TRATADO ELEMENTAL

DB

TERMODINÁMICA, por

DON JOSÉ ECHEGARAY,

Ingeniero Jefe de Caminos, Canales y Puertos.

~~.~ o FP~f1ttN ~

MADRtD:

blPRBNTA DE Los Conocimientos útiles, Á CARGO DB !t'. ROIG,

calle del Árco de Santa Maria, número 39.

1.868.

TERMODINÁMICA..

ADVERTENCIA.

En la página 34 de este tratado se dejaron de insertar los números 60, 61 Y 62. El lector deberá cuidar de referir lo que sigue al lugar que le corresponde.

o. Las dos ecuaciones

T=Jl:Q,

y

-"JL-({t) - o,

expresan los dos principios fUlldamentales de la teoría moderna del calor; el primero, la trasfor­macion siempre proporcional del trabajo en calor, y de éste en aquél; el segundo, indica en cierto modo la ley de esta trasformacion; sin embargo, tanto como el primero es claro, natural, sencillo, es abstracto. oscnro é indirecto el segundo.

Toda cantidad de calor equivale á cierta canti ­dad de fuerza viva ó de trabajo; esta idea es tan natural como fácil de comprender.

Pero, ¿qué significa en cambio ~ (~) =o?

¿A qué propiedad nsica, mecánica ó térmica, que se pueda expresar en el lenguaje comun; que se vea traducida en hechos en la naturaleza, cor­responde esta expresion algebrAica?

Procuremos aclarar algun tanto esta materia. Fijémonos en el cuadrilátero fundamental de la

lig. 8, yen la fórmula sencilla del (N. 57).

O. o. {(tI) = ((lo)'

Ante todo, digamos, aunque anticipando las ideas, que las funciones f (t.) Yf (lo) 110 son más las temperatul'as absolutas t. y to' segun demostraré­mos más adelante; de suerte que la. fórmula ante­rior se reduce á esta otra:

o. Qot;""" = ---¡;,

que puede tambien ponerse bajo la forma

O, t. o;=-¡­

Ó bien 0.-00 ti-l.-O;-=-t-.­

y, asl e5crita, expresa una propiedad muy impor­tante.

O. - O. es la cantidad de calor que se convier­te en trabajo:

O. es la cantidad de calor que se toma del foco superior correspondiente al arco p. PI' Y por lo tanto, el primer miembro expresa la relacíon en­tre el calor convertido en trabajo, es decir, uti­lizado mecánicamente, y el cOl/sumido, y nos dice que dicha relacion sú/() depende de las tempera­turas absolutas t. y to de los dos focos, y que por lo tanto es independiente del cuadrilátero que es­cojamos entre las dos curvas p. P 2 YPo P~, y del cuerpo que empleamos como órgano de c01mmi­cacion.

Materialicemos áun más nuestras ideas. Supongamos que un cuerpo, Ó mejor dicho, un

punto representativo describe el cuadrilátero fun­damental de la fig. 8.' entre las curvas extremas de 3000 y O·; el segundo miembro de la expresion precedente se convertirá en

(300+274)-lOo+~U) _ 500 -05~' 300+27-l - 574 - ,-,

luégo

O. - O. = O,lS! • O.

Pero O. es el calor gastado, porque la curva

térmica de la 3000 es el foco de la máquina, y la de O- corre"ponde, por decirlo así, al condensa­dor; y toda cantidad de calor que sale del foco su­pone consumo de combustible. Por otra parle, O. - 00 es la cautidad de calor convertido en tra- I bajo; luego en el ejemplo que consideramos, de todo el calor consumido, sólo se aprovecha, y sólo puede aprovecharse, el 52 por 100. Éste el máxi­mo rendimiento de una máquina térmica que fun­ciona entre uu foco á 3000 Yun condensador á 00

,

prescindiendo de las pét;fiidas que naturalmente ocurren en todos los aparatos de este género.

Ahora bien, la ecuacion

o. - 00 _ calor utilizado = 0,52 -Q-.- - calor gastado

es independiente del cuerpo que se elija como medio de trasmision; sea éste el aire ó el vapQr, uno ti otro gas, siempre, teóricamente, la rela­cion es la misma; luego dicha ecuacion, ó aquella de que procede,

O. " ~=~

expresa una propiedad tan clara, tan inteligible, tan sencilla como la ecuacion

T=~Q:

él saber: que el calor utilizado ó convertido en trabnjo en cada cuadrilátero térmico, es decir, en cada evolucion, entre dos {ocas, á las tempe­ra/uras tI y to es independiente, teóricalllente, del cuerpo que se eh)"a, y el mismo para torlos ellos. Ilé aquí por qué á este segundo principio se le Ja el nombre de princljJio de igual rendi­miento.

61. La ecuacion

calor utilizado " -'0 calor consumido /,

demuestra además, que á igualdad de lus demas condiciones, esta relacion es tanto mayor, cuanto mayor sea la diferencia t, -lo entre la tempera­tura del foco y la del condensador; diferencia á IIlle comunmente se da el nombre de caida.

Podemos decir, pues, r:omo decia Carnot, que la fmccion de calor consumido qlle se convierte en trabajo mecánico es proporcional á la caida de temperaturas.

Vemos, pues, que asl como el primer ]Jrillc'jJio pone en evidencia la trasformacion del calor en trahajo, el segundo indica cómo y hasta qué punto se verifica dicha tr:,¡,sformacion. Fija este último un limite para la conversion del calor en trabajo, y reduce á sus naturales proporciones las

hipótesis gratuitas Ó exageradas que se habian he­cho sobre las máquinas térmicas, y sohre las ven­tajas de sustituir á unos cuerpos otros.

Importancia tiene la sustancia que sirva de ór­gano de trasmision, pero no la fundamental que se suponia, sino ventajas meramente de detalle.

62. Una máquina térmica no funciona como hemos supuesto en los números precedentes. El cuerpo que sirve de órgano de comunicacion del calor no describe el cuadrilátero tipo de la figu­ra 8.", sino una curva a b c d.. ... d' e' b' a (figu­ra 10"), más ó ménos complicada; ¿cómo podria­mos hacer extensivo á este caso el principio des­arrollado en los números 60 y 61 ?

Sin perjuicio de que m¡\s adelante tratarémas probablemente esta r:uestion, procurarémos dar. desde ahora, alguna idea sobre punto tan impor­tante.

La máquina, ó el cuerpo, funcionan entre las curvas A II Ym' edel cuadrilátero A Dem', pero no de'lcribe este cuad rilátero sino una curva ins­crita en él. A esta curva se le pllede sustituir una serie de cuadriláteros m b b' m', n c c' p', p el q' c' ..... del género del cuadrilátero tipo, y en cada uno de ellos tendrémos un rendimiento disi.into.

Representando por t' I la temperatura del arco 111 b, Yanálogamen­

te por t" .. t'" ,..... las de los arcos n c, p d..... : representando asimismo por

t'o, t"o, t"'o ..... las temperaturas rle los arcos inferiores m' b', p' e', e' q' ..... ; tendrérnos

calor utiliz~do en el cuatlrililtl'ro m /1 /1' m' /'1 - t 'o calor consumido en el arco m IJ = --,-,(-:

calor utilil.ldo en 1'1 clladrilfllero 11 C p'c' /".-1"0

calor conslIlnido en el arco 11 C = -1-·'-,-;

y el rendimiento medio será una cierta cantidad media de estos rendimientos parciales.

Notemos que el tipo de rendimiento del CUt dri­¡IV _1"

látero circunscrito AllCm', ó ea IV o , esI

" un limite superior del que corresponde á la máqui­na térmica representada por el contorno a be d... d' c' b' a.

En efecto, prolongando 105 cuadriláteros ele­mentales mbb'm', ..... hasta el cuadrilátero AB Cm', obtendrémos otros tantos cuaririláteros en­tre las temperaturas mú.xiLUa y m\nima de los ar­cos extremos; por ejemplo. al m b b' m' entre t'l y t'o corresponderá el AD]J' m' entre r y ,.,; al

1 ' " , ope q c el E r¡ q' e , y así sucesivamente. Ahora hien, estos últimos tienen mayor eaida

de temperaturas que las primeras; luégo su rendi­

mi{jnto, como vamos á demostrar, es mayor, y si clldil. uno de los tipos de rendimientos parciales es

tl"-t" menor que el tipo constante ~ es claro que

t, la cantidad media tambien será menor que ésta.

Comparemos, por ejemplo, los rendimientos de rnb b'm' y ADp'm' .

Tendrémos

"¡po del rendimiento en m b b' mi = 1'1 -1'°

1

/IV -l" tipo del ndimiento en A Dpi m' = _, 0

IVtI

y queremos demostrar que este último es superior al primero.

Si en aquel ponemos, en el Humerador y en el denominador, en vez de t/ la temperatura t't', que es mayor su valor, habrá aumentado puesto que es un quebrado propio, así:

IV IV t'I-('O t t<~tlo < I -t"o

ti, 1'­ (H t \

1 es Ilemr, reudm1Íento en m b b' mi < rendimiento en A Dp' m'.

Otro tanto demostraríamos en los demas cua­driláteros.

De aquí resulta este teorema, que dáuna idea bastante clara de la importancia del segundo prin­cipio:

Trazada la curva a b c d.. o'. d' c' b' a corres­pundiente ti U'la máquina térmica, si determina­mos el cuadrilátero fundamental A B em' cir­

i cunscrito, eltjpo de rendimiento de este cl~adri­látero será su Umite superior del correspond1°ente á la máql,illa.

Por ejemplo, el máximo rendimiento - máxi­nJO á que no se llegará ni teóricamente-de una máquina que funciona entre 300 y tOO, es

300-10 290 ~O + 274 = 574 = 8,!iO I Ó sea el 50 por tOO.

Jo ECHEGARAY.

TERlvfODINÁMICA.

CAPITULO PRIMERO.

Introduccion.

de dicba teoría de la que nos proponemos ocu_L .Dos ltipótesis hay para explicar los fe- I

parnos.nómenos caloríficos. Otras veces la accion del calor se manifiesta Segun la primera, el calor es una sustancia,

por la remocion de obstáculos, es decir, por un verdadero .flúido, que se distingue de la efectos mecánicos; en una palabra, por elmateria ponderable, aunque él mismo sea desarrollo más ó ménos grande de un trabajo,maleria, por cierlas propiedades, entre las

que se halla la de no estar sujeto á la ley de la En tales casos, el calor, no solo marcha, sino gravitacion. que se trasforma en efecto útil, venciendo re­

En la segunda hipótesis, el calor no es ya sistencias j y por este motivo algunos dan á la una sustancia, sino un accidente de la materia, nueva teoría el nombre de Trasforn14cion del y se supone que dicho accidente es el movi­ calor, mientras otros, atendiendo á que cuan­miento interno de las moléculas. do así obra es en rigor una fuerza, adoptan la

En lre ambas opiniones extremas, de las que denominacion de Teoria mecánica del calor ó la primera ha sido ya casi abandonada, mien­ la de Ternwdinámica. tras cada dia se extiende y afirma más la se­ Diremos, pues, en resúmen, que la Termo­gunda, bay, si así puede decirse, una escuela dinámica es la ciencia que trata de los efectos que estudia al calor en sus efectos, sin preten­ mecánicos del calor; y recíprocamente del ca­der penetrar su orígen, y que combinando el lor producido por los agentes mecánicos. método experimental con la aplicacion del Los fundadores de este nuevo órden de co­análisis matemático, ha creado la nueva cien­ nocimientos son Carnot, Mayer (Mayer sobre cia, ó la nueva rama de la Fisica, á que nos todo), Joule, Thomson, Rankine, Clausius y proponemos cons<Jgrar estos artículos. algunos otros; y el lector que quiera ampliar

No puede negarse, sin embargo, que más ha sido inspirada la Termodin(imica por las nue­vas teorías que por la antigua hipótesis, con la que son incompatibles sus principios funda­mentales.

2. Vamos á estudiar al calor en algunos de sus efectos, y estos son de dos clases: con­viene, pues, distinguir unos de otros. Se mue­ve el calor, si se nos permite esta manera de expresarnos, dentro de un mismo cuerpo; ó pasa de unos á otros cuando están en contac­to ; ó irradia en el espacio sal vando distancias. Pero en todos estos casos el calor se mueve, el fenómeno marcha, conservándose el mismo en su apariencia, y á este primer conjunto de he­chos, estudiados por Flourier, Poisson, Lamé y otl'os insignes matenláticos, se les ha dado el nembre de Teoría (mal/tica del calM'. No es

las nociones que presentemos en estos artícu­los, puede consultar principalmente las obras de Hirn, Combes, Saint-Robert, y las notables Memorias de Clausius, publicadas en el Jour­nal de Liowoille.

Antes de entrar en materia, recordaremos en este primer capítulo algunos principios fun­damentales de la Física.

5. Tempe1·at1t1'a. Sea el calor lo que fue­re, es algo: es decir 1 es cantidad: y cuando es· ta cantidad calor aumenta en un cuerpo, el volúrnen de dicho cuerpo, en general, aumen­ta tambien. De aquí se deriva la nocion de temjJe1·at1wa.

Elijamos pOI' término de cornparacion cierta masa de ail'e á presion constante, y sometí· masla á dos dislintos grados de calor.

1.o Al que corresponde al hielo fundente.

4

2: Al de la ebullicion del agua á la pre­sion barométrica de 0,m76.

El volúmen de esta masa de aire pasará de 1) á v', y á la cenlésima parte dc dicha difercn.

(V-V')cia --:wo- le daremos el nombre de grado

termométrico. El grado del term6metro de aire, corno el de otro cualquier termómetro análo­go que se elija. es un aumento de vol1tmen COI'­respondienle á una canlidad perfectamente de­terminada de calor.

Decimos dete1'minada, y no decimos conoci· da, porque todavía no sabemos cómo se mide el calor, ui h~ de creerse que á grados iguales ~e un termornetro corresponden ca ntidades Igualcs de calor j esto podrá ser ó podrá no

, ' ser, que mas adelante lo discutil'crnos, pero por el pronto no debernos afirmarlo. Y en efect~, no es evidente aprio1'i, que se necesite la misma cantidad de calor para dilatar un cuerpo ,1 grado, cuando su temperatura es de 1,°°, que para dilatarlo otro .t¡rado cuando es dicha ternperatura de 80"; Y aun más bien puede sosl~echarse lo contrario si se not<l, quc cuanto mas elevada sea la temperrtlJra ini­cial, tanto más quebrantados deben estar los lazos de la cohesioD, y tanto ménos trabajo c?sta,rá al caló~ico separar unos mismos.esp·a. CIOS a las molcculas del cuerpo sometido al expel'imeuto.

Consle, pues, que la tempe1'atura no es, 6 no debemos suponer que sea, proporcional al ca­lor, y que mientras no conozcamos una rela­cion exacta ontl'e las cantidades de calol' y los grados del I.crmómetl'o, no podrá este servir­nos como aparato de mcdida.

4. Si repl'csentamos por Q la cantidad de

representando por f la derivada dc./, y por ~ Q y ~ t los incrementos correspondientes, y suficientemente pequeños, de temperatura y calórico.

En todo inter\'alo en el cllal , como aproxi­macion, pueda admitirse la fÓl'll1ula (2), podr.l admitil'se tambien la pl'oporcionalidad entre Jos incrementos de calo?' y los incrementos de temperatU1'a; pero esto siempre como ley aproximada y panl pequeñas extensiones de t. Es decil', traducido lo que preceue al lengua­je vulgal', que próximarnellte se necesitar.í la misllla cantidad dc calor para hacer pasar á un cuerpo de :')0 á 4°, que para hacerle pasar de 4° á 5°; pel'o no podrelnos comparar tél'. minos muy distantes entl'e ~í eIl la escala ler­mométrica, ni poch'emos decir que P de au­mento .í partir de ce?'o supone la misma cllnti­dad de calor que l° á partir de 80".

5. Ya sabemos que pUI'a medir la tempe­ratura de un cuerpo se ponen en contacto tan , ' mtimo como sea posible, el cuerpo y el termó· metro, y cuando entre ambos hay equilibl'io de calórico, es decir, cuando ambos est.ín cn iguales condiciones, y pucde considel'arsc qu el termómetro forma parle del cuerpo, los grados que aquel marque dctel'lllillarán el es­tado calórico de este.

Pero como el termómetro aumenta su tem­peratura á expensas del calor del cuerpo, cla­ro es que al establecerse el equilibrio entre ambos, el cuerpo habr.l perdido ulla parte de su calórico, y que el quc lIJarllue cl lermóme­tro será algo mcnor que el que lenia el cuer­po anles dc verificarse la o[lcl'acion. Pal'a que esta sea suficientemente e.-<lcla, es preciso, pues, que la masa del tcrlllúmctro sea rJtlt;lj

pequeíia, compal'ada con la del cuerpo. calor de un cue¡'po, y por t su temperatura Sucede aquí una cosa parecida ;í la que se ya que Q no sea igual á t, ni aun pl'oporcio~

\'el'ilical'ia al medir la altura del agua en unnal, POI' lo menos, á i ualdad de todas las de. depósito pOI' la que tomase en un tubo comu· más condiciones, Q sCI'á fuocíon de tj dc suer­nicante j el procedimiento sel'ia cxact.o si laste que represenlando por f esta funcion des­dimensiones del depósito fuesen tan grandes,conocilla, tendl'emos respeclo al tubo, que la cantidad de agua quc

Q={(t) . .... (J) entrase en Poste y saliese de aquel no hiciera bajal' sensiblemcnte el nivel del agua; no loA Ill.ónos quc f no sea una funcion lineal, es seria en el caso contrario. deCIr. de la forma at + b, á incrementos igua­

Nos delenemos en estas, que son pequeñeces les de t no cOl'1'cspondel'án incrementos igua­si se quiere, no por la importancia práctica les de Q, pel'o en pcqueñas extcIIsiones dc la que puedan tencl', sino pal'a fijar las ideas ycurva I'epr'c::;entada por la ecuacion (1) podre­precisal' con toda exactitud la signilicacion dc mos sustituíl' tÍ dicIJa cuna la tanO'clIle v en

, lOt 1h' , J cada tl)rlllino túcnico que empleamos. a Ipotesis á la ecuacion :H1teriol' poJremos En l'esúrnen, la temperatura dete'i"mi¡¡.a elsustituir tambien esta otra

estado calol'ifico en quv se halla un cuerpo, ~Q=r(tpt; .... (í!) sin 7aedi?' la cantiuad de calor.

TER~IODI1'LÜnCA..

G. lIemos supueslo que para la construc­,jan dol termómetro se empleaba el aire; pero en rigor todo cuerpo bieí¿ definido puede ser­vir para medil' lenlpcl'aturas ; solo que, como no todos los cucrpos se dilatan dellniglllo mo­do, será preciso establecer relaciones entl'e unas y otras escalas.

Más aun: si el cambio de vol1ímen sirve para determinar el estauo calol'Ífico de un cuerpo, otros fenómenos hay que pueden utilizana~ pal'a el mismo oujeto; pOI' ejemplo, el cambio de presiono

Podria formal'se un termómetro consen'an­o una masa detel'lninada de ai7'e bajo volú­

men constante; midienuo su presion á la tem­pel'ulura del Ilielo fundente y :l la de la ebu­llicion, y dividienuo la escala de pl'esiones, comprendida entre amhos puntos, en 100 par­les iguales.

El gl'auo de este tel'lnómetro sel'Ía la centé­8ima parte del aumento dtl presioll de una lila· 8a de aÍl'c al pasar de UII estado calol'Ífieo ú Oll'O, perfectamente definidos ambos.

En el pl'lmer termómetro que hemos descrí­o, y al que podernos da!' el nOlllbl'e ue termó­

metro de ditatacioí¿, CADA GllADO ES UN YOLÚ­

MEN: en este último CADA GRADO ES UNA rUE­

SION; pero aquel volrímclI y esta presion cor­responden á cantidades dcterminadas de caló­rico, y caua temperatUI'a á un estado calorífi­co perfectamente definido.

Cuando decimos «estado calori/ico }Jerfecta­mente dqfinido;» «cantidad de calor perfecta­mente detlmnillada,» no queremos signil1car que conozcamos aquel ni este, sino que son estados y fenómenos que pueden ser r'eprouu· cidos y I'calir.ados en cualquier instan le , en cualquier Jugar, y por cualquier experimen­lador.

Son, por decil'lo así, plentos fijos de los que pueden pUI'til' todos los físicos, y á los que pueden refel'il'se todos los resultados de las cxpel'icneins.

7. U¡ddad de calo?'. El termómetro nada /lOS ensei'ia SOIJI'I:\ la cantidad de calor absoruj· da ó aI'l'ojada por un cuel'po que se calienta ó se enfl'Ía ; solo sir\'c para definimos un estado calorífico; y sin elJlbal'go se concibe que el calor, como toda cantidad, es susceptible de ser reducido ~i númcros.

Es evidente, por ejemplo, que el calOl' des­an'ollado por la cornuustion de ) kilógT. de I:al'/)on es la mitad del que despI'endcn en iMn­icas circunslancias 2 kilógr. del mismo com­

)JUstiblp, es la tercer'a parte del que engendran

3 kilógr" y la 'm. JI parle del quc 'In kilógr, des­anollan,

Para establecer relacinnes nUlJll~ricas entre dos cantidades de calórico, basta, pues, em­plear amIJas en pl'oducir efectos idénticos, cuya repeticion pueda ser\'imos de rnedi(la.

Pal'tiendo de este principio se ha escogido por U~IDAD DE CALOR el necesario para elevar 1 g?'ado de tempe¡'atlt1'et, tí pa1·tir del hielo flen­dente, 1 kilóg1'. de agua; y á esla r.antidad de calol' se le ha dado el nombre de calo?'üe.

El efecto que mide la cantidad de calor es siempre el mismo, á sahel' : aumento de 1 gra­do de temperatltra en 1 kitó,r¡r. de agl!a; y este efecto repetiuo una, UOS, tl'es... '1íl veces, de­termina y mide una, dos t?'es.,. m uniuades de calor.

Así, por ejemplo, cuando se dice que son ne­ces¡Hias 7n calol'Ías para fundir el hielo, se quiel'e significar que si el ealol' que se emplea en cOl1\'el'tir 1 kilógr, de hielo en 1 kilógr. dc agua ¡Í O", se emple<lse en calentar agua á O", esta canlidau de calor elevaria 7lJ kiJógr. de a~ua á la Lelnperatnra de 1 gTado,

Véase ahora cómo el termómetro no puede medil' directamente por su ~I'aduacion el ea­101' de un cuerpo: los difel'entes gl'ados del termómetro no son efectos iguales, porque va­rían Ilas circunstancias que el! cada 11110 de ellos concul'l'en.

El I.er gTado, á partil' de O", expresa UII dec­lo pel'fectalncnte definido: al(.},¡en{o de ''Co!-¡í¡n(''l/. de 1m cue?'jJo que está á ce?'o l/Nidos.

Pero el ~.o grado expresa Otl'O efeclo djslin­lo: un aumento de volúmen igual al antel'iÜI', pero no ell iguales circunstancias, puesto (Iue el cuerpo est~, no á 0°, sino <Í lO,

8. Relacion entre la p'resio71, el 'IJOZú?nCit y la ternpe1·atl/,ra. La expel'icncia dClIlupsll'a que lodos los cuerpos de la naturaleza, sean sólidos, líquidos ó gaseosos, vni'Íllu de \'olú­men cuando caI1Jbia la tempcI'alul'J, I(J pr'l'::dOTl Ó ambos elementos ti la vez, Puede aseg'urar'· se, por lo lanto, que entl'e el vol'lmcn v, la tempel'atuI'a t y la presioIl p de cada cuerpo, hay una relacion delerminaua, que escrita analíticamenle será

JJ = f (v, t), ó en general 'í' (p, v, tj = o. .. , . (1

Dados, plJes, para un cuerpo, su volúmcn, y su temperatur'a, la eeuacion (1) detcI'lIlina­I'ia Sil lwesion ~i la forma analítica de f fuese conocida.

La forma de dicha funcion ha sido dclel'mi­nada experimentalmente para los gases, parn

G TERMODINA~nCA,

los "apares y para los cambios de estado. Exa· minemos estos lres casos.

9. Gases, - Le.ves de llIa1'iotte y Gay­L1tssac.-l.° La ley dc :\I¡.II'iolle establece que cuando en un gas jJermane¡tte la tempe1'atura se conse1'va constante, los volúmenes 'M1'ian el/, 'razo¡/, i'i/,vC1'sa de las presiones. Así repre­sentando pOI' v y por v' dos volúmenes de una misma masa de gas, por ejemplo, i k , Ypor P y p' las presiones, tendl'C1I10S:

V pi . - = -,óLlen v p= v' 1>' ....• (2).v' p

~: Segun la ley de Gay-l.ussac, cuando en 1tn gas la presio?/' permanece cO¡tsüente, y la teí¡/,peratu1'ct va1'ia, el voZúmen recibe incre­mentos ig1tales pa1'a incre1nentos iguales de teínpe1'at1tra, Así representando por V el vo­o lúmen inicial, es decir á OQ, Y por ~ el coefi­ciente de dilatacion, ó sea la fraccion de volú­men en que aumenta el cuerpo pOI' cada gra­do de temperatura, tend¡'emos para la tempe­ratura t: v = V o -+- V o ~ t. ó bien v = V o (t -+- Gl t) •• , .• (3)

Observemos ahOl'a que si un cuerpo consel'· va la misma presion p en todos sus cambios de estado, y pasa de la tempcratura t á la ti, sus volúmenes 'V y '/J' satisfarán, segun la rela· cion (5), á las ecuaciones

v = V o (1 -+- 'X t) Vi = V o ('1 -+- 'X ti)

en las que 'V o expresa el volúmen que tendria este cuerpo á 0° con la misma presion p.

De estas ecuaciones se deduce por último,

v t -+- '1 t -=-- .... , (3')v' i -+- '1 t'

que es la verdadera relacion entre los volúme­nes y las temperaturas á presion constante.

5.° Fácil es ahora deducir de las dos leyes parciales, reprcsen tadas en las ecuacioncs (2) y (3'), la fórmula general entre v, p y t.

Imaginemos que un cuerpo pasa del volú­men v I la presion p y la temperatura t á otro volúlllen 'v', otra presion p', y otra temperatu­ra t'; y supongamos un estado intermedio de este cuerpo con la presion p' y la temperatu­ra t, á cuyos uos valores corresponderá cierto volúrncl1 v,. Tenorcmos pucs

jW1,Jner estado, .. '/J . • p. . t.. (4) estado inte1'medio, V, . ••• pi, . t" (5)

ponden á un mismo cuerpo á temperatura constante, tendremos, segun la ley de Ma­riolle,

v l' = v, p' • •• , , (7)

Entre las (5) y (6), que corresponden á prc­sion constan le, segun la ley de Gay-Lussac, tendl'emos asimismo

I -+- '1 t ___ ; .. , .. (8) v' I -+- Gl t'

y eliminando la incógnita auxiliar v,, hallare­mas por último

v P J -+- 'X t P V pi v' -- - ----, ó bien = ---­V· pi t+Glt' 1-+-cxt- t -+- 'X ti

Como para todos los estados p", v", t"; pi", ?J"', 1"', .• , . por donde pase el cuerpo, siem· pre tendremos

v p pi v' p" V" p'" V'" ---= - =...

-+- '1 t

. . . , = constan te ,

resulta que representando por R' este valor constante del segundo miembro, valor distinl (l para cada gas, la relacion buscada tenurá la forma

7) v --- = R', ó bien p 11 = R' (1 -+- ti t). 1 -+-;( t

~acando '1 factor cOll1un y rppresenlanclo, para dar á esta expresion la forl1la ordinaria,

f por R el producto R' '1, Ypor a el clIociente-,

?

hallaremos por último,

p v = R (a -+- t), .... (5)

lO, En la fórmula (9) solo entran dos cons· tan tes: <Í saher, (l y R. La pl'illlcra es conoci· da, y es la misma próximamente para todos los gases: suponicndo que el punto de parlida es el ce1'0 del terlllÓll1etl'o, puede adlllilil'~e pal'a el coeficiente de dilaLacion de cualquier gas,

a=--, 274

y por consiguiente, tendremos 1

a = - = 274. 'X

La fÓl'Illula (!J) se cUlJ"iel'lc en ('stndo final . .... '/J'. • , • p'. . t', . (ti)' ]) v = l{ (27. -+- t) . • , .• (9')

Entre' las cantidadcs '1) yrii, que corres- La constantr. R varía de uno á otl'O gas,

TER1\IODIX_-ünc.\. 7

pero una sola expeJ'iencia que dé valol'es si­multáneos de p, v y t, basta para determi­narla.

Notcmos, sin embargo, para evita.' con­fusion, que el valor de dicha constante de­pende del volúmen, ó de la masa inicial de gas, que consideremos, puesto quc su valor es

p' v' R = --- !JI Y este valor varia proporcio­

1 -+-:l L'

nalmente á v'. Es decir, que al aplicar la fór­mula (9') debemos espcciflcar el volúlllcn, la masa, el peso, ó en gener'al la cantidad de ,r¡as á que se aplica, porque segun sea, así obten­dremos valores distintos para R.

Generalmente se supone que la cantidad de gas es la contenida en Ik de peso.

Tomemos para t el valor particular t = 0°; y supongamos que se considera 1k de aire á la presion de O,Dl76, á 45° de latitud y al nivel del mar.

Representando por Ti: el peso específico del aire en estas condiciones, es claro que el vo­lúmen que ocupe 1k será su peso dividido por 7':: es decir,

1k v=­

Ti:

Por otra parte, si designamos por P el peso del metro cúbico de mercurio, la altura 0, 01 76 representará una presion

p= O,m'76X P.

Deberemos sustituir, pues, en la fórmula (9'), para deducir el valor de R,

t t = 0°; ti = - ; p = 0,76 X P,

7t

y resultará

P 0,76 - = R X 274 ;

'lt

pero se ha obtenido esperimentalmente que la P

relacion - en tre los pesos específicos del mer-T.:

curio y del ail'c en las condiciones referidas (presion, 0, 01 76: latitud, 45°: altitud, o: tempe­ratura, 0°) e

p -= 10 5t7,3;

T.

uego hallaremo

0,7G X tO 5i7,3-----_. = 2U,172.274

Para un gas cualquiera, suponiendo siem­pre t = (), y designando por /¿ la altura de Inercul'io representativa dc la presion, y por ,::' la densidad, tendríamos

h P R= -­

2i4 '::,

de suerte que, á ~r¡ttaldad de las demas condi­ciones, n varía en razon im'ersa del peso espe­cífico.

11. Si en la fórmula

1) V = n (2i4 -+- L)

contamos la ternperat~:ra, no desde el cero que corl'esponde al hielo fundente, sino desde - 274°, la nueva temperatura será precisa­mente 274 -+- t, Y pal'a este nuera cero tendre. mas la fórmula

11 ti = R t.

Esta será la forma bajo la cual la empleare­mos constantemente, designándola á veces para aure\'iat' con el nombre de ecuacio1¿ de elasticidad del gas; pero recuérdese que la temperatura no se cuenta desde el punto de fusion del hielo, sino desdc un nuevo cero, más bajo que el primitivo en tantos grados como unidade~ expresa el coeficiente inverso

de dilatacion ( ~ = 2'74)'

Para distinguir la nueva temperatura así definida de la temperatura ordinaria, la desig­naremos con el nombre de temperatura abso­luta, y á su punto de partida con el nombre de cero absoluto.

Más adelante veremos la razon de estas de­nominaciones; por el pronto solo deben consi­derarse como medios de simplificar las fórmu­las ó la explicacion.

12. Cambios de estado.-La relacion gene­ral1' (p, 'V, t) = o entre la presion, el yolúmen y la temperatUl'a de cualquier cuerpo, toma una fOl'ma particular en los cambios de estado, ya pase el cuerpo de líquido á vapor, ya de só­lido á líquido.

Examinemos ambos casos. 1.0 Paso de liqttido á vapor. Imaginemos

una masa determinada de líquido, por ejem­plo, l k de agua, dentro de una capacidad cer­rada, cuyo volúmen podamos variar segun nos convenga. Tal seria un CIlindro ccnado por un émbolo que ajustase perfectamente con las paredes.

Supongamos además que estc conjunto s

8 TER~[OD1 J,\.MIC.\..

conserva á una tem]Je7'atu?'a eonsta1lfe en toda la sérje ¡Jc experjencins que vamos á descl'ibil'.

Si el élllUO:O, que suponemos inicialmente en contacto con el líquido, se separa de él, y L1eja cicI'to espacio libre, una pal'l,c del agua se reducirá <Í \'''por y llenal'¡.Í dicho espacio j y <Í lTlcL1ida que el élllboto continúe elevándose, nue\'ns por'ciones de líquido se eva po l'O:Jr(í n, pero sielllpl'e la }J'res'¿on de esta atmósfem .r¡a­seosa será la ?tÚS1JUl, ?J solo dependerá de la temJ)~?'at1t1'a eOJlsta11 te ti que se 'conserve el sis­tema.

Así es que si 11escondemos el émbolo redu­ciendo el espacio que entro él y el líquido me­dia, una parte dol vapor se liquidará, y la pre­siolJ no habrá v3riado.

En resúmen, mientras el vapor está en con­lacto con el líquido que lo engendra, de la re­lacion entre el \'olúmen, la prcsion y la tempo­raturn, drs;¡pnrece el primero de estos ele­mentos, y solo quedan los dos líllimos.

Tendr'elllos, pues, para este kilógramo de ngua, mientras todo él no se reduzca á vapor,

p = F (1)...•. (1)

Dedúcese de aquí que otro tanto podemos decir del peso espeeífico del vapor, y que en­tre ('ste peso -;: y la temperatura existirá una rclacion análoga á la ameriOI'j

T. = ~ (t).

Traducido esto al lenguaje comun, significa que mientras el vapor esUí en contacto con el líquido que lo origina, su presion solo depende de la temperatura tí que se forma, y no del vo­lúmen que ocupa. Tollo aumento de vohímen dá orígen á un nuevo desprendimiento de va­por, pero no disminuye la fuerza elástica del conjunto: toda disminucion de volúmen con­densa una parte del vapor ya formado, pero tampoco aumenta su presiono En cada cuerpo, á cada temperatura, corresponde una pl'esion fija, dctcI'minnda, invariable: conocer la tem­peratura á que se forma el vapor, es conocer la presion con que se desprende, y recíproca­mente conocer su presion es conocer la tempe­ratur" ,í que se forma.

Las experiencias sohre tensiones de los va­pores consliLuyen, pues, tablas sencillas: en la primera cotumna se consignan las temperatu­ras, en la segunda las tensiones j y otro tanto puede decirse de los cuadros relativos tí densi­dades ó pesos específicos. Esta relacion entre las temperaturas y las fuerzas elásticas de los v pares dc diferentes sustancias ha sido objeto

de numerosas sél'les L1e experiencias, de las qne las Ill{.s moL1ernas y las Ill,ís completa~

son las dl'lJil1as ¡í l\[r. Hegnaull, y se hallan consi~nad¡¡s en todos los ll'alados de Físi{;a.

I'cro 110 basta expresar elllpÍl'icamente la ley que enlaza las tensiones y las temperaturas, PS preciso ndenHís reducir él fó 1'111 1I las estos re­sullados: ó dicho de otro nlOdo. sustilujr tÍ \.a­lJlas nUllléricas fórl11ul:.ls analiticas. Solo qur, COIIIO la teOl'ía lIlatelll<Ítica del calol' no esl::í lJastanle adelantada para deducir dichas fól'­mulas a }J1'iori, su fOI'ma es desconocida, y no queda úll'o l'ecll1'SO que proceder por tan leos, viendo CUííl se acomoda mejor tÍ la ley de las curvas que gl'álicarnente exp"esan estas rela­ciones.

Las formas principales son las siguientes:

La de YOllng. . p = (a +- b t)m. m' t +- n' mt+- n

La de Rache. . jJ = a. 10.

La de Diot.. . lag. p = a +- b '7. t

+- e ~t. (YI~ase la Física de Jamin.)

y por úllill1o, B C

la de fiankine. lag. p = A - - - -. t 2t

(Véase la Termodinámica de Saint-Hobert.)

En todas ellas jJ expresa la prcsion, t la temperatura 3bsoluta y a, b, e, 1J1., 11" m', n', '7., ~, A, B, e son constantes que depcnden de la naturaleza del cuerpo.

U¡. Desde que todo el kilógramo L1e agua se reduce [1 vapor, el vo!úrnen entra de nue\'o eu juego, por decirlo así, y si continúa aumen­tanL1o, disminuye la presion, obedeciendo pl'Ó­ximamente á la ley de los gases permanentes, expresada por la fórmula

p v = R t.

Así, pues, la fuerza elástica del vapor es in­dependiente del volúrnen, mientras el vapor está en cOUlaeto con el líquido de que proeedej pero á pal'lir del inSlante en que so ha evapo­rado por completo, varía con el volúmen lo mismo que otro gas cualquiera: aumenta cuan· do aquel disminuye, y disminuye cuando el volúmen aumenta, siempre en la hipótesis de una temperatura constante.

14. Debemos distinguir, segun lo dicho, dos estados en el vapor:

P'rime1' estado. Cuando se halla en contac­to con el líquido de que procede, y de él puede sacar nuevas cantidades de vapor, ó puede de·

TERMODIN.'\)[ICA. 9

volvcrle las quc se liquidan. En este caso se dice que el vapor est.á satm'arlo, ó que sc h<llla en el máximum dc satm'acion, ó t.ambien que es vajJor almria;imwm de tension.

Todas estas dcnominaciones son cxactas. Puede dccirse con verdad que el vapor, ó

aun mcjor, cl espacio en que sc halla, está sa­turado, porque en cuanto se trata de condcn­sal' dicho vapor, disminuyendo á cst.e efecto el volúmen, una parte se liquida. El cspacio en que el vapor está encerrado contiene, pues, to­do el que puede contencr ti la t.emperatUI'a lija q lle se considel'a.

Es exacta tambien la denorninaeion de va­por al mró;illl·1l'm de tension, puesto que, cuan­do para aumcntal' esta se reduce su volúrnen, deja de ser vapor y se convierte en líquido; al paso que aumentando ll1<lS y más cl espacio, hasta que todo ellíquiuo se evapore, y conti ­nuando aún la expansion, puede obtenel'se vapor á menores tensioncs. Es decir, que para cada tempcratura t hay una tcnsion rnáxima en los vaporcs, y es la deducida de la fóm1l11a p =/(t),

8egwndo estado. Cuando el vapor no se ha­lla en con tacto con el líquido dr q llC proccdc, y su presion es inferiol' á la máxima. En este caso ohedecen próximamentc los vaporcs á la ley genMal de los gases, p v = R t; si bien este punto ofrece todavía algunas dudas que convendria aclarar.

Para abreviar la explicacion llamemos ~í los vaporcs en este último cstado vapores aisla­dos, indicando así que no cstán en contaeto con el líquido de que proceden.

15. Dos medios hay de hacer que pase un vapor de aislado á satm'ado.

1." Conservando constante la temperat1wa t o á que se halla, y comjJ?'imidndolo hasta que alcance su tension máxima po : po Y t osatisfa­ciendo á la fórmula jJo = f (to)'

2." lJisrnintli?' Sll temperat1wa, sin cambiar la presion Po, hasta llegar á la temperatura t o que corresponde á la presion máxima po: las cantidades jJo y t o satisfaciendo aun á la fór­mula po = f (to)'

Recíprocamente todo vapor aislado puede considerarse que procede de vapor satU?'ado, por una de estas operaciones.

J.a Conservando consLante la temperatura tu y disminuyendo la presion Po hasta que se rvapore todo ellíquiclo.

2. a Conservnndo la misma presion p" y au­\!H'ntando la temperatura hasla que la nue­va sea ig'ual á la de quc se deduciria de p =

/ (t) para t = too Por este motivo clan los fl'an­ce8es, á lo que hemos llamado vapm' aisl(ldo, el nombre grá nco de vapor s1trclta1ff/de, es de­Cil', recalentado.

En Física se haccn experiencias sumamente claras y sencillas que ponen de manifirsto los distintos cal'actéres de los vapores, ya se ha­llen en lIno ya en otro estado; prro la Índole especial de estos arlÍculos nos impide entrar en más ámplios detalles.

Por último, conviene no echar en olvido que los vapores, al ménos cuando se hallan á cier­ta distancia de su punto de liquidacion, son verdaderos gases, como los gases 'permanen­Les son vel'daderos vapores.

16. Paso de sólido á liq1lido. El paso de lIn cuerpo del estado sólido al estado líquido dá oT'Ígen el fenómenos análogos en un todo á los de la evapor<lüioIl. Cuando la ]J7'esion es cons­tante, la temperat.ura el que un cuerpo sólido 8e funde es ellnstante tambipn desde que el cuerpo cornienza á fundirse hasta que conclIl' ye la fusion (claro es que Imponemos siempre el mismo cuerpo sin alteracion química ó física en sus clementos), lo cual nos prueba que la I'elacion entre p y t el' independiente del volú­men, y que en este caso, eomo en el de la eva­pOI'acion, 11 la fÓl'mula 9 (p, .1), t) = o debemos sustituir esta otl'a

P=/. (t). Podriamos, como en los vapores, distinguir en los líquidos dos estados: Ó el de líquido satu­rado, es decir, en contacto con el sólido de cuya fusion procede, ó el dc líquido aislado y obedeciendo á las leyes generales de estos cuero pos. El primero, en general, se solidifica par­eialmente por el menol' aumento de presion, ó por el menor descenso de temperatura. El se­gundo puede sufrir aumentos de presion y descensos de temperatura sin solidificar8e,

Para cada presion existe pues una tempera­tura úniea de saturacion, ó como se elice co­munmente, de fusiono

17. Res'/Ímen. 1.0 Para los cuerpos sól i­dos cxiste una relacion general, aunque toda­vía no está bien estudiada, entre los tres ele­mentos ya indicados: presion, vol úmen, temo pCI'atul'a: así

cuerpos sólidos.. ,. p =/(1), t) . ... (1).

2. 0 Al pasar de sólidos á líquidos la fórmu­la ( 1) se trasforma: el volúmen desaparcce y queda

F1lsion, . ... P =/(1) . .... (2).

2

10 TERMODIN.ünCA.

3.° Al pasar al estado líquido vuel\'eá in­fluir el volúmen y aparece otra relacion, que tampoco es bien conocida, entre p, v, t; ten· dremos pucs cuerpos líquidos. ... p = f. (v, t) . ... (5).

4.° En el cam bio de estado por evapo['acion solo la presion y la temperatura aparecen en­lazadas, y resultad en general

E'vajJ01·acion • ••• p = f. (t) . ... (4), ó segun Rankine

B e log-. p = A - - - - ••••• (-1').

& ['

;:;.0 Por último, cuando todo el líquido se ha convertido en vapor, este puede conside­rarse como gas permanente. y se le aplica la fórmula general demostrada en el núm. 11. Así:

Va}J01'es aislados ógases . .. p v = R t • .. (5).

18. Ejemplo: Oambios de estado del af/1ta. La figura 1.' expresa gráficamente la ley que enlaza :í las tres variables p, v, t en los dife­rentes cambios que sufre el agua.

Consideremos Ires ejes coordenados O t, Op, O v, sobre los cuales contaremos las tres va­riables de que se trata: es decir. que sobre O t contaremos las temperaturas absolutas: sobre Op las presiones en kilógramos por metro cua­tirado; y sobre O v los volúmenes que ocu­pa 1k de agua: suponemos además que los pla­nos 1) O t Y t O jJ se aplican sobre el papel se­gun el método genel'al de la Geometría des­criptiva: así puede decirse Q'le O t es la línea de tierra.

En rigor las relaciones (1) (2) (3) (4') Y (5) de­terminan una superficie cuyas tres coordena­Jas scránp, v, tj Ó mejor dicho, un conjunto de cinco superficies que mútuamente se limi­ladn : ¡í saber:

p=f(v.t)jp=f(t)jp=f.(v.t)j

B e lo"', p = A - - - -; p v = R t .

., & t2

La]YJ'imerap =f(v, t) esuna superficiecu­ya forma todavía no conocernos, y que se apli­ca al hielo, es decir, al agua en estauo sólido.

La sef/unda jJ = f (t) tampoco nos es cono­cida, pero representa una superficie cilíndrica cuyas generatrices son paralelas al eje de las 'v, y cuya traza tiene pOI' ceuacion sohre el pla­no pO t la misma relacion p = f (t). Dieha traza suponemos que es en la figl1l'a c' c"; y e II sorá la proyeccion vertical de la generatriz que pasa por c'.

La tm'cera p = f. (v, t) tampoco está bicn estudiada, pero no es ya cilíndrica, puesto que contiene v. Su proyeccion horizontal cstá com­p['endida entre c-' c" y e' e".

B e La cuarta log. p = A - - - -represen.

t t' ta otra superl1eie cilíndrica cuya traza sobre p O t suponemos que es e' e", y de la cual una generatriz se proyecta en E F Y e'.

La quinta p v = R t representa un parabo­loide hiperbólico.

Si para formarnos idea de esta superficie. ó de este conjunto de superficies, cortamos el sistema por un plano A' G' paralelo al t O Vj es decir, si suponemos que la presion p = O A' es constante é igual, por ejemplo, á 0, 11I 76, tcn­dl'emos para las diferentes partes de la in ter­seecion las eeuacionos siguientes:

Para AD (hielo) ..... 0,7G=f{v, t) la línea representada por esla relaeion en· tre v y t difiere poco de la línea ['ccla.

Para D e (rusion) .... t = constantc = 274": D e es una paralela al eje dc las v, lo cual significa que mientras p sea constante, t lo sOl'á tambien.

En D, correspondiente á.. t = 274 + 4 = 278°, se halla el mínimum de volúmeu, puesto que sabemos que á 4° sobre cero oorres­pondo cl máximum de densidad.

Para D E (agua liquida).... 0,76 = f. (1), t): tampoco difiere mucho de la linea recta dicha funeion.

Para E F (vapori7.acion)... t=274+100=374: E F es uua pal'alela al eje de las 1), 10 que significa que, mientras dura la eyapora­cíon, la tempe['atura es constante si la pre­sion lo es. El agua aumenta de volúmen desde e E (\'olúmen del agua líquida á

TERMODINÁMICA. 11

100°) á e F (volúmen de este mismo kiló­gramo de agua reducido á vapor).

o RFmalmente, para F G..... v = - t

P representa próximamente una linea recta, á saber: una generatriz del paraboloide.

Para otra presion, es decir, para otro valor de p, p = O A", rcsulLa una segunda curva análoga á la A II e D E F G: las partes verti­cales II e y E F se sepa¡'an cada vez más, á me­dida que p aumcnta, alejándose E F del orí­gcn, al paso que CII se aproxima. Este carác­ter del agua y de todos los líquidos que al con­g'elarse aumentan dc volúmen, está exprcsado en la figul'u por el sentido en que se inclinan las curvas c' c", e' e".

19. 016e1'jJos q11e dismin16yen de vol1tmen al congelarse. Hepitiendo para los CUCI'pOS cuyo volúmen disminuye al pasar de líquidos á só­lidos las cOJlsideracioncs anteriores, obtendre· mas la fig. 2.:l

01

III

~

J> :a \, I

f '~ P'S\ Y"J.' C1"

, En la linea AB. . . . E F la ordenada v cre­

ce constantemente con la temperatura, )' ade­más la curva 1/ bU se inclina hácia la derecha en vcz de inclinarse á la izquierda como en la fig. 1.:1

Tales son las diferencias esenciales entre los cuerpos que al solidificarse aumentan de volú· men, )' los que, por el contrario, se contl'aen al cambiar de estado, pasando de líquidos á sóli­dos; pero en todos los casos la superficie que representa geométricamente la ley de dila­tabilidad y elasticidad, 9 (p, v, t) = O, se compone dc cinco partes distintas; prcsenta, por decirlo así, dos escalones correspondientes á los cambios de estado; y para temperaturas suficientemente elevadas se confunde con un paraboloide hiperbólico. Además, como la pre­sion nunca puede ser negativa, ni tampoco el 1Jol1íme1~, toda la superficie estará situada de­lante del plano de las ti t, )' será superior al de las t p: finalmente, como todo induce á creer

que á la presion cero corresponde la tempera­tura t = 0°, es decir, el cero absoluto, dicha su­perficie no podrá pasar á la izquierda del pla­no ti p, Ycortará á este segun el eje o ti.

Sin embargo, la verdad es quc para temo peraturas y presiones superiores ó inferio· res á ciertos límitns, la ley cxpresada por 'í' (p, v, t) = O es de todo punto desconocida.

20. Trabajo P'í'Od1tcido P01' la expansion de 1m cuerpo.-Como la determinacion del traba­jo producido pOI' la expansion de un cuerpo, ó del empleado en su comprcsion, son pl'oblemas quc se presentan frecuentemente en la teoría mccánica del calor, conviene dar desde luego, )' de una vez para todas, la solucion de dichas cuestiones.

Concibamos que un cuerpo de volúmcn v, y tCl'minado por una superficic cualquiera, se dilata, ejerciendo en todos los puntos de dicha superficic una presion normal. Designemos por d a un elemento de la supedicie en un mo­mento cualquiera; y por p la prcsion por me· tro cuadrado sobre este elemento: la presion total sobre d a será

pda:

el punto de aplicacion de la fuerza puede su­ponerse que es uno cualquiera de los de da, pOI' ejemplo, su centro de gravedad, y su di­reccion será la de la normal á la superficie en dicho punto.

Si repl'esentamos por d r la longitud inter­ceptada sobre esta normal por la superficie en dos estados consecutivos, el trabajo infinita­mente pequeño desarrollado en este tiempo será

}J. da. d 1';

tcndrá el signo + cuando d r esté engendrado dc dentro á fuera, y cl signo - en el caso con­trario.

El trabajo tolal, durante el mismo tiempo infinitamente pequcño, desarrollado por todas las presiones que se ejercen sobre la supel'ficie, sel'á la integral de dicho elemento p. da. d '1',

es decir, la suma infinita de todos estos ele· mentas para todos los puntos de la supcrficie que termina el cuerpo ¡ lo cual se expresa por

j'p. da. d r¡

y si suponemos p constante

pj'd a. dr.

Pero da. d r es el volúmen infinitamente pe· queño comprendido: 1.0, por la superficie en el instanle t¡ 2.°, por la nueva po~icion de la

12

superficie en el instante t + d t; 5.°, por la suo/la ley segun la que varía la presion en fun­perflcie casi cilíndrica formada por todas las cion del volúmen, y de los valores inicial y normales levantadas en el contorno de da; y final de este. por consiguiente Representando por

Jd a. d r

seflÍ el incremento, ó mejor dicho la variacion del volúmen total. Así

J da. d r = d v.

El elemento da. d r de volúmen será positivo ó negativo segun el sentido en que crezca d r, lo cual coincide con la manera de medir el trabajo: representan no por T este trabajo ten­dremos

dT=pdv;

de donde

T=Jpdv.

Este resultado demuestra que el trabajo total producido por la espansion del cuerpo no de­pende, ni de la forma de la superficie, ni de Sil movimiento en el espacio, sino lÍnieamcnte de

p =f(v)

el valor de la presion en funcion de v. y pOI' '1'0 y v, los valores estremos del vo!úmcn, el trabajo tolal será

ó

si p fuese constante. Hemos seguido en la expOStCIOn de estos

principios fundamentales el1nétodo de 1\1. Saint­Robert en su escelente obra sobre la Termo­dinámica, aunque con algunas aclaraciones y desarrollos.

CAPÍTULO 11.

Principios fundamentale .

21. lIemos dicho (N° 8) que entre el volú. men v de un cuerpo, su presion p, y su tem­peratura t existe en general cierta relacion ':' (p, v, t) = o, de la cual, dados los valores de dos de las tres cantidades que en ella entran, se deduce el de la tercera. Podemos tomar como variables independientes v y p, ó v y t. ó por último, t y p; pero siempre resultará que dos de estas cantidades determinan el es­tado del cuerpo; dadas, por ejemplo, v y t, llueda determinada la presion, y la cantidad de calor que el cuerpo contiene.

Puede decirse en general que todos ó casi todos los problemas de la Termodinámica con· sisten en deternJinar en cada caso los diferen­les elem ntos desconocidos en funcion de las dos variables independientes que se elijan en­tre lo tre8 grupos ya indicados.

22. Cuando á un cuerpo, qlle se halla en un estado térmico definido por p y 'V I por cjern­

plo, y por lo tanto por t, J} I '/i, lo ella expl' • saremos en esta forma (p, v) ó (P, t', t), se le agregan ó se le quitan, segun cierta ley eon­tÍnua ó discontínua, eantidades sucesivas de calor Q, Q'. Q".••. su estado de equilibrio t;C

altera: vat'íau en general su volúmen, su pre­sion y su temperatura, yal cambiar de volú­men engendra (;\lo 20) cierta canlidad de trabajo externo. Hé aquí un elelllellto más que encon­traremos en todas las cuestiones de Termodi­námica, y quc ser.l, en la mayor partc de los casos, el que más nos int.erese. lIemos dicho que al cambiar el cuerpo do volúrnen, pOI' efecto de las canticlades de calor que recibe ó que pierde, desarrolla cierto trabajo, á que he­mos dado el nombre de trabajo externo, yesla defl( minacion es nee sada para distinguir el que desarrolla en su superlicie, del inte¡'¡w y molecular quc en toda su masa se efectúa.

Hccípl'oeameu e, si sometemos :.í un cuerpo

TER7\IODI~ .\MICA . 13

lÍ presiones ó espansiones sucesivas segun cier­ta le)', cambial'ú su volúmen, su presion, su temperatura, la cantidad de calor que contie­ne, y aun se desarrollará en el interior de su masa cierto trabajo molecular,

¿Cómo están enlazadas entre sí todas estas cantidades? Hé aquí el problema más general ue la Termodinámica. Debemos, pues, buscar I'elaciones analíticas entre los siguientes ele­11I en tos: p7'esion; vo!1tm,cn: temperat1tra; can­tidad de calo?'; trabajo (',xtenw y trabajo in­te7'7W; pero como sucede casi siempre, las cuestiones difíciles y los problemas complica­dos de esta teoría se reducen á otros más sen. cilios, y en último análisis á cierto número de casos particulares, y de estos deberemos ocu­parnos ante todo.

23. Con sel' en extremo sencilla la llueva teoría del calor, la exposicion que ue ella se hace en la mayor parte de las obras especiales que se ocupan de esta materia es tirida y com­plicada: los problemas se resuelven, es ciel'to; pero se resuelven, por decirlo así, sin plantear­los de antemano, y las ecuaciones van saliendo una tras otra, como pOI' arte de Ill<ígia, cuando hacen falta; pel'o sin que sepa nunca, el que por primera vez estudia esta teoría, ni por qué vienen, ni pal'a qué sil'ven, ni cuándo se con· cluirán, Este defecto resalta sobre todo en la

bra de Zeuner, libro, por lo demás, de gran mérito; baslante mejor es la exposicion que de la teoría del calol' hace Combes en la cs­cclente coleccion de artículos que ha publi­cado en el .D1~lleti'í¿ de la Sociéte d' enCott1'a­gement j pero solo en un libro hemos encon­tl'ado la claridau y el método que tan nece­sal'ios son en las obras didácticas, y es este liLro la Termodinámica de MI'. Paul-Saint­Hobert., ya val'ias veces citada, Aun es posiLJle, ü nuestro entender, dar lJI<Ís clal'idau á la ex­posicion, y para conseguil'lo alteral'emos el órden que suele seguirse ell esta materia, si­guiendo otl'O completamente distinto, pero aprovechándonos de algunas ideas del autor que acabarnos de citar.

24. Ooeficientes espec{ficos. LO Suponga· 1l1OS que en un cuervo la presion pern~üuece

p constant.e j )' representemos por C. (siendo p, no un exponente, sino un índice) la cantidad de calor necesaria para que el volúmen del cuerpo reciba un incl'emento igual á la unidad:

pesta cantidad C. sel'á el primer coeficiente es­

pecifico que consideraremos, y podemos desig·

narlo con el nomhre de calo?' especIfico aprl­sion constante y relativo al vol?tmen.

Fijémonos ante todo en la notacion, que quizá parezca complicada, pero que sin em­bargo es en extremo sencilla y muy útil para dar simetría <tlas fórmulas. En primer lugar, empleamos la letra Cpara este coeficiente como para todos los demás, porque es letra inicial á la vez de la palabra calor y de la palabra coe­ficiente. En segundo lugar usamos indices y s1tbindiees j el índice indica cuál de los elemen­los p, v, t pCl'manece constante; el subíndice á cuál de las tres variables se refiere el coefi­ciente de que se t.rata.

Comprendido esto, observemos que este cae· ficiente específico expreSJ una cantiaad ae ca­l07', Y que esta cantidad de calor no es 1 Ó no debemos suponer por ahora que sea constante: no se necesitará en cfeclo, ó no es probable que se necesite, la misma can tidad de calor para hacer que un cuerpo se dilale un centímetro cúbico, sea cual fuere su volúmen , su pl'esion

, P, y su temperatura. ASl pues, C. sel'a una fun­cion en general de p, v, t, y como una dc estas cantidades depende de las otras dos, podremos escribir, eligiendo, por ejemplo, v y t por va­riables independir.ntes,

P • (C. = funclOn v, t).

l'Más aún: este cocficienle C es una abstrac­•

cion analíllca y no un número práctico, aun­que se use en todos los cálculos del calor, ya en uno, ya cn otro conceplo.

Expliquémonos con más claridad. Si á un cuerpo cuya presion supondremos

siempre la misma, se le dan ó se le quitan cier­las canlidades de calor

~Q. ~Q'. ~ Q", .....

su volúrnen recibirá incl'ementos distinlos

~ v , ~ v' I ~ v", . . . . .

y es claro que si la funcion que enlaza Q con v no es lineal, los incrementos de vohímen no serán proporcionales á los incrementos de ca­101': es decil', que no tl'lIUrctl1OS

~Q ~Q' ~Q" --=---=---= ..... -= ~ v ~ V' ~ v"

cantidad de calor por 1mülaa de voltíme7t; pero

· 'bl ~ Q t d " 1"esta rc laClOn varIa c -- en' era a un 11111­~ v

TERMODINlÜHCA. 14

te perfectamente determinado, que será la de- I ciente específico, respecto al cual podriamos rivada de la funcion que enlaza Q con v; y re­

presentando por e: este límite, tendremos,

p dQ e = -- = funcion (v, t);

• d v

de donde sc deduce

11dQ = e•dv,

Es decir, que para conocer el t''itcremento Út­/in it(('mente jJerjl(ei¿o de calO?' d Qq1te es preciso da1' ti un cuerpo á fin de g/te S1t lJOl1(1Jlen ,,'eciba 1m inc1'ementf) rlete7'1íÚnrU(O d v, perm.aneciendo COítstantc la JJ?'esion, basta multiplicar el coe­

ficiente e: ]JO?' dicho incremento de volú1íWt d v. Est ecuacion solo es rigorosamente exacta

siendo d 11 Yd Q diferenciales, pCl'O en la prác­tica puede aplicarse á incrementos muy pe­queilos.

fl Así, por ejemplo, si conociésemos C. ' es de­

cir, si tuviéramos

c. p

=-dv, t),

) se nos pregun tase ¿qué cantidad de calor II Q es preciso comuniear á un cuerpo cuyo yolú· men es 2m \ su temperatura Soo, y su presion constante para que se dilate un centímet'i'o cú­bico ó sea 0, 103000001 ? resolveríamos el prohle­

. d flma svsL1tuycn o en el valor de e. los valores v = 2; t = SO, Ytendríamos

A Q = "( (2; 80) X 0,000001;

advirtiendo que la presion constante á que se mantendria el cumpo seria

P = '1' (2; 80).

Se comprende fácilmente que e P es una ex­

11

presion análoga al coijiciente de elasticidad E de la ~Jecánica <lplicada, á las f1terzas referi­a(ts tí la 1m'idad de masa de la Mecánica racio­nal, á las de?'ivadas del cálculo, etc.: es, en una palabra, la cantidad de calor que seria necesll7'io pa'i'a atMítentar el vohimen del C1te1'po eít 1!íI(t 11íddad si se dilatara e,t todo este inte1'­'Calo, eMito se dilata ó comienza á dilatarse en el jJ1'imer instante.

efl '_'.0 D . 1 d 11. eSlgnaremo por I e segun o coe 1­

repetir cuanto hemos dicho para el primero.

Diremos, en resúmen: que <es, ó debemos suponer que sea, variable y dependiente de 'V, t; que representa la cantidad de calor ne­cesaria para aumentar un grado la tempera­tura de un cuerpo ~í preiion constante, y que por 10 Lanto 1 si se busca la cantidad de calor II Q necesaria para que la temperatura de un cuerpo á presion constante aumente la canti­dad ~ t, se Lendrá

p ~Q=Clllt.

El índice Jí signil1ca siemprc que la presion es constan Le, y el subíndice t se refiere á la can­tidad que varía.

Puede designarse este coeficiente con el nomIne de calor espec(fico á presiO'it constante y relativo á la temperat1tra,

5,° e D

será el calor especifico á 'lJol1tmen p •

constante y 'relativo á la p"esion: dependerá de 'V, t, Yentre el incremento de calor necesa­rio para que la presion aumente a p y este in­cremento, tendremos

11

II Q = e 6.p,p

•4.° el será del mismo modo el calor espe­cijico á 1JoMmcn constante y 'relativo á la ten¿­pe1'atura: será funcion de v, t, y tendremos, como en los casos anteriores,

I

II Q = e II t . •

5.° e, t

designad el calor especijico á ten¿­pe?'atttra constante y relativo al vol1¿men: será funcion de v, t, y tendl'emos

• A Q = el .1 p.

I

G.° e representará, por úHimo, el calor P

específico á te'il¿pemtnra constante y relativo á la p1'esion: será funcion de v, t, y tendremos

I

6. O = e IIp.- p

25. Resúmen, Hemos dicho que hay seis coel1eientes específicos, y esle número no es arbitrario. Puesto que el estado de un cuerpo depende de dos de las canlidadesp, 1', t, yque

15TERMODINÁMICA.

entre estas hay una relacion, al estudiar qué cantidades de calor infinitamente pequeñas deben comunicarse á un cuerpo para que, permaneciendo cualquiera de los tres elemen­tos antcriores constante, varíe uno de los otros dos en canti<1ades fijas, es claro que solo pueden hacerse las seis combinaciones si­guientcs:

LO p ..... constante y en1v y tendremos C.p

este caso que varíe. pt » C

2.0 v..... ,constante y quejt tival'lO p ,

» C P 1

3.o t.. ... constante y que IV » C" , I

vane p » C p

M. Saint-Robert emplea notaciones distin­tas, y para facilitar la lectura de su Termodi­námica, así como la de las obras de Combes y de Hirn, manifestaremos en un cuadro la equivalencia de unas y otras notaciones:

neral. C·

I

I 27. Desde luego se prevé que la resol u­»

Notacion .tloptatla.

C • " • p

C. I

•C. I

C . " P 1

e . •, c.

p

Nolacion de Sainl-Roberl.

.Y

. .•... K

.N

. x

• ••.•• M

• .•... P

26. De estos seis coeficientes solo dos sc estudian en Física, á saber:

•C, = N, al cual se le d.l el nombre de calor

espec(fico ó capacidad calorífica (t volúmen constante¡

l' y C

I= K, que se designa con la denominacion

de calor especijico ó capacidad calorf/ica á pre­sion co'nstante.

lIemos supuesto que todos los coeficientes C son funciones do v, t, y probablemente esta hipótesis será exacta; pero de todas maneras, y aun cuando sean independientes de alguna

de dichas variables, ó aun euando sean cons­tantes, nada de lo que hcmos establecido hasta aquí, ni de lo que hemos de desarrollar en lo sucesivo, exige que especifiquemos esta cir­cunstancia.

En Física se demuestra experimenlalmente v

que para los gases CI cs constante, es decir, p

independiente de v y de t, y quc C1 es indepen­diente de t; pero quizá estas no sean más que aproximaciones prácticas de una ley más ge­

cion de todos, ó de la mayor parte de los pro­blemas de la Termodinámica, dependerá de la determinacion de estos seis coelicientes espe­cíficos. Y en efecto, ell os expl'esan la ley de los incrementos, ó en general de las variacio­nes de p, v, t, al dar ó sustraer calor al cuer­po que se considere: es decir, que por medio de estos coeficientes podremos seguir paso á paso. y elemento por elemento, los cambios que experimenten las tres variables funda­mentales p, v, t, Y por lo tanto podremos ha. llar los valores finales que adquieran bajo la influencia del calor.

Verdad es que dichos coeficientes solo ex­presan la ley de las variaciones infinilamente pequeñas, es decir, la ley diferencial j pero el ctilculo enseña cómo se pasa de los incremen­tos á los valores finitos, y de las ecuaciones diferenciales á las ecuaciones ordinarias: ade­más, sustituyendo á incl'ementos infinitamen­te pequeños, incrementos muy pequeños, son suficientes á veces las ecuaciones diferencia­les para la resolucion práctica de los pro­blemas.

Por otra parte, desde el momento en que conozcamos cómo varían en una sél'ie de cam­bios de estado la presion y el volúmen, podre­mos conocel' (N. 20) el trabajo externo, luego en último análisis la determinacion de dichos seis cOf¿jl.cientes nos pe1'mite calc1ela)' los efec­tos mecánicos debidos al calor.

28. Relaciones entre los seis coqicientes_ p p v VII

Los seis coeficientes C ' C , C , e , e ,e ,I , I p p ~

no son independientes: por el contrario, siem­pre es posible expl'esar cuatro de'ellos en fun­cion de los otros d(ls, con tal que se conozca la relacion general p = f (v, t). Yen efecto, dos

, v

de ellos, por ejemplo C.' Cl' bastan para de­terminar los valores sucesivos de ti, t, Y la ecuacion p =f(v, t) los de p, luego todos

• •

TERMÜDIN1\.MIüA.16

los coeficientes restantes están implícitamen· te determinados. Deteng~lmonos sobre este punto.

I

1.0 Sabemos que e ,expresa la cantidad• de calor necesaria para que un cuerpo, cuya temperatura es constante, reciba en su volú­men el incremento 1; Yque pOI' lo tanto al in­cremento el v corresponderá la cantidad de calor

t d Q = e d v . •

Pero como v y p están enlazadas por la ecuacion fundamental p = f (1', t), al incre­mento el v, y suponicndo t constante, cones­ponderá el incremento el p ele presion, deter­minado por

d P dp=--dv,

d v

elp en que -d representa la derivada parciallle

" v p =f(v, t) con relacion á v.

Eg decir, en resúmen, que la cantidad de I

calor ~ Q, ó C. el v, al mismo tiempo que PI'O­

duce un incremento el v en el volúmen, deter­mina un aumento d p en la presion, luego el calor necesario para aumentar la presion en '1, siondo constante la temperatura, será

, , e d v e dp =-;¡P'

dv

Ahora bien, esta cantidad es precisamente , la que hemos designado por e

p ,luego tendre­

mos

o , . 1

o =-. (1) p ti p

dv ,

Dicha ecuacion deter'mina el coeficiente e , p

en funcion de C. y de la derivada principal elp

Segun las notaciones de Saint-Robertdv

seria I

P=M-. dp

dv

•2. 0 Análogamente, puesto que C, expresa

la cantidad de calor que seria necesaria pal" aumental' la tempel'atura del cuerpo en 1 uni­dad, si la ley de crecimiento fuese la del primer instante, resulta que para aumentar dicha tem­peratura en el t será p¡'eciso que

•d Q = e, d t.

Pero siendo v constante no puede val'Íar t sin que varíe p, luego el Q producir!) un au­mento de presion el p deducido por la difereD­ciacion dep =f(v, t); así

•e d t e • I ,

e = p

--­d P

= --. úp'

(2)

d t

Ó segun la notacion de Saint-Robel't

I X=N---·

dp

d t

5.0 Supongamos que la presion p perman­ce constante y que el \'olúmen aumenta la cantidad el v: para ellos se necesiLará comuni­car al cuerpo la cantidad de calor

l'dQ=e d v,

o

y el cuerpo halJrtI pasado de la presion p y el volúmen v, á la misma presion p con otro vo­lúmen distinto v + d 'v (variando naturalmente la temperatura). Pero al estado definido por 1J y v + el v podemos pasar tall1bien por dos cambios sucesivos: 1.°, suponiendo que p pasa á p -+- el p, y v á v -+- el v, quedando t constan­te j 2. 0

, suponiendo que p + el p vuelve á p, quedando v -+- d v constan le, para lo cual será preciso que t se convierta en t -+- d t.

Para que se vCl'ifique el primero de estos cambios será preciso comunicar al cuerpo una canlidad de calor representada por

, e d v;•

para que se vel'ifique el segundo la cantidad de calor que deberemos comunicar al cuerpo será

v e d t;

1

y la canlidall total de calor I r

e d lJ + e (i t. I

TERMODINÁMICA. 17

Pero este valor de aQ y el precedente deben ser iguales, y obtendremos la relacion

P 1 v e d v = e d v + e d t (a)

• • 1

Observemos que d ti Yd t son variaciones de f) y t que corresponden á un valor constante de P, es decir, que deberán satisfacer á la con­dicion

dI' dpdI' = 0= -- d v + -- d t. (b)

d v d t

Dividiendo la ecuacion (a) por a v y susti­at

tusendo por d v el valor deducido de la ecua·

cion (b), tend¡'cmos

dI'

l' 1 • d v e =0 -o -, (3)• "d P

dt

Ó segun la notaciou de Saint-Robert

dI'

dv Y=M-N-.

dI'

d t

4.o Por último, un cuerpo dado puede pa­sar de (t, p) á (t + at, p) de dos maneras i primero: comunicándole una cantidad de ca­lor determinada por

pdQ= O,dt;

segunao: haciéndole pasar de (t, v) á (t, 11 + a 11), para lo cual será preciso comunicarle la can­

1

tidad de calor C. av, en cuyo caso p se conver­tirá en p + aPi y despues de (t, v + av) á (t + d t, v + all) de modo quep + ap vuelva al valor p, para lo que deberemos darle al cuer-

I

po una cantidad de calor C, at. Como ya por el primer sistema, ya por el

segundo se v;ene á parar al mismo eslado final, y además se parte de las mismas condiciones iniciales, tendremos

P 1 I

e d t = e d v + e d t. 1 • 1

Los valores a 1) y a t corresponden áa p = o, de suerte que tendremos

dI' dI' o = -- d v + -- d t.

dv dt

Dividiendo la penúltima ecuacion por d t,a1}

despejando de la última ---;Z¡' y sustituyendo

en aquella, resultará:

dI'

" lId t e = o -0-; (4) 1 1 • dI'

d v

ó segun las notaciones de Saint-Robel't

d p

d t K=N-M-.

dI'

d v

29. Las consideraciones precedentes tienen una significacion geométrica fácil de inter­pretar.

Supongamos (fig. 3.a) tres ejes coordenados Fig. 3.a o t, o 1}, o p en que se

cucnten las temperatu­1 ras, los volúmenes y

' A las presiones, é imagi­nemos construida la su­

'l::'-dp perficie p f (v, t).

'-~_.~ -el cual se tenga Rb ~l:t ! &. Sea B un punto para

= p, :; a b e = ti i O e= t i Y tra­

:f---é, cemos por n un plano v; paralelo al de las v, t,/J

\ =

que cortará ti. la super­ficie p = f (v, t) 1 segun una línea de nivcl 8 C, cuya proyeccion representaremos por b c.

Demos, finalmente, á v Yt los incrementos

ba=dt;ac=dv;

y sea AD=dp

el incremento infinitamente pequeño de p cor­respondiente á a t.

La ecuacion (2) se ha obtenido pasando del punto n al A, y observando que para el valor constante de v, b e -= v, los incrementos B D = at y A D = ap S01~ simll,ltáneos.

La ecuacion (1) se obtiene por consideracio· 3

TERMODINÁMICA.18

nes análogas pasando del punto C al A, ó del B al A', puesto que todo el espacio A D A' e es infinitamente pequeño, y tanto dá conside­rar el punto D como el C.

Las ecuaciones (5) y (4) se obtienen pasando del punto B al Cpor dos caminos:

Primero, directamente y calculando la can­tidad de calor que corresponde á la variacion d v, ó la que corresponde á d t, siendo siempre 1) constante;

Segundo, por el contorno D A C ; é igualan­do las cantidades de calor.

50. Obse1'vaciones, En las consideracio­nes anteriores hemos sustituido muchas veces á los valores de los coeficientes C, que corres­ponden á 'IJ + d v, ó á t + d t los correspon­dientes '1J ó t; pero esto se sabe por c~Hculo

que es permitido, puesto que C ('1J + d v) X d t, por l'jemplo, sc convierte desarrollando C en C (v) d t + C' (1)) d?J. d t, que solo difiere de e (?J) d t en un infinitamente pequeño de se­gundo órden.

31. Vemos por lo que precede, que de los f

seis coeficientes C basta conocer dos C y C· '. I '

por ejemplo, para conocer los otros cuatro por las fórmulas,

1ft C = C -" , ... (f)

p • el P

el v

~ "tC =c - (2)

l' f d P

d t

el p

pI. el v C =c -C-'" (3)

• • I el p

eL t

dp

" • 1 el tC = C -C -, .. (4)

I I • eL p

d v

con tal que deduzcamos de

p=f(v,t) (5)

dp dplos valores de las derivadas parciales -. --,

d'1J dt El problema general de la Termodinámica

flueda reducido á la determinacion de dos coe·

f •

ficientes específicos C.' Cf

; puesto que cono­cidos que sean estos. las ecuaciones (1) (2) (3J

(4) (5) determinan los restantes. f •

Pero la determinacion de C•

y Cf supone dos

ecuaciones más, y estas se deducen de los dos principios fundamentales de la teoría del calor.

lIé aquí por qué dicen los autores que la Termodinámica parte de dos ptincipios fun­damentales: cosa quc á primera vista no se explica; pues no es f,tcíl pl'ever si serán dos ó sel'án más los que se necesiten, al paso que se comprende con facilidad suma por las con­sideracioncs que preceden, por qUl! son dos, ni más ni ménos, los necesarios y suficientes.

En resúmen : todos los problemas de la Ter­modinámica dependen del conocimiento de los cocficientes específicos; estos son seis. y cua­tro se exprcsan en funcion de los dos restan­tcs: luego solo quedan dos funciones desco­nocidas, y solo se necesital'án dos ecuaciones y dos principios de que partan dichas ecuaciones.

En rigor no son dos las ecuaciones sino tres, puesto que debemos contar con la relacion general p = f (v, t); pero nada agregaremos por ahOl'a á lo dicho para no anticipar las ideas. Más adelante insistiremos de nuevo so­brc estc punto.

32. Designaremos en adelante con el nom­bre defoco de calor á cierta tempe1'atura dada, un cuerpo del cual se puede sustraer, ó al cual se puede suministrar cualquier cantidad de calor sin que cambie dicha temperatura. De aquí se deduce que todo cuerpo que se ponga en contacto con un foco de esta clase adquirirá su mismo estado calorífico, d~índole el calor que le sobra Ó tomando el que necesi­te para ponerse en equilihrio.

Las paredes de la caldera dc una máquina de vapor, mantenidas ,1 temperatura constan­te por la combustion en el hogar. ó el conde;¿­salior, que una corricnte de agua conserva siempre á la misma temperatura, realizan ma­terialmente esta concepcion teórica de unfoco constaí¿te de calO'!'.

Todavía más: una mezcla de 'Mpor y de lí­quido á presion constante conserva siempre la misma temperatUl'a, ya se le sustraiga calor. ya se le dé (N. 14), puesto que el exceso de ca­lor se emplea en evaporar nuevas porciones de líquido, y por la sustraccion se condensa una parte del vapor, pero sin que la tempera­tura varíe mientras la presion no cambie.

Otro tanto puede decirse de las mezclas de

TERMODINÁ~IICA. 19

sólidos y tifjuidos á la temperatura de fusiono Vemos, segun lo dicho, que esta concepcion

de focos á tcmperatura constante ó invariable no es puramente abstracta, sino que hay modo, entre ciertos límites, de realizarla práctica­mente: por lo demás, para facilitar la explica­cion puede suponel'se que dichos focos son

de '1" Ó le dará parte del que posee; pero de todas maneras variarán su volúmen y su pre­sion, pasando por una série dc estados cuya le)' estará expresada por la cUJ'va m m'.

nepitiendo de nuevo la sustitueion del foco '1" por otro nuevo foco '1''', tendJ'emosotra nue· va línea m' PI! y así podríamos continuar in­

depósitos i1'.flnitos que no sc aiteran porque se . definida mente. les tome ó se les dé cantidades finitas de ca­101'; así como se supone en la teOl,ía eléctrica que el globo es un inagotable foco de electri­cidad,

55. El estado calorífico de un cuerpo que­da perfectamente determinado cuando se co­noce su volúmen v y la presion p que ejerce en su superficie,

Tracemos, pucs, dos ejes Figura 4.&

rectangulares, O v, O p, fi­lbttt: gura 4:, y conlernos sobre ellos los volúmcnes v como abscisas, y las presiones p

O "como ordenadas. o J1.n V.. Es e\'idente que cada es­

[(tdo pa1,ticnla1' del ClIe1'­po estará pe1:fecta'mellte dqflnido por 1Mt p1tntO del plano p O v; en efecto, dado un punto P, sus coordenadas O V, VP quedan detel'111ina­das; luego quedará detp,rrninado el volúmcn ti = O V, la presion p = y P del cuerpo, y por lo tanto su temperaLura t, y su estado c310­rífico.

Una sucesion de diversos estados infinita­mente próximos, corresponderá á una série de puntos infinitamente próximos tambien j y si el cuerpo varía por la ley de continuidad, el p1mto 1'epresentativo trazará tina curva Po P P"

Supong:\lnos ahora UIIFigura ;j,'

cuerpo con el volúrnen V o = O Vo y la presion Po = VoPo, y pongámos­lo en contacto con un fo_ co de calor T á tempera­tura constante t.

n n..--,,-v Las cantidades de calor que cl cuerpo reciba al­

terariÍn las condiciones en que se hal1aha, y variarán su volúmen y su presion segun ciel'ta ley determinada por la curva Po m que descri­be el punto rejJresentati1)o.

Supongamos todavía que al llcgar el volú­men del cuerpo á O n y su presion á 'lit n, se interrumpe la comunicacion enLJ'e el cuerpo y el foco '1', )' se sustituye á este último otro foco '1" á temperatura constante f. Segun que f sea mayor ó menor que t, el cuerpo recibirá calor

5.1. Es claro que las eun'as Po m, 71t m' ,..... '" 71t' PI pueden ser infinitamente pequeñas, y que los focos '1', '1", '1''', .. pueden variar por la ley «le continuidad, en cuyo caso el contor­no dh>contínuo Po m 71/,' P, se convertirá en una curva contínua.

En resúmen : podemos siempl'e suponer que la curva descrita por el punto 1'epresentati'Do de un cuerpo procede de haber puesto en con­tacto dicho CUCl'pO con una série de focos de calor de temperatura constante, variando de una lIlanera contínua ó disconLínua.

En tolla curva del genero de ta p,) m m'... 1', habrá arcos en que el cuerpo reciba calor de los focos con los qlle se le ponga en contacto, y otros en que, por el conLJ'ario, ceda calor á dichos focos.

Por ejemplo: si la temperatura dcT es su­perior á la del cuerpo, mientras dcscribe el contol'l1o Po m, saldrá calor de T y pasará al cuel'po; si, pOI' el contrario, la temperatura de T' es inferior á la de aquel, mientras su punto generador recolTe 'lit 11t', el cuerpo ce­derá una parte de su calor al foco,

55. Hemos supuesto que 'r, '1", ••• son/o­cos infinitos, pero pudieran ser finitos, y sin embargo no habria erl'or en considerarlos como de temperatUl'a constante si solo están en contacto con cl cuel'po un tiempo infinita­mente pequeño, puesto que las cantidades de calor cedidas ó adquiridas serán inlinitamente pequeñas tambien, y esto no altcrará el ealol' finito de dichos focos.

Más aún: pueden perder ó ganar los focos de calor cantidades linitas, sin que por esto dejen de ser exactas todas las consideraciones que hemos expuesto hasta aquí: no habrá más diferencia entre unos y otros casos que en la ley, segun la cual variarán las curvas del con· torno Po 71t11t' P"

56. Al poner en con Lacto un cuerpo con un foco de calol' á distinLa temperaLura de la suya, no son únicamente los cambios de volú­men, presion y temperatura del cuerpo, l,os fenómenos que se presentan: otras dos C1r­cunstancias hay dignas de estudio: LO, las al­teraciones moleculares que en el interior del

I

20 TERMODINÁMICA.

cuerpo se habrán de verificar forzosamente; 2.°, el trabajo exterior, positivo ó negativo, que desarrollará por su cambio de volúmen. Del primer efecto no podemos ocuparnos toda­vía, pero es ya llegado el momento de estudiar detenidamentc el segundo.

El estad(l de un cuerpo, hemos dicho varias veces, depende de su volúmen y de su presion, elementos que determinan su temperatura: de suerte que para cierto volúmen, cierta tempe­ral,ura y una presion determinada, el CUPl'pO permanecerá en equilibrio si de fuera adentro obra otra presion igual y contraria á la suya, sea esta presion la de la atmósfera, ó la resis­t encia lle las paredes, ó un medio ma terial cualquiera que ]a sustituya. Dedúcese df' aquí, que si comunicamos al cuerpo una pequeña cantidad de calor d Q, su presion aumentará i y como la presion de la atmósfera, ó de la en­volvente, ó en general la presion eXLeriOl' no habrá variado, el equilibrio no serlÍ ya posible, y el cuerpo aumentará de volúmen, rechazan­do la fuerza exterior que le oprime i pero ven­cer una fuerza á lo largo de un camino es des­arrollar un trabajo; luego esta dilatacion del cuerpo dará lugar á un trabajo elemen­tal (N. 20)

+p.dv,

representando por jJ la presion y por d v el aumento tle volúmen.

Claro es que si el cuerpo perdiese calor, su volúmen disr'Jinuiria, y la presion de la atmós· fera 6 de la envolvente seria en este caso la que desarrollaria un trabajo venciendo hácia dentro, por decirlo así, la resistencia del cuerpo en cuestion, el trabajo de este seria en dicha hipótesis de signo contrario al anterior, ó bien

- P d v.

011'0 efecto secundario hay que acompaña á toda variacion de volúmen, y es el desarrollo de una pequeña cantidad de fuerza viva en la masa del cUf~rpo; pero si estos cambios de figura son lentos, como sucede en la mayor parte de los casos, bipn puede despreciarse dicha cir'cunstancia.

Oz,servacion.-Notel1los antes de continuar que no basta poner á un cuerpo, durante pe­ríodos perfectamente fijos, en contacto con una série de focos, para que la curva de la figura 4." quede determinada: será preciso además que establezcamos la ley de val'iacion de las presiones ó de los volúmenes. Y en

efecto, mil ejemplos pudiéramos poner en apoyo de esta verdad: si la presion exterior es co1tstante, la curva se convertir..l en una para­lela al eje de las v i si el volúrnen lo es, la lí­nea del punto representativo será una paralela al eje de las Pi y á cada ley de variacion para P ó v corresponderá otra para el punto varia­ble y una nueva curva sobre el plano p v.

En resúmen: f.o Una série de focos y una série de presio­

nes determinan la curva en cuestiono 2: Una série de focos y otra de volúmeneg

la determinan igualmente. 5.° Una série de presiones y volúmenes, ó

lo que es igual, una curva dada, corresponde á una série determinada de focos, es decir, de temperaturas.

Hay, por decirlo así, dos sistemas variables independientes y uno que es funcion; ó de otro modo, tres sistemas variables enlazados en­tre sí.

En cada problema y en cada caso uno será el principal, el que merecerá toda nuestra aten­cion, y en el que nos lijaremos de preferencia; pero entiéndase que otro varía al mismo tiem­po que él, segun cierta ley que no hace al caso expresar.

57. El trabajo elemental pi v que, con ar­reglo á la convencion del ~. 2.° será positivo ó negativo segun el signo de d v, representa el área de un rectángulo cuya altura es P y d v la base, luego no es oLra cosa que el elemento m 1t ni m', fig.4.', del área correspondiente á la curva Po P PI que engendra el punto repre­sentativo. Y como otro tanto puede decirse para cualquier valor de p y de v, resulla este

Teorema.-Al poner 1tn cuerpo en contacto sucesivamente con una .~érie de focos ae calor, el trabajo que desarrolle po'/" S1.es cambios de volúme1¿ será i!lteal al área de la curva q1ee describe el punto representativo de dicho e1ter­pa. Este trabajo será posltivo mientras v ere;· ca, negati1)o cuando dismimeya esta 1)ariable.

Por ejemplo, en la fig. 4.' el trabajo en­gendrado es igual en valor numérico al área VoPo PI V•.

Del mismo modo en la flg. 5.' el trabajo en­gendrado por el calor, al pasar este de los fo­cos T, T', T"..... al cuerpo, es igual al área Vo Po m m' P, V•. En general la expresion del trabajo será

TER~fODI~ÁMICA. 21

representando por va y v, los volúmenes ex­tremos; pero esta integral no pu ede efectuar­se mientras se ignore la ley que enlaza á p con /J, es decir, qué funcion de v, p =f(v), hay \lue sustituir bajo el signo integral.

38. Pongamos un cuerpoFigura 6 ..

en comunicacion sucesiva con una série de focos de calor T, T', T"...•. (fig, 6:), pero de tal modo que la curva descrita por su punto l;enerador Po sea cerrada;

~ I I I '\t v

lo es decir, que caminando de p" á P, por 1', despues retroceda segun otra I'ama P, P' p. hasta el punto primitivo de par­tida.

~1ientras el punto va de Po á PI! el cuel'po está en contacto con una série contínua ó dis­contínua de focos de calor T, T', T"..... T(n)¡ "licntras recorre el arco inferior P, 1" Po se pone asimismo en contacto con otra sél'ie de focos S, S', S". , ... S(n): estudiemos cuál es la modificacion que el cuerpo experimenta; cuál es el trabajo desarrollado, y cuál es la al­leracion que sufren los focos T, T'... S, S', •.

1.0 Claro es que el cuel'po no experimenta­I'á alleracion final en su estado calorífico. En efecto, el punto genet'ador vuelve á Po , y por lo tanto el volúl1lcn, la presion y la temperatu­I'a al fin del movimiento serán los mismos que al principio: volviendo, pues, p, v, t, á sus pri­lI1ilivos valores, y siendo éstas tres variables las que caracterizan cada estado particular (al ll1énos esto es lo que boy supone la ciencia), el cuerpo volverá tambien al mismo estado que tenia.

2.° Mientras el punto generador va de Po á PI' segun marca la flechaf, el volúmen crece de O Va á O V, bajo la influencia de los focos 1', T', T"... lue¡o el cuerpo desarrolla por su expansion un trabajo representado por el área Vo 1'0 l' 1', V,: tendremos. pues. trabajo positivo desarrollado en

Po P P, = área Va Po P PI V,.

Al retroceder el punto generador de P, á Po' uescribiendo la curva .\ P' Po, Yponiéndose en contacto con 103 focos S, S', S"... el volúmen disminu~'e de O V, á O Vo, y la contraccion del cuerpo dá orígen á un tl'abajo negativo repre­sentado por el área P, V, Vo Po P,: de donde se deduce trabajo negativo desarrollado en

P, p' Po = área P, V, Va Po P,.

Así, pues, en la evolucion completa del cuerpo se ha desarrollado un trabajo total cuyo valor será la diferencia de los trapecios Vo Po P P, VI Y Vo Po P' P, V" es decir, el área rayada de la figura: trabajo total desarrollado = área Po P P, P' Po.

5." El efecto que la evolucion calorífica del cuerpo habrá ejercido sobre los focos, será to­mar calor en unos para dar á otros: ó dicho brevemente, alterar la distrib1tcion del calo'!' en todos ellos.

En el caso particular que consideramos los focos T, 1", T".. , . , habrán perdido cierta can· tidad de calor que babrá pasado á los focos S, S', S".....

39. Aquí aparecen ya dos distintas hipóte­sis y dos diversas teorias de los efectos mecá­nicos del calor. Ó se supone que la cantidad de calor tomada por el cuerpo á los focos T, T', T"..... es igual á la que este mismo cuerpo en 8U evolucion cede á los focos S, S', S"; ó se supone, por el contrario, que son dife­rentes. Representando por Q la cantidad de calol' que de los focos superiores T...•. pasa al cuerpo, y por Q' la que del cuerpo pasa á los focos inferiores S, las dos hipótesis estadn representadas por las siguientes condiciones analíticas:

1.11 hipótesis..... Q=Q'

2.a h'IpO'teSls. .... , Q >< Q'

La prirnera kip6tesis es la de Sadi-Carnot. La segunda es la que constituye la teoría

moderna del calor. En una y otra es preciso explicar este hecho

notable: la creacion do cierto trabajo mecánico Po P P, P' por la evolu.cion calorífica de 1en ctterpo e1¿ c01dacto s1tcesi'lJo C01¿ una série de fo­cos, 11 volviendo al terminar dicha e'lJol1tcion ti su estado pri'N¿iti'lJo.

Decimos este hecho, porque el hecho existe, y no es una simple hipótesis. Corno hipótesis no tendria fuerza ni valor, como hecho bien puede servir de base á una teoría. Decimos, que como hipótesis no tendria importancia, porque no es evidente a p1'iori que exista el área Po P P, P': pudiera muy bien suceder que al llegar el punto representativo á P, volviese por el mismo camino que trajo, es decir, des­cribiendo la línea P, P Po en sentido contrario á la flecha f, en cuyo caso el área, y por lo tanto el trabajo creado en la evolucion del cuerpo, serian nulos: pudiera aun sucedrr que siendo distinta de Po P PI la nueva rama

22 TER~rODIN ÁMICA.

P, P' Po, Yaun tomando infinitas formas, cor­tase siempre una Ó más veces á Po P P, , deter· minando áreas positivas y negativas, y que es­tas se destruyeran dando en todos los casos un resullado igual á cero.

Pero nada de esto se verifica en general, y numerosas experiencias, entre otras las de :MI'. Rirn sobl'e las máquinas de vapor, prue­han que en tales evoluciones caloríl1cas hay un trabajo ganado ó perdido, es decir, cierta área Po P PI p' positiva ó negativa.

40. En cfecto, ¿qué es una máquina de va­por? la evolucion calorífica de cierta masa de agua. III'imero se introduce agua en la caldera á la temperatura t de la atmósfera: despues se pone en contacto con un foco de calor, es de­cir, con el hogar: y por üllímo, convertida esta agua en vapor recorl'e los tubos de alimenta­cion, la caja de dislI'ibuciOI1 , el cilindro motor y llega al condensador donde vuelve á la mis­ma temperatura inicial t. Tenemos, pues, un ciclo cerrado y una evolucion calorífica, ¿y qué nos dice la experiencia? que se produce de este modo cierta cantidad de trabajo.

Hasta aquí la nueva teoría del calor es pura­mente experimental.

Puesto en evidencia el hecho, sabiendo ya que el área Po 1) P, P' de la fig. 6." existe; na­tural es ouscar la explicacion.

¿A qué es debida esta cI'eacion de tl'abajo? En la hipótesis de Sadi ·Carnot se tiene

Q = Q', y pOI' lo tanto lo único que ha ocur­rido, pOI' decirlo así, en el sístema, la única alleracion que ha expel'imentado, es el paso de cierta cantidad de calOl' de lus focos T á los focos S: esta debe ser la causa del nuevo tra­bajo producido. Así suponía Camot que, por el paso de cie'i'ta cantidad de calor de un foco á otro se creaba t1'abajo.

La idea, aunque hoy está probado que es falsa, el'a ingeniosa, y no podía rechazarse a p1·iOj·i. ~las aun: ciertas analogías estaban en su favor.

¿Cómo ejerce su accion y crea trabajo una masa de agua?

Cayendo de un nÍ\'cl superior ;:í otro inferior. Pues no parece ahsul'tlo que cierta cantidad

ue calor cayendo de un fuco cuya temperatura sea t' á otro foco á temperatura inferior t pro­duzca ciel'ta cantidad de trabajo. Lo que en el ejemplo precedente es la aHura de la caida ó el dcsnivel, es en la teoría de Carnot la dife­I'encia t' - t. Yla masa de agua es la cantidad de calor Q = Q'.

Esta hipótesis es hoy inadmisiole: no solo

está en contradiccion con la teoría moderna del calor, segun la cual es este un movimiento y no una sustancia, sino que la experiencia ha probado terminantemente que Q> Q'. Es decir, que más calor sale de los focos T que pasa á los S, y que en la evolueion del cuerpo sc ha perdido, ó mejor dicho, se ha anulado cierta cantidad de calor Q - Q'.

En la nueva hipótesis Q > Q' ¡.cómo se expli­ca la anulacion del calor Q - Q' y la creacion del trabajo Po P P, P'?

Por una trasformacion de calor en trabajo mecánico. El calor Q - Q' desaparece como calor, pero íntegro en su esencia aparece como trabajo; porque nada brota de la nada, ni torna á la nada lo que es. En el gran oleaje de la naturaleza los fenómenos lJasan y se trasforman, la ésencia íntima de las cosas queda igual á sí misma.

La experiencia comprueba esta teoría y los trabajos de lIil'O y de otros fisicos prueban que hay pl'oporeionalidad exacta entre el calor pe'í'dido y el f1'abajo ganado; como dehe suce­der n el'cclo si este procede de aquel, y es, por decirlo así, calor trasformado.

41. lIemos supuesto hasta aquí que el cuero po sometido á la discusion cambiaba de estado hajo la influencia de uno Ó varios focos de ca­101'; pero no es este el único medio de obli­gal'le á pasar por estados sucesivos, Los tres elementos, presion, volúmen, temperatura ó calor, est¡ín enlazados por la relacion gene­ral.f (p, '/), t) = O, Ycuando el calor y la tem­peratura, que es su manifestacion, cambian, se altera el estado del cuerpo; pero tambien se alleral'á cuando cambia la presion,

Supongamos que se aumenta l(presion ex­terior en una cantidad infinitamente peque­ila d p: será imposible que'/) y t sigan siendo lo que eran, y tendrán que variar. Continuando las variaciones de]J, continuarán variando di­chas cantidades '() t, Yel punto representativo describirá ciel'ta CUl'va análoga á la de la figu­ra 4. 11

, curva que dependerá de las circuns­tancias en que se halle el cuerpo. Podrá estar en contacto con un foco á temperatura cons­tante é igual á la que tenia el cuerpo inicial­mente: entonces, si el aumento de presion es lento, la temperatura se mantendrá constante tall1oien, pasando cierta cantidad de calor del cuel'po al foco. Podrán variar el volúmen y la temperatura del cuerpo sin dar este ni recibir calor, como sucederia si en cada instante es­tuviel'a en contacto con un distinto foco cuya temperatura fuese igual á la que en ese mismo

23TERMODIN.{MICA.

instanle posee el cuel'po. Podrian aun verifi­carse infinitas otras combinaciones; pero siem­pre lendremos que el cambio de presion de­termina alteraciones en el estado del cuerpo, y que su punto representativo describe ciertas y determinadas curvas sobre el plano de las p v.

En una palabra, en la primera hipótesis con­siderábamos á los focos como la causa deter­minanle pl'Íncipal, era el sistema variable in­dependiente en que fijábamos nuestra aten­cion; ahora son las presiones las que cambian, y á ellas sigue en segundo término la série de focos calorílicos; pero entiéndase bien que uno y olro caso son idénticos en el fondo, por­que en ambos hay dos sistemas variables in­depe1ulientes; á saber, focos y presiones.

lIemos supuesto que la presion aumenta, pero á iguales consecuencias llegJriamos su­poniendo que disminuye, ó en general, que cambia segun una le~' cualquiera.

VOI1l0S, en rcsúmen, que el contorno repre­sentativo de los diferentes estados de un cuer­po puede proceder de dos causas distintas combinadas: cambios en la canlidad de calor del cuerpo, originados por uno ó varios fo­cos calol'Ílicos, y cambios en la presion ex­terior.

En la fig. 5.a el cuerpo desCl'ibe la curva P m n~' Pt hajo la inlluencia de tres focos T, T', T", con los que está sucesivamente en con­tacto, y segun cierta ley de variacion en las presiones, al describir esta curva su punto re­presentativo desarrolla el cuerpo un trabajo útil, igual numéricamenle al árca Yo Po m n~'

P, VI' Pues bien; si tomamos al cuerpo en el esta­

do Pt como estado inicial, es decir, con la pre­sion Pt Vt y el volúmen O V, Y lo comprimi­mos de manera que su volúmen decrezca de O V, á O Vo , siempre podremos hacer que su punto representativo descI'iba el contorno P, m' m Po, para lo cual bastará ponerlo en con­tacto con los focos T", T', T; ,en una palabra, deshacer elemento por elemento la primitiva operacion.

Vemos, setmn lo dicho, que en el primer ca· so cierta canlidad de calor pasa de los focos al cuerpo, y al mismo tiempo aparece un tra­bajo positivo Po Vo V, P,; que en el segundo gastamos cierto trabajo en comprimir el cuer­po, lo cual hace que cierla cantidad de calor pase del cuerpo á los focos caloríficos.

En adelante, siempre que trazemos una cur­va representativa de los varios estados de un

cuerpo, supondremos que los cambios han si­do originados:

1.0 Poniendo al cuerpo en contacto con di­ferentes focos, y

2.° Comprimif1ndo lentamente al cuerpo, lo cual supone un aumento en la presion exte· rior ~' un consumo de trabajo; ó bien dejando dilatarse al cuerpo, lo cual supone que la PI'C­

sion exterior disminuye lentamente. 42. lIemos supuesto en la lig. G. a que un

cuer'po dado, poniéndose en contacto con va­rios focos, ~' por val'iaciones de la presion ex­terior, describia el contornu cerrado Po 11 P, P' en el sentido que indican las Ilechasf, f. Aho· ra bien i en gran número de casos será po­sible hacer recorrer al cuerpo la misma CUI'·

va, pero en sentido contrario, segun indica la Cuando esto sucede, Fig.7.- se dice que el contorno es ,'eve1'Sible, y es evidente que por dos operaciones, una directa yotra inver-

OL'¿' r ~ I sa! ~odo volverá á su p~i. - V ~ ~ lllltlYO estado. Es deCIr,

o ~ que el CUeI'pO volverá á la presion, al volúmen y á la tempcl'atura que tenia; el ll'abajo posilivo repl'csentado por el área Po P P, p' quedará compensado con el tra­Lajo negalivo representado por la misma área en la reversion; y por último, el calor que en la primera operacion pasó de unos focos á otros, volverá de estos á aquellos: el cuerpo y los focos quedarán pues como estaban, y el trabajo creado serlí nulo.

Todo ciclo de operaciones que resulla de au­mentos ó disminuciones de volúmen, lentos y contínuos, es reversible: basta para conven­cerse de ello estudiar lo que sucede en un ele­mento cualquiera de la curva que traza el pun­to representativo del cuerpo.

Imaginemos un cuerpo con el volúmen v, la presion p, y la temperatura t, y designemos su punto representativo por M. Si ponemos al cuerpo en contacto con un foco á la tempera­tura t + d t, bien pronto se establecerá eQuili­brio entre el cuerpo y el foco, elevándose aquel á la temperatura t + d t: de suerte quo los nuevos valores v' y p' habrán de satisfacer á la ecuacion

'? (v', p', t + d t) = o.

Los valores de V',j/ quedan indeterminados y el punto representativo en su segunda posi­cion M' puede ocupar infinitos lugares al rede· dor de M; pero si fijamos por ejemplo el valor

24 TERMODrN}ünCA.

de p' = p -+- d]J, el valor del volúmen queda Iautorizan para generalizar este resultado, determinado por la relacion

9 (v', P -+- d p, t -+- d /) = o,

y queda determinada la posicion ~I' de dicho punto representativo, así como el elemento 1\1 M' de la curva.

Hemos pasado, pues, de Má M' poniendo en contacto al cuerpo con un foco á la tempera­('a t -+- d t Yaumentando cn d p su presiono

Ahora bicn j para pasar de M' á M, es decir, para recol'l'er en sentido inverso la cur\'a re­presentatira, bas~al'á; 1.0 reducir la presion exterior de Jj + d jJ á jJ; 2.° poner al cuerpo en cOlltacto con el foco á temperatul'a t.

Lo que hemos dicho del elemento ~I W pu­diera decirse de otro cualquiera.

43. No todos los ciclos, dice Mr. Robert, SOIl I'eversibles ; al ménos directamente.

Supongamus tlue se deja caer cierto peso de agua, á la temperatura t o, de un vaso superior á otro inre.'ior. El agua al cael' adquirirá cierta fuerza viva que se extin~uirá por el choque con el vaso inferior. Este choque hará, sin em­bargo, que la temperatura del agua en el de­pósito infel'ior se eleve de to á t. ; Ysi ponemos dicha masa de agua en contacto con un foco á la temperatura t o, bien pronto comunicará á este foco el calor que el choque desarrolló, y volverá á su temperatura primitiva too

El agua vuelve al terminal' todas estas ope­raciones á su estado inicial, y tendremos un ci­clo cerrado ¿pero sel'á directamente reversi­ble? no, porque el rozamiento no tiene otra operacion inversa como la compresion ó la ex­pansion.

Más adelante, y al ocuparnos de la teoría de las trasformaciones de Clausius, insistiremos de nuevo sobre este punto que es de la ma)'or importancia.

44. Resúm,(m. 1.° Poniendo á un cuerpo en contacto con varios focos y aumentando ó disminuyendo la presion exterior segun cierta ley; ó bien, aplicando á un cuerpo cierta canti­dad de trabajo y poniéndolo á la vez en comu. nicacioll con focos distintos de calor, se le pue. de hacer pasar por diferentes estados.

2.° El resullado de esta e\"olucion es hacer pasar cantidades determinadas de calor de unos á otros focos, y al mismo tiempo crear trabajo.

5.° Si en la evolucion desaparece cierta cantidad de calor, aparece en cambio una can­tida.d.. por decirlo así, equivalente, de trabajo pOSitiVO; Y las explicaciones anteriores nos

agregando que si hay consumo de trabajo en la evolucion del cuel'po, la cantidad final de calor es mayor que la primitiva.

Tenemos, pues, el gran principio de la tras­formacion del trabajo en calor, y recíproca­mente del calor en trabajo; principio pura­mente experimental; y decimos que es experi. mental, porque no es evidente a prio?'i que f) sea mayor que Q' y que el ürea de la curva re­presentativa sea positiva.

45. Pero admitida la creacion de trabajo por la trasformacion de calor, y recíprocamen­te; es decir, suponiendo en la IIg. 6. 11 que Q> Q' y que el ál'ea Po P p. P' sea positiva, es fácil probar a priori, que las cantidades de trabajo creadas son proporcionales á las can­tidades de calor que desaparecen.

Tendremos en efecto el siguiente Teorema. Si representamos por T la canti­

dad de lrabajo que crea la evolucion cerrada de un cucrpo, y por q el gasto de calor, ó el calor anulado, tendremos siempre. sea cual fuere el cuerpo, y sean cuales fueren las con­diciones de la experiencia,

T - = constante. q

.1Je?Jt. Supongamos que para un ciclo cer­rado y reversible, que á fin de abreviar la ex­plicacion designaremos por A , la cantidad de trabajo creado sea 1', y q el calor que desapa­rece: representemos por J la relacion de 'f á q; es decir, que tendremos

T -=J. q

Admitiendo ahora que con el mismo cuerpo ó con otro cuerpo distinto, describimos otro ci­clo D, y que por la llueva operacion ganamos la cantidad de trabajo T' con el gasto de calor q', representemos por J' la nueva relacion, de suerte que

T' -,=J', q

siendo J' diferente de J. Si se repiten m veces las operaciones que

forman el ciclo A, obtendremos el trabajo me­cánico 'JJt T con un gasto de calor igual á m q; y sumando las 'JJt relaciones

T T T -=J;-=J;-=J; q q q

TERMomNÁ~nCA. 25

resultará

mT--=mJ,ÓbienmT=J.mq... (-1)

q

Supongamos que se repiten n veces las ope· raciones que constituyen el ciclo B, pero en órden inverso j es decir, de manera que se consuma trabajo y se gane calor: habremos gastado la cantidad de tra1Jajo n 1', creando la cantidad de calor n ri.

Las n ecuaciones

T' T' T' - = J'; - = J'; -- = J'; . q' q' q'

sumadas darán:

n T' -- = ti J', ó bien n T' = J'. n q' . •. (2)q'

Efectuando sucesivamente las operaciones que comprenden los 1JL ciclos directos y los n ciclos inversos, habremos gastado. en definiti­va, la cantidad de calor

mq-nq',

obteniendo en cambio una cantidad de trabajo representada por

mT-nT',

que segun las ecuaciones (1) y (2) será igual á

J m q-J' nq'.

Si escojemos los números arbitrarios 'Il/, y n de manera que

mq - nq' = o,

el gasto de calor será nulo¡ pues de lo contra­rio, sin consumo de calor podríamos crear tra­bajo mecánico, ó bien sin aumentar aquel desapareceria cierta cantidad de este, hipóte­sis ambas inadmisibles en la teoría que esta­mos exponiendo y contrarias además á la ex­periencia.

Se debe por lo tanto tener

J m q - J' n q' = o,

ó bien, toda vez que m q y n '1' son iguales,

(J ­

de donde

y por lo tanto

J') m q = o,

J =J',

T T' -- = --o

q q'

I Pero sean cuales fueren '1 y '1' siempre po­demos repetir los razonamientos anteriores y elegil' dos números m, n que cumplan con la condicion

m q' m q - n q' = o, obien - = _ ;

n q

luego podremos establecer en general que T

relacion -, entre el calor consumido y el tra­q

bajo ganado, ó recíprocamente, es una canti­dad constante, independiente de la naturaleza del cuerpo y de las operaciones á que se le so­meta.

46. Cuando el ciclo no sea reversible, co­mo por ejemplo en el caso de choque ó roza­miento, el método uc demostraeion del último número no es aplicable, pero el teorema aun subsiste.

En efecto, se puede imaginar que el calor obtenido por el rozamiento se destina á ali­mentar una máquina térmica perfecta de ciclo reversible, es decir, á crear trabajo; yen este caso, el trabajo creado T debe ser igual al que repr'csenta el choque 'f' porque si fuera mayor tendriamos creacion de trabajo motor sin cau­sa, es decir, el movimiento contínuo¡ y si fue. ra menor, habria deslruccion de trabajo sin creacion de algun efecto equivalente.

Ahora bien ¡ en la máquina térmica la rela­cion del calor q engendrado por el rozamiento al trabajo creado T es igual á J es decir

T -=J;

q

luego sustituyendo á T su igual T'

T' -=J. q

47. Esta relacion invariable entre el traba­jo mecánico creado, y calor consumido; es de­cir, entre el calor ftue desaparece y el trabajo que aparece, es lo que se llama eq1tivalente mecánico del calor, y generalmente se designa por J en honor de 1\11'. Joule. J representa un trabajo: es la cantidad de energía mecánica que puede crear cada unidad de calor; en una palabra. el número de kilográmetros en que se convierte cada caloría.

Diversos métodos se han empleado para de­terminar este importantísimo coeficiente, y siempre se han deducido valores próximamen. te iguales.

lIé aquí varias determinaciones: 4

2"6 TERllODIX.\:\IICA,

Segun ,{ro Joule, J = 423,5;) kilográmentrosj ~egun MI'. Hirn., J = -1;:)2; Segun Trpsca

y Laboulaye. . J = 435.

48. Si cada calol'ia crea 4301¡m término me­dio, ó s trasform ell 450 klll , es claro que cada kilog1'árnet1'o puedc crear, ó puede lrasfonnar'.

'1 se en, 430 de caloría; de suerte que en ge­

ner'ul~, que se representa por A, sed el equí-J

valMtc calor{jico del trabajo mecúnico. 40, Conviene, antes de seguir adelante, que

recol'demos rápidamente la marcha seguida hasta aquí y los prineipios establecidos.

1.0 En todo cuerpo, y salvo los cambios de estado, existe una relacíon general entl'e las tres val'iables p, v, t: este es un pl'Íocipio em­pírico, es decir, puramente experimental.

2.° El paso del calor de unos cuerpos á otros, por sí solo, no es susceptible de crear trabajo meC<Ínico: de suerle que es inexacta la hipót.esis de Carnal.

;;.0 En todo ciclo, ó sea en toda evolucion calorífica de un cuerpo, en que hay trabajo er'eado, se anula cierta camidad de calor; yal contrario, si se consume trabajo se crea calor. El calor se t1'asforma, ¡ntcs, en t1'ab(tjo; y recí· procamente: nuevo principio experimental.

4,° Hay proporcionalidad exacta entre las canlidaues de calor y tI'abajo, que mútuamen­le Se trasforman y sustiluyen, de suerte que

T - = constante, q

pero faltan desarro 1 s analíticos qu den for­ma exada y precisa á la idea.

De dos principios pueden deducirse todos los que hemos cHado precedent.emcnte, saber:

Ler jJ1'i'i¿cipio. El calor es una rOl'lIla del movimiento j es el movimiento interno y 1110­

lecula' de la materia. 2,° !J1'incijJio, La fuerza viv de la materia

cspare:ida por el universo es constante. Se comprende en efecto que l? temperatura

dependa de la ca nlidad defuel'za vi'vf(, contcni· da en un cuerpo, es decir, de los movimientos de las partículas maWriales, y que esta fuerza viva sea precisamente lo que llamamos cal01', Se comprende aun que dadas las velocidadps de las diferentes moléculas y la presion oxte· rior que obra sobre el cuel'po, su volúml'n quede determinado, y que por lo tanto e:ista una relacion 9 entr'e la tcnípCl'atura, I volú­men y la presion; eon lo cual qu da demo ­trado el primer pl'incipio del núm. ·19.

Así cuando 01 calor aumenta, es decir, CUfll1­

do crece la velocidad de las moléculas, sus trnycctorias tienden á en~ancharse pOI' el in­cremento qne cada fuerza centrífuga recibe, y el volúmen del cuerpo crece j ó si esto no s posihle por estar encenado en una envolven­te rígida, aumenta la presion del interior al exterior.

Por otra parte, pasar calor de un sistema' otro, es pasar cierta canlidad de fue za viva de las moléculas de un cuerpo á las mol ~culas ¡le 011'0, Yesto no supone creacion de trabajo, El principio de que partia Camot es, pues, radi­calmente falso.

Sabemos adcm~¡s por mecánica fIt e toda Esto teorema es consecuencia del principio I fu:r1.a viva ee¡ riyale á c' ~rtn anlidad oe tra·

;lIltl~l'iur y del siguiente axioma: de la nada, Ylltrl(~ brota; lo q11C es, menca vuelve rí la nada.

tos que no quieran aceptar la cxactitud de

esi' :lxiol11a pueden considerar la ecuacion T

- = con tante q

como resultado de la experiencia, porque en efeclo está compl'obado experimentalmente por muehos y eminentes físicos,

50. Vemos por lo que p¡'eeede, que los fun. llnmentos de la nueva teoría que intentanlOs f~xponer son, aunque en corto número, pura­mente experimentales, y ocurre esta pregunta: ¿no habria medio de reducirlos á un principio liupcrior, á un a:ioma, á una ley racional?

Eslo se ha intenlado, y se ha consrg-uiLlo;

baJO, lupgo la trasforrnacIOn de <'st.os (!o~ 010­

n~entos un,o en ot.ro es ?onsecuencJ~ logIOn de dIcha eqUIvalencIa. '\~J la fuerza viva '/, 'm v" representa cierto número de kilográm tr s T: y lodo kilográmetro puede inversamente reclu­cirse á fuerza viva. Porejemplo, un peso de LOk animado de una velocidad de 4m por segundo equivale á f 10 SO

- -~ " = --- = 3,16 unidades de fuerza iva; ~ 9 9,8

y la anulacion de f'sta fuel'za viva supone la creacion 8,'16 kilogdmetros.

10k

La masa -- quedará inmóvil; su fuerza vi­!J

va quedarú anulada al pareeer, pero en cam­bio aparecerá un trabnjo positivo do 8, \Gkm

que nntes no existia,

27TERl\IODL'\Al\lICA.

Si, pues, la fuerza viva se convierte en traba­'0, y el calor es una suma, ~ '/2 1n v\ de fuer­zas vivas, es natural que el calor se trasforme en trabajo, ó que todo trabajo consumido su­ponga cierta cantidnd do calor creado.

Estas sencillas consideraciones demuestran los dos últimos principios del núm. .in.

¿Qué es, en la hipótesis que venimos exami­nando, la caloría?

Cierta cantidad de fuerza vivJ, equivalente á 430km •

Por ejemplo, una masa compuesta dc dos 1ni! millones de partículas, en quc el peso de cada una sea de O, ~000004214, y vibrando con la velocidad media de '1 m pOI' 1" , l'epl'esenLa pre­isamen te una caloI'Ía; porque en efecto, la

fuerza viva de una de estas partículas será

0,000004214 ----- P = 0,000000215

2 9,8

Yla fuerza viva de los dos mil millones de par­tículas,

2,000,000,000 X 0,000000215 = 430 kilográmetros,

Casi es inútil advertí!' que este ejemplo es puramenLe ideal.

51. El calor, segun la teoría moderna, no es ya un nuevo flúido, especie de sutilísima ema­nacion que vá de una parte á otl'a, es tan solo un movimiento, una fuerza viva, un conjunto de parLículas que se Inuevcn en LI'ayectol'ias peq ueiíísimas, que el sentido de la vista no percibe; y así tuda acoion mecánica, todo tra­unjo, todo movinliento que al parecer se anu­la, eo realidad no hace otra cosa que cambiar de forma: de tl'abajo Ó de fUNza viva total pasa <1 fuerza viva molecular, Los sentidos descono­cen el nuevo aspecto dcl fenómeno y le dan el nomine de calol', pero la ciencia que penetra, {¡ (lrOCUl'3 penetrar, en la esencia de los he­chos, le dLÍ su \'el'dadero nombre, á sabel':

.fuerza viva. Segun lo que precede, toda la teoría del ca­

lor queda redueida éÍ un problema de mecáni­ca: Inovinliento de un sistema de partículas elllazadas pOI' eiertas fuerzas, y leyes de esLe IJlovimicnto.

Pel'o aquí surgen grandes dificultades j ¿qué elasc de movimiento es el que constituye el

Estas cuestiones no han recibido 1111sta hoy solucion satisfactoria, y aunque al¡;unos mllte­máticos ingleses, sobre todo \Jr, Rankine, han publicado trabajos de gran Illl!rito, encamina­dos á I'esolver este importantísimo problema, slem pre queda algo oscuro ó hipotético en el fondo de dichas teorías.

Sin deLenernos, pues, en ollas, y aceplando los principios del núm. 49, ya como postulados racionales sumamente probables, ya como principios deducidos de la experiencia, ya finalmente como l'esulLados de la teoría mate­mática del calor, en toda su pureza abstracta, prosigamos nuesLra tarea.

52. Antes de lerminar la exposicion de este primer pI'incipio, relativo á la equivalencia y tl'asformacion del trabajo en calor y del calo r en trauajo, conviene para mayor claridad que hagamos algunas obsen'acianes,

1.' obseroacion. liemos dicho varias veces que toda cantidad q dc calol', anulada, supone creacion de trabajo, y que la cantidad de este se determioará por la ecuacion

T=J q;

recíprocamente, flue cuando se consume y des. aparece cierto tI'abajo q, en cambio ganamos una cantidad de calor

f q= -T

J '

Pero estos principios no son exactos sino en cuanto la tJ'usformacion solo se efectúa entre ('stas dos formas de la fuerza viva: el tmbajo y el calo1'; si además entran en juego otras po­tencias naturales, como la luz, cllllagnetismo, la electricidad, las acciones químicas, claro es que puede desaparecel' y trasformarse el calor siu l]uP. aparezca precisamente bajo [m'ma de trahajo: hasta pal'a ello que se convierta en Juz, en I1wgnetismo, en accion química, etc.

Seria prf'ciso, en esta última hipóLesis, ge­neralizar el principio; hacer la cnumeracioll exacta de las potencias naturales A, n, C... ; determinar sus equivalentes l'cspeeUvos Ja ,

J. , Jc •••• y escribir

,\ X Ja -+- B X Jb -+- e x J c -+- , ••• = constante.

2,· observacion. Muchas veces decimos: «po­;alor? niendo en comllnicacion tal cuerpo con Ull

lEs movimiento vibratorio de los átomos, ó foco de calor» y como esto en la práctica su­de las partículas, Ó de las atmósferas eLól'ens pone cicdo trabnjo, pudiera extrañar el lector que, segun algunos, las rodean? que nunca Lengamos en cuenta el consumido

¿Es una especie de movimiento permanente por este concepto. Pero debe notar ante todo, del t~ter ~ I pal'a qllc sus dudas se desnnezran, que esle

TERMüDINÁMICA. 2

es un acto ageno á la teoria del calol', y que además estas operaciones cada vel se efectúan en la indust.t·ia con mayor economía. Para nos­otros, y puesto que tratamos tan solo dc la teo­ría térmica, poner en cornunicacion un CUCI'· po con un foco, ó dos focos entre sí, ó al con­trario, interrumpir dichas comunicaciones, serán actos quc supondremos ejecutados sin consumo de fuerza motriz, por más quc en la práclica deuan calcularse todas estas resistcn. cias pasi ras.

3: obser'vacion. Al estudiar los ciclos que un cucrpo recorre en sus cambios de estado, digimos que puede val'iar, ya por 13 influencia de uno ó más focos, ya por variaciones en la presion exterior; y ahora debemos agregar que el acto de aumental' ó disminuir dicha prcsioo extel'ior no supone un trabajo consumido con el cual deba contarse en la teoría del calor, por más que en la práctica exija dicho acto cierta fuerza actuante Por ejemplo, una masa de aire se halla cncerrada en un cilindro; y la presion cxterior consiste en ciertos pesos que cargan SO\)I'C el émbolo ó sobre su varilla: ¿qué tl'abajo suponc el acto de disminuir la presion exterior'l El necesario p:ua separar uno de cs­tos pesos; pero e:5to puet.le teóricamcnLe redu­cirse tanto como se quiet'a, pucs basta clcvar dicho peso una cantidad infinitamenteJJeq1teiia, y trasladarlo horizontalmente, en lo cual ha­bremos consumido un trabajo infinitamente pequeño tambien.

Otro ejemplo aun. obre el émbolo dcl caso precedeute ' como presion exterior ohra la del aire encerrado en una capacidad en la cual se ha becllO parcialmcnte el vacío: ¿cómo podre­mos aumentar la presion? Abriendo una llave y dejando cntrar airc: este acto claro es que supone cierta can tillad de trabajo, pero este es ageno á la teoría llel c~lor, y puede reducirse tanto como se quiera perfeccionando los me­canismos.

Por lo demás, apl'oximar pesos al cilindro. hacer préviarncnte el vacío, construir capaci­dades, émbolos, llaves, etc., son operaciones que suponen consumo de trabajo, pero son operaciones como hemos dicho agenas al fe­nómeno que estudiamos y que para nada de­bemos tenerlas en cuenta.

La naturaleza puede espontáneamente pro­ducir esto mismo; si nosotros queremos rea­lizarlo, habremos de trabajar para crear las

ircunstancias necesarias á su produecion; mas en uno y en otro caso lo que pI'etende­mos estudiar son las leyes del fenómeno tér·

mico, es decir. del cambio de estado del cuero po, cuando dichas circunstancias se realizan, y poco nos importa lo que el realizarlas nos haya costado.

53. Queda con lo dicho explicado el pt'itner principio de la Termodimímica. á sabel': tras­fonnacion del calor en trabajo y recíproca­'mente, y la ecuacion que lo expresa es

T = J. q,

en la que J es igual á 430 kilográmetros y q se expresa por calorias.

Pasemos ya á la exposicion del segundo principio.

54. Antes de entrar en el estudio de este segundo principio, conviene dcsarrollar algu­nas ne las ideas presentadas en otro número.

01t1"MS tét'micas de p1'itnet'a y segunda clase. Sean Ov, O}J (flg. 8. a

) los ejes coordenados re· lativos al volúmen y á la presion de un cuerpo, y sea Po su punto representativo en el estado (vo, Po, tolo

Fi~, 8,'p

Supongamos que la presion exterior aumen, ta, y que el cuerpo ni da ni recibe calor: su volúmen irá decreciendo, su temperatura au­mentará y el punto representativo describirá cierta curva a b. Para que esto 8e realice, es decir, para que el cuerpo no dé ni rcciba calor, basta que en cada instante le supongamos en contacto con un foco cuya temperatura sea igual á la del cuerpo en dicho instante.

Supongamos aun que el mismo euerpo, por una evolucion cualquiera, llega al punto a', y quc ¡Í ptlrtir de esta posicion describe, com lÍnLes desde Po, la eun'a a,' b'j que pasa des­pues al punto a", que describc an<Í1ogamen­te, sin dar ni recibir calor, la curva a" b"; y

TEHMODIN"\.:;\UCA, 2U

que e~tu. operacion ~e repite para inl1nitos Illlll­tos a, a', a" ..... ínflnitamcnle pr()\imos. Tendré­mos IIl1a ~erie ele líneas (J h, a' h', a" h", ..... va­riando por In. ley de continuidad, y que cubrirán el plano de las p v. ó cierta porcion de él.

En nada una de estas cunas la cantidad de ca­101' 1lO puede decirse que es eOl/slante, puesto que, al recorrerlas el punlo representativo, ha obrado sohre el cuerpo eiel'to trabajo externo Po Vol VI }>¡,

Y que una parte de él ha podiclt"l GOll\"crtir:ie ell calor.

Es claro que para cada punto de una de estas curvas tendrélllos nlla temperatura distinta, y que irá constantemente crecil'ndn de a á h, de a' á h', de a" á h", etc.

Para abreviar la explieacioll, diréruos que e~t.as

curvas son de primera clase ó relativas á O, VolvalÍlos ahoru al pUllto de partida Po' Ysu­

pong"mo~ que decrece la presioll exterior y c]uc el cuerpo se dilata, consenando siempre la misma temperatura 'o' Basta para ello qUd llli('lltrils alI­menta de volúmen por el decrC'cilniento de la pr¡)­sion exterior, esté en contacto con un 1'01;0 Ú la temperatnra constante 1,,: ciertu canlidad de Ca­lor pasarr¡ de dicho foco al eu!:',rpll, ¡I, ir:'! aumen­tando este lIujo de calóriL:o á medida que el vuer­po se dilate. Tendrérnos de este moJo la curva téITnica e d.

Si en vez de partir de Po partiruos de e', POdl\­mas SUPOIIeJ' engendrada otra nlJem cuna c' rI', náloga ú la c d; y repitiendo la misma flperat:ion

desde lo~ pUIltlls en .. ... hal)l'(~lllos obtenido nna segunda serie de cnrvas c d, e' ti', e" d" ..... ú las que l1amarélllos Cl/l 'vas térmicas de segunda clase, ó relativas á 1, 6 I1nalmente, cnrvas isolermas.

Las curvas de pl'ilnera y segunda clase divirún al plano en una serie de cuadrilútcros, 1" á ellas, COI\W {¡ c.ic~ coordenados, rei'erirélllos casi siem­pre elllluvilllient.o del punto representativo; pero ante todo, y conlo prolJosicion auxiliar, demos­trarélllos el siguiente

55. l'eorema.~nado un cuadrilátero Po 1\ 1\ [>3

(fi~. 8), formado por dos cnrvas térmicas de pri­mera clase Po Pi' P3 I'~, Y por otras dos de se­gunda cla:se P" P3' PI 112 , correspondientes ú las temperatnn~s lo Y ti" la relacion entre la cantidad de calor 0\, que el cuerpo recibe del foco de ca­lor T¡ (á la temperatura constallte tI), miéntras descrihe el areo f\ p~, Yla cantidad dc calor 00 que dicho cuerpo cede al foco To (ú la tempel'iltu­ra IJ mi'~ntras deseribe el arco )13 Po, es inde­pendiente de la naturaleza del agen~e físico que se emplee, es independiente asimismo par.:J. cada

cuerpo del cuadrilátero que se considel'ü, y <;610 depende de las temperaturas 1" y 11 : es decir,

Q. =" (/", (1)' 'Jo

lJe/ll. -I\.ecordelllos ante todú CÓlllÚ puctle suponerse descrito el cuadrilátero en euestiún Po l\ 1\1\,

El punto representativo parte de p,., corres­pondiente al estadp (voPo to ) del ouerpo.

Aumentando lentamente la presion exterior, comprimimos el cuerpo, pero de lIIanera que no tome ni ceda calor: el punto representativo des­cribirá la curva de pri,oera dase 1\ P" marchan­do de P" á 1\.

I~ll PI' estado en 1<1 cual el euerpo tendrá la temperatura 1 le abandonamos á sí IllislllO, de­1 ,

jándole dilatarse libremente, pbrú de tllOJO que su temperatura se conserve llOJistante é igual ú t., para lo que será precbil ponerle en cOllluniea­cion con un I'oco invariable '1'" 8ste cedenl al cuerpo la cantidad de calor (JI y así llegará el pun­to representativo á P~, descrilliendo la curva bo­terma 1\ 1"'2'

En P2 suprimirérnos la comunicacion entre el roco 1\ y el Guerpo, y disminuyelldLl lentamente la presion exterior, le dcjarélllus dilatarse hasta

13 , Ú cuya posicioll llegará el punto reprcsentati­\'0 dcspue~ de descriui,' la cuna de primera clase P~ 1\.

Por último, en Po pnnJl'émos al cuerpo eu co­lllullicaeion con un I'oco To a temperatura cous­Urnte lo' Ycomprimiéndolo lentamente, liarúmos desl:rihir al punto reprcsenlativo la línea isoterma Po Po ,oon lo cual quedal'L1 cerrado e.1 circuito. En esta última parte dr. Sil evoluciúlI pasará del cuer­po al roco To cierta cantidad ele calor 00'

La cuestion eslil redul~i¡/a ¡\ probar que entre las cantidades 01 y O. de calor, recibida del I'oco 'f¡ por el cuerpo la primera, y dpvnelta la seguJI­da al foco 1'0' existe ulJa relaciol] que sajo depen­de de las t.emperatnras 'o y 1,.

En efecto, sea A un euerpo que ell uu cido (;ompltto entre dos focos de calor 1'1 y 1'0 alas temperaturas l., lo' lOma la (;alltidad de calor 01 del primero y cede la cantidad 00 al segundo.

Sea n otro cuerpo (6 el mismo cuerpo A descri­hiendo otro cuadrililtero entre las curvas Po P3 Y PI P2) qne en un cicle. Gúrnplelo entre los dos Inis­IllOS focos toma del primero 1'1 la cantidad Q'I de calor, y cede al segundo To otra cautidad 0'0'

Concibamos que el cuerpo A ejecuta 111 ciclos

'j

TE DWDIN.\.MICA. 30

completos entre 1\ y 1'0: tomará del foco TI la cantidad de . lar m 01, cederá al foco 1'0 la mOO )

y engendrará un trabajo mecánil:o ( . 53)

mT = J (m Q,-11I \)0)'

Supongamos ahora que el cuerpo n ejecuta n ciclos completos, pl l' inversos de los anteriores (es decir', describiendo el cuadrilátero en el seo i­do Po Ps P.) p\ Po): es claro que tomará del foco 1'0 la cantidad de calor 11 0'0 ; cederá al foco TI la fl Q'I' Y ~onsumirá Ul a cantidad de trabajo

11 1" = J (n 0'.,-11 ()'.,).

Puesto que los nÍImeros In y 1l SOIl arhitrarios, podrémos tomarlos de manera que se verifique la relacioo

11/0,=IIQ'"

con lo cual es claro que la.; cantidades de calor recibidas y devueltas al foco 1'. en las dos series de ciclos, directa una é inyersa otra, se campe sa­rán e 'actamente, y el foco superior, en definitiva, ni ganará ni perderá calor.

La diferencia eotre el trabajo engendrado y consumido será

mT- IIT'= J (nQ'o-1II Qo),

y podrá verificarse una de tres hipótesis. 1." Que se tenga flO'o>mOo; es decir, que

sea mayor la cantidad de calor tomada en el foco To en virtud de los ciclos TI, que la cedida en los ciclos A.

En este caso,

IIIT-nT'> o,

ó bien

/liT liT';

es dedr, que el trabajo engendrado en la serie de ciclos ,e.~ mayor que el consumido en la serie B.

ediJcese de aqu\, que si sucesivamente opera­mos entre I,)s dos focos 1'0 y TI con los cuerpos A, 1) pour "mas engendrar IIna cantidad determi­nada de trabajo sin que el foco superior pierda calor, y sí solo el inferior.

Ahora hien, si se admite como un axioma que es imposible engelldrar trabajo mediante cOtlSU­mo de calor s/'n que este pase de un foco superior lÍ Ot1'O inferior, es dedr, d 11'1 foco á cierla lemperatura á otro á 1 mperatura más baja; es claro que la consecuencia precedente será absur­da, y que no podrá admitirse la desigualdad n Q'o > m Oo'

2," Que m Qo > n Q'e' Basta pam reducir este I CUJ) al anterior, alternar los Guerpos II y A, cn­Igendrando cIclos directos con el primero. y ciclo:>

inversos con el segundo. 3: Queda, pues, corno ilnica hipótesis adm'­

sibIr~ 11 Q'° = lit Qo, ú hien

y c(lmo tenem05 adeIllils t/j 01 = 11 Q'" de donde

(1, n '"(}'; = /11

se dedllce, finalmente,

Aplicando ú un número indefinido de cuerpos e, D..... el mismo principio; ú bien, para un mismo cuerpo, á todos los cuadriláteros compren­dido entre P, Pi (cu['\'11. i:oterma correspondi ote á la temperatura '1) y Po Ps (curva isoterma cor­respondiente á 1,,), tendrémos

(1, Q', O",- =-, = -.-" = ..... = constante. (.l" ti"

Esta constanle s61 depende de las curvas ele­gidas PI Pi YPo P;; luego solo será funcion de lo y '" y tendrémos, ppr último,

Q' = runcion (/0' ',).O"

56. El principio ante 'iOJ'. que es en el que se fl nda la segunda ley de la Termodillámica. deja mucho qUJ desear, Desde luégo ocurre que el axio­ma en que la demostraciofl estriba, no es Lal axio­ma : Thornsoo lo establece Goma tal; e este con­cepto muchos lisicos lo aceptan, pero otros lo re­chazan; y en verdad que no s , presenta al e:;píritu con el carácter de evidencia que todo axioma debe llevar consigo. Cierto es que en la práctica, para que se desáJ'l'olle un trabajo mecánico mediante el empleo del calor, es necesario: 1.0, un foco á alta temperatura (el hogar de UlJa J1áquina); 2,°, otro á temperatura menor (el condensador, ú bien la atmósfera); 3.°, que cierta cantidad de calor pase del primero al segundo; y de aqu\ resulta una pérdida de calor precisamente en aquel foco. Pero si esto es lo que la práctica nos enseña; si toda generacion de trabajo supone una caida, di­

r

TEnJfODINA1111CA. 1

gámosl() así, de calor de IJIJ roeo elevado á otro á menor temperatura; si nunca es el roeo inferior el quP. pierde ¡;alól'ieo, y todo esto da fuerza al principi n anunciado, es en el concrpto de p,.¡IIf1jJiO empírico, y no en el de ...el'dad teórica y I'llClOllal.

Tanto es as!, que Jos mismos que lo consideran como axioma se (~sfuerzan por aclararlo con prue­bas y demostraciones q!le Illégo resultan ser, 6 falsas 6 incompletas, y que exigen nuevos y lOás extensus desarrollos. Sirvan de cornprohaci.Jn il lo dicho, los grandes esfuerzos que el distinguirlo MI'. II irn ha !Jecho pal a rlar carácter racional al principio que nos ocupa sin que, por de.::gracia, lo haya conseguidt!.

Oc todas maneras, y ya que no pueda ¡¡cep! ar­se como principio racional, puede considerarse sin eSl'l'úpulo como una pl'Oposicion empírica plenamente comprobada en numerosas experien­cias. Pero hay IJlás: no sólo es incompleta la de­mostracion de este segundo principio, si no <.j ueó.u n suponiéndolo cierto, no es tan claro en Sil esencia, tan sencillo y tan directo, como el de la lras['or­macion del calor en trabajo. lIay en dicha pro­posicion algo de forzado y artificial; IJay compli­cacion en su enunciado; y no adivina el que por primAra vez estudia esta teoría, ni cuál es su im­portancia, ni CÓmo se enlaza ta.n directamente con la Termodinámica, que viene á constituir nada ménos que uno de los nos principios fUlldanH:ln­tales de esta eiencia. Por ahora no nos es posihle insistir más sobre este punto, que en ocasion opor­tuna nos esforzarémos por aclarar.

57. liemos demostrado que en el cuadrih\tero fundamental de la figura 8.", se tiene

\)1 .-=1.(1,,10 );

(lo

pero ~e pUéde ir nl:'ls léjos y determinar en cierto modo la ['tlrma de la fUllcioll F.

En erecto, concibamos un foco intermedio de calor á la temperatura 1, es decir, que se ten~a

1,> 1> lo,

y hagamos funcionar al cuerpo que escojamo como vehículo del calor, primero entre tI Y t. Y despues entre ( y f o : el resultado debe ser el mis­mo que si ['uncionase directamente entre l I Ylo' 6 al ménos esto es lo que hoy parece, miéntras una teorla más exacta no venga á desvanecer las dudas que á cada paso asaltan en esta noyí:;ima é imperfecta ciencia.

Fnnciollando entre (t,) y (1), debe tenerse la re­lacion

~=F(tt,I): CJ

funcionando entre (t) y (1,,), se tendrá asil!li~mo

1I = 1"(1, 1,,): (i o

y runcionalldo, por último, de una vez entre ti y lo,

~ -1"((,,10 )

00

Multiplicando l¡¡s dos primeras relaciones, é igualando los segundos miembros de la que resul­ta y de la tercera, tentirémos : .

F(I¡.t,,)=F(II,t).F(1,I,,) (l),

que debe verificarse inrlepeudiente del valor de l. Veamos si de esta relacion podernLls deducir al­

guna conseuuencia relativa á la forma de F. A este fin, hagamos 1=1", y resultará

F (1,. lo) = F (tI' 1,). F (/",Iu ):

ó bien dividiendo porF (t" t,),

1= F (lo, lo).

llagamos ahora ti = (o, y hallaremos

F(I", 1,,)= F (to I). F (1, lu);

ó bien

t = F (lo, 1). F (1 , lo),

de donde

I . F (1, lo) = FTt;;":tj'

y sustituyendo este valor en la ecnacion funda­melltal (1) ,

F (1 ,,1) F (1, , 1,,) = 1" (f", .ff

El segundo miembro es caso particular de esta nueva forma más general:

r(t tl (2)F(tl,I")=7T:)

en la que res corn pletamente arbitraria, y nada presupone respecto ¡'l la forma de F.

Pero muy bien pudiera ser esta nueva forma demasiado general é incompatible con la condi­cion (1). Para averiguarlo, introducirérnos este resultado en dicha eCllaeion (1), Y si se reduce á una identidad, podrérnos admitir la forma (2), al

TEllMÜDINkMICA.32

paso que deberémos rechazarla si resultan nuevas condiciones para f'.

Tendrémos, pues.

y susti tu yendo en la (-1) ,

De aqui se dedur,e que en virtud de las condi­ciones físioas de la cuestion, la forma F está com­prendida en esta otra forma:

F (' t) = ((1'> . '" ((1,,)'

y por lo tanto, el teorema fnndamental del (N. ::>5) se ex presa 'así :

Ik= ((1,) Ó hien ~=~: Q" ((lo) re',) ((to)

la funcion ( (t) de 1 temperatura es la misma para todos los cuerpos de la naturaleza.

De aquí se deduce que pnes siempre es la mis­ma, basta conocerla para lUlO solo, con lo cual quedará deterlI1inada en general.

58. Generalizacion delleorema fundamental. Ante todo observemos que á la curva A n e D E (Fig. O,"), descrita por el punto representativo de un euer'po, se puede sustituir otra cualquiera A a B " e e D d r: infinitamente próxima,

Fig. o:

U1 cuer () ~e pone ell contacto con IIna serie de fa ,os Q. Q'. _. contínuos ó disr.ontínnos. que e to 1 ca importa; al lLlisrno tiempo la presion exterior aument.a ó disminuye segun cierta le , y de aq I resulta, como vimos en el .33, que el punto representativo describt-l la línea A B e o E. Si en vez de ponerse en contacto con los focos Q, Q/, .. se pone en comunicacion con otra serie de focos, poco distinta de la anterior, O., Q', .. : y la nueva ley de las presiones tam poco difiere sensiblemente oe la precedente, el punto repre­sentativo describirá una curva que, para fijar las ideas, supondrémos que sea la A a TI 6 e e D d E infinitamente próxima á la primitiva.

Pero. ¿qué ~ignillca esto de sustituir á lino da los contornos el otro? Signillc::L que en uno y en otro casu, es decir, ya describa el punto el primer contol'llo, ya recorra stJgunno, el f'uerpo pa­sará próximamente por los mismos estados suce­sivns, y podrémos siempre sllstitllir á los volúme­

Ines, presiones, lemperaturas, trabajos mecáni­eos. y eanll"dades de calor cedidas ó lomadas correspondientes ti un caso ó coutorno, todas las cantidades de estos cinco gl'llpos que se refieren al segllndo contorno.

Ell efecto, las presiones y volúmenes son pró­ximamente iguales, puesto que ambos elemento est(lI1 representados por las ordenadas y abscisas de las curvas A 11 e D•..• A a 13 b e e. .. con relacion á los ejes O p, O v, y estas curvas están por hipótesis inl1nitamente próximas. Ademas. puesto 4ue las temperaturas son funciones de p y v, In igualdad de estas últimas trae consigo la de la variahle l.

Hespecto á trabajos mecánicos, como están re­pr séntados por las áreas de una serie de trape­cios. y la.' diferenr:ias de estas áreas son los trián­glllos infinitamente peqneñ()~ dl~ ~egllli'¡U IIl'lfell A a R, B b C... , se deduce qlle t()davía podernos suponer iguales estos nuevos elementos.

Por ú!Limo las cantidades de calor que pasen de los focos Q... al cuerpo en los arcos A B, e o... , sólo podrán dil'erir de las análogas T)ara los focos 0 •... Y Jos arcos A (l TI, n b e... en cantidades infinitamente pequerlt1.s de segundo ór­den, puesto que son proporcionales á los trián­gu los A a B, 13 6 e. . ,

Basta para con vencerse de ello considerar los contornos cerrados A n . B b C...

59. tablecido est nrincipio. imaginemos una I;urvct l:

j'

Iréllla al/ ':. _ . h' l' lFl~. -10), descrita : por el punto répresentativo de un nerpo al po­I nerse en contacto con una serie de focos O, Q/,

Q"... , variando al mislll tiempo sus presiones Ó sus va lúrnenes, segun cierta ley.

Imaginemos a-imismo en el plano de las p 'V una serie infinita de curvas térmicas de primera clase m 111', 11. 1/, P p' . .. y otra serie de arcos de se­gunda clase m 6, n e, p d. .. m/ 6', 6' p', e/ q/, d' n' . .. y formemos un contorno a '111 h n e p el q r f s s' f' r' e' n' d' q/ e' p' 6' m' a con curvas de una y otra clase, que se aproxillle tanto como queramos al contorno dado a 6 e. .. e' 6' a. Aquél sen\, por decirlo asl, la variable auxiliar del sistema; éste la cantidad fija á la cual se apro­xima indefinidamente dicha variable.

Hemos probado que. elemento por elemento,

TERl\:IODINA.~nCA. 33

\ i

P

(l'

fig.

podemos sustituir á un contorno otro, en todo lo (lile se refiere á presiones, volúmenes, temperatu­ras, traLajos desarrollados y cantidades de calor tomadas de'los focos O, O' ... ó cedidas á dichos focos, sustituyendo á estos últimos la serie O. , O'•... de focos correspondientes al contorno que­brado.

Teudrémos. segun esto:

ciliar cedido por lo. {ocas Q... en el arco ~ b = cal%~~ cedido por los {ocas Q•... en el contCrtlO:I m b;

calor cedido en el arco he = calor cedido en el contorllo b nc.

Pero en cada uuo de estos contornús hay dos arcos térmicos: por ejemplo, en el b n e tenemos el arco b 11 de primera clase, y el n e de segunda; y miéntras el punto recorre el arco n h, ni toma ni recibe calor; luego sólo queda el arco efectivo

11 e, y como lo mismo podriarnos decir de ah, e d, de . .. resultará:

calor correspo/ldiellle ti ~ h = calor correspondiente á m b id. . . . . . . . . . h e = id..... 11 e id. . . . • e d = id. •. . Pd id. .. Ie= id qe

id . ...•..•... e' d' = id. ...•...... e' q' id • •..•....•• h' e' = id b' p' id. . :1 h' = id. . m' b'

Por otra parte, cada dos arcos m h, m' h'; u e, b' p' ; P d, e' q' ; ... corresponden á un cuadri­lAtero 711 b 1/ m', n e p' b', p d q' e' . .. análogo

- ~

10.

al de la figura 8", y por lo tanto podrémos apli­car á las cantidades de calor correspondientes el teorema del N. 57.

Llamando á dichas cantidades de calor 00 y O'o; O, y 0'1; O, YO',... y representando por lo, tI> tt . .. las temperaturas de los focos, tendrémos:

Qo Qopara el cuadrilátero ni b b' m'. . {(t ) - {(t'o) = o;o

id ..• . . • • . . n e p' b'. ~-~=o; . {(II) r(['1)

"', Q', -o'iJ....•..... p d q' 0' . .... {(tt) - {(l',) - ,

•••• I •••••••••••••••••••••••••••••

Sumando todas estas ecuaciones, resultará:

Qo Q. Q~ Q'o Q'I Q'!-+-+-+... ---------.. =0,(Uo) (Ud ((1,) ((1'0) ((1'.) (U',)

en la que 00' 01, 02' .. son las cantidades de calor cedidas al cuerpo ó recibidas de él por los focos O, O', Qff . .. al ponerse en comunicacion con ellos.

Si convenirnos en dar el signo + á las cantida­des de oalor que los focos ceden al cuerpo, y el signo - á las que el cuerpo cede á los focos, po­drémos expresar abreviadamente la ecuacion an­terior, de este modo:

,. Q_7fij=o.

TER\IODIK.' n 'A.34

De lo expuesto se dedu·e I siguipnte TEOHE)(A. -- Cuando un cuerpo se pone efi con­

tacto con Uf/a serie de focos de calor á fempem­t'Uras diversas t o, t{, t~ ..... .ti de ellos recibe, Ú

b1"en les cede, crmLir!arles tie calor Qo' Ql' Qt . .. ,

, si el cuerpo ll/lelve á su es/arlo i111áal, la suma de los cuocientes que rf!sulfan de dIvIdir cada cantidad de calor por Ulla {I!ncion COIl frl1lLe, f, de la fempe1'llLura c(¡l'resp()1/(lil'llf(I, es igual (Í

cero.

CAPITULO 111.

ECU¡)GiOllt':::> fund;llDclllaJe'''''

63. Dijimos en el N. 6t • que siendo seis los coeficientes específicos, y expresúndose CUütro de ellos en funcion de los otros dos, eran necesarias dos ecuaciones mas entre dichos coeficientes y las variables p. v, t: estas dos ecnaciones son las obtenidas en el capitulo anterior

T=HQ;

y Q ­- ((1) -o.

Verdad es que en dichas ecuaciones entra la cantidad Q; pero esta se expresa fácilmente en funcion de los coeficientes especificas.

Veamos, pues, cómo deducimos de las dos re­laciones fundamentales dos ecuaciones en l'uncion deC,p,v,t.

64. Ecuacion deducida de T=J'f. Q. Adverti­remos ante todo, que para mayor sencillez supon­dremos contada la temperatura, ú partir de 2740

bajo el hielo fundente; Ó de otro modo .. supon­dremos que t representa la temperatura absoluta.

lmaginemos (Fig. 1'1.") en el plano de las p v

1 ll.

P p

; .. lI I

: '"I .1 ~; : I

yV V t·i¡¡. 11.

O

un cuadrilátero infinitamente pequeño P n P' m formado por dos curvas térmicas de se~unda cia­se P m, n p', correspondientes á las temperaturas L, y L+d L, Ypor dos paralelas P n, P' m, al eje de las p, correspondientes á los volúmenes ti = O V, v + d v = O V'.

r, que representa el úrea ncerrada en el con­torno P 11 P' m, podrá considerarse como u pa­ralelógramo, y tendremos:

T = P n vV';

pero P 11 es el incremento de presion al pasar el cuerpo de (p, v, l) á (p+dp, v, L+d t), puesto que las curvas t.érmicas corresponden á LYt+ d l; luego es el íncrell1p nlo parcial de p por el incre­mento de l, r¡uedando v constante; es decir,

dpP n = di dI,

en cuya expresion d--!!.- es la derivada parcial uedu­d. I

cida dep = {(v, t). Además :

v v' = d /';

por consiguiente,

T =!!!.... dI. dv. dI

Tenemos ya expresado el-primer miemb o en funcion las variables p, v, L: pasemos al segundo.

'f. Q es la suma algebráica del calor reoibido ó dado por el cuerpo al recorrer su punto represen­tativo el contorno P n, p'm;asi,

'f. Q=calor recibIdo en P n+calor recibido en n p'-calor cedido en P' m-calor cedido en m P.

El calor recibido en el lado JI 11, es el nece:-a­rio para aumentar la temperat.ura de t á l+d L, quedando constante el volúmen; lue5'0

ealor recihido en P 11 = e: d t.

El calor recibido en el n pi es el necesario para que el vo!úmen pase de v á v+d v, f]ueJando constante la t.em peratura; as! ,

TEUMüDINAUIC.l\. 35

calol' re¡'ihido en /1 P' = r.:, d v.

11~1 G,lior eerliuo (L lo:" roco~ Gutorlficos en P' 'in es el mismo que estos cAderian al cuerpo si pasase dem á P', cantidad análoga á la ya obtenida para el lado P r¡ , con la dirercneia que en vez de refe­rirse e;' al valor ·tl , se reflere ;l v+el v,. por con­siguiente:

de" )cantidad de calor e did:: t'n P' 111= ( e: -r- dv' dv (H.

Del mismo modo obtendremos

de' )cantidad de (:alor ced j 'a en m P = C:, - --,¡f dI duo(

y ~ustitoyendo en ~ Q,

, ( dr,~) (, de' )~O=C; dI e dv- C,"+-du dl- e --"dI dv'

" du "dI'

y simplificando,

dC' dC")t' , ~Q= -- - dV.dl.( (/1 d v

ustituyendo ahora en la euuaeion T =.J ~ Q los valores obtenidos para T y ~ Q, tendremos:

dp de'v,dC") (-d dl.du=J --- r/u.dl;

I dI d u

ó bien,

d< dC: 1 dp ¡¡¡ - dV= T (Ji'

Finalmente, poniendo en vez de -}- el equiva­

lente caloril1co de un kilográmetro A, tendremos la primera ecuacion de la Termodinámica,

de' dC" " t dp---=A- ( 1).

dI dv dI

65. Ecuacion deducida de E (~) = o. Aplique­

mos la ecuacion del segundo principio al cuadri­látero n, '1', S P' (flg. 10), análogo al fundamen­tal P. PI p~ P~ de la flg. 8."; pero supuesto infi­nitamente pequei'to, resultará:

UI ((11)o;;- = (1,,);

ó bien, u, - 00 ((11) - ((1,,) -0-,- = ((1,)

Prouuremos eliminar de esta fórmula O, y O., para que sólo quede una relaoion entre p, tI, 1, Y los coeficientes especil1cos.

Tenemos

Q,-Oo=A.:ireanrsP';

u hi~n, puesto que los paralelógramos n ,. s P' y fl. P' m P son próximamente equivalentes,

(l.) - Qo = A. áreá 11 P' m P ; pero

dpilrt'alIP'mP= lit dI. dv;

lueo'ob

dpQ,-Qo=A{j¡dl.dv.

y sustituyendo

A _~ ti_'._ti_u =/_.0--(1,,-')",,-....,:-(.:.-(t.:.;.,,)

dIO, (Id

Las cu rvas térmicas 1t P' Yr s son infinita­mente prúxim¡u;; luego t~ = to+el t, Ypróxima­mente

((t.) - ((lo) = ((10+ d 1)-( (lo) =f (lo) d t;

Ó prescindiendo del suhlndice,

((1,) - f (lo) = f (/) d t.

Así, despreciando infinitamente pequeños de órden superiur,

dpdl.dv f(l)dlA---=-­

dI Q, (1) .

Solo nos queda por eliminar O. pero O, es la cantidad de calor que el foco superior debe ceder á un cuerpo al pasar de n á P' por la curva tér­mica rle segunda clase n p'; es decir, la cantidad de calor necesaria para que el cuerpo aumente el volúmen el v, quedando constante la temperatura; luego

o, - C: d u;

y por último,

dp di. dv f(t) dI A---=--.

dI d dv ((e)•

ú simplificando y representando, segun el uso, . ((l)

por e la funclOn ('(1)'

C~= A C !!..!!.. (2).dI

66. Las dos ecuaciones ('1) (2) Ylas cuatro del

TERMÜD N.' MICA.36

(N. 31), unidas á la relacion general entre p. v, l, son las generales de la Termodinámica.

Presentémoslas aquí reunidas para fijar a<; ideas;

dC' dC· • I dp

fit-/iV=A-¡¡¡ ... (1)

I dpCv = A r. dt ...... ... ... (2)

, t! t C = c, dP (3)

p

dv

ti ,t' i Cp = e, di ''''' ......'' (4)

dI

dp

,p , "dv(. = e - C -;l.... (5)W IJ I ... p

dI

dp

p • 1 M CI=CI-C.¡¡¡; .... (6)

dv

p = f(v, 1) (7)

La ecnacion (7) dá las derivadas parciales de v

p; las (1) y (2), los coeficientes especlncos C:' C l

;

y las (3) (4) (5) Y (6), los restantes: conocidos to­dos los coeficientes en funcion de v, t, fácil es resolver la mayor parte de las uestiones que pue­dan presentarse, como ya hemos anunciado ycomo Irémos viendo en la serie de estos articulas.

67. Consecuenáas principales que se deducen de las ecuaciones (1) y (2). T. La ecuacion

nos demuestra que C: y C; no pueden :>er las Je­rivadas parciales de una funeion de v, t. En efec­to, si d Q representa la cantidad de calor que es preciso comunicar á un cuerpo para que pase de ti, t, á v+d v, t + d t,. Ysi pudiera ser Q fun­cion de ti, t, es claro que tendriamos

dQ dQdQ=/iV di! +.¡¡¡ d.l;

de suerte que

I dQ v (IQCv = -¡:;¡;C, = di;

pero ent6nces

y por lo tanto,

de' d ¡;V• I

(j( - du' = o.

lo cual está 611 contraJiccion con la ecuacion (1). De aquí se deduce que la cantidad de ealor Q

que haya de comunicarse á I1n cuerpo para que pase de vo ' '. Ú v, t, no puede :er funcion ele es­tas dos variables; es deci r, qlle no puede tenerse

\j = l' (v, t, v" '/u)'

y di rectamente se ve que asl debe ser. puesto que el calor que sale de lIn fono y pasa al cuerpo entre dos estados fijos, no depende única y exclu­sivamente de dichos estados, sino de la curva que el punto repre entativo descrihe, 6 sea de la ley segun la (jllal varian v y l.

Vemos, segun lo que precede. que si se nos di­jese : ¿qué cantidad de calor será preciso comu­nicar á un cuerpo para que pase d (vo , ]Jo) á (v,. 11.)? :\os seria absolutamente 'IlJposihle res­ponder á esta pregnnta. El prohlema es, en efec­tn, indeterminado: la cantid JI) cada Qu puede var'ar enlre ¡¡mites muy extenso', y dep nd de la manera segun la cual camhie el uerpo para pasar ue uno á otro estaJo.

En efecto, sigamos paso á paso esta ley de va­riacjon ; es decir, veamos el incremento d Q que correspond á cad; dos incremento de v '/.

Para que el cuerpo aumente el v de VOIWl n, quedando l fija, se necesita la cantidad oe ca­lor e:, d v,. para que aumente d l la temperatura, sin que varle el volúmen, neeesi ta lisien 'SIllO la cantidad de calor C~ dI; luego par' que pa e de v, t á v+dv, t+dt, ~e necesitará:

Pero esta ecuacioll 110 puede integra Sil Jircc­tamente, pues no satisface á la condiciolJ de illte­grabilidad

dC:. de: dT= -;¡¡;,

Para integrarla sería precio o fijar \lila relacion entre v y l : y en este caso, sDstituyendo á v y á d v, sus valores en funcíon de y ti l, 6 pcí­procamente, tendriamos una ecuacioll diferencial ordinaria

d Q= q> (1) (/1 •

susceptible ya de ser integrada exacta ó aproxI­madamente. y que 110S daria

Q. = ~. '( (/) dI.

- -

37 TERMÜDINA1\lICA.

Pero 00 depende dl' I~ forma de 'f, Y ésto. de­pende de la relaoioll entre 'v y 1,. luego 00 depen­de de dicha relacion; es decir, del camino segui­do por el punto á que hemos dado Poi

represen tativa. En resumen' t •• e' vr.r no son las derivadas

,. J t

llIa funcion de v. f.

nombre de

(Jan:iales de

2." Al comunicar cierta Ijantidad de calor ÍJ. un .:uerpo, no quedan determiDlldas las variacione de v y 1,. Y reclproeamente, para que el vo!úmelJ

ta temperatura 1eciban IIIcrementos deterrnina­dos, la cantidad de calor que debe comunicarse al cuerpo depende del catnino que el punto repre­senativo siga. y 110 AS, por In tanto. fija, deter­minada y dependiente d~> t!". too y rJl';;US increll1en­lo;;.

liS. 11. En las ecuacione;; (t) Y (2) entran la oon;;tante A v la I'uncion e; pero estas ecuacio­

es dun el ITIl'diu de dettmninar una y otia incóg­nita.

En primer lugar, A es el equivalente calorlOoo e un kilográmetro; es decir, el numero de cala­

rlas que equivalen (¡. 1k,,, , Yes igual tarnbien ú+ iendo .1 el equivalente mecánico del calor, ósea

el número de kilográmetros equivalentes á una caloría.

En segundo lugar, e representa la relacion de r (1) ar (l) i es decir, una fllncion de 1, cuya for­ma es desconocida, como son desconocidns, por {~onsiguientc, sus parámetros.

hora bien, del mismo modo que las COlls{all­

les que entran en las ecnaciones que expre~an la ley de un fenómeno natural. se detel'lllinan espe­rimentalmente LusculIllo uno, dos ó más siste­mas simulláneos de valores para las variables, así tambien en el caso quo nos ocupa podemos deter­minar el calor de A y la fl'f1na de e, aplicando las ecuaciones (l) Y(i) ú vn.rio~ cuerpos; (1 de otro modo, por una serie de experiencias.

Si la teoria del caloJ' ql:e venimos exponiendo es cierta. A es constante é independiente del eue\'­po qne se elija; es decir. la misma para todos: y e tiene siempre la misma forma, y el mismo va­lor sus parámetros, sean cuales fueren los cuerpo que ensayemos y el estado en que se encnen­tren.

Pues bien, t:scojamos el estado gaseoso, y de­terminemos para dicho estado A y e; claro es que determinadas quedar(ln estas expresiones para el estado sólido y el liquido ; y es evidente que nos conviene fijarnos en los gases, pues cono¡;emos

por ellos la relucion p = f (o, t), 'lue, segun he­mos visto en el (N. 10), es p 'v = R l.

Sacando oe aqul :¡-, que es la derivat1iJ. par­

cial que aparee" en l:J.s ecuaoiones (1) Y (2) • len­drémos:

¡Jp n -;¡¡=-v-;

y $u~tituyendo en dichas ecuacione

d e: _ ~I e; = AR ¡fU dv v

(8). R

,1 = AC -- I",. .

flastu que cO/lozcalllo~ e: y e; rara un solo gas en funcion de lJ, l. pues eliminando A entre las ecuaciones (8). hallarémos la I'orma de e; y basta asimismo que IjOlJozcall¡os tantos sistemas simultáneos de valores de p. v. 1 como sean las constantes desconocidas de e mas uno, para qu determinemos lo:; valores nlllnéricos ¡Je dicha cons­tante y da A.

Ahora bien; 8n los gases la cantidad de calor necesaria para elevar lo la temperatura, quedan­do el volúlllen constante. es indeLJendiente del vo­lumen; luego

dG" -¡¡¡;I = Q;

y las ecuaeiones (8) quedan reducidas á eslas ¡JI)

de:=- ~¡ dI 11

(8').

el =At:~ 1 ti

Diferenciando la segunda por relncioo o. I lendrémos:

dt:: A n de. di = -v- -¡¡¡,

de' y eliminando di entre ésta y la primera del2Tu­

po (8') dG_ = i;lit

e = I + constante;

designando por ex la oonstante,

c= I+!l (9).

Conocemos ya la forma e, y sólo (Jos falta de­terminar la constante IX y la. constante A.

J'!"': l'

6

Introdu 'íe do la e Ill.licion (fl) en de la. ecuacinnes (R') , hal1arémo. :

ratura, lolueg

gunrlindependiente de t. YGtl'

,1 A R O)e, - -,-, (I-+-a) (l.

De todo. lo: cocfici ,nte' pecí/ko:; que h 100

enumerad , sól- do ~e l .lian ,o 1f t 'ice, y;-;o deducen e.- VerirneJltillmenle; a saber, ;, e;' e, decir, la antidad de cal " llece aria para e e­val' 1" d te el' lura un ,lIer' , cOllservo.ndo constante, -a el volúl1l n, ya la presion; can ti­

Jdade á. qu ,e ita los nomhr . de elHentes es­peclfi os á vnlümen I'on:itnnt Ó ti pre. ion e n,­tanteo

L, primero SClJ'lln to, que tell mos que ba­cer, es expresar r,:, en runc'oll d e: y ~; pero en la eCl! cíon (fi) tAn n azada e. las tres call­tidade.. luego despejando C~, lendr mos'

d

(" = .!!...!!- (1'" - (f'v úp" I

di

y sustituyendo en la (10),

dp

d v (. ji) A R dp C, - f:, = -,-, (I-T' /l).

dI

,amo estamos considerando cuerpos gaseosos,

eherémos deducir :~ y ~~ de la relacion p R 1, Ytendrémos :

dp p up R dV = - ¡¡¡= "-;-;IJ

de donde -p

v (' " AR C,- C, =-(I-+a:);

ó bIen, AR,", ,= -(1 +11,; fl

y su tituy .od por p) u valor R t,

" u A nC, - f. , = -,-(I+/l).

E en ral, b ri m s ' st' uir por : ' , su valores en runcion u v, t; Y dando de pues dos sistemas de valore im lláneo á p, ti, 1, de­d ciríamos de las do e uací ne es Hantes 10 de A y IX; pero en 1c, presente el roblema e~

(¡,un m: encillo.

En efe lo. e: y : soo md p odien 1 d la lem­

ual e n ba e. pcrimentalmente; el primer miembr de la última ecuacion es

tanto debe ser el se­• para lo cual f\S ne e~ ri ue se tengo

c<=o.

IConucellJOS, pues, el valor J IX' Ysustitl1yén­

dolo en dicha ecuacion despejando A, hallaré-m s, por último,

c"-l.•A=_'__

11 '

y por 1 tanto 11

J=---. f:~ - e;

e o que [lara un solo gas cooozcamo los do coefi ienles e 'ppclficos ordinari s, y la constant R, podremos deducir el valor e A y el del coefi­ciente mecánic del calor J.

Par el aire atmosférico. los alores más pro­

abtes de R, e: ye, ' soo :

11= 2!J,ti:!

f:~ = 0,238

e: = O,i6!J

2 ,1i2 . J = = 422,8 kIlográmetros.

0,23S - 0,16!J

[ ara ':JI hidrógeno se tiene

"91-"r -~- "IW"1- O,069'!6 - -l., .)

lue o

"!t,ifti 113 k') .J = .405 _ 2.410 = . I ogrametros.

E. verdadera ent a mirable. y es singular cornp 'oba i n d la teorla t mo inámica, esto de nconlrar por u medi an indirecto y compli­

cad ,US ndo Jatos xperimentales tao aparta<1osI á primera vista de l 1 orla d 1equivalente mecá­

nico, 1mi mil número que p r experiencias di­rect é inm iatas se hila.

En un de I c pllutos pI' ,'im s insislirémo Aun roá obre e la ¡ngularl ima comprobacion' po allOra continuemo. iti Juliend las ecuacio­nes fun amentales.

En resümen :

j a fun io ((1) = e A ue g' eralment srll) ,

~

TEHMÜDIN.Á l\lICA. 09

a 131 nombre de (ullcícm de Carnol, !;lO;; igual á la variable r,. nsi ,

r (1) = t. fU)

La experiencia cOlllprlleha las dos ecua es fllndamentale~. puesto qu~ da para el f'oefl­

ciente J, empleando nLtOs cueficientes prilcllcos referentes :L olras cll('sli(1I)/·~. 1'1 mismo valor (jllt' directamente se aL! ¡ene

9. 111. Ona de la:) principall3:) ~lJn~eculjllcias

que de las dos eClJacíolles flllldamenlalel' ~e dedu­ce, es la relativa é!. la foneion a qlJe generalmenl e lIa::-.a (Ilt/cion termodinalll;ca, Ú funcion d~

Ral1k;l1e, que conviene no confundí" eOIl la 1'1l1l­

oion de Carnot. Veamos cómo se viene á paríLr ú ~.~tll f'lJlleilln,

que e~ una especie de potetwial análoga á la qu en ia teorla !le la ahsnrcinn se emplea l:Oll l!rall ventaja.

Sustituyendo en las ecuaciones (1) Y (2) él IU­

101' e = t , lend rémos :

de' (IC: dp (t)l' -=A­dT- dv ar

e' = A I dp (~) ,. lit

l\Iultiplicando la primera por r • y restando de ella la se!runda, resulLa:

de: , de;' /---1: -1at .. d v

Ó bi6l1.

dC I dC" l' , al I/--c - ­

di "dt dv I~ I

ua puede escrihirse bajo la lorma

C' ) u(e;)d_'_v I -,I -

di (Tv

;' (} Esta ecuacion nos prueba que -+ y + pueden

,onsiderar~e como las derivadas paroiales, con re­lacion á v y á t, de una fnncion de v. t, que de­signarémos por la oaraclerlstica 9. Tendrémos,

ues,

e' cr • d<p I df i=¡¡;¡; ,=lil'

y la deterrninacíon de los dos coeficientes especí­

cos fundamentales <) e; queda reducida á la

e la funcion 'f'. A esta l'uncion se da el w mhre

de /lIndon lenllorlinúmica ó funcion de Rankine. COlloci!la que <¡ea, hallaréll1o~'

, de¡> ," d'l'r.,,=I-¡;; c,=l di ;

y su~litu)'end{) estos \alores en las reuaciones e (/1) (5) Y (0\, lendrémos expresados en funci de <f los seis coeticientes especificos.

r.omencemos, pues, por detellllillul' la forma dI' 9- Sustituyendo á /Jsll~ 1111 en la ecuacion (2) el valor dI' el

/, , re.__ultará:

de¡> dpI-=Al­uv d

(¡ bien. d t dp-='\­dv . di'

~: ~~ lIna deri\a~a parüial torllada respecto a v;

integrando r,on rdaf'Íotl (1 esta variable, obtell­drérnos

¡ d P'P - 1\. di d l' + F (1);

ient10 F (t) una funcion arbitraria de la illlegra­cion, y delJi(muosc tümur lu integral respecto fl. v,

s decir, que si ~~ os A (v, t). en esta funoíon

considerarémos á l como constanL. Pasemos á la delerrninacion de F (l). Esta fun­

0ion es independiente de v, )' podemos, segun esto, suponer el \'olúmen sulicienLernente grand para que el cuerpo al cual se a~liqllell estas fór­mulas se halle reducIdo al estado de güs perfecto,

I en cuyo caso tendréruos la relucíon]J v = R l. I Susl ituyenrlo el ,alor ? en la ecuacion

1:" = _d.­,

I 1/ t •

resullari'J. :

j'IJ~l) .- = I(A --l/ti F' (/));

( • di'

bien

/'d~P cV = A 1 - d v-+-I F' (1). , . á I~

i representarnos ahora pOI' e el ralor de e; en

los gases, can lidad tI uc es , segUll todas las expe­iencías, próximamente constante, y sustiluimos

por ~: su valor deducido de]J v = R t,

d'p dl1 =;).

tendrémos, finalmente,

e = ( F" (t);

ó bieu, d fl (Od"t=T;

40 TERMODIN MICA.

de donde

I a) = e lo:;. I -t- consl3l1te.

:'ustlLuyendo este valor en el de í' tendrémo definiti"umenle para la funcion termodinámica

dP -7 ~c lo~. f+ <l:':lf'-rA ( -.-dl/;

• ti 1

6 JncJuyend en la integral la constante

f dP ~ = e J(¡~. , -t- A - dI' ( \1).

, d,

70. NucIJa eXJlresiolt (/r, los coeficientes espe­clficos.-Nada más fá.cil ya que expresar todos Jo' coeficientes específicos en funcion de '?' la cual á s Z está perfectamente determinada por r

la ecuacion (1 j) en funcion de p, fJ, t, al ménos "uando conozca la relacion p = f v, t).

Basla pur'u ello suslituir los valores

cl = , .!!5:-. e' = I df l' dv" di

e 1 las ecuacIOnes fJ) (4) (5) y (6), le drém

I de ',='¡¡;;;

t' d-r. C, =1 (j(;

d,!,

et = t ~. (12) JI dp'

dI

d

. di e =1-; v d"

dI

GIl' ~

72. La e uncion ("1)

CAPITULO 1V.

::¡i, lem;-¡. o ~cua('J()n()!:" h ndamenlale'l-.

(2) del (N. 69), que e pre an os do principios fundam nt les de la Termodinámica, pueden ser 'I:stituidas por otr vArias en I que entren lo' seis coeficientes espe­cificos combinado do~ dos. e DIO el número

de e ta ombinacion e ~~ = 15. resultan

5 ecuaciones distintas. d m ,nosolro hemos escogido hasta ahora

de la tI' arí le t, , p, que xpresan el es­

~ .!!!._ dy !!.!!.­d u d t el 1 c/u

elp

dI ¡

(12)a", dp df d

JI lit -;¡; - (iI; d' e, = t clp

dv

Uniendo á estas ecuacione~

f dP cp = e log. I -t- .\ - d " (11).

• di

, para deducir de ella las deri"adas de 'f con rela­I cion á v y 1 YIIníendl1 a"lIni,.;rn0 á estos dos g'ru­

pos la relaclOll general

p= I'cv, t) (\5).

para deduoir' las derivadas de p, te dr o:s toda la ecuaciones fundamentales de la Termodinámi­ca, en las que sólo entrarán dos funciones '1' y f.

I 71. V rias veces hemos dicho, lo verémos

Iconfirmado más arielante, que de los coeficientes especificas y de la funcion ('J::I) dependian todo lo problemas de la Tcnnudinámic' ,y 11 ec:tamos en I caso de estudiar detalladam 'me las princi­pales que pueden presentars ; pero como la cua­ciones ("11) (12) Y(13) no son las únicas de que se hace uso; como muchos autores, adoptando una marcha distinta de la que hasta ahora hemos se­gui o, establezcan sistemas de ecuaciones diver­s, en la forma de las anteri res, bueno será, par evitar dudas y dejar completamente esclarecido este punto, que demos una idea, siquiera rápida. de estas várias formas que suelen adoptarse, y éste será el objeto del capítulo siguiente.

tado de un cuerpo, qu e h la\ enlazadas por la ecuacion f (p, fJ 1) = o, la v la t como in­

t

dependientes; pero pudiéramos hab r escogido la la p, ó la 1y la p; y segun elijamos uno Íl otro

de estos tres is ema. vendr 'mo á para á ecua­iones diversas.

En cada rupo, p, ti; 1,JI; 'V, t, el número posible de ecuacione qne conteng n dos d 10_ seis coeficiente~ específico, 1 '. luégo e los

41 TEllMÜDIN.c\MICA.

1res sistemns lenctr6mos nlJ lotal de ·'1·5 ecuaciones diversas.

Á cada UIIO de los tres grupos (p, v), (/, p), ('v, 1), corr6~ponrle además una funci'ln termodinámica,

es facil repetir para las dos nuevas hipótesis to­dos los razonamientos que en los capítulos ante­riores, y tomando v, 1 por variables independien­tes, hemos desarrollado.

Seg;lJn 10$ autores, así son diferentes los grupos e aonue parten, y de este modo lIegan á ecuacio­

nes distintas, aunque siempre equivalentes, pero ue pueden confundir al que por primera vez estu­

die esta materia; ó al que, conociéndola algo por un autor, trata de estudiarla en otro. Sin embargo, en la esencia todos estos métodos son id~nticos,

comprendido su esplritu general, nada más sen­cillo que pasar de las fórmulas deducidas en el sistema (v, 1) 1 las correspondientes al (p, v) Ó

(1, p), é igualmente <;i se quiere deducirlas de una manera directa.

Exalllinarémos en este capitulo, para comple­tar la exposicion genel'al, las dos hipótesis prin­cipales (o, p) (t, p): la primera de estas dos es la seguida por Zeuner, lIirn y Combes; la segunda presenta alguna:. "elltajas especiales en ciertos problomas; y per último, la ya tratada (v. 1) es la que aJopta )11'. Saint-Roberl.

73. Fórmulas de ZeUller. Este autor t011l11 pOI' variables independientes p y 'v, de suerte que su palie despejada ( de la ecuacion f (p, ti, 1) == o. Tenemos que elegir dos coeficientes especificas como principales; expresar los restantes en fun­ion de éstos; traducir en fórmulas los dos prin­ipios fundamentales de la Termodinámica, á sa­

ber: el de In transformacion del calor en trabajo, y ellle igual rendimiento; deducir la funcion ter­modinámica correspondiente, y expresar 103 seis coefioientes e en valores de dicha funcion.

Asl como en la primera hipótesis, es decir, cuando v .• t eran las variables independientes, to­mábamos por ooel1cientes especificos principa­

les e: 'i e;; así en esta nueva hipótesis, en la quo p y V son las variables independientes, to­

llr~mO¡; por coeül:Íenle~ especificos principale

e; ye: ' que ~on aqnellos en que sólo entran en

índIces y sublndices dichas varIables independien­tes. Véa<;e aqul una nueva ventaja de la notaciol elegida.

En cuanlo á los demas coeficientes y á las dos ecuaciones fundamentales, ó pudiéramos, para deducirlos, IJartil' de las fórmulas del capítulo an­terior, aplicando el método ordinano del cambio

de variables, ó podemos acudir á un método di­recto, y esto es precisamente lo que harémos, por considerarlo mAs sencillo y más ventajoso, como nuevo ejercicio de los procedimientos y artificios que se emplean en la Termodinámica.

1.' Cuando v permanece constante 'i p varia, al mismo tiempo varia 1, toda vez que ona ecua­cion enlaza las tres variables. Lu~go la cantidad

e" p d p de calor, que determina Ull incremento dp

en la presioo, determinará un incremento cor­

respondiente en (, cuyo valor será di = :; d]J.

Y por lo tanto, el coeficiente especiUco e; serA

c. _ C; dI',_.-­ (Véase el N. 2.1)dI djidp

, hien

c,• = c""1di (1)

dp

..... Análogamente, cuaado p permanece cons­tante y v varia, varia asimismo ti de suerte que

la cantidad de calor cP d v, que determina el in­" cremento de volúmen d v, determina el incl'l:'­

dI mento de ternpel'atnra d 1= dV d v, asl el calor

que corresponde al incremento uno. ó sea C~,

será

c"- C: d v,­ -~-

dIr¡;:d 11

ó bien JI ,,,_1~

(2)c,= c,'~

dv

~t· Supongamos ahora que 1 sea constante, y Vdeterminemos CI en funcion de eP y e •

P " P El estado primitivo del cuerp

(1, p, v):

el estado final

(t,p-t-dp. v+dv);

y para pat>ar directamente de uno á otro est.ad se necesitará la canlidarl de calor

C;dp.

ero tambien podemos pasar de uno á otro es­tado, por el siguiente estado intermedio:

Estado primitivo

(1, p, 11). • • • • • • . . •• ,. (Cl)

,11['·

ERM:ÜDINÁM: CA.112

estado ¡nter edio

(t + dt, l' + riP. 11)•. ~)

estado final (1 -1- di - dt, l' -+-d1l, u+ dv) {¡ ¡,ien (t, p -+- ¡/p, v +du). . (y)

Para pasar de (a) á (~), puest que v permane­8 constante, necesitar mos la cantidad ci ca­

lor e; dp. Para pasar de (~) Ú (y) puesto que p+dP

queda invariable, necesilarémos ta bien, pres­jn iendo d cantidad infinitnmente pequeñas

e 2.' órden, ~ dv. Luego la c tIdad total '11 este nuevo sisl ma

'erá

r,; d l' + I:~ d v,

'lue d be r igual á e' dp. T ndrém ;;, pll '

r.'up-C dp (/dupp.

ó bien 1= c' "T"cl'.!!..!!... " p " dp

Ahora bien; ti v y d P son IOcrementos inlUl­taneos correspondientes á d t = o.

Luego dI dI

dl=o=- dp+-dudp dI'

dará dI

du dP ([p'=- dT

du

y sustituyendo en la ecuacion que da el valor de

e: ' hallar 010: por 1'11 i!Uo

di

e' = (: _ cP dp"p dI

dI!

.1 d . I . , I4.· or último, para ue UClr ~. segUlmmo~ a

misma marcha qu el l~a o 11.nt61 ¡or, y ten­drémos:

pasando ilireclame:ll de... 1, p, v)

~., ..........•.. Ct,p,+dp,v+dv)

c.1IIlíáad de tullir = ,~d v;

pasando rI •..•..... , 1, p, v)

.. .. . . .. (I+dl,p+dp, 1')

cantidad de calor = e: d JI;

pasandol1e.. (I+dl,l)-+-dp u)

l. . . . . .. (I+d(-dl, p+dp, v+dv) Ó (1, p+dp, u+dv)

canlidad de calor = ,P d u.

LueO"o

f:' dv = :"dp+C"all• P •

ó bien

. d4)

d/l IYsuslltuyen p r -d IIn va or d uucido de /1

(1 t de dl=o=-dp+- 11

dp dv

t drél os finalmente

dt

e' = ,P - r,' ~ 14) tI 11 P d t

dii Te lemos ya "presaoos los v Ir' d C~, '~,

1 , e' n rUDCl II de ,p \' e y de las derivadas v " . J P

de 1 con r lací n á JJ Yv erivada" filie deduci­rémos de la e uacion I=f(v,p).

74. Pa:'emo~ 'a [1 la~ fórmula T -=.1 }; Y }; -Q- =

(t) .

1.o Tran forma ion de T = J }; (J. A ' de simplificar, tomarémos 1 contorno P n P' m (fig. 12) 1 formado por dos paralelas al eje de las

Fig. Il!.

p

v y otra. s al de las ¡J , di tantas d v la prime­ras y d p las ·c.,undas.

Tendrémos evidentemente

'1'= d p d 11 ) SllSlllll\'e do J "01 ~ \ d rroll:mdo ~ • l' A'

A dp. dI! = .alor .. P n+ ah, el ti T"=calol' 11 111­,':¡!or pn m P.

El c L r que va lel I e al 'uerp mi otras el punto r pres ntat'vo lescribe la \lnea P tI. crá el necesario para que permanecíendo 0:;1 nte el volúmen, elcllcrpo pase ne p p+dp; lue,.,o tendrémos:

calor lJlI 1I=C~dP.

El calor uc d be comunicarse al cuerpo mién­tras rec rre el unto rep ese lativo n " ser por una razon análoga.

4

se

'rERMOIJINÁ MICA.

fI puesto que el cuerpo conserva el mÍJimo volúdl. )":¡lor ('11 11 P' = cP + __v d 11 dv,( men,o dp

e"y en efecto, el valor del coellcicnte esp~clfico, en el arco P m , es e:, luego en el arco 11 P' será est mismo aumentado di'1 incrempnto que le corres-

de" pont1e por el incremento de dp, ósea dP" dp.

El calor que corresponde á la \lnp.a P' m. ser".

( dC

P )

AdP.dv=C~dp+ ~~+dp·dP

Simplificando y dividiendo por dp. d tJ I ten­drémos la primera ecuacion de Zeuner.

Despejando de esta última d v y sustituyendo en Q•. resultará

dt dt "'=o=-dp+--dv.

dp dI'

I P S ~s \lna curva isot.erma; luego

1I.= c;rJl)+C;dp,

n P m= d v y 'In S = dp, no so ino que estan enlazadas por la ecua­

(1'). "C~ dC;---=Adp dI)

75. 2. 0 Tralls{ormaGiOtl de ~ (~t) = o. con­

sideremos (;úlllO en la figura 11. el ouadriláter fundamentul P s s' r' (fig. 12) infinitamente peque­ño, y del cual uno de los vértices coincida cc, P. Los cuadril~.teros P m P' n 'i P oS s' 1" • sarAu. ciertamente. distintos en la forma, pero sus área serán próximamente iguales. puesto que ambo on equivalentes al P tl r s. y ademas los coen

cien tes específicos serán idén'jcos para ambo (salvas diferencias de órden superior), es decir. para todos los punlos da sus perlmetros, áreas zona... inmediatas, puesto que en el punto P ui ellos coeficientes, tanto pertenecen á uno de lo cuadrilAteros como al otro.

¿\pliquemos, pues, á dicho cuadrilátero P h' s' r'

fórmula ~ f~t) = o, y tenclrémos

o, (11.>o;;- = {(Iu);

ea la que Q. representa la cantidad do calor qu sale del foco superior y pasa al cuerpo en el arco r' Si, Y 00 la que del cuerpo pasa al foco inferior miélltras el punto representativo describe P s. Ademas. t. Y ( SO/1 las temperaturas de ambo" focos.

e la eOllauion anterinr se deducl:', corno siem­pre.

t - (\" f' (to) d J o;;-=~.

Yrecordando qu

ó bien

Q.-, (".) ­ (t,,) {(tJ

C310rC'np'm=(c; ~du ) dp.du

y por (¡Ilimo. para el arco tu P, tendrémo asimismo

alor en mP = C:;d~.

ustituvendo tod tas cantidades. resulta:

( de· )dv- C;+d:dv dp-C:dV.

Qt-Qo=A.:lreaP,(r'=A.áreaPmP'n=A.dp dlli

Y(lue (t) ('(/)=/;

tendrémo

A dp. du d t --0-.- = -/-;

1) lamhieo 00 d t

t=d¡¡.du·

Alwra bien, 0" representa el (;alor que pasa del cuerpo al foco inferior, miéntras su punto repre­sentativo describe el arco s P de s aP ; ó si s6l

liene en euenta el valor numérico. el calOl que pasaría del foco iuferior al cuerpo al descri­bir el mismo arco de P á s.

sta arco supone un incremento de volume in = rl v, y un incremento de presion m s=dp,

I quedanuo la temperatura constante, toda vez que

cP~ • d t il I! dp -C ­'Iv = p dI)

di du.

dp

Por otra parte, en la eC'.Jacion

Q., d t Qo diA/=--=-­

·pdv dudp

la diferencial d p es precisamente igual a l'" n, y d t es el inr,remento de temperatllra al pasar del punto P al tI, permaneciendo v constante I lu

;lIk

TEHl\'lODINÁ 'lIüA.

:; no e oll'a cosa que la derivada parci I de 1

con relaClon II p, es decir, la misma ue aparece en el denominador de Oo'

SusliLu ndo e"te viI' n el de t, tendré­mas

el' .!!!..- - c' .!!.!.­"dp I'dv t dI

A I = dI d v. ¡¡;; CiP dp

ó implificando

cP ~ - e' .!!..!- = A I (2')dp l' dv

ue la segunda enuacion fundamen al 'egulI Zeuner.

76. Fvncio11 termodil/fímica. De las os ecua­iones

.1')

P~-I.·!!!..-=At· (2')rdp I'dl! '

'c deduce multiplicando la primera por t. )' l' s­tanda o ella la s "unda.

dCP d c,·I-"-Cll~= 1_1'_ e di

dp "dp dv I'dv

c~ c'¡ d-'- d-'

I I - d P =--¡¡¡;- .4)

e e donde se deduce 2 son las den vadas

I

parciale con relacion Ú v ~ p oe una funcion de e las dos vuriahles, ú. la cual Ilamarémos 'f

AsI p dI' os escribir

dI} c~ dI} c~ <.b)¡¡;;= . -d-p = "

Esta funcion ~ e pl'ecis ente la funcion 1 adinámica cDrrrespondiente al i tema de 'alia­

hles p, , como'f lo era al pnmitivo ~istema v, r.

X=C"=I ~; l' dp

La ecuacion (1') ernllesll'a. por n r zona­

l! iento análogo al del (N. 07), que: e; no son las derivadas parciales duna fun iau de 1), v; pero en cambio por la ecu cion (a) se v que di­vididas por t adquieren esta propiedad que (tntes no tenian.

Aquí, como en el (l. (7) re p cto a e: y ;,

podemos explicar perfe tamente e. t propIedad

de e: ,e; de no ser las derivadas de una funclOn

O(v, p); y en efecto, j lo fuesen, la cantid' d de ,a[or que habrla de pa.. l' de un ro o {¡ un euerpo para que éste pasu,e de {v, p) ft (v+d ,V, p+d p) s rla perfectamente determinada é ind pendi nte del camino descrito por I punto representatilu. lo cual e evidentcm ule r· L-o, - aun hemo de­mostrado.

77. Sustituyendo los alores de e: ye' edu­ciJo:> de (b) en la ec aClOn (2'). tendrélfJ . la e ua­ion de dil'eren iales parciales de primer Ó1'rleu

en la ual se sustituirán 10- 'alore- de -!!.!.- y !..!.­dI' d v

deducida de f (p, v, t) = o, y que integrada no' hará conocer la forma de !~ en funcion de p, .

Esta ecuacion es análoga á la inte"rada por MI'. elapeyroll en su Memoria sobre la potencia motriz del calor (Jou1'nal de tE ole polyteclltli­que, callier 2:3. ""'; a1l1uJe 1844).

Conocida que sea, nada más fácil que expre al' todos los coeficientes especificas en funcion de <)J.

En efecto, de las fór nulas (b) educirn los valore de e fl de e t'en ruuciun ue ,~ y de sus de­

~ l' .

ri das, y demas hL ~ rInulas (1) (2) (3) (4) dan los "alores de e; , C~ , e' , e: en 'uncion :

y e; ; luego sustituyendo estos úlLin o , e:presa­dos en valores de <);, ten réro lo d nichos. eis coeficien tes especlfic .

Por este métod se lie l' serie de e~uacio-nes, equivalentes ti las del apí tulo dnlerior, ue

contin acion eepresan.

4.5 TERMODINÁMICA.

d<jJ

N=C"=C"_t_=1 -dP. I Pdl dI'

dp dp

dI

,1 .' P diJ d<jJP = (. = r. - e - = / - ­P P v dI dp

dv

dlJ¡

K=CP = cp_t__ I dii. I "dl- di'

dV dV

A estas ecuaciones deben agregarse otras dos: Para determinal' O/, la ecuacion diferencial

d<jJ dI d~ dI-.---·-=A·dI> dp dp dI> '

para determinar las derivadas de t con relacion á v y p,

1= {(P. v).

Aqul, como en el (N. 70), basta conocer 'f y I fln funcion de p, v para expresar todos los coefi­cientes especificas en [uncion de estas dos varia­bies; y es evidente, como ya hemos dicho. que el sistema anterior y el del (N. 70) se equivalen por completo: son dos métodos distintos en la forma, pero absolutamente idénticos en el fondo.

77. Terceto sistema de variables independien­tes. Todo lo que hemos dicho para los dos siste­mas anteriores de variables independientes (v, t) Y (p, ti), es aplicable al tercer sistema (1, p), que es el que vamos rápidamente á considerar.

Asi los cuatro coeficientes especificas

cP e" el e" v 1 p' 'v' ~l'

se expresan sencillamente en funcion de dos

e: ' e; relativos en sus indices ysubindices á las variables independientes del sistema, del mis­mo modo que en el sistema (v, t) se expresaban

t ven valores de el! ' e, las cuatro restantes, yen el

(p, v) se expresahan asi mismo en funcion de

eV y cP los otros cuatro.

l' II

As! tambien los dos principios fundamentales de la Termodinámica, á saber, el de la lransfor­macíon del calor y el del máximo rendimiento I se traducen en dos ecuaciones, que agregadas á las cuatro anteriores, completan las seis que son ne­cesarias.

Asl, por último. se deduce una tercera funcion termodinámica. en funcian de la que se deducen los seis coeficientes especificas.

di d<jJ dI d.} dI

d<jJ dP !iP'dii-dV'd/J AlI -- -- = I = - _ .•

dv d t dI dI'

dV (fu dii

Sin entrar en ddalles, para evitar repeticionvv, resolvamos estos tres problemas.

78. Coeficientes específicos. 1. v Permanecien­do t constante, las variaciones d f) Y d P son si ­multáneas; luego tanto da comunicar al cuerpo la

cantidad de calor e:, d v cOtila la can tillad e; dp, asl : .

CId v=cldP. l' P

Ó bien

d = C I !!...!!- = e' _~_ l' Pdv l'dv

dp

en la cual se deducirá el valor :; de la ecuacion

v = f (p, t), suponiendo en ella t constante.

2.· El coeficiente e; supone que v queda cons­

tante y que t varia; pero de (v, p. t) se pasa á (v, p + d p, t + d t) de dos modos:

Primero. directamente: supone la cantidad de calor e: dI;

~'egundo, por dos cambios sucesivos:

11 • p, I ) (11 + d v, p + d p, I ) ( v+dv,p+dp,1 y /J+dv-dv,p+dp,l+cll

para el primer cambio elemental se necesita la cantidad de

loro . . . . • . '" • . . . . . . . . . . . G~ d p;

para el segundo. . . . . . . C¡ dI;

y como los estados iniciales y finales son idénticos en una y otra evolucion, resulta

CV

d 1= e' dp + e" dIt l' t J

ó bien

cV-c'.!!.!!..+cp •

1- "dI l'

pero las diferenciales d p Y d t suponen v cons­tante; luego

dv

dI> dv dp di IIv=o=- dp+-dl, de donde - = --d ;

dp dI dI v

dp

ysustituyendo este valor en el de e;

,IIC

1

TERMODINÁMICA.46

du

c"= cP- C'~

I I P dv

ap

3. 0 ermaneciend v constante, las variac'o­nes el t, 1 P son simultánea. ; luego tanto da que calculemos el calor necesario para que el c erpo varie d t, como que calcule os el necesario para que la presion reciba el incremento ti p ; as!

el' di = e d pI P

de donde

c" - c".!!:..!...'p- '1 dp'

pero ti t Y ti P suponen d v = o, asi do

av dv at dpdv=v=(j(dt+¡¡¡;d p, de donde --¡¡¡;=-¡¡¡;;

al

y sustituyendo en C; los valores de C~ y de :;

tendrémos

C" = I ~) ~ P d t d P P cI - cp a IJ x - d v '(

d P 1/1

Ó simpliflcancto dv

c"=t.'-cP!!...!!-,P p I d v

a t

4. 0 POI' úlLimo, determinemos C:. Al variar v

suponiendo p constante, varia t; luego d v, ti t son imultáneas, y tend érnos, omo anterior­mente

cP

c~ av = c~ di. de donllc e: = --iJ. dt

dv I dC~

:; es la derivada parcial de v con relacion á t. deducida de v:....... f (p, t).

80. Ecuaciones fundamentales. Transforma­cion de T = J ~ Q. Dividiendo por J , sustituyen­

do A = +, y tomando por cuadrilátero e)em~­

tal el P n P' m (03. J ), formado por dos curva

Fig.13.

I ~

, Q -. ­

Q p

--

·-._------

o~-------v

térmicas de segunda clase P n, P' m, y dos pa­ralelas al eje de las v, tendrémos

A. área P n P' m = calor. arco n P + calor. urco P m - -calor. arco m P' - calor. arco P' n.

demas,

área P n P' m = n pi X Q' Q = ~~ 111. d p.

calor. arco n P = c' ap;P

dC~)calor. arco P m = ( e; + dp d P di;

I dC )calor.arcomP'= C'+-Pdl dp;(

P d t

calor. arco P' n=C~ d t;

y sustituyendo en la ecuacion precedente

dC' A-dt.dp=C dP+C~dl+-ddp. dl-Cldp--Pdl.dp-CPdl.di p. p

ó simplificando

dC~ dC~ d v ---=A- (IU)dp d t di

Ésta es la primer ecuacion funJarr.ental en las coordenarJas t, p.

81. Tralls{ormacioll de 1: f~) = o. Considere­mos el cuadrilátero infinitamente pequeño n P s r formado por dos curvas térmicas de primera cla­se n r, P s; y otras dos de segunda, n P, r G.

Aplicando á este cuadl'ilátero la ecuacion ~ {~t5=o resullat'á

P di I

de donde se deduce

QI-QO={C1t) - f{l.,) r (t.l d t 1). f{lo) ({ to)

Pero . . dv

Q. - Q" = A area n P s r = A urea n P m p/= A dT di. dP.

y además

TERMODINÁMIOA. 47

luego sustituyenuo y suprimiendo el subindice o d 11

A 1 -di d t. d P = Q d t.

Pero observemos que si el punto generador re­corre el cuadrilátero como hemos supuesto en el sentido" P s r, el trabajo desarrollado es negati­va; luego, en rigor, el primer miem bro debe ser negativo. y tendrémos,

dv - A I -d di. dp = Qd t.I .

Por último, Q es la cantidad de calor que pasa del foco inferior al cuerpo, miéntras el punto re­presentativo describe 11 P ; luego

Q=cp

l d P.

y sustituyendo 1 dlJ

Cpdp. di = -A I (Ji dp. dI.

ó bien 1 dve =-A/- (2")l' dI

Tal es la segunda ecuacion fundamental en el sistema (t, p).

82. Funcion termodÚlámica. De las dos ecua­ciones (1") y (2") se deduce inmediatamente la funcion termodiwimica.

MultIplicando (1") por t y agregando al resu1­tado (2"), tendréll10

dCp dd11_1_1_'+(/=Q'

dp di P •

pero esta ecuacion puede ponerse bajo la torma

dCp

(dC' )t _1 _ 1 _1' _ e' = v d]J di l'

ó dividiendo por t2

e"I G d . ...!!..d.,

_ I ---¡¡¡- = o,

dp

e donde CP eL

d. ~ d . ...!!.. , I

---¡¡¡;- = 1iI'

cp e' Esta ecuacion prneba que -;- y -{- son las de­

rivadas parciales con relacion á t YP de una fun­eian /.. de t, P que es la funcion termodinAmica relativa A las variables t, P consideradas como independientes.

Por lo tanto,

c~ dz. C' d.x" - ---" (e).-,' = di' -,- - df}

El valor de e"1)

sustituido en (2") da la ecuacion

dI.. dvd/i=-A di ,

de la cual se deduce

f dV x=F¡ (I)-~ d¡d p

en la que F1 (i) representa una funcion arbitraria, pero idéntica para todos los cuerpos y para todos los estados; basta, pues, detem1inarla para los cuerpos gaseosos.

En éstos se tiene p ti = R t, Yde aqul podré­mas deducir las Jerivadas de v con relacion á p Yt.

Oe la primera de las ecuaciones (e) se deduce

c~ = I d'l. al'

dZYsustituyendo por -tÚ sn valor

dI.. '/ Idtv- = ~ ¡ (1) - A -., d p,d, • ti 1­

tendrémos

f d1 V C;=IF/I(')-A~. dl~dp,

d2 V Ó poniendo por d " su valor, que es cero, segun se

deduce de la ecuacion v = ~, hallarémos por fin p

C;=tF't(/),

n cuya ecuacion d; no es el valor general Je este coeficiente, sino el que corresponde al estado ga­seoso: representándolo por k tendrémo

Ji =1 F't (/)

ó bien el F1 (/) k

di I

de donde

¡ 'kdl 1'1 (1) = -,- = Ji log. 1+ conslanlf'.

Por consecuenoia, sustituyendo este valor de F. en el de X.. é incluyendo la con~tanto en la in­tegral, resulta

. r dvZ = k log, 1- A dl d p.J

83. Conocida la funcion x, ficil es determinar todos los coeficientes específicos en valores de dicha funciono Basta para cunseguirlo sustituir

e~ y e~ sacadas de las ecuaciones (e) en todas las

ecuaciones del N. 78.

----------TERMODINÁMICA.48

Asl obtendrémos, empleando las dos notacio­nes:

dZK=CP = /-"

I di'

dzp=c' = 1-';P dp

dZ I dp

M=Cv='liV;

dp

dI! dl. dI! dl. dI! l/z dz dp dp dI.-dldP.,c· = /-' -/-' . - = l.::..!:.---==-...:-.,------.::..::...

P dp 01/ dv av' di d t

o1Z p al y = c. = , -¡¡¡; ;

di

A estas ecuaciones dehernos unir la relacion ge­neral p v= R t.

84. RESI'MF.N. "." Sean cuales fueren las dos \ariables que se elijan como independientes, siem­pre cuatro coeficiente- especll1cos pueden expre­sarse 130 funcion de lo.. otro' dos, y conviene ele­gir para tos últin os lo en fIue entran como in­dices y ::iUblndices las dos variables independien­tes: asl cuando éstas son v y t, se expresan en

fnncion de e:" e; los otros cuatro coeliciente ; eua do la 'ariahle elcgidílS como independteu­tes son p y11. se xpresan en funcion de c;', e: los coeficientes restantes; por último, cuando son l r ¡J la variables inde­

pendientes, en fnnci n de C~, C~ se hallan los de­mas coeficientes especlficos,

Los artificios empleados á este fin 5011 siempre los mismos y "on de do clases: ó recordar 1)\1e quedando constante IIna de las tre. varia les p, v, l, las variacione- de las otra' ,los son simul­táneas, lo cn I perm'te enlazar en una ecuacioll dos coel1ci ntes específico:;, ó pasar por un l-sta­do intermedio, enlazando de este modo tres coefi­cientes,

_.0 Los dos principios fundamentales de la Termodinámica son siempre, el de la transfor­maci n del calor eu trabajo, Ó reclprocamló'nte, y el de la igualdad de rendimiento. Ambos dan lu­Kar á dos ecuaciones, y para determinarlas se si­

guen constantemente, sean cuales fueren las va­riables, estos dos métodos.

Para deducir una ecuacion fundamental del principio de la transformacion, se aplica dicho principio á un cuadrilátero infinitamente pequeño. formado como vamos ¡\ explicar.

Tres son en todos los casos las variables de esta serie de prohlemas, á saber, p, v, t.

Cu,uldo p queda constante y v. ( varían, el puoto representativo describe una ¡Inca I ceta pa­ralela al eje de las v: á todas lus paralela:- á este eje les darémos el nomLre dp líneas de nivel r'llativas á p, es decir, en las que JI es cons­tante.

Cuando v queda invariable y ( ,1' cambian, el pLtrlto representativo de:>crihe IIna recta paralela ni eje de las p . á todas las pnralelas ú este eje po­drémos dcjgnarlas con el nombre de líneas de ni­vel relativas á v.

Por último, cuando l permanece constante y varian vI, el punto representativo describe una linea térmica de segunda clase 11 P' (fig. i i); pod rémos decir baj o este nuevo punto de vista que las line s térmicas de segunda clase son lineas de nivel relativas á t.

Las liueas de nivel de una clase sólo difieren en­tre si por los valores de las constantes p, 'v, 1; pero en todos los puntos de una misma linea de nivel ¡J es la misma, ó lo es v, Ó finalmente es in­variable ,.

Comprendido e,to, podrémos establecer la si ­guiente regla sencillísima, pero que no está en ninD'un tratado de Termodinamica, y no segura­mente porque la ignorasen sus autores, que es so­brado sencilla para ocultarse á la penel.racion de quienes tanto valen, sinu quizá porqlle desdeña­han descender á ciertos detalles.

Sin b nbargo , para el que por primera vez es­tudia esta materia, juzgamos que ti ne 'riln im­portancia.

He aqul, pues, dicha regla. Para traducir el primer princl}J/o fundamen­

tal (el de la tFati (urmacioll dellrabajo) en ecua­cion, basla aplicar diclto rincipio Ú UII ,uadri­lálero infinitamente pequeño, (ormndo por cuatro líneas de nivel infinitamente próximas dos á dos, y perteneciendo ambos pares de Nneas á las dos­variables elegidas como l:rulepend ·enles.

.\8\ cnando las variables i ¡dependientes son f1

y " el cuadl'ilá.tero elegido es ) n P' 111 (fig. 11), en el que n P y m P' son Ilneas de nivel relativas á v; y n P' P m son I1neas de nivel relativas á t.

Cuando las variables son v y p , el cuadrilátero

----49

'"

TERMODINÁMICA.

elegido es (Ilg. f 2), P 11< P' In, en el que n P y m P' son lineas de nivel relativas á v, y n P' , P m son asimismo lineas de nivel relativas á p.

Por último, cuando las variahles son { y p. el cuadrilátero de que se parte es n P m P' formado por dos lineas de nivel relativas á p, que son n P' y m P, y otras dos relativas á t, n P y m P'.

Fácil seria explicar la razon de este artificio, que simplifica notablemente los cálculos, pues no ha de creerse que es el único medio de llegar á una ecuacion entre los co~licientes especificos, y si sólo el más sencillo.

Para deducir oel segundo prineipio (el del ren­dimiento constante) \Ina ecuacion entre eyp, v, t, se aplica dicho principio á un cuadrilátero elemen­tal formado por curvas térmicas de primera y se­gunda clase, que tenga ademas un vértice ó un lado comun con el cuadrilátero empleado ante­riormente y la misma área.

Así los cuad riláteros empleados en las figuras f 1 J f 2 Y f 3, son ti r s P' en la f.·, P s s' r' en la 2.· . y n PSI' en la última.

3." De las dos ecuaciones fundamentales se de­duce siempre una funcion termodinamica; á sa­ber. 'f' cuando las variables son v y t; \ji cuando son p, v; y l.. cuando son elegidas como tales t y p.

Por último, todos los coeficientes especificas se expresan en cada caso en valores de la funcjon termodinámica y de las derivadas parciales de una de las tres cantidades p, t', Ó t, con relacion á las otras dos.

4.· A todas las ecuaciones precedentes es pre­ciso unir f (p, v, t) = o, la cual dependenl del estado particular del cuerpo J y será distinta, se­gun se trate de sólidos, liquidas ó gases; pero los principios deducidos, miéntras no se particulari­ce f, son completamente generales.

CAPITULO Y.

Diversos cfectot5 del eulor t50bru 10:-; cLlerpos.

ss. Cuando á un cuerpo se le comunica una cantidad determinada de calor Q, este produce diferentes efectos, que nos proponemos estudiar detenidamente.

Oividamos á este I1n Q en elementos diferen­ciales, y estudiemos la influencia de caoa uno de ellos; d Q pOI' ejemplo.

En primer lugar, el volümen, la presion, y por lo tanto la temperatura, varian.

Este camhio de volúmen y de presion trae con­sigo un desarrollo de trabajo externo.

Al mismo tiempo la posicion relativa de las moléculas que constituyen el cuerpo se altera, dando origen á un determinado trahajo interno.

Las variaciones de temperatura suponen una alteracion en el estado calorifico d81 cuerpo.

y por último, al cambiar de volúmen toda la masa del CUerpl), adquiere ciert.a fuerza viva.

En resumen, toda 0antidad de calor inDnita­mente pequeño d Q comunicada á un cuerpo, se transforma en los efectos siguientes:

Una vartacion de calor prcclil'o.. d H. Un trabajo externo.. . . . d T, Un trabajo interno Ó molecular. di.

iert.:J fue: 7.a "iva de la totalidad de la masa. L 2

dF .

y corno e:.to se verifica para cada elemento de calor d Q, claro es que la misma division se veri­ficará para la cantidad total de calor Q.

Pollemos traducir este principio en eClJacion reduciéndolo todo á calorias; d JI ya está medi­do en esta clase de unidades, pero d T, dI,

Y ~ d F, que son Ó trahajos ó fuerzas vivas, será

preciso Il1ultipli0arlas por A, número de calarlas que corresponden á un kilográmetro. Tendrémos, pues,

1 dQ=dH+Adl+AdT+~AdF (1).

Pero ocurre estll pregunta: ¡, dado d Q, quedan det.erminadas las diferentes partes del segundo miernhl"') No : Sil suma es constante é igual á d Q, pero ni en la ecuacion ("1) se pueden determinar, ni quedan determinadas tampoco. porque al dar á un cuerpo la cant.idad de calor el Q, la distribu­cion de este en los diferentes efectos señalados depende de otras circunstancias. Miéntras sólo se conozca d Q, el prohlema es esencialmente inde­terminado.

Para resolverlo es preciso conocer la ley segun la cual varian las {lresiones ó los volúmenes, ó bien

¡lit --­

50 TERl\IODI T.' ?InCA.

alguna otra condicion equivalente. Tal es el punto que en este capitulo debemos dilucidar.

86. Observemos ante todo que, dado el volú­men y dada la temperatura de un cuerpo ú otros dos valores de las tres indeterminadas p, t', t, su estado calorlfico queda fijo, y que por lo tanto II debe ser funcion de v, l. Así, al pasar el cuerpo del estado (vo , to) al (VI' t.), su calor efectivo H recibira un incremento

y nótese que importa poco el camino, por de­eirlo asl , que el cuer'po haya seguido para pasar de (vo , (o) á (Vi, tI), Ó lo que es lo mismo, la se­rie de estados pOI' que haya tenido qne pasar. El incremento de calor efectivo sólo depende de los estados extremos, no de los estados interme­dios.

Así, el calor efectivo H en cualquier estado será

ó en general,

H-{(v,l).

87. Todo lo que respecto á 8 hemos dicho, pudiéramos repetir respecto á ), cantidad de ca­lor que se emplea en producir efectos molecula­res.

A cada volúmen y á cada temperatura corres­ponde un estado molecular en el cuerpo; luego la diferencia de estos estados moleculares, la canti­dad de trabajo necesaria para originar esta rlife­encia, y por lo tanto, la cantidad de calor, sólo

puede depender de dichos estados extremos. Por lo tanto,

en cuya ecuacion 11 -10 representa el incremento de trabajo interno.

Representando por 1 la cantidad de tl'abajo total á partir de un estado cualquiera, tendrémos :

88. A veces se agrupan H é J, Yrepresentan­do la suma por telld rémos : T,

U=H+AI,

y por lo tanto,

U=,~(v.l).

OOSERVACIONES. 1.' A esta cantidad U se le da comunmente el nombre de calor disponible, por­

que, en efecto. por volu ione" del cuerpo puede convertirse en parte ó en totalid d en trabajo me­cánico.

2.' Expresando los incrementos de c lo efec­tivo y de calor molecular por VI - 11

0 Y por

JI - lo, suponemos una existencia real á estas dos cantidades U él, es decir un calor efectivo para cada estado del cuerpo, y una cantidad. de­terminarla tambien, de ca or' moleculül'. IJé aqui cómo pllede comprenderse e~lo. Serú preciso ante todo elegir /In estado del cuerpo (Rol como punto de partidil, y desde él med i l' los calores efectivos y moleculares necesrrri,)s para pasar á otros esta­dos. De suerte que U designa á el calor necesa­rio para pasar del estado (R,,) á otro estado cual­quiera. De modo que para pasar de Eo á dos es­tados (v o • (J y (v, • '1), tendrémos:

y si quisiéra os pasar de (vo • IJ á (v,. l.). ~eria,

como hemos visto preeedenternente. 89. He:mltu de lo dicho, qlle d H Y A dI son

diferenciales totales de v, t, Yque, por lo tanto, se tendrá.

dH clll (dI di)dH=-dv-f--dl; Adl:.", -dv+-dl dv dI dv dI

¿pero podrémos expresar del mismo modo A d T? Esta cuesLion en rigor, ya ha sido resuelta:

la cantidad de trabajo que 1cuerp desarrolla en sus evoluciones pUI'a pasar de (vo , l.) á. el, tI), no sólo depende de los estados extremos, sino de la ley intermedia de ariucion, ó lo que es lo mis­mo, de la curva descrita por el punto represen­tativo.

A dI es de la forma Af P d v, y esta expre­sion no puede integrarse ¡éntras no conozcamos p en funcion de 'v,

90. Por último, el término +A el F e des­

preciable, porque las riaciones oel cuerpo son bastante lentas para poder prescindir de la fuerza viva correspondiente.

De aqui se deduce que podrémos rescindir de este término la mayor parte de las veces, y la ecuacion (1) se reducirá á esta otra:

el Q= el H + A el 1+ A el T (4).

Subemos ya cómo se expresa d T en funcíon

51 TERMüDINÁMI

de v y t, Ycómo se hulla su vulor siempre que entre estas dos variables existe una relucion co­nacida: veamos abara eómo se determinan las funciones de v, t que dan los valores de H y de 1.

91. Tomemos t' y t por variables independien­tes; pero es claro que en nada variaria la esencia del método que vamos á exponer si tomásemos como tales variables las de otro cualquier grupo: v, p ó t, p.

Cuando se comunica á un cuerpo la cantidad de calor d Q y se prescinde de la fuerza viva de la masa total, esta cantidad de calor se divide en tres partes, como ya hemos dicho: una que se convierte en calor efectivo d n, otra que ejecuta cierto trabajo molecular, otra que ejecuta el tra­bajo externo.

La apariencia de todos estos fenómenos es que el cuerpo pasa del volúmen v al v + d v J de la presion p á ]J +dp, de la temperatura t á la t + d t. Pero el ca) 01' necesario para que el cuer­po pase de (p, v, t) á (p+dp, v+d v, t+d t) es

c~ d v +c~ d t.

En efecto, puesto que 'V, t son las variables in­dependientes, se puede suponer que para pasar del primer estado al segundo, t permanece inva­riable, y sólo v varia, recibiendo el inc.remento definitivo tI v, para lo cual se necesita la cantidad de calor

r.~ d v.

y despues que, quedando v con su nuevo valor v+ d v, varia t hasta adquirir el incremento d t, para cuyo efecto se necesitará la cantidad de calor

dC.)c; (v + el v, 1) (C: + el ~ dIdI = d 11

ó despreciando infinitamente pequeños de segun­do órden

e: d l.

Tcndrémos, pues, sustituyendo este valor de d O en la ecuacion (4)

' En esta expresion se tiene

dT=pdIJ.

luego

dH+ A clJ= d U = C~ dv +c; dI-A pdll.

Tenemos, pues, expresada la cantidad de ca­lor disponible en funcion de los coeficientes espe­cificas.

Pero éstos estan expresados en funcion de la funcion termodinámica; luego nada más fácil que transformar la expresion precedente.

Sustituyendo en

d Q= c~ d 11+ c; dI

por C~ y C; sus valores t ~: ' t ~~ tendrémos

( d'l')da;d Q= t --'- d v+ - dI

dv tl t

I ó bien

dQ=ld'l'

representando por d lf la diferencial total de la funcion termodinámica.

Resulta, pues,

d H + A dI = d U = t d 'f - Ad v;

pero se sabe (N. 69) que

d P'l'=clog.I+A litdv,

/

en la que c representa la capacidad calorífica ab­soluta J es decir, la cantidad de calor necesaria para que en un gas perfecto y á volúmen constan­te la temperatura aumente un grado, y advirtien­do que en la in tegral está incluida una constante.

Sustituyendo en el último valor de d U este de d <p, tendrémos :

dH+A d I=d U=I d [e log. I+AJ~~ d VJ-APdV.

La diferencial es total y se refiere por lo tanto

á las do:; variables v y t; Yademas : ~ es una fun­

c~ d v + r.: d t = d H + A dI + A d T. cion de -v, t; teniendo esto presente hallarémos,

i tlp J tl'p ]dH+Adl=dU=1 cTdl+Alitdv+A dI' dI dI! -Apdv;

ó bien

[

dp f dipdll+AdI=rJU=cdl-t AldTdv+AIJI dI' dV-Apdv.

Esta ecuacion podrémos escribirla bajo la nueva forma

¡l( ­

52 TERMODINÁMICA.

dP) f( tflp dp dP)dlJ=cdt+A ( '(jt-P dV+A. t d,.-(Jj+di dv.dt,

refiriéndose siempre la integral A ti; Ó de este otro modo,

d (1 .'!.!!-_p)( dP) r dIdU=cdt+A '/it-P dll+A. dI dll. dt

y tambien

La cantidad que está entre paréntesis, es la diferencial total de./ (t :~ - p) d ti, tomada

con relacion á ti Yl, Yadvirtiendo que esta última integral se refiere á 'v. Jntegrando el vlllor de d U entre dos eslados (Po, vo' lo) y (p, ti, t) del cuerpo, lennrémos:

p

(H - Hu) + A (1 -lo) = U - Uo = e (1 -lo) + A.I (t :~ - p) d 1I (IS) •

En esta última integral, que se refiere á v, debe ponerse despues de integrada simultáneamente (p, ti, l) para el limite superior, (Po' lIu' lo) para el inferior.

Claro es, por lo demas, que no podrá integrar­se miéntras no se conozca p en funcion de v, ú otra relacion cualquiera entre las tres variables que combinada con f (p, ti, 1) =, o, determine el valor de p en valores de ·v.

Tenemos ya expresado en la fórmula (5) todo el calor disponible en funcion de p, ti, l; sólo nos resta separar las dos partes; él saber: H - Ho é I-Jo '

92. Hemos dicho que e representa el calor es­pecífico absoluto, es decir, la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de cualquier cuerpo reducido al estado de gas un grado, per­maneciendo constante su volúmen. O de otro mo­

do, el valor de C: para los gases perfectos.

Pero en este último caso todo el calor c se con­vierte en calor efectivo, puesto que ni puede con­vertirse en trabajo externo, toda vez que el \"olú­men no varía, ni en trabajo interno porque el cuerpo se halla en estado gaseoso. Ahora bien; i suponemos que la misma cantidad de calor em­pleada en calor efectivo se traduce en la misma temperatura, es evidente que sea cual fuere el es­tado del cuerpo para pasar de to A t, necesitará convertir en calor efectivo una cantidad de calor e (t -tolo De aqui resulta que la cantidad de ca':' 101' que en todo caso se convertirá en calor efecti­vo será

H-Ho=c (1-/0 ) (6),

.. y de aqui se lieduce inmediatamente el valor de 1-10 ,

En efecto, sustituyendo en la ecuacion (5) el valor (6), tendrémos

dp )1-lo =.I v(t liT - P d 11 (7).

D.

OBSF.RVAr.lOiSF.S. La Pudiéramos demostrar la ecuaeion

H - 11 0 = e (1- to)

directamente sustituyendo en las ecuaciones fun­damentales á la variable l la variable H, pero lo creemos inútil por ser bastante clara la demostra­cion anterior. Sin embaro-o, el que desee ampliar este punto, puede consultar la Termodinámica de Saint-Robert, página 87.

2.' En el N. 69 hemos visto que

· e+ A t.Jd'Pe, = d t' d 11;

es decir, que el coencien te específico de un cuer­po clJYo volúmen permanece constante miéntras varia la temperatura, ó sea lo que generalmente se llama capacidad calorifica á volúmen constante, se compone de dos partes: una c, que es el valor de dicha capacidad cuando el cuerpo se halla en estado gaseoso, y adernas un término

f d'P A t • d ti d 11

que expresa la diferencia entre ambos coeficien­

tes C; y c.

53 TERMODINÁMICA.

Pero, ¿en qué puede consistir esta diferencia? ¿por qué se ha de necesitar ml1s calor para elevar un grado la temperatura de un cuerpo il volúmen constante cuando es sólido ó liquido que cuando es gaseoso? Evidentemente, porque no todo el calor que se le da se convierte en calor efectivo sensible al termómetro; porque una parte de di­cho calor se emplea en algun otro efecto, y este efecto dehe ser el relativo al trabajo molecular.

Es decir, que cuando el cnerpo permanece con el mismo volúmen, el trabajo molecular aumenta en el coeficiente especifico la cantidad

f d!P Al. d l~ d /l.

3.o Hemos visto (N. 82) que la funcion termo­dinilmica Xtiene pOI' valor

I dV X =- k log. 1 - A dl d P + consl3nle.

y que ademas

dX (k fdtv)r,P = 1 -' = t - - A -- d P I di 1 • d li

ó bien

J dtU C~=k-At dl~ dp.

c~ es la capacidad calorlfica á presic.n constante

en un cuerpo cualquiera y en cualquier estado, y k es esta misma capacidad para los gases. Pero en los gases, todo el calor se emplea, ó en alte­rar la temperatura, 6 en ejecutar cierto trabajo exterior, al paso que en los sólidos ó liquidas en­tra como nuevo elemento el trabajo interior: el término

_Atld~V • dl~dp

expresa la diferencia, por decirlo as!, entre el

coeficiente especifico aparente C~ y el verdade­ro k.

93. En resúmen, tenemos para los t1iferentes términos en que se descompone 0- 0

0 , ó cual­

quier incremento de calor,

8-00 =e(I-I.) '" (6);

1-10= fV(:~ _p) dv.... (7);

v.

T-To =. ( " pdv.......• (8). v,

Entre las integrales (7) y (8) hay una diferen­cia: la (7) dehe obtenerse sustituyendo por p y

~~ sus valores en v, '. y efecluando la integra­

cion corno si t fuese constante. La (8) no pued~

verificarse miélltras no se sustituya por p su valor en funcion de v.

E!'to.s ecuaciones nos determinan, al pasar un cnerpo del esrado (P., vo , 'o) al (p, v, t) Ycono­ciendo la serie intermedia, qué cantidad de calor se emplea en elevar la temperatura, cuál en el trabajo molecular, y qué otra porcion se convier­te en trabajo mecé.nico. La suma de estas tres can­tidades mide y expresa el calor necesario para pa­sar de uno á otro estado, es decir, Q- O•.

Aquí pueden ya presentarse varios problemas: examinemos algunos.

94. PRIMER I'ROOLEMA. Un cuerpo parte del es­tado (vo , p., t )' Ysigue su punto representativo o

la linea p = Cf (v) : ademas recibe la cantidad de calor A O.

Se pregunta cuill será su estado final, y cómo se habril dividido el calor A O en calor efectivo, efectos moleclUlares y trabajo externo.

Sólueion. Eviden lemente tend rémos, llaman­do (PI' VI' ti) al estado final,

J.Q=e(l-lo)+A,rVI(t :~ -P)dV+A.rv'pdV (a); v.

adema,;, p={(v,I) (b)

y p= <;>(v) (e).

Sustituyendo estos valores en A O, podrémos . efectuar ambas integrales, y resultará, por lo tanto.

AQ = F (PI. V" '1' Po, va. '0) (a');

,!.

ademas, PI , v" t" satisfacen A las ecuaciones (6), (e) luego;

p,={(V,. ',) (b')

P, =" (vd (c').

Las ecuaciones (a') (6') (e') determinarán los valores finales p" v" t" Y ya seril filcil deducir H-Ho ' 1-10 , T-To '

s

-~--~ -- -""-~.. ~ 1._ ¡jI , jllll,

._-,

TERMODINÁMICA.54

SEGUNIl PRonLE. ,Conociendo el estado inicial de un cuerpo (Po' vo' to)' Yla ley que enlaza el calor co unicado con el "olúmen re. pectÍ\o, es decir, ~ = 'll (11), determinar ué cantidad de ca­lor haLrá recihido al llegar el volúmen á VI , cuá­

les serán los va'ores de t y p, y cómo habrá dis­tribuido dich. cantidad de calor.

Soluciono En la ecuacion general (a) deherémo. I poner por ~ Osu valor Ol-Ou = '1" (v l)- 'JI' (vo)'

, y resultar~L

(a"),

ademas p, = {(VI' t,).

Si conociémmos p en funcion de v, esto pro­Llema sería. análogo al anterior, pllc~to que nos serian conocidas en amhas ecuaciones todas las cantid' ele: que entran, ménos ¡JI y ti; pero corno ignorarnos cuál erá la funcion

'1' (u) - .'l' (uo)= e (I--tu ) .-,­

Sn:tiluyendo en taJa la ecu cíon Iliéuos en la última integTaI, en vez de t, su valor dedUCido de

p={(v 1),

resultará

). (JI, IJ) = Aj"'P du;

v,

y diferenciando por rel cion á v, Y como siendo p funcion .le esta variahle, tendrémos

d), dp d), - --+-----= Apd l' d V d v

que lutegrad nos dan' la expresiolJ de p !I= i' (v),

con la que el problema a tual enlra en el ante­rior.

F"cil erla ya mnltiplicar lo: !'jernplos, pero lo creemos inútil.

9u

• Si tln la: tres eenaciones (6) (7) (8) toma­mos como C,' Uf o inicial el qne corresponde á la temperatura nI/In el calor' e~ cli\o el" n JI tarn­bien. y tendrérn Hu -= (1: el est'¡ lJipóle 'is r- lo repr .' Iltal'<l la calltíJad de trahajo occc­'urio para \ ri i ',r f¡do'> lo earuhir.: Illnle nli ­res ({ue COff'l'spolldan al paso df'1 cuerpo dd esta­do E Cf;rre: 11111di nte ;'1 t = o al ,tado Eo • Es decir. que 'o tl J nI) tienen ai j' d, JIleDI i~lJifi­

ca 'ion I",llna, á Tmlnn. ljuP. no se rE' lerao Hlnhns ·:t;¡do~ ;. ¡'Iro di. tilllo P.' como Ir I nlino de com­p:mlciol1 , l n el! 'o caso 1 é 1" ,'Ignillc' pín traba­jos m,jleculares al pas<u' ue E' ir • y de E' tl F.".

e; lo (Jrimt)ro delel'lninar btu, Claro es que hahr~ de dderminarse pOI' la con­

dicinn de ljue I>ustiluida en el i>cgnndll miembro de la eeuacion (a") dé precisamente para .1 Q la ky qlle lIIarca la funcio:l \l", Ilás claro, y re­l:re:;entarrdo pOI V \lna variahle

•[''(t ~ i - p) d u-+-. fb pdu.

V. ll ..

diferen¡;i J-1" YT - To , y llamando Val vo­lumen del cuerpo cuando t = o, ltallarémos estas tres uenlS ecuaciones:

11 = e t;

1=. '''( dI' ) (Iu;/ '-¡¡¡-p \'

T =./ '" pdu. v

H, J, 'f repl'esent. rll'espectivamente. rr, calor necesario para pasar Je (t = o; p = o,. 'v = V) á. (t = t; P = p"v = v). y qne se convierte total­mente en calor efectivo: r, trabajo molecular qu se desarrolla en un cuerpo ni pasar del mi, o es­tado (t=o; p=o; IJ=V) á (I=t; p=p_; v=v); T , trabajo exterior qu :e desarrolla en e ta seri de cambios.

Seguu dijimo: "nt " la primera integral se efectna ~ oniend.- (con auto; la segunda, sns­tituyendo fl = -;, (v)

96. Para la aplic¡wi 11 inmediata de las tres f'órUIIlla . ant lio 'p., ~nc/lulra .1OS una dificultaJ:

I i, ¡;uúl es 1'1 \ 1,,( V del rolúlIleli á cero O'mdos ab­sollll¡:; ?

I Pan e: ti diMla ('amhiarer os la varialJle, de ~lIerte que eu lo límites, en vez ¡jel volúrnen en­

I lre la pIe iou. por un en I ero' soluto la pre­fi¡OU 1',' CID ta l!lien,

T ¡lilUdo III \ul'iablc, Ind endienles l y ]J,

funcio 1 tCI'ml)¡lin(uniUtl o (:'l 2

J dI'I)! r tlioto podemos decir a 'a T. ·,=/;I(I~.,'-.\ -llpl. dIPara:i1 'ficur leple"entar m s por 1 y T la

TERMüDINAl\ItCA. 55

cuya integl'al se determina considerando á t como

constante en ~ ~ despues de deducir esta deriva­

da parcial de la ecuacion general f (p, v, t) =0.

Para pasar un cuerpo de (t, p) á (t +dt, fJ+dp) necesita absorber la cantidad ue calor

dQ= C~dp-+ c~ d I

ó sustituyendo por los coeficientes especlficos sus valores (N. 83)

cl=t!!Z. CP=I dI.. p dp' 1 dI'

dQ=I[d Z dp-+d"l.. di] =Idr. d p dI'

d U = /; d t A 1I (p (1) ­_o

Ó bien

A t d t [ [•

siendo d x. una diferencial total. Pero del valor de X. se deduce

di .fd!1! dvd"=k--11 -dp.dl-A-dp'o I d I~ d t •

de donde

j d2V dv d Q= 1 d Z= k dI - A 1d 1_ d ti d p - A I di d P.

y por lo tanlo

¡'d'/} ávd l'= /. dl-ÁI dI -dp-A1-- dp-Apdv.

. d I~ di

Del mismo modo que en el (N. 91) el segundo miembro Bueue ponerse bajo la forma

d2 V d v ]--. d p -+ A 1 -- d p - ,\ l' d fJ d t· d t

d. A,f(, :¡ -11) dP d.Af(1 ~~ -V) dp ] dU=kdt-Adep,v)- d[ t

y representando por d la diferencial lolal, es de­cir. respecto (¡, t Yp.

- - -f( dv ) (d).dU=kdl-Adep,v)-\d. IdI-v dp

01' olra parte lenemos (N. 9J),

~ -f( dp )d U = e di 4- ,\ d,. I lit - P d 11,

ó segun el (~. 92).

dU=cdl-+AdI,

luego comparando este valor con el (d) J resultará

- --f(1--11dp ) dJ!,,.dl=ek-c)dl-Ad(pll)-Ad . tI/.

de donde

k-¡; - -J( dlJ )dI = -,\- ,11 del), 1') - d I dí' - v d T¡ .

(í integrando l.llllre dos estados cualesquiera E y E",

1.- e 1--0 1,,=-\- (( j '''( IIp )1,,) - JI v 4- /lu 11" - 1 (ii - ti ti Ji

P.

por último. si se toma el cero absuluto por PUlllo e part.ida. p" = o _y J'I~sullará

k-e dv=--t-pv- f!'('Ii/-II) dI'. o

dI-+- d dp,p

En cuanto al trabajo exterior. es siempre

T T,,=.fv pdv. v..

pero si se quiere tomar por variable independien­te p. basta inlegrar por partes. y tendrémos.

'P - T.. = ep v - Po v.)--.¡ 11 d p,

P.

que se reduce. PUIIl('l1do del cero absuluto H

¡ 'P T = ¡, V -. /1 ti l'

o

Las tres fól'llllJlu

H=cl

l.'--u fP( dI) )I=-A- f - pv - tdi-u d/l,

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¡ II T '~rIL'- 111/ p

~usliluYCIl Ú las d·~l \ 95. Yen éstas ha desapa­t ecido lo lJO intleterminacion

úl')gal1ellle fl otra üll,'~rvacion que hicimos al1yerliréruo" .

P j .. Para d'ertual la iul(llf'aI I ' (t'!!'!!- - V)dP

o (JIo

....l:.tJl;1oJJL,ODIN ICA.

8C deducir ~: de la ecuacioD v=f t,p)

I rar en el coeficiente (1 :~ - v) á la

e I como constante.

.• Oue en la inlegral fP v d1), es necesario o

liu v-",(p). 7. D6Iagregacion de los cuerpos. La suma

e I cantidades de calor empleadas en el trabajo in! ri r y exterior, es igual á

ti" ftl'ptlQ-tlH=At/il"'1+Utl'. tlt1 tllJ.

e d nde tlQ-d H tlp f~P~...,.-";" = A -ti dv+A ti, -ti' dv.

I , .'

• tlQ-tlH " uOOleote I se le da el nombre ues­

ion d cuerpo, y designándolo por d Z, mos

u= ~~ dlJ+Atll r~; dv = A;¡ r:~ d 11,

onde

QOmo

mos por último la relacion notable

~ = e log. '+Z.

98. lnlerpretacion de 101 van'ol 'fectos del calor segun la teoria del mOf1imienlo. Nada más fAcil que interpretar segun la teorla del movimien­to, los varios efectos de una cantidad AO de ca­lor, comunicada á un cuerpo.

En primer lugar, A O no es otra cosa sino cierta cantidad de fuerza viva, y ésta se va á di­vidir en otras vá.rias, ó lo que es lo mismo, en trabajos mecánicos equivalenles, pOl'que toda fuer­za viva es igual fJ. cierta cantidad de trabajo.

El calor efectif10 H no es otra cosa que la parte de fuerza viva de A Qque pasa á las moléculas ó Atomos del cuerpo, y quizá al éter intermolecular.

En una palabra, 11 es lo que aumenta la fuerza viva de los átomos: expresa en cierto modo la aeeleracion de su movimiento.

El trabajo interno A 1 representa la parte de fuerza viva de A Q, que se convierte en trabajo, y separa y aleja las moléculas venciendo sus atrac­ciones reciprocas.

A T es la parte de A Qque se convierte en tra­bajo externo.

y por último, } A F, es la conversion de una

parte de la fuerza viva A Q, en fuerza viva de toda la masa del cuerpo.

La ecuacion

.1Q=II+AI+.\'I'+ ~ 11.10',

no es má.s que una identidad entre fuel'zas vivas bajo una ú otra forma.