión de 18

__

24 .

Entonces, 5

__ 16 es la fracción simplificada a su mínima

expresión de 20

__

64 .

Halla los factorescomunes de 24y 36.

Divide el numerador y eldenominador por un factorcomún que no sea 1.

Repite el procedimiento hastaque la fracción sea una fracciónen su mínima expresión.

Divide el numerador y eldenominador por un factorprimo común. Repite elproceso hasta que solo tengancomo factor común a 1.

El nuevo numerador es 2 y el nuevodenominador es 3.

Divide el numerador y eldenominador por 4.

Divide el numerador y eldenominador por 6.



24

36

4

6

6

6=:

:24

36

4

6

2

3

2

2=:

:4

6=

20

64

5

16

4

4=:

:20

64=18

24

3

4

6

6=:

:18

24=

1

: 2 : 2 : 3

24 12 6 2

36 18 9 3

27CAPÍTULO 2



Completa cada recuadro con el número que falta para que se cumpla la equivalencia.15. 12

18 =

3 16. 15

51 = 5 17. 3

20 = 24 18. 7

8 =

72 19.

49 = 4

7 20. 15

55 =

11

Escribe la fracción simplificada a su mínima expresión.

21. 24

42 22. 18

30 23. 4

10 24. 48

32 25. 45

20 26. 50

60

27. 10

65 28. 8

62 29. 4

12 30. 32

36 31. 2

4 32. 5

10

Escribe la fracción simplificada a su mínima expresión.

8. 70

75 9. 9

12 10. 6

28 11. 44

121 12. 15

27 13. 18

54

14. Explica cómo hallar una fracción equivalente a 12

15 .



USA LOS DATOS Del 37 al 39, usa la tabla.

37. Escribe la fracción que corresponde a Lavadorade ropa.

38. La fracción que corresponde al uso del aguade la ducha es

17

100. ¿Está escrita en su mínima

expresión esta fracción? Explica tu respuesta.

39. Escribe las fracciones que correspondan a losusos domésticos del agua que estén escritas ensu mínima expresión.

40. María tiene 25 bolitas verdes, 36 amarillas, 10

azules y 29 rojas. Escribe una fracción reducidaa su mínima expresión para mostrar qué partede las bolitas de su colección son azuleso verdes.

41. ¿Cuál podría ser la pregunta? Luistiene 8 manzanas rojas, 6 manzanas verdes y 4

manzanas amarillas y la respuesta fuese4

9 de las

manzanas.

Razonamiento Del 33 al 36, escribe siempre, a veces o nunca en cada enunciado.

33. El denominador de una fracción equivalente esmenor que el denominador de la fracción original.

35. El numerador de una fracción en su mínimaexpresión es mayor que el numerador de unafracción equivalente.

34. El denominador de una fracción equivalentees un múltiplo del denominador de la fracciónoriginal.

36. Puede escribirse una fracción equivalente paracualquier fracción.

Uso promedio del agua en el hogar

(escrito como fracción)

Lavadora de ropa 22

____

100

Ducha 17

____

100

Llave de agua 16

____

100

Pérdida de agua 14

____

100

Tina 2 ____ 100

Lavamanos 1

____

100

Baño 27

____

100

Otros usos domésticos 1 ____ 100

Adaptado de http://graficas.explora.cl

28




RAZONAMIENTO Puedes usar lo que sabes acerca de las relaciones numéricas ylas fracciones equivalentes para encontrar las incógnitas.

Ejemplo ¿Cuáles son los valores de a y b en 4

_ 5

a

_

b

?

Usa las pistas para hallar los valores de y b

1. 3

___

10 a

__

b 2. 4

__

a b

__

6

Pista 1: La suma de los dígitos de a es igual a 9. Pista 1: a es un múltiplo de 3 menor que 30.

Pista 2: a y

b son números de dos dígitos Pista 2:

b es un número primo.

menores que 65.

3. 5 __

7 a

__

b 4. a

__

9 16

___

b

Pista 1: a y b son números pares mayores que Pista 1: Los factores de b son 1, 2, 3, 4, 6, 9,10 y menores que 30. 18 y 36.

Pista 2: La suma de a y b es igual a 48. Pista 2: a y b son múltiplos de 4.

Pista 1: Tanto a como b son mayores que 10 ymenores que 20.

Según la pista 1, a y b pueden ser 11, 12, 13,

14, 15, 16, 17, 18 o 19.

Como a

_

b debe ser equivalente a 4

_ 5 , a es 12 y b es 15.

Pista 2: Tanto a como b sonmúltiplos de 3.

Según las pistas 1 y 2, a y b

pueden ser 12, 15 o 18.

42. Raúl ganó $ 13 250 cortando el pasto del jardín.Una soga cuesta $ 6 950. ¿Cuánto dinero tendráRaúl después de comprar la soga?

43. Calcula el valor de la expresión algebraica

m

12 para m

51.44. Escribe una fracción para la parte sombreada.

45. Juan ahorra 9

15 de lo que gana cada semana.

¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalentea 9

15?

A1

5 B18

45 C3

5 D8

3

46. Un pastel se corta en 16 porciones. Se comencuatro porciones. ¿Qué fracción representa,como fracción reducida a su mínima expresión, lacantidad de pastel que sobra?

A 12

16 B 3

4 C 1

3 D 4

16

Una variable esun símbolo querepresenta el

conjunto de valoresque puede tomaruna determinadamagnitud. Para

representar variablesse usan generalmente

letras.

R e cue

r d a

29CAPÍTULO 2



Aprende

Fracciones y números mixtosOBJETIVO: escribir fracciones como números mixtos y números mixtoscomo fracciones.

Escribe la fracción comofracción equivalente.

1. 21

___

27 2. 24

___

40 3. 33

___

77

4. 27

___

36 5. 72

___

84

Vocabularionúmero mixto

Usa un diagrama.

Usa diagrama de números conectados

Entonces, 21

_ 4 9

_ 4 .

Puedes usar la división para escribir una fracción mayor que 1 como un númeromixto o un número natural.


__ 10 como número mixto en su mínima expresión.

Dado que 26

__ 10 puede leerse como 26 dividido entre 10, divide el

numerador entre el denominador.

Usa el resto como el numerador y el divisor como el denominador.Escribe la fracción como fracción en su mínima expresión.

Entonces, 26

__ 10 2 6

__

10 23

_ 5 .

Representa los enteros como fracciones igualesa 1 (1= 1

_ 4 ). Luego suma los numeradores de cada

fracción. El resultado es el nuevo numerador conel mismo denominador.

Cuenta los cuartos sombreados. Hay nuevecuartos o 9

_ 4 .

1. Observa la representación. Escribe el número representado como un númeromixto y como una fracción. Luego escribe cada uno en palabras.

Escribe cada uno de los números mixtos como fracción impropia.

2. 61

_ 3 3. 13

_ 4 4. 32

_ 5 5. 1 6. 51

_ 2 7. 21

_ 8

Un número mixto se forma a partir de una fracción impropia. Tiene unaparte entera y una parte fraccionaria menor que 1.


_ 4 como fracción.


L E C C

I Ó N

26 : 102

20

__

6

Partes

Todo Todo1 = 4 _ 4

1 = 4 _ 4 9 _

4 2 = 1 _

4

1 _ 4

7

16

30



Comprensión de los aprendizajes 44. ¿Cuál es el máximo común divisor de

12 y 24?

45. Escribe un número mixto que represente laparte sombreada con respecto al total.

46. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuyoslados miden 5 centímetros de longitud?

47. Juan compró 33

_ 4 kg de frutos secos surtidos y

los dividió en porciones de 1

_ 8 de kg. ¿Cuántas

porciones de frutos secos surtidos obtuvo?

A 8 B 15 C 24 D 30

Escribe la fracción como número mixto en su mínima expresión o como número natural.

8. 14

5 9. 45

10 10. 56

8 11. 19

6 12. 64

16 13. 55

20

14. Explica cómo usar el resto y el divisor cuando se utilizala división para escribir una fracción como número mixto.

Escribe cada uno de los números mixtos como fracción impropia.

15. 45

_ 8 16. 72

_ 3 17. 55

_ 6 18. 111

_ 4 19. 124

_ 5 20. 3 7

__

10

21. 21

_ 2 22. 83

_ 5 23. 5 3

__

10 24. 63

_ 8 25. 33

_ 4 26. 21

_ 2

Escribe la fracción como número mixto en su mínima expresión o como número natural.

27. 17

___

3 28. 44

___

8 29. 45

___

12 30. 41

___

18 31. 65

___

5 32. 85

___

25

33.

32

___

7

34.

60

___

4

35.

34

___

4

36.

66

___

8

37. 23

___

3

38.

39

___

6

39. DATO BREVE En un eclipse total de luna, la Tierra impide que la luz solar directa llegue ala Luna. El eclipse total de luna más largo de los próximos 90 años tendrá lugar en el año 2018y durará 1 h. Escribe 1 como fracción y usa la fracción para hallar cuántos minutosdurará el eclipse (http://eclipse.gsfc.nasa.gov).

40. El eclipse total de luna más largo desde 1900tuvo lugar en el año 2000 y duró 107 minutos.Escribe 107 minutos en horas como fracción ycomo número mixto (http://eclipse.gsfc.nasa.gov).

USA LOS DATOS Del 42 a 43, usa la receta.

42. Para preparar un batido de durazno, Leo tiene solouna taza para medir de 1

_ 4 . Escribe la cantidad de cada

ingrediente, salvo de plátanos, como una fracciónen cuartos.

43. Imagina que Leo tiene solo una taza de 1

_ 8 para medir.

Anota la cantidad de rodajas de durazno como unafracción en octavos.

41. ¿Cuál es el error? Pilar volvió aexpresar 25

_ 7 como 17

__ 7 . Describe cuál es su error

y escribe la respuesta correcta.



11

15

11

15

31CAPÍTULO 2



Aprende

0 1910

510

310

710

110

210

410

610

810

Idea matemáticaLos valores aumentan a

medida que se va hacia la

derecha en la recta numérica.

Los valores disminuyen a

medida que se va hacia la

izquierda.

Comparar y ordenarfracciones y números mixtosOBJETIVO: comparar y ordenar fracciones y números mixtos.

Para comparar fracciones con el mismo denominador, compara losnumeradores, porque cada parte es del mismo tamaño. Para compararfracciones con el mismo numerador, compara los denominadores.Mismo denominador Mismo numerador

2

_

3 Dos de tres partes iguales

es mayor que una de tres partes iguales. Entonces, 2

3 > 1

3.

Para comparar números mixtos, compara los números naturales yluego las fracciones. Puedes usar múltiplos comunes para comparar

y ordenar las fracciones y los números mixtos con distintos denominadores.

1

_

3

2

_

3 Dos de tres partes iguales es mayor

que dos de cinco partes iguales. Entonces, 2

__

3 2 __

5 .2

_

5

Ejemplo 1En Chiloé anualmente se realiza la fiesta del ajo. Las trenzasde ajos ganadoras el año pasado pesaban 51

_

2 kg, 52

_

3 kg, 55

_

8 kg.

Ordena las trenzas de ajo de mayor a menor peso(Adaptado de: http://www.munidalcahue.cl).

Los números naturales son iguales. Entonces, compara lasfracciones. Escribe fracciones equivalentes con el mismodenominador y luego compara los numeradores.

51

_

2 5 12

__ 24 52

_

3 516

__ 24 55

_

8 515

__ 24

Piensa: 24 es un múltiplo común

de 2, 3 y 8.

Como5 12

__

24 515

__

24 516

__

24 , el orden de las trenzas de menor a

mayor es 51

_

2 kg, 55

_

8 kg, 52

_

3 kg.

También puedes usar una recta numérica para comparar y ordenarlas fracciones.

Ejemplo 2 Ordena ; y de mayor a menor.7

102

101

10

Ubica los números en la recta numérica. 7 __ 10 está a la derecha de

1 _

2 y 1

_

2 está a la derecha de 2

_ 5 .

Escribe dos múltiploscomunes para cada parde números.

6, 8 10, 157, 8 6, 2

9, 5

Entonces, el orden de mayor a menor es 7

__ 10 , 2

__

10 , 1

__ 10 .

L E C C

I Ó N

32




0 1512

13

12

1112

712

112

16

14

23

34

56


1. Usa las barras de fracción para ver qué parte es mayor.Luego compara 2

_ 5 y

2

_ 8 y usa los símbolos , o en la comparación.

Compara. Escribe <, > o = en los círculos según corresponda.

2. 4

__

5 4

__

9 3. 5

__

8 7

__

8 4. 1 4

___

12 13

__

8 5. 15

__

6 7

__

6 6. 28

___

42 4

__

6

7. Explica cómo usar la recta numérica para ordenar 2 _ 3 ;

1

_ 2 y

11

__ 12 de mayor a menor.

Compara. Escribe <, > o = en los círculos según corresponda.

8. 1

__

2 11

___

12 9. 7

___

15 7

___

10 10. 7

__

9 4

__

9 11. 71

__

3 62

__

3 12. 12

__

5 11

__

3

Ordena de mayor a menor.

13. 5

__

7 ; 5

__

6 ; 5

___

12 14. 4

__

7 ; 4

___

10 ; 4

__

5 15. 13

__

4 ; 5

__

7 ; 13

__

5 16. 3 7

___

10 ; 31

__

6 ; 32

__

5

17. 3

__

7 ; 5

__

6 ; 2

__

3 18. 1

__

2 ; 2

__

9 ; 11

___

18 19. 17

__

8 ; 6

__

7 ; 1 9

___

10 20. 55

__

8 ; 5 7

___

10 ; 53

__

4

21. La semana pasada, Amalia y José compraron cada uno 2 kg de semillas de girasol. A Amalia le

quedan 11 _

3 kg y a José, 12 _

5 . ¿quién ha consumido más semillas de girasol?

22. Razonamiento Halla una fracción que esté entre 3

_ 4 y

5

_ 6 .

23. Explica cómo hallar qué número es menor, 4

_ 5 o

5

_

6 . Luego muestra la comparacióncon símbolos.

24. ¿Qué producto es menor: 24 • 3 o 23 • 4? 25. Si n 3, ¿cuál es el valor de 5 • ( n 3)?

26. ¿Cuál es el máximo común divisor de 66, 36 y18?

27. ¿Qué número hace que la expresión2

_ 3 11

_ 8 sea verdadera?

A 11

___

20 C 11

__

3

B 7

__

9 D 11

__

5



33CAPÍTULO 2



Grupo A Completa con los números que faltan en los recuadros para que las fracciones sean

equivalentes.

1. 1

__

4

___

12 2. 12

___

14 6

__

3. 5

__

7

___

21 4. 3

__

4

___

16 5. 5

___

25 1

__

6.

___

13 18

___

26 7. 4

__

8

___

20 8. 7

___

14 1

__

9. 24

___

30

___

15 10. 4

__

1

__

4

Grupo B Escribe cada uno de los números mixtos como fracciones impropias.

1. 43

__

4 2. 71

__

5 3. 122

__

3 4. 5 7

___

10 5. 31

__

2 6. 25

__

8

7. 63

__

7 8. 21

__

3 9. 54

__

5 10. 7 3

___

10 11. 81

__

4 12. 72

__

3

Escribe cada una de las fracciones impropias como número mixto.

13. 19

___

3 14. 47

___

8 15. 54

___

9 16. 23

___

4 17. 45

___

7 18.

19. 58

___

4 20. 32

___

8 21. 121

____ 11

22. 112

____

6 23. 57

___

5 24.

Práctica adicional

Grupo C Compara. Escribe <, > o = en los círculos según corresponda.

69

8

31

18

1. 5

__

8 5

__

9 2. 3

__

5 4

__

5 3. 3

__

4 3

__

5

4. 21

___

56 7

__

8 5. 15

___

16 12

___

13 6. 25

__

6 2 1

___

12

7. 3 7

___

10 33

__

4 8. 14

__

9 14

__

7 9. 22

__

9 2 4

___

15

10. 113

___

16 13

__

4 11. 2

__

3 2

__

5 12. 2

__

3 4

__

5

13. 8

__

9 7

__

8 14. 1

__

4 2 __

6 15. 1

__

4 25

____ 100

16. 5

__

6 8

___

10 17. 13

___

22 6

___

21 18. 7

___

10 12

___

16

19. 4

__

6 8

___

12 20. 7

__

8 20

___

24 21. 4

__

5 8

__

9

22. 1

__

4 1

__

5 23. 10

___

12 5 __

6 24. 5

__

8 4

__

6

34



2

18

7 1 0

J u g a ndo

con

las f r ac c i o n e s J u g a

ndo

con

las f r ac c i o n e s

Jugadores2 jugadores

Materiales• 36 tarjetas con fracciones propias,impropias y números mixtos• 2 monedas diferentes• Dado numerado del 1 al 6

Coloca las tarjetas de números boca abajo en unmazo.

Cada jugador elige una moneda y la coloca en elcasillero de SALIDA. Decidan quién comenzará.

El jugador 1 saca una tarjeta del mazo ycompara las fracciones y/o números mixtos entresí e indica cuál es mayor.

El jugador 2 comprueba la respuesta. Si escorrecta, el jugador 1 lanza el cubo numeradoy mueve su moneda la cantidad de lugares queindica el cubo.

Luego, independientemente de si la respuesta seacorrecta o incorrecta, es el turno del jugador 2.

Gana el jugador que primero alcanza laLLEGADA.

Cómo se juega

Retroc3 luga

Retrocede3 lugares

Retrocede2 lugares

Pierdes unturno

Pierdes unturno

Pierdes unturno

¡Lanza nuevo

¡Lanza denuevo!

Avanza4 lugares

S A L I D A

Avanza4 lugares

L L E G A D A

35CAPÍTULO 2




Resuelve.23. Marco descubrió que existe una relación entre los números compuestos 6 y 24. Identifica la relación y

escribe otros dos números que tengan la misma relación.

24. Raúl escribió los números 12 y 18 en el pizarrón. Descubrió que el m.c.d. de 12, 18 es 36.¿Cuál es el m.c.d. del par de números?

25. Ana escribió los números primos 3 y 11. Dice que cuando el m.c.d de dos números es1, el m.c.d. es el cociente de los números. ¿Tiene razón? Explica.

Repasar el vocabulario y los conceptosElige el mejor término del recuadro.

1. Un número natural mayor que 1 que tiene como únicos factores

al 1 y a sí mismo se llama __________.

2. El número 3 es el __________de los números 6 y 15.

3. Los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6. El número 6 es un __________porque es un número natural mayor que 1 que tiene más dedos factores.

Repasar las destrezasHalla el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de números.

4. 3, 4 5. 8, 64 6. 15, 18 7. 9, 12, 18 8. 10, 20, 50

Escribe cada número mixto como fracción y cada fracción como número

mixto, como fracción en su mínima expresión.

9. 613

10. 145

11. 359

12. 1034

13. 427

Compara. Escribe , o .

14.38

23

15.47

67

16.14

15

17. 556

616

18. 412

334

Copia y completa.

19. 20.


VOCABULARIO

máximo común divisor (m.c.d.)

número compuestonúmero primo

Fracción impropia Número mixto

2 enteros1

2

5 enteros

Fracción impropia Número mixto

5

4

8

321. 22.

36



Parte de una horaParte de una horaA la 1 p.m. un guardia de la estación de trenes, le dijo a Raquel que eltren a la ciudad de Temuco saldría aproximadamente en 2 1/2 horas. Para

encontrar la hora de salida, Raquel pensó:

• En una hora hay 60 minutos.

• 1

__

2 de 60 es 30. Por lo tanto, mi tren sale en 2 horas y 30 minutos.

• Si sumo 2 horas y 30 minutos a la 1 p.m., la hora será 3:30 p.m.

• Por lo tanto, mi tren sale aproximadamente a las 3:30 p.m.

Ejemplos

Enriquecimiento • Números mixtos y la hora

Inténtalo

Escribe en forma de número mixto

1. 2 h 25 min 2. 1 h 24 min 3. 6 h 30 min 4. 3 h 50 min

ResuelveEscribe la respuesta en forma de número mixto.

5. 6 h 10 min – 3 h 55 min

6. 3 h 42 min + 3h 38 min

Explica cómo escribir 5 h 48 minen forma de número mixto.

A. Escribe 3 horas y 12 minutos en forma de número mixto.

12 min =1260 h =

15 h.

Por lo tanto, 3 h y 12 min en forma de número mixto es 315 h.

Piensa:

60 min = 1 h

1 minuto =1

60 h

B. 5 h 15 min

+2 h 50 min 7 h 65 min

7 h (60 + 5) min

7 h + 1 h +5

60 h 8

112

h

C. Convierte una hora en minutos para restar.

4 h 22 min 3 h + 1 h + 22 min = 3 h + 60 min + 22 min

–1 h 40 min –1 h 40 min

3 h 82 min

–1 h 40 min = 24260

= 27

10 h

2 h 42 min

También puedes sumar o restar horas y escribir la respuesta en forma de número mixto

37CAPÍTULO 2




1. ¿Cuál de las alternativas muestracorrectamente ordenados los números de menor a mayor ?

A 2,36; 2,63; 2,62; 2,26

B 2,26; 2,62; 2,36; 2,63

C 2,63; 2,62; 2,36; 2,26

D 2,26; 2,36; 2,62; 2,63

Utilizando la recta numérica responde laspreguntas 2 y 3.

2. Qué números están representados por lospuntos rojos de la recta numérica.

A 0,2 y 0,5

B 0,1 y 0,6

C 0,3 y 0,7

D 0,1 y 0,5

3. ¿Cuál de los siguientes números no se puedenubicar entre los puntos rojos?

A 0,52

B 0,46

C 0,22

D 0,61

Patrones y álgebra4. ¿Qué alternativa muestra una fracción reducida

a su mínima expresión?

A 4

__

6 C 4

__

8

B 1

__

8 D 4

__

16

5. ¿Qué número mixto corresponde a la fracciónimpropia ?

A 2 C 2

B 2 D 2

6. Si x = 8, el valor de x + 15 – 3 = es igual a:

A 20 C 18

B 23 D 19

7. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?

A C

B D

0 1


8. ¿Cuál es el número que falta?24 598 – = 14 009

A 10 599 C 10 579

B 10 589 D 10 570

9. Si el divisor es 24, el cociente es 321 y elresto es 6, ¿cuál es el dividendo?

A 7 704 C 13 375

B 7 710 D 13 381

1

11

24

38

910

18

511

5

115

115

38




10. Calcula el perímetro de la figura

A 10 cm

B 20 cm

C 21 cm

D 42 cm

11. ¿Cuánto mide el perímetro del siguientetriángulo?

A 17 cm

B 30 cm

C 34 cm

D 60 cm

12. Si el área de un cuadrado es 16 cm²,¿cuál es la medida del lado?

A 6 cm

B 4 cm

C 8 cm

D 16 cm


3 cm

7 cm

5 cm

12 cm 13 cm

NOTAS DE QUÍMICA

Cantidad de alumnos 1 2 3 4 5 6 7

7

6

5

4

3

2

1

N O T A S

13. Si se hace girar la flecha, ¿en qué color esmenos posible que se detenga?

A rojo

B amarillo

C verde

D no se puede determinar

14. En una bolsa negra se introdujeron 10 bolitas:2 negras, 2 amarillas,1 verde y 5 rojas. ¿Québolita es más probable sacar?

A verde

B roja

C amarilla

D negra

15. Responde la pregunta a partir del gráfico.

¿Cuál es la diferencia entre la nota mayor y la menor?

A 7

B 6

C 2

D 4

39CAPÍTULO 2



Imagina que trabajas en laguardia forestal del parquenacional Torres del Paine.Si un visitante quiere haceruna caminata de 7 hrs y 30minutos, ¿qué senderosdebe elegir?

Adición y sustracción

de fraccionesLa idea importante La adición y sustracción de fracciones y números mixtos se basa en la comprensión de las fracciones equivalentes.

El Sistema Nacional de

Áreas Silvestres Protegidasdel Estado de Chile tiene a

su cargo el Parque Nacional

Torres del Paine, uno de los

parques más grandes del

país y el tercero en visitas.

Su superficie es de 242 242

hectáreas.

(1 ha = 10 000 m cuadrados)

www.conaf.cl

Sendero Tiempo

Sendero lagoPingo

81

2 km

Glaciar Grey 23

4 km

Glaciar Thindell 61

10

km

Laguna Azul 72

5 km

Lago Sarmiento 22

3 km

Tiempo estimado de

recorrido por los senderos

DATO

BREVE

40




Fracciones equivalentes

Completa.

1. 2

__

7

___

14 2. 1

__

8

___

24 3. 1

__

3

___

24 4. 1

__

6 5

__

5.

__

6 2

___

12

6. 2

__

20

____

100 7. 9

___

36 1

__

8.

___

36 1 __

2 9.

___

15 1

__

3 10.

__

4 11

___

44

Mínima expresión

Escribe la fracción en su mínima expresión.

11. 3

__

6 12. 4

___

32 13. 5

___

15 14. 2

___

10 15. 9

___

27

16. 4

__

6 17. 6

___

10 18. 2

___

40 19. 5

___

75 20. 4

___

16

Sumar y restar fracciones con igual denominador.

Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión.

21. 11

___

20 9

___

20 22. 3

__

8 1

__

8 23. 14

___

15 1

___

15 24. 3

__

4 2

__

4 25. 5

__

8 3

__

8

26. 9

___

12 1

___

12 27. 9

___

10 2

___

10 28. 9

___

20 5

___

20 29. 3

__

5 1

__

5 30. 1

__

7 1 __

7


mínimo común denominadorfracciones con distintodenominador

PREPARACIÓN

mínimo común denominador El mínimo común múltiplo dedos o más denominadores.

41CAPÍTULO 3



Aprende

Paso Paso

PROBLEMA El cuerpo humano está compuesto por aproximadamente 3 _ 5

de oxígeno, 1

_ 5 de carbono y 1

__

10 de hidrógeno. Halla la fracción del cuerpohumano compuesta por estos elementos.Puedes sumar y restar fracciones con distinto denominador con la ayudade las barras de fracción.

Actividad 1

Materiales ■ barras

Suma.

3 __

5

1 __

5

1

___

10

Entonces, 9

__ 10 del cuerpo humano está compuesto por oxígeno, carbono e hidrógeno.

Primero, usa cálculo mental para hallar 3

_ 5 1

_ 5 .

3

_ 5 1

_ 5 4

_ 5

Luego, usa las representaciones pictóricaspara representar 4

_ 5 1

__

10

.

1 3 __

8 8 __

8 3 __

8 5 __

8

Vuelve a expresar 1 con ocho barras de 1 _

8 .

Resta 3 _

8 .

En la siguiente actividad puedes ver un ejemplo: cuando restas una fracción de un número natural,expresas el número natural como fracción.

Actividad 2


Resta. 1 3 __

8

Como 5

_ 8 está cerca de la estimación de 1

_ 2 , la respuesta es razonable. Entonces, 1 3

_ 8 5

_ 8 .

Por último, halla las barras que caben exactamente a lolargo de 4

_ 5 y 1

__

10

.

4 __

5 1

___

10 8

___

10 1

___

10 9

___

10

Adición y sustracción defraccionesOBJETIVO: sumar y restar fracciones con distinto denominador.

Completa.

1. 9

__

3

_ 4 2. 10

__ 15

__

3

3.

__

36 2

_

9 4. 16

__

28 4

__

5. 12

__ 54

__

9

Vocabulariofracciones con distinto denominador

mínimo común denominador

L E C C

I Ó N

1 11

1 11

42



Paso Paso

Paso Paso

Usar denominadores comunesPara sumar o restar fracciones con distinto denominador sin usar materialconcreto, halla fracciones equivalentes. Las fracciones equivalentes puedenescribirse usando un denominador común o el mínimo común denominador .El mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos omás denominadores.

Ejemplo 1 Usa un denominador común para hallar 5 __

6 4 __

9 .

Compara la respuesta con tu estimación. Como 1 5

__

18 está cerca de la

estimación de 11

_ 2 , la respuesta es razonable.

Entonces, 5

_

6 4

_

9 1 5

__

18

.

Ejemplo 2 Usa el mínimo común denominador para hallar 7

___

12 1 __

3 .

Estima. 7

___

12 está cerca de 1 __

2 y 1 __

3 está cerca de 0. 1 __

2 0 1 __

2 .

Multiplica 6 por 9 parahallar un denominadorcomún, 54. Usa eldenominador comúnpara escribir fracciones

equivalentes.

Suma los numeradores.Escribe la suma sobre eldenominador. Escribe larespuesta comofracción o como

número mixto.

7___

12 – 1

__

3

1 __

3• 4 __

4=

4___

12

7___

12– 1

__

3= 7

___

12– 4___

12

= 3___

12= 1

__

4

El mínimo común

denominador de 7

__ 12 y 1

_

3

es 12. Multiplica paraescribir fraccionesequivalentes con

el mínimo comúndenominador

Resta los numeradores.

Escribe la diferencia sobreel denominador. Anota larespuesta expresada como

fracción en su mínimaexpresión.

Compara la respuesta con tu estimación. Como 1

_ 4 está cerca de la

estimación 1

_ 2 , la respuesta es razonable.

Entonces, 7

__ 12 1

_

3 1 _ 4 .

Multiplica el numerador y eldenominador por un mismofactor para hallar una fracciónequivalente.

5 __

6 + 4

__

9

5 __

6· 9

__

9=

45

___

54

4 __

9· 6

__

6=

24

___

54

5 __

6 = 45

___

54; 4 __

9= 24

___

54

45

___

54 + 24

___

54= 69

___

54 =

1

1554

= 1518

43CAPÍTULO 3



13

712

16

45

23

13


12. Explica cómo se halla 1

_ 8 5 _

6 .

Usa un denominador común para escribir el problema

con fracciones equivalentes. Luego, encuentra el resultado de la operación.

2. 5

__

8 1

__

6 3. 5

__

6 1

__

2 4. 6

__

7 1

__

2 5. 7

__

9 2

__

3 6. 2

__

3 5

___

12

Estima. Luego anota la suma o la diferencia en fracción simplificada a su mínima expresión.

7. 2

__

3 1

___

12 8. 11

___

18 3

___

18 9. 4

___

15 2 __

5 10. 7

___

16 3 __

4 11. 3

__

4 5

___

12

1. Usa las barras para hallar 1

_ 4 2 _

3 .

Usa un denominador común para escribir el problema con fracciones equivalentes.

Luego, encuentra el resultado de la operación.

13. 5 __

8 1

__

4 14. 4

___

11 8

___

22 15. 7

___

16 3

__

8 16. 4 __

9 1 __

5 17. 11

___

20 1

__

3

18. 2 __

5 1

__

6 19. 6

__

7 1

__

3 20. 1 1

___

15 21. 1

__

2 3

___

14 22. 2

__

3 1

__

5

Estima. Luego anota la suma o la diferencia en fracción en su mínima expresión.

23. 7 __

9 1

__

2 24. 4

__

5 1

___

15 25. 3

__

8 1

___

10 26. 1 __

2 1

__

3 27. 4

__

5 2 __

5

28. 2 __

3 1

__

4 29. 6

___

10 4

___

15 30. 6

___

25 3

___

10 31. 11

___

20 2

__

5 1 __

2 32. 1

__

4 1

__

3 1 __

2

33. ¿Cuánto es la suma de 2

__

7 y 1

__

2 ? 34. ¿Cuánto mayor es 1

__

4 que 1

__

6 ?

35. ¿Cuánto más largo que 3

__

4 de kilómetro es 7

__

8 de kilómetro? 36. ¿Cuál es la suma de 5

__

6 y 5

___

12 ?

Álgebra Usa el cálculo mental y resuelve. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión.

37. n 1

__

8

7

__

8 38. y

1

__

6

1

__

6 39. m

1

__

3

2

__

3 40. z

1

__

9

6

__

9

Del 41 al 43, usa el diagrama de la derecha.

41. Halla la suma de las fracciones que están dentrodel triángulo, pero fuera del cuadrado.

42. Halla la suma de las fracciones que están fueradel triángulo, pero dentro del cuadrado.

43. Halla la diferencia entre las fracciones que estándentro del triángulo y del cuadrado.



1 11

44



Comprensión de los Aprendizajes

Paso Paso

Fracción

de roca

sedimentaria

Tipo Esquisto Arenisca Piedra caliza

Tipo de roca sedimentaria

53

203

41

ÁLGEBRA Si conoces la regla de formación, puedes usarla para hallar el número que

sigue en la secuencia. Observa la siguiente secuencia 56

; 1 13

, 1 56

, 2 13

; . Halla el

número que sigue en la secuencia.


44. ¿Qué fracción de roca sedimentaria no es piedra caliza?

45. Plantea un problema Observa otra vez el problema 44,escribe y resuelve un problema similar.

46. DATO BREVE Los geólogos clasifican las rocasen tres grupos principales: ígneas, metamórficas y

sedimentarias. La corteza terrestre está compuesta por aproxima-damente 13

__

20 de rocas ígneas, 1

_ 4 de rocas metamórficas y 1

__

10 de rocassedimentarias. ¿Aproximadamente qué fracción de la corteza terrestreestá compuesta por rocas ígneas o por rocas metamórficas?(adaptado de: www.ciudadciencia.es)

47. Explica cómo se usa el mínimo común denominadorpara hallar la suma de 1

_ 4 y

5

_ 6 en fracción irreductible.

Halla una regla posible.

Como los números aumentan, prueba con la adición.

Intenta sumar 1 __

2 .

5 __

6 1 __

2 11

__

3 11

__

3 1 __

2 15

__

6 15

__

6 1 __

2 21

__

3

Una regla posible es sumar 1 _ 2 .

Usa la regla parahallar el número que sigue.

21

__

3

1

__

2

25

__

6

Entonces, 25 __

6 es el número que sigue en el patrón.

Escribe una regla posible. Halla la fracción que sigue en la secuencia según la regla de formación que

encontraste.

1. 1

___

12 , 1

__

3 , 7

___

12 , 10

___

12 , 2. 5, 41

__

4 , 31

__

2 , 23

__

4 , 3. 12

__

3 , 15

__

6 , 2, 21

__

6 ,

48. Ordena 5 _ 8 , 1 _

2 , 3 _ 4 de menor a mayor.

49. Leo necesita 4

_ 5 de metro de tela azul y 1

_ 4 de

metro de tela roja para hacer un proyecto.¿Aproximadamente cuánta tela necesita?

50. ¿Cuál es el mínimo común múltiplode 14 y 35?

51. ¿Cuánto es la suma, en fracción en su mínimaexpresión, de 9

__

16 14

__

16 12

__ 16 ?

A B C D 2

52. ¿Cuál es la diferencia, en fracción irreductible,entre 7

__

12 3

__ 10 ?

A 8

___

15 B 9

___

20 C 17

___

60 D 53

___

60

9

16

37

16

14

16

3

16

Una fracción escrita ensu mínima expresiónse denomina “FracciónIrreductible”.

Ejemplo912

=34

45CAPÍTULO 3



Aprende

Adición y sustracción denúmeros mixtosOBJETIVO: Calcular adiciones y sustracciones de números mixtos.

Combina las partes enteras.

Combina las partes fraccionarias.

8 es múltiplo común de 4 y 8. Es decir,14

=28

2 1 3 2 __

8 3 __

8 5 __

8

Entonces, Valeria estuvo 35

_ 8 min en ambas montañas rusas.

Usa un denominador común.

Suma. 32 __

3 23

__

4

3 2 __

3 23

__

4 =

3 8___

12 2 9

___

12=

5 17

___

12= 5 + 1 5___

12= 6 5___

12

Entonces, 32 __

3 23

__

4 6 5

___

12 .

Escribe fracciones equivalentes conel mínimo común denominador, 12.Suma las partes fraccionarias. Sumalas partes enteras.

Expresa la fracción como númeromixto. Vuelve a escribir la suma.

Muestra 21

_ 4 13

_ 8 .

PROBLEMA En un parque de diversiones, Valeria estuvo 21 _ 4 min en

una montaña rusa y 13

_ 8 min en otra. En total, ¿cuánto tiempo estuvo

en ambas montañas rusas?

Adición. 21

__

4 1 13

__

8 Estima. 2 1 11

__

2 5 31

__

2

Haz un diagrama.

Halla la suma o la resta enfracción simplificada a sumínima expresión.

1. 3

_ 4 1

__

12

2. 5

__ 12 2

_

3 5

_

6

3. 7 __ 10 1 _

5

4. 3

_ 4 1

__

12

5. 1

_ 4 1

_

3 5

__ 12

L E C C

I Ó N

Suma las partes enteras 2 + 1 = 3

Suma las partes fraccionarias28

+38

=58

46



3

Restar números mixtosLa montaña rusa Kingda Ka, ubicada en Nueva Jersey, EE.UU., es la más alta y famosa del mundo. Desciende

desde su punto más alto hasta el más bajo en 31

_ 2 seg. La montaña rusa, ubicada en Santiago, Chile, desciende

desde su punto más alto hasta su punto más bajo en 2 3

__ 10 seg. ¿Cuál es la diferencia entre los tiempos de

descenso de cada montaña rusa? (Adaptada de www.altonivel.com)

1. Copia el siguiente diagrama. Luegousa tu diagrama para anotar y hallar

la diferencia entre 22

__

3 y 24

__

6 .

Haz un diagrama para mostrar la adición o sustracción. Luego, escribe la respuesta en fracción

simplificada en su mínima expresión (fracción irreductible).

2. 15

__

6 21

__

3 3. 22

__

5 3 1

___

10 4. 3 4

___

12 31

__

3 5. 31

__

3 21

__

4 6. 54

__

5 3 3

___

10

Estima. Luego escribe la suma o diferencia simplificada a su mínima expresión.

7. 8 7

__

8 21

__

8 8. 37

__

8 31

__

2 9. 10 9

___

20 83

__

4 10. 81

__

3 1 2

___

15 11. 4 1

__

6 31

__

4

12. Explica cómo se halla 45

__

8 21

__

4 .

Haz un diagrama.

Representa 312

10 es múltiplo común de 2 y 10.

Escribe las decimas equivalentes12 • (

12 =

510)

Resta la parte entera 3 – 2 = 1

Resta la parte fraccionaria510 –

310 =

210

210 =

15

Entonces 312 – 2

310 = 1

15

31 __

2 2 3

___

10 1 2

___

10 o 11

__

5 . Entonces, la diferencia de tiempo es de 11

__

5 seg.

•Expl ica por qué usaste la resta para resolver el problema.

Usa el mínimo común denominador para hallar 44 __

5 2 21 __

4 .

Estima. 44 __

5 está cerca de 5 y 21

__

4 está cerca de 2. Entonces, la diferencia es de aproximadamente 3.

44 __

5 – 21

__

4=

416

___

20 – 2 5

___

20 = 211

___

20

Si 5 no es múltplo de 4, se debe buscar el mínimo común múltiplo entre ambos números.

El mínimo común múltiplo de 5 y 4 es 20.

Escribe las fracciones equivalentes según corresponda:45

=1620

y14

=520

Resta las partes enteras 4 – 2 = 2Resta las partes fraccionarias

1620

–520

=1120

Entonces, 44 __

5 21

__

4 211

___

20 .

Resta. 31 __

2 2 3

___

10


47CAPÍTULO 3




Silver Star

Stealth

Beast

Thunder Dolphin

Montaña rusa Altura (metros)

Alturas de las montañas rusasmás extremas del mundo

41

73 metros

52

62 metros

21

97 metros

51

95 metros


Haz un diagrama para mostrar la adición o sustracción. Luego escribe la respuesta en una fracción simpli-

ficada a su mínima expresión (fracción irreductible).

13. 41

__

2 21

__

5 14. 95

__

6 11

__

3 15. 3 5

___

12 1

__

3 16. 24

__

7 11

__

2 17. 11

__

3 21

__

6

Estima. Luego escribe la suma o la diferencia en fracción simplificada a su mínima expresión.

18. 163

__

4 51

__

3 19. 125

__

6 32

__

3 20. 5 718 51

__

6 21. 4 35 2 14 22. 41

__

2 34

__

5

23. 122

__

3 63

__

4 24. 75

__

6 41

__

5 25. 83

__

8 21

__

3 26. 4 7

___

10 12

__

5 27. 51

__

2 21

__

6


_ 2 y 71

_ 6 ?

30. ¿Cuánto mayor es 103

_ 4 que 82

_ 3 ?


_ 6 y 45

_ 6 ?

31. ¿Cuánto mayor es 12 7

__ 12 que 91

_ 3 ?

Halla la incógnita.

32. 51

__

2 31

__

4 51

__

2 33. 71

__

8 0 34. 11

__

6 (11

__

5 11

__

4 ) (11

__

6 ) 11

__

4


35. ¿Cuánto más alta es la montaña rusa Thunder Dolphinque la montaña rusa Stealt?

36. Razonamiento ¿Qué montañas rusas tienen la menordiferencia en su altura?

37. ¿Cuál es el error? Francisco dice que

Thunder Dolphin es más alta que Stealth por 103

20

metros de altura. Describe su error y halla la

respuesta correcta.

Álgebra

38. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de losnúmeros 2 y 3?

39. Haz una lista con los primeros tres múltiploscomunes del numerador y el denominadorde 3

_ 5 .

40. Hay 163

_ 4 metros de tela en un rollo. Si se usan

42

_ 3 metros, ¿cuánto queda?

A 10 metros C 121

__

4 metros

B 12 1

___

12 metros D 21 5

___

12 metros

41. Carlos usó 2

_ 3 de taza de jugo de uva y 3

_ 4 de taza

de jugo de manzana para preparar refrescode frutas. ¿Aproximadamente cuántas tazas derefresco de frutas preparó?

42. Un carnicero vendió dos paquetes de carneque pesaban 12

_ 3 kg y 53

_ 4 kg. ¿Cuánto pesaba la

carne en total?

A 4 kg C 53

_ 4 kg

B 41

_ 3 kg D 7 5

__

12 kg


48



Resolución de problemas Resume la

información y resuelve los problemas.

¡Atracción a tracción!

Destreza

de lectura Resumir

1. Resuelve el problema de arriba.

2. Una de las montañas rusas de madera más famosas es Psyclone. Tiene un tren que consta de 6vagones. Los 24 pasajeros del tren se ordenan en 2 filas de 2 pasajeros. Viper , otra montaña rusadel parque, fue alguna vez la montaña rusa de circuito cerrado más larga del mundo. Viper estácompuesta por un tren de 7 vagones y cada vagón tiene capacidad para 4 personas. Según el registrode los operadores, 41

_ 4 de los vagones de Viper y 51

_ 2 de los vagones de Psyclone estaban completos

antes de comenzar el recorrido. ¿Cuántos vagones estaban llenos durante el conteo en ambasmontañas rusas? Resuelve el problema.

Un parque de diversiones, ofrece a los visitantes gran

diversidad de juegos. La montaña rusa recorre 576 metros y

consta de 3 trenes con 8 vagones cada uno. Las personas se

sientan en filas de 4, por lo que cada tren puede llevar a 32

personas.

Los operadores llevan un registro de los pasajeros que

se suben a cada tren. En un recorrido, los operadores

informaron que 41

4 de los vagones del primer tren y 5

1

2 de

los vagones del segundo tren estaban ocupados. En el tercer

tren registraron que 3

3

4 de los vagones llevaban pasajeros.¿Cuántos vagones más tenía ocupado el primer tren con

respecto al tercero?

Cuando resumes, vuelves a enunciar la información más

importante de manera más breve para comprender lo que

leíste.

Resumen: Hay tres trenes con 8 vagones cada uno.

Los pasajeros se sientan en filas de 4 en cada vagón. En

el primer tren, un total de 41

4 de los vagones estaban

ocupados. En el segundo 51

2 de los vagones llevaban

pasajeros. En el tercero, 33

4 de los vagones estaban

llenos.

49CAPÍTULO 3



Representar sustraccionesde números mixtosOBJETIVO: usar material concreto para expresar y restarnúmeros mixtos.


Las barras pueden usarse como ayuda para restarnúmeros mixtos y números naturales.

Usa barras para hallar 3 12

_ 3 . Representa

3 con tres barras enteras.

Como estás restando tercios, representa 3 con partesenteras y partes fraccionarias, reemplazando una delas barras enteras con tres barras de 1

__

3 .

Resta 12

_ 3 . Escribe la respuesta en su fracción irreductible.

Sacar conclusiones 1. Explica cómo se expresó el número 3.

2. En el paso B, ¿por qué 3 tuvo que expresarse como23

_ 3 ?

3. ¿Hay otras maneras de expresar 3? Explica.

4. Aplicación Usa pasos similares a los de arriba parahallar 5 21

_ 6 .

Halla el m.c.m. de cadagrupo de números.

1. 9, 12 2. 8, 123. 5, 6 4. 4, 55. 12, 18, 72

50



Explica por qué es necesario expresar 519

como 4109

para hallar la diferencia entre:

519

– 259

. Luego resuelve.

Explica por qué es necesario expresar 5xplica por qué es necesario expresar 5xplica por qué es necesario expresar 5

Las barras también pueden usarse para restar dos números mixtos.

Actividad

Materiales ■ barrasHalla 21 __

4 2 13 __

8 .

· Usa las barras para representar 21 __

4 .

Halla la diferencia. Con las representaciones de barras se muestra la forma en que es necesario expresar la resta.

1. 2 11

__

5

· Como estás restando octavos, piensa cuántos octavos hacen14

. Ya que

8 es múltiplo de 4, ambos tienen como mínimo común denominador 8.

·

¿Puedes restar 13

_

8 de alguno de estos modelos?

· Otra manera de representar 228

es representando uno de los enteros

en88

más28

=108

.

Por lo tanto es 1108

¿Puedes restar 138

a 1108

en este modelo?

Entonces, 21

4

13

8

7

8

21 __

4

22 __

8

2. 31

__

3 22

__

3

Usa barras para hallar la diferencia. Escribe la respuesta en fracción simplificada a su mínima

expresión.

3. 6 2 4. 5 1 5. 3 1 6. 4 1

7. 5 4 8. 41

__

6 1 9. 62

__

6 5 10. 4 3

11. ¿Cuál es el error? Juan resolvió la operación 101

_ 4 63

_ 4

Observa su respuesta: 105

__

4 2 63

__

4 5 41

__

2 . Describe su error y halla la respuesta correcta.

3

4

1

2

9

10

1

4

1

10

7

10

5

6

5

6

1

8

5

8

1 1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8 110

___

8

51CAPÍTULO 3



Aprende

Paso Paso

Halla la diferencia.

1. 7 __

8 2 __

8 2. 4 __

9 1 __

9

3. 3 __

4 1 __

8 4. 1 __

2 1

___

10

5. 2 __

3 1 __

6

Puedes usar un diagrama de mínimo común denominadorpara hallar la diferencia entre dos números mixtos.

Haz un diagrama.

8 1 __

3– 4 7

___

12

8 4___

12 – 4 7

___

12

Entonces,8 1

_

3 4 7

__ 12 33

_ 4 .

Usa el mínimo común denominador para hallar 81 __

3 2 4 7

___

12 .

Estima. 81 __

2 2 41

__

2 4.

El mínimo común

denominador de 1 _

3 y 7

__

12

es 12. Escribe fraccionesequivalentes usando el

mínimo común

denominador

8 1 __

3– 4 7

___

12

8 4___

12 – 4 7___

12

7 16

___

12– 4 7

___

12

3 9___ 12

o 3 3 __

4

7 __

12 es mayor que 4

__

12 ,

entonces hay que expresar

8 4

__

12

como parte entera y parte

fraccionaria.

8 4

__

12 7 12

__

12 4

__

12 716

__

12 .

Resta y luego simplifica.

Halla 21 __

2 2 15 __

6 .

2 1 __

2– 1 5

__

6= 2 3

__

6– 1 5

__

6

2 1 __

2– 1 5

__

6= 2 3

__

6– 1 5

__

6= 19

__

6– 15

__

6

1 9 __

6– 1 5

__

6= 4 __

6= 2 __

3

Entonces, 21 __

2 15

__

6 4 __

6 o 2

__

3 .

Algoritmo de la sustracciónde números mixtosOBJETIVO: expresar el algoritmo para hallar la diferencia entre dosnúmeros mixtos.

L E C C

I Ó N

Escribe una fracción equivalente usando el

mínimo común denominador

Como 5 __

6 3 __

6 , expresa 23

__

6 como 19

__

6

Resta y luego simplifica.

52




Cantidad

Jugo denaranja

Jugo depiña

Jugo dearándano

Jugo demanzana

FRUTA

Medidas para refresco de fruta

241

43 1

32

31

1. Copia y completa para expresar 22

__

3 como 15

__

3 . 22

__

3 1 15

__

3

Estima. Luego escribe la diferencia como fracción simplificada a su mínima expresión.

2. 43

__

8 25

__

8 3. 13

__

4 7

__

8 4. 121

__

9 71

__

3 5. 41

__

2 34

__

5 6. 91

__

6 23

__

4

7. Explica cómo se vuelve a expresar la operación para hallar 31

_

9 21

_

3 .

Estima. Luego escribe la diferencia como fracción simplificada a su mínima expresión.

8. 21

__

5 14

__

5 9. 32

__

3 111

___

12 10. 41

__

4 21

__

3 11. 111

__

9 32

__

3 12. 6 31

__

2

13. 7 52

__

3 14. 75

__

9 25

__

6 15. 11

__

5 1

__

2 16. 43

__

8 31

__

2 17. 131

__

6 34

__

5

18. ¿Cuál es la diferencia entre 122

_ 5 y 53

_ 4 ? 19. ¿Cuánto mayor es 61

_ 7 que 111

__ 14 ?

Álgebra Halla el valor de la fracción simplificada a su mínima expresión: c 2 7

__ 10 .

20. 43

__

5 c 21. 51

__

2 c 22. 43

__

5 c 23. 51

__

2 c

USA LOS DATOS Para 24 - 26, usa la receta.

24. Para la fiesta, Raúl decidió reducir lacantidad de jugo de naranja en 3/4.¿Cuánto jugo de naranja usó Raúl?

25. En la receta, ¿cuánto más jugo de naranjaque de manzana hay?

26. Raúl decidió reducir la cantidad de jugo dearándano en 3/4 a partir de la receta original. ¿Cuánto jugo de arándano usó?

27. ¿Por qué escribes fracciones equivalentes antes derealizar la operación correspondiente? ¿Puedes cambiar la expresión antes deescribir la fracción equivalente? Explica.

28. Tomás echó 21

_ 4 kg de arena en la entrada de

autos porque estaba cubierta de nieve. ¿Cuántole queda de su bolsa de 5 kg?

29. Escribe 51

_ 2 como fracción impropia.

30. María usó 1

_ 3 de metro de tela morada y 1

_ 6 de

metro de tela amarilla. ¿Cuánta tela usó en total?

31. Patricia suele trabajar 813 horas diarias. El día

viernes, estuvo ausente 223 horas. ¿Cuántas

horas trabajó el día viernes?

A 523 C 61

3

B 513 D 62

3



Práctica adicional en la página 62, Grupo C 53CAPÍTULO 3



Destreza

de lectura

33 metros

521

metros

1621 metros

1 poste

521

metros 521

metros

521

metros

521

metros

521

metros

521

metros

521

metros

521

metros

Usa la estrategiaPROBLEMA Imagina que la Sociedad Protectora de Animales de Osorno decidecomprar un canil rectangular que mide 33 metros por 161

_

2 metros. Se insertaránpostes de acero cada 51

_

2 metros a lo largo del perímetro. Habrá un poste en cadaesquina y todos los postes medirán 6 metros de altura. ¿Cuántos postes de acero senecesitarán?

• Identifica los datos.

• ¿Qué datos usarás?

• ¿Hay algún dato que no usarás? Si es así, ¿cuál?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver este problema?

Puedes hacer un diagrama para resolver el problema.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para

resolver el problema?

Traza un rectángulo para representarel canil. Coloca marcas a lo largo del

perímetro del rectángulo para representarlos postes.

Cuenta el número de marcas quecolocaste alrededor del rectángulo. Cadaesquina debe tener solo una marca.

Entonces, se necesitarán 18 postes deacero.

• ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta?

55CAPÍTULO 3




1. Imagina que los veterinarios deciden dividir el canil que se muestra enla página 55, para tener un área que sea solo para perros pequeños.Esta nueva sección medirá 101

_ 4 metros por 161

_ 2 metros. Halla las

dimensiones del canil usado para los demás perros.

Primero, haz un diagrama de todo el canil. Luego, resta la longitud de la nueva sección de la

longitud de todo el canil.

Por último, anota las dimensiones del área paraotros perros.

2. ¿Qué pasaría si la longitud de la sección paraperros pequeños fuera 51

_ 2 metros más larga? ¿Cuál

sería la longitud del canil para los demás perros?

3. Ingresan dos perros nuevos en el canil. Rex

pesa 21 _ 2 kg más que el doble del peso de Bobby.

Juntos, los perros pesan 100 kg. ¿Cuánto pesacada perro?

Haz un diagrama y resuelve.

4. La camioneta de la Sociedad Protectora recorrió71

_ 2 kilómetros hacia el sur para recolectar una

donación de provisiones. Luego recorrió 31

_ 2

kilómetros hacia el este, 41 _

3 kilómetros haciael norte y 111

_ 2 kilómetros hacia el oeste. ¿Qué

distancia recorrió la camioneta antes de cruzarsu propio camino?

6. El gato de Sandra fue uno de los primeros cuatrodel concurso, pero no tuvo mejor posición queel gato de Carlos. El gato de Pedro se ubicódebajo del de María y el de Sandra. El gatode Carlos quedó dos lugares arriba que el deBruno. ¿Qué gato fue el ganador?

8. Daniel usa la tabla de la derecha para llevar lacuenta de la cantidad de alimento que debedar a los perros del canil. ¿A qué perro le dio lamayor cantidad de alimento? ¿A qué perros lesdio entre 31

_ 2 tazas y 41

_ 4 tazas de alimento?

5. Una tienda de mascotas donó en total 72 latasde alimento para perros y para gatos. Había4 latas más de alimento para perros que el triple

de la cantidad de latas de alimento para gatos.¿Cuántas latas de alimento para perros donó latienda?

7. Marcos llevó a su perro al parque el 1° de marzoy a partir de esa fecha lo llevó una vez cada tresdías. Salieron a correr el 2 de marzo y una vezcada cuatro días a partir de esa fecha. ¿Cuál esla primera fecha en que Marcos llevó a su perroal parque y a correr con él?

9. Observa la tabla de la derecha. Dos de los perroscomen un total de 81

_ 8 t de alimentos en una

comida. Si un perro come 11

_ 8 t más que el otro

por comida, ¿cuánto come cada perro?

Ali

Blanca

Orson

Max

Nombre Tazas de alimento (t)

Cantidad diaria de alimentos

481

341

483

343

Resolución de problemas · Práctica de estrategias

56



ESTRATEGIAESTRATEGIAELIGE UNA

Apolo

Broko

Perro Primer salto (m) Segundo salto (m) Tercer salto (m)

Salto largo de las Olimpiadas caninas

321

461

331

343

4121

365

Hacer un diagrama o dibujo

Hacer un modelo o unadramatización

Hacer una lista organizada

Buscar un patrónHacer una tabla o gráfico

Predecir y probar

Trabajar desde el final hastael principio

Resolver un problema más sencillo

Escribir una ecuación

Usar el razonamiento lógico

Práctica de estrategias mixtas10. Un saco de alimento para perros de 50 kg

contiene proteínas de carne, vitaminas ycereales. En el saco de 50 kg, las proteínas decarne abarcan 193

_ 4 kg y las vitaminas, 187

_ 8

kg. ¿Cuántos kilógramos de cereales hay en elalimento?

12. Cada semana, Marcela ahorra 2

_ 3 de su mesada

y gasta 1

_ 5 en juguetes para su nuevo cachorro.

¿Qué fracción de su mesada le queda?

14. Problema abierto Imagina que quieresconstruir un área de juegos rectangular paratu nuevo cachorro y quieres cercarla. Haz unplano del área de juegos usando 241

_ 2 metros

de cerca. Haz un diagrama del área de juego yrotula las medidas en cada lado.

11. Un cachorro pesó 13

_ 4 kg al nacer. Durante la

primera semana, aumentó 1

_ 8 kg por día. ¿Cuánto

pesaba el cachorro después de la primerasemana?

13. Plantea un problema Vuelve a leer elproblema 12. Escribe uno similar, pero cambiala cantidad de dinero que ahorra Marcela de sumesada.

15. Explica las operaciones queusaste para resolver el problema 10.

ESFUÉRZATEEn la competencia de salto largo de las Olimpiadas

Caninas, se suman las longitudes de los tres saltos deun perro para obtener la distancia final. Del 16 al 17,

usa la tabla.

16. En la segunda ronda de saltos se midió la distanciaentre Apolo y Bronco. ¿Cuál fue la diferencia entrela suma de las longitudes de los saltos de Apolo yBronko en la segunda ronda de salto?

17. El último salto de Romeo fue 11

_ 4 metros mayor que el de Apolo. ¿Qué longitud tuvo el salto de Romeo

en el tercer salto?

57CAPÍTULO 3



Aprende

Practicar adiciones ysustracciones de fraccionesOBJETIVO: Adición y sustracción de fracciones y números mixtos.

Escribe en su forma irreductible

1. 5

___

25 2. 10

___

16

3. 18

___

36 4. 25

___

30

5. 9

___

15

Estima. Tanto 7 __ 10 como 3 _ 5 están cerca de 1 _

2 . Entonces, ladiferencia es aproximadamente 4 (1

_

2 1 _

2 ) o 3.

Suma y halla la distancia que recorrieron hasta ahora.

7___

10+ 3

__

5= 7

___

10+ 6

___

10

= 13

___

10o 1 3

___

10

Resta y halla la distancia que queda por visitar.

4 – 1 3___

10 = 310

___

10 – 13___

10

=2 7___

10

Escribe fracciones equivalentes usando elmínimo común denominador: 10.

Expresa la fracción como número mixtoreducido a fracción irreductible.

Como estás restando decenas, expresa las

partes enteras 4 como 310

__

10 .

Resta las partes fraccionarias.

Resta las partes enteras.

La respuesta es razonable porque está cerca de la estimaciónde 3.

Entonces, a la familia de Juan le quedan 2 7

___

10 km por visitar.

¿Qué pasaría si para llegar a la Piedra del Águila hubiesen

tenido que recorrer 1 3

___

10 km? ¿Cómo crees que esto cambiaríala respuesta?

PROBLEMA Juan y su familia visitan el Parque Nacional Nahuelbuta.Esta es una reserva de araucarias y eligieron para visitar uno de sus sectoresde 4 km aproximadamente, donde encontrarán vistas al océano Pacífico y bosquesde diferentes especies. Ayer recorrieron km. Hoy, recorrieron km para visitar unmirador llamado la Piedra del Águila por la entrada norte. Si la familia quiere recorrertodo el lugar, ¿cuántos kilómetros más le quedan por visitar?

Ejemplo 1 Calcula 4 2 ( 7___

10 1 3 __

5 ).

L E C C

I Ó N

7

10

3

5

58



Ejemplo 2

Resta. 8 35

2 2 910

8 35

2 2 910

=

8 610

2 2 910

=

8 35

2 2 910

= 8 610

2 2 910

= 6 610

2 910

= 51610

2 910

= 5 710

Más ejemplos

Halla 3 13

2 14

.

3 13

2 14

3 412

2 312

3 2 5

412 3

12 7

12

Entonces, 3 13

2 14

5 712

Escribe fraccionesequivalentes usandoel mínimo comúndenominador: 12.

Suma la parte entera.

Suma la parte fraccionaria.

Entonces, 2 13

– 1 16

1 16

Halla 2 13

– 1 16

.

2 13

– 1 16

2 26

– 1 16

2 – 1 1

26

– 16

16

Escribe fraccionesequivalentes usandoel mínimo comúndenominador: 6

Resta.

1. Halla la diferencia de la siguiente sustracción.

82 __

3 – 1 6

___

21 =


Práctica adicional en la página 62, Grupo D

Expresa la resta connúmeros mixtosequivalentes cuandoel numerador dela fracción que seresta es mayor queel numerador de lafracción de la que sequiere restar.

R e cuer d a

Resuelve aplicando el procedimiento.

El mínimo común denominador: de 35

y 910

es 10.

Escribe fracciones equivalentes usandoel mínimo común denominador, 10.

Como 910

es mayor que 610

, expresa 8 610

como un

número mixto equivalente.

8 610

7 1010

610

71610

.

Resta las partes enteras. Resta las partesfraccionarias.

Entonces, la diferencia entre 8 35

– 2 910

es 5 710

.

59CAPÍTULO 3



Álgebra

Estima. Luego, escribe la suma o la diferencia como fracción en su mínima expresión.

2. 3

___

16 5 __

8 3. 3

___

4 2 __

3 4. 5

___

18 3

___

20 5. 7

___

8 1

___

6

6. 3 (21

__

6 1 __

3 ) 7. 10 5

___

18 85

__

6 8. 5 1

___

12 1 __

4 9. 3 21

__

6

10. Explica cómo sabes si es necesario expresar la operación como unnúmero mixto equivalente para restar una fracción o un número mixto.

Estima. Luego, escribe la suma o la diferencia como fracción en su mínima expresión.

11. 12. 13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 43

__

4 2 7

___

20 20. 21

__

6 11

__

2 21. 21

__

5 1 1

___

20 22. 23

__

5 53

__

8

23. 7 23

__

5 24. 8 11

__

4 5

__

6 25. 3

__

5 1 __

3 4

___

15 26. 61

__

3 21

__

2 1 __

4

27. ¿Qué número es 5

__

7 menor que 31

__

2 ? 28. ¿Cuánto menor que 21

__

2 es 3 5

___

12 ?

30. 9, 73

_ 4 , 6

1

_ 2 , 5

1

_ 4 , , 31. 53

_ 8 , 6

3

_ 4 , 8

1

_ 8 , 9

1

_ 2 , ,

Resuelve. Luego, explica cómo resolviste el problema.

32. Daniela estuvo 31

_ 3 de h andando en bicicleta

cuesta abajo el sábado y 43

_ 5 de h el domingo.

¿Cuántas horas estuvo andando en bicicleta losdos días?

34. Iván y su hermana participan de una cicletadaque tiene un circuito de 15

_ 6 km de largo.

Recorrieron 2

_ 3 km antes del almuerzo y 3

_ 4 km

después de almorzar. ¿Cuántos kilómetros lesquedan por recorrer?

33. Matías recorrió en su bicicleta 41

_ 3 km de

un circuito dado que termina en el club Los

Ciclistas. Después de recorrer los 27

_

8 km pasócerca de una granja. ¿A qué distancia está elclub de la granja?

35. Nicolás corrió 31

_ 4 km, luego trotó 21

_ 8 km y

caminó 31

_ 6 km. ¿Qué distancia recorrió en total?

29. Razonamiento Eric eligió un número mixto. Luego, sumó 12

y restó 13

.

El número final fue 213

. ¿Cuál fue el número mixto?


5

6

1

4

24 7

10

2

5

1

5

3

10

963

4

13 4

5

2

3

38

1

7

1

2+9

16

1

4

2

3

7

9

Halla una regla posible para cada secuencia. Usa la regla

para escribir los siguientes dos números de la secuencia.

60



Circuito

Las Águilas

Las Grutas

El Puente

Los Troncos

Distancia (km)


u Minerva, diosa de

la sabiduría.

uncia

sextans

quadrans

triens

semis

Fracción Denominación romana

121

61

41

31

21


36. El señor Díaz participó en dos circuitos. Recorrió untotal de 9

__

10 km. ¿En cuáles circuitos participó?

37. ¿Cuál es la pregunta? La respuestaes que el circuito Los Troncos es 1

_ 4 km más largo.

38. En un plano cartesiano, ¿cómo podría escribirsecomo un par ordenado ( x , y ) el punto que está3 unidades arriba del origen y 2 unidades a laderecha?

39. Luis corrió 63

_

4 km el lunes y 31

_

2 km el domingo.

¿Cuántos kilómetros corrió los dos días?

A 8 kilómetros C 101

_ 4 kilómetros

B 91

_ 2 kilómetros D 12 kilómetros

40. Si se coloca una caja de 1

_ 3 de metro de altura

encima de una caja de 3

_ 4 de metro de altura,

¿aproximadamente qué altura tienen las cajasapiladas?

41. Halla 2

_

3

2 _

3

2 _

3

42. Halla el número que falta.

9 8

__

7

A 6 C 8

B 7 D 9

En la Antigua Roma se escribían las fracciones con palabras en lugar de usarnúmeros. Por ejemplo, la fracción dos séptimos se hubiera representadocomo duae septimae.

Sin embargo, cuando los romanos necesitabanhacer cálculos con fracciones, usaban el uncia, querepresentaba 1

__

12 de cualquier cosa. En la tabla, se muestranlas denominaciones de la Antigua Roma para algunasfracciones comunes.

Usa la tabla de denominaciones romanas de las

fracciones y resuelve.

1. Lulius aró un triens de su campo en la mañana y otroquadrans en la tarde. ¿Cuántos uncia le quedan porarar?

2. Lulia derramó un uncia del agua de la jarra mientras latraía del pozo. Usó quadrans de la jarra para prepararsopa. ¿Cuántos uncia de la jarra le quedaron?

Resolución de problemas Conexión con Historia, Geografí a y Ciencias Sociales

Adaptado de: Institutianum Justiniani Procemium.

61CAPÍTULO 3



Grupo A Usa un denominador común para escribir el problema usando fracciones equivalentes.

Luego, resuelve.

1. 2

__

3

1

__

4 2.

2

__

5 2

1

___

15 3. 5

__

8 2

1

__

5 4.

1

__

4

1

__

6 5.

3

__

4 2

2

__

5

6. 1

__

2 3

__

5 7. 9

___

10 1

__

3 8. 6

__

7 2 1 __

4 9. 3 __

5 1

__

4 10. 1 2 1

__

6

11. Uno de los cachorros de Coni pesa 95

_ 6 kg

y el otro, 71

_ 3 kg. ¿Cuánto pesan los dos

juntos?

12. Pablo cortó cuerdas de 63

_ 4 y 32

_ 3 metros de

longitud. ¿Cuánto mayor es la longitud deltrozo de cuerda más largo?

Grupo C Estima. Luego escribe la diferencia como fracción en su mínima expresión.

1. 31

__

4 2 23

__

4 2. 22

__

3 2 15

__

6 3. 51

__

5 2 31

__

4 4. 101

__

8 2 43

__

4 5. 5 23

__

4

6. 8 2 41

__

3 7. 51

__

6 2 42

__

5 8. 11

__

6 2 2

__

3 9. 33

__

8 2 21

__

2 10. 81

__

3 2 35

__

6

11. El gásfiter usó 21 _

2 metros de cañería de cobre yluego otros 3

_ 4 de metros. ¿Cuánto usó en total?

12. Luis guardó 14 fardos de pasto seco y Tomás,101

_ 6 fardos de pasto seco. ¿Cuánto más pasto

seco guardó Luis que Tomás?

Grupo D Estima. Luego escribe la suma o la diferencia como fracción en su mínima expresión.

1. 1

___

10 1 __

3 2. 13

___

16 2 3 __

4 3. 85

__

8 2 41

__

4 4. 10 2 32

__

5 5. 2

__

5 2 __

3 7

___

15

6. 11

___

12 2 2 __

5 7. 53

__

4 1 65

__

6 8. 4 1

___

10 2 33

__

5 9. 6 3

___

16 2 23

__

8 10. 43

__

8 1 21

__

4 1 5

___

12

Grupo B Estima. Luego escribe la suma o la diferencia como fracción en su mínima expresión

1. 121

__

3 2 71

__

5 2. 55

__

6 2 31

__

3 3. 32 5

___

18 45

__

6 4. 9 7

___

20 51

__

4 5. 33

__

4 74

__

5

6. 55

__

6 2 31

__

2 7. 121

__

3 2 91

__

4 8. 55

__

8 31

__

2 9. 31

__

2 21

__

9 10. 145

__

7 2 3 3

___

14

Práctica adicional

62



31. Claudio camina 11

_ 2 km hacia el sur, 21

_ 4 km hacia el oeste, 3

__

8 km hacia el norte, 1 km hacia el este y

11

_ 8 km hacia el norte. ¿A qué distancia y en qué dirección debe volver a casa por el camino más

corto?

32. María construye un corral rectangular para su cerdo. El corral tiene 131

_ 2 metros de longitud y 9

metros de ancho. Se colocarán postes de madera cada 41

_ 2 metros alrededor del perímetro con un

poste en cada esquina. ¿Cuántos postes necesitará?

33. Mientras caminan juntos por una calle recta, Juan está 151

_ 2 metros delante de un

punto que está 123

_ 4 metros detrás de Andrea. ¿Dónde está Andrea con respecto a Juan?

Explica con un diagrama.


1. Las fracciones equivalentes se pueden representar utlizando un ________

2. Una fracción ________________ es aquella que no se puede reducir más.

Repasar las destrezasEstima la suma o la diferencia.

3. 1

__

9 8

___

11 4. 7

___

15 3

__

5 5. 6

__

7 1

__

8 6. 411

___

12 25

__

8

7. 71

__

8 64

__

7 8. 10 1

___

16 17

__

8 9. 11

___

12 3

__

7 1

__

9 10. 34

__

5 77

__

8 11

__

9

Usa un denominador común para escribir el problema usando fracciones equivalentes.

11. 3

__

8 3 __

4 12. 5

___

13 3

___

26 13. 1

__

3 4 __

9 14. 4

__

5 2

___

15 15. 5

__

7 1 __

2

16. 3

__

4 1 __

5 17. 5

__

6 1 __

4 18. 13

___

20 1 __

3 19. 4

__

9 1

__

5 20. 1

__

2 1 __

3

Estima. Luego escribe la suma o la diferencia en su fracción en su mínima expresión.

21. 2

__

5 3

___

10 22. 3

__

4 2 __

3 23. 2

__

9 1

__

3 24. 4

__

7 1

__

2 25. 22

__

5 12

__

5

26. 7

5

___

12

3

1

__

6 27. 10

3

__

4

8

1

__

3 28. 4

1

__

2

2

2

__

3 29. 3

1

__

3

2

3

__

4 30. 2

2

__

3

4

3

__

8

1

__

2

Repasar la resolución de problemasResuelve.

VOCABULARIO

simplificada a su mínima

expresiónmínimo común

denominador

fracciones con distinto

denominador


64



Las fracciones unitarias creadas por los antiguos egipcios,son fracciones que tienen 1 como numerador y un númeronatural que no sea cero como denominador. Los egipciosusaban sumas de fracciones unitarias para representartodas las fracciones no unitarias.

Una fracción escrita como suma de diferentes fraccionesunitarias se llama fracción egipcia. Cada fracción puedeescribirse como una suma de fracciones unitarias. Cadasuma puede escribirse en un número ilimitado de formas.

TraduceEscribe las fracciones como la suma de fracciones unitarias.

1. 8

___

15

2. 4

__ 9 3. 9

___

14

4. 10

___

21

5. 4

__ 3 6. 7

___

24

p Henry Rhind compró este pergamino

de papiro en Egipto, en el año 1858.

El papiro está guardado en el British

Museum de Londres, Inglaterra.

El papiro representa la mejor fuente de

información sobre matemática egipcia

que se conoce. Escrito en hierático,

consta de 87 problemas y su resolución,

abarcando aritméticas básicas,

fracciones, cálculo de áreas, volúmenes,

progresiones, repartos proporcionales,

reglas de tres, ecuaciones lineales y

trigonometría básica. Fue escrito por elescriba Ahmes aproximadamente en el

año 1650 a.C.Fuente:

Adaptación de www.egiptología.org

Como los egipcios

Escribe 5 _ 6 como la suma de fracciones unitarias.

Entonces, 5

_

6 puede escribirse como 1

_

2 1

_

3 .

• Muestra que 1

_ 3 puede escribirse como 1

_ 4 1

__

12 y1

_ 4 puede

escribirse como 1

_ 5 1

__

20 .

• Muestra que 5

_

6 puede escribirse como 1

_

2 1

_ 4 1

__

12 o como

1 _ 2 1

_ 5 1

__

12 1

__

20 .

Paso 1

5

__ 6 1

__ 2 , entonces resta 1

__ 2 . Halla la fracción unitaria mayor que

pueda restarse de 5

_

6 .

Paso 2

5

__ 6 1

__ 2 5

__ 6 3

__ 6 Resta. Repite el proceso hasta que la

diferencia sea una fracción unitaria.

2

__ 6 o 1 __ 3

Informa de tus descubrimientos

Explica cómo se escribe 3

__ 8 como la suma de fracciones unitarias.

Descubre

omo los egipciosomo los egipciosomo los egipciosomo los egipcios

Como los egipcios

La fracción unitariamás grande quepuede haber es 1

__ 2 .

1 __ 2 1 __

3 1 __

4 1 __

5 . . .

R e cuer d a

Enriquecimiento • Fracciones unitarias

65CAPÍTULO 3



Patrones y álgebra

7. ¿Qué situación podría describirse con la

expresión v 31

__

4 ?

A Gloria anduvo en bicicleta 31

_ 4 de kilómetros

ayer y 31

_ 4 kilómetros hoy.

B Gloria anduvo en bicicleta 31

_ 4 kilómetros ayer

y v veces esa distancia hoy.

C Gloria anduvo en bicicleta v kilómetros ayer

y 31

_ 4 kilómetros más lejos que v hoy.

D Gloria anduvo en bicicleta v kilómetros ayer

y 31

_ 4 kilómetros menos hoy.

8. En el siguiente plano cartesiano, se muestra laubicación de 4 árboles distintos.

¿Qué árbol está en el punto (3,4)?

A arce

B pino

C olmo

D alerce


1. ¿Cuál es el máximo común divisor de 64,48 y 128?

A 4 C 12

B 8 D 16

2. 5

__

6 1

__

9

A 5

___

54

C 17

___

36 B 1

__

3 D 17

___

18

3. La clase de la profesora Rodríguez estudióCiencias 1

_ 4 de día y Ortografía 1

_ 3 de día.

¿Qué fracción del día hicieron otra actividad?

A 1

___

12 C 1

__

2

B 5

___

12 D 7

___

12

4. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 6, 8 y 12?

A 36 C 12

B 24 D 2


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

9

87

6

5

4

3

2

1

0

olmo

alerce

arce

pino

6. Halla 3

_ 4 12

_ 3 . Explica cómo

hallaste la respuesta.

5. Rodrigo tiene $ 13 594 ahorrados, paga unadeuda en su colegio de $ 2 005 y luego gana$ 8 740 por un trabajo con su papá. ¿Cuántodinero tiene Rodrigo ahora?

A 2 849 C 20 329

B 19 549 D 24 370

66



Geometría – Medición 9. En la figura de abajo, ABCD es un rectángulo.

Si el área del triángulo ABD es de 24 metroscuadrados, ¿cuál es el área de ABCD?

A 12 metros cuadrados C 36 metros cuadrados

B 24 metros cuadrados D 48 metros cuadrados

10. ¿Cuál es el área total de la caja que se formasegún el dibujo de abajo?

Datos y probabilidades 12. En el gráfico, se muestra la cantidad de meteoritos

que un astrónomo contó durante cuatro noches.

El viernes, contó 6 meteoritos menos queel miércoles. ¿Cuántos meteoritos contó el

viernes?

A 2 C 6

B 4 D 8

13. Bárbara obtuvo las siguientes notas en las

pruebas de matemática:

5,8 – 6,7 – 5,2 – 6,0

¿Cuál es el promedio de las notas?

A 6,0 C 5,89

B 5,7 D 5,925

14. Alejandro tiene una bolsa de maní de1 kilogramo y se comió la cuarta parte.¿Cuánto maní le queda en la bolsa?

A C

B D

A B

D C

1 m

1 m

1 m

2 m 2 m

2 m

2 m

3 m

3 m

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

C a n t i d a d d e m e t e o r i t o s

Día

Meteoritos contados

Lun Mar Mié Jue

A 6 metros cuadrados

B 12 metros cuadrados

C 18 metros cuadrados

D 22 metros cuadrados

11. Tengo un cuadrado cuyos lados miden cmcada uno, ¿cuál es su perímetro?

A cm C cm

B cm D cm

24

34

44

12

3

8

3

2

12

2

4

8

4

12

67CAPÍTULO 3



68

Multiplicar decimalesLa idea importante La multiplicación de decimales se basa en el valor posicional y

la multiplicación con números naturales.

Algunos cursos de 6° básicovisitaron el Parque Nacional

Isluga. Mientras estaban en elparque, cada clase participóen una exposición sobre lahistoria del parque.

Elige dos cursos y muestracómo hallar el costo total departicipación en el programa.

El Parque Nacional Isluga tiene

una superficie de

174 744 hectáreas y se

encuentra en las comunas de

Colchane, Camiña y Huara,

provincia de Iquique. En su

interior destacan el río Arabilla,

la quebrada de Aroma, y las

lagunas Parinacota y Arabilla,

que poseen gran variedad

de aves, animales y entornos

escénicos relevantes.

Adaptado de: www.conaf.cl

Excursión de estudiantesal Parque Isluga

Profesor Cantidad de

estudiantes

Señor Pérez 29

Señor González 27

Señora Álvarez 32

Señorita Muñoz 25

Señor Torres 27

Valor entrada: $1 500

DATO BREVE

68



69CAPÍTULO 444


Estimar productosEstima el producto.

1. 57 · 4 2. 32 · 8 3. 74 · 5 4. 426 · 7

5. 926 · 2 6. 268 · 9 7. 97 · 3 8. 629 · 8

9. 83 · 5 10. 317 · 3 11. 692 · 6 12. 207 · 4

Multiplicar por números de 2 dígitos

Halla el producto.

13. 94 · 3 14. 47 · 5 15. 83 · 7 16. 32 · 2

17. 18 · 6 18. 92 · 3 19. 76 · 8 20. 67 · 5

21. 72 · 9 22. 78 · 2 23. 56 · 4 24. 25 · 6


decimalcoma decimalfactorcentésimadécima

PREPARACIÓN

factor Nombre que se le da a los términos que semultiplican para obtener un producto.

décima Una de diez partes iguales.

centésima Una de cien partes iguales.

69CAPÍTULO 4



70

1. 15 · 5 2. 22 · 83. 86 · 3 4. 64 · 65. 71 · 9

Representar la multiplicaciónde números naturales pornúmeros decimalesOBJETIVO: usar material concreto para multiplicar números naturalesy decimales.

Materiales ■ cuadrícula de centésimas ■ lápices de colores

Puedes usar cuadrículas como ayuda para multiplicardecimales por números naturales.

Halla 3 · 0,61. Usa una o más cuadrículas si fueranecesario. Sombrea 0,61 tres veces.

Cuenta el número de centésimas sombreadas.¿Cuántas centésimas hay?

Escribe 3·

0,61 en forma de suma reiterada. Halla lasuma. ¿En qué se parece la suma a tu respuesta en B?

Escribe la multiplicación y la suma que representan tucuadrícula.

Sacar conclusiones1. ¿Cuál es el valor de un cuadrado en la cuadrícula de

centésimas? ¿Cuál es el valor de una columna o deuna hilera?

2. ¿En qué se parece multiplicar 3 · 0,61 a multiplicar3 · 61?

3. ¿Es el producto de 3 · 0,61 mayor o menor que 3?Explica por qué.

4. Síntesis ¿De qué otras maneras puedes expresar elproducto de 3 · 0,61?



71CAPÍTULO 4

Paso Paso

Sombrea cuando corresponda para calcular el producto.

1. 2.

3 · 0,25 4 · 0,45

Usa cuadrículas de centésimas para calcular el producto.

3. 4 · 0,42 4. 0,13 · 5 5. 3 · 0,36 6. 0,33 · 6

7. 2 · 0,28 8. 0,48 · 5 9. 5 · 0,92 10. 8 · 0,04

Halla el producto.

11. 0,44 · 3 12. 0,67 · 4 13. 6 · 0,45 14. 2 · 0,96

15. 0,64 · 2 16. 0,51 · 3 17. 0,39 · 4 18. 7 · 0,61

19. 6 · 0,19 20. 0,92 · 3 21. 4 · 0,73 22. 5 · 0,17

23. Explica por qué el producto de un decimal entre 0 y 1 y un númeronatural mayor que 1 es un número que está entre ambos factores.

Halla 4 · 0,27.

Usa cuadrículas de centésimas.

Sombrea 0,27 cuatro veces.

Cuenta el número de

cuadrados sombreados.

Hay 108 centésimas o 1 entero,

8 centésimas.

Registra.

0,27 · 4__

1,08

Usa la cuadrícula para colocar

la coma decimal. 4 · 0,27 es 1

entero, 8 centésimas: por lo

tanto, coloca la coma decimal

después de 1.

Escribe una multiplicación para la cuadrícula.



72

ÁLGEBRA

Patrones en factoresy productos decimalesOBJETIVO: usar patrones en factores para hallar productos decimales.

Más ejemplos

PROBLEMA La duración de un día es la cantidad de tiempo que tarda un planetaen hacer una rotación completa sobre su eje. En realidad, un día terrestre duraaproximadamente 23,93 horas. Un día en Marte dura aproximadamente 24,62horas terrestres. ¿Cuántas horas hay en 1 000 días terrestres? ¿Cuántas horas hayen 1 000 días en Marte? (Adaptado de: www.lavidacotidiana.es)

Puedes usar operaciones básicas y patrones de valor posicional para hallarproductos.

La coma decimal se mueveun lugar a la derecha cuand

multiplicas por 10, doslugares a la derecha cuand

multiplicas por 100 y treslugares a la derecha cuandmultiplicas por 1 000. ¿Por

qué se da estaregularidad?

6,75 · 1 6,756,75 · 10 67,56,75 · 100 6756,75 · 1 000 6 7506,75 · 10 000 67 500

0,769 · 1 0,7690,769 · 10 7,690,769 · 100 76,90,769 · 1 000 7690,769 · 10 000 7 690

0,004 · 1 0,0040,004 · 10 0,040,004 · 100 0,40,004 · 1 000 40,004 · 10 000 40

Ejemplo

Por lo tanto, en la Tierra, hay aproximadamente 23 930 horas en 1 000 días.En Marte, hay aproximadamente 24 620 horas terrestres en 1 000 días.

1. 8 · 1 2. 8 · 103. 8 · 100 4. 8 · 1 0005. 8 · 10 000

Tierra Marte

23,93 · 1 23,93 1 día 24,62 · 1 24,62

23,93 · 10 239,3 10 días 24,62 · 10 246,2

23,93 · 100 2 393 100 días 24,62 · 100 2 462

23,93 · 1 000 23 930 1 000 días 24,62 · 1 000 24 620

Copia y completa para hallar los productos que faltan.

1. 1 · 0,4 0,4 2. 1 · 9,81 9,81 3. 1 · $ 0,07 $ 0,07

10 · 0,4 4 10 · 9,81 10 · $ 0,07

100 · 0,4 40 100 · 9,81 981 100 · $ 0,07 $ 7,00

1 000 · 0,4 1 000 · 9,81 1 000 · $ 0,07

L E C C

I Ó N


Aprende

Idea matemática



73CAPÍTULO 4


Duración de los díasen los planetas

Planeta

Júpiter

Saturno

Urano

Neptuno

Duración del día

(horas terrestres)

9,8

10,2

15,5

15,8

31. Claudia trazó dos rectas que se entrecruzaban y

formaban ángulos rectos. ¿Qué clase de rectastrazó?

32. Si un pastel de guindas tiene más o menos250 guindas, aproximadamente ¿cuántasguindas hay en 16 pasteles?

33. El ancho de un terreno rectangular es 567

metros y su perímetro es 2 268 metros. ¿Cuáles la longitud de cada lado del terreno?

34. Un auto recorre 24 kilómetros por cada treslitros de bencina ¿Cuantos kilómetros puederecorrer con 33 litros de bencina?

A 2,64 kilómetros C 264 kilómetros

B 26,4 kilómetros D 2,264 kilómetros

Multiplica cada número por 10, 100 , 1 000, y 10 000.

13. 1,146 14. 6,32 15. 33,52 16. 0,009 17. 0,78

18. 0,1 19. 0,50 20. 483,2 21. 2,14 22. 81,75

Halla el valor.

23. 10 · 16,49 24. 3,24 · 324,00 25. 1,41 · 14 100 26. · 0,095 95

USA LOS DATOS Para 27–29, usa la tabla.

27. ¿Cuántas horas hay en 10 días en Neptuno?

28. ¿Cuántas horas hay en 1 000 días en Saturno?

29. Razonamiento ¿Cuántas horas más hay en100 días en Urano que en 100 días en Júpiter?

30. Explica cómo sabes dónde colocarla coma decimal en 75,95 · 10.

4. 3,19 · 1 5. 0,298 · 1 6. 0,005 · 1 7. 1,017 · 1

3,19 · 10 0,298 · 10 0,005 · 10 1,017 · 10

3,19 · 100 0,298 · 100 0,005 · 100 1,017 · 100

3,19 · 1 000 0,298 · 1 000 0,005 · 1 000 1,017 · 1 000

8. Explica por qué el producto de 2,78 · 10 es igual al producto de 0,278 · 100.

Usa patrones para hallar el producto.

Usa patrones para hallar los productos.

9. 9,35 · 10 10. 0,002 · 10 11. 3,105 · 10 12. $ 12,65 · 100

9,35 · 100 0,002 · 100 3,105 · 100 $ 12,65 · 1 000 9,35 · 1 000 0,002 · 1 000 3,105 · 1 000 $ 12,65 · 10 000


Práctica adicional en la página 74, Grupo A y B

Adaptado de: www.lavidacotidiana.es



74

Grupo A Multiplica y completa los productos que faltan, usando patrones.

1. 2.

3. 4.

Multiplica cada número por 10, 100, 1 000 y 10 000.

5. 1,29 6. 548,1 7. 9,1 8. 1,25 9. 0,7

10. 0,24 11. 2,016 12. 0,003 13. 0,05 14. 38,62

15. Una modista ocupa 0,42 m de cinta para adornar un vestido.¿Cuánta cinta necesitará para hacer 10 vestidos iguales al que ya confeccionó?

1 · 0,8 = ________

10 · 0,8 = 4

100 · ___ = ________

___ · 0,8 = ________

1 · 2,4 = ________

___ · ___ = ________

100 · 2,4 = ________

1 000 · 2,4 = 2 400

1 · 0,011 = ________

10 · ___ = 0,1

___ · 0,011 = 1,1

___ · ___ = ________

0,892 · 1 = ________

___ · 10 = ________

0,892 · 100 = ________

0,892 · 1 000 = ________

Grupo B Calcula.

1. 4,3 · 5 2. 2,5 · 4 3. 2 · 1,31 4. 5,15 · 3 5. 1,68 · 1

6. 7,4 · 6 7. 8 · 2,26 8. 3,52 · 5 9. 4,26 · 9 10. 3 · 4,38

11. El día lunes, Alicia tejió 1,75 cm de una bufanda. El día martes tejió 10 veces más que esa cantidad.¿Cuántos centímetros tejió el día martes aproximadamente?

12. Una pulgada equivale a 2,5 cm aproximadamente. ¿Cuántos centímetros, aproximadamente,son 10 pulgadas?

Haz una estimación. Luego halla el producto.

13. 41,2 · 5 14. 3,2 · 5 15. 0,19 · 6 16. 2,01 · 4 17. 12,45 · 3

18. 0,455 · 4 19. 126,3 · 8 20. 1,24 · 9 21. 0,24 · 8 22. 8 · 3,50

23. Elisa tiene una cinta para hacer pulseras de 48,125 cm de largo. Catalina una cinta que mide 8 vecesmás de largo que la cinta de Elisa. ¿Cuánto mide la cinta de Catalina?

Práctica adicional



75CAPÍTULO 4

Productos poderosos

¡Prepárense!2 jugadores

¡Listos!· 10 tarjetas con dígitos de 0 a 9· Tarjeta con factor decimal por

factor natural ( )· tabla de dos columnas· bolsa de papel.

¡A jugar!

El jugador 1 pone las tarjetas en la bolsa depapel, la agita y luego saca cuatro tarjetas.El jugador 1 usa las tarjetas para crear dosfactores uno decimal y otro natural queresulten en el mayor producto posible.

El jugador 1 pone las tarjetas con los factoresen el esquema de productos decimales y hallael producto. El jugador 1 registra el productoen la tabla.

El jugador 2 comprueba el producto del jugador 1 y escribe Sí o No junto al producto enla tabla. Si es incorrecto, se pone un cero en latabla.

Las tarjetas se vuelven a poner en la bolsa.Luego el jugador 2 saca cuatro tarjetas y repiteel proceso.

Al final de cada ronda, los jugadores comparanlos resultados de la tabla. El jugador con másrespuestas correctas obtiene 1 punto. El primer jugador que obtenga 5 puntos gana el juego.

Jugador 1 Jugador 2Producto ¿Correcto? Puntos Producto ¿Correcto? Puntos



76

24. En una ferretería se han apilado varias láminasde aluminio: tres de 3,2 mm de espesor, dosde 2,1 mm de espesor y una de 1,7 mm deespesor. ¿Cuánto mide la altura de dichomontón?

25. El día lunes Francisco vendió 10paquetes de 3,25 kg de azúcar en su negocio.¿Cuántos kg de azúcar vendió Francisco el díalunes?

Repasa los conceptosCompleta.

1. Explica cómo puedes usar una cuadrícula para hallar el producto de 4· 0,37.

2. ¿Por qué al multiplicar el 0,02 · 100 la coma decimal no aparece representada en el producto 2?Explica tu respuesta.

Repasa las destrezasMultiplica cada número por 10, 100, 1 000, y 10 000.

3. 7,653 4. 8,59 5. 0,8 6. 4,025 7. 265,45

Estima el producto.8. 2,6 · 9 9. 16 · 8 10. 7 · 3,4 11. 4,59 · 4

Halla el producto.

12. 7 · 0,5 13. 4,07 · 2 14. 93,7 · 3 15. 9,15 · 10

16. 0,4 · 2 17. 0,09 · 3 18. 0,91 · 2 19. 2 · 0,005

20. 2 · 6,17 21. 6 · 18,7 22. 0,053 · 100 23. 0,08 · 10

Repasa la resolución de problemasResuelve.




78

A 0,5 kg C 1,5 kg

B 0,75 kg D 2,25 kg

2. ¿Cuántos kilos de ingredientes secos senecesita para hacer 3 pasteles de café?

A 0,75 C 1,75

B 1,25 D 2,25


1. La siguiente tabla muestra los ingredientessecos que se necesitan para hacer dos tiposde pastel.


Entender el problema.Mira el ítem 7. La ecuación dice quen 2 7 es igual a 9 12, que es 21. Dadoque 7 se resta de n, necesitas hallar unnúmero que es 7 más que 21.

Patrones y álgebra

6. Un bus del Transantiago recorre 30 kilómetros porcada 5 litros de bencina. ¿Cuántos kilómetrospuede recorrer con 30 litros de bencina?

A 180 kilómetros

B 18,0 kilómetros

C 180,1 kilómetros

D 1,80 kilómetros

7. ¿Qué número se representa con n?

n 7 9 12

A 14 C 28

B 21 D 35

Tipo de pastel

Piña

Café

Harina (kg)

0,75

0,5

Azúcar (kg)

0,5

0,25

Ingredientes del pastel

¿Cuántos kilogramos de harina necesitas

para hacer 3 pasteles de piña?

3. Si quiero hacer dos pasteles de piña y uno decafé, ¿cuántos kilogramos de harina y azúcarnecesitas respectivamente?

10. El valor de x en la ecuación 37 + x = 100 es

9. Encuentra un posible patrónde formación entre x e y en esta tabla.

Entrada

Salida

x

y

18

3

30

5

48

8

72

12

5. Explica cómo colocar la comadecimal en el producto de 0,06 · 2.

4. Una botella de bebida contiene 2,5 litros.¿Cuántos litros contienen 6 botellas de bebida?

A 10 litros C 150 litros

B 1,5 litros D 15 litros

A 1,5 kg 0,5 kg

B 2 kg 1,25kg

C 2,5 kg 0,5 kg

D 1,5 kg 0,75 kg

Harina Azúcar

8. 40 8 40

A 6 · 8 C 2 · 3

B 2 · 4 D 4 · 12

A 53 C 63

B 137 D 163



79CAPÍTULO 4

14. Halla el área de un triángulo cuya base mide20 cm y la altura mide 12 cm.

A 130 cm2 C 150 cm2

B 120 cm2 D 240 cm2

Datos y probabilidades 15. La siguiente tabla muestra la cantidad de puntos

obtenidos por 4 jugadores en 5 partidos debásquetbol.

Nombre

Emilia

Aurora

Isabel

Olivia

Partido1

14

12

7

10

Partido2

8

12

15

9

Partido3

11

8

13

12

Partido4

9

11

11

14

Partido5

10

13

15

11

Puntos anotados

¿Quién tuvo una media (promedio)de 12,2 puntos?

A Emilia C Isabel

B Aurora D Olivia


11. ¿Cuáles de las siguientes figuras muestranpares de rectas paralelas?

16. En una ferretería se han dañado variasláminas de cobre: 4 de 3,5 mm de espesor,5 de 2,1 mm de espesor y 7 de 1,8 mm deespesor. ¿Cuántos mm de espesor mide eltotal de láminas de aluminio dañadas?

A 37,1 mm C 0,371 mm

B 13,71 mm D 0,037 mm

17. Observa la tabla que muestralos puntos obtenidos por un equipo de fútbolen un campeonato.

Explica cuál es la diferencia entre los puntosa favor y los puntos en contra del 1° y 2°partido.

Equipo “ Los súper campeones”Partidos Puntos a favor Puntos en contra

1er

partido

15

72° partido 10 9

3er partido 8 11

12. ¿Cuál es la longitud de un segmento de rectavertical con extremos en (4, 5) y (4, 0)?

A 3 unidades C 7 unidades

B 5 unidades D 10 unidades

13. Mira la siguiente figura:

Explica en tu cuaderno cómo calcular el áreade la figura.

A

B

C

D



80

Pesos del huemul chileno

cachorro recién nacido

5 meses

17 meses

macho adulto

hembra adulta

Edad Peso (kg)

2 – 3,5

15 – 25

40 – 50

80 – 90

50 – 65

Dividir decimalesLa idea importante La división de decimales entre números naturales y entre decimales se basa en el valor posicional y en la división y multiplicación con

números naturales.

La siguiente tabla muestra los rangos de peso delhuemul de acuerdo a su edad.

Escoge un número que se encuentre entre elrango del peso del cachorro y determina cuántasveces es más grande el peso del macho adultocomparado con el peso del cachorro.

El huemul chileno es un

animal autóctono quehabita exclusivamente en

los bosques de la cordillera

patagónica andina.

DATO BREVE

Adaptado de www.conaf.cl

80




Patrones de división

Completa el patrón.

1. 24 : 6 4 2. 21 : 7 3 3. 32 : 4 n 240 : 6 40 210 : 7 n 320 : 4 80

2 400 : 6 n 2 100 : 300 3 200 : 4 800

4. 30 : 5 6 5. 54 : 9 6 6. 40 : 8 5 300 : n 60 n : 9 60 400 : n 50

3 000 : 5 600 5 400 : 9 600 4 000 : 8 500

Estimar cocientes

Estima el cociente. 7. 316 : 8 8. 88 : 3 9. 437 : 5 10. 402 : 6

11. 956 : 3 12. 96 : 4 13. 479 : 8 14. 312 : 6

Dividir números de 3 dígitos por 1 dígitoDivide.

15. 258 : 3 16. 210 : 5 17. 912 : 8 18. 276 : 4

19. 882 : 6 20. 342 : 9 21. 448 : 7 22. 651 : 3

23. 630 : 5 24. 924 : 4 25. 354 : 6 26. 584 : 8


decimal

estimarcentésimacocientedécima

PREPARACIÓN

estimar Hallar un número que se aproxime a una

cantidad exacta.

centésima Una de cien partes iguales.

décima Una de diez partes iguales.

81CAPÍTULO 5



82

Materiales ■ cuadrículas ■ lápices de colores ■ tijeras

Haz una representación para dividir un decimalpor un número natural.

¿Como puedes representar en la cuadrícula la fracción

decimal2410

?

¿Cómo se escribe el número decimal que representa la

fracción2410

?

Halla 2,4 : 3

Sombrea la representación decimal para mostrar 2,4.

Recorta tu representación convenientemente para

mostrar el número de décimas que resulta de ladivisión.

Divide las décimas en 3 gruposdel mismo tamaño.

Usa tu representación para completar elenunciado de división.

2,4 : 3

Sacar conclusiones 1. ¿Por qué recortaste la representación en décimas?

2. ¿Cómo puedes usar tus materiales para hallar1,4 : 2?

3. Síntesis Explica cómo cambiaría tu representaciónpara el problema 0,24 : 3.

1. 329 : 7 2. 475 : 53. 804 : 6 4. 756 : 45. 891 : 9

Dividir decimales por númerosnaturales con material concretoOBJETIVO: usar material concreto para dividir decimales entre númerosnaturales.



83CAPÍTULO 5

1. 3,8 : 2

2. 4,5 : 3

3. 12,6 : 44. 5,15 : 3

5. 14,7 : 7

6. 12,9 : 3

7. 36,6 : 68. 28,7 : 4

10. 1,5 : 3

11. 3,2 : 4

12. 0,18 : 9

13. 0,28 : 4

14. 6,96 : 6

15. 6,45 : 5

16. 4,68 : 3

17. 5,11 : 7

18. Calcula la cantidad aproximada de nievecaída diariamente durante la gran nevadade los 6 días registrada durante el mes deagosto.

20. Compara la nevada de 5 días en juliocon el promedio de nieve que cayódiariamente durante todo el mes de julio.¿Qué puedes decir?

19. ¿Cuáles son los promedios de la grannevada de 5 días y la gran nevada de 6días?

21. ¿Cuál es el error? Durante una nevada de6 horas, nevó 3,8 cm. Magdalena dijo quenevó un promedio de 0,06 cm por hora.

9. Explica cómo te ayudan las barras o los dibujos para resolver una división entre númerosdecimales y números naturales.

Describe cómo puedes usar barras o hacer una representación gráfica para encontrar 0,39 : 3.

Nevadas registradas en un centro de ski

Suceso Cantidad de nieve (en cm) Fechas en que se registraron

Gran nevada de 5 días 175,4 27 de julio a 31 de julio de 2001

Gran nevada de 6 días 174,3 1 a 6 de agosto de 1988

Nevada de julio 346,1 4 a 10 de agosto de 1964

USA LOS DATOS Para responder de los ejercicios 18 – 21.

Usa barras o haz un dibujo para representar el cociente.sa barras o haz un dibujo para representar el cociente

Usa representaciones decimales para determinar el cociente.



84

Paso Paso

Dividir decimales pornúmeros naturales deun dígito y múltiplos de 10OBJETIVO: divide decimales por números naturales.

PROBLEMA En una carrera de relevos de natación, cada nadador nada unaparte igual de la distancia total. Dora y otras 3 nadadoras ganaron el relevoen 5,24 minutos. ¿Cuál fue el promedio de tiempo que nadó cada niña?

1. 827 : 7 2. 946 : 23. 285 : 9 4. 522 : 45. 326: 5

Usa fracciones.

Halla 5,24 : 4.

Vuelve a escribir el dividendoy el divisor en forma defracciones.

524

____

100 : 4

__ 1

El cociente se calcula multiplicando eldividendo por el inverso multiplicativodel divisor.Representa la fracción decimal comonúmero decimal.

524

____

100 : 4

__ 1 524

____

100 · 1 __

4 524

____

400 131

____

100 1,31

La división de númerosnaturales o fracciones sepuede pensar como repartiren partes iguales. Cuandodivides algo por 4, estásrepartiéndolo en 4 partes, yeso correspondería a tomarla cuarta parte (1/4) de loque estás dividiendo, omultiplicar por 1/4.

Aprende

L E C C

I Ó N

Paso Paso

Usa el procedimiento de división con reagrupación.

Divide como lo harías connúmeros naturales, respetandoel colocar la coma después deoperar con la parte entera.

5,24 : 4 = 1,314 12

12 0

Continúa la división.

5,24 : 4 = 1,314 12 12 04

4 0

Por lo tanto, cada niña nadó un promedio de 1,31 minutos.

• ¿Es esta respuesta razonable? Explica.

Usa la división para escribir 68 en forma de decimal.

56 40 40

0

6,00 : 8 =

Dado que 6 : 8 es menor que1, coloca un 0 en el lugarde las unidades. Coloca lacoma decimal.

Divide como lo harías connúmeros enteros.

Por lo tanto,68

= 0,75.



85CAPÍTULO 5

Usa fracciones para hallar el cociente.

1. 4,11 : 3 2. 7,32 : 4 3. 3,78 : 7 4. 4,72 : 8

411

___

100 : 3

__ 1 732

____

: 4

__

____

100 :

__ 1

____

100 : 8

__

411

___

100 · 1

__ 3

732

____

·

__ 4

____

100 · 1 __

____

100 ·

__ 8

____

300

____

400

____

700

____

800

Escribe el cociente correcto ubicando la coma según corresponda.

5. 8,65 : 5 = 173 6. 4,14 : 9 = 046 7. 0,056 : 7 = 0008 8. 51,30 : 8 = 64125

Halla el cociente. 9. 224,7 : 3 10. 38,88 : 8 11. 3,15 : 5 12. 0,072 : 9

13. 97,2 : 7 14. 64,08 : 7 15. 93,42 : 5 16. 8,820 : 6

17. Explica cómo puedes comprobar que la coma decimal está ubicadacorrectamente en el cociente.

• En el ejemplo B, ¿por qué colocas un cero en el lugar de las unidadesdel dividendo?

• En el ejemplo C, ¿por qué se coloca un cero a la derecha de 9,08?Colocar un cero a laderecha del último dígitodespués de la comadecimal no cambia el valor.

Más ejemplos

Divisor mayor quedividendo

Halla 2,61 : 3

2,61 : 3 = 0,87

Agrega ceros aldividendo

Halla 9,08 : 8

9,08 : 8 = 1,135

Divide

Halla 22,95 : 5

22,95 : 5 = 4,59

Comprueba Comprueba Comprueba

2029

2545

450

810

828

2440

400


4,59 • 522,95

0,37 • 32,61

1,135 • 89,080


24 21 21 0



86

Dimensiones de lapiscina de competición

Número decarriles marcados

8

9

10

21,92

21,96

21,30

Ancho de todos los carrilesmarcados (en metros)

En las preguntas 18 a 21, ubica la coma donde corresponda.

18. 94,8 : 4 = 237 19. 0,504 : 6 = 0084 20. 3,68 : 8 = 046 21. 75,40 : 10 = 754

Halla el cociente.

22. 0,032 : 8 23. 7,92 : 3 24. 58,88 : 4 25. 83,57 : 6

26. 8,46 : 9 27. 8,12 : 4 28. 7,52 : 6 29. 10,20 : 8

Para 30–34, usa la tabla.

30. Generalmente se marcan ocho carriles igualesen una piscina. ¿Cuál es el ancho permitido de

cada carril?

31. Imagina que se marcan 10 carriles en una piscina.Si el ancho total de la piscina es de 25 metros,¿cuál es el ancho de cada lado de la piscina fuerade los carriles en uso?

32. Formula un problema. Mira el problema 30. Usa la tabla para cambiarel número y escribe un problema nuevo. Intercambia problemas conun compañero y resuelve.


Adaptado de www.csd.gob.es

33. DATO BREVE El rorcual común es la segundaballena más grande del mundo. Es conocida por ser laballena que se mueve con mayor rapidez. Puede viajarcerca de 38,6 kilómetros por hora en cortos períodos detiempo. ¿Qué distancia puede viajar en un minuto a estavelocidad? Pista: 1 hora 60 minutos.

34. ¿Cuál es la pregunta? La señora Díaz necesita cintasrojas y azules para hacer un disfraz, las cintas rojas sonde 8 metros y las azules son de 4,50 m. Compró en

total 28,50 metros de cinta. ¿Cuál es la pregunta delproblema, si la respuesta es 3?

p El rorcual común, también

llamado ballena de aleta, es una

especie de cetáceo de la familia

Balaenopteridae. Es el segundo

animal más grande del planeta.Fuente: http://marinebio.org



87CAPÍTULO 5


35. ¿Cuáles dos de las mascotas de la claserecibieron en conjunto 10 votos?

Mascota favorita de la clase

C a n t i d a d

d e v

o t o s

Tipo de mascota

1086420

pez cobayo tortuga hámster

36. Nico corrió 8,45 kilómetros. Redondea estadistancia a la décima más cercana.

37. Calcula el cociente de 319 : 8

38. 570,9 : 3.

A 19,3 C 17,3

B 190,3 D 193

39. Daniel pagó $ 4 000 por un pase de nataciónmensual. Nadó 16 veces ese mes. ¿Quécantidad representa el costo de cada vez quenadó?

A $ 0,250 C $ 25

B $ 2,50 D $ 250

ÁLGEBRA Puedes usar la división para resolver ecuacionesde multiplicación. Natalia dio 9 vueltas a la piscina. Tardó en total71,55 minutos en total. Si en cada vuelta demora el mismo tiempo,¿cuánto tiempo empleó en cada una de las vueltas?

Sea c el tiempo de una vuelta.

9 · c 71,55 minutos. Resuelve esta ecuación.

Ya que la multiplicación y la división son operaciones inversas,si 9 · c 71,55 minutos entonces 71,55 : 9 c.

71,55 : 9

c 7,95 c

Por lo tanto, el tiempo de una vuelta es 7,95 minutos.

Usa la división para resolver cada ecuación.

1. 5 · c 18,40

2. 7 · n 16,8

3. 3 · a 74,34


p Kristel Kobrich, una gran nadadora

chilena, obtuvo la medalla de plata

en 800 metros libres de los Juegoa

Panamericanos de Toronto 2015.



88

Grupo B Usa fracciones para hallar el cociente.

1. 2. 3. 4. 5,23 : 3

523

____

100 : 3

__ 1

523

____

100 · 1

__ 3

____

300

1,09 : 4

109

____

:

4

__ 1

109

____

·

__ 4

____

4

2,532 : 5

2 532

______

:

5

__ 1

2 532

______

1 000 ·

__ 5

______

5 000

4,82 : 4

___

:

___

___

·

___

___

Halla el cociente.

5. 37,5 : 3 6. 3,84 : 4 7. 10,68 : 5 8. 13,80 : 2

9. 0,035 : 7 10. 148,5 : 4 11. 67,8 : 6 12. 0,038 : 2

13. 1,08 : 9 14. 24,84 : 8 15. 2,32 : 2 16. 364,8 : 6

17. 7,92 : 4 18. 254,8 : 7 19. 39,78 : 3 20. 284,05 : 5

21. 6,3 : 2 22. 468,72 : 9 23. 571,52 : 7 24. 32,65 : 5

Grupo A Calcula.

1. 37,2 : 4 2. 2,2 : 7 3. 87,3 : 9 4. 3,301 : 5

5. 49,03 : 8 6. 0,295 : 7 7. 118,6 : 9 8. 82,6 : 9 9. 5,63 : 6 10. 17,91 : 6 11. 4,063 : 2 12. 238,1 : 4

13. Luis tiene 25,5 metros de una cuerda paraembalar 6 cajas iguales. ¿Cuánta cuerdaocupará en cada caja?

14. Ana y Clemente participan en la competenciade atletismo de su colegio. Ana corre los100 m planos en 17,25 segundos, Juanregistra una marca de 200 m en 35 segundos.Calcula el tiempo que tardan en recorrer 1metro. Razona si sus marcas en este casoserían equivalentes?

25. Felipe usó 13,5 tazas de harina para hacer9 tandas de panqueques. Si en cada tandade panqueques usó la misma cantidad,¿cuántas tazas de harina usó en cada tanda depanqueques?

26. Silvia está cortando un trozo de cordel quemide 73,5 metros en 4 partes iguales.¿Qué longitud tiene cada parte del cordelen metros?

Práctica adicional

00



89CAPÍTULO 5

¡Prepárense!

2 jugadores

¡Listos!• Set de tarjetas con divisionesexactas.• Set de tarjetas con diferentescocientes exactos.• Set de tarjetas con diferentesestimaciones de cocientes.

¡A Jugar!

Los jugadores barajan las tarjetas de divisióny las colocan boca abajo en una matriz de 3por 4.

Los jugadores barajan las tarjetas de númeroscompatibles y las colocan boca abajo en otramatriz de 3 por 4.

Los jugadores barajan las tarjetas de estimacióny las colocan boca abajo en una tercera matrizde 3 por 4.

Los jugadores se turnan para poner las tarjetasde cada matriz boca arriba y determinar si lastres tarjetas se corresponden entre sí.

Si las tarjetas sí corresponden, el jugador sequeda con las tres tarjetas y tiene otro turno.Si las tarjetas no corresponden, las vuelve acolocar boca abajo en su posición original.

El juego continúa hasta que no queden tarjetas.

¡El jugador que tenga más tarjetas gana!

serteD¡

sertne !



90

Repasa los conceptos

Completa. 1. Dibuja una representación en tu cuaderno para hallar 0,52 : 4

2. Explica dónde colocar la coma decimal del cociente cuando divides un decimal en 10.

3. Puedes usar fracciones para dividir un decimal por un número natural. Explica cómo hallar 0,21 : 7usando fracciones.

Repasa las destrezasCalcula.

4. 1,9 : 6 5. 63,72 : 8 6. 18,5 : 6 7. 2,106 : 4

8. 251,43 : 5 9. 178,5 : 9 10. 0,364 : 5 11. 57,6 : 9

Halla el cociente.

12. 5,65 : 5 13. 15,6 : 8 14. 3,14 : 3 15. 1,25 : 5

16. 2,26 : 6 17. 6,36 : 2 18. 0,45 : 9 19. 6,25 : 5

Divide.

20. 1,8 : 3 21. 1,60 : 4 22. 7,2 : 6 23. 6,9 : 2

24. 6,24 : 6 25. 10,8 : 7 26. 7,5 : 5 27. 43,86 : 3

28. 2,10 : 2 29. 15,0 : 15 30. 409,6 : 3 31. 8,88 : 4


32. Un jarro de jugo cuya capacidad es de2,20 ml, se reparte en 4 vasos de igualcapacidad. ¿Cuánto jugo contiene cada vaso?

33. Una pecera tiene una capacidad de25,8 litros de agua. ¿Cuántos jarros de10 litros se ocuparán para llenarla?

34. Cada vez que Patricia toma elautobús, compra un boleto por $ 620. Jaimecompra un talonario de 6 boletos por $ 3 150para ahorrar dinero en cada viaje.Explica cómo saber si Jaime ahorra dinero.




Nombres diferentes

Enriquecimiento · Fracciones y decimales

Por lo tanto, enumerados de menor a mayor distancia, loscorredores son: Carla, Patricia, Luisa.

EjerciciosExpresa cada fracción en forma de número decimal.

1. 2

__ 5 2. 1

__ 4 3. 7

___

20

4. 3

__ 6 5. 11

___

25

6. 1

__ 8 7. 6

___

25

8. 6

___

30

9. 13

___

50

10. 9

___

15

Resumen

Una receta para ensalada de frutas requiere 2 _

4 gramos de manzanas, 0,75

gramos de uvas y 0,35 gramos de cerezas. Explica los pasos que darías para escribir lospesos de las frutas de menor a mayor. Luego, sigue tus pasos y resuelve.

Corredor Distancia ( km )

Patricia

Carla 0,4

Luisa 0,65

Durante una sesión de entrenamiento, tres corredores

comenzaron con ejercicio de calentamiento de 5 minutos.De menor a mayor, ¿en qué orden terminó cada corredorsegún la distancia recorrida?

La distancia que corrió Patricia se muestra en forma de fracción.Puedes dividir 5 entre 8 para convertir 5

8 en forma de decimal.

Paso 1

Divide como lo harías connúmeros enteros.

4 8

2016

40400

Paso 2

Compara los decimales.

0,625 Patricia

0,4 Carla

0,65 Luisa5,000 : 8 = 0,625

5

8

91CAPÍTULO 5




1. Todos los días Rafael corre 1,5 kilómetros.¿Cuántos kilómetros corre en un mes?(Considerando un mes de 30 días)

A 45 km C 4,5 km

B 35 km D 25 km

2. ¿Cuál de las siguientes fracciones está máscerca del cero?

A 2

_ 3 C 1

___

10

B 4

_ 9 D 3

_ 3

3. ¿Cuántos centímetros son 13

_ 4 metros?

A 1 750 cm C 150 cm

B 175 cm D 1 500 cm

7. ¿Qué valor de z hace verdadero el enunciado? 2 • 10 = ( z • 5 ) + ( 2 • 5 )

A 2 C 10

B 5 D 15

8. Si la regla es sumar 7, ¿qué número sigue enel siguiente patrón? 9; 16; 23; ____

A 29 C 31

B 30 D 32

9. ¿Cuál es el resultado de 12,3 • 5?

A 62,5

B 63,5

C 60,5

D 61,5

10. La señora Herrera tiene $ 250 000 en sucuenta de ahorros. Hizo 3 cheques por$ 15 000 cada uno, para pagar sus deudas.¿Cuánto dinero le queda a la señora Herreraen su cuenta de ahorros?

A $200 000 C $205 000

B $195 000 D $190 000

Patrones y álgebraNúmeros y operaciones

11. Mónica lee un libro de 150 páginas en10 horas. A la misma velocidad, ¿cuánto

tardará en leer un libro de 225 páginas?

A 15 horas C 20 horas

B 17 horas D 30 horas

5. Gabriel mantuvo el récord de los 100 metrosplanos durante 3

_ 4 del año. Ana lo mantuvo por

1 ___

12 del año y Fernanda por 1

_ 6 , ¿quién mantuvo

el récord por menos tiempo?

A Gabriel C Ana

B Fernanda D Gabriel y Ana

6. El equipo de básquetbol de un colegio jugó 28partidos durante el año. Ganaron 8 partidosmás de los que perdieron, ¿cuántos partidosganaron?

A 18 partidos C 10 partidos

B 20 partidos D 15 partidos

4. ¿Cuántos centímetros hay en 23

_ 4 metros?

A 75 centímetros

B 225 centímetros

C 255 centímetros

D 275 centímetros

92




Geometría - Medición

12. Un cuadrado tiene 49 cm de área. ¿Cuántomide cada lado?

A 6 cm2 C 8 cm2

B 7 cm2 D 9 cm2

13. Un ángulo está formado por:

A dos rayos C dos rayos con unvértice común

B dos segmentos D dos alturas

14. El perímetro del rectángulo de la figura es:

A 84 centímetros

B 225 centímetros

C 255 centímetros

D 275 centímetros

Observa la tabla y responde las preguntas 18,19 y 20.

Observa la tabla y responde las preguntas 21 y 22

24 cm

18 cm

15. ¿Cuántas caras se pueden reconocer en unparalelepípedo?

A 4

B 8

C 6

D 10

16. ¿Cuántos vértices y aristas se pueden reconoceren el paralelepípedo de la figura anteriorrespectivamente?

A 8 vértices y 10 aristas C 12 vértices y 8 aristas

B 8 vértices y 12 aristas D 12 vértices y 10 aristas

17. La transformación que muestra la figura es:

A traslación C rotación

B simetría D ninguna de ellas

18. ¿Cuántos niños respondieron la encuesta?

A 16 C 31

B 20 D 38

19. ¿Cuántos niños juegan tres horas o más?

A 2 C 6

B 4 D 16

20. ¿Cuántos niños juegan menos de 2 horas?

A 16 C 8

B 4 D 2

Edificios de Chile

Nombre Altura en metros

El Mirador 15

Aguas Claras 32

Los Viñedos 14

Don Mateo 27

21. ¿Qué edificio es el más alto?

A El Mirador C Los Viñedos

B Aguas Claras D Don Mateo

22. ¿Cuál es el promedio de altura de los edificios?

A 22 C 44

B 33 D 55

Resultados sobre encuesta de las horas de juego

Número de horas

N ú m e r o d

e n i ñ o s

10

2

4

6

810

12

14

16

18

2 3 4

93CAPÍTULO 5



Razones y porcentajesLa idea importante Los porcentajes pueden expresarse como fracciones y como decimales.

Imagina que estás estudiando lospumas. En la siguiente tabla semuestran los datos que se

obtuvieron sobre varios de ellos.Compara la rapidez que alcanzócada uno para cubrir una distanciadeterminada. Usa esta fórmula

R =

EjemplarDistancia recorrida

(metros)Tiempo (segundos)

Hembra grande 137 5

Hembra pequeña 1 160 6

Hembra pequeña 2 228 9

Macho grande 182 4

El puma es el depredador

más peligroso de Chile. Se

encuentra desde Arica a

Magallanes. Habita tanto

en la cordillera (hasta los

5 000 m), como en los

bosques densos hasta elnivel del mar (0 m).

Adaptado de www.conaf.cl

distancia

tiempo

d

t

R =

DATO

BREVE

Rapidez del puma

94



Comprueba si has aprendido las destrezas importantes quese necesitan para el aprendizaje del capítulo 6.

Relacionar decimales

Escribe cada fracción como decimal.

1. 8 2

10 2. 4

5 3. 4 1

4 4. 2

5 5. 8 9

10

6. 5 69

100 7. 4 24

25 8. 3

4 9. 62

100 10. 4 17

25

11. 1 35

50 12. 2 5

10 13. 6 2

4 14. 6 13

20 15. 1 1

2

Escribir decimales como fraccionesEscribe cada decimal como una fracción.

16. 0,2 17. 0,35 18. 0,06 19. 0,85 20. 0,41 21. 0,092 22. 0,07 23. 0,625 24. 0,15 25. 0,015

26. 0,12 27. 0,01 28. 0,99 29. 0,255 30. 0,199

Escribir fracciones simplificadas a su mínima expresiónEscribe la fracción simplificada en su mínima expresión.

31. 6 10

20 32. 5 32

14 33. 49

63 34. 120

48 35. 81

9

36.420

800 37.600

300 38.125

305 39.123

93 40.166

420


porcentaje

PREPARACIÓN

porcentaje Número o cantidad que representa la

proporcionalidad de una parte respecto a un total que seconsidera dividido por cien unidades.

razón Una razón entre dos números a,b es el resultado de

la división o cociente entre ambos. Una razón nos permite

comparar cantidades.

95CAPÍTULO 6



Aprende

PROBLEMA En el Día de las Profesiones, el papá de Erica visita laclase para hablar sobre las partes de un microchip. Tiene un microchipy un diagrama de él. La razón del tamaño real del microchip aldiagrama es de 1 a 60. Es decir, el tamaño del microchip es 1

__

60 deltamaño del diagrama. Puedes escribir una razón de tres maneras:

con la palabra “es a” con dos puntos como una fracción

1 es a 60 1:60 1

___

60 primer término

____________

segundo término

Todas ellas se leen: uno es a sesenta.

Las razones comparan cantidades: una parte con otra parte,una parte con el todo, el todo con una parte.

Ejemplo 1 El teclado de la computadora de Tomás tiene 104 teclas.Hay 20 teclas de números y 26 de letras. Escribe las siguientes razones.

a. teclas de números es a teclas de letras 20

___

26 o 10

___

13 la parte con la parte

b. teclas de letras es a cantidad total de teclas 26

____

104 o 1

__

4 la parte con el todo

c. cantidad total de teclas es a teclas de números 104

____

20 o 26

___

5 el todo con la parte

Las razones equivalentes son todas aquellas comparaciones en donde elresultado del cociente expresa el mismo valor.

12

= 0,5 24

= 0,5

fichas rojas

___________

fichas amarillas

2 __

4

Divide ambos términosentre un factor común.

Multiplica ambos términospor el mismo número.

Entonces, 1

_ 2 , 2

_ 4 y 6

__

12 son razones equivalentes.

Indica si las dos fraccionesson equivalentes.

1. 2 __

5 , 3

__

5 2. 5 __

8 , 10

___

16

3. 7

___

21 , 1 __

3 4. 10

___

11 , 5 __

6

5. 12

___

36 , 3

__

9

Vocabulariorazones equivalentes

Razones OBJETIVO: identificar razones y escribir razones equivalentes.

L E C C

I Ó N

24

2 :4 :

12

22

24

2 ·4 ·

612

33

Ejemplo 2 Escribe tres razones equivalentes para comparar las fichasrojas y las fichas amarillas.

96



1. Escribe la siguiente razón: Estrellas es a líneas

diagonales de la bandera de Magallanes

___

12

2. Escribe la siguiente razón: Líneas diagonales es a

estrellas de la bandera de Magallanes. 12

___

Escribe dos razones equivalentes para cada caso.

3. 6

___

14 4. 15

___

21

5. 3 __

4 6. 7 __

8

7. Explica cómo puedes determinar

razones equivalentes.

Observa la tabla del ejercicio siguiente y descubre cuál es el posible patrón o regla de formación que

da origen a los valores de la tabla.

8. Elisa se entrena diariamente para participar en una carrera de resistencia, ella recorre 2 kilómetros cada20 minutos. ¿Cuántos kilómetros podría recorrer en 80 minutos?

Completa la tabla con los valores

Km 1 2 4 6 8

min 20 80

Escribe dos razones equivalentes para cada fracción.

9. 15

___

35 10. 8

___

12 11. 16

___

40 12. 22

___

20 13. 3

__

5 14. 2

__

9

Escribe las razones en forma de fracción.

15. 72 kilómetros es a 4 litros 16. 90 tarjetas es a 6 sobres

17. 18 objetos es a 12 cajas 18. 288 páginas es a 15 días

19. Si en cada caja siempre se pone la misma cantidad de botellas y en cada caja caben 12 botellas, ¿cuántasbotellas podrían caber en 4 cajas?, ¿y en 6 cajas?

Cajas

Botellas

20. En un lavado de autos se lavan 25 automóviles diariamente. ¿Cuántos se lavan en 7 días?

Días

Autos



Patrones.


21. Ordena los valores de menor a mayor:2,35; 2,03; 2,3.

22. ¿Cuál es la razón de 55 a 15 reducida a sumínima expresión?

23. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a2 : 3?

A 4 : 5 B 8 : 10 C 12 : 13 D 14 : 21


t Junto con otros

símbolos regionales, la

bandera fue adoptada

oficialmente el 15 deoctubre de 1996.

Fuente: Gobierno regional de laRegión de Magallanes.

97CAPÍTULO 6



Aprende

1 %

PROBLEMA Diego ha diseñado un mural de pared con mosaicos. Veinticinco de los 100 mosaicos son azules. Escribe esta relacióncomo un porcentaje.

La razón 25 de 100 puede expresarse como porcentaje.Probablemente los porcentajes los has visto en descuentos. Eltanto por ciento, significa “por cada 100” o “cuantos de cada 100”.

mosaicos azules

______________

100 25

____

100 25%

Entonces, 25% del mural de Diego es azul. Así se obtiene unporcentaje.

Un porcentaje puede estar entre 0% y 100%, o ser mayor que100%.

Ejemplo Escribe el porcentaje que está sombreado.

68 de los 100 cuadrados están

sombreados.

68

___

100 68%

PorcentajesOBJETIVO: comprender los porcentajes.

Compara. Escribe o .

1. 52 48 2. 0,7 73. 33 32,3 4. 102 1205. 0,6 0,9

Ideamatemática

Los porcentajes puedenrepresentarse en unacuadrícula de 10 · 10. Elcuadrado completo esel 100%. Un cuadradopequeño es 1%.

En el siguiente ejemplo:

Vocabularioproporción

porcentaje

98





Escribe el porcentaje sombreado.

1. 26 de 100 26

____

100 2.

3. 4.

5. Explica cómo

39

___ 100 puede escribirse como un porcentaje.

Escribe el porcentaje sombreado.

6. 7. 8. 9.

Del 10 al 12, usa el mural.

10. Karina usó 100 mosaicos para diseñar el mural que se muestraa la derecha. ¿Qué porcentaje del mural es blanco?

11. ¿Que porcentaje del mural es de color rojo?

12. ¿A qué total deben llegar todos los porcentajesde todos los colores de mosaicos? Explica.

13. Un encuestador hizo preguntas a 10 personasde un total de 500. ¿Cuál es la razón de laspersonas encuestadas y la cantidad total depersonas?

14. Convierte 350 metros = centímetros

15. En la prueba, Carla tuvo 7 respuestasequivocadas de un total de100 preguntas.¿Cuál es la razón entre las respuestasequivocadas y las respuestas correctas?



99CAPÍTULO 6



Resolver problemasusando calculadoraOBJETIVO: resolver problemas usando calculadora.

Materiales ■ calculadora científica

La calculadora científica puede ayudar a resolver unproblema en menos tiempo ya que los cálculos serealizan más rápido, pero se debe identificar los datosy las operaciones que se realizarán.

Paso

Paso

Paso

PROBLEMA Don Gabriel ha comprado un DVD por$ 45 900 y un televisor por $ 149 000. Por la compra deestos dos productos, le hacen un descuento de $ 27 286.

Si don Gabriel pagó con 9 billetes de $ 20 000, ¿recibirávuelto? Si es así, ¿qué cantidad sería?

Sacar conclusiones

1. ¿Qué operación debes realizar para calcular el total deuna compra?

2. ¿Qué operación debes realizar para calcular un valorcon descuento?

3. Si conoces el monto del descuento, ¿cómo calcularíasel vuelto que debe recibir una persona después de sucompra?

Debes saber cuál es el total de la compra.

Al total se hace el descuento.

Don Gabriel pagó con $ 180 000 por lo tanto

debe recibir vuelto. Para calcularlo, se resta

45900 149000 19490059 149 1949+59 149 1949=

180000 167614 123868 167614 12386-8 167614 12386=

194900 27286 167614949 27286 167614-949 27286 167614=

100



L E C C

I Ó N

Estrategia: información relevante eirrelevanteOBJETIVO: resolver problemas con la estrategia información relevante e irrelevante.

PROBLEMA Camila está haciendo figuras de artesanía que miden 9

centímetros por 12 centímetros. Ya ha terminado 12 de las 36 figuras deartesanía que tiene planeado hacer para el festival de Arte y Manualidadesde su colegio. Puede hacer 8 figuras de artesanía en 2 h. ¿Cuánto tiempotardará en terminar el resto de sus figuras de artesanía?

Piensa y comentaIndica qué información es relevante o irrelevante. Luego

resuelve el problema.

a. Juanita espera 10 min en la caja registradora y luego

gasta $1 800 en 2 metros de papel volantín. Regresa aldía siguiente para comprar 1 metro más del mismo papel.¿Cuánto dinero gasta en 1 metro más de papel volantín?

b. Miguel compra un frasco de pegamento de 4 litros a$1 900 y un frasco de 8 litros a $3 800. Tiene en su bolsilloun billete de $5 000 y uno de $10 000. ¿Qué frasco leconviene llevar?

Vuelve a leer el párrafo de arriba con atención y determina qué informaciónes relevante y qué información es irrelevante.

RELEVANTE

• Ha terminado 12 de las 36 figurasde artesanía.

• Puede hacer 8 figuras deartesanía en 2 h.

IRRELEVANTE

• Las figuras de artesanía miden 9 centímetros por 12 centímetros.

• Está planeando exponer sus figurasde artesanía en el festival de Arte yManualidades de su colegio.

Usa la información relevante para resolver el problema.

36 12 24 Resta para hallar el número de figuras de artesanía que aúntiene que hacer.

artesanías

_______

horas

8

__

2 Escribe la razón de figuras de artesanía

es a horas.

8 3

_____

2 3 24

___

6

artesanías

_______

horas Usa razones equivalentes para hallar el

número de horas.

Entonces, Camila tardará 6 h en terminar el resto de sus figuras de artesanía.

··

figuras de artesaníahoras

82

102



Identifica la información relevante y la irrelevante. Luego usa la

información relevante para resolver el problema.

1. Valentina hace arreglos florales que miden 42 cm de altura.En 3 h puede hacer 9 arreglos. ¿Cuánto tiempo podría tardar enhacer 54 arreglos para el festival de música de su colegio?

Primero, identifica la información relevante e irrelevante.Relevante: En 3 h puede hacer 9 arreglos.

Hará 54 arreglos.Irrelevante: Los arreglos miden 42 cm de altura.

Los arreglos son para un festival.

Luego, usa la información relevante para escribir razones equivalentes.arreglos

_______

horas

9 ?

_____

3 ?

54

___

?

Por último, escribe la cantidad de horas en la razón equivalente.

2. ¿Qué pasaría si Valentina hiciera arreglos de 36 cm de altura ytardara 4 h en hacer 15 de esos arreglos? ¿Cuánto tiempo podría tomarhacer 45 arreglos?

3. Después de comprar tres láminas en el festival de arte, Sebastiánconduce 20 km hasta su casa. Si conduce a una velocidad promedio de40 km por hora, ¿cuánto tiempo podría tardar en llegar a su casa?

4. José conduce 416 kilómetros para ir a visitar a su mamá, donde planeagastar $5 000 en cuadros. El promedio de velocidad en las primeras3 horas de viaje es de 83 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros haviajado?

5. Si la razón entre los niños y las niñas del 6° C es de 1 es a 2, ¿cuántosniños hay en el curso?

7. El 6º C participa de un día de mejoras en el colegio. Si durante el día 4 estudiantes puedenpintar 3 paredes, ¿cuántos estudiantes se requieren para pintar 24 paredes?

8. Cata usa 36 centímetros de encaje para hacer una toallita para bebés y 24 centímetrospara hacer una toalla de manos. Está haciendo 18 juegos de cada uno. ¿Cuánto encajenecesitará?


··

Resolución de problemas • Práctica de estrategias

p Arreglo floral de

42 cm de altura.

6. ¿Cuál es la razón entre la cantidadde alumnos del 6º A con respectoal total de alumnos de todos loscursos?

Estudiantes por curso

Curso

6ºA

6ºB

6ºC

32

28

36

Cantidad de estudiantes

103CAPÍTULO 6



Clases de teatro ofrecidas

en diferentes grados

Curso

PreBásica

Básica

Media

18%

36%

68%

Porcentaje

1. Jacinta encuestó a los miembros de su Club Osorno para saber cuántosaños tenían. Organizó sus datos en una tabla. ¿Cómo se compara la cantidadde miembros en cada grupo de edades con la cantidad total de miembrosdel club?

Edades de los miembros del Club Osorno

Grupo

Infantes

Menores

Intermedios

Adolescentes

45

90

18

27

Cantidad

5–8

9–11

12–13

14–19

Edad (años)

USA DATOS Usa la tabla para responder las preguntas 6, 7 y 8.

6. ¿Qué porcentaje de clases de teatro no se ofrecen a escuelasprimarias?

7. ¿Para qué grupo de estudiantes se ofrece la mayor cantidad declases?

8. Vuelve al problema 6. Explica cómo hallaste turespuesta.

2. ¿Qué pasaría si hubiera 36 miembros en elgrupo de adolescentes y 81 miembros enel grupo de menores? ¿Cómo cambiarían tusdatos?

4. ¿Qué grupo presenta la mayor cantidad demiembros del Club Osorno? ¿Cuántos son?¿Cómo lo sabes? Explica.

3. De los 10 primeros premios otorgados en unaferia regional, los intermedios obtuvieron 3.¿Cómo se compara el número de ganadoresdel grupo intermedio con los ganadores de losotros grupos?

5. ¿Cuántos miembros tiene el Club Osorno?Escribe la operación matemática que te ayudaa responder la pregunta.

Aplicaciones mixtas

104




Materiales• Tarjetas con preguntas• 2 fichas o monedas• Calculadora• Papel y lápiz• Reloj de arena

¡A jugar!

Coloca las tarjetas sobre la mesa, boca abajo enun mazo.

Cada jugador ubica su ficha en el casilleroSALIDA

A la cuenta de tres, el jugador 1 saca unatarjeta y la da vuelta, colocándola de maneratal que ambos la puedan leer.

El jugador 2 da vuelta el reloj de arena paramedir el tiempo en que se demoran en resolverla situación planteada en la tarjeta.

Cada jugador lee la tarjeta y realiza la actividadque se le pide.

El jugador que termina antes de que el reloj dearena acabe, dice: “ALTO”.

Si está correcto el resultado, el jugador avanzatres casilleros. Si no está correcto, permaneceen la casilla que está.

Gana el juego el primero en llegar a laLLEGADA.

Gánale al reloj

S A L I D A

L L E G A D A

105CAPÍTULO 6



Escribe una razón para cada enunciado.

16. 18 juegos ganados es a 6 perdidos. 17. 16 libros de aventuras es a 12 libros de ficción.

Grupo A Escribe razones equivalentes para cada fracción.

1. 3

10 2. 7

17 3. 3

100 4. 1

5 5. 29

10

6. 22

35 7. 3

5 8. 5

8 9. 15

10 10. 18

4

11. 3

4 12. 9

12 13. 13

26 14. 27

10 15. 5

15

Práctica adicional

Grupo B Escribe el porcentaje sombreado.

1.

2.

3. 4.

18. 10 adultos es a 120 niños. 19. 69 empleadas de una empresa es a 90empleados en total.

20. 16 minutos es a 30 minutos. 21. 15 partidos ganados es a 20 partidos jugados.

106



Grupo C Resuelve los problemas. Usa calculadora si es necesario.

Observa la tabla y responde.

1. Una tienda de artículos electrónicos ofrece untelevisor de 42 pulgadas en $ 200 000. Si uncliente lo compra y paga en 12 cuotas de igualprecio cada una, ¿cuánto es el valor de cada cuota?

2. Felipe compra un nuevo refrigerador. Tiene que

hacer 8 pagos de $ 45 500 cada uno. ¿Cuánto lecostó finalmente el refrigerador?

3. Rosa y sus amigos gastaron un total de $ 34 950en un almuerzo. La cuenta se diviidió entre los 5amigos en partes iguales. ¿Cuánto dinero tuvo quepagar cada amigo?

4. Cristina pidió un sándwich de jamón que costaba$ 3 570 y un té que cuesta $ 1 350, ¿cuánto dinerogastó Cristina?

5. Rodrigo vendió dos carretillas para jardinería a$ 50 000 cada una y 3 podadoras mecánicas a$ 100 000 cada una. ¿Cuánto dinero recaudó conla venta de las carretillas y las podadoras?

6. Patricia ha empezado a trabajar en una empresa ydesea saber la cantidad de dinero que ahorrará en30 años para hacer una casa cuando se jubile. Ellatiene un sueldo de $ 500 000 y la décima parte deesa cantidad es para su casa. ¿Cuánto dinero tendrá

ahorrado para su casa?7. Una empresa fabrica 100 pares de zapatos a la

semana. Se trabaja de lunes a viernes. Si vendecada par de zapatos en promedio a $ 12 000,¿cuánto dinero recibe la empresa aproximadamenteen una semana por la venta de los 100 pares dezapatos?

8. Un vendedor de una automotriz vende 10 autos deun modelo en particular y del mismo año en$ 120 990 000, ¿cuánto costó cada auto?

9. Calcula la diferencia entre los totales de lacantidad de niños y niñas que posee conexión ainternet y los que no poseen conexión.

10. Calcula el total de niños y niñas que poseenconexión a internet de las últimas tres regiones

de la tabla.

11. ¿Cuál es la diferencia entre los niños y niñasque poseen conexión a internet y los que noposeen conexión a internet en la región de laAraucanía?

Fuente: www.ine.cl

Niños y niñas con conexión a Internet en el hogar

Posee conexión a Internet

Región Sí No Total

Tarapacá 12 594 122 563 135 157

Antofagasta 20 191 136 451 156 642

Atacama 6 491 78 674 85 165

Coquimbo 12 311 179 386 191 697

Valparaíso 44 039 405 662 449 701

Libertador General Bernardo O´Higgins 15 022 231 975 246 997

Del Maule 12 551 272 584 285 135

Del Biobío 34 340 543 137 577 477

La Araucanía 13 420 260 718 274 138

Los Lagos 17 596 311 716 329 312

Aysén del General Carlos Ibáñez Del Campo 1 781 27 697 29 478Magallanes y de la Antártica chilena 6 802 35 275 42 077

Metropolitana de Santiago 275 781 1 526 481 1 802 262

Total 472 919 4 132 319 4 605 238

107CAPÍTULO 6



Repasa el vocabulario y los conceptosElige el mejor término del recuadro.

1. Las ________ se obtienen multiplicando o dividiendo (amplificando o simplificando)los términos por un mismo número.

2. __________ es una forma de comparar cantidades, en relación a una cantidad omagnitud, con respecto a un todo que es 100.

Repasa las destrezasEscribe razones equivalentes.


VOCABULARIO

razones equivalentes

porcentaje

3. 4. 5.

20

30

12

3

21

7

15

20

4

7

3

4

5

9

3

9

1

2

6. 7. 8.

9. 10. 11.

Escribe una razón para cada enunciado.

12. 36 niños en una fiesta es a 18 niñas. 13. 23 sillas es a 10 mesas.

14. 8 dulces es a 12 chicles. 15. 120 monedas de $ 5 es a 100 monedas de $ 10.

16. 40 minutos es a 15 minutos. 17. 12 botellas de bebida es a 15 botellas de jugo.

Repasa la resolución de problemas

18. Felipe y su mejor amigo fueron a almorzar a un restaurante. La cuenta salió $ 27 580. Si se dividieron lacuenta entre los dos por igual, ¿cuánto dinero pagó cada uno?

19. Sara compra 12 bolsas de dulces para repartir en su cumpleaños. Si cada bolsa cuesta $ 580, ¿cuántodinero gasta Sara en dulces?

20. Mi papá compra un equipo de música nuevo. Lo paga en cuotas de $ 15 590 cada una. Si paga 15cuotas del mismo valor, ¿cuánto pagó por el equipo de música?

21. Claudia tiene ahorrado $ 350 095 en su cuenta de ahorros, si depositó $ 13 467 más, ¿cuánto dinerotiene ahorrado hasta el momento?

108



Enriquecimiento • Plantear proporciones

Marcia y Laura están disfrutando de la kermese de la escuela. Marcia tiene

$ 5 000 para comprar 20 entradas. Laura quiere comprar 15 entradas.¿Cuánto debería gastar? Puedes plantear una proporción para resolver esteproblema.

InicioHaz una tabla que relacione el precio con la cantidad de entradas.

TIE MP O

DE F E S T I V AL

5. Samuel contó 36 latidos de su corazón en medio minuto. Explica cómo puedes saber lacantidad de veces que late el corazón de Samuel en 3 minutos.

PruébaloUsa el plantear una proporción para encontrar el valor desconocido.

1. David corre la pista 2 veces en 5 minutos. Si continúa a la misma velocidad, ¿cuántas veces correrála pista en 40 minutos?

2. Sofía compra 24 bolsas de maní tostado a $ 5 500. ¿Cuánto debería pagar por 8 bolsas de manítostado?

3. Para entrar a la “Casa del terror”, 6 estudiantes necesitan comprar 18 tickets. ¿Cuántos tickets de

esta atracción se comprarán si entran 48 estudiantes? 4. El stand de “Pesca milagrosa” cobra $ 500 por cada 10 minutos de juego. ¿Cuánto le costará al

señor López 40 minutos de juego?

De una maneraEl precio de 20 entradas es de $ 5 000.

Divide ambas columnas entre 4 para encontrar el precio de5 entradas. Multiplica ambas columnas por 3 paraencontrar el precio.

De otra maneraEl precio de 20 entradas es $ 5 000.Divide entre 2 para encontrar el precio de 10 entradas.Divide entre dos para encontrar el precio de 5 entradas.Suma las dos primeras líneas.

Entonces, Laura debería gastar $ 3 750 por 15 entradas.

Precio Entradas

$ 5 000 20

$ 2 500 10$ 3 750 15

Precio Entradas

$ 5 000 20

$ 2 500 10

$ 1 250 5

$ 3 750 15

109CAPÍTULO 6



110

1. Marcos ahorra 6

__ 16 de lo que gana por cortar

el pasto cada mes. ¿Cuál de las siguientesfracciones es equivalente a 6

__ 16 ?

A 1

__

4

B 1

__

3

C 3

__

8

D 8

__

3

2. En una fiesta de cumpleaños, el pastel

se corta en 12 porciones iguales. Se comencuatro porciones. ¿Qué fracción en su mínima

expresión representa lo que queda del pastel?

A 1

__

4 C 2

__

3

B 4

___

12 D 8

___

12

3. Un curso compró 24 helados para venderen los recreos. La mitad de los helados losvendieron durante el primer recreo, la tercera

parte de los helados que les quedaba losvendieron en el segundo recreo. ¿Cuántoshelados quedaron sin vender?

A 8 helados C 4 helados

B 12 helados D no quedaron helados

4. ¿Cuánto es + + como fracciónexpresada en su mínima expresión?

A C

B D

6. ¿Qué lista de fracciones está ordenada de mayor a menor?

A 3

__

5 ; 5

__

8 ; 7

___

15 ; 1

__

4

B 5

__

8 ; 3

__

5 ; 1

__

4 ; 7

___

15

C 7

___

15 ; 5

__

8 ; 3

__

5 ; 1

__

4

D 5

__

8 ; 3

__

5 ; 7

___

15 ; 1

__

4

7. 3

___

12 1

__

8

A 1

__

6 C 8

___

24

B 1

__

5 D 3

__

8

8. ¿Cuál de las siguientes fracciones está máscerca del 1?

A C

B D

9. Un panadero vendió hogazas de pan quepesaban 12

_

3 kg y 11

_

4 kg. ¿Cuánto pesabael pan en total?

A 13

__

4 kg C 211

___

12 kg

B 23

__

4 kg D 3 kg

10. ¿Cómo se escribe 3 enteros23 comofracción impropia?

A 11

___

3 C 15

___

5

B 10

___

5 D 6

___

9

Repaso/Prueba de la unidad

5. Al transformar en número decimal resulta:

A 6,26 C 0,0625

B 0,625 D 0,06025

5

8

2

5

1

2

12

87

45

56

5

8

61

16

61

24

61

40

61

80



111CAPÍTULO 6

15. En un sitio arqueológico, 5 _ 9 de los objetos

que se hallaron son herramientas y el restoson piezas de alfarería. ¿Qué fracción de losobjetos son piezas de alfarería?

16. La familia Fernández compró tres pizzaspequeñas. En el modelo de abajo se muestracuánta pizza sobró. Las partes que sobraronestán sombreadas. ¿Cuánta pizza comió lafamilia Fernández?

17. Si Jorge tiene tres fracciones condenominadores de 5, 10 y 6, ¿quédenominador podría usar Jorge para sumarlas fracciones?

18. Javier usa 6 tarros de pintura verde por cada 4tarros de pintura roja. Si compra 20 tarros de

pintura roja, ¿cuantos tarros de pintura verdetendrá que comprar?

Escribe una V si es verdadero o una F si es falsocada enunciado.

19. ______ Si dividimos 95,81 en 5, el resultadoobtenido es 19,162.

20. ______ El producto entre 2,56 por 2 es 51,2.

21. ______ Una razón equivalente a 2: 3 es 4: 6.

11. Francisco calculó la siguiente sustracción de

números mixtos: 814

– 523

.

¿Cuál es el resultado de la operación de

Francisco?

A 2 7

___

12 metros C 13 3

___

12 metros

B 3 metros D 1311

___

12 metros 12. ¿Cuál es el producto de 0,035 · 5?

A 0,0175 C 1,75

B 0,175 D 0,75

13. El producto de 2,26 · 6 es:

A 1 356

B 135,6

C 13,56

D 1,356

14. ¿Cuánto es 95,81 : 5?

A 19,182 C 19,072

B 18,162 D 19,162

22. Raúl registró la cantidad de kilómetros quecaminó diariamente durante 8 días: 2 km,

3 km, 4 km, 2 km, 3 km, 6 km, 3 km y 5 km.¿cuál es la distancia media que caminó esosdías? Explica cómo hallaste la respuesta.

23. Javier y Rodrigo están pintando una casa.

Javier pinta 2

5 de la casa y Rodrigo pinta

1

2 de lo que queda. Explica cómo hallar la

fracción de la casa que queda por pintar.

24. Tamara trabaja 7 1

2 de horas al día. Su

hermana trabaja 5 34

horas al día. ¿Cuánto

más trabaja Tamara que su hermana?



De aquí yde allá

Resoluciónde problemas

A L MA NAQ U E PARA ES TUD IANTES

uando los ciudadanos votan Presidente o Vicepresidentede Estados Unidos, en realidad están eligiendo a una serie

de electores que emitirán su voto para Presidente y Vicepresidenteen el Colegio electoral. Hoy, el candidato que obtiene más votosde los ciudadanos de un estado en particular suele obtener todoslos votos electorales de ese estado.

En la Antigua Grecia, la forma de gobierno era la democraciadirecta. Esto significa que era el pueblo de Grecia el que hacía lasleyes y velaba por su cumplimiento. La única manera de sancionaruna ley era por el consenso de la mayoría de las personas. Este tipode gobierno coloca todo el poder en manos de los ciudadanos.

Del 1 al 4, usa el mapa. Escribe todas lasfracciones en su mínima expresión.

➊ Para ser presidente, un candidato deberecibir la mayoría (más de la mitad) delos votos electorales. ¿Cuántos votoselectorales se requerían para ganar laelección de 2012? Escribe esta cantidad

como fracción.

➋ ¿Cuántos votos electorales tieneCalifornia? Escribe esta cantidad como

fracción.

➌ Escribe una fracción de adición de fracciones cuyo resultado sea mayor o igual a los votos del estado de California.

➍ Plantea un problema Escribe un problema similar alProblema 2, pero emplea otro estado.

AK

3

HI4

WA11

MT3

ND3

SD3

NE5

KS6

OK 7

LA9

AR6

MS6

AL9

GA15

SC8

NC 15

FL27

KY 8

TN 11

MO11

IA7

MN10 WI

10

IL21

IN11

OH20

WV

5 VA

13

MI17

NY31

PA21

ID4 WY

3

CO9

UT5

OR7

CA55

NV5

ME4

NH4

MA 12

CT 7

RI 4

NJ 15

DE 3

MD 10

DC 3

VT3

AZ10

NM5

TX34

DE AQUÍ Y DE ALLÁ

C

Número de electores en el Colegio electoralpor estado al año 2012—total 538.

Contar votos

112



¿Chile debería dejar de acuñar monedas de $ 1?

Sí No

A Las máquinas expendedoras no lasaceptan.

A Las monedas de $ 1 mantienen los preciosbajos. Sin ellas, los vendedores deberíansubir los precios de 5 en 5.

B Estas monedas están hechas de aluminio(98%) y de otros metales (2%). El preciodel aluminio ha aumentado y el costo deproducción de una moneda de $ 1 es másalto.

B Son parte de la Historia y rindenhomenaje al libertador BernardoO’Higgins quien ha estado en estamoneda desde el año 1975.

C Las monedas de $ 1 son muy incómodaspara transportar.

C Se pueden cambiar paquetes de monedasde $ 1 por dólares.

En Chile hay 60 distritos electorales paraelegir a 120 diputados

(2 por distrito) y 19 circunscripciones

electorales para elegir a 38 senadores(2 por circunscripción). Ambos componen,respectivamente, las cámaras de

diputados y senadores.

odo ciudadano estadounidense que tenga 18años o más tiene derecho a votar en las elecciones

nacionales, estatales o locales. Las personas votan paraelegir a los líderes de sus ciudades, condados, estadosy país. También votan para decidir acerca de temas localesde importancia, por ejemplo, si debería construirse una nueva escuela.

En Chile, un diputado presentó un proyecto de ley para que la moneda de $1 saliera decirculación. ¿Cómo votarías en este tema que afectaría a cada ciudadano del país? En la tablade abajo, se ofrecen algunos argumentos para iniciar el debate sobre las monedas de $1.

T

¿CÓMO VOTARÍAS?

Haz una encuesta a 30 personas. Cada persona debe elegir Sí o No y dar una razón que justifique suelección. Si lo deseas, puedes agregar otras razones, pero debe haber igual cantidad de razones porcada opción.

u Escribe una fracción que represente la parte del total de encuestados que eligió opcionescomo Sí-Razón A o No-Razón B.

u Escribe una fracción que represente la parte del total de encuestados que eligió Sí y otra

que represente la que eligió No.u Escribe un problema que esté orientado a ordenar fracciones de mayor a menor.

113UNIDAD 1



114

Álgebra: Expresionesy ecuaciones



¿Qué conceptos matemáticos se muestran en las fotografias deMatemática en Contexto?

REPASO DEL VOCABULARIO Aprendiste las siguientespalabras cuando estudiaste acerca de las expresiones ylas ecuaciones. ¿Cómo se relacionan estas palabras conMatemática en Contexto?

ecuación es una igualdad matemática entre dos expresionesalgebraicas denominadas miembros, en los que aparecen

valores conocidos o datos, y por lo menos un valor desconocidoo incógnita. Ejemplo: 2 + x = 6.

expresión algebraica es un conjunto de números y letrasrelacionados a partir de operaciones aritméticas comoadiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, potencias.

expresión numérica es una frase matemática o la parte de unenunciado matemático que combina números y operacionesaritméticas.

Copia y completa el diagrama de clasificación de datos. Luego,con lo que sabes acerca de expresiones y ecuaciones describesemejanzas y diferencias entre ellas .

p Las cantidades de plantas cultivadas en

los invernaderos se tienen en cuenta

para calcular si cubren las necesidades

de la producción agrícola.

p La producción masiva de tomates

considera las cantidades que se destinan

a la industria conservera y las que se

destinan al consumo natural del producto.

p Debido a que cada vez más tiendas

venden productos orgánicos, más

huertas usarán este sistema de cultivo

de alimentos más puros.

Expresiones y ecuaciones

Escribe 5 ejemplos de cada una.

15 = 2a + 54 = 2y + 17b = 21

2x + 53 · 918y

Expresiones Ecuaciones


115UNIDAD 2



Dimensiones del producto armado y embaladoImagina que compras una mesa deping-pong para poner en tu patio.

En la tienda te entregan un folletocon las dimensiones del productoarmado y embalado. Con lainformación de la tabla, escribe unaexpresión que te permita calcular lamedida del perímetro de la mesa deping-pong cuando esté armada.

Dimensiones de lamesa de ping-pong

armada

Dimensiones de lamesa de ping-pong

embalada

Longitud 274 cm 158 cm

Ancho 152 cm 143 cm

Alto 76 cm 12 m

Expresiones algebraicasLa idea importante Las propiedades y los conceptos del álgebra se pueden usar

para calcular el valor de expresiones.

116

En Chile el tenis de mesa, también conocidopopularmente como ping-pong o pimpón esun deporte muy popular en los colegios.Existe una Federación Chilena de Tenis deMesa (FCHTM) con un circuito decompetencias a nivel nacional.El ping-pong es un deporte olímpico desdeSeúl 1988, y el deporte con mayor número

de practicantes, con 40 millones de jugadores compitiendo en todo el mundo.En la imagen, Partido tenis de mesa doblesdamas sub 14 de los Juegos DeportivosEscolares 2013. Arica, 24 de octubre de 2013.

DATO BREVE




PatronesCompleta cada ejercicio con el valor que falta según la regla de formación de la secuencia.

1. 2, 5, 7, x , 11, 13 2. 3, 6, 9, 12, 15, x 3. 9, 23 ,37, x , 65, 79 4. 8, 19, x , 41, 52, 63

5. 4, 11, 8, 15, 12, x 6. 7, 16, 15, 24, x , 32 7. 5, 3, 6, x , 7, 5 8. 6, x , 7, 15, 8, 16

9. 2,5; 5; x ; 10; 12,5; 15 10. 2; 3,5; 5; x ; 8; 9,5 11. 1,75; x ; 5,25; 7; 8,75; 10,5 12. x ; 1,3 ; 2,6; 3,9; 5,2; 6,5

Usar paréntesis

13. (3 6) · 6 14. 3 · (5 7) 3 15. 8 (9 3) 3

16. 4 · (3 7) 17. 4 · (8 5) 18. (2 6) · (2 9)

19. (2 6) · 3 20. (16 : 8) (72 : 9) 21. 34 (12 5) 12

Resolución de problemas

22. Esteban trabaja en una feria artesanal haciendo collares con mostacillas. Para un solo collar ocupael siguiente patrón: 3 mostacillas rojas, 4 mostacillas amarillas y 3 mostacillas verdes. Si repite elpatrón 7 veces, ¿cuántas mostacillas de cada color ocupará en el collar?

23. Ana vende trozos de queque a $200 cada uno. Si cada día vende 8 trozos. En un mes, ¿cuántodinero tendrá?


expresión algebraicasistema operativo algebraicotérminos semejantesexpresión numérica

prevalencia de las operacionestérminos

PREPARACIÓN

expresión algebraica es un conjunto de números y letras relacionadosa partir de operaciones aritméticas como adiciones, sustracciones,multiplicaciones, divisiones, potencias.

expresión numérica es una frase matemática o la parte de un

enunciado matemático que combina números y operacionesaritméticas.

prevalencia de las operaciones primero se resuelven las operacionesque están entre paréntesis, se despejan los exponentes, se resuelvenlas multiplicaciones y divisiones y, por último, se resuelven todas lasadiciones y sustracciones.

sistema operativo algebraico el sistema que usan las calculadoras paraseguir el orden de las operaciones al calcular el valor de expresionesde izquierda a derecha.

117CAPÍTULO 7



Repaso rápido

Aprende

La multiplicaciónque usa unavariable puederepresentarse devarias maneras.

8 m 8 · m 8(m) 8m

R ecue r d a

118

Escribir expresiones algebraicasOBJETIVO: escribir una expresión algebraica para una situación dada. Escribe una expresión

numérica.

1. siete más cinco2. dieciocho menos dieciséis3.

cuarenta y dos por seis4. veinticuatro dividido entre 65. seis menos que el producto

de siete por ocho

Vocabularioexpresión algebraica

PROBLEMA El plan del teléfono celular de Irene permite enviar 200 mensajesde texto por mes a una tarifa fija de $ 4 990, y le cobran $ 50 por cadamensaje de texto después de los 200. Escribe una expresión algebraica parala cantidad que deberá pagar Irene por los mensajes de texto mensualmente.

Una expresión algebraica es una expresión que incluye uno o más valoresdesconocidos llamados variables o incógnitas.

Ejemplo 1 Escribe una expresión algebraica.

Escribe una expresión con palabras para representar el abono mensual por losmensajes de texto. Usa m para representar el número de mensajes de texto quepasen el límite.

$ 4 990 por el mes más $ 50 por cada uno de los m mensajes de texto que pasen los 200

4 990 50 · m

Entonces, 4 990 50m representa el costo mensual de los mensajes de texto de Irene.

expresión con palabras: expresión algebraica:

$ 90 por minuto para llamadas locales 90a

$ 120 por minuto para llamadas de larga distancia 120b

Entonces, una expresión algebraica que representa el costo total es 90a 120b.

Ejemplo 3 Escribe una expresión algebraica para cada expresión con palabras.

treinta más que el producto de cuatro por algún número, x 4 x 30

cuatro veces la cantidad de x 30 4( x 30)

algún número, w , dividido entre 5 veces otro número, t w

__

5t

A veces necesitas dos o más variables para escribir una expresión algebraica.

Ejemplo 2 Escribe una expresión algebraica usando dos variables.Una compañía de teléfonos celulares cobra $ 90 por minuto para las llamadaslocales y $120 por minuto para las llamadas de larga distancia. Escribe una expresiónalgebraica que indique el costo total, donde a representa los minutos de llamadaslocales y b representa los minutos de llamadas de larga distancia.

L E C C

I Ó N

expresión lgebr ic




119CAPÍTULO 7

Ejemplo 4 Escribe una expresión algebraica usando tres variables.Una compañía de teléfonos celulares está ofreciendo una promociónespecial. Durante el primer mes, se paga la mitad del servicio mensualbásico más los costos de los mensajes de texto y los costos de las llamadastelefónicas. Escribe una expresión algebraica para el costo total.

Elige tus variables. Haz que s represente la tarifa delservicio mensual básico, que m represente el costo delos mensajes de texto y que l represente el costo de lasllamadas telefónicas.

Escribe números y signos para las partes de la expresióncon palabras.

mitad del servicio mensual básico: 1 __

2 s

costo de los mensajes de texto: m

costo de las llamadas telefónicas: l

1. Usa un signo de multiplicación y escribe unaexpresión algebraica de x multiplicado por 7.

2. Usa un signo de suma y escribe una expresiónalgebraica para m aumentado en 14.

Escribe una expresión algebraica para la expresión con palabras.

3. g dividido entre 2,39

4. 2 menos que 4 multiplicado por d

5. 17 más que x

6. la mitad de un número más el número al cuadrado

7. Explica cómo puedes escribir una expresión algebraica para lo siguiente:Si compras 3 camisas de c pesos cada una, entonces te descuentan $ 500 del precio total.

Puedes usar las propiedades algebraicas para escribir expresiones algebraicasequivalentes.

Entonces, el costo total puede representarse mediante 1

_

2 s m l .

• Escribe una expresión algebraica para el costo mensual total si latarifa básica mensual del servicio se duplica en vez de reducirse a lamitad.






120

Escribe una expresión algebraica para la expresión con palabras.

8. un número aumentadoen 32

9. 31

_ 2 disminuido en un

número 10. el producto de un

número y 36 11. longitud por ancho

por altura

12. un número disminuido

en 45

13. 24 menos que dos

tercios de un número

14. un número que luego

se divide entre 8

15. un número aumentado

en 5

16. Un número aumentado en eldoble de 8.

17. 24 disminuido en la terceraparte de un número.

18. La mitad de la suma de unnúmero y 5.

Escribe una expresión con palabras para cada expresión algebraica.

19. n 14 20. 36 : 2 n 21. n 2 __

5 n2 22. 3( n 1) : 4

Resuelve.

23. Una compañía de teléfonos celulares cobra $ 10 por el uso de cada kilobyte de datos adicional y $ 50 por cada mensaje de texto adicional.Escribe una expresión algebraica que indique el costo adicional total,donde k represente el número de kilobyte adicionales y m represente elnúmero de mensajes de texto adicionales.

24. En la boleta de su primer mes, los nuevos clientes pagan un cuarto de latarifa básica del servicio, la mitad de la tarifa por mensajes de texto y se lesdescuenta un adicional de $ 1 000 de toda la boleta. Escribe una expresiónalgebraica para el costo total del primer mes, si s representa el total de laboleta sin los descuentos. ( s = a lo que se debe pagar el primer mes).

25. Plantea un problema Vuelve a leer el problema 24. Escribe un problemasimilar en el que los clientes nuevos obtienen un descuento menor en elcosto los mensajes de texto. Elige tu propio porcentaje de descuento.

26. Marisol se compra un nuevo teléfono celular a $ 19 990y se anota en un plan que le costará $ 29 990 por mes. Explica cómose puede escribir una expresión para el costo total del teléfono y el planmensual para determinado número de meses.

27. ¿Cuál es la media de los siguientes precios:$ 35, $ 23, $ 40, $ 28 y $ 37?

28. Las notas que obtuvo Joaquín en matemáticasson: 4,8; 5,2; 5,7; 6,0; 4,5.

Encuentra el promedio. Si para obtener unabeca es necesario tener promedio 5,5, ¿obtuvoJoaquín la beca? Explica.

29. Un camping cuesta $ 15 000, más un cargoadicional de $ 2 500 por cada acampante, a.¿Cuál expresión algebraica representa el costototal?A 15 a C 15a

B 15 2 500 a D 15 000 2 500a



Palabras y frases claves Operación

sumado a, combinado, aumentado en, másque, agregado a, junto con, total de

adición(+)

disminuido en, diferencia entre/de, menosque, menos, menor que, cuántos más que,cuántos menos que, quedan

sustracción(−)

por, producto de, multiplicado por, veces multiplicación (·)

por cada, de, por ciento (divide entre 100),cociente de, razón de, compartido por,

separado entre, dividido entre

división (:)

121CAPÍTULO 7

La matemática es una ciencia formal que utiliza unlenguaje que involucra dígitos, símbolos y palabras.El álgebra, entre otras cosas, nos permite traducirlas palabras de un lenguaje cotidiano a un lenguajematemático. Para esto se requiere comprender laspalabras y frases clave, saber qué representa cadavariable y cómo seguir el orden de las operacionespara evaluar las expresiones.

El profesor Araya pidió a sus estudiantesque escribieran una pregunta que pudierarepresentarse mediante la expresión algebraica3 550 n + 6

Escribir problemas

Paso1 El problema puede tratar de la compra de artículos con un valor de $ 3 500 cada uno

y después, de otro artículo con un valor de $ 2 000.

Paso 2 Piensa en una situación en la que estén involucrados estos datos.

Paso 3 Escribe un problema basado en la situación: “Marcia, su hermanito y algunos amigos

van al cine. Las entradas cuestan $ 3 500 cada una para Marcia y sus amigos, y la de su

hermanito cuesta $ 2 000. Escribe una expresión para el costo total de la salida al cine.

Resolución de problemas Escribe un posible

problema para cada una de las siguientes

expresiones algebraicas.

1. 12( x 4 y ) 2. 12 x 4 y 3. x (29,5 5) 12,5 4. x y

_____

3



123CAPÍTULO 7

Expresiones con variablesPara evaluar una expresión algebraica con una variable, reemplaza la variable por un número.Luego sigue el orden de las operaciones para hallar el valor de la expresión.

Ejemplo 2 Calcula (18 1 n) • 6 2 4 si n 5 12.

(18

n) •

6

4 Reemplaza n por 12.(18 12) • 6 4 Haz las operaciones entre paréntesis.

30 • 6 4 Multiplica.

180 4 Realiza la sustracción.

176

Más ejemplos

Calcula 7 • (n 2 3,2) si n 5 6.

7 • (n 3.2) 7 • (6 3.2)

7 • 2.8 19.6

Calcula 3c 1 5 si c 5 1

_

3 .

3c 5

(3 • 1 __

3

) 5

1 5 6

Calcula 12 2 (6 1 c ) si c 5 21

_

2 .

12 (6 c )

12 (6 21 __

2 )

12 81 __

2

31

_

2

Calcula x

_

5

1 12 3 2 si x 5 20.

x

__ 5 12 2

20

___ 5 12 2

4 24 28

• Halla el valor de la expresión en el Ejemplo D si x 10.

1. Di qué operación debes realizar en primer,segundo y tercer lugar para evaluar laexpresión.

Calcula cada expresión.

2. 30 : (8 7) 3. 32 (7 • 3) 4. 20 • 4 2 5. (6 : 3) • 4 8

Evalúa las expresiones algebraicas para el valor dado de la variable.

6. n 23

__ 8 3 7. 9 ( n 2) 8. ( n • 6,2) 12 9. 8 • (28 : n)

si n 5

__ 8 si n 3 si n 4 si n 4

10. Explica cómo evaluar la expresión 9 m (50 : m) si m 10.

49 45 • 5 • 3




124

Calcula cada expresión.

11. 27 (12 9) 12. 41 (42 : 14) 13. 13 • 3 7 14. (56 : 4) 9

Evalúa las expresiones algebraicas para el valor dado de la variable.

15. 4 ( n 3) 16. 17 d 5 17. 2c 4 18. 8 24

___

n

si n 6 si d 3 si c 4.8 si n 3

1 9. 3 k 1 20. 7 5d 21. 121

__ 4 n 3 22. 5t 2

si k 5 si d 1.2 si n 2 si t 4

23. 6 (q 43

__ 8 ) si q 10

7

__ 8 24. 15

1

__ 3 b 7 si b 5

1

__ 3 25. 3 h (2 0,3) si h 2.3

26. 5

( r

4,2) si r

12.6 27. 37

3,4 m si m

6 28. (3

1

__

2

n)

1

1

__

2 si n

7

Escribe una expresión algebraica usando una variable. Luego halla el valor.

29. Darius vio 5 mariposas monarca y algunasmariposas dama pintada. Luego, 3 de lasmariposas alzaron vuelo. ¿Cuántas mariposasquedaron si Darius vio 4 mariposasdama pintada?

30. La cámara de Josie puede tomar 36 fotografías.

Tomó algunas fotografías en la exhibición demariposas. Luego tomó 16 fotografías más enla sala de mamíferos africanos. Si Josie tomó13 fotografías en la exhibición de mariposas,¿cuántas fotografías le quedan por tomar?

31. Cynthia compró botellas de agua en el museo.Cada botella de agua cuesta $2.75. Cynthia tenía$10.00 al comenzar. ¿Cuánto dinero le quedó aCynthia si compró 3 botellas de agua?

32. Una clase de 24 estudiantes se

dividirá en grupos iguales en el museo. Cadagrupo tendrá dos guías. La cantidad total depersonas en cada grupo debe ser menosde 10. Explica si los estudiantes se deben dividiren 2, 3, o 4 grupos.

Escribe una expresión algebraica usando una variable Luego halla el valor




125CAPÍTULO 7


33. ¿Cuál es la mediana de estas velocidades demanejo: 55 mph, 65 mph, 75 mph, 60 mph,55 mph, 65 mph, 55 mph?

34. ¿Qué valor de

hace verdadero este enunciadonumérico?

33 24 6

35. La expresión 6 m muestra el costo del almuerzopara 6 personas. Si m $3.50, ¿cuál fue el costototal del almuerzo?A $2.50 C $18.50

B $9.50 D $21.00

36. Diez tarjetas están numeradas del 1 al 10. Lastarjetas se mezclan y luego se colocan en unabolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que Bill saqueuna tarjeta impar de la bolsa?

37. Si d 7, ¿cuál es el valor de 5d 2? A 35 C 39

B 37 D 41

ÁLGEBRA Una expresión puede contener más de una operación y más de unavariable. Para evaluar una expresión con más de una variable, reemplaza losvalores dados para cada variable en la expresión. Luego sigue el orden de lasoperaciones para evaluar.

Evalúa la expresión 4 x 1 y 2 6 si x 5 5 y si y 5 21

_ 2

.

4 x y 6(4 • 5) 21

__ 2 6 Reemplaza cada variable por su valor dado.

Luego haz las operaciones entre paréntesis.

20 21 __

2 6 Realiza la adición.

221 __

2 6 Realiza la sustracción.

161 __

2

Por lo tanto, el valor de la expresión es 161

_

2

.

Evalúa la expresión algebraica para los valores dados de las

variables.

1. v w 7 si v 3 y w 8.6

3. a 2 b 3 si a 14 y b 4

5. s t 9 si s 43

__ 5 y t 7

2

__ 5

2. r 2 • s si r 10 y s 4

4. 3 m n si m 9 y n 12

6. c 2d si c 15,4 y d 6



Ventas mensuales de tiras cómicas

Mes Mampato Barrabases En dosisdiarias

Ene 82 98 44

Feb 93 89 52Mar 102 90 47

Mampato 33 ejemplares más que los que vendió En dosis diarias

Barrabases 11 ejemplares más que los que vendió Mampato

En dosis diarias 54 ejemplares vendidos

Cucalón 43 ejemplares menos que los que vendió Barrabases

Tira cómica Comparación de ventas para junio


127CAPÍTULO 7

Aplicaciones mixtas

1. Pablo comienza el año con 24 ejemplares de lastiras cómicas de Mampato, 26 ejemplares deBarrabases y 38 ejemplares de En dosis diarias. Todoslos meses encarga 2 cajas de tiras cómicas de Mampato y de Barrabases y 1 caja de tiras cómicas de En dosis

diarias. En cada caja hay 48 ejemplares. ¿Cuántas tirascómicas tiene a fines de marzo?

USA LOS DATOS Del 4 al 6 usa la tabla.

4. Halla el número de ejemplares de latira cómica de Barrabases que se vendieronen junio.

5. Halla el número de ejemplares de la

tira cómica de Cucalón que se vendieronen junio. Explica la secuencia de pasosque seguiste.

6. Razonamiento Ordena la cantidad de ejemplares que sevendieron en junio de cada revista, de menor a mayor.

2. ¿Qué pasaría si hubiera 52 ejemplares en

cada caja que encargó? ¿Cuántos ejemplares deEn dosis diarias tendría a fines de marzo?

3. ¿Qué revista de tiras cómicas tiene el mayor

promedio de ventas mensuales? ¿Cuál es esepromedio redondeado al número natural máspróximo?

7. Cuarenta y dos estudiantes del sexto básico sesuscriben a la revista Mundo de Sexto Básico. Larevista se vende a $ 2 950. Estima la cantidad totalde dinero que se gastó en la revista durante 5meses.

9. Si este año, las tiras cómicasalcanzaran alrededor de $ 450 millones en ventasy el costo promedio de una tira cómica fuese de$ 1 800. ¿Cuántas revistas se hubiesen vendido?

11. Plantea un problema Vuelve a leer elproblema 10. Escribe y resuelve un problemasimilar cambiando el número de tiras cómicas quetiene Sara.

8. La tienda de Pablo recibe 3 cajas de revistas detiras cómicas de Chistes para niños a comienzosde junio. Cada caja contiene 48 ejemplares. Afines de mes, le quedan 34 ejemplares. ¿Cuántosejemplares se vendieron en junio? ¿La información

es suficiente o insuficiente para resolver elproblema?

10. Antonio tiene el doble de tiras cómicas que José.José tiene tres tiras cómicas más que Sara. Saratiene 12 tiras cómicas. ¿Cuántas tiras cómicastiene Antonio?

12. Explica cómo ordenar ensecuencia y priorizar la información te ayudaa resolver algunos problemas.

Primero, determina cuántos ejemplares de cadatira cómica compró en los últimos tres meses.

Luego, suma el número de cada tira cómica compradaal número con el que empezó al comenzar el año.

Por último, resta las ventas de los tres meses deltotal de números con los que empezó y que compró.

DATO BREVE



Ejemplo 1

Ejemplo 2 Descubrir una posible regla de formación para la secuencia gráfica,sabiendo que 3 corresponde al total de segmentos de la figura.

Martina escribe en lenguaje matemático x + 5, siendo x el valor del resultado dela suma anterior.

1 + 5 = 6

6 + 5 = 11

11 + 5 = 16 … y forma la secuencia

Registra los datos en la tabla siguienteEscribe en lenguaje matemáticola regla descubierta.

Una posible expresión es 2n + 1,donde n es un número natural.

6, 11, 16, 21, …

paso 1

3 3 + 2 3 + 4 3 + 6 3 + 2n n = 0, 1, 2,

paso 2 paso 3 paso 4


1. Desarrolla una secuencia con la regla “siete menos”.

2. Desarrolla la secuencia si la regla es 3 n + 4. Registra los datos en una tabla.

3. Escribe la secuencia del enunciado “el número y siete más”.

Práctica adicional en la página 130, Grupo C128

Propiedad 1 2 3 4 5 6 7

cantidad desegmentos

3 5 7

Aprende

Tablas y patronesOBJETIVO: comprender la relación entre los valores de una tabla y

aplicarla en la resolución de problemas sencillos.

Repaso rápidoEncontrar el valor de:

1. 3 · 1 + 4 =2. 3 · 2 + 4 =3. 3 · 3 + 4 =4.

3·

4 + 4 =PROBLEMA Martina necesita escribir el enunciado “Un número aumentadoen 5” en lenguaje matemático y luego registrar la secuencia.

L E C C

I Ó N



4. En la siguiente tabla, descubre la posible regla de formación de la secuencia.

5. ¿Cuántos kg de arroz recaudarán en la semana 9 si la recolección sigue latendencia mostrada en la tabla?

6. Completa la tabla para la semana 12 y para la semana 18.

7. Expresa una regla de formación en un lenguaje matemático.

8. Calcula la cantidad recaudada en la semana 15 usando la expresiónmatemática encontrada.



Si se mantiene la regla de formación descubierta, determina cuál es elvalor de salida de 27 y 59.

Con los datos del problema responde los ejercicios del 5 al 8.

En el sexto básico deciden juntar arroz para la campaña de solidaridad enbeneficio de un hogar de niños. Las cantidades que se recibieron son:

129CAPÍTULO 7

Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 Semana 5

15 kg 30 kg 45 kg 60 kg 75 kg

Entrada 3 6 9 12

Salida 15 30 45 60

Entrada 4 7 9 18

Salida 12 27 45

Entrada 10 11 13 35 47

Salida 1 2 4 8 11

Entrada 3 5 10 15

Salida 6 20

12. Calcula el valor de +

13. ¿Qué propiedad representa la expresión3 · 5 · 7 = 5 · 7 · 3?

14. En la prueba, Rosario se equivocó en25 preguntas de 100, ¿qué porcentajede respuestas correctas tuvo Rosario?

15. Escribe una expresión matemática posible querepresente la relación de los números de la tabla.

3

4

2

3

11. Javiera tenía una pareja de hámster y al cabo de 3 meses tiene 4 hámster, alos 6 meses tiene 8 hámsters, a los 9 meses tiene 16 hámsters.

¿Cuántos hámsters tendrá al cabo de dos años si la tendencia se mantiene?

10. Dada la tabla, determina si la regla se mantiene igual para los cuatro números.

9. Dada la tabla, determina si la regla se mantiene igual para los cuatro números.



130

Grupo A Traduce a lenguaje matemático las siguientes expresiones dadas con palabras.

Práctica adicional

1. 6 • (8 – 3)

2. 8 – (5 + 1) 3. 12 • 6 : 6

4. 63 : (5 + 4)

5. 8 • 15 : 5

6. 48 – (4 + 5) • 4 7. 100 – 7 • 6

8. 49 + 12 : (4 + 2)

9. 35 : 7 + 5 • 3

10. 18 : (6 – 4) + 5 11. 23 + (12 • 6) – 2

12. 13 + 5 – 3 • 6

13. g – 7 si g = 9

14. h + 4,5 si h = 1

15. 7 – ( b + 4) si b = 0

16. 20,5 – p si p = 10

17. 4 s + 2 si s = 8

18. 2 +18c

si c = 3

19. 2 • r – 4 si r = 512

20. 8 : (1 + w ) si w = 3

21. 9 : ( y • 3) si y = 1

22. 9 + e + 16 si e = 4

23. 5 – (t + 2) si t = 3

24. 9 – 2d si d = 3

1. un número aumentado en 12.

2. el producto de un número y 15.

3. 17 menos que la mitad de un número.

4. el cuadrado de algún número que luego se dividaentre 6.

5. Los nuevos usuarios de Internet pagan un terciode la tarifa mensual básica por el primer mes deservicio. Escribe una expresión algebraica querepresente el costo del primer mes.

6. Los clientes pagan la mitad del costo de unteléfono nuevo más un cuarto de la tarifa mensualbásica durante el primer mes. Escribe unaexpresión algebraica que represente el costo deun teléfono nuevo y el servicio del primer mes.

7. 5 • (2a + 5 b) =

8. 8 • (5x + 4y) =

9. 9 • (3z – 4w) =

10. 6 • (3c – 7d) =

Grupo B Calcula cada expresión.

Grupo C ¿Cuál es una regla posible para los datos de la tabla?

Evalúa la expresión algebraica para el valor dado de la variable.

Escribe una expresión con palabras para cada expresión algebraica.

Encuentra la secuencia si el término que la describe es 3 x – 2.

Entrada 2 4 6 10 15

Salida 15 29 43 71 105



131CAPÍTULO 7

Explorar la expresión


Materiales• dado• flecha giratoria de 3 secciones,

marcadas del 1 al 3• cronómetro o reloj• 2 monedas diferentes• 30 tarjetas de expresión (por ejemplo: g + 17; m − 9; 3 x − 8; 3t + 1)

Mezcla las tarjetas de expresión y apílalas boca

abajo. Cada jugador elige una moneda y la coloca enla SALIDA. Decidan quién saldrá primero.

El primer jugador saca una tarjeta de expresiónde la pila y lanza el dado.

Luego el jugador calcula el valor la expresiónen la tarjeta de expresión reemplazandola variable por el número del dado. El otro jugador comprueba la respuesta.

Si la respuesta es correcta, el jugador hace

girar la flecha giratoria, avanza el número deespacios que sale y saca otra tarjeta.

Si la respuesta es incorrecta, o después de queun jugador obtenga 3 respuestas correctas enun turno, le toca el turno al otro jugador.

El juego continúa hasta que un jugadoralcanza la LLEGADA. El primer jugador quellegue o pase la LLEGADA es el ganador.

Cómo jugar

SALIDA

LLEGADA

1

2

3

4

5 6

7

8

9

1011

12

13

14 1516

17

18



132

Repasa el vocabulario y los conceptosElige el mejor término del recuadro.

1. La expresión matemática que combina signos, números y letras, siendo ellasincógnitas o constantes, se conoce como ____________________ .

2. La expresión matemática 3 · 4 corresponde a una __________ .

Repasa las destrezas

Escribe verdadero o falso para cada enunciado. Explica tu respuesta.


VOCABULARIO

expresión algebraica

expresión numérica

3. (16 4) 2 16 (4 2)

5. (16 · 1

__

2 ) · 1 __

4 16 · (1 __

2 · 1 __

4 )

4. 5 · 3 12 5 · 12 3

6. 2 (6 · 7) (2 6) · 7

Escribe una expresión algebraica para las expresiones dadas en lenguaje cotidiano.

7. 34 menos que 1

__

4 de y 8. un número 9. el producto de 10. h por j por k

disminuido en 26 un número y 12


11. El viaje de Karen durará 4 días y 3 noches. El viaje de ida y vueltacuesta $ 7 500 y el hotel cuesta $ 20 000 por noche. Si su presupuesto esde $ 132 500, ¿cuánto le quedará para gastar por día si gasta la mismacantidad todos los días?

12. El señor Sánchez tenía 12 cajas que contenían5 patinetas cada una. Vendió todas las patinetas, excepto 7.¿Cuántas patinetas vendió?

Explica los pasos que seguiste para resolver el problema.



133CAPÍTULO 7

Expresiones y naturales consecutivos

Enriquecimiento · Escribir expresionespara hallar sumas

Dado cualquier natural n, puedes hacer una lista de naturalesconsecutivos usando las expresiones n, n 1, n 2, n 3, etc. Porejemplo, si n es igual a 17, entonces las expresiones darán comoresultado los naturales 17, 18, 19, 20, etc.

Del mismo modo, puedes hacer una lista de naturales impares o paresconsecutivos usando las expresiones n, n 2, n 4, n 6, etc. Si n esimpar, entonces la lista contendrá enteros impares. Si n es par, entoncesla lista contendrá naturales pares. Por ejemplo, si n es igual a 34,entonces las expresiones darán como resultado los naturales 34, 36, 38,40, etc.

PruébaloHalla los naturales dados para la adición dada.

1. 3 naturales consecutivos cuya suma sea 12

3. 3 naturales impares consecutivos cuya suma sea 27

5. 4 naturales impares consecutivos cuya suma sea 16

2. 3 naturales consecutivos cuya suma sea 15

4. 3 naturales pares consecutivos cuya suma sea 48

6. 4 naturales pares consecutivos cuya suma sea 28

Explica cómo, al usar expresiones de resta para hallar números naturales consecutivos,obtendrías números distintos a los que obtendrías usando expresiones de suma.

n 17

n 1 17 1 18

n 2 17 2 19

n 3 17 3 20

n 34

n 2 34 2 36

n 4 34 4 38

n 6 34 6 40

Sea n = el primer natural, n + 2 = el segundo natural y n + 4 = el tercernatural.

n + (n + 2) + (n + 4) Escribe una expresión que represente la suma

de 3 naturales pares consecutivos.

n + n + 2 + n + 4 Quita los paréntesis.

3n + 6 Simplifica combinando términos semejantes.

Usa la estrategia predecir y probar para elegir valores para n demodo que 3n + 6 = 24.

A continuación, evalúa n, n + 2 y n + 4 para n = 6 para hallarlos naturales pares consecutivos cuya suma sea 24.

n = 6 n + 2 = 6 + 2 = 8 n + 4 = 6 + 4 = 10

Comprueba: 6 + 8 + 10 = 24

n 3n 6 Resultado

4 3(4) 6 18 Muy bajo

8 3(8) 8 32 Muy alto

6 3(6) 6 24 Correcto

Entonces, tres números naturales pares consecutivos cuya suma es 24 son 6, 8 y 10.

Ejemplo Halla tres números pares consecutivos cuya suma sea igual a 24.




1. Todos los días, Tomás corre 1,5 km y nada1,8 km. ¿Qué número decimal está entre1,5 y 1,8?

A 2,1

B 1,9

C 1,81

D 1,75

2. ¿Cuál de las siguientes fracciones está más cercade 0?

A 2

___

3 C 1

___

10

B 4

___

9 D 3

___

5

3. ¿Cuál es el valor de n si n

__

12 5 _

3 ?

A 4 C 20

B 12 D 60

Eliminar opciones.

Observa el Ejercicio 2. Primero ordena lasopciones en una recta numérica.

Patrones y álgebra

6. La expresión “El doble de un número disminuidoen el triple de otro número es igual a 57”.

A 2 x – 3 y = 57

B 2 x –3 x = 57

C 2 x – y = 57

D 2 – 3 y = 57

7. ¿Cuál es el producto de (5

2)

(3·

6)? A 27

B 21

C 25

D 23

8. El valor de + es:

A

B

C

D

9. Jessica desea dividir 18 bolitas en partes igualesentre ella y 5 de sus amigas. ¿Cuántas bolitasle corresponden a cada persona?

A 6 C 12 B 3 D 24

10. ¿Cuál es el cociente de (3 6) y (2 _ 6 2

_ 3)?

A 48 C 7

B 7 D 9

5. Luisa mantuvo el récord de los100 m planos durante 3

_

4 del año. Eva lo mantuvo

por 1

__ 12 del año y Ana, por 1

_ 6 del año. Explica

cómo ordenar estas fracciones de menor a mayor.¿Quién mantuvo el récord por menos tiempo?¿Quién lo mantuvo por más tiempo?

4. Compré 2,5 metros de cinta azul, si quiero cortarlaen 5 trozos iguales ¿cuánto debe medir cadatrozo?

A 0,5 m C 1,5 m

B 0,10 m D 1,75 m

14

25

1320

1414

710

1410

134





11. ¿Cuál de las siguientes opciones describe mejor la figura?

A Ángulo agudo

B Líneas perpendiculares C Ángulo recto

D Líneas paralelas

12. Una pista de patinaje tiene un largo de 12,5metros y un ancho de 7. ¿Cuál es el área parapatinar de la pista si tiene un borde para dejarlos patines de 5 metros cuadrados?

A 87,5 m2

B 8,75 m2

C 82,5 m2

D 8,25 m2

13. ¿Qué rectángulo tiene un área de 20 unidadescuadradas?

A

B

C

D


Observa la información del gráfico y responde laspreguntas 15 y 16.

800

700

600

500

400

300

200

100

0

C a l o r í a s

Alimentos

pera galletas chocolate plátano aceite

Calorías por porción de200 gramos de alimentos

135CAPÍTULO 7

17. En la escuela de Lorena, hay 5 cursos de sextobásico.

Número de estudiantes de sexto básico por curso

Curso 1 2 3 4 5

Número 15 17 18 15 16

18. Un jugador de golf profesional registró lossiguientes puntajes durante un campeonatode cuatro días.

68, 70, 73, 69

¿Cuál es la media del grupo de datos?

A 73 C 70

B 71 D 68

¿Cuál es el promedio del grupo de datos?

A 15 C 17,2

B 16,2 D 18

14. Explica cómo se puede ubicar elpunto (2,5) en un gráfico de barra.

15. ¿Qué alimento tiene mayor cantidad de calorías?

A Chocolate C Galletas

B Plátano D Aceite

16. Identifica 2 alimentos que tengan menos de 100calorías.

A Pera y aceite C Galletas y plátano

B Plátano y pera D Aceite y chocolate



Informe de progreso: 2:30 p.m.

Ecuaciones con adicionesLa idea importante Las propiedades y los conceptos del álgebra se usan

para resolver ecuaciones con adiciones.

Disciplina Atletasque ya

compitieron

Número totalde atletas que

compiten

100 mplanos

45 87

Salto alto 6 32

Vallas 18 51

Saltolargo

98 107

Imagina que eres un coordinadoren una competencia de las

Olimpiadas Especiales. Acabas derecibir el informe de progreso.Elige dos de las disciplinas deabajo y muestra cómo podríasusar ecuaciones con adicionespara hallar el número de atletasque todavía no compitieron.

136

Los Juegos Paralímpicoscorresponden a unacompetencia olímpica oficial,iniciada en 1960, llevada a

cabo por atletas con distintostipos de discapacidad: física,sensorial y/o intelectual. Enlos Juegos Paralímpicos deLondres 2012, la delegaciónchilena obtuvo una medallade oro en la competencia de5 000 metros planos.

Fuente: http://www. juegoslondres2012.com

DATO BREVE




Escribir expresiones1. el total, t , aumentado en 25 2. la suma de k y 4,5

3. 9 más que 2

__

3 m 4. la suma de 15 s y 2,4

5. la suma de 5 g y 3,5 6. la suma de 1

__

2 j y 1

__

3 k

7. 1,5 más que 2 __

3 p 8. 8 más que 2a

9. 34 más que un número, n 10. el número de estudiantes, e, aumentado en 5

11. 17 aumentado en un número, p 12. el número x , sumado a 12

13. 15 más que un número, y 14. 234 sumado a un número m

Restar números decimales y fracciones

15. 2,3 1,1 16.2

__

3 1

__

2 17. 1 225 925

18. 12,45 10,23 19. 201

__

2 101

__

4 20. 14

__

5 1

___

10

21. 105

__

6 8 22. 10,2 8,3 23. 234,4 102,3

24. 18,75 2,6 25. 23

__

4 11

__

3 26.

9

___

10 2 __

3

27. 7

__

8 3 __

4 28. 9,5 7,9 29. 121

__

2 53

__

8


ecuación

propiedad de resta de la igualdadigualdad

PREPARACIÓN

ecuación Es una igualdad matemática entre dos expresiones

algebraicas denominadas miembros, en los que aparecen valoresconocidos o datos, y por lo menos un valor desconocido oincógnita. Ejemplo: 2 + x = 6.

propiedad de resta de la igualdad La propiedad que estableceque, si se resta el mismo número de ambos lados de unaecuación, los lados permanecen iguales.

igualdad Es un enunciado matemático que muestra unaequivalencia de dos cantidades o expresiones. Ejemplo: 2 + 4 = 6.

137CAPÍTULO 8



Aprende

Paso

Paso

Paso

Repaso rápido

138

Un taxi parte cobrando $ 350por viaje. Cada 100 metros derecorrido hace un recargo de$ 150 adicionales. Escribe una

ecuación que represente e costototal del viaje.

Vocabularioecuación

PROBLEMA Llenar el tanque de bencina de la camioneta del equipo defútbol cuesta $ 60 000. Si el litro de bencina cuesta $ 750, ¿cuántos litrosse necesitan para llenar el tanque?

Puedes escribir una ecuación para ayudarte a hallar el número de litros.Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresionesalgebraicas denominadas miembros, en los que aparecen valoresconocidos o datos, y por lo menos un valor desconocido o incógnita.Los siguientes son ejemplos de ecuaciones:

8 x 20 15 · y 45 a 3 14 d : 3 7

Ejemplo 1 Escribe una ecuación.Usa números, incógnitas y operaciones para convertir las palabras en ecuaciones.

Elige una variable. Sea g la incógnita que representa el número de litros de bencina

en el tanque.

Conoce la operación. Divide el costo total entre el costo por litro para hallar el

número de litros.

Escribe una ecuación. Convierte las palabras en una ecuación.

litros de bencina en

el tanque de bencina el costo de llenar el precio por de la camioneta es igual a el tanque dividido entre litro

g 60 000 : 750

Entonces, una ecuación es g 60 000 : 750.

Ejemplo 2 Escribe una ecuación para una expresión con palabras.

Escribe una ecuación para la siguiente expresión con palabras:La cantidad original de los ahorros de la cuenta de Jaime más los $ 219 000que depositó suman $ 876 540.

Elige una incógnita. Sea a la variable que representa la cantidad original de losahorros de Jaime en su cuenta.

la cantidad original más $ 219 000 depositados es en total $ 876 540

a 219 000 876 540

Entonces, una ecuación es a 219 000 876 540.

EcuacionesOBJETIVO: Escribir ecuaciones que representen situacionesproblemáticas.

L E C C

I Ó N




Rendimiento del combustible (km por litro)

Camioneta mini van 19 26

SUV 22 26

SUV híbrido 36 31

Camioneta 14 17

Sedán 20 28

El rendimiento del combustible

se mide en km por litro.

Carro kms por litro en ciudad kms por litro en carretera



139CAPÍTULO 8

Elige la ecuación correcta para la expresión con palabras.

1. 25 es 13 más que un número.

25 n 1313 n 25

2. 10 veces el número de globos es 120.

10 n 12010 n 120

Escribe una ecuación para la expresión con palabras.

3. 6 menos que un número es 122

__

3 . 4. El cociente de 20,7 y un número es 9.

5. Explica cómo se puede convertir una expresión con palabras en una ecuación.

Escribe una ecuación para la expresión con palabras.

6. Dos tercios de un número es 18. 7. 56 menos que g es 40.

8. 18,5 es 75 más que el doble de un número. 9. 3,67 menos que un número es igual a 46,33.

10. 8 veces un número es 62. 11. El cociente de un número y 3 es 16.

Escribe una expresión con palabras para cada ecuación.

12. x 21 6 13. 25 1 __

3 n 14. 15 g 135 15. w : 31

__

3 5 __

6 16. g 9 10


17. Escribe una ecuación que podrías usar para hallarcuántos kilómetros puede recorrer un vehículo SUVhíbrido en la ciudad con 20 litros de bencina.

18. Un Sedán recorrió 504 kilómetros por la carretera conel tanque de bencina lleno. Escribe una ecuación parahallar el número de litros que contiene el tanque.

19. ¿Cuál es el error? Antonio estáplanificando un viaje de 560 km. El primer día recorre313 km. Dice que la ecuación m 313 560 ayudaráa hallar el número de km que dejó atrás en su viaje.Describe su error.


20. ¿Cuál es mayor: 2

__

3 o 5

__

7 ?

21. Escribe esta expresión con palabras como unaexpresión algebraica: un número aumentadoen 6.

22. ¿Qué opción representa a la expresión conpalabras “12 menos que un número, n, es 17”?

A 12 n 17 C n 12 17

B n

___

12 17 D n 12 17



Repaso rápido

140

Dibuja una línea en tu hoja blanca pararepresentar la recta numérica.

Representar ecuaciones con adicionesOBJETIVO: representar ecuaciones resolviendo ecuaciones con adicionesde un paso.

Materiales ■ lápiz – hoja blanca

Puedes usar la metáfora de los saltos (asociada a la recta numérica) para resolverecuaciones de adición.

Resta.

1. 42 162. 12 93. 37 54. 14 125. 50 18

Sacar conclusiones 1. ¿Qué significa retroceder dos pasos en la parte C? ¿Con qué operación aritmética se

relaciona?

2. Síntesis. ¿Qué harías para representar y resolver la ecuación x + 9 = 12?

Por lo tanto, x = 3 y se cumple la igualdad. x + 2 = 5 3 + 2 = 5

5 = 5

Resuelve 2 x + 2 = 6 usando la metáfora de lossaltos (recta numérica).

Tienes dos saltos y agregas dos pasos y llegas a 6.

Retrocede dos saltos y llegas a 4, ahora te das cuenta que tienes 4 saltos para repartirentre dos. Sabes que dos saltos equivalen a cuatro pasos. Entonces, un salto es igual ados pasos. Por lo tanto, x = 2.

x representa un salto. x

Tienes la ecuación x + 2 = 5. Si damos un saltoy dos pasos más es lo mismo que dar cincopasos.

Para encontrar el valor de x , el valor del salto eneste caso, debes retroceder los dos pasos yadados.



Paso

Paso

Paso

Asegúrate de encerraren un círculo el mismonúmero de cuadradosde cada lado de laecuación.

141CAPÍTULO 8

Representa la ecuación.

Agrega dos cuadraditos rojosa cada lado de la igualdad.Un cuadrado rojo representa–1, por lo tanto, un cuadrado

blanco y un cuadrado rojo seanulan (1 + –1 = 0).

Encuentra el valor de x .

x = 3

Usa la recta numérica para resolver cada ecuación.

1. x 3 4 2. 5 x 2 3. 4 x 1 5

Resuelve cada ecuación haciendo un dibujo.

4. x

1

6 5. 8

x

2 6. x

6

6 7. x

9

11

8. x 1 5 9. 7 x 4 10. x 3 8 11. x 3 10

12. x 2 4 13. 6 x 4 14. 8 2 x 4 15. 4 x 3

16. 7 x 6 17. 9 2 x 3 18. x 4 5 19. x 3 7

20. Explica cómo representar con dibujos te ayuda a resolver ecuaciones de suma.

Puedes resolver ecuaciones de adición haciendo una representación con fichasrectangulares y cuadradas.

Un rectángulo representa la incógnita.

Resuelve x + 2 = 5.

esigual a

esigual a

esigual a



Aprende

Repaso rápido

142

Resolver ecuaciones con adiciónOBJETIVO: resolver ecuaciones con adición de un paso. 1. 14 6

2. 42 __

3 15

__

6

3. 7,75 5,254. 59 23,8

5. 61,2 18,5

Vocabulariobalanza

PROBLEMA Daniel tiene una caja con cierta cantidad de bolitas, más 24bolitas sueltas. Si el total de bolitas que tiene Daniel son 57, ¿cuántasbolitas tiene Daniel dentro de la caja?

Ejemplo 1 Resuelve y comprueba. 24 52. Usa la balanza.

24 52 Escribe la ecuación representada.

24 24 52 24 Resta a ambos lados de la ecuación 24.

0 28 Resuelve.

h 28

24 52 Comprueba tu solución.

28 24 52 Reemplaza h con 28.

52 52 ✓ Se comprueba la solución.

Entonces, tienes que bailar 28 h más.

A veces la incógnita estará en el lado derecho de la ecuación.

Ejemplo 2 Resuelve, usando la descomposición y la correspondencia 1 a 1entre los términos de la ecuación.

= las cantidad de bolitas queDaniel tiene dentro de la caja.

Observa la balanza

Propiedad de resta de laigualdad: si restas el mismonúmero de ambos lados deuna ecuación, los dos lados

permanecen iguales.

Idea matemática

7 = 7 7 – 3 = 7 – 3 4 = 4

=

Si tengo 1 bolsa de bolitas, ¿cuántas bolitas hay?La ecuación representada es 3x = 30.

3x = 30, x = 10

tres bolsas de bolitas equivale a 30 bolitas.

Ordenamos las bolitas y las bolsas y

hacemos la correspondencia uno a uno.

Entonces, una bolsa tiene 10 bolitas.

L E C C

I Ó N




Récords mundiales

Nombre

en 30 seg

Sara

de un palo saltarín

Susanchicle

más grande

Récord Cantidad

58,4 cm de ancho

1 899 saltosmás saltos

globo de

tomado

Diego más helado

264 g



143CAPÍTULO 8

USA LOS DATOS Del 15 al 17, usa la tabla de

la derecha. Escribe una ecuación y resuelve.

15. Imagina que con un palo saltarín saltas 1 600 vecesseguidas. ¿Cuántos saltos más necesitarías paraempatar el récord mundial?

16. Imagina que quieres empatar el récord mundial detomar helado. Si tomas 100 g en los primeros 10 segy 98 g en los siguientes 10 seg, ¿cuántos gramos másnecesitas tomar?

17. ¿Cuál es la pregunta? Un amigo tedice que hizo 3 series de quinientos saltos cada una.La respuesta es 399 saltos más.

Utilizando la balanza, resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones.

7. n 9 25 8. y 11 26 9. 161

__

2 x 4 10. 43

__

4 v 121

__

2

11. z 6,8 15 12. 18,7 k 32,2

Resuelve, usando la estrategia de descomposición y la correspondencia 1 a 1.

1. 4x + 1 = x + 7 2. 3x + 7 = 13 3. b 7 15

4. y 6,7 9,8 5. 30 = 4x + 2

6. Explica cómo dejas a una incógnita sola de un lado deuna ecuación de suma.

13. Razonamiento ¿Cuál de los valores numéricos1, 2 y 3 es la solución a la ecuación x 5 7?

14. ¿Qué valor de k hace que la ecuación k 5 9 sea verdadera?

18. DATO BREVE · El récord más alto de temperatura, de 57,7 C, se registró enEl Azizia, Libia, el 13 de septiembre de 1922. Son 22,7 C más que la temperaturarécord de Canadá. Escribe y resuelve una ecuación para hallar la temperaturarécord de Canadá (Organización Meteorológica Mundial (OMM)).

19. Javier compra galletas en $ 598. Si paga con$ 2 000, ¿cuánto recibe de vuelto? Escribe unaecuación y resuelve.

20. Escribe la expresión algebraica 7b en lenguajeverbal.

21. Francisco está comprando una bicicleta de$ 88 000 en dos pagos. El primer pago es de$ 42 000. ¿Qué ecuación puede usarse parahallar la cantidad del segundo pago, x ?

A. 42 000 x 88 000

B. x 88 000 42 000

C. x 88 000 42 000

D. 88 000 42 000 x




144

Estrategia: escribir una ecuaciónOBJETIVO: resolver problemas con la estrategia escribir una ecuación.

Aprende la estrategiaPuedes representar un problema escrito con lenguaje verbal en una expresiónmatemática, escribiéndola como una ecuación.

Una ecuación puede ayudarte a descubrir el valor de una incógnita

Una ecuación puede ayudarte a hallar un sumando.

Eric tiene por hobby, coleccionar monedas antiguas. El lunes fue a unaexhibición y compró 37 monedas antiguas. El martes fue a una tienda ycompró 29 monedas antiguas. ¿Cuántas monedas antiguas compró en total?

Siendo “b” la incógnita que representa el número total de monedas antiguas,suma para hallar el número total de monedas.

Julio tiene una colección de CD de diferentes estilos musicales. El viernes compró 13CD aumentando su colección. Al final del día viernes, contó nuevamente los CD yestos aumentaron a 123 CD. ¿Cuántos CD tenía su colección el día jueves?

• Siendo n la incógnita que representa el número de CD de la colección de Julio eldía jueves.

• Si la incógnita representa la cantidad de CD que tenía el día jueves a la que se leagregan los 13 CD que compró el día viernes

• Siendo la suma igual al total de 123 CD del día viernes.

¿Cuál sería el próximopaso para resolver laecuación en el segundoproblema de arriba?

L E C C

I Ó N



Destreza

de lectura

145CAPÍTULO 8

Usa la estrategiaPROBLEMA Claudio y Maite están jugando a las adivinanzas. Claudio formó unasecuencia numérica eligiendo dos números, 9 y 12. A partir de la suma de los dosnúmeros obtuvo el siguiente número, estableciendo el patrón de la secuencia.Abajo se muestra el comienzo de su patrón.

9, 12, 21, 33, 54, . . . Claudio comienza con 9 y 12.

9 12 A continuación, suma 9 y 12 para obtener 21, luego

12 21 suma12 y 21 para obtener 33 y 21 y 33 para obtener 54.

21 33

Claudio le dice a Maite que dos números próximos uno de otro enel patrón son 228 y 369. Maite debe hallar el número que vieneantes de 228. ¿Cómo puede hallar el número?

• Resume lo que se te pide que halles.

• ¿Qué información tienes?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema?

Escribe una ecuación para hallar el número que viene antes de 228.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema?

Elige una letra para representar la incógnita de un número que al sumarlo a 228 el resultado es 369.Luego, escribe una ecuación que represente la relación de la incógnita y los valores conocidos.

número antes de 228 más 228 es igual a 369

a 228 369

a 228 369 a 228 228 369 228 a 0 141 a 141

Entonces, el valor de la incógnita es 141.


• ¿De qué otros modos podrías resolver el problema?

Escribe una ecuación.

Usa la propiedad de resta de la igualdad.

Sea “a” la incógnita que representa al númerosumado a 228.



Promedio mensual de las temperaturas

de Santiago registradas en el año 2005

Mes Ene Feb Mar Abr

Máxima (°C) 30° 29° 28° 24°

Mínima (°C) 14° 13° 12° 8°

Sea n la incógnita que

representa el número

anterior a 521.

n 521 843

Fuente: Adaptada de: Dirección Meteorológica de Chile.

146


1. Paula forma un patrón numérico que comienza con 7 y 11. Suma 7 y 11 paraobtener el siguiente número, 18. Luego suma 11 y 18 para obtener el siguientenúmero, 29. Continúa el patrón así:

7, 11, 18, 29, 47, . . .

En el patrón, el número 843 le sigue a 521.Halla el número anterior a 521.

Primero, elige una incógnita que represente elnúmero anterior a 521.

Escribe una ecuación y resuelve.

4. Lucas forma el patrón numérico de la derecha usandoel mismo patrón que en el Ejercicio 1. Lucas amplía elpatrón. Halla el número anterior a 403.

5. Eliana gastó $ 575 en un sándwich y una bebida. Labebida costó $ 125. Halla el costo del sándwich.

6. Daniela tiene 5 años más que su hermana Marina.Marina tiene 11 años. ¿Cuántos años tiene Daniela?

Resolución de problemas · Práctica de estrategias

USA LOS DATOS Del 7 al 8, usa la tabla de temperaturas. Escribe una

ecuación y resuelve.

7. En enero, el promedio mensual de la temperaturamáxima de Santiago es 20 C más que el

promedio mensual más alto en Punta Arenas. ¿Cuáles el promedio mensual de la temperatura máximaen enero en Punta Arenas?

8. En febrero, el promedio de la temperatura mínima deSantiago es 7,5 C más que el promedio mensualmás bajo de Punta Arenas. ¿Cuál es el promedio mensualde la temperatura mínima en febrero en Punta Arenas?

9. Explica cómo usaste la estrategia escribir

una ecuación para resolver el ejercicio 6.

Luego, escribe una ecuación.

Por último, resuelve la ecuación para hallarel número anterior a 521.

2. ¿Qué pasaría si tuvieras que hallar el séptimo

número en el patrón del Ejercicio 1? El sexto númeroes 76 y el octavo número es 199. Escribe y resuelveuna ecuación para hallar el séptimo número.

3. Patricia gastó $ 1 440 por la compra de unabebida y unas galletas. Si las galletas costaban$ 570, ¿cuál era el precio de la bebida?



ESTRATEGIAde resoluciónde problemas

ESTRATEGIAS

Gastos involucrados en la ventade un CD de singles

Gasto Cantidad

Derechos del artista $ 800

Fabricación/Distribución $ 850

Gastos del sello $ 1 455

Ganancia del sello $ 850

Publicidad $ 1 200

Sindicato de músicos $ 85

Derechos del compositor $ 410

Gastos del vendedor $ 1 940

Ganancia del vendedor $ 410

147CAPÍTULO 8

Práctica de estrategias mixtas

10. Razonamiento Salomón tiene 13 CD. Suhermano, Leo, tiene 7 CD más que él. Lahermana mayor, Bárbara, tiene más CD quecualquiera de los dos. Juntos, los tres hermanostienen 58 CD. ¿Cuántos CD tiene Bárbara?

11. Carolina centró la mesa sobre la que tiene sureproductor de CD contra una pared que medía6 metros de ancho. La mesa medía 31

_ 2 metros

de ancho. ¿Qué tan lejos estaba el extremoizquierdo de la mesa del extremo izquierdo de lapared?


12. Razonamiento Una banda quiere donar unaparte de sus derechos para caridad. Podría donar$ 100 por cada CD vendido o todas sus gananciaspor los primeros 10 000 CD vendidos a $ 1 000.¿Cuántos CD necesitaría vender la banda paradonar la misma cantidad de ambos modos?

13. La agencia de publicidad A puede proveerpublicidad por un tercio del costo que semuestra en la tabla. La agencia de publicidad Bofrece $ 750 menos que el costo que muestrala tabla. ¿Qué agencia puede publicitar pormenos? ¿Cuánto menos?

14. Plantea un problema Escribe un problemausando al menos tres ítems de los datos delrecuadro.

15. Problema abierto Imagina que debesencargarte de la publicidad de los CD de singles,de los que se espera vender 800 000 copias.Halla cuánto dinero puedes gastar. Decide quéporcentajes gastarás en anuncios para televisión,radio, periódicos, revistas e Internet. Hallala cantidad que gastarás en cada uno de losmedios de comunicación.

ESFUÉRZATE

Una tienda de música vende CD de singles a la mitad de su precio original y

cajas de colección de CD a tres cuartos de su precio original.

16. Valeria compró un CD rebajado a $7 680 y doscolecciones rebajadas a $3 885 cada una.¿Cuánto ahorró en total con respecto a los preciosnormales?

17. En una semana, la tienda vendió 872 CD queoriginalmente costaban $2 490 cada uno y64 cajas de colección que originalmente costaban$6 990 cada una. ¿Cuánto dinero ganó la tiendadurante esa semana?

Hacer un diagrama

Hacer una representación ouna dramatización


Buscar un patrón

Hacer una tabla o gráfico

Predecir y probar


Resolver un problema mássencillo



Adaptado de http://www.ifpichile.cl



148

1. 4,3 menos que un número es igual a 25,2.

3. La mitad de un número es 34,4.

5. 145 es 45 más que cuatro veces un número.

7. 1

_

2 menos que un número es 43

_ 4 .

9. Marcos registró 8 cm3 de agua de lluvia caídadurante el mes pasado. Imagina que registra lamisma cantidad durante los próximos 4 meses.Escribe una ecuación que pueda usarse parahallar la cantidad total de agua de lluvia caídadurante los próximos 4 meses.

2. Tres cuartos de un número es 12.

4. k menos que 48 es 36.

6. 20,3 es 18 más que el doble de un número.

8. x más que 35 es 56.

10. Se vendieron todas las entradas para un conciertoa cuya primera función fueron 1 440 personas.Imagina que la segunda función del conciertosolo está llena hasta la mitad. Escribe unaecuación que pueda usarse para hallar el númerode personas que van a la segunda función delconcierto.

Escribe una expresión con palabras para cada ecuación.

11. a 21

__

2 5 12. y 54 72 13. z : 1

__

2 4 14. 76 23 p 15. 12c 4 100

16. 30 1 __

5 n 17. w 32 38 18. 3 n 10 19. 20 x 140 20. d : 3 9

21. x 3 21

__

2 22. 2 y 7 21 23. 7t 150,5 24. a 3

__

4 51

__

4 25. 2w 3 11

Grupo BResuelve y comprueba.

1. x 35

__

6 10 2. 45 11 n 3. 5 4 s 4. 12 h 2

5. 23 5 v 6. r 51

__

2 8 7. 21,5 d 11,3 8. 4 1

___

12 q 8

9. 31,7 q 7,4 10. 5 7

___

12 k 13 11. 55

__

8 p 13 12. v 113

__

4 231

__

2

13. b 12 44 14. 19 m 6 15. 41

__

3 3 2

__

3 p 16. 15 r 22

17. Roberto está comprando un maletín a $ 75 000. Si le dio al cajero $ 28 000, ¿cuánto más le queda por pagarpor el maletín? Escribe y resuelve una ecuación para hallar la cantidad que aún debe pagar.

18. Esta semana, el señor Salazar pasó 12 h en el gimnasio, 4

1

_

2

h más que la semana pasada. Escribe y resuelveuna ecuación para hallar el número de horas que pasó el señor Salazar en el gimnasio la semana pasada.

19. Para un experimento científico, Marta y Carolina registraron las temperaturas promedio durante dos sábados.El primer sábado la temperatura promedio fue de 13 ºC, 11 ºC más que la temperatura promedio del segundosábado. Escribe y resuelve una ecuación para hallar la temperatura promedio del segundo sábado.

Grupo A Traduce a lenguaje matemático las siguientes expresiones dadas con palabras.

Práctica adicional



¡Preparados!2 jugadores

¡Listos!• 2 monedas distintas• 30 tarjetas de

ecuaciones (como lasque se muestran en lailustración)

¡A empezar!

Mezcla las tarjetas de ecuaciones y colócalas enuna pila boca abajo.

Cada jugador selecciona una moneda y colocala moneda en la SALIDA. Decidan quiénempieza.

El primer jugador selecciona una tarjeta deecuaciones de la pila y resuelve la ecuación.El otro jugador comprueba la respuesta.

Si la solución es correcta, el jugador avanza elnúmero de espacios que indica la tarjeta. Luegole toca el turno al otro jugador.

Si la solución es incorrecta, le toca el turno alotro jugador.

El juego continúa hasta que la moneda de un jugador alcanza o pasa la LLEGADA. El primer jugador que alcanza o pasa la LLEGADA gana.

¿Podrás

resolverlo?Llegada

Salida

4 2 = s + 4 0

1 E s p a c i o

1 E s p a c i o

9 1 = r + 8 9

1 E s p a c i o

1 E s p a c i o

4,9 + t = 7,9

2 Espacios

2 Espacios

149CAPÍTULO 8



150


1. Una ______________ es una igualdad matemática entre dos expresionesalgebraicas denominadas miembros, en los que aparecen valores conocidos odatos, y por lo menos un valor desconocido o incógnita. Ejemplo: 2 + x = 6.

2. La ______________ establece que si restas el mismo númerode ambos lados de una ecuación, los dos ladospermanecen iguales.

Repasar las destrezas

Escribe una ecuación para el enunciado con palabras. 3. 34,9 es 14 más que tres veces un número. 4. La mitad de un número es 16.

5. 4,45 restado de un número es igual a 12,89. 6. k menos que 89 es 40.

Escribe un enunciado con palabras para cada ecuación.

7. 3 h 6 8. 12 x 8 9. 16 k 80 10. n 45 672

11. n : 41

__

4 1 12. 12 2 k 70 13. 5 g 12 96 14. a 21

__

8 3

Resuelve y comprueba.

15. 14 6 x 16. x 2 5 17. x 1 35 18. 58 x 23

19. x 8 12 20. 6 x 4 21. 10 x 5 22. x 7 7

23. 72 12 k 24. 10,2 x 2 25. 51

__

5 v 10 26. 5 n 22,2

27. x 5 1

___

12 20 28. 3,2 s 1,1 29. 16 w 5 30. 41,6 r 9,2


31. Cristóbal formó el patrón numérico 3, 8, 11, 19,30, ___, ___, 128, 207 sumando los dos númerosprevios para obtener el siguiente número. Hallael número que viene antes de 128 en el patrón.

32. Javier y Saúl coleccionaron un total de105 láminas de animales. Javier coleccionó41 láminas de animales. ¿Cuántas láminas deanimales coleccionó Saúl?

33. Explica cómo podrías usar la estrategia escribir una

ecuación para resolver el problema 32.

VOCABULARIO

ecuación

expresión

propiedad de resta de

la igualdad




significa

“es aproximadamente

igual a”.

Torneo de natación

ºF = gradosFahrenheitºC = grados Celsius

R e c uer d a

Enriquecimiento · Fahrenheit y Celsius

¡A nadar!

Convierte a grados Fahrenheit o a grados Celsius, según corresponda.Redondea al grado más cercano.

1. 30 °C °F 2. 85 °F °C 3. 0 °C °F 4. 113 °F °C

5. 48 °F °C 6. 10 °C °F 7. 100 °F °C 8. 90 °C °F

Explica cómo convertir 32 °F a grados Celsius.

El encargado del club de natación debe mantener la temperatura del agua de la

piscina por lo menos a 76 °F para que pueda realizarse la competencia. Cuando

llega el equipo, la temperatura es de 25 °C. ¿Está el agua de la piscina

suficientemente caliente?

Puedes usar la expresión 9 _ 5 · C + 32 para convertir los grados Celsius a

grados Fahrenheit. Luego compara las temperaturas en grados Fahrenheit.

¡A sumergirse!Evalúa 9

_

5 · C 32 si C 25

También puedes convertir 76 °F a °C y comparar las temperaturas en gradosCelsius. Usa la expresión 5

_ 9 · (F 32) para convertir grados Fahrenheit a

grados Celsius.

Evalúa 5

_

9 · ( F 32) si F 76

Reemplaza C por 25.

Trabaja dentro de los paréntesis.

Suma.

Por lo tanto, 25 ºC 77 ºF.

Dado que 77 ºF 76 ºF, la temperaturadel agua está suficientemente caliente.

Reemplaza F por 76.

Trabaja dentro de paréntesis.

Multiplica. Redondea.

Por lo tanto, 76 ºF 24 ºC.

Dado que 25 ºC 24 ºC, la temperaturadel agua está suficientemente caliente.

5 __ 9 · (F 32) 5 __

9 · (76 32)

5 __ 9 · 44

244 __

9 24

9 __

5 · C

32

9 __

5 · 25

32

45 32

77

151CAPÍTULO 8



152


1. ¿Qué lista de números está ordenada de mayor a menor ?

A 3

__

8 , 3

__

7 , 3

___

11 , 3

__

5

B 3

__

7 , 3

__

5 , 3

___

11 , 3

__

8

C 3

___

11 , 3

__

8 , 3

__

7 , 3

__

5

D 3

__

5 , 3

__

7 , 3

__

8 , 3

___

11

2. ¿Qué alternativa representa a la expresión conpalabras “25 disminuido en un número x es igualal doble de 12”?

A 25 – x = 12

B 25 + x = 24

C 25 – y = 24

D 25 - x = 24

3. 16 : 4 A 12 C 1

__

4

B 4 D 14

4. ¿Cuál es el máximo común divisor entre 24, 32 y64?

A 12 C 6

B 8 D 4

5. Explica cómo se puede hallarla suma de 1

_ 2 y

5

_ 6 .

Patrones y álgebra

7. José tenía algunas monedas en el bolsillo.Después de que su mamá le dio $ 380, Josétenía $ 976 en total. ¿Qué ecuación puede usarpara hallar la cantidad de dinero original, d , quetenía en el bolsillo?

A d 380 976 C d 976 · 380

B 976 d 380 D d 976 = 380

8. En la siguiente tabla, se muestran las

medallas que ganó un sexto básico en elinterescolar de atletismo.

¿Qué ecuación podría haberse usado para hallarel número de medallas de plata que ganó sextobásico?

A p 17 = 25 C p 7 25

B p 9 25 D p 16 25

9. Explica cómo se resuelve laecuación g 11

_

3 3 y cómo compruebas turespuesta.

Conteo de medallas de sexto básico

Curso Oro Plata Bronce Total

Sexto básico 9 p 7 25


6. Una fracción escrita en su mínima expresión es?

A15

30 C

1

75

B 10

100 D 14

1 000

10. El resultado de x, en la ecuación x + =para que se cumpla la igualdad es:

A C B D

11. La ecuación para la expresión “37 es 15 menosque un número” es:

A 37 = m + 15 C 37 = 15 + m

B 37 = m 15 D 37 = 15 + 52

34

6

8

5

818

88

78



A

D C

B

13. El perímetro de la figura es:

A 4,4 cm

B 7,35 cm

C 8,8 cm

D 88 cm

153CAPÍTULO 8

Geometría - Medición

12. En la siguiente figura, ABCD es un paralelogramo.

Si el área del triángulo ABC mide 18 cm2 cuadrados, ¿cuál es el área de ABCD?

A 9 cm2

B 18 cm2

C 27 cm2

D 36 cm2

15. ¿Cuál es el error? Damián estáplanificando un viaje a La Serena de 480 km.

En la mañana recorre 256 km. Él dice que laecuación k - 256 = 480 ayudará a encontrar elnúmero de kilómetros que recorrió. Describe suerror.


17. Simón obtuvo los siguientes puntajes totales en5 partidos de dardos.

85, 92, 110, 123, 145

¿Cuál es el promedio de los datos?

A 66

B 85

C 110

D 111

18. En la tabla se muestran las ganancias mensualesde cinco compañías.

Ganancias mensuales

Compañía Ganancia

I $ 150 000

II $ 120 000

III $ 100 000

IV $ 175 000

V $ 150 000

¿Qué enunciado es válido acerca de lasganancias mensuales de estas cinco compañías?

A Las compañías I y IV obtuvieronlas mismas ganancias.

B Ninguna compañía obtuvo gananciasmenores de $ 125 000.

C Ninguna compañía obtuvo ganancias

mayores de $ 150 000. D La compañía IV obtuvo $ 25 000 de

ganancias más que la compañía I.

19. Explica cómo calcular la media opromedio de un grupo de datos.

14. cada parte que compone lasiguiente figura plana.

1,5 cm

2,9 cm

16. Los elementos de un cuerpo geométrico son:

A lados, vértices y aristas

B caras, vértices y aristas

C lados, puntos y aristas

D caras, vértices y lados



Etapas decrecimiento Macho Hembra

Pudú recién nacido 3,2 kilogramos 3,2 kilogramos

Pudú joven 7,5 kilogramos 6,6 kilogramos

Pudú adulto 10,5 kilogramos 7,8 kilogramos

Un pudú adulto pesa aproximadamente10,5 kilogramos en promedio. Lashembras son un poco más pequeñas, su

peso es de 7,8 kilogramos en promedio.Elige una ecuación con sustracción que tepermita encontrar la diferencia de pesoentre el macho y la hembra joven.

Ecuaciones con sustraccionesLa idea importante Las propiedades y los conceptos del álgebra se usan para

resolver ecuaciones con sustracción.

154

Peso aproximado en kilogramosdel Pudú chileno

El pudú es el más pequeño delos ciervos de América. Sutamaño es de 40 cm de altura ysu peso es de aproximadamente10,5 kg. Su color varía de caférojizo a grisáceo amarillento,siendo el primero el más común.De las dos especies de pudúes

que existen, solo una de ellashabita en Chile, y se encuentraen peligro de extinción.

Fuente: www.educarchile.cl



Comprueba si has aprendido las destrezas importantes quese necesitan para el aprendizaje del capítulo 9.

Sumar números decimales y fraccionesSuma.

1. 4,5 3,1 2. 3

__

4 1

__

2 3. 1 034 923

4. 131

__

4 31

__

6 5. 14

__

5 1

___

15 6. 105

__

6 2

7. 123,4 10,23 8. 10,23 3,89 9. 20 12,34

Cálculo mental y ecuacionesResuelve cada ecuación usando el cálculo mental.

10. c 6 9 11. 2 v 9 12. q 6 67

13. b 2 7 14. r 3 21 15. 12 p 8

16. x 6 11 17. 9 t 4 18. 25 10 w

Escribir expresionesEscribe una expresión algebraica para la expresión con palabras.

19. el total, t , reducido en 12 20. k disminuido en 5

21. 4,53 menos que un número, x 22. la diferencia entre 23 y h

23. 78 menos que s 24. b reducido en 234

25. un número, n, disminuido en 175 26. 27 disminuido en un número y


propiedad de suma de la igualdad

PREPARACIÓN

propiedad de suma de la igualdad La propiedad que establece que,si se suma el mismo número a ambos lados de una ecuación, los ladospermanecen iguales.

ecuación Es una igualdad matemática entre dos expresionesalgebraicas denominadas miembros, en los que aparecen valoresconocidos o datos, y por lo menos un valor desconocido o incógnita.Ejemplo: 2 + x = 6.

propiedad de identidad de la suma La propiedad que establece que,cuando se le suma cero a un número, el resultado es el mismo número.

155CAPÍTULO 9



156

Repaso rápido

Suma.

1. 24 82. 6 93. 73 25,5

4. 43 75. 10 6Materiales ■ balanza ■cajas ■bolitas

Imagina que tenemos el siguiente problema.

Elisa compró bolsas con dulces. Ella compró 3 bolsas y regaló 4 dulces y se quedó con5 dulces. ¿Cuántos dulces había en cada bolsa?

Para resolver este problema puedes representarlo a través de una ecuación.

Tienes la ecuación de resta 3 x – 4 = 5.

Usa la balanza para conocer el valor de x .

Se sacaron 4 bolitas de las cajas.

Se vuelven a agregar 4 bolitas para completar las cajas.Pero la balanza debe estar en equilibrio, por lo tanto, hay que agregar también 4 bolitasen el otro plato de la balanza.

Representar ecuacionescon sustracciónOBJETIVO: representar la resolución de ecuaciones con sustracción de un paso.

3 x – 4 = 5

Sacar conclusiones

1. ¿Cuál es la solución de x 4 10?

2. ¿Por qué en el paso B se vuelven a agregar las 4 bolitas?

3. Síntesis Explica cómo representarías y resolverías la ecuación x 2 8.

Entonces, 3 x = 9. ¿3 multiplicado por qué número es 9?

Por lo tanto, x = 3



157CAPÍTULO 9

La balanza te puede servir para resolver otras ecuaciones de resta. Veamos otro ejemplo.

Resuelve x – 3 = 5


Como se sacaron tres bolitas de la caja, se

deben agregar la misma cantidad en ambos

lados de la balanza, completar la bolitas

faltantes en la caja. Así se deja la balanza

equilibrada para mantener la igualdad y, por

la misma razón, se agregan al plato derecho

la misma cantidad.

Encuentra el valor de x, respondiendo a

la pregunta, ¿cuántas bolitas hay en una

caja?

Por lo tanto, en la caja hay 8 bolitas.

Usa la balanza para resolver la ecuación.

1. x 3 6 2. 5 x 2 3. x 2 3

Resuelve cada ecuación haciendo un dibujo en tu cuaderno.

4. x 7 6 5. x 3 1 6. x 6 6 7. x 1 5

8. x 9 11 9. 7 x 4 10. x 5 2 11. 8 x 2

12. x 2 4 13. x 3 1 14. x 1 6 15. x 4 2

16. x 5 1 17. x 2 7 18. x 4 3 19. x 5 5

20. Explica cómo representar con fichas o dibujos te ayuda a resolver ecuaciones de resta.

Paso

Paso

Paso

Explica qué representael Paso 2.



158

Repaso rápido

Aprende

Resuelve.

1. x 14 86

2. 52 __

3 p 35

__

6

3. 9,75 y 4,25

4. 14,7 12,8 w

5. a 45,6 65,4

PROBLEMA El director de la estación de cable KIDS - TV contrató a 18estudiantes y rechazó a 6. Formó 2 grupos para realizar un programa.¿Cuántos estudiantes había en cada grupo?

Tienes la ecuación 2 x – 6 = 18. Para resolverla puedes usar la balanza yla estrategia de descomposición y la correspondencia 1 a 1.

Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 2 x – 6 = 18 usando la balanza.


Se sacaron 6 cuadraditos dellado izquierdo.

Para mantener la igualdadse deben agregar (sumar) 6cuadraditos al lado derecho.

Por lo tanto, si habían 18cuadrados al lado derecho, estosaumentaron a 24.

Si 24 cuadraditos equivalen a 2x,el total se debe descomponeren dos grupos con la mismacantidad.

Por lo tanto, a cada incógnita x

le corresponden 12 cuadraditos,entonces, x = 12.

Resolver ecuacionescon sustracciónOBJETIVO: resolver ecuaciones con sustracción de un paso.

Propiedad de suma de laigualdad: si sumas el mismonúmero a ambos lados de

una ecuación, los dos ladospermanecen iguales.

Idea matemática

7 = 7 7 + 2 = 7 + 2 9 = 9

L E C C

I Ó N



159CAPÍTULO 9

Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones.

10. n 26 11 11. 22 x 9 12. z 7 12 13. a 9 15

14. y 3 13 15. 2,5 k 7 16. p 22 30 17. 6 m 12

Resuelve, usando la estrategia de descomposición y la correspondencia 1 a 1.

1. 4 x 7 15 2. 9a 32 49 3. 78 10w 39 4. 8 d 2

5. 2 y 4 12 6. 10 3 p 5 7. 52 4 s 16 8. w 20 4

9. Explica cómo se puede usar la propiedad de suma de la igualdad pararesolver x 15 6.

18. Razonamiento ¿Cuál de los valores numéricos19, 20 y 21 es la solución de la ecuación x 12 7?

19. ¿Qué valor de y hace que la ecuación y 6 10 sea verdadera?

USA LOS DATOS Del 20 al 21, usa el gráfico de

barras. Escribe una ecuación y resuélvela.

20. La cantidad de agua que se usa para ducharse es7 litros menor que la cantidad de agua que seusa para lavar la ropa. ¿Cuántos litros se usan para

lavar la ropa?

21. ¿Cuál es el error? Rolando diceque la solución de la ecuación x 3 12 es x 9. Halla su error y luego resuelve la ecuación.


22. El oso negro americano permanece activodurante 7 meses del año. Durante los meses deinvierno, el oso negro hiberna. ¿Cuántos meseshiberna el oso negro americano?

24. Ordena los números de menor a mayor

2,3 ; 2,388 ; 2,35 ; 2,2885

23. Escribe una ecuación para el enunciado conpalabras “15 menos que x es igual a 36”.

25. ¿Cuál es la solución de y – 12 = 16?

A y = 14 C y = 28 B y = 4 D y = 16

Adaptado de Explora conicyf.

Práctica adicional en la página 160, Grupo A y B.

25

20

15

10

5

0

L i t r o s

Consumo aproximadode agua por persona

Lavarse Ducharse Lavarlos dientes los platos

1 litro

22 litros

15 litros

Uso del agua





160

22. En el musical de la escuela, participan 14 estudiantes de séptimo básico. Esto es 8 menos que el número

de estudiantes de sexto básico. Escribey resuelve una ecuación para hallar el número de estudiantes de sexto básico que participan en el musical.

23. En una competencia de robótica entre estudiantes de tercer año, el primer puesto lo obtuvo el equipo dela Escuela Einstein. El equipo que obtuvo el segundo puesto terminó con 10 puntos menos que el primero,pues anotó 125 puntos en total. Escribe y resuelve una ecuación para hallar cuántos puntos anotó elequipo de la Escuela Einstein.

1. n 13 10 2. s 7 14 3. 27 a 52

4. 4

y

2 5. 14

b – 4 6. x

26

2

7. k 4 = 5 8. 8 k 17 9. m 9 = 12

10. a 5 7 11. 10 = q 7 12. 7 = y 21

13. 91 x 2 14. 2 = x 5 15. 15 = n 21

16. 7 = a 8 17. k 21 = 10 18. x 9 19

19. 36 n 32 20. 21 = a 14 21. 27 x 12

Grupo B Resuelve y comprueba.

1. s 11 22 2. 12 n 21 3. 5 x 7

4. x 2 9 5. a 6 12 6. 9 q 31

7. 5 m 4 8. 20 21 y 9. 16 n 35

10. a 7 46 11. a 12 102 12. 38 n 42

13. 3 2 k 14. x 2 44 15. y 5 5

16. v 3 16 17. 6 k 1 18. 7 a 96

19. z 1 9 20. 4 x 9 21. 1 y 6

22. La señora Sánchez guarda el dinero que recauda para el centro de Ayuda animal en un sobre grande.Después de colocar $ 15 250 en el sobre, la señora Sánchez tuvo un total de $ 34 750. Escribe yresuelve una ecuación para hallar la cantidad de dinero que había en el sobre originalmente.

23. Marcos es 4 años mayor que Paola, que es 2 años más joven que Carlos.Carlos tiene 12 años. Escribe y resuelve una ecuación para hallar la edad de Paola. Luego, escribe yresuelve otra ecuación para hallar la edad de Marcos.

Grupo A Resuelve y comprueba.

Práctica adicional



Ecuación misteriosa¡En sus marcas!2 jugadores

¡Listos!• 20 tarjetas con una fracción propia,

un número mixto o un número natural• reloj o cronómetro

¡Ya!

b- =

Mezclen las tarjetas del juego y colóquenlas bocaabajo en un mazo.

Lancen una moneda para determinar quién seráel jugador 1.

El jugador 2 saca dos tarjetas del mazo y lascoloca en los espacios vacíos de la ecuación.

El jugador 1 tiene un minuto para resolver laecuación. El jugador 2 controla el tiempo.

El jugador 2 comprueba la respuesta. Si la respuestaes correcta, el jugador 1 obtiene 1 punto. Si larespuesta es incorrecta, no se otorga ningún punto.

Las tarjetas que están en el tablero se vuelvena colocar en el mazo. Las tarjetas del mazo semezclan y es el turno del jugador 2.

El juego continúa hasta que un jugador obtiene5 puntos y gana.

161CAPÍTULO 9



Enriquecimiento • Ecuaciones

La criptografía es un sistema de escritura secreta. Durante siglos, las personas crearon

maneras de enviar mensajes secretos codificados. Para enviar tus propios mensajescodificados, puedes elegir un código básico y asegurarlo con una ecuación. En la siguientetabla, se muestran dos códigos separados que se conectan mediante una ecuación.

Usa la claveDecodifica el mensaje. Usa la ecuación x 3 y para decodificarlo.

1. P N M I 2. Y I P T I 3. V I N T Y B 4. A V O I V E B

5. P N I Y T I 6. I V Y A J N I E A M A I V T B

Para crear un código difícil de descifrar, necesitas una clave secreta.

Descifra el códigoHas recibido un mensaje secreto: AESE ZJH. La ecuación para decodificarlo es x 1 y . Para decodificar el mensaje, sigue los siguientes pasos.

Repite los pasos 1 y 2 para el resto de las letras del mensaje secreto. Entonces,el mensaje secreto es GANA HOY.

A B C D E F G H I J K L M

6 12 20 25 0 9 22 24 2 14 23 8 10

N O P Q R S T U V W X Y Z

18 4 16 21 1 13 17 5 11 19 3 15 7

Valores de y

A B C D E F G H I J K L M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Letras decodificadas de x

Enriquecimiento

• Ecuaciones

La criptografía es un sistema de escritura secreta. Durante siglos las personas crearon

Criptografía revelada

Paso 1 x 1 y

x 1 A

x 1 6 x 7

Reemplaza y por A, la primera letra

del mensaje secreto. Reemplaza A

por 1, su valor en la tabla Valoresde y . Halla el valor de x .

Paso 2 Observa la tabla Letras decodificadas de x .

Como x 7, la letra que corresponde es G.

Entonces, la primera letra del mensaje secreto

es G.

Haz tu mensaje

Explica cómo decodificar un mensaje secreto usando unaecuación. Escribe tu propio mensaje codificado y luego muestra la clave.

163CAPÍTULO 9



164

1. ¿Qué fracción está más cerca de 0?

A 7

___

12

B 1

__

3

C 1

__

4

D 5

__

6

2. ¿Qué punto indica la ubicación de 5

_ 2 en la recta

numérica?

A punto A

B punto B

C punto C

D punto D

3. ¿En qué lista los números están ordenados de mayor a menor?

A 1

__

2

; 21

__

2

; 0,45; 0,045

B 21

__

2 ; 1

__

2 ; 0,045; 0,45

C 0,045; 0,45; 1

__

2 ; 21

__

2

D 21

__

2 ; 1

__

2 ; 0,45; 0;045

4. 21

_

2 + 4 _

5

A

B

C

D

5. Explica cómo se puede hallar lasuma de 1

_ 2 y

5

_ 6 .

6. Nelson tiene algo de dinero en su escritorio.Después de que Manuel le diera 350, Nelsontuvo $ 2 150 en total. La ecuación para hallarla cantidad de dinero, d , que Nelson tenía en suescritorio originalmente es:

A d 2 150 = 350

B 2 150 + d = 2 500

C d 350 = 2 150

D d + 350 = 2 150

7. En la tabla, se muestra la cantidad de cajas dehelado que vendió la heladería Pingüino el mespasado.

Heladería Pingüino

Vainilla Chocolate Frutilla Total

8 14 x 32

¿Cuál de las siguientes ecuaciones permiteencontrar la cantidad de helados de frutilla que

vendió la heladería Pingüino el mes pasado?

A 8 14 x 32

B 32 x 8 14

C 8 14 x 32

D 32 x 8 14

9. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo?

A 29 cm3 C 190 cm3

B 72 cm3

8. Explica cómo se puederesolver la ecuación a 92

_

3 151

_

4 .


D 456 cm3

3310

20

10335

332

0 A 1 B 2 C 3 D 4

6 cm

4 cm19 cm



165CAPÍTULO 9

12. Susana conoce el perímetro y elancho de una puerta rectangular. Explica cómopuede hallar la altura de la puerta.

10. ¿Qué figura incluye un ángulo mayor que unángulo recto?

A C

B D

11. ¿Cuál es el perímetro, en centímetros, de lafigura plana?

16,05 cm

7,65 cm

A 23,70 cm C 47,40 cm

B 47,15 cm D 39,75 cm

17. La señora Gómez tenía $ 22 500 en su cuentacorriente. Luego hizo 3 cheques por $ 7 000cada uno. ¿Cuánto dinero tiene ahora la señoraGómez en su cuenta?

18. María escribió la ecuación 4,5 + x = 2 + 1,2.Halla el valor de la expresión.

19. Ordena los números racionales de menor a mayor : 12

_

3 ; 0,75; 1,8; 3

_ 8 .

20. Teresa y Cecilia están jugando a un juego.Cada una comienza con $ 1 000 en dinero de juguete. Durante el juego, Teresa da a Cecilia$ 2 800 y luego Cecilia da a Teresa $ 3 900.Al final del juego, ¿cuánto dinero más que Cecilia

tiene Teresa?

21. Sara tiene una joyería. Vendió 5 joyas por díadurante 6 días, 3 joyas por día durante 2 díasy 8 joyas por día durante 4 días. Halla el númerototal de joyas que vendió Sara en esos 12 días.

2

153

10

22. Joaquín y Marcela comen torta de sucumpleaños. Joaquín come de la torta y

Marcela . Qué fracción de la torta se comierónen total?

23. Jaime se despierta a las 6:30 a.m. Tarda25 minutos en prepararse y luego 15 minutosen tomar el desayuno. La escuela comienza a las8:10 a.m. Explica cómo puedes determinar eltiempo que Jaime demora en llegar a su escuela.

Escribe una V si es verdadero o una F si es falso cadaenunciado.

13. ______ En la siguiente ecuación 7 + 15 = x – 10,el valor de x es 42.

14. ______ En la expresión 2 x = 20 debes dividir elnúmero 20 por 2 para determinar el valor de x .

15. ______ La expresión “el doble de un número esigual al triple de 8” en ecuación es 2 x = 24.

16. ______ En la secuencia 1, 2, 4, 7, 11, ... el patrónes “sumar un número impar”.

24. Desarrolla la expresión aplicando la propiedaddistributiva.5 (4x + 18y)



167CAPÍTULO 9Capítulo 9 167 9

apítulo 9apítulo 9

9

apítulo 9

9

167167

En octubre de 2012, el austriaco FelixBaumgartner se lanzó al vacío desde 39689 metros de altura, luego de ascender

con la ayuda de un globo de helio. Alcaer, logró superarlos 1 300 kms por hora. Rompió

la barrera del sonido y tardóaproximadamente 4 minutos y 19

segundos en pisar tierra firme.

¡EXPLOSIÓN SÓNICA!

na explosión sónica es el sonido que hace unobjeto que viaja mas rápido que la velocidad del

sonido. La explosión es causada por la compresión deondas sonoras que se produce frente al objeto. Si unavión provoca una explosión sónica, las personas queestán en la tierra pueden oírla, pero el piloto no.

U

➊ La barrera del sonido ha sido rota por otros vehículosademás de aviones. El primer vehículo terrestre querompió la barrera del sonido fue conducido por AndyGreen, un piloto de guerra británico, en el desiertoBlack Rock de Nevada. El 15 de octubre de 1997, Greenmarcó un récord mundial de velocidad terrestre de1 228 km/h. ¿A qué velocidad en números Mach estaba

viajando Green?

➋ Los números Mach también sirven para describir objetosque viajan más lento que la velocidad del sonido. Porejemplo, un objeto que viaja a 917 km/h, viaja a Mach 0,75.

u Identifica e investiga tres animales veloces, treshumanos veloces y tres vehículos veloces.

u Halla sus velocidades en km/h y convierte esasvelocidades a números Mach. ¿Cuántas veces másrápido tendrían que viajar para romper la barreradel sonido?

u Calcula tu propia velocidad máxima y conviértela aun número Mach. ¿Cuántas veces más rápido tendríasque moverte para romper la barrera del sonido?

u Decide cómo representar los datos que recopilaste.Presenta lo que hallaste al resto de la clase.

Esta ecuación sirve paracalcular el número Mach decualquier rapidez en km/h:

y = x

1 228 donde y es el número

Mach y x la rapidez en km/h.

Se sugiere ver la siguiente página:http://hipertextual.com/2014/10/ alan-eustace-salto-felix-baumgartner

Se sugiere ver la siguiente página

➌ Explica cómo podrías usar el razonamiento lógico para hallar lavelocidad equivalente a Mach 0,25 en km/h.

167UNIDAD 2



168


168



169CAPÍTULO 1010

Cuadrado y rombo

cuadrado rombo

4 lados de igual

medida

sus ángulos noson de 90 grados

¿Qué conceptos matemáticos se muestran en las fotografías de

Matemática en Contexto? ¿Cómo se usan las líneas paralelasy perpendiculares en la arquitectura paisajística?

REPASO DEL VOCABULARIO Aprendiste las siguientespalabras cuando estudiaste sobre figuras bidimensionales. ¿Cómose relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?

Congruentes en Geometría Figuras o elementos geométricos que

tienen la misma forma y tamaño.

líneas paralelas Líneas rectas sobre un mismo plano cuyos puntosse encuentran siempre a una misma distancia.

líneas perpendiculares Líneas rectas en un mismo plano que seintersecan formando un ángulo recto (90º).

Copia en tu cuaderno un cuadrado y un rombo, traza lasdiagonales. Explica por qué al trazar las diagonales del rombo suslongitudes varían con respecto al cuadrado

pArtistas, paisajistas y urbanistas se

han encargado de modificar los espacios

públicos con hermosas e imponentesobras. Es el caso del Conjunto escultórico

de Federico Assler, ubicado en el Parque

de las Esculturas de Santiago (Fotografía

de Carlos Reusser Monsalvez).

p Las líneas paralelas y los ángulos

congruentes forman vistas de patrones

agradables y apacibles.

p En una ciudad se forma un contraste

asombroso entre los edificios altos

y el hermoso espacio que los rodea.


169UNIDAD 3



Relaciones entre ángulosLa idea importante Se pueden identificar, describir y clasificar los ángulos y sus relaciones.

Haz una lista con losdiferentes polígonosque ves en la imagen.Luego, identifica lacantidad de vértices,lados y ángulos de cadafigura.

Tipos de ángulos

Triángulo

Rombo

Romboide

Cuadrado Rectángulo

A C

D

B

A

C

B

D

A

D

B

C

A

C

B

D

170

1

El viaducto de Malleco fueconstruido entre 1886 y1888. Con sus 102 metros dealtura, es el segundo másalto de Chile. Su longitud esde 347,5 metros y descansasobre cuatro pilares de acero.

www.amigosdeltren.cl

DATO BREVE



W U X

Z Y

K L

OP

D

P

H E

J

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitanpara el aprendizaje del capítulo 10.

Nombrar ángulosNombra el ángulo formado por los rayos azules.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

Usar un transportador para medir ángulosDel 9 al 14, usa la figura de la derecha. Copia la figura en tu cuaderno.

Luego usa un transportador para medir cada ángulo.

9. ABD 10. DBF

11. FBA 12. EBC

13. CBD 14. FBC

VOCABULARIO DEL CAPÍTULOángulos adyacentesángulos complementariosángulos congruentesángulos suplementariosángulos opuestos por el vértice

PREPARACIÓNángulos opuestos por el vértice Un par de ángulos, opuestosentre sí y congruentes, que se forman cuando se intersecandos líneas rectas.

R

J W

D

ángulos congruentes Que tienen el mismo tamaño y la mismaforma.

ángulos adyacentes Pares de ángulos consecutivos que tienenun vértice y un rayo en común.

G

M

K F

A

D

L

E

U

P

S

R

T U

Q

R

1 2 31 2 31 2 31 2 3

Un ángulo es la abertura formada por dos rayosque parten de un punto común llamado vértice.

B

DE

F

A C

171CAPÍTULO 10



172

Aprende

A

vértice B

C

L

M

N

40°

20°

10°K

J

Lee JKM como lamedida del ángulo JKM .

L E C C

I Ó N

Un ángulo agudo mide menos de 90.

Un ángulo recto mide 90.

Un ángulo obtuso mide más

de 90 pero menos de 180.

Un ángulo llano o extendido mide 180.

Dos rayos que tienen un extremo en común forman un ángulo.Al extremo común se lo llama vértice del ángulo.

El ángulo se mide en grados. Un grado mide 1

___ 360 de un círculo.

Un ángulo se clasifica por el número de grados que mide.

PROBLEMA Para conseguir que una piedra rebote en el agua es mejorarrojarla desde un ángulo de 20 hacia el agua. ¿Qué tipo de ángulo esun ángulo que mide 20?

Puedes clasificar los ángulos por sus medidas.

Puedes nombrar el ángulo con los trespuntos que se muestran o con el vértice.

BAC , CAB o A

Como 20 90, un ángulo que mide 20 es un ángulo agudo.Puedes usar la medida de uno o más ángulos para hallar lamedida de otro ángulo.

Tipos de ángulosOBJETIVO: clasificar ángulos e identificar ángulos opuestospor el vértice,adyacentes y ángulos entre paralelas.

Repaso rápido

O R

D E

K L

M

A B

C

Nombra cada figura.

1. 2.

3. 4.

5.

Vocabularioángulos opuestos por el vértice

ángulos correspondientes

ángulos alternos externos

ángulos alternos internos

ángulos exteriores

ángulos congruentes

ángulos adyacentes

ángulo transversal

ángulos interiores

JKM JKL LKM

JKL 40 LKM 20

JKM 40 20

Ejemplo 1 ¿Cuánto mide el JKM ?

Entonces, JKM tiene 60.

• ¿Por qué los ángulos anteriores no se nombran usando solo la letra del vértice?

• ¿Cuál es la medida de JKN ? Explica cómo hallaste la respuesta.

20



173CAPÍTULO 10

1

2

UR

V

P S

Idea matemáticaUn ángulo puede serparte de un par deángulos opuestos porel vértice y parte deun par de ángulos

adyacentes.RVU y PVS son ángulosopuestos por el vérticeRVU y QVR sonángulos adyacentes.

Ejemplo 2 Observa la figura anterior. ¿Es PVQ adyacente a RVU ?

Ejemplo 3 Observa la figura anterior. Halla un ángulo opuesto por el vér-tice al ángulo dado. Luego halla dos ángulos adyacentes al ángulo dado.

PVQ y RVU tienen un vértice en común, V , pero no tienen un rayo encomún. Entonces, PVQ no es adyacente a RVU .

SVT

Ángulo opuesto por el vértice: QVR

Ángulos adyacentes: PVS , TVU

PVQ

Ángulo opuesto por el vértice: TVU

Ángulos adyacentes: QVR, PVS

•¿Puedes nombrar otros ángulos adyacentes a SVT y PVQ?

Ejemplo 4 Indica si el par de ángulos es opuesto por el vértice, adyacente o ninguno

de los dos.

1 y 2

1 y 2 son opuestos entre sí yestán formados por dos líneas quese intersecan.

A y B

A y B son consecutivos y tienen unvértice y un rayo en común.

Tipos de ángulos de acuerdo a su construcción

Los ángulos opuestos por el vértice son pares de ángulos opuestos entre sí que seforman cuando se intersecan dos líneas. Los ángulos opuestos por el vértice tienen lamisma medida. Los ángulos que comparten la misma medida se llaman congruentes.Usa el símbolo para mostrar que dos ángulos son congruentes.

PVS y RVU son ángulos opuestos por el vértice. Cada uno mide 150,entonces PVS RVU .

Los ángulos adyacentes son pares de ángulos consecutivos que tienen un vértice yun rayo en común.

Ambos pares de ángulos, UVS y SVP y PVR y RVU , son ángulos adyacentes.

Entonces,1 y 2 son ángulos opuestospor el vértice.

Entonces, A y B son ángulosadyacentes.

A

B



174

4 m

21

3

65

7 8 n

Figura 1

1

3

2

4

5

7

6

8

m n

Figura 2

Idea matemáticaDos ángulos sonsuplementarios cuandola suma de sus medidases igual a 180º

Ejemplo:

A = 150º

B = 30º

A + B = 180º

Ejemplo Observa la figura 3. Las líneas m y n son paralelas.

Ángulos entre paralelas

Una línea que se intersecta con dos o más líneas se llama transversal.

Los ángulos formados dentro de las dos líneas paralelas se llaman ángulos

interiores y los ángulos formados fuera de las dos líneas paralelas se llamanángulos exteriores. Los ángulos 3, 4, 5 y 6 son ángulos interiores.

Los ángulos 1, 2, 7 y 8 son ángulos exteriores.Los ángulos correspondientes son ángulos que aparecen en lamisma posición en relación con una línea transversal y con las líneasque esta línea intersecta. Los ángulos correspondientes soncongruentes cuando las líneas que intersecta la línea transversal sonparalelas.En la figura 1, son pares de ángulos correspondientes:

1 y5,3 y7,2 y6 ;4 y8

Los ángulos interiores ubicados en los lados opuestos de la líneatransversal se llaman ángulos alternos internos. Los ángulos alternosinternos son congruentes cuando las líneas que intersectan la líneatransversal son paralelas. En la figura 2, los ángulos 2 y 7 y los ángulos4 y 5 son pares de ángulos alternos internos.

Los ángulos exteriores ubicados en los lados opuestos de la líneatransversal se llaman ángulos alternos externos. Los ángulos alternosexternos son congruentes cuando las líneas que intersectan la líneatransversal son paralelas. En la figura 2, los ángulos 1 y 8 y los ángulos 3y 6 son pares de ángulos alternos externos.

4 m

21

3

657 8 n

Figura 3

Si 3 65, halla 5.

3 y 7 son ánguloscorrespondientes; entonces7 65.

5 y 7 son ángulos suplementariosque suman 180º; entonces

5 180 65 115.

Entonces,5 115.



175CAPÍTULO 10

115°35°

P S

N

115°30° 35°

30°

T R

M

O

K

L

MS

H

GF R

P

°155

U 65°

W

T

Y

X V

25°

25°

90°


Del 2 al 4, usa la figura de la derecha. Halla un ángulo opuesto por el vértice al

ángulo dado. Luego halla dos ángulos adyacentes al ángulo dado.

2. MOS 3. PON 4. TOR

5. Explica cómo sabes si un par de ángulos es opuestos por el vértice oadyacente.

Del 12 al 15, usa la figura de la derecha. Halla un ángulo opuesto por el vértice

al ángulo dado. Luego halla dos ángulos adyacentes al ángulo dado.

12. FPR 13. KPL

14. RPK 15. MPL

Del 16 al 21, usa la figura de la derecha. Indica si el par de ángulos es

opuesto por el vértice, adyacente o ninguno de los dos.

16. TUV y YUT 17. XUY y WUV

18. XUY y TUV 19. XUV y YUX

20. YUW y WUV 21. YUT y XUV

A140°

40°

140°

40°E

D C

B1. AEB es opuesto a DEC y estos ángulos están formados por doslíneas que se intersectan. Nombra el ángulo opuesto por el vértice a DEA.

Del 6 al 11, usa la figura 3. Las líneas m y n son paralelas. Escribe correspondiente,

alterno interno o alterno externo para cada uno de los siguientes pares de ángulos.

6. 3 y 7 7. 2 y 6 8. 8 y 1

9. 5 y 4 10. 7 y 2 11. 8 y 4

Explica cómo podrías usar las propiedades de losángulos para hallar la medida de 7 en la Figura 3 si 2 mide 79.

4 m

21

3

65

7 8 n

Figura 3





176

A

C

B

E

D

130°

130°

50°50°


29. ¿Qué valor de k hace que la siguiente ecuaciónsea verdadera? k · 4 48

31. Usa el cálculo mental para resolver. + 135 = 190

32. Escribe una expresión algebraica para “la mitaddel triple de un número aumentado en ocho”.

30. ¿Qué enunciado es verdadero? A CBE es opuesto por el

vértice a ABC .

B ABD es adyacente aCBE .

C DBE es opuesto por elvértice a ABD.

D DBE es adyacente a ABD.

A

C

B

E

D

130°

130°

50°50°

B

A

C

D

E

26. Álgebra Usa la figura 3 de la derecha.

Claudia quiere hallar m ABE . Si ABC y DBE miden 15 y CBD mide 20, ¿cuál es la medidade ABE ? ¿Cuál es la diferencia entre la medidade ABE y la medida de CBE ? Explica.

27. Razonamiento Rodrigo dice que la letra X formados pares de ángulos congruentes. Camila dice quela letra X forma dos pares de ángulos opuestos porel vértice. ¿Quién tiene razón? Explica.

28. ¿Cuál es el error? Pablo diceque todos los ángulos opuestos por el vértice sonagudos. Describe el error de Pablo. Justifica turespuesta con ejemplos.

Observa la figura 1. Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Justifica en cada caso.

22. La medida del ángulo β se calcula como 90º – 56º.

Justificación:

23. La medida del ángulo α es 56º.

Justificación:

24. La suma de las medidas de los ángulos α y β es 180º.

Justificación:

En la figura 2, KJ // HI, m( DCI) = 76o y m( FBC) = 52o.

25. Calcula α + β

56ºβ

α

AK

B

E

J

I

D

C

FG

Hβ

α

Figura 3

Figura 2

Figura 1



177CAPÍTULO 10

Paso PasoAhumada

Agustinas

90

90

ElPaseo Ahumada es la calle más activa ycomercial del centro de Santiago.

En la tabla se muestran las medidas aproximadas delos ángulos de las intersecciones formadas poralgunas calles del centro de Santiago. Puedesvisualizar la información que se da en un problemapara comprender la situación. Cuando visualizas, teimaginas algo en tu mente.

1. ¿Qué tipo de ángulos se formanen la intersección de las callesTeatinos con Morandé?

2. Clasifica todos los ángulosformados por la intersección delas calles 21 de Mayo y DiagonalCervantes.

Resolución de problemas Visualiza para entender el problema.

En la esquina

Ejemplo Clasifica todos los ángulos formados por la intersección deAhumada y Agustinas.

Imagina cómo se podría ver la intersección de

las dos calles desde un avión o en un mapa.

Simplifica el dibujo en tu mente para que

parezcan líneas que se intersecan.

Para que sea más fácil, usa lo que sabes

sobre tipos de ángulos formados por

líneas que se intersecan.

VisualizaDestrezade lectura

Ahumada y Agustinas 90º

21 de mayo y Diagonal Cervantes 45º

Santa Lucía y Huérfanos 150º

Calles Medida

Ángulos aproximados de intersección

21 de Mayo y Diagonal Cervantes

177CAPÍTULO 10



178

1 2 4 5 0 1 8 0

1 0

1 7 0

2 0

1 6 0

3 0

1 5 0

4 0

1 4 0

5 0

1 3 0 6 0

1 2 0 7 0

1 1 0 8 0

10 0

1 0 0

8 0

1 1 0 7 0

1 2 0

6 0

1 3 0

5 0

1 4 0 4 0

1 5 0 3

0

1 6 0 2

0

1 7 0

1 0

1 8 0

0

90

J

L K

Prolonga los

rayos si esnecesario.

Actividad Materiales ■ transportador

Mide JKL.

1. Coloca el punto central del transportadoren el vértice del ángulo.

2. Coloca la base del transportador sobreel lado KL.

3. Lee la escala que empieza con 0 enel rayo KL. La medida de JKL es 60.

Puedes usar un transportador para medir ángulos. Un transportador esuna herramienta que se usa para medir o trazar ángulos.

B Elángulo STU es un ángulo obtuso,por lo tanto mide más de 90 y menosde 180.

El punto de referencia, 135, está en lamitad de 90 y 180.

Por lo tanto, la medida de STU es aproximadamente 135

o un pocomenos de 135.

180º

90º

T U

S135º

Aprende

L E C C

I Ó N

Medir y trazar ángulosOBJETIVO: estimar, medir y trazar ángulos.

Para estimar la medida de un ángulo puedes usar puntos de referencia ylo que sabes sobre ángulos agudos, rectos y obtusos.

Ejemplos Estima la medida de cada ángulo.

Repaso rápido

Clasifica cada ángulo comoagudo, recto, u obtuso.

1. 2.

3. 4.

5.

Vocabulariotransportador

A El ángulo LMN es un ángulo agudo,por lo tanto mide menos de 90.

El punto de referencia, 45, está en lamitad de 0 y 90.

Por lo tanto, la medida de LMN es aproximadamente 45 o un pocomenos de 45º.

45º

90º

M N

L

Los topógrafos usanuna herramienta

llamada teodolito

para medir ángulos.

www.rae.es



179CAPÍTULO 10

Paso Paso Paso

1 2 4 5 0 1 8 0

1 0

1 7 0

2 0

1 6 0

3 0

1 5 0

4 0

1 4 0

5 0

1 3 0 6 0

1 2 0 7 0

1 1 0 8 0

10 0

1 0 0

8 0

1 1 0 7 0

1 2 0

6 0

1 3 0

5 0

1 4 0 4 0

1 5 0 3

0

1 6 0 2

0

1 7 0

1 0

1 8 0

0

90

A

B C

Amplíalos rayos.

Trazar ángulosTambién puedes usar un transportador para trazar ángulos de unamedida dada.

Actividad Materiales ■ transportador ■ regla

Usa un transportador para trazar FDE con una medida de 608.

Dibuja el rayo DE . Alinea el rayo con el transportador.Marca el punto F en 60.

Usa una regla para trazarel rayo DF .

Cuando los ángulos parecen ser iguales, mídelos con un transportador yluego compáralos.

Más ejemplos Halla la medida de los ángulos.¿En qué se parecen ABC y XYZ?

Por lo tanto, ABC y XYZ tienen la misma medida, 130. Por tanto, son ánguloscongruentes.

1. Traza y rotula un ángulo que tenga aproximadamente la misma medida queMOQ, ilustrado a la derecha.

a. ¿Es tu ángulo agudo, obtuso o recto? Estima la medida de tu ángulo.

b. Usa un transportador para hallar la medida de tu ángulo. ¿Cómo se comparatu estimación con la medida real del ángulo?

A

ABC mide 130.

B

XYZ mide 130.

D E 1 2 4 5 0

1 8 0

1 0

1 7 0

2 0

1 6 0

3 0

1 5 0

4 0

1 4 0

5 0

1 3 0 6 0

1 2 0 7 0

1 1 0 8 0

10 0

1 0 0

8 0

1 1 0 7 0

1 2 0

6 0

1 3 0

5 0

1 4 0 4 0

1 5 0 3

0

1 6 0 2

0

1 7 0

1 0

1 8 0

0

90

D

F

E D

F

E

1 2 4 5 0

1 8 0

1 0

1 7 0

2 0

1 6 0

3 0

1 5 0

4 0

1

4 0

5 0

1 3 0 6 0

1 2 0 7 0

1 1 0 8 0

10 0

1 0 0

8 0

1 1 0 7 0

1 2 0

6 0

1 3 0

5 0

1 4 0 4

0

1 5 0 3

0

1 6 0 2

0

1 7 0

1 0

1 8 0

0

90

Y

X

Z

M O

Q

Recuerda que la medida deun ángulo se determina porel grado de rotación de unrayo y no por la longitudtrazada del mismo.

35º

5 c m

35º 3

c m




180

Estima la medida de cada ángulo. Luego, usa un transportador

para hallar la medida.

2. TXW 3. WXY 4. UXY

5. YXZ 6. TXU 7. UXW

Usa un transportador para trazar cada ángulo. Clasifica los ángulos.

8. 45 9. 60 10. 125 11. 14

12. Explica cómo puedes estimar y hallar la medida de

WXZ en la figura anterior.

Estima la medida de cada ángulo. Luego usa un transportador

para hallar la medida.

13. YXZ 14. VXT 15. WXZ

16. VXU 17. VXW 18. UXT

19. VXZ 20. UXY 21. TXZ

Usa un transportador para trazar los ángulos. Clasifica los ángulos.

22. 35 23. 159 24. 16 25. 95

26. 120 27. 44 28. 180 29. 135

30. un ángulo que mida entre 110 y 130 31. un ángulo que mide menos de 65

USA LOS DATOS Para 32–34, usa los relojes.

32. Copia el ángulo que forman las manecillas del relojque muestra las 6:00. ¿Cuánto mide este ángulo?Explica cómo lo sabes.

33. ¿A qué hora forman las manecillas del reloj un ángulo recto?

34. Estima la medida del ángulo que forman las manecillas delreloj que muestra las 3:05. Luego mide el ángulo.

35. ¿Cuál es el error? Según Teresa, un ángulo medía50, pero en realidad medía 130. Describe su error.

T X Z

U W Y

T X Z

U

W V

Y




181CAPÍTULO 10


Observa el plano del barrio de Rodrigo. El ángulo que se forma entre las calles Constitución y Las Araucariasmide 30°

1. ¿Cuál es la medida del ángulo formado por las calles Los Olivos y Las Araucarias?

2. ¿A qué tipo de ángulo corresponde la intersección de las calles Los Olivos con Las Petunias?

3. Francisco dice que las calles Los Olmos con Las Petunias se intersecan. ¿Es correcta la afirmación deFrancisco?

36. Si n 6, ¿cuál es el valor de 5 n 2?

37. ¿Qué figura es una superficie que se extiendeinfinitamente en todas direcciones?

38. ¿Qué tipo de ángulo es el siguiente?

39. ¿Qué enunciado sobre ángulos obtusos en untransportador es cierto?

A Van desde 0º a 89º.

B Van desde 45º a 135º.

C Van desde 0º a 180º.

D Van desde 91º a 180º.

40. ¿Qué ángulo mide menos de 90º?

A ángulo extendido C ángulo agudo

B ángulo recto D ángulo obtuso


LOS OLIVOS

CONSTITUCIÓN

L A S P E T U N I A S

L O S

O L M O S

L A S A R A U C A R I A S

30º



182

Aprende

C

B O

D

A

I

H

F

G

P

T

UV

S

W 55°

35°

Repaso rápido L E C C

I Ó N


Actividad

Materiales ■ transportador ■ papel calco ■ tijeras

• Traza BOC y AOD sobre papel calco.

Nombra dos pares de ángulosadyacentes de la figura.

Vocabularioángulos complementarios

Ángulos complementariosOBJETIVO: identificar ángulos complementarios.

1. ¿Son SWV y TWU ángulos complementarios?

SWV mide 35. TWU mide 55.

35 55

Sí, los ángulos forman un ángulo recto.

45 45 90

Ejemplo El puente mecano que cruza el río Biobío mide 1 351 m. Esel más largo de Latinoamérica. ¿Son complementarios los ángulosque forman las vigas cruzadas del puente?

• Usa un transportador para medir ambos ángulos.

• Recorta los ángulos y coloca _

›

OC sobre _

›

OD .

• Halla mBOA.

• Repite para FPG y IPH , coloca _

›

PF sobre _

›

PI .

Luego halla mHPG.

• ¿Qué observas acerca de BOA y HPG?

Dos ángulos cuyas medidas suman 90 se llaman

ángulos complementarios. Pueden ser adyacentes o no.

K 155°

35°155°

35°P

M N

L

45º45º

1 2 4 5 0

1 8 0

1 0

1 7 0

2 0

1 6 0

3 0

1 5 0

4 0

1 4 0

5 0

1 3 0

6 0

2 0 7 0

1 1 0 8 0

10 0

1 0

8 0

1 1 0

0

1 2 0

6 0

3 0 5 0

1 4 0 4

0

1 5 0

1 6 0 2

0

1 7 0

1 0

90

X

Z

Y

1 8 0

Es importante leer laescala adecuada sobreun transportador. Leela escala que comienza

con 0 en_

›

YZ . XYZ es un ángulo agudo.La m XYZ 75.



183CAPÍTULO 10Práctica adicional en la página 186, Grupo C

L

60°

M80°

N

30°

P

K

60°90°

40°

O

J

70°

90°20°

B

70°

G20°

90°

C

DE

F

A

QR

P

L K

J

R

P

E

AB

F

C

D

50˚60˚

65

˚

25˚

125˚55˚

30˚

30˚



adyacente, complementario, ambos o ninguno.

7. FGE y CGD 8. AGF y BGC

9. AGB y BGC 10. DGE y BGC

11. AGF y FGE 12. BGC y CGD

13. Estima las medidas de JKL y PQR de la derecha.Luego mide los ángulos con un transportador e indicasi son ángulos complementarios. ¿Fueron razonables tusestimaciones? Explica.

14. Razonamiento Explica por qué el ángulo complementariode 18° no es 162°.

Para los ejercicios 15 y 16 usa la figura de la derecha.

15. Álgebra Si la medida de uno de los ángulos complementarios es 46°,¿qué ángulo es?, ¿cuál es la medida del ángulo desconocido?

16. ¿Cuál es la pregunta? La respuesta esBEF y DEF .

17. La temperatura por la tarde era de 8 C.Bajó 15 C durante la noche. ¿Cuál era la

temperatura a la mañana siguiente?

18. Resuelve usando el cálculo mental.95 180

19. ¿Cuánto mide PQR?

20. ¿Qué par de ángulos es complementario?

A BGE y AGB

B AGF y FGD

C EGD y AGF

D AGF y BGE


adyacente, complementario, ambos o ninguno.

2. JPO y KPJ 3. NPO y LPK

4. LPK y MPN 5. NPO y MPN

6. Explica cómo sabes si dos ángulos son complementarios.

60°

30°

B

90°

G150°

D

E

F

A

30°

QR

P




184

Destreza

de lectura

Estrategia: hacer un diagramaOBJETIVO: resolver problemas con la estrategia hacer un diagrama.

Usa la estrategia

PROBLEMA El ángulo 1 mide 30. Los ángulos 1 y 4 son ángulos opuestos porel vértice. Los ángulos 1 y 2 son ángulos complementarios adyacentes. Elángulo 3 es adyacente al ángulo 2 y al ángulo 4. La suma de las medidas de losángulos 2, 3 y 4 es 180. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos 2, 3 y 4?


Puedes hacer un diagrama para resolver el problema.


Haz un diagrama donde se muestren las relaciones entre los ángulos.

Los ángulos 1 y 4 son ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestospor el vértice quedan opuestos entre sí cuando dos líneas se intersecan.Miden lo mismo. Traza 1 y 4. Rotula 1 y 4 con 30.

Los ángulos 1 y 2 son complementarios adyacentes. Los ánguloscomplementarios adyacentes tienen un rayo común y la medida total es90. Traza 2 adyacente a 1 para formar un ángulo recto. 90 30 60,entonces 2 mide 60. Rotula 2 con 60.

El ángulo 3 es adyacente a los ángulos 2 y 4. Marca 3 en el diagramaadyacente a 2 y 4. La suma de las medidas de los ángulos 2, 3,

y 4 es 180.

30 60 90 y 180 90 90; entonces 3 mide 90. Rotula 3 con 90.

Entonces,2 mide 60, 3 mide 90 y 4 mide 30.


• ¿Cómo pueden ayudarte las claves del contexto a entender el problema?

• ¿Qué información se da?

L E C C

I Ó N



185CAPÍTULO 10

Resolución de problemas con supervisión ESTRATEGIAde resoluciónde roblemas

ESTRATEGIAS


1. El ángulo 1 es un ángulo recto. Los ángulos 1 y 3 son opuestos por elvértice. ¿Cuánto miden los ángulos 2, 3 y 4?

Primero, traza 1 y rotula su medida.

Luego, usa las relaciones entre los ángulospara trazar y hallar la medida del ángulo 3.

Por último, usa las relaciones entre los ángulos paratrazar y hallar las medidas de los ángulos 2 y 4.

2. ¿Qué pasaría si en el problema 1, los ángulos 1 y 4 fuesen ánguloscomplementarios en lugar de ser ángulos opuestos por el vértice? ¿Seríanlas mismas las medidas de los ángulos 2 y 4? Explica.

3. El tablero de un juego de mesa se compone de 25 cuadrados organizadosen 5 filas iguales. Los colores de los cuadrados se alternan entre rojoy azul en forma horizontal y vertical. El cuadrado del extremo superiorizquierdo es azul. ¿Cuántos cuadrados del tablero son azules? ¿Cuántosson rojos?


Hacer un modelo o dibujo

Hacer un modelo o unadramatización

Hacer una lista organizadaBuscar un patrón

Hacer una tabla o gráfico

Predecir y probar


Resolver un problema más sencillo


Resuelve.

4. El colegio de Fabián es sede de un maratón de juegos demesa. Veintiún estudiantes están jugando solamente al ajedrezy 36 estudiantes están jugando solamente a las damas. Untotal de 75 estudiantes están jugando al ajedrez, a las damas oa ambos juegos. ¿Cuántos estudiantes están jugando a ambos juegos?


5. El puntaje obtenido por Marta en Creatividad y en Diseñoes la mitad del puntaje que obtuvo Boris en las mismascategorías. Boris tuvo 8 puntos más en Creatividad queen Diseño. ¿Cuáles son los puntajes que tuvo Boris enCreatividad y en Diseño?

6. Plantea un problema Observa el problema 5. Cambia ladiferencia entre la calificación de Boris en creatividad y endiseño. Resuelve el nuevo problema.

7. La calificación total de Pamela en el concurso es 4 más que2 veces la calificación total de Marta. ¿Cuál es la calificacióntotal de Pamela?

8. Explica cómo usaste una estrategia pararesolver el problema 7.


Concurso de diseño de juegos

Categoría Puntos de Marta

Creatividad 9Diseño

Valor del entretenimiento

Justicia de las reglas

610

4



186

3590

A

B

C

D

E

F

55

55

35 90

G

60 A

B

C

D

E

F

90

Grupo A Del 1 al 4, medir los ángulos dados .

Grupo C Del 1 al 6, usa la figura de la derecha.

Indica si el par de ángulos es complementario.

1. AED y BEC 2. CED y BEC 3. AED y CED

4. CED y AEB 5. AED y AEB 6. AEB y BEC

Grupo B Del 1 al 6, usa la figura de la derecha. Indica si el par de ángulos

es opuesto por el vértice, adyacente o ninguno de los dos.

1. DGE y EGF 2. AGF y CGD 3. CGD y AGB

4. AGF y BGC 5. AGF y DGE 6. CGD y EGF

Grupo D Del 1 al 6, usa la figura de la derecha.

Halla la medida del ángulo desconocido. Explica tu respuesta.

1. AFB 2. BFC 3. CFD

4. AFC 5. DFB 6. EFB

7. Los ángulos A y B son ángulos complementarios.Si la medida del ángulo B es 35º, ¿cuál es lamedida del ángulo A?

8. Los ángulos C y D son ángulos adyacentescomplementarios. Si la medida del ánguloD es 42º, ¿cuál es la medida de un ángulocomplementario del ángulo C ?

1. 2. 3. 4.

5. que mida 60º 6. que mida 135º

Usa tu transportador para trazar un ángulo.

68 112

158

22 EB

C

A

D

Práctica adicional



187CAPÍTULO 1010

Preparados2 jugadores

Listos• 2 monedas diferentes• transportador• regla• dado

Cada jugador selecciona una moneda y la colocaen la SALIDA. Decidan qué jugador empieza.

El jugador 2 traza dos rayos para formar unángulo agudo.

El jugador 1 mide el ángulo con un transportador yanota la medida del ángulo.

El jugador 1 lanza una moneda para determinaruna relación del ángulo.

Si sale cara, el jugador traza un ángulocomplementario no adyacente y anota la

medida del ángulo. Si sale cruz, el jugadortraza un ángulo complementario adyacentey anota la medida del ángulo.

El jugador 2 comprueba la medida del ángulo. Si larespuesta es correcta, el jugador 1 lanza el dado ymueve su moneda ese mismo número de espacios.Si la respuesta es incorrecta, el jugador 1 no haceningún movimiento. Sigue el próximo jugador.

Gana el primer jugador en alcanzar la LLEGADA.

A empezar

Salida

Llegada

Retrocedes3 casilleros

Pierdesun turno

Avanzas 2casilleros

¡Hazlo otra

vez!

Retrocedes3 casilleros

Pierdesun turno

Avanzas2 casilleros

¡Hazlo

otravez! Retrocedes3 casilleros

Pierdesun turno

¿Cuál es el ángulo?

187CAPÍTULO 10



Ángulo manía

Usa la siguiente figura para responder a las preguntas

1. Nombra seis pares de ángulos opuestos por el vértice.

2. Nombra seis pares de ángulos adyacentes.

3. Mira el dibujo y nombra

a. Dos ángulos agudos

b. Dos ángulos obtusos

c. Dos ángulos extendidos

Con tu transportador mide los ángulos

4. GKF = _______ 5. GKH = _______ 6. AKB = _______

7. CKD = _______ 8. DKE = _______ 9. HKB = _______

Piénsalo

10. Piensa más allá, ¿cuántos ángulos sonadyacentes a GKF? Nómbralos.

Explica cómo hallaste la respuestaal problema anterior.

42º26º K

A

B

C

D

E

F

G

H

48º

189CAPÍTULO 10



190


1. ¿Cuál es el máximo común divisor entre 42 y 18?

A 3 C 72

B 6 D 126

2. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre 4, 6 y 10?

A 2 C 60

B 30 D 120

3. ¿Cuál es la diferencia entre 11 _

3

y 1 _

2

?

A 1

__

3

B 2

__

3

C 5

__

6

D 22

__

3

4. ¿Cuánto es 12

_ 7 + 3

_ 5 ?

A 2

B 1

C 1

D 27

___

35

5. Sandra escribió 4,05; 4,5; 4,055y 4,505 en su hoja. Explica cómo se ordenan losdecimales de mayor a menor .

Patrones y álgebra

7. En la tabla se muestra cuánto gasta una empresaen la producción de tapas para lápices. Cada tapale cuesta $ 2 y por transporte le cuesta $ 5. ¿Quénúmero completa la siguiente tabla de costos?

Número de tapas 2x 5 Costo

1 (2 • 1) 5 7

2 (2 • 2) 5 9

3 (2 • 3) 5 11

4 (2 • 4) 5

A 12

B 13

C 14

D 15

8. ¿Qué valor de x hace que la siguiente ecuaciónsea verdadera?

0,5 x 13

A 65

B 26

C 13,5

D 12,5

9. ¿Qué valor de n hace que la siguiente ecuaciónsea verdadera?

10 x 120

A 110

B 100

C 11

D 10


6. ¿Cuál es la suma de 34,62 + 6,8 + 320,965?

A 362,385

B 623,385

C 326,385

D 362,835

2135

512

3135



191CAPÍTULO 10


10. Armando trazó un triángulo con ángulos quemiden 90°, 28° y 62°. ¿Qué tipos de ángulos

forman este triángulo?

A Solo ángulos obtusos

B Solo agudos

C Ángulos agudos y recto

D Solo recto

11. Si dos ángulos son adyacentes, ¿qué tienen encomún?

A Solo un vértice B Un vértice y un rayo

C Dos vértices

D Dos rayos

12. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, ¿quétienen en común?

A Solo un vértice

B Un vértice y un rayo

C Dos vértices

D Dos rayos

13. Si m A mide 42 y mB mide 48, ¿qué términodescribe los dos ángulos?

A Opuestos por el vértice

B Complementarios

C Adyacentes

D Congruentes

14. Los ángulos A y B son ángulosopuestos por el vértice. Los ángulos B y C sonángulos complementarios. Los ángulos C y D suman 180º y los ángulos D y E son ángulosopuestos por el vértice. Explica cómo puedeshallar mE , si m A mide 66.


Resultados de los exámenes

Examen Carla Luisa Marcos Joaquín

1 99 98 96 92

2 87 98 83 94

3 90 95 97 93

17. ¿Cuál fue la media que obtuvo el grupo en elexamen número 2?

Pista: Busca palabras importantes.

Usa la tabla para responder desde la pregunta 15 a la21.

15. La media que obtuvo Carla en sus exámenes es:

A 94

B 92

C 89

D 94

16. La media que obtuvo el grupo en sus exámeneses:

A 91,5B 92

C 93,5

D 94

18. ¿Cuál fue la diferencia entre el puntaje más alto yel más bajo?

19. ¿Cuántos puntajes hay sobre 90 puntos?

20. ¿En qué examen obtuvo Marcos el mayorpuntaje?

21. ¿Quién obtuvo el mejor puntaje en el examennúmero 2?



A

C B

P

QR

NL

MM

N

S

E D F

Z

X

Y

LD

R X

B

G

3 cm

3 cm3 cm

3 cm

2 m

2 m

2 m

2 m

6 cm

2 cm

4 m

2 m

Comprueba si has aprendido las destrezas importantesque se necesitan para el aprendizaje del capítulo 11.

Clasificar ángulosClasifica cada ángulo como agudo, obtuso, recto o extendido.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

Identificar cuadriláterosDa el nombre más exacto para la figura. Escribe romboide,

rectángulo, rombo, cuadrado o trapecio.

9. 10. 11.

12. 13. 14.


triángulo acutángulodiagonaltriángulo equiláterotriángulo isóscelestriángulo obtusángulotriángulo rectángulotriángulo escaleno

PREPARACIÓN

triángulo acutángulo Un triángulo que tiene tres ángulosmenores que 90.

triángulo rectángulo Un triángulo que tiene un ángulo recto.

triángulo obtusángulo Un triángulo que tiene un ángulomayor de 90.

193CAPÍTULO 11



194

Aprende

40

5035

25120

65

75 40

3 cm3 cm

3 cm 1 m

3 m3 m 4 km9 km

11 km

D

F

E

2,6 m

3 m

5 m

122 27

31

G

H J

45

45

5,0 cm

5,0 cm

7,1 cm

7 cm 7 cm

5 cm

A

B C

L E C C

I Ó N

TriángulosOBJETIVO: usar las propiedades de un triángulo para clasificartriángulos y hallar medidas desconocidas.

Un triángulo puede clasificarse según los ángulos que contiene. Un triánguloacutángulo contiene solo ángulos agudos. Un triángulo rectángulo contieneun ángulo recto. Un triángulo obtusángulo contiene un ángulo obtuso.

Clasificación según los ángulos

Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo Triángulo obtusángulo

Un triángulo también puede clasificarse según las longitudes de sus lados. Loslados que tienen la misma longitud son congruentes. Un triángulo equilátero tiene tres lados congruentes. Un triángulo isósceles tiene exactamente doslados congruentes. Un triángulo escaleno no tiene lados congruentes.

Clasificación según los lados

Ejemplo 1 Cristina hizo un bosquejo de uno de los triángulos que semuestran en el edificio de la derecha. Clasifica el triángulo según sus lados.

El triángulo tiene exactamente doslados congruentes.

Entonces, ABC es un triángulo isósceles.

Ejemplo 2 Clasifica el triángulo según sus lados y ángulos.

El triángulo no tienelados congruentesy tiene un ánguloobtuso.

El triángulo tiene2 lados congruentes yun ángulo recto.

Entonces, DEF es un triángulo obtusángulo escaleno. Entonces, GHJ es un triángulo rectángulo isósceles.

Repaso rápido

Identifica el ángulo como agudo,

obtuso o recto.

Vocabulariotriángulo acutángulo triángulo isósceles

triángulo rectángulo triángulo escaleno

triángulo obtusángulo diagonal

triángulo equilátero adyacente

Triángulo equilátero Triángulo isósceles Triángulo escaleno

p Este imponente edificio es

la Hearst Tower, ubicado en

Nueva York. Es el primer

rascacielos que se levantó

en Manhattan después de

los atentados del 11 de

septiembre de 2011.



195CAPÍTULO 11

180

180

C

A BD

A

C

B

x

40 110

31 31

1182 cm 2 cm

3,5 cm

3,1 cm 3,1 cm

3,1 cm

60

60 60

75

75

30

4 mm

2 mm

4 mm

1,8 m

1,1 m

2,1 m

3258


Medidas de los ángulos de los triángulos

Dibuja un triángulo cualquiera, recorta dos de sus ángulos y ubícalos a los lados deltercer ángulo, como muestra la figura, ¿qué medida tiene el ángulo que se forma?

Este ejercicio muestra que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es180°.

1. Halla la medida del ángulo desconocido. Luego clasifica el triángulo según sus ángulos.

x 40 110 180

x 150 180

x 150 150 180 150

x

0

30 x

Entonces, ABC es un triángulo .

Clasifica cada triángulo según sus ángulos y las longitudes de sus lados.

2. 3. 4. 5.

Dos líneas sonperpendiculares

si se intersectan yforman ángulosrectos.

R e cuer d a

Si dibujas otro triángulo, igual al que tenías y lo haces compartiendo ellado de mayor longitud, se forma un cuadrilátero cuya diagonal es ellado en común del triángulo. Como se forma con dos triángulos,entonces la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero serádos veces la del triángulo, es decir: 2 · 180° = 360°.

Luego la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadriláteroes igual a 360°.

a + b + c = 180º

a

a

c

c

b

b



196

A

37B C x

A

54

B

C

x

96

A60

B

C

x

60 A

B

C 28 46

90

4347

2,6 cm

2,8 cm

3,7 cm

63 13 m

2712 m

5 m

9 cm

3,5 cm

8, 7 5 c

m

33 64

83

5,8 m

3,4 m

4,2 m

30

30 120

A

88

C

B45 x

A

C

B

48

105 A

C

B

20

x20 AC

B x

20

C ángulo exterior

27

L JG

120

T

QR

P

S

53

53

37 8 m 8 m

4,9 m4,8 m

5,6 m6,4 m

10 m

74

53

47 93

40


ÁlgebraHalla la medida de B y clasifica ABC según sus ángulos.

6. 7. 8. 9.

10. Explica por qué un triángulo no puede tener dos ángulos obtusos.

Clasifica cada triángulo según sus ángulos y las longitudes de sus lados.

11. 12. 13. 14.

Álgebra Halla la medida de B y clasifica ABC según sus ángulos.

15. 16. 17. 18.

Clasifica cada triángulo según las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos dados.

19. lados: 15 m, 18 m, 20 m 20. lados: 4,5 cm, 4,9 cm, 5,6 cm 21. lados: 8 km, 8 km, 8 km ángulos: 46, 60, 74 ángulos: 50, 58, 72 ángulos: 60, 60, 60

22. El triángulo PQR es un triángulo rectángulo yel ángulo Q mide 90. ¿Los ángulos P y R soncomplementarios o suplementarios?

24. Si extiendes un lado de un triángulo, formas unángulo exterior. CJL es un ángulo exterior deGCJ . Halla la medida de CJL. Explica.

23. El triángulo XYZ es un triángulo rectángulo. Si unode los ángulos agudos mide 46, ¿cuánto mide elotro ángulo agudo? Explica.

25. Observa la siguiente figura. Nombra todos lostriángulos. Luego clasifica cada triángulo segúnsus ángulos y las longitudes de sus lados.

26. Razonamiento En ABC , la medida de A esdos veces la medida combinada de B y C . Lamedida de B es dos veces la medida de C .¿Qué medidas tienen los ángulos de ABC ?Explica cómo lo sabes.

27. Plantea un problema Repasa el problema 26.Escribe un problema similar cambiando lasrelaciones entre las medidas de los ángulos deltriángulo. Luego resuelve.



197CAPÍTULO 11


30N

AM

B

D

120

60 60

A

BC x30

30

A

B C

x37

104

A

B C

x

29

131

F

ángulo exteriorD

120

J

C

L

ángulos interiores no adyacentes

28

G


Del 28 al 29, usa la figura de la derecha.

28. Halla todas las medidas de ángulo desconocidas. Nombratodos los triángulos y clasifícalos según sus ángulos.

29. ¿Cuál es la pregunta? La respuesta esBMA y DAN .

RAZONAMIENTO Un ángulo exterior está formado por un ladode un triángulo y la extensión de otro lado. La medida de un

ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de lasmedidas de sus dos ángulos interiores no adyacentes.

En la figura, CJL es un ángulo exterior de CGJ .Los ángulos JCG y CGJ son ángulos interiores no adyacentes aCJL. Halla mCJL.

CJL m JCG mCGJ

CJL 120 28

CJL

148

Los ángulos JCG y CGJ son los ángulosinteriores no adyacentes a CJL.

Suma.

Entonces,CJL mide 148.

En cada triángulo, halla el ángulo desconocido.

1. 2. 3.

30. El jardín rectangular de Jazmín mide 30 metrosde largo. Si el perímetro mide 90 metros, ¿cuáles el ancho del jardín?

31. Carolina tiene 332 tarjetas de colección. Estoequivale al doble de lo que tiene Marta. ¿Cuántastarjetas de colección tiene Marta?

32. Halla el valor de n.

189 n 360

33. El triángulo FGH es un triángulo acutángulo. ¿Enqué opción se muestran las posibles medidas deángulos para el triángulo FGH ?

A 90, 35, 55 C 40, 65, 75

B 30, 115, 35 D 20, 140, 20

34. Los ángulos de un triángulo obtusángulo isósceles

miden 112, 34 y x . ¿Cuál es el valor de x ?

A 180 B 112 C 68 D 34



198

Aprende


I Ó N

Escribe agudo, obtuso o recto para cada medida de ángulo.

1. 156 2. 76 3. 32 4. 90

5. 94

Puedes usar las propiedades de los triángulos para trazarlos enpapel punteado.

Trazar triángulosOBJETIVO: usar las propiedades de los triángulos para trazardiferentes tipos de triángulos.

Actividad

Materiales■papel punteado cuadriculado ■ papel punteado isométrico

• Usa las propiedades para trazar un triángulo rectángulo isósceles.

Puedes usar el papel punteado cuadriculado para trazar figuras

que tengan ángulos rectos.

Piensa: el triángulo debe tener dos lados congruentesque formen un ángulo recto. A partir del mismopunto, traza dos segmentos congruentes que seanperpendiculares entre sí. Asegúrate de que ambostengan la misma longitud de 2 unidades.

El triángulo también debe tener dos ánguloscongruentes. Une los extremos para

formar el tercer lado.

• Usa las propiedades para trazar un triángulo equilátero.

Puedes usar papel punteado isométrico para trazar figuras que tengan ladoscongruentes y no tengan ángulos rectos.

Piensa: el triángulo debe tener tres lados congruentes. A partir del mismo punto,traza dos segmentos congruentes tal como se muestra. Asegúrate de que ambostengan la misma longitud de 4 unidades. Une los extremos para formar el tercer ladode 4 unidades.

• ¿Es posible trazar un triángulo rectángulo que tenga un ángulo obtuso? Explica.

Idea matemática El papel punteadoisométrico se usa para trazartriángulos equiláteros, ya quelas diferentes hileras de puntosforman un ángulode 60 entre sí.



199CAPÍTULO 11




L3

L1

ángulo exterior

126


1. Copia y completa el dibujo de la derechapara trazar un triángulo obtusánguloisósceles.

Dibuja en tu cuaderno un punteado cuadriculado o un punteado isométrico y traza el triángulo donde

corresponda.

2. un triángulorectángulo isósceles

3. un triánguloequilátero

4. si cada lado tiene 4unidades de longitud,entonces es untriángulo

5. un triánguloobtusángulo isósceles

6. un triángulo obtusángulo isósceles que tengaal menos dos de sus lados de 4 unidades delongitud.

7. un triángulo rectángulo escaleno que tenga unlado de 3 unidades de longitud

8. Explica la diferencia entre papel punteado cuadriculado y papel punteado isométrico.

Traza el triángulo.

13. María trazó el triángulo equilátero ABC . Luegotrazó un segmento para unir el vértice A con elpunto medio del segmento BC . ¿Qué tipo de

triángulos formó?

14. Traza un triángulo rectángulo isósceles ABC . Sea A un ángulo recto. Halla las medidas de los otrosdos ángulos.

15. Razonamiento El ángulo exterior de un triángulo isósceles mide 126.Halla dos medidas posibles de los ángulos del triángulo.

16. Explica por qué usarías papel punteado cuadriculadoen lugar de papel punteado isométrico para trazar un triángulorectángulo escaleno.

17. La temperatura al atardecer era de 28 C. A lamedianoche, la temperatura había bajado 8 C.¿Cuál era la temperatura a la medianoche?

18. ¿Cuál es la media del conjunto de datos 8, 12, 9,10, 16, 12, 19, 10, 12?

19. Un triángulo tiene ángulos que miden 56, 49 y x. ¿Cuál es el valor de x ?

20. ¿En cuál de las siguientes opciones usaríaspapel punteado isométrico para trazar la figura?

A triángulo rectángulo escaleno

B triángulo rectángulo isósceles

C triángulo equilátero

D triángulo rectángulo

9. un triángulo rectángulo escaleno que tieneun lado de 6 unidades de longitud

11. un triángulo rectángulo isósceles que tiene2 lados de 7 unidades de longitud cada uno

10. un triángulo equilátero que tiene lados de8 unidades de longitud cada uno

12. un triángulo equilátero que tiene lados de4 unidades de longitud cada uno



¿Por qué te resulta útilbuscar un patrón deformación para resolver losproblemas?

200

Estrategia: buscar un patrónOBJETIVO: resolver problemas con la estrategia buscar un patrón.

Aprende la estrategiaBuscar patrones en los problemas puede servirte para identificar valores u otrotipo de información que no se da en el problema. Hay diferentes tipos depatrones en diferentes tipos de problemas.

Los patrones numéricos pueden aumentar, disminuir, repetirse o detenerse.Cristina abre una nueva cuenta de ahorros y deposita $ 32 000 cada semana.¿Cuál será su saldo después de 5 semanas?

Semana 1 2 3 4 5

Saldo $ 32 000 $ 64 000 $ 96 000 $ 128 000 $ 160 000

Los patrones geométricos pueden relacionarse con el tamaño, laforma, la posición, el color o el número de las figuras.Alicia está pintando una cenefa en la pared. Si continúa su patrón, ¿quéfigura geométrica podría pintar a continuación?

Algunos patrones visuales pueden describirse con números. Vera está trazando formas geométricas planas. Traza un triánguloequilátero seguido de un cuadrado. La tercera forma es un pentágonoregular y la cuarta forma es un hexágono regular. Si el patrón continúa,¿cuál podría ser la octava figura?

Estrategia buscar un patrón

L E C C

I Ó N




Resolución de problemas • Práctica de estrategias

4 lados,

2 diagonales

5 lados,

5 diagonales6 lados,

9 diagonales

7 lados,

14 diagonales

Unidades = 1

Perímetro = 4

Unidades = 9

Perímetro = 12

Unidades = 4

Perímetro = 8

Unidades = 16

Perímetro = 16

202

1. En las figuras de la derecha semuestra la cantidad de diagonalesque pueden trazarse en uncuadrilátero, pentágono, hexágonoy heptágono. ¿Cuántas diagonalespueden trazarse en un octógono?

Busca un patrón para resolver.

4. Luis trazó 40 triángulos en la primera fila de undiseño de 4 filas que hizo en la clase de arte. Trazó30 rectángulos en la segunda fila y 24 pentágonosen la tercera fila. Si continuó su patrón, ¿qué formatrazó en la cuarta fila y cuántas formas trazó? ¿Cuál

es una regla posible del patrón?

5. Eduardo apila cajas cuadradas para crearcuadrados más grandes. Si apila cajas para crearun cuadrado con 8 unidades por lado, ¿cuántascajas usará en total y cuál será el perímetro delcuadrado más grande?

Polígono Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono

Número de lados 4 5 6 7

Diagonales trazadas

desde un vértice1 2 3 4

Número total dediagonales

2(4 · 1 : 2 2)

5(5 · 2 : 2 5)

9(6 · 3 : 2 9)

14(7 · 4 : 2 14)

Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4

Altura (cm) 2 4 6 8

Área (cm2) 6 12 18 24

6. Según la tabla de la derecha, escribedos formas de hallar el área del triángulo 5 si secontinúa el patrón de la tabla.

2. ¿Qué pasaría si te pidieran que hallases el número de diagonales que puedentrazarse en un polígono que tiene 14 lados? ¿Cuántas diagonales puedentrazarse?

3. Irene traza un octógono regular que tiene un perímetro de 48 cm y unheptágono regular que tiene un perímetro de 35 cm. Luego traza un hexágonoregular que tiene un perímetro de 24 cm y un pentágono regular que tieneun perímetro de 15 cm. ¿Qué regla sigue este patrón? Si Irene continúa estepatrón, ¿cuál será la longitud de cada lado de su triángulo equilátero?

Primero, organiza la información en una tabla.

Luego, halla una regla para el patrón de la tabla que permita mostrarcuántas diagonales pueden trazarse en un polígono de n lados.

Por último, usa la regla para hallar el número de diagonales que hayen un octógono.



ESTRATEGIAde resoluciónde roblemas

ESTRATEGIAS

fila 1

fila 2

fila 3fila 4

203CAPÍTULO 11


USA LOS DATOS Del 7 al 11, usa el diagrama y la tabla.

Hacer un diagrama

Hacer una representación


Buscar un patrón

Hacer una tabla o gráficoPredecir y probar

Trabajar desde el final hasta elprincipio

Resolver un problema mássencillo



7. Ana está haciendo un triángulo grande con fichaspara una clase de arte. Usa fichas de color verdeclaro y oscuro que tienen forma de triángulo

isósceles. Ana coloca las fichas como se muestra enel diagrama. ¿Cuántas fichas necesitará para hacer untriángulo de 6 filas?

8. ¿Cuántas fichas verde claro habrá en la séptima fila?¿Cuántas fichas verde oscuro habrá?

9. Si Ana quiere que la base del triángulo grande midaexactamente 80 cm, ¿cuántas filas necesitará?

10. Ana tiene $ 48 000 para comprar las fichas. ¿Cuálesson las longitudes de los lados y de la base deltriángulo más grande que puede hacer?

11. Plantea un problema Escribe y resuelve un nuevoproblema acerca del triángulo de Ana usandodiferentes costos para las fichas verde claro y verdeoscuro.

12. Tu profesor te dice que uno de losángulos de un triángulo rectángulo mide 30. Explica de qué manera hallarías la medida de los otros dosángulos.

ESFUÉRZATEAna compró una caja de 100 fichas que contenía

las figuras que se muestran abajo.

13. La mitad de las fichas poligonales de Ana contienenal menos un ángulo recto. Tres quintos de esasfichas son rectángulos y la mitad de los rectángulosno tienen lados iguales. ¿Cuántas fichas poligonales notienen todos los lados congruentes?

5 cm

30º



3,5 cm

3 cm

2,5 cm60

7545

4,6 m 4,6 m

8 m

100

45 45

4 cm

30

5 cm

3 cm60

6 cm

6 cm45

45

8,5 cm

Práctica adicional

204

Grupo A Clasifica cada triángulo según sus ángulos y las longitudes de sus lados.

1. 2. 3. 4.

1. Un triángulo rectángulo isósceles que tiene doslados de 4 unidades.

3. Un ángulo basal de un triángulo isósceles mide92. ¿Cuáles son las medidas de los otros dosángulos?

2. Un triángulo acutángulo isósceles que tiene doslados de 3 unidades.

4. Un ángulo de un triángulo equilátero mide60. ¿Cuáles son las medidas de los otros dosángulos?

Escribe siempre, a veces o nunca para cada frase.

7. Un triángulo equilátero tiene lados congruentes.

9. Un triángulo rectángulo tiene dos ángulos agudos.

8. Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo recto.

10. Un triángulo escaleno es un triángulo acutángulo.

Grupo B Traza el triángulo. Usa papel punteado cuadriculado o papel punteado isométrico.

5. Un triángulo tiene lados que miden 8 m,8 m y 8 m. Clasifica el triángulo según las

longitudes de sus lados.

6. Un triángulo tiene ángulos que miden 32, 32 y 116. Clasifica el triángulo según sus ángulos.

5. Traza un triángulo obtusángulo isósceles quetiene dos lados de 7 cm.

6. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo agudoque mide 27º. ¿Cuánto mide el otro ánguloagudo?

7. Un triángulo isósceles tiene un ángulo quemide 38º. ¿Cuánto miden los otros dos que soniguales?

8. Traza un triángulo equilátero de lado 6 unidades.



2 6

2 6

x

6 4 º

4 9 º

1 3 5 º

7

7

x

6 0 º

6 0 º

12

12

x

25º

145º

205CAPÍTULO 11

Mezcla las tarjetas y colócalas en un mazo bocaabajo.

Cada jugador elige una moneda y la coloca sobrela caja de SALIDA. Decidan quién empezará.

El jugador 1 saca una tarjeta del mazo.

El jugador 1 halla la medida del ángulo desconocidode la figura de la tarjeta.

El jugador 2 comprueba la respuesta. Si es correcta,el jugador 1 mueve su moneda un espacio en eltablero y el turno pasa al otro jugador.

Si la respuesta es incorrecta el jugador noavanza. El turno pasa al otro jugador.

Gana el primer jugador en alcanzar la LLEGADA.

SALIDA

LLE G AD A

¡Ya!

¡En sus marcas!2 jugadores

¡Listos!• 30 tarjetas con triángulos

o cuadrilátero que tenganun ángulo desconocido

• 2 monedas diferentes

¡Todo suma!



13 cm

12 cm

5 cm60

30

8 m

17 m

15 m90

3060

60

60 60

5 m 5 m

5 m

20 20

1402,1 cm 2,1 cm

4 cm

42 x

107 x

45 27

43

x

206


1. Un triángulo sin lados congruentes se llama ___________________ .

2. Un ________________ tiene tres lados congruentes.

3. Un ________________ tiene todos sus ángulos agudos.

Repasar las destrezasClasifica cada triángulo según sus ángulos y las longitudes de sus lados.

4. 5. 6. 7.

VOCABULARIO

triángulo acutángulotriángulo equilátero

triángulo escaleno

12. obtusángulo isósceles 13. que tiene un ángulo recto 14. que tiene lados iguales


Escribe siempre, a veces o nunca para cada conjetura.

8. Un triángulo escaleno tiene tres ángulos agudos. 9. Un triángulo rectángulo es un triángulo escaleno.

10. Un triángulo equilátero tiene un ángulo recto. 11. Un triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos.

Traza el triángulo. Usa papel punteado cuadriculado o papel punteado isométrico.

Halla la medida del ángulo desconocido.

15. 16. 17.

18. Matías traza un triángulo, un cuadrado y unpentágono. Si su patrón continúa, ¿qué figuradebe trazar en sexto lugar?

19. Eliana apila cajas cuadradas. Si apila cajas paracrear un cuadrado con 4 unidades de cada lado,¿cuántas cajas usará?

20. Mario trazó un hexágono con un área de 30 metros cuadrados, un pentágono con un áreade 20 metros cuadrados y un rectángulo con un área de 12 metros cuadrados. Si Mario continúa el patrón,¿cuál será el área de su triángulo? Explica.




Enriquecimiento • Trazar figuras con pares ordenados

Francisca está trazando el rombo ABCD en un plano cartesiano.

Ha trazando tres puntos sobre el plano de coordenadas: A (4,7),B (1,5) y C (4,3). ¿Dónde debe colocar el punto D?

Completa la actividad para hallar las coordenadas del punto D.

ActividadMateriales papel cuadriculado, regla

A Para hallar la ubicación del punto D necesitas conocer laspropiedades de un rombo. Un rombo tiene lados opuestosparalelos y cuatro lados congruentes.

B El punto D tiene la misma relación con el punto C que el punto A con el B. Compara el punto A (4,7) con el punto B (1,5). El punto A está tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba delpunto B.

C Para ubicar el punto D cuenta tres unidades a la derecha y dos unidadeshacia arriba desde el punto C (4,3). El punto D se ubica en (7,5).

D Usa una regla para unir los puntos A, B, C y D y formar elrombo ABCD .

E Para asegurarte de que los cuatro lados del rombo ABCD soncongruentes, mide las longitudes de los lados con una regla.

Entonces, Francisca debe colocar el punto D para formar el rombo ABCD en (7,5).

Explica cómo hallaste el punto desconocido en el problema 2.

6

8

4

2

0 2 4 6 8

y

x

A (4,7)

B (1,5)

C (4,3)

6

8

4

2

0 2 4 6 8

y

x

B (1,5)

C (4,3)

D (7,5)

A (4,7)

6

8

4

2

0 2 4 6 8

y

x

(6,2)

(4,0)

(0,4)

6

8

4

2

0 2 4 6 8

y

x

(4,3)(1,3)

(5,7)

6

8

4

2

0 2 4 6 8

y

x

(6,1)(1,1)

(3,4)

PruébaloHalla el punto desconocido para completar la figura dada.

1. rectángulo 2. paralelogramo 3. trapecio con 2 ángulos rectos

207CAPÍTULO 11



208


1. ¿Cuánto es 14

__ 8 expresado en forma de fracción

en su mínima expresión?

A 13

__

4

B 16

__

8

C 16

__

7

D 21

__

4

2. Cuál es el valor de 48

_ 9 +2 3 _

5 ?

A 611

___

14 B 722

___

45

C 711

___

45

D 57

___

14

3. ¿Qué lista de números está ordenada de menor a mayor?

A3

__

7 ; 3

__

8 ; 4

__

9 ; 2

__

5

B4

__

9 ; 3

__

8 ; 2

__

5 ; 3

__

7

C 2

__

5 ; 3

__

7 ; 4

__

9 ; 3

__

8

D 3

__

8 ; 2

__

5 ; 3

__

7 ; 4

__

9

4. ¿Qué lista de números está ordenada de mayor a menor?

A 1

__

5 ; 0,05; 0,5; 51

__

5

B 0,05; 1

__

5 ; 0,5; 0,5; 51

__

5

C 51

__

5 ; 0,5; 1

__

5 ; 0,05

D 51

__

5 ; 0,5; 0,05; 1

__

5

5. Explica cómo se puedeencontrar la diferencia entre 5 – 1

__

4. Escribe la

respuesta en su mínima expresión.

Patrones y álgebra

6. (7 3) : 2

A 5 C 10

B 8 D 20

7. ¿Qué valor de x hace que la siguiente ecuaciónsea verdadera? x – 14 = 26

A 40 C 29

B 30 D 4

8. En la tabla se indica cuánto cuesta patinar yarrendar patines en el centro de patinaje El Sol.¿Qué expresión indica el costo total, en pesos,por x horas de patinaje?

Centro de patinaje El Sol

Patinaje: $ 7 500 por hora

Arriendo de

patines:

$ 500

A 7 500 x + 500

B 500 x + 7 500

C 7 500 x 500

D 500 x 7 500


9. Si tuviera 22,5 kg más de manzanas de los queahora tengo, podría llenar un recipiente en el

que caben 94,6 kg y me faltarían 5 kg parallenarlo. ¿Cuántos kg de manzanas tengo ahora?

A 62,1 kg C 72,1 kg

B 67,1 kg D 77,1 kg



209CAPÍTULO 11

Geometría - Medición 10. ¿Qué enunciado es siempre verdadero sobre dos

ángulos complementarios?

A sus medidas suman 90º B sus medidas suman 180º

C son del mismo tamaño

D sus medidas suman 360º

11. Pablo trazó un triángulo isóscelesen un papel cuadriculado. Midió uno de losángulos y descubrió que medía 70. ¿Qué dosposibilidades hay para los otros ángulos de su

triángulo isósceles? Explica tu razonamiento ydibuja el triángulo.


14. En la tabla se muestran las puntuaciones de5 estudiantes en una prueba de ortografía.¿Cuál es la diferencia entre la mayor y la menorpuntuación?

Puntuación de la prueba de ortografía

Natalia Andrea Laura Alejandro Darío

53 42 75 98 62

12. El triángulo ABC es isósceles. Su perímetro es40 cm y uno de sus lados iguales mide 13,7cm.¿Cuánto mide el tercer lado?

A

C B

A 13,7 cm

B 27,4 cm

C 15,6 cm

D 12,6 cm

B 62 D 45

15. ¿Qué estudiante obtuvo la mayor puntuación dela prueba de ortografía?

A Natalia C Darío

B Alejandro D Laura

16. ¿Cuál es el promedio obtenido por los estudiantesen la prueba de ortografía?

A 66 C 65

B 80 D 70

A 98 C 56

13. En un festival de música, los organizadores quierensaber cuánta gente de la que asiste prefiere tomar jugo en lugar de bebida. ¿Cuál sería la mejor forma

de reunir esa información?

A Encuestar a toda la población.

B Realizar una encuesta online el día del evento.

C Preguntar por teléfono a las personas.

D Reunir los datos a medida que la genteva pasando.



Estudia y describe la simetría en cadauna de las imágenes. Después, dibujauna flor que tenga tan solo un eje de

simetría y una que tenga más de un ejede simetría. Explica en qué se parecenlas dos flores y en qué se diferencian.

Flor Mariposa

Geometría en movimientoLa idea importante Realizar teselados de figuras 2D, usando traslaciones,

reflexiones y rotaciones.

El desierto florido es unfenómeno natural que seproduce en el desierto deAtacama, el más árido delmundo. Sucede cuando lapoca lluvia hace germinarsemillas que permanecenenterradas. Cada vez queesto ocurre florecen más de

200 especies distintas deflores.

www.conaf.cl

DATO

BREVE

210



212

L E C C

I Ó N

TeseladosOBJETIVO: realizar teselados de figuras 2D, usandotraslaciones, reflexiones y rotaciones.

PROBLEMA Se llama teselado a una regularidad o patróngeométrico que permite el recubrimiento total del plano con unconjunto de figuras sin superponerlas, usando transformacionesisométricas.

Actividad

Materiales ■ compás ■ regla ■ tijeras ■ lápiz grafito ■ goma ■ hojas de block ■ papel lustre

Dibuja en el papel lustre de colores 20triángulos equiláteros de 3 cm de lado,20 cuadrados de 3 cm y luego recórtalos.

Ubica las figuras geométricas de papellustre, triángulos y cuadrados, en una hojade bloc, de modo que no se superpongan,

pero que tampoco queden espacios blancosentre estas. Luego, cuando encuentres unpatrón de llenado de la hoja, pégalas.

Cubre la hoja de bloc completamente conel patrón geométrico que decidiste utilizar. Exhíbelos en el muro de la sala de

clases junto con el de tus compañeros.

Sacar conclusiones1. ¿Es posible cubrir la hoja de bloc solo con

cuadrados o solo con triángulos?

2. ¿Cuántos patrones geométricos distintos sehicieron en tu clase?

3. ¿Qué condición deben satisfacer los cuadradosy triángulos para que se forme un teselado?

4. ¿Qué condición deben cumplir los ángulos deesos polígonos para formar un teselado?

5. ¿Es posible teselar con otras figurasgeométricas?

6. ¿Qué transformaciones isométricas utilizaste?

Aprende

Repaso rápido

Identifica la figura geométrica

Vocabularioteselado transformación isométrica

teselado semi regular traslación

teselado regular reflexión

rotación teselado no regular

La condición paraque una o másfiguras formenuna teselación,es que formen unángulo de 360°.¿Qué sucede conel pentágono?



213CAPÍTULO 12

Clasificación de teselados

Los teselados se clasifican según las características de las figurasgeométricas que lo componen.

Teselado regular : es un teselado que emplea un solo tipo de polígono

regular. Ha sido ampliamente utilizado desde la antigüedad. Solo son

posibles teselados regulares empleando triángulos equiláteros, cuadradosy hexágonos regulares.

Teselado semi regular : es un teselado compuesto por 2 o más polígonos regulares.

7. ¿Qué transformaciones isométricas fueron utilizadaspara la creación de los siguientes teselados?

Teselado no regular : formado por polígonos no regulares, como por ejemplo lasteselaciones formadas por romboides, rectángulos y otros polígonos y combinacionesde estas figuras.

a) b) c)

d) e) f)

Rotación Traslación

ReflexiónEn este caso simetría axial

R e cuer d a



214

Comienza con un cuadrado para recortaruna figura en un lado del cuadrado yluego añadirla en el lado opuesto concinta adhesiva.

La nueva figura está lista para teselar unasuperficie.

¿Puedes utilizar otro polígono regularcomo figura inicial?

¿Qué otro polígono regular puedesutilizar?

Clasifica el teselado en regular , semi regular o no regular .



8. 9. 10.

Actividad Materiales ■ Papel lustre■ Tijeras

■ Cinta adhesiva

Una transformación isométrica modifica la posición de una figura en el plano.

La reflexión es unatransformación isométricadonde cada punto de unafigura se ve reflejada en suimagen al otro lado de un ejede simetría.

La traslación es unatransformación isométrica enel plano donde la figura semueve de una posición a otranueva sin cambiar la formani el tamaño. No hay cambio

de ángulo respecto de lahorizontal. La traslación ocurresegún una dirección, sentido ymagnitud.

La rotación es el movimientoque realiza una figuraalrededor de un punto y unángulo.

AA’ BA’

O

C’

B’

A B

C

B’

C

y

C’



215CAPÍTULO 12

Clasifica los teselados en regular , semi regular

o no regular e identifica las figuras geométricas

presentes en los teselados.18. ¿Qué dificultad tuviste para contar los

polígonos de la pregunta anterior?

Identifica la o las figuras geométricas que dieron origen a cada teselado.

15. Identifica la o las transformaciones isométricas que se utilizaron en la teselación.


Según la imagen de la derecha, responde las preguntas 19 a 22.

19. ¿Qué transformaciones isométricas podrían utilizarse para convertir lostriángulos claros en los triángulos oscuros?

20. ¿Crees que existen otras opciones de transformaciones isométricasaplicables a la figura para desarrollar el teselado?

21. ¿Cuál es el polígono que da origen a este teselado?

22. ¿Podría hacerse este teselado solo con traslaciones?

23. Crea un teselado en una cuadrícula con al menos 3 de las siguientes figurase indica la transformación isométrica que utilizaste.

24. ¿Qué relación tienen entre sí las figuras geométricasque componen un teselado?

11. 12. 13. 14.

16. 17.


25. Indica si los siguientes teselados sonregulares, semiregulares, o no regulares.

26. Para formar un teselado, los ángulos exterioresde los polígonos al unirlos en un vértice, debensumar.

A 90º B 180º C 270º D 360º



217CAPÍTULO 12




Edredón

1. A partir de las figuras de la derecha forma una secuencia geométrica conun patrón que incorpore transformaciones isométricas.


16. ¿El par ordenado (3,2) hace que y 2 x 4 sea verdadera? Escribe sí o no.

17. Si se mantiene el mismo patrón, ¿qué figuraocupa el lugar 14?

Escribe una posible regla de formación del patrón. Después, copia y dibuja las dos posibles figuras

que siguen en la secuencia. 2. 3. 4.

5. Con un rectángulo y un punto crea un patrón. Escribe unaposible regla de formación para tu secuencia.

Escribe una posible regla de formación para cada una de las siguientes secuencias. Despues, copia y

dibuja las dos figuras que siguen en la secuencia.

6. 7. 8.

Escribe la regla de formación para el patrón. Después, copia y dibuja las dos figuras que siguen en la

secuencia.

9. 10. 11. ? — ? — ? — ? —

USA LOS DATOS Para los ejercicios 12 y 13, usa la imagen del edredón.

12. ¿Crees que la regla para la secuencia incluye color? Explica.

18. Nombra un polígono de 3 lados.

19. Si se mantiene el patrón de formación. ¿Cuál seríala décima figura de ejercicio 9?

A B C D

13. Escribe una regla para las dos hileras de abajo del edredón. Si se añadeotra hilera al edredón, ¿cómo se vería?

14. DATO BREVE Los patrones de los frisosse repiten en una dirección. Describe lastraslaciones, las inversiones o giros de este patrón de friso.

15. Forma tu propio patrón. Explica la regla que usastepara hacer el patrón.

Patrón de friso



218

Práctica adicionalGrupo A Teselados

1. Indica si es posible teselar con cada una de las figuras que se muestran a continuación,en caso de ser posible hazlo, si no lo es, indica el motivo.

2. Agrupa las figuras geométricas presentes en el teselado de acuerdo a su forma y grafica lastransformaciones isométricas aplicadas para cubrir la superficie.

Grupo B Patrones geométricos

1. Encuentra el patrón de formación y determina cuáles son las dos figuras que siguen en la secuencia.

2. Si el área del siguiente triángulo (dibujo de triángulo) es dos unidades cuadradas.

¿Cuál es el área de la figura 5?

1 2 3 4 5



219CAPÍTULO 12

Partido congruente¡Dobles!

2 equipos, por lo menos 2 jugadores en cadaequipo.

¡Sirve!• Papel de trazar• Fichas de dos colores (rojas y amarillas)

¡Punto!

Un equipo es rojo. El otro es amarillo.

Un jugador del equipo rojo coloca una ficharoja en una figura en el tablero de juego. Uncompañero de equipo coloca una ficha roja enla figura que es congruente. Pueden usar elpapel de trazar para determinar si las figuraselegidas son congruentes. Si lo son, dejenlas fichas en el tablero. Si las figuras no soncongruentes, saquen las fichas.

Después, el equipo amarillo coloca fichas

amarillas en figuras congruentes.

Los equipos se turnan hasta que todas lasparejas de figuras congruentes hayan sidoutilizadas.

El equipo con el mayor número de fichas en eltablero gana.

219CAPÍTULO 11



221CAPÍTULO 12

Enriquecimiento • Percepción visual

Cuando las letras se escriben en mayúscula, algunas notienen ejes de simetría, algunas tienen 1 eje y otras tienen2 ejes. Si una letra tiene un eje de simetría, el eje eshorizontal o vertical.

¿Puedes leer la palabra de abajo usando la simetría axial?

Usa un espejo para ayudarte a leer una letra. Pon el espejo

de manera que refleje el eje de simetría. Cuando el espejo está en laposición correcta, ya sea horizontal o verticalmente, aparece la letracompleta.

ActividadLee la palabra de abajo.

Dibuja la segunda mitad de cada letra o usa un

espejo. La palabra es CAVA.

Escribe la palabra BEBE en código simétrico.

Dibuja la parte de arriba, la parte de abajo, lamitad derecha o la mitad izquierda de cada letra.

InténtaloEscribe cada palabra en código simétrico.

5. Escribe una palabra de 3 letras en la cual solouna letra tenga simetría axial.

6. Escribe una palabra de 5 letras en la cualcada letra tenga simetría axial.

1. PEPE 2. HOY 3. FÚTBOL 4. FAMA

Explica cómo se lee una palabra que estáescrita en código simétrico.

Recuerda. Una letra

puede tener un eje

de simetría

horizontal o vertical

o ambas. Algunas

letras no tienen ejes

de simetría.

ABCDEFGHI

JKLMNOPQ

RSTUVWXYZ H O L A

H O L A

C AVA E B E

Decimos que existe simetríaaxial cuando podemos dividircon una recta (llamada eje desimetría) una figura en dospartes congruentes, de maneraque si plegamos la figurapor el eje de simetría, las dospartes coinciden exactamente.



222

Patrones y álgebra

5. Mira el problema de abajo.

6

Si 9, ¿cuánto es ?

A 27

B 18

C 15

D 3

6. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo?

(15 8) (2 · 9)

A 189

B 37

C 7

D 5

7. La expresión algebraica m · 36 d expresada

en palabras es:

A El cociente de un número y 36.

B El producto de un número y 36.

C La diferencia entre 36 y un número.

D La suma de 36 y un número.


1. Es correcto decir que:R

Q P 37º


A Los ángulos RPQ y QPR son

suplementarios.B El triángulo Δ PQR es un triángulo rectángulo

isósceles.

C El ángulo PRQ es recto.

D Sus ángulos interiores miden 360º.

3. ¿Qué enunciado no es verdadero?

A Los únicos factores de 9 son 1 y 9.

B Los únicos factores de 7 son 1 y 7.

C Los únicos factores de 5 son 1 y 5.

D Los únicos factores de 3 son 1 y 3.

4. El sr. Sánchez vendió 52cascos de bicicletas en su tienda por $ 3 900,¿cuánto dinero recibió el sr. Sánchez por eltotal de la venta?

2. 6 053 : 7

A 8,6471 C 864,71

B 86,471 D 8647,1

8. La cuidadora de mascotas llevóa Rex a dar un paseo de 1,6 kilómetros dos

veces al día por d días.

Explica cómo escribir una expresión algebraicapara el número total de kilómetros quecaminó Rex.



223CAPÍTULO 12

S á n d w i c h e s q u e n o

s e v e n d i e r o n

V enta de sándwiches

Hora

11:00 2:00 3:001:0012:00

28

24

20

16

12

8

4

0

Datos y probabilidades13. Hugo hizo una encuesta acerca del número

de veces que los estudiantes compraronalmuerzo en la cafetería la semana pasada. Losresultados de su encuesta se muestran en la

tabla.

¿Cuántos estudiantes compraron la mayor cantidadde almuerzos?

A 4 C 3

B 5 D 1

14. Mira el gráfico de línea.

La meta de un curso era vender por lo menos20 sándwiches en 3 horas en la kermesse delcolegio. ¿El curso logró su meta? Explica cómolo sabes.


9. ¿Cuál es el valor del ángulo Z ?

A 180º C 60º

B 90º D no se puededeterminar

Z

Z Z

10. Gina dibuja los siguientes

triángulos.

Explica dos maneras en que puede clasificarcada triángulo.

11. El complemento de un ángulo es 37º.¿Cuánto mide el ángulo?

A 53º C 63º

B 143º D 73º

12. El complemento de 35º y el suplemento de

180º es respectivamente:

A 45º y 0º C 55º y 0º

B 100º y 65º D 45º y 90°

Veces Nº de estudiantes

0 x x x x x

1 x x x

2 x x

3 x x

4 x x x x x

5 x x x x x x

S á n d w i c h e s p a r a v e n d e r



Figuras 3DFiguras 2D

triángulos

cuadriláteros

Representación de figuras 2D

prismas

pirámides

Representación de figuras 3D

Figuras bidimensionales

y tridimensionalesLa idea importante Las figuras bidimensionales y tridimensionales se puedenclasificar de acuerdo con sus propiedades geométricas.

Busca ejemplos de figuras planas y de cuerposgeométricos en el perfil de la ciudad deValparaíso. Luego traza el perfil de tu ciudad enuna hoja de papel. Incluye diversas figuras planasy cuerpos geométricos. Describe las propiedadesde tus figuras.

224

Valparaíso es la segunda ciudad más importante de Chile anivel administrativo. A mediados del siglo XIX era elprincipal centro comercial y financiero del país. Se

caracteriza por ser una ciudad que se expande desde loscerros hacia el mar y en ella viven alrededor de 1 700 000personas según las estimaciones de población para 2012.(Adaptado de www.ine.cl)

DATO BREVE



VOCABULARIO DEL CAPÍTULO PREPARACIÓN

triángulo isósceles Un triángulo que tiene

exactamente dos lados congruentes.

triángulo escaleno Un triángulo que no tiene ladoscongruentes.

triángulo equilátero Un triángulo que tiene treslados congruentes.

triángulo acutángulo

basetriángulo equiláterotriángulo isóscelesredtriángulo obtusánguloparalelogramopoliedro

prisma

pirámiderombotriángulo rectángulotriángulo escalenotrapecio


Medir y clasificar ángulosClasifica cada ángulo. Escribe agudo, recto u obtuso.

1. 2. 3. 4.

Caras de los cuerpos geométricosDa el nombre de la figura plana correspondiente a la cara sombreada de cada representación de

los siguiente cuerpos geométricos.

5. 6. 7.

8. 9. 10.

225CAPÍTULO 13



Aprende

7 cm

superior

frontal

lateral

15 cm 2 cm

75 cm

75 cm

75 cm75 cm

75cm

75cm

75 cm P Q

R

S U

T


I Ó N

226

PROBLEMA Para el proyecto final de la clase de diseño, Daniel usóun cubo de espuma con aristas de 75 cm cada una para hacer unbanco. Cubrió cada una de las seis caras con tela. ¿Cuánta tela usóDaniel para cubrir todo el cubo?

Puedes usar la fórmula para el área de un cuadrado y hallar lasuperficie de un cubo. La superficie A, es la suma de las áreas decada superficie de un cuerpo geométrico.

Halla el producto.

1. 11 · 4 · 5 2. 16 · 3 · 43. 12 · 6 · 3 4. 20 · 10 · 55. 9 · 5 · 2

Vocabulariosuperficie cubo

paralelepípedo

Área totalOBJETIVO: hallar la superficie de cubos y paralelepípedos.

Ejemplo 1 Usa una red para hallar el área total.

Como en el cubo cada cara es un cuadrado, usa la fórmula A

l 2

. Área de la cara P : A 752 5 625

Como cada cara de un cubo tiene las mismas dimensiones, las caras Q a Utienen la misma área que la cara P. El área total de un cubo es la suma delas áreas de sus caras o 6 veces el área de una cara.

At 6 · 5 625 33 750

Entonces, Daniel usó 33 750 cm2 de tela para cubrir el cubo de espuma de estireno.

• ¿Qué pasaría si cada arista del cubo de espuma de estireno midiera la mitad

de la longitud original? ¿Cuánta tela usaría Daniel?

Para hallar el área total, At , de un paralelepípedo, recuerda que las caras opuestastienen la misma área.

Ejemplo 2 Halla el área total del paralelepípedo.

Usa la fórmula A la.

caras frontal y trasera: 2 · l · a 2 · 15 · 7 210

caras superior e inferior: 2 · l · a 2 · 15 · 2 60

caras izquierda y derecha: 2 · l · a 2 · 7 · 2 28

At 210 60 28 298

Entonces, el área total es de 298 cm2.

Multiplica por 2 para incluirlas caras opuestas.

Halla la suma.



1 cm

20 cm

5,5 cm

227CAPÍTULO 13



Las figura corresponde a un paralelepípedo de base rectangular. Para encontrarel área total, separaremos las caras de la figura 3D.

Las cara roja se repite dos veces,entonces, el área es:

110 cm² 110 cm² 220 cm²

Finalmente con la cara verde.

5,5 cm² 5,5 cm² 11 cm²

Lo mismo ocurre con la cara azul.

20 cm² 20 cm² 40 cm²

Área total 40 cm² 11 cm² 220 cm²

Entonces, el área total del paralelepípedo es 271 cm².

Paralelepípedos

Un paralelepípedo es un prisma de seis caras, cuyas caras opuestas son paralelogramosiguales y paralelos.

Hasta el momento hemos trabajado con dos paralelepípedos especiales, el cuboy el prisma rectangular.

¿Es posible separar las caras de un cubo para calcular su área?

7 cm

La figura 3D corresponde a un cubo, que también es un paralelepípedo, perode base cuadrada. Para encontrar el área total, separaremos sus caras.

En este caso todas las caras tienen las mismas dimensiones, por lo tanto:

Área total 49 cm² 49 cm² + 49 cm² 49 cm² + 49 cm² 49 cm²

Entonces, el área total del paralelepípedo de base cuadrada es 294 cm².





11 cm

superior

frontal

lateral

21 cm

5 cm

2 m

2 m

2 m

2 cm

0,5 cm

0,5 cm

1 cm1

5

cm8

cm34 cm

1

2

1

2

5 cm

5 cm

5 cm

3 m

5 m

8 m

12,5 m3 m

9,3 m

2 m94

1

m321

m

228

1. Halla el área total del prisma rectangular (paralelepípedo recto).

área de las caras frontal y trasera 2 · ·

área de las caras superior e inferior 2 · ·

área de los lados izquierdo y derecho 2 · ·

Suma para hallar el total de las áreas de todas las caras.

Halla el área total de cada paralelepípedo recto.

2. 3. 4. 5.

Halla el área total de cada paralelepípedo recto.

7. 8. 9. 10.

6. Explica cómo se halla el área total de un cubo que tiene 3 cm de lado.

Halla el área total de cada cubo, cuyos lados miden la longitud dada At .

11. At 15 m 12. At 3,5 cm 13. At 41

__

2 km 14. At 50 m

15. Calcula el área total de un paralelepípedo cuyos

ángulos son rectos y sus dimensiones son 4 cm,8 cm y 12 cm.

17. Halla un objeto con forma de prismarectangular. Mide el objeto y redondea lamedida al centímetro más próximo. Estima elárea total redondeada al centímetro cuadradomás próximo.

16. Benjamín quiere construir un nuevo acuario

de vidrio, con tapa en forma de prisma rectopara sus tortugas marinas. Las medidas son 60cm de ancho, 70 cm de largo y 50 cm de alto.¿Cuántos cm2 de vidrio usará Benjamin para suacuario?

18. Mide una caja de leche y calcula cuánto materialtetra pack se necesita para fabricarla.



Comprensión de los Aprendizajes


10 cm

6 cm

6 cm

3 cm

6 cm

229CAPÍTULO 13

19. Para la clase de diseño, Luisa pintó un viejo baúl rectangular de maderaque mide 21 cm de longitud, 11 cm de ancho y 5 cm de altura. ¿Cuántomide la superficie que pintó?

20. DATO BREVE El edificio Costanera Centeres el edificio más alto de Chile; mide 300 m delongitud, 250 m de ancho y 303 m de altura.

Halla el área total del edificio. DATO: El área totalno incluye el subterráneo del edificio.

21. Para un proyecto del curso,Daniela cubre los lados de 5 floreros con formade cubo de lado 26 cm. Explica los pasos que

debe seguir Daniela para calcular cuánto papelnecesita.

GEOMETRÍA Para hallar el área total de una figura compleja, debesdescomponerla en figuras más sencillas y determinar el área total de cada figura.

Ejemplo Halla el área total de la figura de la derecha.

Entonces la superficie total de la figura es 198 cm2 + 90 cm2 = 288 cm2.

Halla el área total de la figura.

22. Un cuadrilátero tiene lados opuestos queson paralelos y congruentes. ¿Qué tipo decuadrilátero podría ser?

23. ¿Cuál es el área de un rectángulo que mide9 metros de longitud y 7 metros de ancho.

24. ¿Cuál es el área total de un cubo que mide2,4 centímetros de lado?

A 5,76 cm2 C 23,04 cm2

B 13,824 cm2 D 34,56 cm2

25. Juan pintará las paredes, el techo y la puertade una habitación rectangular sin ventanas quemide 14 m por 15 m por 8 m. ¿Cuál es el áreatotal que pintará?

6 cm

6 cm

6 cm

La superficie que se debe considerar del cubo es 198 cm2.

cubo

Halla el área de una cara.6 · 6 = 36 cm2

Multiplica por 6 para calcular lasuperficie total. 6 · 36 = 216.Resta la superficie de la cara quecomparte con el paralelepípedomás pequeño que está al lado.

216 – (6·

3) = 216 – 18 = 198 cm

2

.

Halla la superficie de todas lascaras rectangulares excepto laque está pegada al cubo, esdecir:A = 2 · (4 · 3 + 4 · 6) + 6 · 3

= 2 · (12 + 24) + 18 = 2 · 36 + 18 = 72 + 18 = 90 cm2.

La superficie total de las carasque se consideran es de 90 cm2.4 cm

6 cm

3 cm

4 cm

5 cm

6 cm

9 cm

3 cm

6 cm



Aprende

cm221

cm441

cm32

1

ancholongitud

altura

2 cm4 cm

3 cm

2 cm4 cm

3 cm

Repaso rápido

L E C C

I Ó N

230

El volumen es el número de unidades cúbicas necesarias para ocuparun espacio determinado. El volumen se mide en unidades cúbicas. Enla siguiente actividad, se explora el volumen.

¿Cuántos metros cuadradosde baldosas se necesitan para

cubrir un piso cuadrado cuyoslados miden 3 metros?

Vocabulariovolumen

Volumen de paralelepípedosOBJETIVO: estimar y calcular el volumen de cubos y paralelepípedos.

Actividad

Materiales ■ red de un paralelepípedo recto ■ cinta adhesiva

■ tijeras ■ cubos de 1 centímetro

• Recorta la red. Dóblala a lo largo de las líneaspunteadas y pega los lados para formar una caja abierta.

• Estima cuántos cubos caben en la caja. Luego, colocatantos cubos como puedas en la caja.

• ¿Crees que el número de cubos que colocas en la caja es elvolumen real de ella o una estimación? Explica.

Observa el siguiente paralelepípedo. En la base hay una capa de cubos de 1 centímetro. Paracompletar la capa inferior se necesitan 8, o 4 · 2, cubos de 1 centímetro. El paralelepípedocompleto tiene 3 capas de 8 cubos cada una. Se necesitan 24 cubos, o 4 · 2 · 3, cubos paracompletar el paralelepípedo recto.

Observa la tabla. Observa la relación entre la longitud, el ancho, la altura y elvolumen de estos tres paralelepípedos.

Observa la tabla:

¿Cuál es la relación matemática entre las medidas de cada dimensión con respecto al volumen?¿Cómo se puede escribir una expresión que represente el volumen de un paralelepípedo?

Por lo tanto: Volumen = longitud · ancho · altura

Si se sabe que: al multiplicar la longitud · ancho se obtiene el área de la base delparalelepípedo, ¿cómo se puede escribir de otra forma una expresión que represente elvolumen del paralelepípedo?

Por lo tanto, la formula es: V = Base · altura

Longitud Ancho Altura Volumen

4 3 4 48

5 3 3 45

8 4 3 96



2 cm

8 cm3 cm

2 cm

8 cm3 cm

1 cm31_

5,4 cm

9 m

5 m

12

231CAPÍTULO 13

Ejemplo 1 Halla el volumen.

V Bh, donde B l • a Escribe la fórmula.

V (8 • 3) • 2 Reemplaza B por 8 • 3 y h por 2. Multiplica.

V 48

Ejemplo 2 Halla el volumen.

Ejemplo 2

V = l · a · h Escribe la fórmula

V = 9 · 5 · 12 Reemplaza cada valor en la fórmula.

V = 9 · (5 · 12) Asocia el valor del ancho y el de la altura

porque su producto es un múltiplo de 10 y

será más fácil calcular el otro producto.

V = 9 · 60 Calcula el producto

V = 540 cm3.

Entonces, el volumen del paralelepípedo es 540 cm3.

Entonces, el volumen del paralelepípedo recto es de 48 cm3.

Recuerda que las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicaciónpermiten que el volumen anterior se pueda calcular multiplicando lasuperficie de la base por la altura, o la superficie de alguna de las caraslaterales por el largo o el ancho, según corresponda.

• Explica qué debes hacer para calcular el volumen de uncuerpo si las medidas están expresadas en fracciones,decimales y enteros.

¿En qué se parecería este procedimiento al del cálculodel área de la figura de al lado?



4 cm

3 cm2 cm


6 cm4 cm

12 cm


233CAPÍTULO 13

CAMBIAR LAS DIMENSIONES El paralelepípedo recto de la derecha mide 12 cmde altura, 6 cm de longitud y 4 cm de ancho.

1. ¿De qué manera cambiaría el volumen del paralelepípedo si cada dimensiónse redujera a la mitad?

13. Halla un objeto con forma de paralelepípedo. Mide el objeto y redondeala medida al centímetro más próximo. Estima el volumen redondeado alcentímetro más próximo.

14. Halla el área total y el volumen de un cubo cuyos ladosmiden 11

_

2 metros. Describe la diferencia entre el área total

y el volumen.

15. Calcula la superficie del paralelepípedo recto de la figura.

16. ¿Cuál es el error? Los estudiantes calcularon que elvolumen de un cajón de arena que mide 6 m de longitud, 5 m de ancho y3 m de profundidad es de 30 m3. Halla su volumen y corrige su error.

2. ¿De qué manera cambiaría el volumen del paralelepípedo si la alturay la longitud se duplicaran y el ancho permaneciera igual?

3. ¿De qué manera cambiaría el volumen del paralelepípedo si la altura seredujera a la mitad, la longitud se duplicara y el ancho permaneciera igual?

4. Explica de qué manera podrías cambiar todas las dimensiones delparalelepípedo para hacer un nuevo prisma rectangular con el mismo volumen.

17. Escribe un enunciado con palabras para lasiguiente ecuación: 17 n 9.

18. ¿Cuál es el volumen de una canasta rectangularque mide 20 centímetros de longitud,15,6 centímetros de ancho y 30,4 centímetros dealtura?

A 9 484,8 cm3

B 2 788,48 cm3

C 948,48 cm3

D 66 cm3

19. Ordena de mayor a menor: 3,508; 3,58; 3,08; 3,85.

20. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo recto?

A 1 500

B 450

C 45

D 38 10 cm15 cm

3 cm



¿Qué otros tipos derepresentaciones crees quepuedes usar para resolverproblemas?

234

Se puede usar una representación paradeterminar si dos figuras son congruentes.¿Son congruentes las figuras azul y amarilla?

Se puede usar una representación pararesolver ecuaciones.José coloca 3 libros en el estante de arriba desu librero. Si el estante tiene capacidad para7 libros, ¿cuántos libros más necesita Josépara completar el estante? Resuelve laecuación x 3 7 para hallar la solución.

Se puede usar una representaciónpara hallar el área total.Un prisma rectangular mide 8 cm delongitud, 6 cm de ancho y 4 cm de altura.Halla el área total del paralelepípedo recto..

Aprende la estrategiaHacer una representación te puede ayudar a ver una solución de un problema.Puedes usar una representación para resolver diferentes tipos de problemas.

Estrategia: hacer una representaciónOBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia hacer una representación.

L E C C

I Ó N



Como 6

__

48

1 _ 8 , también

puedes decir que lacaja pequeña tiene 1

_ 8

del volumen de lacaja grande.

Destreza

de lectura

235CAPÍTULO 13

• Identifica los detalles del problema.

• ¿Hay información que no usarás? Si es así, ¿cuál es?

Usa la estrategiaPROBLEMA Los rompecabezas vienen en cajas de diferentes tamaños. Para unacompañía, una caja grande de rompecabezas mide 6 cm de longitud, 4 cm deancho y 2 cm de altura. Una caja pequeña de rompecabezas tiene la mitad de lasdimensiones que la caja grande. ¿Cuál es la diferencia entre el volumen de la cajamás grande y el volumen de la caja más pequeña?


Puedes hacer una representación para resolver el problema.


Haz un modelo de cada caja. Compara los volúmenes.

Cuenta los cubos para hallar el volumen de cada caja. Ahora,compara los volúmenes.

caja grande

____________

caja pequeña 48

___

6 8 __

1

Entonces, el volumen de la caja grande es de 48 cm3 u 8 veces mayor que el volumen de la caja pequeña.




6 cm 3,1 cm

4,2 cm

5,7 cm

238

19 cm5 cm

7 cm 3,8 m

3,8 m3,8 m

1. 2. 3. 4.

5. La altura de una caja es de cuatro veces su longitud. La longitud es de 5 cmmás que el ancho. El ancho es de 10 cm. Halla el área total.

6. Un cubo tiene un área total de 2 400 m2. ¿Cuál es la longitud de cada arista?

18 mm7 mm

11 mm

Grupo B Halla el volumen de los siguientes paralelepípedos rectos.

1. 2. 3.

8. Un macetero mide 30 cm de longitud, 15 cm de ancho y 15 cm de altura.¿Cuántos centímetros cúbicos de tierra se necesitan para llenar el macetero?

9. Una caja de cereal con forma de paralelepípedo recto mide 10 cm de longitud, 5cm de ancho y 15 cm de altura. ¿Cuál es el volumen de la caja de cereal?

4 cm

5 cm

cm3 1

2

8 cm

8 cm

6 cm

6 cm

Grupo A Halla el área total de los siguientes paralelepípedos rectos.

5 cm

2 cm

4 cm

5 cm

5 cm

Relaciona cada cuerpo geométrico con su red.

4. 5. a) b)

5 cm5 cm

8 cm

5 cm2 cm

6 cm12 cm

Práctica adicional



x m

y m

z m x

3 y m

x m

y + z m

z m

x_ 2

z m m

2 y m m

m m

3 x c m

x c m

x + y m

z m y m

y m

3 z m

2 x m

z c m

y c m

z c m

c m y_

2

4 z c m

3 x

m 2 y

m

x c m

2 y z c

m

x y z

S A L I D A

L L E G A D A

Cada jugador elige una moneda y la coloca enla SALIDA.

El primer jugador lanza tres dados y los coloca

en los cuadrados marcados x , y y z que aparecenabajo. El número que muestra cada dadorepresenta el valor de esas variables.

El jugador usa los valores para hallar el volumende la figura del tablero donde está su moneda.Las respuestas deben redondearse a la parteentera más próxima.

El otro jugador comprueba la respuesta. Sila respuesta es correcta, el jugador mueve sumoneda un espacio. Si la respuesta es correcta

o incorrecta, el turno pasa al siguiente jugador. El primer jugador que alcance la LLEGADA y halleel volumen correcto de la figura que está en laLLEGADA es el ganador.

Cómo se juega

Jugadores

2 jugadores

Materiales• 3 dados• 2 monedas diferentes

239CAPÍTULO 13



240

Halla el volumen de los siguientes paralelepípedos rectos.

6. 7. 8.

Halla la longitud desconocida de los siguientes paralelepípedos rectos.

9. 10. 11.



1. La suma de las áreas de cada superficie de un cuerpo geométrico es _______ .

2. El número de unidades cúbicas necesarias para ocupar un espaciodeterminado es ______________ .

Repasar las destrezasHalla el área total de los siguientes paralelepípedos rectos.

VOCABULARIO

cilindro

área total

volumen

Resuelve.

12. La caja de arena de un parque mide 5,5 m delongitud, 3 m de ancho y 0,75 m de profundidad.¿Cuántos metros cúbicos de arena se necesitanpara llenar la caja?

3. 4. 5.

13. Explica cómo podrías hallar elvolumen de una caja de zapatos utilizando loque ya has aprendido.

V

9 823 cm3

V

175 000 m3

V

160 cm3


12,3 cm50 m

67 mm24 mm 12,4 m

50 m

47 cm

11 cm

50 m

x

x

x

26 m

8 cm

4 cm

12,4 m9,1 m

9,1 m

9,1 m

39 mm

15 m

5 cm

312 cm

312 cm

12 m

12,3 cm

12,3 cm



Enriquecimiento • Cambiar las dimensiones

Paula y Adán tienen un negocio de frutos secos. Ellos querían duplicar la

cantidad de frutos secos que podían vender en cada caja; entonces,aumentaron las dimensiones de la caja de 10 cm de ancho, 30 cm delongitud y 20 cm de altura a 20 cm de ancho, 60 cm de longitud y 40 cm dealtura. ¿Duplicaron Paula y Adán el volumen de la caja al duplicar susdimensiones?

Halla y compara los volúmenes de la caja original con los de la caja nueva.

Caja original

V 10 · 30 · 20 Escribe la fórmula.

V 6 000 cm3 Reemplaza B y h.

Multiplica.

Caja nueva

V 20 · 60 · 40 Escribe la fórmula.

V 48 000 cm3 Reemplaza B y h.

Multiplica.

Compara:caja nueva

__________

caja original 96

___

12 8 __

1 8

Entonces, el volumen de la caja nueva es 8 vecesel volumen de la caja original, no el doble de ella.

3 cm

cm

cm

cm

8 cm

2 cm

t

r t

a o

o o

s e c

s

s

r t o s

e c o

oo

s

st d

5 cm2 cm

9 cm

10 cm4 cm

18 cm

AgrándalasHalla y compara los volúmenes de los siguientes grupos de paralelepípedos rectos.

3. Desafío Compara el volumen de los tres cubos. ¿Existe un patrón matemático quedefina el aumento del volumen en funcion de los lados?

Piénsalo

¿De qué manera cambiaría el volumen de un paralelepípedo si se triplicansus dimensiones? Explica tu respuesta con un ejemplo.

Agrandar cuerpos geométricos

7 cm 21 cm14 cm

1. 2.

241CAPÍTULO 13



242

9. ¿Cuál es el volumen de un paralelepípedo quemide 12 m de ancho, 30 m de longitud y 45 mde altura?

A 16 200 m3 C 4 500 m3

B 8 100 m3 D 87 m3

5. Respecto de los teselados, es correcto decir:1. Un paralelepípedo mide 4,5 cm de ancho. Lalongitud es el doble del ancho. La altura estres veces el ancho. ¿Cuál es el volumen delparalelepípedo?

A 20,25 cm3

B 91,125 cm3

C 121,5 cm3

D 1 093,5 cm3

2. El área de un triángulo es de 24 cm2. Si la basemide 6 cm, ¿cuál es la altura?

A 4 cm C 8 cm

B 6 cm D 10 cm

3. ¿Cuál es la transformación isométrica quecorresponde a un giro en un plano?

A Rotación

B Traslación

C Reflexión

D Simetría

4. ¿Cuál es la superficie de un paralelepípedoque mide 14 cm de ancho, 25 cm de longitudy 12 cm de altura?

A 568 cm2

B 1136 cm2

C 2 252 cm2

D 1 636 cm2

A Las figuras que se repiten en los teseladostienen la misma área, pero son de distintasformas.

B Las figuras que se repiten en los teseladostienen la misma forma, pero son de distintotamaño.

C Las figuras geométricas mantienen la formay tamaño en todo el teselado.

D Se forman solo por la rotación de una omás figuras geométicas.

6. El perímetro del siguiente pentágono es de61

_

4 m. ¿Cuál es la longitud desconocida?

A 11

__

8 m

B 21

__

4 m

C 51

__

8 m

D 61

__

4 m

121 m

241 m

43 m

x

85 m

7. ¿Cuál es el área de un cuadrado que mide26 metros de lado?

A 52 m2 C 338 m2

B 104 m2 D 676 m2

8. El perímetro de un rectángulo es de 320 cm. Si

el ancho es de 100 cm, ¿cuál es la longitud? A 220 cm C 60 cm

B 120 cm D 3,2 cm


14 cm

25 cm

12 cm



243CAPÍTULO 13

14. ¿Cuál es la figura geométrica en la que se basael teselado?

10. En el patrón que muestra la figura,si el lado del cada triángulo mide 2 cm,¿qué perímetro tendrá la novena figura?

A 9 cm

B 25 cm3

C 27 cm

D 54 cm

11. El volumen del siguiente paralelepípedo es de2 880 cm3. ¿Cuál es la longitud desconocida?

A 9 cm

B 32 cm

C 320 cm

D 2 844 cm20 cm

16 cm

x

12. ¿Con qué figura es posible teselar unasuperficie?

A Triángulo

B Octógono

C Decágono

D Semicircunferencia

13. ¿Qué figura tiene el área más grande?

A Un cuadrado cuyos lados miden 20 cm.

B Un rectángulo cuya base mide 26 cmy que mide 37 cm de altura.

C Un paralelogramo cuya base mide 44 cm yque mide 40 cm de altura.

D Un triángulo cuya base mide 59 cm y quemide 49 cm de altura.

A Pentágono

B Rectángulo

C Cuadrado

D Rombo

16. El área de un triángulo es de 435 cm2. Si laaltura es de 20 cm, ¿cuánto mide la base?

20. El perímetro de un rectángulo se puede

hallar usando las fórmulas P

2 l

2a oP l a l a. Explica por qué se puedenusar ambas fórmulas para hallar el perímetro.

21. Determina el área de cada rectángulo y cadatriángulo sombreados.

15 cm

7 cm

25 mm

49 mm

15. ¿Cuál es el perímetro de un área de tierrarectangular que mide 1,2 km de ancho y2,5 km de longitud?

Escribe una V si es verdadero o una F si es falso cadaenunciado.

17. ______ Para que un ángulo sea complementariocon otro ángulo, la suma de ambos debe ser iguala 90°.

18. ______ Los ángulos adyacentes tienen en comúnun rayo, el vértice y miden lo mismo.

19. ______ La expresión “el doble de un número esigual al triple de 8” en ecuación es 2 x = 24.



A L MA NAQ U E PARA ES TUD IANTES

244

¡Castillos de arena!

Desde hace 29 años, se celebra en Viña delMar un importante concurso de castillos de

arena. Más de 8 playas, desde Viña del Mar a Concónparticipan en la organización del evento.Al concurso acuden familias chilenas, equipos

formados por amigos y turistas.Algunos participantes tardan hasta dos días enrealizar su obra.La Municipalidad de Viña del Mar reparteimportantes premios entre los ganadores.

Usa los datos sobre la competencia para responder a las preguntas.➊ En el concurso de castillos de arena se asigna una zona cuadrada

de aproximadamente 3 metros por 3 metros a los equipos paratrabajar. ¿Cuál es el área de cada zona?

➋ Si compiten 12 equipos, ¿cuánta cinta se necesita para marcar laszonas de competición?

➌ Imagina que el ganador del primer puesto del concurso de castillosde arena usó una zona de 1,5 metros por 2 metros.Halla el área de la zona.

➍ Plantea un problema Imagina que las torres de una escultura dearena tienen forma de paralelepípedo. Usando esta información,escribe y resuelve un problema similar al problema 3.

De aquí y de allá




245UNIDAD 3

CONSTRUIR CASTILLOS

DE ARENA

N

El estadounidense Kirk Rademakerdiseña esculturas de arena y participa en

concursos de todo el mundo.

Este castillo de arena con aspectomecánico fue construido por él.

Haz un diseño de una escultura de arena.

➊ Dibuja tu diseño. ¿Qué cuerpos geométricos usarás para

hacer tu escultura? Escribe las dimensiones de cadacuerpo de la escultura.

➋ Halla el área de la base de cada figura y la cantidadtotal de espacio que ocupará tu escultura.

➌ Halla el perímetro de la zona que necesitarás para hacertu escultura. Recuerda dejar espacio alrededor de lazona para construir y observar.

➍ Halla el volumen de arena que necesitas para construir cada sección. ¿Cuánta arenanecesitarás para hacer toda la escultura?

➎ Un periodista de un diario local vino a entrevistarte. Escribe la forma en quedescribirás tu escultura, su temática y por qué lo elegiste. Menciona el tamaño de laescultura y el tiempo que te llevó construirla.

o necesitas ser un exper to para construir un castillo

de arena. Para hacer castillos de arena sencillos, lo único

que necesitas es un cubo y una pala. Llena el cubo con arena

mojada y presiónala hasta que quede firme. Esto te permitirá

moldearla y hacer formas. Con cuidado, da vuelta el cubo y

luego retíralo de la arena. Así obtendrás tu primera figura

de arena. Apila más figuras para formar paredes y torres.

Cuando tu castillo esté listo, usa una pala para hacer detallescomo ventanas, puertas y otros elementos decorativos. Los

escultores de arena profesionales usan herramientas

especiales para alisar los lados y hacer pequeños detalles.



247CAPÍTULO 1414


La Oficina de Estudios y Políticas Agrarias

(ODEPA) reúne, organiza y representa datos

para ayudar a los agricultores a decidir

cuánto de cada cosecha deben cultivar cada

año.

Granos, como la cebada, el maíz y el trigo

se cultivan en regiones donde los patrones

del clima y las estaciones son favorables

para estas cosechas.

¿Cómo crees que la Oficina de Estudios y Políticas Agrarias(ODEPA) reúne, organiza y representa la información (datos) queentrega a los agricultores? ¿Qué tipo de gráficas conoces?

REPASO DEL VOCABULARIO Las palabras siguientes lasaprendiste cuando estudiaste cómo organizar y analizar datos.

datos Información que se recopila sobre personas o cosas.

tabla de conteo Una tabla que usa marcas de conteo pararegistrar datos.

Los arándanos que flotan en una ciénaga

son succionados por bombas que los hechan

en camiones. También se lleva cuenta de los

datos acerca de los costos de producción

para ayudar a los agricultores.

Completa el esquema de abajo. Escribe lo que recuerdas sobre lasdiferentes formas de representar datos.

REPRESENTAR DATOS

GRÁFICO DE

LÍNEAS

GRÁFICO DE

BARRAS

TABLA

GRÁFICO

CIRCULAR

247UNIDAD 4



Capacidad de los estadios de Chile

0

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

Nacional Monumental Santa Laura AlcaldesaEster Roa

RegionalAntofagasta

Sausalito

Estadio

N ú m e r o d e a s i e n t o

s

Hacer gráficos de datosLa idea importante Los datos se pueden mostrar y analizar usando gráficos de varios

formatos.

El Estadio Nacional de

Chile (oficialmente,Estadio Nacional Julio

Martínez Prádanos) seubica en el sector oriente

de Santiago de Chile, en lacomuna de Ñuñoa. Elestadio posee unacapacidad actual de47 000 espectadoressentados, y una cancha defútbol central rodeada poruna pista atlética. En elexterior, se ubica un grancomplejo deportivo yrecreacional con múltiplesinstalaciones en unasuperficie de 62 hectáreas.

www.chiledeportes.cl

En el gráfico de la derecha semuestra el número de asientosque tienen algunos de los

estadios de fútbol másimportantes del país. Analizalos datos mostrados en elgráfico de barra. ¿Cuál es laescala que utiliza el gráfico?

¿Cuál es el estadio con mayory menor capacidad?

DATO BREVE

Adaptado de: www.estadios.org

248



Deportes preferidos

D e p o r t e

0 5 10 15

Número de personas

Fútbol

Tenis

Atletismo

Natación


Leer gráficos de líneas

Del 1 al 4, usa el gráfico de la derecha. 1. ¿Cuánto dinero se recaudó por la venta de

agua embotellada en el mes de marzo?

2. ¿Fueron las ventas en agosto mayoresque en septiembre?

3. ¿Cuáles fueron los dos meses con lamisma cantidad de ventas?

4. ¿Cuánto más se vendió en julio queen abril?

Leer gráficos de barrasDel 5 al 8, usa el gráfico de la derecha.

5. ¿Qué deporte prefiere la mayoría delas personas?

6. ¿Qué deporte es el menos preferido?

7. ¿Cuántas personas eligen el teniscomo deporte favorito?

8. ¿Cuántas personas más que los queprefieren atletismo prefieren fútbol?


gráfico circular

gráfico de barras doblegráfico de líneas doble

PREPARACIÓN

gráfico de barras Un gráfico que permite representar

gráficamente un conjunto de datos acerca de variables de tipocualitativas o cuantitativas, mediante barras rectangulares delongitud proporcionales a los valores representados.

gráfico de líneas Es un gráfico útil para comparar dos conjuntosde datos que cambian con el tiempo o para mostrar la tendenciasde un solo dato que cambia con el tiempo, mediante una líneapoligonal o quebrada.

gráfico circular Un gráfico que muestra la relación entre las partesde los datos con el todo y con otras partes.

VENTAS DE AGUA EMBOTELLADA

MESES

$1400

$1200

$1000

$800

$600

$400

$200

0

D Ó L A R E S

M a r z o A b

r i l M

a y o J u

n i o J u l i o

A g o s t o

S e p t i e m

b r e

249CAPÍTULO 14



L E C C

I Ó N

250

Paso

Paso

Paso

100

90

80

7060

50

40

30

20

10

0 Visitas

a espectáculos

Tipo de programa de arte

P o r c e n t a j e ( % )

Visitasa museos

de arte

Visitasa artistas

Valparaíso Araucanía

Escuelas básicas conprogramas de arte

Gráficos de barrasOBJETIVO: mostrar y analizar datos en gráficos de barras.

PROBLEMA Muchas escuelas promueven actividades relacionadascon las artes. En la tabla se muestran los porcentajes de las escuelasbásicas que ofrecen programas de arte extracurriculares en dosregiones del país. ¿En qué región hay más escuelas que ofrecen visitasa museos de arte?

Un gráfico de barras es una forma útil de mostrar y analizardatos que se agrupan en categorías. Un gráfico de barra doble es útil para comparar dos conjuntos de datos donde las variablespueden ser cualitativas o cuantitativas.

Ejemplo 1 Usa los datos de la tabla para hacer ungráfico de doble barra.

Determina una escala adecuada. Los números varían de

34% a 82%. Entonces, puedes usar una escala de 0% a 100%.

Usa los datos para determinar el largo de las barras.

Haz las barras del mismo ancho.

Usa diferentes colores para representar los diferentes

conjuntos de datos.

Los siguientes datos muestranla asistencia a las últimas cincovisitas. ¿Qué escala se puedeusar para hacer gráficos de lossiguientes datos?

45, 63, 24, 42 y 36

Vocabulariográfico de barra

gráfica de barra doble

Escuelas básicas con programas de arte

RegiónVisitas a

espectáculos

Visitas a

museos de arte

Visitas a

artistas

Valparaíso 82% 38% 37%

Araucanía 75% 69% 34%

En la comparación de las visitas a los museos de arte, la Región de laAraucanía tiene la barra más alta.

Entonces, las escuelas básicas de la Araucanía ofrecen más visitasa museos de arte que las escuelas de Valparaíso.

Aprende

Asegúrate de• incluir un título.• rotular las escalas.• crear una leyenda otabla de datos.

Fuente: Elaboración propia a partir de datos extraídos de la páginahttp://www.ine.cl/filenews/files/2006/agosto/pdf/ninos_chile.pdf

Fuente: Elaboración propia a partir de datos extraídos de la páginahttp://www.ine.cl/filenews/files/2006/agosto/pdf/ninos_chile.pdf



251CAPÍTULO 14

50

40

30

20

10

0Películas

Tipo de entretención

P o r c e n t a j e ( % )

Televisión Espectáculosen vivo

HombresMujeres

Formas de entretenimientofavoritas

1. A partir de la información del gráfico del Programa de arte en las escuelas básicas de la páginaanterior, Francisca dice que las visitas a los museos de arte en Valparaíso son mayores que lasvisitas a espectáculos en la Araucanía. ¿Tiene razón Francisca en su aseveración? ¿Por qué?


6. Usa los datos de la tabla para hacer un gráficode doble barra.

7. ¿Qué tipo de ayuda financiera ha disminuidodesde hace diez años hasta esta temporada?

8. Compara la ayuda financiera total de hace diezaños con el total de esta temporada. ¿Qué tipode ayuda muestra la mayor diferencia?


2. Cuál es el entretenimiento favorito de las mujeres?

3. Compara las barras correspondientes de los hombres ylas mujeres.¿En cuál se muestra la mayor diferencia?

4. ¿Qué podrías interpretar acerca de la diferencia queexiste entre las barras que representan Espectáculos envivo?

Ayuda financiera para la kermesse del colegioEl Bosque (en miles de pesos)

Venta por

entradas

Contribuciones del

Centro de Padres

Contribución

del colegio

Hace diez años 470 000 350 000 60 000

Esta temporada 520 000 570 000 50 000





5. Explica los pasos que debes seguir parahacer un gráfico de barras. Para tu explicación, analiza elgráfico anterior.

9. ¿En qué casos debemos utilizar un gráfico de barradoble para mostrar una infomación?

10. Si quisieras representar en un gráfico datos de lacantidad de agua caída en invierno en Chile. ¿Quégráfico sería el más adecuado?



L E C C

I Ó N

252

Diagrama de puntosOBJETIVO: usar diagramas de puntos para leer y organizar datos.

PROBLEMA La tabla de abajo muestra la estatura de un grupo de alumnosde 6° básico. ¿Cuántos alumnos miden menos de 156 cm? Respuesta: 9alumnos. ¿Cómo determinaste la cantidad de alumnos que medían menos de156 cm? Respuesta: contando la cantidad de valores menores a 156.

Un diagrama de puntos es una gráfica utilizada para ilustrar un númeroreducido de datos. Este diagrama muestra cada uno de los elementos de unconjunto numérico por encima de una recta (eje horizontal) y se puede usarpara mostrar la cantidad de veces que aparece cada valor. Al graficar, sepuede representar tanto con “puntos” como con “equis”..

Aprende

Vocabulariodiagrama de puntos

valor atípico

Escribe los númerosrepresentados por lospuntos A, B y C.

A B C

0 10 20

La mayor cantidad de X aparece sobre el número 5.Esto significa que corrió 5 kilómetros con mayor frecuencia.

Actividad

Materiales ■ papel cuadriculado

Trazar una línea horizontal con

el valor mínimo colocado en el

extremo izquierdo. Sleccionar

una escala y, utilizando

intervalos regulares, marcar

la escala hasta que el valormáximo sea alcanzado.

Para cada valor numérico

presente en la tabla de datos,

colocar un punto sobre la escala

de valores en la recta numérica.

Cuando el valor numérico

aparece más de una vez, apilarlos puntos uno encima de

otro. Escribe un título para el

diagrama.

Mira el diagrama que construiste. La mayor parte de los datos seconcentran entre 150 y 158 centímetros. El valor 164 es un valor

atípico ya que está separado del resto de los datos.

¿Qué sugiere el valor atípico acerca de las estaturas de los alumnos?

Paso Paso

Construir un diagrama de puntos.

Estatura en centímetros de un

grupo de alumnos de sexto

156 152 152 164

154 158 154 164

152 156 152 150

154 156 158 152

6

5

4

3

2

1

0

150 152 154 156 158 160 162 164 166

C a n t i d a d d e a l u m n o s

Estatura de los alumnos de 6º básico



253CAPÍTULO 14

10 15 20 25 30 35 40

X XXXXX X

XXXX XX

X X

Temperatura en 15 días (en ºC)

Haz un diagrama de puntos con los datos. ¿Cuál fue la cantidad más común de votos?

Comienza por ordenar los datos. Después dibuja una X encima de los números en una recta numérica

para mostrar los datos.

Para los ejercicios 2 a 5, usa el diagrama de puntos Temperaturas en 15 días.

2. El diagrama de puntos muestra las temperaturas registradas durante

15 días de otoño. ¿Cuántos días hubo una temperatura menor a 20º?

3. ¿Cuántos días la temperatura fue más alta? ¿Cómo lo sabes?

4. Explica ¿Cuál sería un valor atípico de temperatura?

¿Por qué?

Para los ejercicios 6 a 8, usa el diagrama de puntos de Edades de los campistas. El diagrama de puntos

muestra las edades de los campistas en un camping de scouts.

5. ¿Cuántos campistas hay en el camping?

6. Escribe la diferencia de edades entre el menor de loscampistas y el mayor.

7. ¿Existe un valor atípico?

8. Haz un diagrama de puntos con los datos.


1. Los datos muestran la cantidad de votos por curso en una elección de Centro de Alumnos:

35, 15, 11, 17, 31, 21, 15, 21, 8, 15, 20, 34

Comprensión de los aprendizajes 9. Observa el diagrama de puntos de los ejercicios

6 a 8. ¿De qué edad hay mayor cantidad deniños?

10. ¿Cuál es el valor atípico de estos datos?

11. ¿Qué tipo de información se puede representarde mejor forma en un diagrama de puntos?

12. Observa el diagrama de puntos de los ejercicios

6 a 8. ¿De qué edades hay igual cantidad de niños?

A 7 y 13 C 11 y 15

B 8 y 10 D 9 y 12


119 12 1413 157 108

X XX XX

X

X X

X

X

X

X

X

X

X X

Medallas olímpicas ganadas por 27 países

8 88 59 12 11 57 38 17 14 28 28 26 25 23

18 8 29 34 14 17 13 13 58 12 97 10 9

Edades de los campistas




254

L E C C

I Ó N

Escribe cada ejercicio en formade una fracción en su mínimaexpresión.

1. 6 de 10

2. 12 de 32

3. 451354. 78 de 99

5. 125500

Vocabulariográfico circular

Ejemplo 1 Usa el gráfico circular.

PROBLEMA Casi todos tenemos un color preferido. También haymuchas personas a las que no les gustan mucho ciertos colores.Los gráficos circulares muestra los resultados de una encuesta quese aplicó a las niñas del 6° B de diferentes escuelas de la comuna.¿Cuál es la diferencia entre el porcentaje de las niñas que eligen elmorado como el color que menos les gusta con el porcentaje deniñas que elige el amarillo como color que menos les gusta?

Un gráfico circular es útil para comparar las partes de los datoscon el todo y con otras partes.

Gráficos circularesOBJETIVO: analizar datos de gráficos circulares.

Aprende

Rojo4%

Azul2%

Amarillo13%

Morado26%

Gris12%

Verde13%

Anaranjado30%

Color que menos les gusta

Identifica las partes en el gráfico que representan el porcentaje deniñas que tienen como color menos preferido el amarillo y el morado.Compara dichos porcentajes.

El 26% de las personas eligió el morado y el 13% eligió el amarillo.

Entonces, el doble de las personas eligió el morado como el color quemenos les gusta en relación con quienes eligieron el amarillo.



255CAPÍTULO 14

1. En el ejemplo 2, el 4% de las personas encuestadas eligió el rojo comoel color que menos les gusta y el 12% eligió el gris. ¿Cuál es la diferencia entre el porcentaje de laspersonas que eligieron el gris y el porcentaje de las que eligieron el rojo?

Color que menos lesgusta a los niños

12 %24 %

2 %

12 %

3 %3 %

4 %

20 %20 %

Del 2 al 4, usa el gráfico circular de la derecha.

2. Escribe una fracción irreductible para representar el númerode niños que eligieron el morado o el gris como el color conrespecto al total que menos les gusta.

3. ¿Qué porcentaje representan los niños que eligieron el amarillocomo el color que menos les gusta?

4. ¿Cuál es la diferencia entre el porcentaje de niños queeligieron el gris como el color que menos les gusta con elporcentaje de niños que eligió el verde?

5. Explica por qué usarías un gráfico circularpara comparar los resultados de una encuesta.


Otra forma de mostrarlos datos del gráficocircular de arriba esusar fracciones.

Idea matemática

Ejemplo 2 Usa el gráfico circular.

Halla la parte que representa el número de niñas queeligieron el azul como color preferido.

105 niñas eligieron el azul como su color preferido.

Suma el número de niñas que eligieron cada colorpara hallar el número total de niñas que participaronen la encuesta.

105 + 18 + 9 + 60 + 69 + 27 + 12 = 300

Escríbelo como una fracción en su mínima expresión:

105

___

300 = 7

__

20

Entonces, 7

__

20 de todas las niñas encuestadas eligieron el azul

como color preferido.

¿Qué fracción del total de niñas encuestadas eligió el azulcomo su color preferido?

Colores que prefieren las niñas

60

12

69

27

105

18 9

olores que prefieren las niñasolores que prefieren las niñas

Colores que prefieren las niñasColores que más prefieren las niñas



256

Libros de la bibliotecadel colegio (CRA)

Fábulas 9%

Obras dramáticas 12%

Leyendas 31% Cuentos48%

Costo de materiales para pintar

Diluyentede pintura,$ 480

Pincelo rodillo,$ 400

Pinturaazul,$ 720

Cubierta detela, $ 200

Pinturablanca,$ 600


13. Bárbara compro tres artículos de librería que lecostaron: $ 375, $ 915, y $ 435. ¿Cuál es el valortotal de sus compras?

14. Halla 2

__

5 + 1

__

2 .

15. En un gráfico circular se muestran los resultadosde una encuesta a 320 personas. ¿Qué fraccióndel gráfico representaría a las 100 personas que

contestaron "sí"?

A 4

___

15 B 3

___

10 C 5

___

16 D 3

__

8


6. Escribe una fracción reducida a su mínimaexpresión para representar el costo del diluyente

de pintura en comparación con el costo total delos materiales para pintar.

7. ¿Qué tres ítems combinados forman 3

_ 4 del

costo total?

8. ¿Qué conclusión puedes sacar acerca del costode la pintura? ¿Es válida tu conclusión? Explica.

9. ¿Cuál es la diferencia entre el costo de una cubiertade tela y el costo de la pintura blanca más un pincelo un rodillo?


10. ¿Cuál es la diferencia entre los porcentajes de librosde leyendas con respecto al total de libros de labiblioteca del colegio?

11. Razonamiento Claudia dijo que "Aproximadamente 1de cada 2 libros de la biblioteca eran de cuentos. ¿Esverdadero lo que dijo Caudia? Explica.

12. ¿Cuál es la pregunta? La respuestaes que, cuando se combinan, son casi el doble delporcentaje de los libros de leyendas.





257CAPÍTULO 14

1. Escribe una pregunta sobre las personas quetenían entre 5 y 9 años en el año 1992.

3. Escribe una pregunta de resta y una preguntade suma sobre el gráfico de 2002.

2. Escribe una pregunta comparativa sobre las personas

que tenían entre 60 y 64 años en 1992.

4. Escribe dos preguntas donde compares losdatos de los gráficos de 1992 y 2002.

Resolución de problemas Usa los datos de

las pirámides de población para escribir preguntas.

Responde a tus preguntas.

Escribir preguntasLos estudiantes de la clase del profesor

Escobar aprendieron que una pirámide de

población es un tipo especial de gráficode barras: un gráfico donde se muestra la

distribución de la población según la edad y

el sexo. Los intervalos de edad se escriben

en la escala vertical y las barras se extienden

hacia la izquierda y hacia la derecha de esa

escala. Las barras comparan la población de

individuos de sexo masculino y femenino en

millones y en diferentes intervalos de edad. La

pirámide de población es como un gráfico de

barras dobles, porque muestra datos sobre dos

conjuntos. Los censos de población se realizan

cada 10 años en Chile. El último, se llevó a

cabo en 2012. Los dos censos anteriores

(1992 y 2002) arrojaron estas pirámides de la

población chilena. Los estudiantes escribieron

las siguientes preguntas y respuestas sobre la

pirámide de población del año 2002:

• ¿Había más hombres o más mujeres que tenían entre 20 y 24 años en el año 2002? Había aproximadamente 10 millones de hombres que tenían esas edades.

• ¿Había más hombres o más mujeres que tenían entre 75 y 79 años? Compara las barras de la izquierda y la derecha. Había más mujeres.

• ¿Cuántos hombres más que mujeres tenían entre 10 y 14 años aproximadamente? Estima los números de las barras de la izquierda y de la derecha. Había aproximadamente

1 millón de hombres más.

Hombres

por sexo y edad

80 y +75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 3425 – 2920 – 2415 – 1910 – 14 5 – 9 0 – 9

800 600 400 200 0 200 400 600 800

en miles

Mujeres

Hombres

Mujeres

Censo 1992

Hombres

por sexo y edad

80 y +75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 3425 – 2920 – 2415 – 1910 – 14 5 – 9 0 – 9

800 600 400 200 0 200 400 600 800

en miles

Mujeres

Hombres

Mujeres

Censo 2002

www.ine.es

257CAPÍTULO 14



258

L E C C

I Ó N

Usa la destrezaPROBLEMA Roberto vive en Santiago, donde la temperatura promedio en enero es de 24 ºC

aproximadamente y en julio de 18 ºC. Roberto se cambiará de ciudad para vivir y debe elegiruna de las siguientes ciudades:Arica, Antofagasta, Temuco, Puerto Montt o Chañaral.

Hizo una lista de requisitos. Le gustaría que latemperatura promedio en enero no se alejara másde 4 °C del promedio de la temperatura de Santiagoen enero.

Le gustaría que la temperatura promedio de julio nofuera menos de 13 °C y, por último, vivir muy cercadel océano Pacífico ¿Qué ciudad debe elegir Roberto?

¿Antofagasta es la única ciudad quecumple con los requisitos de Roberto?

Usa el gráfico para identificar los detalles.Luego repasa.

Antofagasta, Arica, y Chañaral cumplen conlos tres requisitos de Roberto.

Entonces, Roberto debería mudarse a Antofagasta, Arica o Chañaral.

Piensa y comentaHalla información en el gráfico para responder a cada pregunta.

Requisitos Arica Antofagasta Temuco Chañaral Puerto Montt

La temperatura promedio

en enero no se aleja más

de 4 °C del promedio de la

temperatura de Santiago en

enero.

✓ ✓ ✓

Temperatura promedio de julio

no es menos de 13 °C. ✓ ✓ ✓

Vivir muy cerca del océano

Pacífico ✓ ✓ ✓ ✓

a ¿Qué ciudad presenta la mayor diferencia detemperaturas promedio?, ¿cuál es esa diferencia?

b Calcula la diferencia de temperaturas promediosde cada ciudad. Ordena las ciudades de menor amayor diferencia de temperaturas.

c Halla la diferencia entre las temperaturas promediode Antofagasta y Chañaral en enero. ¿Qué dosciudades tienen la misma diferencia en julio? ¿Cuáles la diferencia?

d ¿Por qué un gráfico de barras doble es adecuadopara representar estos datos?

Destreza: usar un gráficoOBJETIVO: resolver problemas usando un gráfico.

Ciudad

T e m p e r a t u r a ( ˚ C )

EneroJulio

Temperatura promedio en enero y julio

2220

16

21

13

16

13

7

14

6

0

5

10

15

20

25

Arica Antofagasta Temuco Chañaral Pto Montt

Fuente: www.meteochile.gob.cl



259CAPÍTULO 14

Música favorita de losestudiantes de 6º básico

Otra

6%Clásica10%

Rock and roll58%

Jazz4%

Hip-Hop18%

Reggaeton

4%

Aplicaciones mixtas

Del 1 al 3, usa el gráfico.

1. Cristián vive en Temuco y se quiere mudar a otra ciudad. La temperatura promedio de Temuco es de 16°Cen enero y 7°C en julio, aproximadamente. Él quiere que la temperatura de la ciudad a la cual se mudarásea más cálida en julio que en la ciudad dónde vive y 7°C más cálidas que las temperaturas de su ciudad en

enero (Temuco). ¿Qué ciudad de las presentes en el gráfico debe elegir?Primero, haz una lista de las ciudades y los requisitos de Cristián.

Del 4 al 8, usa el gráfico circular.

4. ¿Qué tres tipos de música combinados son tan populares comoel Hip–Hop? Escribe el porcentaje de cada uno de los que elijas.

5. ¿Cuántas veces mayor es el número de estudiantes que prefierenHip–Hop que el número que prefiere "otro tipo de música"?

6. Imagina que 10 estudiantes dijeran que prefieren otro tipo demúsica. ¿Cuántos estudiantes crees que elegirían Hip–Hop?Explica.

7. Escribe una fracción irreductible que sea equivalente alporcentaje de estudiantes de sexto básico que eligieron lamúsica reggaeton como música favorita.

8. Explica por qué se usa un gráfico circular pararepresentar la música favorita de los estudiantes de sexto básico.

2. ¿Qué pasaría si Cristián también consideraramudarse a Iquique, donde la temperatura en eneroes 28 ºC y en julio es 18 ºC? ¿Cambiaría eso laciudad que eligiera? ¿Por qué?

3. ¿Cuál es la ciudad que presenta mayortemperatura promedio en enero?

CiudadTemperatura

en julio

Temperatura

en enero

Arica

Antofagasta

Santiago

Chañaral

La Serena

EneroJulio

Temperatura promedio en enero y julio

T e m p e r a t u r a ( ˚ C )

05

10

15

20

25

30

Arica Antofagasta

Ciudades

Santiago Chañaral La Serena

2320

2421 21

1613

18

14

18



Fuente: www.meteochile.gob.cl

Luego, haz una marca en los requisitos quecumple cada ciudad.

Por último, identifica la ciudad que cumple

con todos los requisitos de Cristián.



260

Aprende

Paso

Paso

Paso

Tallo Hojas

2 2 4 4 5 5 6 7 8 8 8

3 0 1 1 1 1 1 2 4 5 6

4 2

5 2

6 2

El dígito de las

decenas de cada

número es sutallo.

El dígito de las

unidades de cada

número es su hoja.Edificios de Chile

5 | 2 representa 52.

Diagramas de tallo y hojasOBJETIVO: representar datos adecuadamente haciendo undiagrama de tallo y hojas.

PROBLEMA ¿Cómo puedes organizar los siguientesdatos para que sea más fácil interpretarlos?

Ordena de menor a mayor.

1. 92, 69, 39, 582. 36,27,103,2453. 75, 84, 80, 874. 118, 124, 132, 111

5. 154, 162, 95, 131

Vocabulariodiagrama de tallo y hojasUn diagrama de

tallo y hojas es unatabla que muestragrupos de datosordenados segúnsu valor posicional.Muestra el valor decada dato.

ActividadHaz un diagrama de tallo y hojas usando los datos de los edificios.Escribe todos los números aunque se repitan.

Ordena los datos de menor a mayor.

22, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 27, 28, 28, 28, 28,

30, 31, 31, 31, 31, 31, 32, 34, 35, 36, 42, 52, 64

Separa los datos en grupos, los que tengan el mismo tallo.

Enumera los tallos, en orden, en una columna.

Escribe cada conjunto de hojas en orden, de menor a mayor, a la derecha de su

tallo. Ponle un título a tu diagrama.

64 52 34 42 31

31 30 32 31 31

22 25 28 28 25

28 28 36 24 24

35 24 26 31 27

Cantidad de pisos de algunos edificios altosde Chile

L E C C

I Ó N



261CAPÍTULO 14


1 2 2 5 7 7 7 7 9

2 5 6 7

3 4 6

4 1 4

5

6 0 1

7 0 4

Tallo Hojas

Cantidad de pisos de losedificios de Chicago

76

79

69

92

73

67

73

85

86

85

81

82

94

92

93

98

86

89

61

86

76

74

75

80

Resultados de los partidosde básquetbol

Para 5–8, usa los datos de las temperaturas de diciembre.

5. Usa los datos para hacer un diagrama de tallo y hojas.

6. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿Y la temperaturamáxima?

7. ¿Qué temperatura se registró con más frecuencia?

8. ¿Se registraron más temperaturas en los 20, los 30 olos 10 grados?

Para 9 –11 y 14 usa el diagrama de tallo y hojas.

1. Vuelve al diagrama de tallo y hojas Edificios de Chile.¿Cuántos edificios tienen 31 pisos?¿Cómo se ve esto en el diagrama?

Para 2–4, usa los puntajes de básquetbol.

2. Usa los datos para hacer un diagrama de tallo y hojas.

3. ¿Cuál fue el puntaje más bajo del equipo? ¿Y el más alto?

4. Explica la relación entre una hoja y un tallo en eldiagrama de tallo y hojas que hiciste con los datos del puntajede los partidos de básquetbol.

13. Representa gráficamente el par ordenado (2,5)en una cuadrícula de coordenadas.

14. ¿Cuántos edificios de Chicago se incluyen enlos datos del diagrama de tallo y hojas anterior?

A 8 B 19 C 20 D 29

28º 31º 28º 29º 26º 19º

28º 32º 32º 26º 27º 28º

31º 29º 29º 27º 25º 20º

23º 27º 28º 27º 25º 33º

Temperaturas máximas de diciembre enRancagua (en º C)

12. Haz un diagrama de tallo y hojas. Responde: ¿Cuántaslíneas de taxi–bus tienen entre 30 y 40 buses?

Líneas de taxi–bus en la ciudad de Chillán

33 32 26 31

44 42 15 34

34 29 33 26

DATO BREVE Chicago es considerada la ciudad dondenacieron los rascacielos. El primero fue un edificio de tan solo12 pisos construido en el año 1885.

9. ¿Cuántos edificios tienen entre 10 y 19 pisos?

10. ¿Cuántos edificios tienen exactamente 17 pisos?

11. Explica ¿Qué tipo de información se puederepresentar en un diagrama de tallo y hoja?



Práctica adicional en la página 262, Grupo E



262

Comida

Alojamiento

Recreación

Transporte

Otros

Gastos de un estudiante universitario

5%

10%

15%

25%

45%

Práctica adicional

P a r t e d e l d í a

Número de personas

Momento del día para ir al cine

Mañana

Tarde

Noche

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Grupo A Usa la tabla de la derecha.

1. Usa los datos de la tabla para hacer un gráfico debarras doble.

2. ¿Qué día fue mayor la diferencia entre el númerode botellas de agua mineral y de bebidas defantasía que se vendieron?

Grupo B Diagrama de puntos.

1. ¿Cuántos días fueron considerados en eldiagrama de puntos?

2. ¿Cuántos días se registró la temperaturamás alta?

Grupo C Usa el gráfico circular de la derecha.

1. ¿Qué categoría constituye el porcentaje mayor delos gastos del estudiante?

2. ¿Qué categorías combinadas suman un poco másde un cuarto de los gastos del estudiante?

3. ¿Qué tres categorías combinadas suman la mitadde los gastos del estudiante?

Grupo D Usa el gráfico de la derecha.

1. Pedro llegó a la conclusión de que la noche es elmomento que más les gusta a las personas parair al cine. ¿Es válida su conclusión?

2. La pregunta de la encuesta fue: “A mí me encantair al cine. ¿Cuándo prefieres ver películas tú?” Siel gráfico es confuso, explica por qué.

Grupo E Diagrama de tallo y hojas.

1. En el diagrama de tallo y hojas aparece el nº decalzado de niños de 6º básico. ¿Cuántos niñosfueron encuestados?

2. ¿Cuántos niños calzan el nº mayor?

Ventas del quiosco día sábado

Viernes Sábado Domingo

Agua mineral 19 25 21Bebidas de

fantasía13 26 14

Número de calzado de niños de 6º básicoTallo Hojas

4 0 0 0 0 1 1 1 1

3 7 7 7 7 7 8 8 9 9

8

xxxxxx

9

xxxxx

xxxxx

xxxx

xxxx

xxx

10 11 12 13

xxx

14 15(Temperatura (en ºC)



100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

263CAPÍTULO 14

!GR ÁFICOS Y M ÁS GR ÁFICOS!¡En sus marcas!2 equipos con 3 jugadores cada uno

¡Listos!• tarjetas con preguntas

(Libro del profesor)• 2 monedas distintas• hoja de papel cuadriculado

Mezclen las tarjetas con preguntas y pónganlasboca abajo en un mazo.

Los jugadores lanzan una moneda al aire paradeterminar cuál será el equipo 1 y cuál el equipo 2.

Cada equipo elige una moneda y la pone en elcasillero de SALIDA.

El equipo 1 saca una tarjeta de preguntas delmazo y responde a la pregunta mirando la hojade papel cuadriculado.

El equipo 2 comprueba la respuesta. Si es correcta,el equipo 1 mueve su moneda el número decasilleros que indica la tarjeta y cede el turno alequipo 2.

Si la respuesta es incorrecta, es el turno del otroequipo.

Gana el primer equipo que avanza hasta elcasillero LLEGADA.

S A L I D A

L L E G A D A



264


1. Un __________ es útil para comparar dos conjuntos de datos quese pueden contar.

2. Un __________ es útil para representar información que cambia con el tiempo.

3. Un __________ es útil para comparar las partes de los datos con el todoy con otras partes.

Repasar las destrezasDel 4 al 5, usa la tabla de la derecha.

4. Usa los datos de la tabla para hacer un diagramade tallo y hoja.

5. ¿Entre qué años nacieron más niños que niñas?

Usa el gráfico de la derecha.

6. Cuando Marco miró el gráfico del total de ventasde Juan, Marco y Pedro, llegó a la conclusión deque Juan vendió más del doble que Marco oPedro ¿Es válida su conclusión? Explica.

7. ¿Cuál vendedor obtuvo más ganancias porsus ventas? Explica cómo lo sabes.

8. ¿Por qué se utilizó un gráfico de barras simple paraorganizar la información? Fundamenta.


V e n

d e d o r

Número de ventas

Juan

Marco

Pedro

40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

Ventas

VOCABULARIO

gráfico de líneas

gráfico circular

gráfico de barras doble


Número de bebés nacidos2008 2009 2010 2011

Niños 47 39 61 58

Niñas 53 46 42 39

9. ¿Cuál es el número que más se repite en la tabla? ¿Qué se puede interpretar de esa información?

10. ¿Qué intervalo elegirías si estuvieras haciendo ungráfico de barras usando los datos de la encuestaMúsica favorita de la página 259? ¿Por qué?

11. Francisca dice que según la tabla hay más niñasque niños en el equipo. Explica cuál es el error deFrancisca.

12. Comenta con un compañero cuándo esconveniente usar un gráfico de barras simple o ungráfico circular.

Equipo de gimnasia

Edades

Niños 11 13 12 11 12 11

Niñas 10 14 12 11 12 12



Enriquecimiento •Re laciones entre gráficos

Sofía sale a pasear en bicicleta. En el siguiente gráfico se cuenta una historia sobre

su paseo. En él se muestra la relación entre la velocidad y el tiempo de Sofía.

• La velocidad de Sofía aumenta poco a poco.

• Luego Sofía avanza a una velocidad constante.

• Avanza más lentamente cuando sube una colina.

• Pedalea a una velocidad lenta constante y luegoaumenta su velocidad nuevamente cuando baja lacolina.

• Alcanza una velocidad mayor que antes y lamantiene hasta que reduce la velocidad y luegofrena de golpe.

Ejemplo Vas en bicicleta hasta un parque, juegas al tenis yluego vuelves a casa en bicicleta. Haz un gráficoen el que muestres el tiempo que anduviste enbicicleta y la distancia que recorriste.

En tu gráfico se mostrará un aumento en la distancia hasta que te detienes en el parque.El tiempo que pasaste en el parque no cambia la distancia. Cuando vuelves a casa,la distancia aumenta nuevamente hasta que llegas a destino.

PruébaloDescribe la historia que se narra en cada gráfico.

1. 2.

3. Haz un gráfico en el que muestres el tiempo quedemoras y la velocidad mientras caminas hacia laparada del autobús, mientras esperas el autobúsy mientras estás sentado en el autobús cuando sedetiene dos veces rumbo a la escuela.

4. Haz un gráfico en el que muestres el tiempoque demoras y el volumen de agua de una tina.Llenas la tina, te sumerges y te quedas en ella.Le agregas agua caliente, te quedas allí otrorato y luego vacías la tina.

Explica qué cambiaría en el gráfico del problema 1 si un jugador del equipo atrapara lapelota.

POTENCIA DE PEDALEO

Paseo en bicicletade Sofía

Tiempo V e l o c i d a d

Tu paseo enbicicleta

Tiempo D i s t a n c i a

Saltos de Carla desde el trampolín

Tiempo A l t u r a ( e n m )

s o b r e e l s u e l o

Tiro libre directo (de fútbol)

Metros hasta el arco A l t u r a ( e n m )

s o b r e e l s u e l o

265CAPÍTULO 14



266


Números y operaciones Patrones y álgebra

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la quecorresponde al siguiente planteamiento? Unnúmero es aumentado en tres unidades yluego se le resta 6.

A 3 + x – 6 C ( x + 3) – 6

B 3 – x – 6 D (3 – x ) – 6

6. ¿Cuál es valor de la incógnita en la siguienteecuación?

x – 5 = 23 – 3

1. Catorce centésimos, escrito en cifras es: A 14

B 0,14

C 0,014

D 1,4

2. Al sumar 3 + 4 resulta:

A 7

B 7

C 7

D 7

3. La suma de 0,26 + 0,24 es:

A 2,93

B 0,5

C 1,23

D 8,57

4. Ordenar de mayor a menor los siguientes números:

0,2 ; ; ; 0,6 ; 0,4

A 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; ;

B ; 0,6 ; ; 0,4 ; 0,2

C 0,6 ; 0,4 ; 0,2 ; ;

D ; ; 0,6 ; 0,4 ; 0,2

25

512

4960

16

760

717

1

2

9

10

9

10

9

10

9

10

9

10

1

2

1

2

1

2

1

2

7. Los siguientes números son los que dijeronalgunos niños del curso cuando jugabana crear un patrón. ¿Cuál es el patrón quesiguieron?

45, 57, 69, 81, 93….

A Sumar 10 C Sumar 12

B Restar 12 D Restar 10

8. José está contando mentalmente. Comenta lasecuencia de números que contó: 5; 12; 26;54; etc. ¿Qué número viene después del 54?

A 110 C 100

B 108 D 128

9. ¿Qué valor de "b" hace que la siguienteecuación sea verdadera?

1400

b = 14

A 100

B 10

C 1 000

D 10 000

A 25

B 10

C 15

D 20



267CAPÍTULO 14

16. Observa el diagrama de tallo y hojas.

15. El siguiente gráfico muestra las preferencias queexisten por tres tipos de frutas.

17. El 6° A y 6° B aportaron alimentos en la campañade recolección para un hogar de ancianos de lacomuna. Según el gráfico, ¿cuántos kg de azúcarse recolectaron en total?

A 35

B 40

C 65

D 70

piña25%

manzana40%

naranja35% Frutas

¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

A La menor preferencia la obtuvo la naranja.

B La mayor preferencia la obtuvo la manzana.

C La diferencia que hay entre la preferencia pornaranja que por manzana es de un 6%.

D La diferencia que hay entre la preferencia por

piña que por manzana es de un 1%.

¿Cuál es la cantidad mayor de boletos vendidospara la función de cine en un día?

A 37 boletos C 54 boletos

B 45 boletos D 73 boletos

Geometría – Medición Datos y probabilidades

A Punto A C Punto C

B Punto B D Punto D

14. ¿Qué punto representa (4,3) en el siguiente gráfico?

x

y

0 1 2

2

3

3456

7

8

9

54 6 7 8 9

1

A

B

C

D

10. El perímetro del triángulo es:

Cantidad de boletos vendidos para lafunción de cine en distintos días

tallo hojas

1 1 1 4

2 0 2 6 8

3 1 2 7 7 7

4 0 2 2 3 5

A 1,904 C 19,04

B 19,044 D 190,4

11. El área de un triángulo es de 36 cm2. Si laaltura mide 6 cm, ¿cuánto mide la base deltriángulo?

A 10 cm C 15 cm B 12 cm D 8 cm

12. El perímetro de un cuadrado es de 320 cm.¿Cuál es el área del cuadrado?

A 6 400 cm2 C 6 500 cm2

B 6 600 cm2 D 6 000 cm2

13. El perímetro de un rectángulo es de 84 cm.

Si el largo mide 32 cm, ¿Cuál es el área delrectángulo?

A 300 cm2 C 84 cm2

B 320 cm2 D 268 cm2

7,4 cm

6,3 cm 5,340 cm

10

20

30

40

arroz azucar leche

6º A6º B

Alimentos

Cantidad de alimento recolectado

C a n t i d a d

( k g )

32



Probabilidad de sucesosLa idea importante La probabilidad mide la posibilidad de los sucesos y sienta lasbases para hacer predicciones.

El parque de diversiones más

grande de latinoamérica seencuentra en Chile. Cuentacon casi 40 atracciones yrecibe anualmente a más deun millón de personas.

Imagina que pasas el día en Parque de diversiones y decides llevar un conteo de las personas que se subierona las atracciones que consideras imperdibles, durante un par de horas. En la siguiente tabla se muestra la

cantidad de personas que se subió a los distintos juegos. Observando la tabla, ¿podrías hacer una predicciónrespecto de las preferencias de las personas por un juego en particular?, ¿por qué crees que ocurre esto?

DATO

BREVE

Juegos del Parque de diversiones

Nombre Cantidad de personas que se han subido en un día

Black hole

Raptor

Carrusel

Monga

Tiro al payaso

268




resultadoprobabilidad

PREPARACIÓN

experimento aleatorio Experimento cuyos resultados posibleso sucesos no se pueden predecir con certeza.

espacio muestral El conjunto de todos los resultados posiblesen un experimento aleatorio.

probabilidad La medida de cuán posible es que ocurra unsuceso. Su valor está entre 0 y 1.


Fracciones en su mínima expresión

Escribe cada fracción en su mínima expresión. 1. 3

___

12 2. 6

__

9 3. 24

__

40 4. 15

___

40 5. 42

___

56

6. 36

___

78 7. 18

__

75 8. 33

___

55 9. 60

__

96 10. 72

___

120

11. 39

___

90 12. 60

__

72 13. 70

___

130 14. 55

___

200 15. 200

___

600

Fracciones, decimales y porcentajesEscribe cada fracción como decimal y como porcentaje.

16. 3

__

5 17. 1

__

8 18. 9

___

10 19. 3

__

4 20. 7

___

20

21. 14

___

25 22. 1

__

4 23. 7

___

25 24. 4

__

5 25. 9

___

25

26. 3

___

10 27. 7

__

8 28. 3

___

20 29. 1

___

25 30. 4

___

50

Seguro, imposible o posibleIndica si el suceso es seguro, imposible o posible.

31. que la semana que viene tenga más de 7 días 32. que mañana hables por teléfono con un amigo

33. que octubre venga después de septiembre 34. mirar 7 películas en un día

35. caminar 100 km en un día 36. que cinco monedas de $ 100 sean igual a

quinientos pesos 37. que llueva en el desierto 38. sacar una ficha azul de una bolsa de fichas verdes

269CAPÍTULO 15



Aprende

L E C C

I Ó N

Entonces, Luisa tiene un 25% de sacar cara.

Hay una opción de loscuatro resultados posibles.Se escribe la fracción 1

4.

El resultado de esta fracciónes 0,25 y esto correspondeal 25%.

0,25 = 25100

= 25%

Ejemplo 1Basándote en el diagrama con los resultados, calcula el porcentaje que tiene Luisade sacar cara al lanzar dos veces la moneda.

Una caja contiene 24 botonesrojos y 24 botones azules.Todos los botones tienen elmismo tamaño. ¿Cuál es la

probabilidad de elegir al azarun botón rojo?

Probabilidad de ocurrenciade eventosOBJETIVO: conjeturar posibles resultados en eventos específicos.

Vocabularioexperimento aleatorio

Un experimento aleatorio es una actividad en la que existe laprobabilidad de que haya diferentes resultados. Lanzar una monedaal aire, hacer girar una flecha giratoria o lanzar un dado son ejemplosde experimento aleatorio.

PROBLEMA Luisa lanza una moneda al aire y sabe que tiene solodos resultados posibles de sacar, cara o sello. Si lanza dos veces lamoneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara al lanzaruna moneda?

CC

S

SC

S

La probabilidadde un suceso secalcula como elcociente entrecasos favorables ycasos posibles.

270




1. 6 veces un dado

2. 12 veces un dado

3. 60 veces un dado

4. 120 veces un dado

5. Explica ¿Cuál es la fracción que representa mejor la probabilidad de que al lanzar un dado120 veces salga 5?

12. Sabiendo que la probabilidad se calcula dividiendo los resultados favorables por el total de posibilidades.¿Cuál es la fracción que representa la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda al aire?

13. ¿Cuál es la fracción que representa la probabilidad de que salga sello al lanzar una moneda al aire?

14. Si lanzas al aire una moneda de $10 y una de $100 al mismo tiempo, ¿cuántos son los resultados posibles?Completa la tabla para responder.

Realiza el siguiente experimento junto a un compañero. Lancen dos monedas al aire 20 veces. Anoten las veces

que sale cara en cada lanzamiento. Completen la tabla.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1 vez cara cuando se lanzan dos monedas al aire? Escribe la respuestacomo fracción.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1 vez salga sello cuando se lanzan dos monedas al aire? Escribe larespuesta como fracción.

Cuál es la probabilidad, expresada en fracciones, de que:

Marcelo quiere lanzar varias veces una moneda, quiere adivinar las veces que saldrá sello al lanzar:

Respecto a los experimentos realizados por Marcelo responde:



Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Número de caras

6. Salga un número par al lanzar un dado.

7. Salga un número impar al lanzar un dado.

8. Salga un número primo al lanzar un dado.

9. 2 veces una moneda 10. 10 veces una moneda 11. 100 veces una moneda

Escribe la posibilidad de que al lanzar varias veces un dado, este salga 5. Cuántas veces podría salir el 5 si

se lanza:

Moneda de $10

C S

C C C

S M o n e d a s d e $ 1 0 0

271CAPÍTULO 15



272

A partir de los datos de la tabla, conjeturen las siguientes fracciones para describir sus resultados.

A partir de los datos de la tabla, escribe las fracciones que representan los resultados.

En relación al experimento anterior

En relación al experimento anterior

Observa las tarjetas y escribe una fracción que describa la probabilidad de ocurrencia del suceso si sacas

una tarjeta al azar.

15. 0 caras =

__ 20 16. 1 cara = __

17. 2 caras = __

20. 0 sello =

__ 20 21. 1 sello =

__ 22. 2 sellos =

__

18. ¿¿Cuál es la probabilidad de sacar cara en al

menos una moneda?

19. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 caras?

23. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos unsello?

24. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 sellos?

25. Que el número sea menor que 30.

26. Que el dígito de las unidades sea 2 u 8.

27. Que el dígito de las unidades sea 1, 3 o 4.

28. Que el número sea mayor que 60.

29. Que el número sea un múltiplo de 4.

Realiza el siguiente experimento junto a un compañero. Lancen dos monedas al aire 20 veces. Anoten las veces

que sale cara en cada lanzamiento. Completen la tabla.

2 3 8 15 24 35 48 63 80 101 120 143

Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Número de caras


30. Traza un paralelogramo.31. Halla el resultado 13 · (5 + 8) =

32. Resuelve: 4

__

5 12

___

x

33. Realiza el experimento de lanzar tres monedasa la vez al aire. Usa un diagrama de árbol paraanotar los resultados obtenidos. Conjeturala posibilidad de que al lanzar una monedanuevamente salga cara o sello.

34. En el gráfico semuestra la raza de70 perros inscritos en el AmericanKennel Club. Según elgráfico, ¿A queraza perteneceaproximadamente lamitad de los perros? LabradorBeagle Pastor

AlemánGoldenRetriver

10

20

30

40

60

C a n t i d a d d e p e r r o s ( n ú m e r o )

Raza

Perros inscritos enAmerican Kennel Club



273CAPÍTULO 15

Fichas de igual tamaño

Anaranjadas Moradas Café Roja Blancas

8 8 5 9 10

Escribir para demostraro contradecirA veces debes evaluar si un enunciado es verdadero o

falso. Puedes usar ideas matemáticas y el razonamiento lógico

para demostrar o contradecir tu respuesta. En una prueba de

matemáticas, Simón lee el siguiente problema con palabras.

En la tabla, se muestra el contenido de una bolsa de bolitas de igual

tamaño. Claudio dice que la probabilidad de elegir al azar una

bolita roja es mayor que la probabilidad de elegir al azar una bolita

de cualquier otro color por separado. ¿Es correcta su afirmación?

Rojo Azul Verde Amarillo

16 12 10 12

Lee la forma en que Simón evaluó la afirmación de Claudio. Para demostrar o contradecir una

afirmación:

• Haz los cálculos matemáticosque sustentarán tu explicación.

• Explica los pasos que seguistey el razonamiento que usaste.

• Resume tu párrafo usando

palabras como entonces y por lo tanto.

• Indica si la afirmación esverdadera o falsa.

Primero, para demostrar o contradecir la afirmación de Claudio,se halla la probabilidad de seleccionar cada color.

(rojo) 16, (azul) 12

(verde) 10, (amarillo) 12

Luego, se comparan las probabilidades.

16/50 > 12/50 > 10/50 > 12/50El rojo tiene mayor probabilidad.

Por último, se escribe una explicación lógica. Es verdad que 16/50

es mayor que 10/50 y que 12/50. Entonces, la probabilidad de elegir

una bolita roja es mayor que la probabilidad de elegir una bolita

de los otros tres colores. Por lo tanto, la afirmación de Claudio es

verdadera.

Demuestra o contradice cada afirmación de acuerdo a la probabilidad de cada grupo de fichas por

separado.

Resolución de problemas Las fichas y las

cuentas se colocan en bolsas diferentes.

1. La probabilidad de elegir al azar una fichablanca es el doble que la de elegir una fichacolor café.

2. La probabilidad de elegir al azar una ficharoja es 9/36, o sea 1/4.

3. La probabilidad de elegir al azar una ficha

blanca es de 8/36, o sea 2/9. 273CAPÍTULO 15



Aprende

L E C C

I Ó N

Simplifica.

1. 6

___

18 2. 9

___

24

3. 10

___

25 4. 3

___

12

5. 14

___

16

Vocabulariodiagrama de árbol

Cuando necesitas hallar muchos resultados posibles puedes hacer undiagrama de árbol.

PROBLEMA En un circo, los payasos tienen dos opciones de trajes:con lunares o con rayas. Y tienen tres opciones de pelucas: con chapeso moñitos, pelo multicolor o pelo azul. ¿Cuántos disfraces diferentespueden usar los payasos?

Sigue cada rama del diagrama de árbol para encontrar todos los resultadosposibles: {lunares y chapes o moñitos; lunares y pelo multicolor; lunares ypelo azul; rayas y chapes o moñitos; rayas y pelo multicolor;rayas y pelo azul}

Hay 18 resultados posibles.

Ejemplo 1 Usa el diagrama de árbol para saber los diferentes disfraces quepueden usar los payasos del circo.

Ejemplo 2 Camila tiene un dado de seis caras y una flecha giratoria dividida en

tres sectores iguales de colores rojo, azul y verde. Usa un diagrama de árbol paraenumerar los resultados posibles.

Probabilidad y resultadosposiblesOBJETIVO: encontrar los resultados posibles en un experimento.

Flecha giratoria A

Azul VerdeRojo

R, 1R, 2 R, 3 R, 4 R, 5

R, 6 A, 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, 5

A, 6 V , 1 V , 2 V , 3 V , 4 V , 5

V , 6

Combina el primer traje depayaso con cada peluca.

Combina el segundo trajede payaso con cada peluca.

274




1. Se lanza una moneda tres veces al aire, ¿cuáles son los resultados posibles de obtener? Usa el diagrama deárbol para responder.

8. Explica Explica por qué es útil el uso de diagrama de árbol.

3. Explica cómo te ayuda un diagrama de árbol a enumerar los resultados obtenidos allanzar un dado de seis caras dos veces al aire.

4. Si se realiza un experimento de lanzar una moneda al aire y a la vez sacar una ficha de una bolsa quecontiene 4 fichas numeradas del 1 al 4, ¿cuántos son los resultados posibles?



2. Felipe tiene un dado y lo lanza 10 veces. Anota

en la siguiente tabla los resultados obtenidosen cada lanzamiento. ¿Qué puedes predecir sivuelve a lanzar el dado?, ¿cuántos resultadosposibles obtiene?

5. Un restaurante ofrece de plato principal pollo, pescado y carne y de acompañamiento, arroz, fideos, ensaladachilena y papas cocidas. ¿Cuántas combinaciones posibles puede una persona escoger para comer?

6. Claudio y sus compañeros van a ir de campamento. Hicieron una listacon la ropa básica que deben llevar. Si llevan 3 tipos de ropa:a. Un short, un buzo y un pantalón.

b. Una polera y un polerón.c. Una par de zapatillas y un par de sandalias.¿Cuántas combinaciones de ropa podrán realizar durante su estadía enel campamento?

7. Razonamiento ¿Puedes predecir lo que ocurra en un experimento sihas realizado varias veces el mismo experimento?


9. Traza un triángulo rectángulo isósceles.

10. Resuelve 23 + x 36.

11. Si lanzas una moneda de $100 al aire veinteveces, ¿cuántas veces podría salir cara?

Caras dadoLanzamientos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

275CAPÍTULO 15



Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Número de caras 1 1 2 0 1 2 1 0 0 1 1 1 1 2 0 1 0 1 1 2

276

Responde.

11. ¿Cuántas veces lanzó las monedas para obtener esos resultados?

12. Cuenta las veces que salió cara en ambas monedas. Escribe como fracción las veces que salió cara enambas monedas.

13. ¿En qué fracción de los experimentos salió al menos una vez cara?

Grupo A1. Los estudiantes de un curso deben tomar un taller de arte y un taller de deporte como actividad dentro

de la jornada de clases. Los talleres de arte son: mosaico, dibujo en 3D, pintura al óleo y papel maché.Los talleres deportivos son: fútbol, básquetbol, vóleibol, tenis, gimnasia artística y patinaje. ¿Cuántascombinaciones existen? Dibuja un diagrama de árbol para responder a la pregunta.

2. Karen elegirá entre una blusa y una falda o unos pantalones de su clóset para vestirse e irse a una fiesta.Encuentra la cantidad de combinaciones diferentes que puede hacer si tiene 3 blusas, 3 pantalones y 3faldas. Usa el diagrama de árbol.

3. En una escuela compran camisetas de fútbol. Cada una tendrá una letra y un número. Las letras posibles sonde la A a la C y los números posibles son del 1 al 5. ¿Cuántas combinaciones posibles hay?

Grupo BEn una caja se colocan tarjetas del mismo tamaño 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 8. Eliges una tarjeta al azar.

Escribe la probabilidad que salga.

4. El número 4

5. Un número impar

6. Un número par

Expresa en fracciones las siguientes probabilidades:

7. Lanzar un dado y que salga el número 6.

8. Lanzar un dado y que salga un número compuesto.

9. Lanzar un dado y que salga un número divisible por 2.

10. Lanzar un dado y que salga un número múltiplo de 3.

En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos por Gonzalo al lanzar dos monedas al aire y

anotar el número de veces que salió cara.

Práctica adicional



277CAPÍTULO 15

¡Preparados!2 a 4 jugadores

¡Listos!• Set de tarjetas para juego• dado• diferentes monedas

Cada jugador elige una moneda y la coloca sobrela SALIDA. Se decide quién empezará.

Mezcla las tarjetas del juego y colócalas bocaabajo en el mazo.

Un jugador toma una tarjeta del mazo.

El jugador debe responder la pregunta.

El otro jugador comprueba la respuesta. Si escorrecta, el jugador lanza el dado, avanza elnúmero de casilleros que saca y es el turno delsiguiente jugador.

Si la respuesta es incorrecta, el jugador no avanza.Es el turno del siguiente jugador.

Gana el primer jugador que alcanza la LLEGADA.

Cómo se juega

SALIDA

LLEGADA

¿Cuáles son las posibilidades?

277CAPÍTULO 15



278


Repasar el vocabulario y los conceptos

Elige el mejor término del recuadro.

1. Un _______________ es una actividad en la que existe la probabilidad de quehaya diferentes resultados.

2. Un ____________________es una forma de organizar la información.

Repasar las destrezasUna caja contiene 4 botones de diferentes colores. Los colores de los botones son rojo, blanco, azul y verde.

Si se realiza el experimento de sacar botones 10 veces:

3. ¿Cuál será el diagrama de árbol que represente lasituación? Dibújalo.

4. ¿Cuántas posibilidades de sacar botonesdistintos se tiene?

Repasar la resolución de problemasObserva las tarjetas y escribe una fracción que describa la probabilidad de ocurrencia del suceso si sacas

una tarjeta al azar.

5. Que el número sea menor que 40.

6. Que el dígito de las unidades sea 1 o 9.

7. Que el dígito de las unidades sea 2, 3 o 7.

8. Que el número sea mayor que 50. 9. Que el número sea un múltiplo de 3.

Resuelve.

10. Gustavo lanzó una moneda 10 veces al aire, y piensa: “Salió cara tres veces seguidas, entonces ahora tiene quesalir sello”. ¿Es razonable su suposición?

11. Juan tiene 5 gorras cuyas tallas son mediana, mediana pequeña, grande y extra grande.Dice que tiene el 50% de probabilidades de tomar al azar la talla mediana. Explica cómo sabes que surespuesta no es razonable.

VOCABULARIO

probabilidad

experimento

diagrama de árbol

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144



279CAPÍTULO 15

Enriquecimiento •Pr obabilidad

En el programa de televisión “La ruleta de la suerte”, tienes que

hallar las probabilidades de ganar las siguientes cantidades dedinero. Escribe tu respuesta como una fracción, un decimal o unporcentaje.

¡Inténtalo!6. Usa la rueda de arriba para escribir tu propiapregunta. Respóndela.

_______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________

¡Piénsalo!7. Explica cómo hallaste laprobabilidad de que ocurra un suceso expresadacomo fracción.

_______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________

1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar $ 10 000?

_____________________________________________________________ _____________________________________________________________

2. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una cantidad mayor que $ 900?

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

3. ¿Cuál es la probabilidad de que no saques una cantidad que seamayor que $100 y menor que $500?

_____________________________________________________________ _____________________________________________________________

4. Para la ronda siguiente, si la flecha se detiene en una sección anaranjada, la cantidad se duplica. ¿Cuál es laprobabilidad de que la flecha se detenga en una sección anaranjada?

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

5. Para la ronda siguiente, si la flecha se detiene en una sección anaranjada, la cantidad del premio se duplica.¿Cuál es la probabilidad de que saques una cantidad mayor que $ 750?

__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________

$ 10 000 $ 100

$1 000

$2 500

$500

$900$750

$5 000

$400

$100



281CAPÍTULO 15

Usa la tabla para responder las preguntas del

ejercicio 10 al 12.

Escribe una V si es verdadero o una F si es falsocada enunciado.

14. ______ El gráfico de barras nos sirve paramostrar y analizar datos que se agrupan encategorías.

15. ______ El gráfico circular representa proporcionesde las partes con respecto a un todo.

Probabilidades de ganar un premio

Televisor HD 17%

Reproductor de DVD 22%

Reloj 13%

Equipo de música 21%

Anillo de diamantes 27%

Personas que tienenmascotas

60

1224

24tienen gatos

y perros

tienen solo

gatos

tienen

solo perros

no tienen

mascotas

16. Usa la tabla para dibujar un gráfico de doblebarra.

Usa el gráfico:

17. ¿Cuántas personas se encuestaron?

18. ¿Qué fracción representa a las personas quetienen solo gatos?

19. ¿Qué fracción representa a las personas quetienen gatos y perros?

8. De acuerdo al gráfico, es falso decir que:

A Los lugares históricos son los más preferidospor las personas.

C Los parques temáticos y otros lugares enconjunto son igualmente preferidos que las

montañas.B Las playas son los lugares preferidos por la

mayoría de las personas.

D Las montañas son preferidas por un 25% depersonas encuestadas.

10. ¿Es más probable que ganes un televisor o unreloj?

11. ¿Es más probable que ganes un reproductor deDVD o un equipo de música?

12. ¿Es más probable que ganes un anillo dediamantes, un reproductor de DVD o un equipode música?

Temperatura promedio en grados Celsius

Mayo Septiembre

Arica 25º 27º

La Serena 18º 23º

Santiago 19º 28º

Concepción 15º 25º

Punta Arenas 6º 12º

9. De acuerdo al gráfico, es correcto afirmar que:

A La mayoría de las personas prefieren lasplayas.

B La mayoría de las personas prefieren loslugares históricos.

C La mayoría de las personas prefieren lasmontañas.

D La mayoría de las personas prefieren losparques temáticos.

13. En una bolsa hay 4 bolitas rojas, 3 bolitasazules, 4 bolitas verdes y 1 bolita negra. Alsacar una bolita al azar, ¿de qué color es labolita que tiene menor probabilidad de salir?



282

De aquíy de allá


¿CUÁNTOS LADOS?

muchas personas les encanta jugar a juegos de mesacon familiares y amigos. En muchos de los juegos de

mesa más famosos, se lanzan piezas con números. Nombraalgunos juegos que hayas jugado en los que se usen piezas connúmeros. Las piezas con números que se usan en los juegos demesa pueden tener 6, 8, 10 o 20 lados. Todos los lados de la piezatienen la misma posibilidad de salir. Eso es lo que hace que el juego sea justo.

Para 1 y 2, usa un dado de seis caras, numerado del 1 al 6.

➊ Lanza el dado 10 veces. Anota los resultadosobtenidos en la siguiente tabla.

¿Cuál de estas piezashas visto o usado?

A

282

A L MA NA Q U

E

PARA ES TUDIANTES

Juegos de mesa

➋ Si lanzas un dado y una moneda de $ 100, ¿cuáles son todos los resultadosposibles? Dibuja el diagrama de árbol que te ayuda a resolver la situación.

Compara el uso de una tabla y el uso de un diagrama de árbol paraorganizar la información, ¿cuál prefieres?, ¿por qué?

Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº del dado



283CAPÍTULO 1515

DÍA DE JUEGOS

n muchas ciudades la Asociación deJuegos de Mesa celebra los Días de

Juegos. En estos encuentros, se anima a laspersonas a que lleven sus juegos de mesafavoritos. Las personas pueden elegir juegossencillos, como Ludo, o juegos de estrategiamás difíciles, que llevan horas. Los encuentrosduran todo el día.

E

➊ Imagina que estás en un encuentrode los Días de Juegos. Puedes jugar 3 juegosdiferentes. Estas son las opciones.

Primera ronda: ludo o damas Segunda ronda: ajedrez o tablero chino Tercera ronda: juego de Historia o juego de

preguntas y respuestas

Haz un diagrama de árbol para mostrar todos losresultados posibles de los 3 juegos que puedes jugar.¿Cuántas combinaciones diferentes hay?

➋ En el juego de preguntas y respuestas, estas son lascategorías posibles que puedes elegir para cada una detus tres primeras rondas.

Primera ronda: Historia o noticias de actualidadSegunda ronda: Música o deportesTercera ronda: Ciencias, Matemática o Literatura

Haz una tabla para mostrar todos los resultados posiblesde las tres primeras rondas. ¿Cuántas combinacionesdiferentes hay?

En muchas ciudades de Chile, lasmunicipalidades proporcionan los

elementos necesarios para practicaren plazas públicas juegos de

inteligencia. En la foto, la Plazade Armas de Santiago, donde

se practica el ajedrez.

283UNIDAD 4



GLOSARIO

altura

base

altura

base

altura

base

altura Altura en un polígono es el segmentoperpendicular trazado desde un vértice al ladoopuesto (o su prolongación). Ejemplo:

ángulo Una figura formada por dos semirrectas que seunen en un extremo común.Ejemplo:

ángulo agudo Un ángulo cuya medida es mayor que 0ºy menor que 90°.Ejemplo:

ángulo extendido Un ángulo que mide 180°.Ejemplo:

X Z Y

ángulo obtuso Un ángulo cuya medida es mayor que90° y menor que 180°.

ángulo recto Un ángulo que mide la mitadde un ángulo extendido, es decir, 90°.Ejemplo:

ángulos adyacentes Pares de ángulos consecutivos quetienen un vértice y un rayo en comúnEjemplo: M N

QP

R

MRN y NRQ son ángulos adyacentes.

ángulos complementarios Dos ánguloscuyas medidas suman 90°.

Ejemplo:

ángulos opuestos por el vértice Un par de ángulos,opuestos entre sí y congruentes, que se formancuando se intersecan dos líneas.Ejemplo: M N

QP

R

20° 20°

MRP y NRQ son ángulos opuestos por el vértice.

área El número de unidades cuadradas necesarias paracubrir una superficie.

área total del cuerpo La suma de las áreas de lassuperficies de un cuerpo geométrico.

base (geometría) En dos dimensiones, un lado deun triángulo o de un paralelogramo que sirve parahallar el área. En tres dimensiones, una figura plana,generalmente un polígono o un círculo, que se usapara describir parcialmente un cuerpo geométrico.

Ejemplos:

cara Uno de los polígonos de un cuerpo geométricocelsius Escala métrica para medir la temperatura

centésima Una de cien partes iguales.Ejemplos: 0,56 cincuenta y seis centésimas

45

___

100 cuarenta y cinco centésimas

cociente El número, sin incluir el residuo, que se obtienecomo resultado en la división.

coordenada x El primer número de un par ordenado,que indica la distancia hacia la derecha o hacia laizquierda desde el punto (0,0) en un plano cartesiano.

coordenada y El segundo número de un par ordenado,que indica la distancia hacia arriba o hacia abajo desdeel punto (0,0) en un plano cartesiano.

cuadrado de un número El producto de un número porsí mismo; un número con un exponente de 2.Ejemplo: 3 2= 9

cuadrantes Las cuatro regiones deun plano de coordenadas.Ejemplo:

cuadrilátero Una figura planacerrada formada por cuatrolados rectos que son segmentosconectados y que tiene cuatro ángulos.

décima Una de diez partes iguales.Ejemplo: 0,7 = siete décimas

decimal Un número de uno o más dígitos, ubicado a laderecha de la coma decimal.

descomposición en factores primos Un númeroexpresado como el producto de sus factores primos.Ejemplo: 24 = 23 · 3

diagrama de árbol Un diagrama que muestra todos losresultados posibles de un suceso.

diagrama de puntos Un gráfico que muestra lafrecuencia de los datos en una recta numérica

dividendo El número que se divide en un problema dedivisión.Ejemplo: En 56 : 8, el dividendo es 56.

divisor El número que divide al dividendoEjemplo: En 45 : 9, el divisor es 9.

ecuación Es una igualdad matemática entre dos expresionesalgebraicas denominadas miembros, en los que aparecenvalores conocidos o datos, y por lo menos un valordesconocido o incógnita. Ejemplo: 2 + x = 6.

eje de la x La recta numérica horizontal de un plano decoordenadas.

eje de la y La recta numérica vertical de un plano de

coordenadas.

75°

15°

Cuadrante 2

Cuadrante 3

Cuadrante 1

Cuadrante 4

x

(2,2)

284

Glosario



GLOSARIO

ejes La recta numérica horizontal (eje de la x ) overtical (eje de la y ) que se usa en una gráfica o enun plano de coordenadas.

estimación Un número que se aproxima a unacantidad exacta.

expresión Una frase matemática que combinaoperaciones, números y a veces variables pararepresentar un número.

expresión algebraica es un conjunto de números y letrasrelacionados a partir de operaciones aritméticas comoadiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones,potencias.

expresión numérica Una frase matemática que usasolamente números y signos de operaciones.

factor Un número que se multiplica por otro parahallar un producto.

figuras semejantes Figuras con la misma forma, perono necesariamente el mismo tamaño.

fracciones equivalentes Fracciones que representan lamisma parte o cantidad.

gráfico circular Un gráfico que muestra la relaciónentre las partes de los datos con el todo y con otraspartes.

gráfico de barras Un gráfico que permite representargráficamente un conjunto de datos acerca devariables de tipo cualitativas o cuantitativas,mediante barras rectangulares de longitudproporcionales a los valores representados.

gráfica de barras doble Es un gráfico útil paracomparar dos conjuntos de datos donde las variablespueden ser cualitativas o cuantitativas.

gráfica de líneas Es un gráfico útil para comparar dosconjuntos de datos que cambian con el tiempo o paramostrar la tendencias de un solo dato que cambia conel tiempo, mediante una línea poligonal o quebrada.

gráfica de líneas doble Es una gráfica útil paracomparar dos conjuntos de datos que cambian con eltiempo.

igualmente probable Con la misma probabilidad deocurrir.

lados correspondientes Lados que están en la mismaposición en figuras planas semejantes.Ejemplo:

línea transversal Una líneaque cruza dos o máslíneas.

XY es una línea transversal.

líneas paralelas Líneas en un plano queestán siempre a la misma distancia.Ejemplo:

líneas perpendiculares Dos líneas que se intersecanpara formar ángulos rectos, o de 90°.

máximo común divisor (m.c.d.) El mayor divisor quetienen en común dos o más números.

mínima expresión o fracción irreductibleUna fracción está en su mínima expresión cuando elúnico factor común del numerador y el denominadores 1.

mínimo común denominador El mínimo comúnmúltiplo de dos o más denominadores.

mínimo común múltiplo (m.c.m.) El número máspequeño, mayor que cero, que es múltiplo común dedos o más números.

múltiplo El producto de un número entero dado y otronúmero entero.

número compuesto Un número entero mayor que 1que tiene más de dos factores enteros.

número mixto Un número representado por unnúmero entero y una fracción.

número primo Un número entero mayor que 1 quetiene como únicos factores el 1 y sí mismo.

números naturales El conjunto de números de conteo:1, 2, 3, 4...

operación inversa Operaciones que se anulan una a laotra, como la suma y la resta, o la multiplicación y ladivisión.

orden de las operaciones Orden de las operacionesson reglas que definen la prioridad para resolverun ejercicio combinado. Primero se resuelvenlas operaciones que están entre paréntesis,se desarrollan las potencias, se resuelven lasmultiplicaciones y divisiones, según orden deaparición desde izquierda a derecha y, por último,se resuelven todas las sumas y restas por orden deaparición de izquierda a derecha.

par ordenado Un par de números que se usan paraubicar un punto en un plano de coordenadas.Ejemplos: (0,2), (3,4), (–4,5)

paralelogramo Un cuadrilátero cuyos lados opuestosson paralelos y congruentes.

Ejemplo:

perímetro La distancia alrededor deuna figura.

pirámide Un cuerpo geométrico cuya base es unpolígono y cuyas otras otras caras son triángulos quese unen en un vértice común.

CA y FD son lados correspondientes.

A

BC

D

E F

Y

C D

A B

X

A

L

285



GLOSARIO

P

R

3 cm

3 cm

3 cm

Q

105°

plano cartesiano Un plano formado por una línearecta horizontal (eje de la x ) que interseca una líneavertical (eje de la y ).

polígono Una figura plana cerrada formada por tres omás lados rectos que son segmentos conectados

polígono regular Un polígono cuyos lados y ángulosson congruentes

poliedro Un cuerpo geométrico cuyas caras sonpolígonos.

Ejemplo:porcentaje La razón de un número a 100; porcentaje

significa “por cien” o “por ciento”

probabilidad La medida de cuán posible es que ocurraun suceso. Su valor está entre 0 y 1.

producto Es el resultado de la multiplicación de dos omás números o expresiones algebraicas.Ejemplo: 12 · 5 = 60

propiedad asociativa La propiedad que estableceque, aunque se cambie la manera de agrupar lossumandos o los factores, el total o el producto es elmismoEjemplos: 12 (5 9) (12 5) 9

(9·

8)·

3 9·

(8·

3)propiedad conmutativa La propiedad que establece

que, aunque se cambie el orden de dos sumandos ofactores, el total o el producto es el mismoEjemplos: 6 7 7 6

7 · 3 3 · 7

propiedad de división de la igualdad La propiedadque establece que, si se dividen ambos lados de unaecuación entre el mismo número distinto de cero, loslados permanecen iguales

propiedad de identidad de la suma La propiedad queestablece que, cuando se le suma cero a un número,el resultado es el mismo númeroEjemplo: 25 0 25

propiedad de multiplicación de la igualdadLa propiedad que establece que, si se multiplicanambos lados de una ecuación por el mismo número,los lados permanecen iguales

propiedad de resta de la igualdadLa propiedad que establece que, si se resta el mismonúmero de ambos lados de una ecuación, los ladospermanecen iguales

propiedad de suma de la igualdadLa propiedad que establece que, si se suma el mismonúmero a ambos lados de una ecuación, los ladospermanecen iguales

propiedad distributiva La propiedad que establece que

multiplicar una suma por un número es igual quemultiplicar cada sumando por ese número y luegosumar los productosEjemplo: 14 · 21 14 · (20 1)

(14 · 20) (14 · 1)

proporción Es una igualdad entre dos razones.

Ejemplo: 13 3

9

red Un patrón de figuras bidimensionalesque, al doblarse, forma un poliedro

Ejemplo:

resultado La consecuencia posible de un experimentode probabilidad.

rombo Un paralelogramo que tiene cuatro lados deigual longitud y cuyos ángulos internos no son de 90ºya que las rectas están inclinadas y no sonperpendiculares entre sí.

segmento Una parte de una línea que tiene dosextremos.Ejemplo:

sobrestimación Una estimación mayor que la respuestaexacta.

subestimación Una respuesta menor que la respuestaexacta.

suceso Resultado cuando se realiza un experimentoaleatorio.

términos semejantes Expresiones que tienen lasmismas variables con los mismos exponentes.

trapecio Un cuadrilátero que tiene solo dos ladosparalelos.

triángulo acutángulo Un triángulo que tienetres ángulos de menos de 90°.Ejemplo:

triángulo equilátero Un triángulo que lostres lados y ángulos iguales.Ejemplo:

triángulo escaleno Un triángulo quetiene los 3 lados y ángulos iguales

triángulo isósceles Un triángulo que tieneexactamente dos lados congruentes. Ejemplo:

triángulo obtusángulo Un triánguloque tiene un ángulo mayor que90°.Ejemplo:

triángulo rectángulo Un triángulo que tiene un ángulo recto.Ejemplo:

valor atípico Un valor que es muy pequeño o muygrande en comparación con la mayoría de los valoresde un conjunto de datos.

variable Una letra o un signo que representa uno omás números.

vértice El punto donde se unen dos o más rayos; elpunto de intersección de dos lados de un polígono;el punto de intersección de tres o más aristas de uncuerpo geométrico; la cúspide de un cono.

volumen El número de unidades cúbicas necesariaspara ocupar un espacio determinado.

286



Índice temáticoÁlgebra: 22, 29, 38, 44, 45, 48, 53, 60, 66, 72, 78, 87, 92, 115, 116,

117, 118, 122, 125, 134, 136, 152, 154, 180, 183, 190, 196, 208,

222, 266.

Ángulos: 73, 103, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178,

179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 188, 189, 191, 193, 194,

195, 196, 197, 198, 199, 201, 203, 204, 206, 207, 208, 210, 215,

218, 222, 225, 228, 243.

Ángulos adyacentes: 170, 171, 176, 177, 179, 182, 186, 243.

Ángulos complementarios: 170, 171, 182, 183, 184, 185, 186, 188,

191, 209.

Ángulos opuestos por el vértice: 170, 171, 176, 177, 180, 184,

185, 189, 191.

Ángulos suplementarios: 170, 171.

Área: 23, 39, 40, 56, 57, 67, 68, 79, 93, 135, 153, 202, 206, 218,

226, 227, 228, 229, 230, 231, 233, 234, 237, 238, 240, 242, 243,

244, 245, 248, 267, 268.

Área total: 23, 67, 226, 227, 228, 229, 233, 234, 237, 238, 240.

Base: 12, 79, 166, 172, 203, 225, 227, 230, 231, 236, 242, 243, 245,

267, 268.

Buscar un patrón: 57, 147, 185, 200, 201, 203, 237.

Cálculo mental: 42, 44, 155, 180, 183.

Centésima: 69, 70, 71, 81, 95.

Clasificar ángulos: 176, 193, 225.

Cociente: 20, 25, 36, 38, 81, 83, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 95, 125, 134, 139.Coma decimal: 69, 71, 72, 73, 76, 78, 85, 90, 91, 94.

Congruentes: 169, 171, 176, 177, 178, 180, 188, 191, 194, 198,

201, 204, 206, 207, 219, 225, 229, 234.

Cuadrícula: 4, 70, 71, 76, 82, 98, 198, 199, 204, 206, 207, 209, 215,

252, 261, 263.

Cuadriláteros: 192, 193, 224.

Decimal: 22, 34, 36, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 78, 80, 81,

82, 83, 84, 85, 90, 91, 94, 95, 110, 137, 155, 190, 231, 255, 269,

276, 278, 279.

Descomposición en factores primos: 3, 10, 11, 12, 13.

Diagonales: 97, 202, 218.

Diagrama: 10, 27, 30, 44, 46, 47, 48, 52, 54, 55, 56, 57, 64, 96, 115,

147, 175, 184, 203, 237, 247, 252, 253, 260, 261, 264, 267, 280.

Diagrama de árbol: 270 y 271

Diagrama de punto: 247, 252, 253.

Diagrama de tallo y hojas: 253, 260, 261, 267.

Diagrama escalera: 10, 27.

Dimensión: 56, 86, 169, 192, 224, 226, 227, 228, 230, 233, 235,

236, 237, 241, 245.

Distinto denominador: 41, 42, 43, 64.

Dividir decimales: 80, 82, 84.

Ecuación: 22, 57, 78, 87, 115, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142,

143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 153, 154, 155, 156,

157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 180, 185, 190,

203, 208, 233, 234, 237, 243.

Escribir una ecuación: 57, 138, 144, 146, 147, 150, 185, 203, 237.

Estimación: 42, 43, 47, 52, 58, 59, 74, 89, 173, 183, 230.

Expresión algebraica: 29, 115, 116, 117, 118, 122, 123, 124, 130,

132, 139, 155, 180, 222.

Expresión numérica: 115, 117, 118, 122, 132.

Expresiones: 77, 115, 116, 117, 118, 121, 122, 123, 125, 130, 132,

133, 137, 148, 155, 266.

Factor: 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 18, 20, 21, 26, 27, 29, 36,

43, 69, 71, 72, 75, 96, 222.

Factor común: 10, 15, 26, 27, 96.

Figuras bidimensionales: 169, 192, 224.Figuras geométricas: 192, 212, 213, 215, 218, 230, 242.

Figuras planas: 192, 224.

Fracción simplificada a su mínima expresión: 3, 27, 28, 44, 46,

47, 48, 51, 53.

Fracciones con distinto denominador: 41, 42, 43, 64.

Fracciones equivalentes: 1, 14, 25, 26, 28, 29, 32, 40, 41, 43, 44,

46, 47, 52, 53, 58, 59, 64, 98.

Fracciones impropias: 24, 25, 30.

Grado: 49, 151, 173, 176, 211, 261, 281.Gráfico circular: 247, 249, 254, 255, 256, 259, 262, 264, 280, 281.

Gráfico de barra: 159, 247, 249, 250, 251, 257, 258, 262, 264, 281.

Gráfico de barras doble: 249, 257, 258, 262, 264.

Gráfico de línea: 223, 247, 249, 262.

Hacer un diagrama: 54, 55, 57, 147, 184, 203, 237, 261, 264.

Hacer un gráfico: 250, 251, 262.

Hacer una representación: 83, 147, 203, 234, 235, 236, 237.

Isometría: 211, 215

Líneas paralelas: 135, 169, 178.

Líneas perpendiculares: 135, 169.

Material concreto: 5, 43, 50, 51, 70, 82.

Matriz: 3, 4, 7, 19, 89, 192.

ÍNDICE TEMÁTICO 287



Máximo común divisor: 36.

Medir ángulos: 171, 172.

Mínimo común denominador: 41, 42, 43, 64.

Mínimo común múltiplo: 3, 12, 13, 14, 15, 16, 43, 45, 48, 66, 190.

Multiplicar decimales: 68, 70.

Múltiplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 28,

29, 32, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 66, 84, 190, 231, 264, 282.

Numerador: 26, 27, 28, 30, 32, 43, 48, 59, 65, 91.

Número compuesto: 3, 8, 17, 19, 20, 36.

Número mixto: 1, 22, 24, 25, 30, 32, 31, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 43,

46, 47, 50, 51, 52, 58, 59, 60, 63, 161.

Número primo: 8, 9, 10, 14, 17, 20, 21, 29, 36.

Números naturales: 3, 25, 32, 50, 68, 70, 80, 82, 83, 84, 133.

Números y operaciones: 22, 38, 66, 92, 115, 134, 208, 222, 266

Ordenar: 3, 4, 7, 25, 32, 33, 38, 45, 49, 97, 110, 126, 127, 134, 142,

152, 159, 164, 165, 190, 207, 208, 217, 233, 253, 258, 260, 261, 266.Ordenar fracciones: 25, 32.

Ordenar números naturales: 3.

Paralelepípedo: 93, 164, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233,

241, 242, 243, 244, 276.

Paralelogramo: 153, 192, 193, 207, 225, 227, 243, 274.

Patrón: 8, 22, 38, 45, 57, 60, 66, 72, 73, 74, 78, 81, 92, 97, 117,

128, 134, 145, 146, 147, 150, 152, 165, 169, 185, 190, 200, 201,

202, 203, 206, 208, 211, 212, 216, 217, 218, 220, 222, 241, 243,

247, 266.

Patrón geométrico: 200, 212, 216, 218.

Patrón numérico: 45, 145, 146, 150, 200.

Patrones y álgebra: 22, 38, 66, 92, 115, 134, 208, 222, 266.

Pirámide: 23, 224, 225, 257.

Poliedro: 225.

Polígono: 201, 202, 212, 213, 214, 215, 217, 218.

Polígono regular: 201, 213, 214.

Porcentaje: 94, 95, 98, 99, 101, 104, 105, 106, 108, 124, 129, 147,

250, 251, 254, 255, 256, 259, 262, 269, 275, 276, 278, 281.

Porcentaje de descuento: 95, 108, 124.

Prevalencia de las operaciones: 117.

Prisma: 23, 224, 225, 227, 228, 233, 234.

Probabilidad: 23, 39, 67, 79, 93, 135, 153, 191, 209, 223, 247, 267,268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280,

281.

Probabilidad de sucesos: 268.

Probable: 39, 269, 281.

Producto: 3, 4, 5, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 21, 33, 69, 70, 71, 72, 73,

74, 75, 76, 77, 78, 100, 101, 111, 115, 120, 122, 124, 125, 130, 132,

134, 147, 222, 226, 231, 281.

Propiedad de identidad de la suma: 155, 162, 266.

Propiedad de resta de la igualdad: 137, 142, 145, 150, 195.

Propiedad de suma de la igualdad: 155, 158, 159, 162.

Propiedad distributiva. 118, 120, 121, 123, 124, 165, 266.

Proporción: 98, 109, 247, 249, 281, 283.

Punto de referencia: 172.

Razón equivalente: 103, 111.Razones: 94, 96, 97, 102, 103, 106, 108, 109, 113.

Red: 23, 225, 226, 230, 238, 245.

Reflexión: 212, 214, 242.

Regla: 11, 45, 60, 92, 97, 128, 129, 130, 173, 185, 187, 201, 202,

207, 212, 216, 217, 220.

Relaciones entre los ángulos: 170.

Resta de fracciones: 40, 41, 42, 43, 58.

Restar números mixtos: 50, 52.

Rombo: 169, 192, 193, 207, 213, 225, 243.

Rotación: 72, 93, 173, 210, 212, 213, 214, 242

Términos semejantes: 117, 133.

Teselación: 215, 218, 220.

Teselado regular: 212, 213.

Teselado semi regular: 212, 213.

Tipos de ángulos: 170, 176, 181.

Transformación isométrica: 214, 215, 242.

Transportador: 171, 172, 173, 174, 182, 183, 186, 187, 189, 171.

Trapecio: 192, 193, 207, 217, 225.

Traslación: 93, 210, 212, 213, 214, 215, 217, 242.

Trazar ángulos: 172, 173.

Triángulo acutángulo: 193, 194, 197, 204, 206, 225.

Triángulo equilátero: 193, 194, 198, 199, 200, 202, 204, 206, 225.

Triángulo escaleno: 193, 194, 204, 206, 225.

Triángulo isósceles: 193, 194, 199, 203, 204, 209, 225.

Triángulo obtusángulo: 193, 194, 195, 197, 199, 204, 225.

Triángulo rectángulo: 193, 194, 196, 198, 199, 203, 204, 206, 222,

225, 271.

Unidad de patrón: 211, 216.

Usar un gráfico: 251, 258, 264.

Valor atípico: 252, 253.

Variable: 29, 77, 115, 122, 123, 125, 131, 132, 137, 138, 140, 141,

142, 143, 144, 145, 156, 157, 239.

Volumen: 164, 230, 231, 232, 233, 235, 236, 237, 238, 239, 240,

241, 242, 243, 245.

ÍNDICE TEMÁTICO288



SOLUCIONARIO 289

UNIDAD 1

Capítulo 1

Página 3 1. <2. <3. >4. =5. <6. >

7. 48 799 ; 48 797 ; 47 8998. 43 100 ; 40 133 ; 14 3309. 78 311 ; 78 310 ; 78 30010. 99 934 ; 94 586 ; 92 80111. 4 · 3 = 1212. 2 · 6 = 1213. 5 · 5 = 2514. 9 · 1 = 9

Capítulo 1 • Lección 1

Página 5 1. 1 · 12 = 12 ; 4· 3 = 12 ; 2 · 6= 12. Los

factores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.Página 62. 1, 2, 4, 5, 10 y 20. Ver cuaderno del

estudiante.3. 1 y 5. Ver cuaderno del estudiante.4. 1, 7 y 495. 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Ver cuaderno del

estudiante.

6. 1, 5 y 25. Ver cuaderno del estudiante.7. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60.8. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.9. 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,

110.10. 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.11. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80.. E úeo es úpo de , a

que 3• 4 = 12, por lo tanto, 3 esfactor de 12.

13. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. Ver cuader-no del estudiante.

14. 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. Ver cuader-no del estudiante.

15. 1, 3 y 9. Ver cuaderno del estudiante.16. 1, 2, 5, 10, 25 y 50. Ver cuaderno del

estudiante.17. 1, 3, 11 y 33. Ver cuaderno del

estudiante.18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64. Ver cuaderno

del estudiante.19. 1, 3, 7 y 21. Ver cuaderno del estudiante.20. 1, 3, 5, 15, 25 y 75. Ver cuaderno del

estudiante.

21. 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Ver cuaderno delestudiante.22. 1 y 17. Ver cuaderno del estudiante.23. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 y 9024. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 1025. 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63 y 7026. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 10027. 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 y 12028. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 y 30.29. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 y 8030. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 y 5031. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 2032. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 y 6033. Sí 34. No35. Sí 36. Sí 37. Sí 38. No39. Sí 40. Sí 41. Sí

42. No43. 1244. 2845. 1046. 3647. 20, 28, 32, 36, 40 y 4448. 4, 8, 12, 16, 24 y 4849. 4 y 36 ; 8 y 32 ; 12 y 28 ; 16 y 24 ; 20

y 20.50. ¿Cuáles son los factores de 18?Página 7 51. 304 bolitas52. 31 estantes. ihas54. Solo 955. CPode Mateáo1. 4 ; 8 y 12. Ver cuaderno del estudiante.2. 36. Ver cuaderno del estudiante.3. 8 ; 16 y 24. Ver cuaderno del

estudiante.

4. 15. Ver cuaderno del estudiante.5. 6 ; 12 y 18. Ver cuaderno del

estudiante.6. 10. Ver cuaderno del estudiante.7. 9 y 18. Ver cuaderno del estudiante.8. 10 ; 20 y 30. Ver cuaderno del estudiante.


Página 91. 18 ; 36 y 54. Ver cuaderno del estudiante.2. 24 ; 48 y 723. 20 ; 40 y 604. 60 ; 120 y 1805. 12 ; 24 y 366. 24 , 48 y 727. 1 y 28. 19. 1 ; 2 y 410. 1 ; 2 ; 3 y 611. 112. E úeo ee soo dos fatoes,

el 1 y sí mismo. Por esta razón esprimo. Y además es par.

13. 36 ; 72 y 10814. 70 ; 140 y 21015. 72 ; 144 y 21616. 48 ; 96 y 14417. 28 ; 56 y 8418. 119. 1; 3; 5 y 1520. 1; 2; 5 y 10

21. 122. 1; 2, 3 y 623. 1 y 224. 1,3 y 925. 1 y 226. 127. 1; 2 y 428. Compuesto29. Primo30. Ninguno31. Primo32. Compuesto33. Ninguno34. 535. 236. 337. 438. 2; 3 y 639. 2440. 13 • 541. Copuesto. Poue a upa dos

números primos obtenemos por pro-ducto un número compuesto, ya queee os dos fatoes pos e .

42. Respuesta posible: podría buscaros peos úpos de uegodividir entre 3.

43. 3/10044. 5,6245. 3,5646. B


Página 111. 2; 7; 2 y 42. 63. 254. 95. 36. 27. Respuesta posible: escribir los

factores primos de cada número

y enumerar los factores primosoues paa uego upaos así obtener el m.c. d.

8. 29. 410. 2411. 712. 113. 614. 715. 316. 117. 118. 1619. 320. 1021. 122. 423. 8 y 1624. 6 y 1225. 12 y 24

26. 15 y 30

27. 12 plantas28. 12 estudiantes29. 6 estudiantes30. Respuesta posible: 12 y 24, siendo

12 el número31. 4,932. 1; 2; 4; 8 y 1633. 19,334. C

Capítulo 1·

Lección 4Página 131. 12 = 12; 24; 36; 48; 60 y 72. 18 = 18; 36; 54; 72; 90 y 108

m.c.m. es 36.2. 363. 604. 255. 156. 127. 15 y 3; 15 y 58. 2 y 16; 4 y 169. 2 y 44; 4 y 4410. 2 y 100; 4 y 10011. 4 y 56; 7 y 5612. Respuesta posible: se relacionan porquetodos los números son factores de 24Página 1413. 7514. 5615. 16

16. 2217. 3618. 6019. 8020. 10821. 7022. 5423. 2 y 40; 40 y 2024. 39 y 3; 39 y 1325. 24 y 2; 24 y 426. 30 y 2; 30 y 527. 22 y 2; 22 y 1128. 1 y 10; 2 y 10; 5 y 1029. 4 y 20; 5 y 20; 10 y 2030. 2 y 18; 3 y 18; 6 y 1831. 4 y 28; 7 y 28; 14 y 2832. 3 y 45; 9 y 45; 15 y 4533. 2. Vaaá a adad de oteas ue

compre. Si compra naranja y manzanaseá oteas espeaete.

Si compra manzana y guinda serán oteas espeaete.Comprará 2 botellas más si elige lacombinación manzana y guinda.

35. 6 y 336. 4 y 2037. Respuesta posible: El m.cm. de dos

números es 24. El m.c.d. es 6. ¿Cuálespodrían los números posibles?

. “ ee azó, po ejepo e ...entre 3 y 7 es 21. Se buscan los diezpeos úpos de ada úeo se usa os úpos oues en este caso el m.c.m. es 21.

39. Porque el 3 es factór o divisor de 6.40. 1241. C42. 60 y 12043. BPágina 151. Primero busca los 10 primeros

úpos de , , as eotaásel menor número de luces de cadaoo. Luego, paa sae a adadde paquetes que debes comprar, seupa a adad de ues uevienen en el paquete y que sea 24.Para las luces rojas debe comprar 4paquetes, para las luces blancas 3 ypara las luces azules 8 paquetes.

2. Primero debes buscar el m.c.dentre 12 y 36. Es 12. Luego, dividea adad tota de ojetos poete e ..d. Po úo, e adapauete haá ate oetasde muestra.

Capítulo 1 · Lección 5

Página 16a. 2 y 4; 4 y 8; 6 y 12. Fijándome en el

número mayor.. Mupado os úeos ete s.

c. El m.c.d. es el número más pequeño.

Página 171. El m.c.m es el producto de los dos

números.2. El m.c.m. sería el producto de los

tres números.3. Las sumas de números pares e

paes ee ua dfeea de 4. Son todos cuadrados perfectos5. El producto de dos números pares

es mayor que el producto de un

número par y un número impar.12 • 6 = 72 y 11 • 6 = 66. El productode dos números pares es menorque el producto de dos númerosimpares. 3 • 5 = 15 y 2 • 4 = 8

6. 360 minutos7. 120 estampillas. ooes de ada poPágina 18Grupo A1. 12; 24 y 362. 24; 48 y 723. 14; 28 y 424. 12; 24 y 365. 40; 80 y 1206. 1; 2; 4; 5; 10 y 207. 18. 1; 2; 4 y 89. 1; 2; 4; 8 y 1610. 1 y 511. Compuesto12. Compuesto13. Primo14. Ninguno15. PrimoGrupo B1. 82. 83. 184. 25. 126. 37. 68. 129. 710. 5. loeos12. 4 bolsasGrupo C1. 122. 143. 304. 12

5. 246. 367. 368. 809. 2110. 36011. 3512. 3613. 7214. 6015. 4816. 4 y 1617. 20 y 40Página 201. m.c.d.2. 243. 14. 6; 12; 18; 24 ….5. 1; 2; 3 y 66. 18. Múpos

8. Factores. Múpos10. Factor11. C12. m.c.d. = 1 y m.c.m. = 1213. m.c.d. = 8 y m.c.m. = 6414. m.c.d. = 3 y m.c.m. = 9015. m.c.d. = 3 y m.c.m. = 3616. m.c.d. = 10 y m.c.m. = 100. es fato de es úpo de

6. 15 y 30, etc18. 6. No, a ue s e ..d es sgia

que son números primos entoncessu eo úpo oú es u-plicar los números entre sí.

Página 21. Deiete2. Abundante3. Perfecto. Deiete

5. Abundante

Solucionario



SOLUCIONARIO290

6. Abundante. Deiete8. Abundante9. Abundante10. Abundante. Deiete12. Perfecto13. Tienen los mismos dígitos, de

ambos números sus divisorespropios es 1, por lo tanto ambosso úeos deietes.

14. 945Páginas 22 y 231. C2. B3. C

4. C5. 0,3756. B7. C8. C9. C. “e sustue po se esuee.11. P = 14 cm12. D13. B14. B15. A16. D17. B

Capítulo 2

Página 251. 1/22. 1/43. 1/10

4. 3/45. >6. <7. <8. >9. <10. <11. >12. <13. 1/6 ; 1/3 ; 2/314. 3/10 ; 2/5 ; 1/215. 5 2/12 ; 5 2/6 ; 5 2/316. 2 1/8 ; 2 3/4 ; 4 1/1217. 618. 719. 420. 3021. 322. 1223. 024. 925. 4

26. 3627. 5428. 729. 1130. 3031. 7


Página 271. 92. 63. 204. 35. 166. 57. 24Página 288. 14/159. 3/410. 3/14

11. 4/1112. 5/913. 1/314. Mupa o dd faoes po

un número.15. 216. 1717. 16018. 6319. 2820. 321. 4/722. 3/523. 2/524. 3/225. 9/426. 5/627. 2/1328. 4/3129. 1/330. 8/931. 1/2

32. 1/233. A veces34. A veces35. Nunca36. Siempre37. 22/10038. “, a ue o ee

dso oú dsto de po ecual podamos reducir la fracción.

39. 17/100; 1/100; 27/10040. 7/2041. ¿Qué faó, epesada e su

a epesó, oespode aas azaas ojas ue ee Lus?

Página 2942. $ 6 300

43. 3944. 3/545. C46. BPode Mateáo1. A= 18 y B= 602. A= 12 y B= 23. A = 20 y B= 284. A = 4 y B = 36


Página 301. 1 2/3 = Un entero, dos tercios ; 5/3 =

cinco tercios2. 19/33. 7/44. 17/55. 23/166. 11/27. 17/8

Página 318. 2 4/59. 4 1/210. 711. 3 1/612. 413. 2 3/414. Usa el resto como el numerador y

el divisor como el denominador.15. 37/816. 23/317. 35/618. 45/419. 64/520. 37/1021. 5/222. 43/523. 53/1024. 51/825. 15/426. 5/227. 5 2/3

28. 5 1/229. 3 3/430. 2 5/1831. 1332. 3 2/533. 4 4/734. 1535. 8 1/236. 8 1/437. 7 2/338. 6 1/239. 26/15, 104 minutos40. 107/60 ; 1 47/6041. /, Pa hzo a opeaó a

eés, dee upa e eteo(2) por el denominador (7) y luegosumarle el numerador (5).

42. Jugo de azaa= / ; heado deyogur = 4/4 ; tazas rodajas de duraz-nos = 6/4 ; yogur de duraznos = 4/4

43. 12/8

44. 1245. 2 1/346. 20 cm47. D


Página 33

1. 2/5 > 2/82. >3. <4. <5. >6. =7. Busco el número en la recta, luego

el que esté más a la izquierda ese eo a auetado haaa deeha.

8. <9. <10. >

11. >

12. >13. 5/6 ; 5/7 ; 5/1214. 4/5 ; 4/7 ; 4/1015. 1 3/4 ; 1 3/5 ; 5/716. 3 7/10 ; 3 2/5 ; 3 1/617. 5/6 ; 2/3 ; 3/718. 11/18 ; 1/2 ; 2/919. 1 9/10 ; 1 7/8 ; 6/720. 5 3/4 ; 5 7/10 ; 5 5/821. Amalia22. 19/2423. Igualar denominadores (con fracciones

equivalentes y usando el mcm) yluego comparar numeradores

24. 24 • 325. 0

26. 627. BPágina 34Grupo A1. 32. 73. 154. 125. 56. 97. 108. 29. 1210. 16Grupo B1. 19/42. 36/53. 38/34. 57/105. 7/26. 21/8

7. 45/78. 7/39. 29/510. 73/1011. 33/412. 23/313. 6 1/314. 5 7/815. 616. 5 3/417. 6 3/718. 8 5/819. 14 2/420. 421. 1122. 18 4/623. 11 2/524. 1 13/18Grupo C1. >2. <

3. >4. <5. >6. >7. <8. <9. <10. >11. >12. <13. >14. <15. =16. >17. >18. <19. =20. >21. <22. >23. =24. <Página 361. Número primo2. Máo oú dso3. Número compuesto4. MCD = 1 ; m.c.m. = 125. MCD = 8 ; m.c.m. = 646. MCD = 3 ; m.c.m. = 907. MCD = 3 ; m.c.m. = 368. MCD = 10 ; m.c.m. = 1009. 19/310. 2 4/511. 3 8/912. 43/413. 30/714. <15. <16. >17. <18. >19. 5/220. 1 1/4

21. 25/522. 2 2/323. es fato de es úpo de 24. 625. Respuesta abiertaPágina 371. 2 25/602. 1 24/603. 6 30/604. 3 50/605. 2 15/606. 7 20/60Páginas 38 y 391. D2. C3. C

4. B5. D6. A7. C8. B9. B10. B11. B12. B13. C14. B15. B

Capítulo 3

Página 411. 42. 33. 84. 305. 1

6. 107. 48. 189. 510. 111. 1/212. 1/813. 1/314. 1/515. 1/316. 2/317. 3/518. 1/2019. 1/1520. 1/421. 1/1022. 1/223. 124. 1/425. 1/426. 5/627. 7/10

28. 7/1029. 2/530. 2/7


Página 44 y 451. 11/122. 15/24 + 4/243. 5/6 + 3/64. 12/14 - 7/145. 7/9 - 6/96. 8/12 + 5/127. 3/48. 4/99. 2/310. 1 3/1611. 1/312. Se igualan denominadores (usando el

mcm) y se suman los numeradores.13. 5/8 + 2/8

14. 8/22 - 8/2215. 7/16 + 6/1616. 20/45 + 9/4517. 33/60 - 20/6018. 12/30 + 5/3019. 18/21 - 7/2120. 15/15 - 1/1521. 7/14 + 3/1422. 10/15 + 3/1023. 1 5/1824. 11/1525. 11/4026. 5/627. 2/528. 5/1229. 1/330. 27/5031. 1 9/2032. 1 1/1233. 11/1434. 1/1235. 1/8



SOLUCIONARIO 291

36. 1 1/437. 3/438. 2/6 = 1/339. 1/340. 7/941. 11/1242. 1 7/1543. 1/644. 17/2045. ¿Qué fracción de roca sedimentaria

es Arenisca o Caliza? ¼ + 3/20 = 2/546. 9/1047. Se realiza la suma y luego, con

el mcd entre el numerador y eldenominador del resultado, seusa paa spia a faó se

divide el numerador por el mcd y eldenominador por el mcd). Queda lafracción irreducible.

48. 1/2 ; 5/8 ; 3/449. 1 1/2050. 7051. D52. CPode Mateáo1. 1 1/122. 23. 2 1/3


Página 471. Ver cuaderno del estudiante2. 4 1/6 Ver cuaderno del estudiante3. 5 1/2 Ver cuaderno del estudiante4. 0 Ver cuaderno del estudiante5. 1 1/12 Ver cuaderno del estudiante6. 2 1/2 Ver cuaderno del estudiante7. 6 3/4

8. 7 3/89. 19 1/510. 7 1/511. 7 5/1212. Se igualan los denominadores,

usando mcm y se opera entre lasfracciones (sin el entero) y luego serestan los enteros.

Página 4813. 2 3/10 Ver cuaderno del estudiante14. 8 1/2 Ver cuaderno del estudiante15. 3 3/4 Ver cuaderno del estudiante16. 1 1/14 Ver cuaderno del estudiante17. 3 1/2 Ver cuaderno del estudiante18. 11 5/1219. 9 1/620. 10 5/921. 6 17/2022. 8 3/1023. 19 5/1224. 3 19/30

25. 10 17/2426. 3 3/1027. 3 1/328. 11 2/329. 11 2/330. 2 1/1231. 3 1/432. / ; Popedad outaa33. / ; Popedad de euto ado34. / ; Popedad asoaa35. 32 enteros 4/5 metros36. Beast Thude Doph37. Error de procedimiento de

sustaoes de úeos tos.Respuesta correcta 10 enteros17/20 metros.

38. 639. 15 ; 30 y 4540. B41. 1 5/1242. DPágina 491. 1/2 de los vagones2. 9 3/4Página 511. 4/52. 2/33. 3 1/44. 3 1/25. 1 1/106. 2 3/47. 2/58. 2 1/39. 1/210. 1/211. Copió mal, es 10¼ no 10 5/4. La

respuesta es 3 ½.


Página 531. Ver cuaderno del alumno2. 1 3/4

3. 7/8

4. 4 7/95. 7/106. 6 5/127. 7/98. 2/59. 1 3/410. 1 11/1211. 7 4/912. 2 1/213. 1 1/314. 4 13/1815. 7/1016. 7/817. 9 11/3018. 6 13/2019. 4 5/14

20. 7 3/1021. 2 4/522. 1 9/1023. 8 1/524. 1 2/4 o 1 1/2 litros25. 1 11/12 litros26. 11/1227. “e puede aa e úeo to

a fracción impropia y luego igualardenominadores y operar.

28. 2 3/429. 11/230. 1/231. A


Página 561. 22 3/4 por 16 1/22. 17 1/43. Bo = , kg Re = , kg

4. 26 5/6 kilómetros5. 55 latas de alimento para perros6. El gato de Carlos7. El 17 de marzo8. A Oso. A A a Ma9. X = 3 5/16 ; Y = 4 13/16Página 5710. 11 3/811. 2 5/812. 2/1513. Cada seaa, Maea ahoa

2/3 de su mesada y gasta 1/12 enhes dues. ¿Qué faó de sumesada le queda?

14. Ver cuaderno del alumno15. 50 – (19 3/4 + 18 7/8)16. 1 entero 1/1217. 5 1/3


Páginas 59 y 60

1. 7 8/212. 13/163. 1 5/124. 23/1805. 17/246. 1/27. 19 1/98. 4 5/69. 5/610. Respuesta abierta11. 1/212. 1913. 2414. 1615. 3216. 1 1/417. 16 1/1018. 4 13/1519. 7 1/1020. 2921. 1 3/2022. 7 39/4023. 4 2/524. 5 11/1225. 1 1/526. 9 1/1227. 2 11/1428. 11/1229. 2 1/630. 4 ; 2 3/431. 10 7/8 ; 12 1/432. 7 14/1533. 1 11/2434. 0/135. 8 13/24Página 6136. Las Grutas y El Puente37. ¿Cuál es la diferencia entre el circuito

Los Troncos y el circuito Las Grutas?38. ( 2, 3 )39. C40. 1 1/12

41. 242. B1. 5/12 = 5 uncias2. 2/3 u 8/12 = 8 unciasPágina 62Grupo A1. 11/122. 1/33. 17/404. 5/125. 7/206. 1 1/107. 1 7/308. 17/289. 17/2010. 5/6

Grupo B1. 5 2/152. 2 1/23. 37 1/94. 14 3/55. 11 11/206. 2 1/37. 3 1/128. 9 1/89. 5 11/1810. 11 1/211. 17 1/612. 3 1/12Grupo C1. 1/22. 5/63. 1 19/204. 5 3/85. 2 1/46. 3 2/37. 23/30

8. 1/29. 7/810. 4 1/2Grupo D1. 13/302. 1/163. 4 3/84. 6 3/55. 1 8/156. 31/607. 12 7/128. 1/29. 3 13/1610. 7 1/2411. 3 1/412. 3 5/6Página 641. Mínimo común denominador2. “piada a su a epesó3. 83/994. –2/155. 55/56

6. 2 7/247. 31/568. 11 15/169. 1 115/25210. 12 283/36011. 6/16 + 12/16 o 3/8 + 6/812. 10/26 - 3/2613. 3/9 + 4/914. 12/15 - 2/1515. 10/14 + 7/1416. 15/20 + 4/2017. 20/24 - 6/24 o 10/12 – 3/1218. 39/60 - 20/6019. 20/45 - 9/4520. 3/6 + 2/621. 1/1022. 1 5/1223. 5/924. 1/1425. 126. 10 7/12

27. 2 5/1228. 1 5/629. 7/1230. 7 13/2431. A / k haa e Este32. 10 postes33. 2 1/4 más atrás de JuanPágina 651. 1/3 + 1/52. 1/3 + 1/93. 1/2 + 1/74. 1/3 + 1/75. 1/2 + 1/2 + 1/36. 1/4 + 1/24Páginas 66 y 671. D2. D3. B4. B5. C6. 2 5/127. C

8. D9. D10. D11. A12. D13. 5,925; D14. B

Capítulo 4

Página 691. 2282. 2563. 3704. 2 9825. 1 852

6. 2 4127. 2918. 5 0329. 41510. 95111. 4 15212. 82813. 28214. 23515. 58116. 6417. 10818. 27619. 60820. 33521. 64822. 15623. 22424. 200


Página 711. 0,752. 1,83. 1,684. 0,655. 1,086. 1,987. 0,568. 2,49. 4,610. 0,3211. 1,3212. 2,6813. 2,714. 1,9215. 1,2816. 1,5317. 1,5618. 4,2719. 1,1420. 2,76

21. 2,9222. 0,8523. Respuesta abierta


Página 721. 4002. 98,1 ; 9 8103. 0,7 ; 70Página 734. 3,19 ; 31,9 ; 319 ; 3 1905. 0,298 ; 2,98 ; 29,8 ; 2986. 0,005 , 0,05 , 0,5 ; 57. 1, 017 ; 10,17 ; 101,7 ; 1 0178. 2,78 · 10 = 27,8 (se corre la coma

un espacio) y 0,278 · 100 = 27,8 (secorre la coma 2 espacios)

9. 93,5 ; 935 ; 9 35010. 0,02 ; 0,2 ; 211. 31,05 ; 310,5 ; 3 10512. 1 265 ; 12 650 ; 126 500

13. 11,46 ; 114,6 ; 1 146 ; 11 46014. 63,2 ; 632 ; 6 320 ; 63 20015. 335,2 ; 3 352 ; 33 520 ; 335 20016. 0,09 ; 0,9 ; 9 ; 9017. 7,8 ; 78 ; 780 ; 7 80018. 1 ; 10 ; 100 ; 1 00019. 5,0 ; 50 ; 500 ; 5 00020. 4 832 ; 48 320 ; 483 200 ; 4 832 00021. 21,4 ; 214 ; 2 140 ; 21 40022. 817,5 ; 8 175 ; 81 750 ; 817 50023. 164,924. 10025. 10 00026. 1 00027. hoas28. hoas29. hoas30. Respuesta abierta31. Rectas perpendiculares32. 4 000 cerezas33. 567 metros34. C



SOLUCIONARIO292


Página 74Grupo A1. 0,8 ; 8 ; 0,8 y 80 ; 1 000 y 8002. 2,4 ; 10 ; 2,4 ; 24; 2403. 0,011 ; 0,011 ; 100 ; 1 000 ;0,011

; 114. 0,892 ; 0,892 ; 8,92 ; 89,2 ; 8925. 12,9 ; 129 ; 1 290 ; 12 9006. 5 481 , 54 810 ; 548 100 ; 5 481

0007. 91 , 910 ; 9 100 ; 91 0008. 12,5 ; 125 ; 1 250 ; 12 5009. 7 ; 70 ; 700 ; 7 000

10. 2,4 ; 24 ; 240 ; 2 40011. 20,16 ; 201,6 ; 2 016 ; 20 16012. 0,03 ; 0,3 ; 3 ; 3013. 0,5 ; 5 ; 50 ; 50014. 386,2 ; 3 862 ; 38 620 ; 386 20015. 4,2 mGrupo B1. 21,52. 103. 2,624. 15,455. 1,686. 44,47. 18,088. 17,69. 38,3410. 13,1411. 17,5 cm12. apo.13. 20614. 16

15. 1,1416. 8,0417. 37,3518. 1,8219. 1 010,420. 11,1621. 1,9222. 2823. 385 cmPágina 761. “e usa uaduas de

(suponiendo que cada cuadradovale 0,01). Se pinta 4 veces 37cuadraditos (4 • 0,37). Contar elresultado.

2. Por simplicidad, ya que el productode 0,02 • 100 es igual 2,0 = 2

3. 76,53 ; 765,3 ; 7 653 ; 76 5304. 85,9 ; 859 ; 8 590 ; 85 9005. 8 ; 80 ; 800 ; 8 0006. 40,25 ; 402,5 ; 4 025 ; 40 2507. 2 654,5 ; 26 545 ; 265 450 ; 2

654 5008. 23,49. 12810. 23,811. 18,3612. 3,513. 8,1414. 281,115. 91,516. 0,817. 0,2718. 1,8219. 0,0120. 12,3421. 112,222. 5,323. 0,824. 15,5 mm25. 32,5 kgPágina 77

1. 0,15 • 5 = 0,25 • 32. 9 • 1,2 = 2,7 • 43. 7 • 0,6 = 1,4 • 34. 0,3 • 8 = 6 • 0,45. 0,05 • 6 = 2 • 0,156. 4 • 0,14 = 0,7 • 0,8Páginas 78 y 791. D2. D3. B4. D5. “e upa · . Luego, teeos

dos espacios después de la comaen el 0,06, entonces el productodebe tener lo mismo, dos dígitosluego de la coma.

6. A7. C8. B9. “e dde e o = • y10. C11. A

12. B13. 157 cm214. B15. C16. A17. 15 – 7 = 8

Capítulo 5

Página 811. 4002. 303. 84. 55. 5406. 8

7. 39,58. 29,39. 87,410. 6711. 318,612. 2413. 59,8714. 5215. 8616. 4217. 11418. 6919. 14720. 3821. 6422. 21723. 12624. 23125. 5926. 73


Página 831. 1,9 Ver cuaderno del estudiante2. 1,5 Ver cuaderno del estudiante3. 3,15 Ver cuaderno del estudiante4. 1,716 Ver cuaderno del estudiante5. 2,1 Ver cuaderno del estudiante6. 4,3 Ver cuaderno del estudiante7. 6,1 Ver cuaderno del estudiante8. 7,175 Ver cuaderno del estudiante9. Respuesta abierta10. 0,5 Ver cuaderno del estudiante11. 0,8 Ver cuaderno del estudiante12. 0,02 Ver cuaderno del estudiante13. 0,07 Ver cuaderno del estudiante14. 1,16 Ver cuaderno del estudiantea15. 1,29 Ver cuaderno del estudiante16. 1,56 Ver cuaderno del estudiante17. 0,73 Ver cuaderno del estudiante18. 29,0519. 174,8520. La pea es apoadaete a

mitad de la otra nevada.21. 0,63; . El cociente entre 3,8 y 6 es 0,6.


Página 85

1. 411/3002. 100 ; 1 ; 100 ; 1 ; 732 ; 1,833. 378 ; 7 ; 378 ; 7 ; 378 ; 0,544. 472 ; 1 ; 472 ; 1 ; 472 ; 0,595. 1,736. 0,467. 0,0088. 6,41259. 74,910. 4,8611. 0,6312. 0,00813. 13,88514. 9,15415. 18,684

16. 1,4717. Mupo e oete po e dsode a opeaó e ee ue dael dividendo.

Página 8618. 23,719. 0,08420. 0,4621. 7,5422. 0,00423. 2,6424. 14,7225. 13,92826. 0,9427. 2,0328. 1,25329. 1,27530. 2,74 m31. 1,8532. Si se marcaran 9 carriles iguales,

¿uá sea e aho pedo de

cada carril?

33. , k apo.34. Si la señora Díaz compra una cinta

azul ¿cuánta cinta roja compró?Página 8735. Totuga háste36. 8,5 km37. 39,87538. B39. DPode Mateáo1. 3,682. 2,43. 24,78


Página 88Grupo A1. 9,32. 0,3143. 9,74. 0,66025. 6,1286. 0,0427. 13,17777788. 9,1779. 0,93810. 2,98511. 2,031512. 59,52513. 4,25 m14. A = 0,1725 ; C = 0,175 ; noGrupo B1. 523 ; 1,7432. 100 ; 1 ; 100 ; 109 ; 0,27253. 1 000 ; 1 ; 2 532 ; 0,50644. 482/100 ÷ 4/1 ; 482/100 • 1/4 ;

482/400 ; 1,2055. 12,56. 0,967. 2,1368. 6,99. 0,00510. 37,12511. 11,312. 0,01913. 0,1214. 3,10515. 1,1616. 60,817. 1,9818. 36,419. 13,2620. 56,8121. 3,1522. 52,0823. 81,64524. 6,53

25. 1,5 tazas26. 18,375 mPágina 901. Ver cuaderno del estudiante2. Respuesta abierta3. Ver cuaderno del estudiante4. 0,35. 86. 37. 0,58. 509. 2010. 0,0711. 612. 1,1313. 1,9514. 1,04615. 0,2516. 0,37617. 3,1818. 0,0519. 1,25

20. 0,621. 0,422. 1,223. 3,4524. 1,0425. 1,5426. 1,527. 14,6228. 1,0529. 130. 136,5331. 2,2232. 0,55 ml33. 2,58 jarros34. Dividiendo $3150 en 6 para saber

cuánto le sale cada boleto. Cadaboleto a Jaime le sale $525, por lotato s ahoa deo.

Página 91

1. 0,42. 0,25

3. 0,354. 0,55. 0,446. 0,1257. 0,248. 0,29. 0,2610. 0,6Página 92 y 931. A2. C3. B4. D5. A6. A7. A

8. B9. D10. C11. A12. B13. C14. A15. C16. B17. B18. C19. C20. C21. B22. A

Capítulo 6

Página 951. 8,22. 0,8

3. 4,254. 0,45. 8,96. 5,697. 4,968. 0,759. 0,6210. 4,6811. 1,712. 2,513. 6,514. 6,6515. 1,516. 2/1017. 35/10018. 6/10019. 85/10020. 41/10021. 92/100022. 7/10023. 625/100024. 15/100

25. 15/100026. 12/10027. 1/10028. 99/10029. 255/10030. 199/100031. 13/232. 51/733. 7/934. 5/235. 936. 21/4037. 238. 25/6139. 41/3140. 83/210


Página 971. 5

2. 53. 3/7 ; 18/424. 5/7 ; 30/425. 6/8 ; 12/166. 14/16 ; 28/327. Apiado ada pate de

a azó, es de upo enumerador y el denominador porel mismo factor.

8. 10; 40 y 609. 3/7 ; 30/7010. 4/6 ; 32/4811. 8/20 ; 32/8012. 11/10 ; 66/6013. 9/15 ; 6/1014. 4/18 ; 6/2715. 72/416. 90/617. 108/1218. 288/15



SOLUCIONARIO 293

19.

Cajas 1 2 3 4 5 6

Botellas 12 24 36 48 60 72

20.

Días 1 2 3 4 5 6 7

Autos 25 50 75 100 125 150 175

21. 2,03 ; 2,3 ; 2,3522. 11 a 323. D


Página 991. 26%2. 70%3. 16%4. 12%5. 39%6. 55%7. 28%8. 99%9. 8%10. 58%11. 1%12. “epe ue haaos de %, e

total es 100%.13. Aleatoria14. 35 00015. 7/93


Página 101

1. 110 litros más2. $ 728 0003. $ 2 5004. $ 171 5005. $ 2 700 0006. $ 8 940


Página 102a. $ 900b. frasco de 8 LPágina 1031. hoas2. hoas3. 30 minutos4. 249 kilómetros5. 12/246. 32/967. 32 estudiantes8. 1 080 cm

Página 1041. “e puede hae u gáio2. No cambiaría3. Co u gáio.4. Menores,90. Respuesta abierta5. 45 + 90 + 18 + 27 = 1806. 88%7. La educación media8. Múpes espuestasPágina 106Grupo A1. 6/20; 18/302. 70/170; 49/1193. 6/200; 12/4004. 2/10; 4/205. 290/100; 87/306. 44/70; 66/1057. 6/10; 12/208. 10/16; 15/249. 150/100; 3/210. 9/2; 36/8

11. 75/100; 6/812. 3/4; 18/2413. 1/2; 26/5214. 270/100; 81/3015. 1/3; 10/3016. 18 : 617. 16 : 1218. 10 : 12019. 69 : 9020. 16 : 3021. 15 : 20

Grupo B1. 75%2. 0,85%3. 50%4. 24%Página 107Grupo C. $ apo.2. $ 364 0003. $ 6 990

4. $ 4 9205. $ 400 0006. $ 18 000 0007. $ 1 200 0008. $ 12 099 0009. $ 3 659 40010. 284 36411. 72 183Página 1081. Razones equivalentes2. Porcentaje3. 8/144. 10/185. 2/46. 6/87. 2/38. 3/19. 4/110. 1/311. 3/412. 36/1813. 23/1014. 8/1215. 120/10016. 40/1517. 12/1518. $13 79019. $6 96020. $233 85021. $363 562Página 1091. 162. 1 8333. 1444. $2 000Página 110 y 111

1. C2. C3. A4. A5. B6. D7. D8. B9. C10. A11. A12. B13. C14. D15. 4/916. 19/2417. 60 o 3018. 30 tarros de pintura verde19. V20. F21. V

22. 3 1/4 Sumando los km y dividiendopor 8

23. / apo.24. / hoas

UNIDAD 2

Capítulo 7

Página 1191. 2. M + 143. G : 2,394. 4D – 25. X + 176. / + 2

7. Calculo cuanto salen las 3 camisetas:c+c+c o 3c, a eso le aplico el des-cuento. 3c-500

Página 1208. + 9. 3 1/2 – y

10. 11. • a • h12. a – 4513. / – 14. b : 815. b + 516. X + 2 • 817. – /18. (X + 5) / 219. Un número disminuido en 1420. 36 dividido en el doble de un número21. Un número aumentado en 2/5 más

el mismo número al cuadrado22. El triple de la suma de un número y

1, dividido en 423. 10k + 50 m24. s = 1/4t + 1/2 m –1 00025. En el primer mes, los nuevos clientes

pagan un tercio por el valor del mensaje y al costo total se le descuentan 500.Ese a epesó de aea agea-ica para el costo total del primer mes.

26. Costo de m meses=29990m y elcosto inicial (del equipo) es 19990.19990+29990m

27. 32,628. 5,24, no ubtuvo la beca29. DPágina 121

1. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante


Página 123

1. Primero, dividir45 por 5; segundo,upa po ; teeo, esta27 a 29

2. 23. 114. 785. 166. 07. 48. 12,89. 5610. Remplaza m por 10. Luego escribe

9 • 10 + (10 + 50) = 9 • 10 + 5 =90 + 5 = 95

Página 124

11. 612. 3813. 3214. 515. 1316. 1517. 5.6

18. 1619. 1420. 1321. 6 1/422. 2223. 12 1/224. 1725. 4.626. 4227. 16,628. 929. (5 + b) – 3; 6 mariposas30. – p + ; fotogaías31. 10 000 – (w • 2,75); $ 1,7532. Epaó pose: Paa sae uá-

tos estudates dee hae eadagupo, ese ua epesó uegoeueta e ao paa a adadde grupos. Compara cada valor con. Epesó:24 / g + 2si g = 2 : 24 / 2 + 2; 14 personas

si g = 3 : 24 / 3 + 1: 10 personassi g = 4 : 24 / 4 + 2; 8 personaspor lo tanto, los estudiantes sedeben dividir en 4 grupos.

Página 125

33. ph34. 335. D36. 5/10 o 1/1037. B38. 4,639. 240. 2541. 3942. 343. 3,4Página 126

1. Ver cuaderno del estudiante2. No, porque 4 • 75 = 300, menos de

los que vende.

3. NoPágina 127

1. 1112. Auetaa as as óas ue

ee. doss daas3. Mapato Codoto. apo.4. 98 ejemplares5. 55 ejemplares6. 54 ; 55 ; 87 ; 987. $ 619 5008. ejepaes. Es suiete a

información9. Menor10. as óas11. Respuesta abierta12. Poeas o uhos datos, auda

a tener orden y no confundirse


Página 1281. ; ; –

2. 7 ; 10 ; 13 ; …..etc.3. ; ; + Página 1294. 9 y 145. 135 kg6. 180 y 2707. 15n8. 15 • 15 = 225 kg9. 10; 3010. 21 ; 15 ; 5411. hástes12. 17/1213. Coutadad14. 75%15. 5nPágina 130

Grupo A1. + 2. 15n3. / – 4. 2/65. 1/3 t6. 1/2 f + 1/4 t7. El quíntuple de la suma del doble de

un número y 5 veces otro número8. La sua de ees ees ,

upado po 9. La diferencia entre el triple de un

número y el cuádruple de otroúeo, upado po

10. La diferencia entre el triple de unúeo ees d, upadopor 6

Grupo B1. 302. 23. 12

4. 75. 246. 127. 588. 519. 2010. 1411. 9312. 013. 214. 5,515. 316. 10,517. 3418. 819. 720. 221. 322. 2923. 024. 3

Grupo C1. 7n + 12. 1 ; 4 ; 7 ; 10

Página 1321. Epesó ageaa2. Epesó uéa3. V, po asoadad.4. F, a outadad es soo uado

ha a sa opeaó soo suao soo upaó

5. V, po asoadad.6. F, a asoadad es soo uado

ha a sa opeaó soo suao soo upaó

7. 1/4y – 348. n – 269. 12n10. hjk11. $ 16 25012. paetas. · = uego

– 7 =53

Página 1331. 3 ; 4 ; 52. 4 ; 5 ; 63. 11 ; 9 ; 74. 14 ; 16 ; 185. 1 ; 3 ; 5 ; 76. 4 ; 6 ; 8 ; 10Págs. 134 y 1351. D2. C3. C4. A5. Ea ; Lusa espeaete.6. A7. B8. A9. B10. D11. D12. C13. A14. Ver cuaderno del estudiante



SOLUCIONARIO294

15. A16. B17. B18. C

Capítulo 8

Página 1371. t + 252. k + 4,53. 9 + 2/3m4. 15s + 2,45. 5g + 3,56. 1/2j + 1/3k7. 1,5 + 2/3p8. 8 + 2 a

9. n + 3410. e + 511. p + 1712. + 13. y + 1514. m + 23415. 1,216. 1/617. 30018. 2,2219. 10 1/420. 1 7/1021. 2 5/622. 1,923. 132,124. 16,1525. 1 5/1226. 7/3027. 1/828. 1,629. 7 1/8


Página 1391. 25 = n + 132. • = 3. – = /4. , ÷ = 5. Reconocer la operación y los números o

factores que operan, luego ver el orden.6. 2/3n = 187. 56 – g = 408. , = + 9. 3,67 – n = 46,3310. 8y = 6211. ÷ = 12. Un número disminuido en 21 es 613. La tercera parte de un número es 2514. 15 veces un número es 13515. El cociente entre 3 1/3 es 5/616. Un número disminuido en 9 es 1017. • =

18. : = 19. El total el 560. Ya recorrió 313, entoncesle quedan 560 – 313 = m o m+313=560.

20. 2/321. n + 622. D


Página 1411. 1 Ver cuaderno del estudiante2. 3 Ver cuaderno del estudiante3. 1 Ver cuaderno del estudiante4. 5 Ver cuaderno del estudiante5. 6 Ver cuaderno del estudiante6. 0 Ver cuaderno del estudiante7. 2 Ver cuaderno del estudiante8. 4 Ver cuaderno del estudiante9. 3 Ver cuaderno del estudiante10. 5 Ver cuaderno del estudiante11. 7 Ver cuaderno del estudiante12. 2 Ver cuaderno del estudiante

13. 2 Ver cuaderno del estudiante14. 2 Ver cuaderno del estudiante15. 1 Ver cuaderno del estudiante16. 1 Ver cuaderno del estudiante17. 3 Ver cuaderno del estudiante18. 1 Ver cuaderno del estudiante19. 4 Ver cuaderno del estudiante20. Respuesta abierta


Página 1431. = 2. = 3. b = 84. y = 3,15. = 6. Se van “eliminando” lo que acom-

paña a la variable, operando consu opuesto a cada lado.

7. 168. 15

9. 12 1/210. 7 3/411. 8,212. 13,513. 214. 415. 299 saltos16. 66g17. ¿Cuántos saltos más debe dar para

alcanzar el record mundial?18. + , = , ; = 19. = – ; = 20. Siete veces un número21. D


Página 1461. 322 = n2. 76 + n = 199 ; n = 1233. $8704. n + 403 = 652 ; n = 2495. + = ; = $ 6. d = 11 + 5 ; 16 años7. 20 + p = 30 , p= 10°C8. p + 7,5 = 13, p = 5,5°C9. Daea ee ás ue Maa,

entonces M = D + 5, pero Marinaee . Queda = D +

Página 14710. 25 cd11. 2 1/212. 80 000 cd13. La A ; 50 menos14. Respuesta abierta15. Respuesta abierta16. $ 10 270

17. $ 1 416 840Página 148Grupo A1. a – 4,3 = 25,22. / = 3. / = ,4. 48 – k = 365. + = 6. , = + 7. n – 1/2 = 4 3/48. + = 9. X = 4 • 8 ; 32 cm310. ÷ = ; 11. Un número disminuido en 2 1/2 es 512. Un número y menos que 54 es 7213. El cociente entre z y 1/2 es 414. 76 es 23 más p15. 12 veces un número c disminuido

en 4 es 10016. 30 es igual a la quinta parte de un

número17. Un número w menos 32 es igual a 38

18. El triple de un número es 1019. 20 veces un número es 14020. Un número d dividido en 3 es 921. U úeo eos es /22. El doble de un número menos

7 es 2123. 7 veces un número es 150,524. Un número más 3/4 es igual a 5 1/425. El doble de un número w disminui-

do en 3 es 11Grupo B1. 6 1/62. 343. 14. 105. 186. 2 1/27. 10,28. 3 11/129. 24,310. 7 5/12

11. 7 3/812. 11 3/413. 3214. 2515. 2/316. 717. + = ; = $ 18. = - / ; = /19. y = 13 – 11 ; y = 2°CPágina 1501. Ecuación2. Propiedad de resta de la igualdad3. , = + 4. / = 5. – , = ,6. k – 89 = 407. E tpe de h es 8. Doce menos un número es igual a 89. 16 veces k es 8010. Un número disminuido en 45 es 6711. El cociente entre n y 4 1/4 es 1

12. 12 es el doble de k aumentado en 70

13. El quíntuple de g menos 12 es 9614. Un número aumentado en 2 1/8 es 315. 816. 317. 3418. 3519. 420. 221. 522. 023. 6024. 8,225. 4 4/526. 17,227. 14 11/1228. 2,1

29. 1130. 32,431. 7932. 64 láminas33. = + ;Página 151

1. 862. 293. 324. 455. 96. 507. 388. 194Páginas 152 y 1531. D2. D3. B4. B5. 8/6 = 4/36. C7. A8. D9. Resto 1 1/3 a ambos lados de la

igualdad. Me queda g + 1 1/3 – 1/ = – /, ahoa opeo etenúmeros. Tenemos g=1 2/3. Paracomprobar reemplazo ese valor enla ecuación inicial.

10. B11. B12. D13. C14. Vée ; águo ; egó ado15. No, E ez de esta, dee hae

un signo de suma.16. B17. D18. D19. Sumar todos los datos y luego

dd po a adad de datosque sumó.

Capítulo 9

Página 1551. 7,62. 1 1/43. 1 9574. 16 5/125. 1 13/156. 12 5/67. 133,638. 14,129. 32,3410. 311. 1112. 6113. 914. 2415. 2016. 1717. 518. 1519. t -1220. k – 521. – ,22. – h23. s – 7824. b – 23425. n – 17526. 27 – y


Página 1571. 9 ; Ver cuaderno del estudiante2. 7 ; Ver cuaderno dl estudiante3. 5 ; Ver cuaderno del estudiante4. 135. 46. 127. 68. 209. 11

10. 7

11. 1012. 613. 414. 715. 616. 617. 918. 719. 1020. Respuesta abierta


Página 1591. = ,

2. a = 93. w = 11, 74. d = 105. y = 86. p = 57. s = 98. w = 249. Sumo 15 a cada lado de la igual-

dad. X-+=+ → =10. 3711. 3112. 1 13/3013. 2514. 17,515. 12,416. 5217. 1818. 1919. 420. 30 litros21. debe sumar 3 a cada lado de la

guadad. X-+=+ → =22. 5 meses al año23. 2,2885 ; 2,3 ; 2,35 ; 2,38824. – = 25. CPágina 160Grupo A1. 232. 113. 794. 65. 186. 287. 98. 259. 2110. 1211. 1712. 2813. 9314. 715. 36

16. 1517. 3118. 2819. 6820. 3521. 1522. – = ; = 23. e – 10 = 125 ; e = 135Grupo B1. 332. 93. 124. 115. 66. 227. 98. 19. 1910. 5311. 9012. 80

13. 114. 4615. 016. 1917. 718. 8919. 1020. 521. 522. + = ; = 23. p = 12 – 2 ; p = 10 años y m = p + 4 ;

m = 14 añosPágina 1621. Propiedad de suma de la igualdad2. Respuesta abierta3. 114. 225. 176. 97. 438. 8

9. 93



SOLUCIONARIO 295

10. 1111. 1312. 1013. 1514. 815. 3716. 717. 2118. 919. 2620. 1521. 1622. 923. 1424. 425. 40 miembros

26. / hoasPágina 1631. sume2. reste3. neutro4. ingenio5. suerte6. enriquecimientoPáginas 164 y 1651. C2. C3. D4. A5. 1 1/3 ; Igualando denominadores y

sumando numeradores.6. D7. C8. 5 7/12 ; restando la igualdad.9. D10. A11. C

12. P-aho=atua13. F14. V15. V16. F17. $ 1 50018. 1,319. 3/8 ; 0,75 ; 1 2/3 ; 1,820. $ 1 10021. 68 joyas22. 13/30 se comieron23. hoa. Respuesta aeta24. • + •

UNIDAD 3

Capítulo 10

Página 1711. < QRT2. < MFK3. < ALD4. < PSR5. < WUY6. < LPO7. < JWD8. < HPJ9. 33°10. 110°11. 145°12. 60°13. 147°14. 35°


Página 1751. < CEB2. < opuesto po e ée = < NOT ; <

Adyacentes = < SOP y < ROM3. < opuesto po e ée = < MOR ; <

Adyacentes = < NOT y < POS4. < opuesto po e ée = < PO“ ; <

Adyacentes = < NOT y < MOR5. Adyacente están “pegados”, unidos

po u ao, adeás de éecomún.

6. ∠ correspondiente7. ∠ correspondiente8. Ateo eteo9. Alterno interno10. ALteo eteo11. ∠ correspondiente12. < opuesto po e ée = < MP“ ; <

Adyacentes = < FPG y < RPK13. < opuesto po e ée = < GPH ; <

Adyacentes = < RPK y < LPM14. < opuesto po e ée = < “PH ; <

Adyacentes = < KPL y < RPF15. < opuesto po e ée = < GPF ; <

Adyacentes = < MPS y < KPL16. < adyacentes17. Ninguno de los dos18. < opuestos po e ée19. < adyacentes20. < adyacentes

21. < opuestos po e ée

Página 17622. F, 180 - 5623. V, so ateos eteos24. V, águo eteddo25. Ver libro del estudiante. α + β = 180º.26. < ABE = 50o D = 1527. Respuesta abierta28. Puede es águos opuestos po

e ée agudos, etos u otusos.29. 1230. D31. 5532. / + Página 1771. 90°2. Respuesta abierta


Página 1791. Ver cuaderno del estudiante

a. Obtuso, respuesta abiertab. Respuesta abierta

Página 1802. 100°3. 44°4. 104°5. 35°6. 32°7. 60°8. Agudo. Ver cuaderno del estudiante9. Agudo. Ver cuaderno del estudiante10. Obtuso. Ver cuaderno del estudiante11. Agudo. Ver cuaderno del estudiante12. Respuesta abierta13. 15°14. 110°

15. 80°16. 50°17. 35°18. 15°19. 110°20. 150°21. 180°22. Agudo. Ver cuaderno del estudiante23. Obtuso. Ver cuaderno del estudiante24. Agudo. Ver cuaderno del estudiante25. Obtuso. Ver cuaderno del estudiante26. Obtuso. Ver cuaderno del estudiante27. Agudo. Ver cuaderno del estudiante28. Eteddo. Ve uadeo de

estudiante29. Obtuso. Ver cuaderno del estudiante30. Obtuso. Ver cuaderno del estudiante31. Agudo. Ver cuaderno del estudiante32. 180°, respuesta abierta33. A as : hoas a as : hoas34. 60°35. Mdó a eés, haa e oto ado

de éePágina 18136. 2837. Un plano38. Recto39. D40. C1. 30°2. Ángulo recto3. No


Página 1821. 90°Página 1832. < adyacentes3. < opuestos po e ée4. < complementarios5. < complementarios y adyacentes6. Su suma debe medir 90°

7. < complementarios8. < complementarios9. < adyacentes10. Ninguno de los dos11. < adyacentes y complementarios12. < adyacentes y complementarios13. No son complementarios.

Respuesta abierta14. Porque completo corresponde a lo

que falta para llegar a 90°15. Agudo de 44°16. ¿Qué par de ángulos son comple-

mentarios y adyacentes?17. 7° bajo cero18. 8519. 180°20. C


Página 1851. 90° cada uno

2. No, respuesta abierta

3. 13 azules y 12 rojos4. 18 estudiantes5. E eadad ee putos e

dseño ee putos6. Respuesta abierta7. 628. Caua a aiaó tota de Mata

+++=, uego o upopo , a ese esutado e suo →29·2= 58 y 58+4=62

Página 186Grupo A1. 60°2. 104°3. 180°4. 27°

5. Ver cuaderno del estudiante6. Ver cuaderno del estudianteGrupo B1. < adyacentes2. < opuestos po e ée3. < complementarias4. < ninguno de los dos5. < complementarios6. < ninguno de los dosGrupo C1. No2. No, son adyacentes3. Complementarios4. No5. No, son adyacentes6. No, son adyacentesGrupo D1. 120°2. 60°3. 30°4. 180°

5. 90°6. 180°7. 55°8. 48°Página 1881. Adyacentes2. Complementarios3. < adyacentes4. Ninguno de los dos5. Opuestos po e ée6. < adyacentes7. Ninguno de los dos8. < opuestos po e ée9. No10. Sí 11. Sí 12. No13. No14. No15. 53°16. 90°

17. 37°18. 53°19. 233°20. 180°21. B = 45° y C = 45°22. 90°23. 45° o 135°24. 35°25. Siempre, ya que es la única opción

para que dos ángulos iguales sumen. X+X= → X= → X=

Página 1891. <HKA y <EKD, <AKB y <EKF, <BKC y

<FKG, <CKD y <HKG, <HKB y <DKF,<AKC y <EKG

2. <HKA y <AKB, <EKDy <EKF, <BKC y<AKB, <CKD y <BKC, <EKD y <CKD,<GKF y <EKF

3. a. <HKG y <EKDb. <HKC y <AKDc.<FKB y <EKA

4. 42°5. 64°6. 48°7. 64°8. 26°9. 74°10. 11; <FKE, <FKD, <FKC, <FKB, <GKH,

<GKA, <GKB, <FKA, <FKH, <FKG,<GKE, <GKD

11. Se escriben todos los ángulos que sepuedan formar con un lado de <GKFy otro rayo, sin incluir los ánguloseteddos

Páginas 190 y 1911. B2. C3. C4. C5. 4,505 ; 4,5 ; 4,055 ; 4,05. Se va com-

parando dígito a dígito, de izquierdaa deeha.

6. A

7. B8. D9. A10. C11. B12. A13. B14. Respuesta abierta15. B16. C17. Ver cuaderno del estudiante18. 1619. 920. En el 321. Luisa

Capítulo 11

Página 1931. Agudo2. Recto3. Obtuso4. Agudo5. Eteddo6. Obtuso7. Recto8. Eteddo9. Rombo10. Cuadrado11. Trapecio12. Rectángulo13. Paralelogramo14. Trapecio


Página 1951. 30° ; Triángulo obtusángulo

2. Triángulo obtusángulo e isósceles3. Triángulo acutángulo y equilátero4. Triángulo acutángulo e isósceles5. Triángulo rectángulo y escalenoPágina 1966. 53° y triángulo rectángulo7. 30° y triángulo obtusángulo8. 60° y triángulo acutángulo9. 106° y triángulo obtusángulo10. Sus ángulos interiores sumarían

más de 180º.11. Triángulo rectángulo y escaleno12. Triángulo rectángulo y escaleno13. Triángulo acutángulo y escaleno14. Triángulo obtusángulo y escaleno15. 47° y triángulo acutángulo16. 27° y triángulo obtusángulo17. 140° y triángulo obtusángulo18. 70° y triángulo rectángulo19. Triángulo escaleno y acutángulo20. Triángulo escaleno y acutángulo21. Triángulo equilátero y acutángulo

22. Son < complementarios23. 44°24. 147° ; . <CJL=27+120.25. Triángulo PQT = triángulo rectángulo

y escaleno ; Triángulo TQS = triánguloacutángulo e isósceles ; Triángulo QRS= triángulo obtusángulo y escaleno.

26. < A = 120° ; < B = 40° y < C = 20°.Aguos , . <=, <= <=→ ++== → =<=,<2=40 y <3=120

27. Respuesta abiertaPágina 19728. < MAB= 30° ; < BAD = 90° ; < ADN = 60°

; < BDA= 30°. Triángulo MBA = triánguloobtusángulo ; Triángulo BAD= triángulorectángulo y Triángulo acutángulo

29. ¿Qué par de ángulos son comple-mentarios?

30. 15 m31. 166 tarjetas32. 17133. C34. DPode Mateáo1. 60°2. 141°3. 102°


Página 1991. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante5. Ver cuaderno del estudiante6. Ver cuaderno del estudiante7. Ver cuaderno del estudiante8. En el papel punteado isométrico, las

dfeetes heas de putos foaun ángulo de 60º, en el cuadriculadode 90º.

9. Ver cuaderno del estudiante



SOLUCIONARIO296

10. Ver cuaderno del estudiante11. Ver cuaderno del estudiante12. Ver cuaderno del estudiante13. Ver cuaderno del estudiante14. Ver cuaderno del estudiante15. 54° y 72°16. Es de 90°17. 20° C18. 1219. 75°20. C


Página 2021. 20 diagonales

2. 77 diagonales3. 1 cm4. U heágoo ; iguas ; “e esta

e doe de u pa a pa de 5. 64 cajas y P = 32 unidades6. Respuesta abiertaPágina 2037. ihas8. 7 verde claro y 6 verde oscuro9. ias10. 50 cm por lado y 80 cm de base11. Respuesta abierta12. + + = → += → =13. ihasPágina 204Grupo A1. Triángulo acutángulo y escaleno2. Triángulo obtusángulo e isósceles3. Triángulo rectángulo y escaleno4. Triángulo rectángulo e isósceles5. Triángulo equilátero

6. Triángulo obtusángulo7. Siempre8. Nunca9. Siempre10. A vecesGrupo B1. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante5. Ver cuaderno del estudiante6. Ver cuaderno del estudiante7. Ver cuaderno del estudiante8. Ver cuaderno del estudiantePágina 2061. Triángulo escaleno2. Triángulo equilátero3. Acutángulo4. Triángulo rectángulo y escaleno5. Triángulo rectángulo y escaleno6. Triángulo acutángulo y equilátero7. Triángulo obtusángulo e isósceles8. A veces9. A veces10. Nunca11. Siempre12. Ver cuaderno del estudiante13. Ver cuaderno del estudiante14. Ver cuaderno del estudiante15. 31°16. 45°17. 110°18. Un octógono19. 16 cajas20. 6 ; respuesta abiertaPágina 2071. ( 2 , 6 )2. ( 2 , 7 )3. ( 6 , 4 )Páginas 208 y 2091. A2. B3. D

4. C5. Pasando 5 a fracción y luego igual-ando denominadores y operando

6. A7. A8. A9. B10. A11. Táguo osósees ee águos

(además de 2 lados) congruentes.Puede ser otro de 70 entonces eltee águo ee ue se . Lasegunda opción es que el ángulodado sea el diferente, entonces180-70=110 debe ser la suma dedos ángulos iguales, que valen 55

12. D13. D14. C15. B16. A

Capítulo 12

Página 211

1. Sí 2. No3. No4. Sí 5. Sí 6. No7. No8. Sí 9. 3/410. 8/811. 1/412. 1/2


Página 2121. Respuesta abierta2. Respuesta abierta3. Respuesta abierta4. Respuesta abierta5. Respuesta abierta6. Respuesta abiertaPágina 2137. a) traslación

b) simetrías o rotacionesc) traslaciónd) traslacióne) rotación o traslaciónf) traslación

Página 2148. Regular9. Semi regular10. No regularPágina 215

11. Pentágono12. Tapeos, táguos heágoos13. heágoo14. Triángulos y pentágonos15. Tasaó, otaó, eleó16. Semi regular; triángulos y pentágonos17. “e egua; táguos heágoos18. Respuesta abierta19. Refeó; espuesta aeta, tasaó20. Sí; respuesta abierta21. Un cuadrado22. Si se puede23. Ver cuaderno del estudiante24. Respuesta abierta25. No regular; Semi regular y regular26. 360°


Página 2171. Ver cuaderno del estudiante2. Aumentar 2; ver cuaderno del

estudiante3. Cuo gade puto a ote, C-

uo ho puto a ote; uogade puto a este, uo ho puto a este as suesaete.Ver cuaderno del estudiante

4. Un triángulo grande y tres pequeños.Ver cuaderno del estudiante

5. Retáguo+tad deehasombreada; rectángulo+mitadizquierda sombreada.

6. Se añade un cuadrado y un círculo aa igua. Ve uadeo de estudate

7. Catas ota e sedo otao deas aeas de eoj hasta egaa la posición original y así sucesiva-mente. Ver cuaderno del estudiante

8. Primer cuadrado con esquinaosua e a pate feo deehay segundo cuadrado con la esquinaoscura en la parte inferior izquier-

da. Ver cuaderno del estudiante9. Ver cuaderno del estudiante10. Ver cuaderno del estudiante11. Ver cuaderno del estudiante12. Sí; respuesta abierta13. Son cuadrados y en su interior se

alternan rombos y cuadrados dedstos ooes. Coezaa oun cuadrado y en su interior unrombo y así sucesivamente.

14. Tasaó a a deeha o zueday rotación en 180°

15. Respuesta abierta16. Sí 17. Rectángulo18. Triángulo19. APágina 218Grupo A1. Sí es posible. Ver cuaderno del

estudiante2. Ver cuaderno el estudiante

Grupo B1. Heágoo= ° dagoaes;

Octógono= 1 080° y 20 diagonales.Respuesta abierta

2. 2 u2 ; 6 u2 ; 12 u2 ; 20 u2 y 30 u2Página 220

1. Teselado regular2. Teselado3. No regular4. No regular5. Semi regular6. Cuadados; táguos heágoos7. Retáguos; táguos heágoos8. Cuadrados; triángulos; rectángulos

y paralelogramos

9. Se agregan 2, luego 6, 8, así (de a 4)10. Respuesta abiertaPágina 221

1. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante5. Respuesta abierta6. Respuesta abiertaPáginas 222 y 223

1. C2. C3. A4. $202 8005. C6. D7. B8. (1,6 · 2)· d9. C10. Respuesta abierta11. A

12. C13. B14. “, soo e a pea hoa a

haa eddo sádh

Capítulo 13

Página 2251. < recto2. < agudo3. < obtuso4. < agudo5. Rectángulo6. Triángulo7. Triángulo8. Cuadrado9. Triángulo10. Circunferencia


Página 228

1. 11 • 21=462 ; 5 • 21=210 ; 11 • 5=110.Área total = 782 cm2

2. 24 m23. 4,5 cm24. 8 16/25 cm2

5. 155,5 cm2 6. Respuesta abierta7. 158 m2

8. 150 cm2

9. 363,3 cm2

10. 115 3/4 m2 11. 1 350 m2 12. 73,513. 121 1/214. 15 00015. 352 cm2

16. 21 40017. Ver cuaderno18. Ver cuadernoPágina 229

19. 782 cm2

20. 483 300 m2

21. Calcular el área de un lado deluo = ·=. Luego u-plicar por las 6 caras de un cubo,676·6=4056 (cm2), eso necesitapaa uo. Paa loeos de u-bos necesita 5·4056=20280 (cm2).

22. Paralelogramos23. 63 m2

24. D25. 884 m2

Pode Mateáo1. 354 cm2


Página 2321. 3 750 cm3

2. 270 m3

3. 128 cm3

4. “e upa e ao de sus ados,

es de ago·aho·atua.

5. 1,024 cm3

6. 33 600 m3

7. 166 3/8 cm3

8. 12 cm9. 12,7 cm10. 5 cm11. 37,5 m3

12. 2 cmPágina 23313. Ver cuaderno del estudiante14. A= 13 1/2 m2 y V= 3 3/8 m3 ;

respuesta abierta15. 52 cm2.16. 6·5·3 no es 30, es 90.17. 17 es igual a un número aumentado en 918. A19. 3,85 ; 3,58 ; 3,508 ; 3,0820. BPode Mateáo1. Se reduciría el volumen, sería 36 cm3

2. Aumentaría el volumen, sería 1152 cm3

3. No cambiaría, seguiría siendo elvolumen 288 cm3

4. Respuesta abierta


Página 2361. Ver cuaderno del estudiante2. Hay 315 cm3 de diferencia3. Aumentaría el volumen4. 144 cm3

5. La diferencia es de 750 cm3

6. “aae eetos a ada azo7. 5 caras8. 100 cm3, respuesta abierta

Página 2379. La cuarta caja es 64 veces másgrande que la segunda

10. Sí 11. Respuesta abierta12. $ 1 83313. Sí 14. Roeto, Vaea, Maa Noás15. Respuesta abierta16. Sí 17. $ 2 500Página 238Grupo A1. 526 cm2

2. A= 103 cm2

3. 384 m2

4. A= 86,64 m2

5. A= 3 300 cm2

6. 20 mGrupo B1. V= 1 386 mm3

2. V= 216 m3

3. V= 74,214 cm3

4. Con A5. Con B8. 6 750 cm3

9. 750 cm3

Página 2401. Área total2. Volumen3. A= 907,74 cm2

4. A= 3 060 m2

5. A= 94 1/2 cm2

6. V= 62 712 mm3

7. V= 3 997,76 m3

8. V= 753,571 m3

9. 19 cm10. 70 cm11. 5 cm12. 12,375 m3

13. Med ago, aho ato utpa.Página 2411. Fig.1, V= 90 cm3; ig., V= 3.

Tee ees ás oue a ig.2. Fig.1, V= 343 cm3; ig., V=

744 cm3, ig., V= . Vaaumentando

3. Sí, si el lado aumenta n veces, elvolumen crece n3 veces.

Páginas 242 y 2431. D2. C3. A4. D5. C6. A7. D8. C9. A10. D11. A12. A13. C14. A

15. 7,4 km



SOLUCIONARIO 297

16. 43,5 cm17. V18. F19. V20. Respuesta abierta21. Área rectángulo 1= 105 cm2 y área

de triángulo 1= 52,5 cm2

Capítulo 14

Página 2491. $ 4002. Sí 3. Juo sepee4. $ 7005. Fútbol

6. Natación7. 4 personas8. 4 personas


Página 2511. Fasa o ee a azó2. En películas3. Tato hoes oo ujees o-

parten el gusto por los espectáculosen vivo

4. Tato hoes oo ujees o-parten el gusto por los espectáculosen vivo

5. Ver cuaderno del estudiante6. Contribución Colegio de padres7. Contribuciones privadas8. Con información de dos conjuntos

de datos y compararlos9. Gáio de eas


Página 2531. Ver cuaderno del estudiante2. 4 días3. , poue ha dos e os °4. 10°5. 166. (7 - 15) =87. Si, 158. Ver cuaderno del estudiante9. 9 años10. 1511. Aquella que puede usarse para mostrar

cuántas veces aparece la variable12. B


Página 2551. 8%2. 11/25

3. 12%4. 21%5. Respuesta abiertaPágina 2566. 1/57. Pintura azul, diluyente de pintura y

pintura blanca8. Respuesta abierta9. $ 80010. 69%11. Verdadero12. Respuesta abierta13. $ 1 72514. 9/1015. CPágina 2571. Ver cuaderno de estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiante

Capítulo 14·

Lección 4Página 258a. Temuco. 9°C.b. Arica, 6°C; Antofagasta, 7°C; Temuco,

°C; Chañaa, °C; Pueto Mo,°C. Aa, Atofagasta, Chañaa,Pueto Mo Teuo.

. Teuo Pueto Mo. Es d. Porque se comparan dos datos

Página 2591. Arica2. No, en Enero quiere 233. “aago4. Clásica con 10% ; Reggaeton con 4%

y jazz con 4%5. 3 veces o 12% más6. 30, respuesta abierta7. 1/258. Respuesta abierta


Página 2611. edios, espuesta aeta2. Ver cuaderno del estudiante

3. putos espeaete4. Respuesta abierta5. Ver cuaderno del estudiante6. ° °C espeaete7. 28°C8. En los 20°C9. edios10. edios11. Información de datos agrupados12. Ver cuaderno del estudiante, 6

eas de tas13. Ver cuaderno del estudiante14. BPágina 262Grupo A1.Grupo

30

25

20

1510

5

0 Viernes Sábado Domingo

Agua mineral Bebida de fantasía

2. DomingoGrupo B1. 30 días2. 6 díasGrupo C1. Alojamiento, Recreación y trans-

portes y otros2. Transporte, recreación y otros3. Recreación, transporte y comidaGrupo D1. Sí 2. Respuesta aeta, íjate e a esaa

y los intervalos

Grupo E1. 17 niños2. 4 niñosPágina 2641. Gáio de aas does2. Gáio de aas3. Gáio ua4. Ver cuaderno del estudiante5. Entre 2010 y 20116. Respuesta abierta7. “o úpos oues8. Po e po de aae9. , a aoa de os depostas

ee años10. Respuesta abierta11. Error es que suma las edades12. Respuesta abiertaPágina 2651. Ver cuaderno del estudiante2. Ver cuaderno del estudiante3. Ver cuaderno del estudiante4. Ver cuaderno del estudiantePágina 266 y 2671. B2. D3. B4. B5. C6. A7. C8. A

9. A10. C11. B12. A13. B14. B15. B16. B17. C

Capítulo 15

Página 2691. 1/42. 2/33. 3/5

4. 3/85. 3/46. 6/137. 6/258. 3/59. 5/810. 3/511. 13/3012. 5/613. 7/1314. 11/4015. 1/316. 0,6 ; 60%17. 0,125 ; 12,5%18. 0,9 ; 90%19. 0,75 ; 75%20. 0,35 ; 35%21. 0,56 ; 56%22. 0,25 ; 25%23. 0,28 ; 28%24. 0,8 ; 80%

25. 0,36 ; 36%26. 0,3 ; 30%27. 0,875 ; 87,5%28. 0,15 ; 15%29. 0,04 ; 4%30. 0,08 ; 8%31. Imposible32. Probable33. Seguro34. Improbable35. Imposible36. Seguro37. Improbable38. Imposible


Página 2711. 1 vez es probable que salga 5.2. 2 veces es probable que salga 5.3. 10 veces es probable que salga 5.4. 20 veces es probable que salga 5.

5. 120/6, la probabilidad de que salga5 al lanzar una vez el dado es 1/6. Silo lanzas 120 veces es 120/6.

6. 1/27. 1/28. 1/39. 1 vez es probable que salga sello.10. 5 veces es probable que salga sello.11. 50 veces es probable que salga sello.12. 1/213. 1/214. a. 1/4 b. Son 8 resultados posiblesPágina 27215. Ver tabla y cuaderno del estudiante16. Ver tabla y cuaderno del estudiante17. Ver tabla y cuaderno del estudiante18. Respuesta abierta19. Respuesta abierta20. Ver tabla y cuaderno del estudiante21. Ver tabla y cuaderno del estudiante22. Ver tabla y cuaderno del estudiante

23. Respuesta abierta24. Respuesta abierta25. 5/1226. 1/627. 1/428. 5/1229. 5/1230. Ver cuaderno del estudiante31. 16932. 15

33. Respuesta abierta34. Raza beaglePágina 2731. V2. V3. F

Lección 15-2

Página 2751. 6 resultados posibles2. Va a depender de los resultados

registrados en la tabla. 60 resultadosposibles.

3. Comenta respuesta posible: ayudaa organizar la información y contar

todos los resultados posibles.4. 8 resultados posibles5. 12 combinaciones posibles6. 12 combinaciones posibles7. No, s teeos uato ihas de

diferentes colores y 1 moneda, loseeetos so as uato ihas osresultados de las monedas (cara osello) y eso sería 8 resultados posibles;no se puede predecir qué sucederádespués.

8. Porque facilita el cálculo de todos losresultados posibles.

9. Ver cuaderno del estudiante.10. X = 1311. Hay 20 posibilidades de que salga

cara.12. Moneda de $10

C S

C C C C S

S S C S S M

o n e d a s d e $ 1 0 0

Página 276Páa adoaGrupo A1. 24 combinaciones posibles de

talleres. Ver dibujo en cuaderno delestudiante.

2. 27 combinaciones posibles.3. 12 combinaciones posibles.Grupo B4. 12,5%5. 50%6. 50%7. 1/68. 1/39. 1/210. 1/511. 20 veces12. 1/513. 15/20Página 278

1. Epeeto2. Diagrama de árbol3. Ver cuaderno del estudiante4. 40 veces5. 6/12 = 1/26. 5/127. 08. 5/129. 1/310. Sí 11. Respuesta abiertaPágina 280 y 2811. B2. D3. C4. B5. A6. C7. D8. A9. A

10. Televisor11. Reproductor de DVD12. Anillo de diamante13. Negra14. F15. V16. Ver cuaderno del estudiante17. 120 personas18. 1/1019. 1/5



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Doad e e pas de as ateáas

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Doad e e pas de as ateáas opeto audo

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