1 TEORIA GENERAL DE LAS TURBOMAQUINAS 1.1 MAQUINAS HIDRULICAS Unamquinaesundispositivoqueproducemovimiento.Engeneral,sebuscaquela mquina haga girar un eje o flecha, de manera que sta accione algn dispositivo mecnico, elctrico . Cuando la mquina es accionada por la fuerza del agua o transmite a ella su energa se dice queesunamquinahidrulica.Enprimercasosehabladeunaturbinayenelsegundo casodeunabomba,quesonlosdostiposclsicosdemquinashidrulicas.Alser accionadasporlaenergadelagua,lasturbinasproducenenergamecnicaquees transformadaenelctricaaltrasmitirsumovimientoaungenerador.Lasbombas,porsu parte, reciben energa mecnica originada en la mayora de los casos por un motor elctrico y crean una carga suficiente para impulsar el gasto deseado en el proyecto. En al figura 1.1 se indican esquemticamente estos principios. Figura 1.1 Principios generales de las turbomaquinas. Tomado de Gardea,1992 1.2 ANTECEDENTES HISTRICOS. Lasprimerasturbinashidrulicasfueronruedasaccionadasporcorrientenaturaly empezaron a utilizarse unos 3000 aos a.:C: para transmitir su energa mecnica a molinos de trigo. Estas ruedas se usaron en Egipto, India, China, Siria y, posteriormente,en Grecia y Roma. 2 Por lo que se refiere a los mecanismos para elevar agua (bombas), es posible que el primero con utilidadprcticahayasido eltornillo de Arqumedes que data de unos 250 aos a.C. Unos100aosmstarde,aparecilaprimeraturbinadevapor,inventadaporHernde Alejandra y que por cierto no tuvo ninguna aplicacin. Posteriormente, en el siglo VI aparecieron en Europa los molinos de viento y no hubo nada nuevo durante 12 siglos, hasta que en 1730, el matemtico suizo Daniel Bernoulli impuls lahidrodinmicaconsuconocidoteorema,yLeonardoEuleren1750explic matemticamenteelmecanismodetransmisindelaenergahidrulicaalasmquinase introdujo el concepto de cavitacin. La primera turbina, del tipo delas que conocemos ahora, fue diseada por elinvestigador alemnAndreas Segneren 1750, quin probablemente seinspir enla turbina deHern. Sin embargo, el primer diseo practico de una turbina de reaccinfue presentada en 1833 por el ingeniero francs Benoit Fourneyron. Se trataba de una mquina diseada para una carga de 108 m. Potencia de 48 CV y velocidad de giro de 2300 r.p.m. Fourneyron se bas en las ideas de su maestro Claude Burdin, quien era un terico brillante, aunque le faltaba la habilidad de constructor. Asimismo, a Burdin se debe el trmino turbina. Por ltimo, es esencial destacar a tres inventores fundamentales: James B. Francis (ingls), Lester A. Pelton (E.U.A) y Victor Kaplan (Checo), quienes presentaron diseos de los tres tipos clsicos de turbinas en 1847,1889 y 1914, respectivamente. Hasta la fecha, sus diseos son utilizados por los fabricantes, quienes han introducido obviamente algunas mejoras, pero conservando las ideas originales. En el tabla 1.1 se presenta una cronologa de la evolucin de la maquinas hidrulicas. 1.3 POTENCIA Y ENERGIA Paracaracterizarunaprovechamientoenergticoesindispensableindicarsupotenciayla energaqueproducedurantedeterminadotiempo.Estehechorevisteanmayor importanciaenelcasoparticulardelascentraleshidroelctricas,debidoaqueenellas,la energa producidatiene un valor prcticamente invariable, mientras que su potencia puede ser afectada por otras caractersticas del sistema. Para entender esto, esimportante establecer unanlisisms detallado que nosmuestrelas implicaciones que se derivan de los supuestos fsicos que se presentan. En la figura 1.2 se presenta una partcula de pesoW que sigue una trayectoria del punto 1 al2.Eltrabajodesarrolladopordichapartculaaldesplazarseunadistancia|ds|esel producto escalar s . W o = ot = |W||os|cosu (1.1) 3 Tabla1.1Cronologadelaevolucindelasmquinashidrulicas.Tomadode Gardea,1992. 4 Figura 1.2 Trayectoria de una partcula fluida y como|os |cos u= oz, si W es el mdulo del vector W, puede escribirse ot =-W oz(1.2) El trabajo desarrollado entre los puntos 1 y 2, cualquiera que sea la trayectoria recorrida, es : ( )}= = o = t211 2H W z z W z W (1.3) donde: H = es el desnivel (z1-z1) Y la potencia correspondiente, si el desplazamiento se hizo en un tiempo t: Ht tH WtP = =t= (1.4) donde: es el peso especfico de la partcula y su volumen. Ahorabien,supngasequenosetratadeunasolapartcula,sinodeunlquido incompresiblequeesconducidoporuntubo1al2yqueeselvolumenquepasapor cualquier seccin del tubo en el tiempot, es decir, el gasto Q es V/t;; la expresin anterior lleva a concluir que la potencia desarrolladapor el liquido en movimiento es: P = QH(1.5) 5 Porotraparte,unaprovechamientohidroelctriconopuedecaracterizarsecompletamente sloporsupotencia,sinoadems,yenformamuyimportante,poreltiempoenquesta puede utilizarse. A este concepto se le llama energa y representa el trabajo desarrollado en un cierto tiempo; esto es, el producto de la potencia por dicho tiempo, que generalmente se expresa en horas aprovechadas, es decir: ENERGIA = POTENCIA X TIEMPO EN HORAS 1.4 UNIDADES DE POTENCIA Y ENERGIA Las unidades fundamentales del sistema MKS son: MagnitudUnidadSimbolo Longitudmetrom Tiemposegundos Masakilogramokg Las unidades de este sistema se utilizan comnmente en los aprovechamientos hidrulicos, as como las siguientes derivadas del Sistema Internacional de Unidades: MagnitudUnidadEquivalenciaSmbolo Fuerzanewtonkg.m/s2N PresinpascalN/m2 or kg/m.s2Pa TrabajoJouleN.m or kg.m2/s2 J PotenciawattJ/s or kg.m2/s3W Para el sistema gravitacional MagnitudSmbolo y equivalencia Fuerza1 kgf = 1 kg x 9.81 m/s2= 9.81 N Trabajo1 kgf = 1 kg x 9.81 m2/s2 = 9.81 J Potencia1 kgf =1 kg x 9.81 m2/s3 = 9.81 W 1 kgf = kilogramo fuerza Algunas relaciones importantes sera: P = 9.81 qQH|W|(1.6) para turbinas, y: q=H Q 9.81P |W|(1.7) para bombas. 6 En los pases donde se aplica el sistema mtrico, es comn utilizar como unidad de potencia el caballo de vapor, que de abrevia CV, su valor es: 1 CV = 75 kgf m/s luego, la potencia en CV 75H QP q= (1.8) P = 13.33 qQH| CV| (1.9) As mismo, en los pases de habla inglesa se utiliza como unidad de potencia el horse power, cuya abreviatura es HP, y equivale a: 1 HP = 550 LBF ft/s = 76.159 kgf entonces, la potencia en HP es: P = 13.33 qQH| HP|(1.10) 1.5CARGA NETA EN TURBINAS Lapotenciaentregadaporunaturbinaestporlaexpresin1.4enqueHeslacarga utilizada por la turbinayq su eficiencia. En su clasificacinms generalhay dos tipos de turbina,asaber:lasdeimpulso,quetrabajansometidasalapresinatmosfricaylasde reaccin cuyos rodetes se encuentran sometidos a presiones diferentes a la atmosfrica. La cargaH a que se refiere la expresin anterior, llamada carga neta. 1.6 TURBINAS DE IMPULSO Figura 1.3 Turbina de impulso 7 En la figura 1.3 se observa que la energa que recibe la turbina es la que hay a la salida de la tubera,enelpunto1ydespusdeaccionaralarueda,elaguasaleporlaseccin2,en donde si an hay energa, sta ya no puede ser aprovechadapor la mquina. Si se aplica la ecuacin de energa entre las secciones 1 y 2 se tendr: 2 1 f2221hg 2Vg 2V+ = es decir, hay una perdida hf1-2 entre la entrada y la salida de la rueda. Se trata como todas lasprdidas,realmentedeunatransformacinaotrotipodeenerganoconsideradaen ningunodelostrestrminosdelTeoremadeBernoulli.staeslaenergamecnicaque transmitela rueda al generador , el cualla convierte a su vez en electricidad. Siendohf1-2 una prdida desde el punto de vista hidrulico, representa en realidad la energa tomada por la rueda que es precisamente lo que se denomina carga neta y se expresa con la letra H. En unbuendiseo0g 2V22= porloqueparalasturbinasdeimpulso,lacarganetatieneel valor: g 2VH2=donde V es la velocidad absoluta del chorro al incidir en las palas de la rueda (V1 en la figura 1.3). 1.7 TURBINAS DE REACCIN Figura 1.4 Turbina de Reaccin. En este caso, la turbina se encuentra alojada en una cmara hermtica dentro de la cual las presiones cambian al paso del agua. Si se aplica la ecuacin de la energaentre los puntos 1 de lafigura 1.4 a la entrada de lamencionada cmarayel punto 2 a la salida de ella, se tendr: 8 2 1 f2221 11hg 2Vg 2V pz+ = ++ y un anlisis semejante al caso anterior lleva a la conclusin de que la carga tomada por la turbina es precisamente hf 1-2, es decir, la carga neta cuyo valor es entonces: g 2V pz H21 11++ =gV222, como el caso anterior no debe ser de consideracin en un buen diseo. Aparentemente, el desnivel z1 debe ser grande , pero esto creara bajas presiones hasta el lmite del punto de vaporizacin del agua y, por tanto, provocar cavitacin . Por esta razn,z1 no debe ser ms grande de lo necesario? 1.8 LEY DE IMPULSO APLICADO AL ESTUDIO DE LAS TURBOMAQUINAS La ley de impulso o de la cantidad de movimiento que relaciona el cambio de velocidad experimentado por una partcula de masa m con la fuerza que hace posible dicho cambio, se expresa en la forma siguiente: F ot = m oV(1.11) dondeotyoVindican,respectivamente,losincrementosdetiempoyvelocidaddel fenmeno.Elmiembrodelaizquierdasellamaimpulsoyeldeladerechacantidadde movimiento, expresados en una misma unidad de tiempo. LaleysimplementedicequeelimpulsoduranteciertotiempooVesigualalcambiode cantidad de movimiento en el mismotiempo. Por tratarse de un lquido tgQm o= (1.12) porlo que laexpresin anterior puede escribirse ( )1 2V VgQVgQF = o== (1.13) 9 y en estaforma, sin desde elpunto de vista del tiempo, se puede decir queF es la fuerza queestaprovocandoelcambiodevelocidadoVdelamasadelquidoquefluye permanentemente con un gasto Q. 1.9 EFECTO DE UN CHORRO QUE INCIDE SOBRE LAS PLACAS BIFURCADAS Y PLACAS PLANAS FIJAS. Paraentenderelmecanismodetransmisindelaenergadelaguaaunaturbina,es convenienteestudiaranteslaformaenqueunchorroactasobreunaplaca,yaquees precisamente lo que sucede en los rodetes de las turbinas, que tienen unidas en su periferia una serie de placas que se llaman labes . Figura 1.5 Efecto de un chorro sobre placa bifurcada. De acuerdo con la figura 1.5, supngase que un chorro con gasto Q y velocidad V1 incide sobre una placa bifurcada simtrica y que, por alguna razn, divide su gasto a la mitad y tambin su rea hidrulica, lo que trae por consecuencia que la magnitud de la velocidad se mantenga constante. El empuje que es capaz de producir el chorro es gV Q1, aunqueno necesariamente es el quetomarlaplaca;yasea,comoenestecaso,queporsuformacaractersticanoacepte toda la energa del chorro o porque dicha placa se encuentre en movimiento. Slaplacaestfija(U=0),esporqueexisteunafuerzaFqueladetieneycuyovalor, segn la ley de impulso 1.14 es, en la direccin del eje X: 1 1 1VgQcos Vg 2Qcos Vg 2QF o+ o= 10 ( )1 1V cos VgQF o=Y el empuje R aceptado por la placa hidrulica bifurcada es igual y de direccin contraria; es decir, haciendo V1 = V : ( ) ( ) o = o = cos 1 VgQcos V VgQR (1.14) Obsrvese que el empuje aceptado por la placa segn el ejeX es el total de que se dispone el chorro: gV Q menos el desviado debido a la bifurcacin que no ejerce ninguna accin sobre la placa y cuyo valor, proyectado sobre el eje X esocosgV Q. Enotraspalabras,elimpulsotransmitidoporunfluidoaunaestructuraesigualala diferencia entre la cantidad de movimiento a laentrada de la estructura y la cantidad de movimiento que tiene ese fluido al abandonarla. Sisedesignacomopunto1aldeentraday2aldesalida,elimpulsotomadoporla estructura es, entonces: ( )2 1V VgQR = (1.15) Silaplacaesplanayperpendicularaladireccindelchorro(o=90),tomatodala cantidaddemovimientodelchorro,yaquealsalirelaguasuvelocidadnotiene componente sobre el eje X. En la figura 1.6 se presenta este caso, en el que el empuje sobre la placa es, segn 1.14 VgQR= (1.16) 11 Figura 1.6 Efecto de un chorro sobre una placa plana horizontal. 1.10 EFECTO DE UN CHORRO QUE INCIDE SOBRE PLACAS EN MOVIMIENTO Si las placas se mueven en la direccin del chorro con una velocidad U, el empuje deber calcularse con la velocidad relativa W = V U y su valor ser, de acuerdo con la expresin 1.14 ( )( ) o = cos 1 U VgQR (1.17) Para la placa bifurcada, o para la plana perpendicular al chorro, segn 1.16 ( ) U VgQR = (1.18) 1.11 POTENCIA DESARROLLADA POR EL CHORRO SOBRE UNA PLACA EN MOVIMIENT . PAR MOTOR. Supngase que una placa plana se desplaza por efecto del impulso R que recibe de un chorro normal a ella y lo hace en la misma direccin de dicho impulso. Si la placa recorre una distancia s, desarrolla un trabajo: t = R s y si el desplazamiento se hace en un tiempo t, es decir, con velocidad U = s/t, se habr producido una potencia U RtsR P = = (1.19) Si la fuerza R est aplicada sobre una rueda que gira alrededor de un eje a una distanciar del punto de aplicacin de dicha fuerza y con una velocidad tangencial U, como se ve en la figura 1.6, el par que hace girar a la rueda, llamado par motor, esta dado por la expresin 12 Figura 1.6 Representacin del par motor M = R r(1.20) Por otra parte, segn 1.19 y recordando que s = u r, la potencia entregada es: tr R Pu= Ahora bien, de acuerdo con 1.20 y siendo que la velocidad angular e es e= u /tpuede escribirse la llamada formula par motor: P = M e(1.21) e puede medirse en cualquier motor en funcionamiento, por ejemplo con un tacmetro, y M con un dispositivo de freno, y as determinar la potencia real del motor. La velocidad angular de los motores, que se designar con la letra N , se expresa en revoluciones por minuto (r.p.m.) . Es decir, un punto de la rueda recorre en un minuto una distancia tDN, por lo que su velocidad tangencial en m/s es: 60N DUt= (1.22) y comorU= e dela ecuacin anterior se concluye que: 30N t= e (1.23) Al tratarse de una rueda con un nmero adecuado de placas, de manera que pueda aceptarse que el chorro siempre est actuando sobre una de ellas, como suced en las turbinas de 13 impulso Pelton puede considerarse que el gasto se aprovecha en su totalidad, de manera que el empuje real tomado por el rodete sea el dado por la expresin 1.18 1.12 ECUACIN DE TURBINA DE EULER Ladiferenciaentreeldiseoadecuadodeunimpulsordebombasydeunrodeteturbina consisteenlaposicindeloslabes.Enlabombacentrifugaelaguaentraporelojodel impulsorysaleporlaperiferia,mientrasqueladireccindelflujoenlamayoradelas turbinasdereaccinesprecisamentelocontrario.Estainversindelflujosepuedelograr simplementecambiandoelsentidodegirodelrodete.Enlafigura1.17serepresentaun rodeteyseindicanlasvelocidadesabsolutasdelaguaconlaletraV,lastangencialesde giro del rodete conlaletraU ylasvelocidades relativas agua-rodete conlaletraW. Enla misma figura se indica el sentido de giro si el funcionamiento corresponde a una turbina o unabomba.Lossubndices1y2corresponden,respectivamente,alaentradaysalidadel agua en ambos casos. Figura 1.7 Representacin de las velocidades en el rodete o impulsor Debido a que en una bomba se pretende crear presin en la descarga, conviene, en general, quelasvelocidadesV2alasalidaseantanpequeascomoseaposible;loquenose requiere en la misma posicin geomtrica de la turbina, es decir en los puntos de entrada al 14 rodete. Por tal razn, si bien una turbina puede usarse como bomba, al trabajar como tal, su eficiencia disminuir notablemente. En la figura 1.8 se presenta la trayectoria de una partcula de agua que entra en el rodete de una turbina por el punto 1 con una velocidad V1 y sale por el punto 2 con velocidad V2 . El impulso aprovechado por el rodete es el indicado en la expresin 1.15. Pero si se desea conocer el par motor, expresin 1.20, slo interesa la proyeccin de este impulso sobre las tangentes a la rueda; por lo que dicho par motor obtiene el siguiente valor: ( )2 2 2 1 1 1r cos V r cos VgQM o o= (1.24) Figura 1.8 Trayectoria de una partcula fluida en el rodete de una bomba La ecuacin anterior, 1.24 , se le conoce como ecuacin de turbina de Euler. Y de acuerdo con la expresin 1.22 y .1.23, la potencia del rodete vale: ( )2 2 2 1 1 1cos U V cos U VgQP o o= staeslapotenciareal,yaqueellquidoentregalrodetelaenerganecesariapara ponerloenmovimientoyparavencerlasprdidasendichorodete.Porlotanto,sidicha potencia es P = qQ H, la expresin anterior equivale a 15 ( )2 2 2 1 1 1cos U V cos U Vg1H o o = q (1.25) sta ltima se le conoce como ecuacin energtica de la turbina o simplemente ecuacin de Euler Para el caso de las bombas el par motor es exactamente el mismo pero de signo contrario a la de la expresin 1.24 , como puede concluirse al observar los paralelogramos de velocidades de la figura 1.7; y como en este caso , es el impulsor el que transmite su energa mecnica al lquido y no a la inversa como sucede con la turbina; el par motor entregado al impulsor tiene valor : ( )1 1 1 2 2 2r cos V r cos VgQM o o=Es importante sealar que los subndices 1 y 2indican, respectivamente, la entrada y salida del lquido. La potencia real de la bomba cuya eficiencia sea q tiene el siguiente valor: ( )q= o o=H Qcos V U cos V UgQP1 1 1 2 2 2 por lo que la ecuacin energtica de Eulerpara la bomba es: ( )1 1 1 2 2 2cos V U cos V Ug1 Ho o =q(1.26) 16 2 TURBINAS 17 2.1 CLASIFICACIN GENERAL DE LAS TURBINAS De acuerdo con el tema 1.4 se menciona que las turbinas se clasifican en turbinas de reaccin y de impulso; sin embargo, no es la nica forma de establecer los criterios de clasificacin .Gardea,1992; propone la siguiente clasificacin en la tabla 1.2 18 Tabla 2.1 Clasificacin general de la turbinas. Por lo que respecta a la forma de transmisin de la energa del agua al rodete, puede decirse que en realidad todas las turbinas trabajan bajo una combinacin de impulso y reaccin de liquidocomo puede verse en la figura 2.1 PELTON Turbinadeimpulsoydeaccintangencial.Elaguaesdirigidaalrodetepormediode chiflones. Si es horizontal tiene uno o dos chiflones. Si es vertical puede tener hasta seis u ochochiflones.Trabajaconcargasaltas,deunos150ma2200m,ygastosbajos, 19 menores de unos 30 m3s-1. Est sometida a la presin atmosfrica, por lo que no puede estar sumergida . Figura 2.1 Descripcin del efecto del impulso y reaccin del lquido a una turbina. Sueficienciasealteraligeramenteporlavariacindegastosyesmssensiblealos cambios de carga. FRANCIS 20 Turbinadereaccin,radioaxial,generalmentecentrpeta.Alabesdirectricesdel distribuidor mviles que permiten ser accionados por el regulador de la turbina para variar elgastoytomarloscambiosdelademanda.labesdelrodetefijos.Cargabajasy medias, de 25 m a 380 m aproximadamente, y gastos medios, del rodete del orden de 30 Figura 2.2 Principales tipos de Turbinas m3s-1a200m3s-1.Presinvariabledesdelaentradaalrodetehastaabandonareltubode aspiracin.Eficienciasensibletantoalavariacindelgastocomodelacarga. Generalmente es vertical. HELICE 21 Turbina de reaccin, radioaxial. Propela con labesfijos. centrpeta. Gastos grandes, hasta de unos 500m3s-1,y cargas bajas,menores de30 m, aproximadamente. Presinvariable. Fue la primera versin de turbina inventada por Victor Kaplan. Estudiar el apunte KAPLAN Turbina de reaccin, radioaxial. labes de la propela mviles, se mueven automticamente alvariarlascondicionesdeoperacin,loquehacequelaeficienciasemantenga prcticamenteconstanteduranteelfuncionamiento.Gastosgrandes,hastaunos500m3s-1, cargas bajas, menores de 80 m, aproximadamente. Obsrveseque,enelcasodelaturbinadeimpulso(figura2.2a),alpasarelaguaporel chiflnhayunatransferenciatotaldeenergacintica,demaneraqueenladescargase tiene la carga neta igual a V21(2g)-1 y la presin es la atmosfrica. Ver figura 2.1 2.2 VELOCIDAD SINCRONA La velocidad de giro del rodete, N, medida en revoluciones por minuto, depende del tipo de generador que se use y de la frecuencia deseada; est dada por la expresin: pf 60N = (2.1) donde fes la frecuencia elctrica en Hertz (Hz) que equivale a ciclos por segundo, y p es el nmerodeparesdepolosdelgenerador.Generalmente,laflechadelaturbinatieneuna conexindirectaconladelrotordelgenerador,porloqueamboselementosgiranala misma velocidad N, llamada por este motivo , velocidad sncrona. Los valores comunes de pares de polos p del generador, son los siguientes: p = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14, .......(de dos en dos hasta 50) Mientras el generador sea ms grande, y por consiguiente tambin la turbina conectada a l, es posible colocar un mayor nmero de polos; lo que adems es deseable, ya que as puede disminuirse la velocidad de giro en mquinas grandes. 2.3 SIMILITUD MECANICA EN MAQUINAS HIDRULICAS Laparticularidadquepresentalateoradelasimilitudparamquinashidrulicasconsiste enque,enestecaso,elmodelonoesnecesariamentedemenortamaoqueelprototipo,sino que puede ser del mismo tamao o, inclusive , modelo y prototipo pueden ser la misma 22 mquina. En efecto, si una mquina funciona adecuadamente con determinados parmetros y,pornecesidadesdelaoperacincambianunoovariosdeellos,lasleyesdesimilitud sealancmodebenalterarselosdemsparaqueelnuevofuncionamientosealosms semejante posible al original. Se designar entonces modelo a la mquina de la cual se toma la informacin y prototipo a aquella a la que desea trasladar dicha informacin, independientemente del tamao de cada una de ellas. CONDICIONES DE SIMILITUD Las condiciones de similitud en mquinas hidrulicas son las siguientes: a)Debe existir semejanza geomtrica y dinmica. b)La eficiencia del modelo es igual a la del prototipo. Lasemejanzageomtrica,primeracondicindesimilitud,exigequehayaunasolaescala de lneas; es decir, no hay modelos distorsionados de mquinas hidrulicas. Adems , todos los ngulos correspondientesylaforma delos labes deben seriguales en elmodeloy en prototipo y elmodelo. En pocas palabras, el prototipoy elmodelo deben sermquinas de igualtipoyhabersidoconstruidasexactamentebajolasmismasnormasdediseo, osea, tambin deben proceder de la misma fbrica. Lasemejanzadinmicaexigequelostringulosdevelocidadesencualquierpunto homlogo de las dos mquinas sean tringulos semejantes. Esto significa, por ejemplo, que si una turbina recibe el agua del distribuidor con un cierto nguloo1 (vase la figura1.8), slo se podr comparar con otra que tenga su distribuidor con los labes exactamente bajo el mismo ngulo. Lasegundacondicinesunahiptesissimplificadoraquenosecumpleenlarealidadya que,lgicamente,laeficienciadelasturbinasvaraalcambiarsuscondicionesde operacin y es ms alta en las mquinas hidrulicas, mientras stas sean de mayor tamao. LEYES DE SIMILITUD MECANICA PARA MAQUINAS HIDRULICAS Enunrodetedeterminado,quetrabajaencondicionesdefinidaseinvariables,existeuna relacin constante entre las velocidades absolutas del agua y las velocidadestangenciales , a la entrada y a la salida del mismo, es decir, son vlidas las expresiones (figura 1.7) 23 2 2 2 2 1 1 1 1U c cos V U c cos V = o = o(c1, c2 son constantes) y la ecuacin de Euler 1.25 para el rodete mencionado puede escribirse ( )22 221 1U c U cg1H = q como. cte y r U r U2 2 1 1= e e = e = es vlida la relacin: 21212 222121UrrUrrUU||.|

\|= = que sustituida en la ecuacin de Euler (((

||.|

\| = q2122 121rrc c Ug1H Si se llama k a los trminos constantes de esta expresin: qH = kU21 Con un razonamiento anlogo puede llegarse a la expresin: qH = kV21 Sisetienendosmquinassometidasalascondicionesdesimilitudsealadas,los coeficienteskyksernlosmismosparaambasylasecuacionesquerepresentansus funcionamientos son: ModeloPrototipo qHm = kU2m qHm = kV2m qHp = kU2p qHp = kU2p 24 Tomando ahora en consideracin la segunda condicin de similitud, pueden escribirse las expresiones anteriores vlidas para modelo y prototipo, en la forma general: H = bU2H = bV2(2.2) donde b y b son constantes que incluyen la eficiencia de las turbinas. Para las bombas, se sigueunprocedimientoanlogo,sloqueenestecasoconvienehacereldesarrollode manera que V sea la velocidad a la salida del impulsor. En turbinas en general se aplica la similitud mecnica para los dos casos siguientes: 1.- El modelo y el prototipo tienen el mismo dimetro, o inclusive pueden ser lamisma mquina, pero trabajando con carga diferente: Dm = DpHm = Hp 2.- El caso contrario; es decir, el modelo es de distinto tamao que el prototipo, pero ambos trabajan bajo la misma carga: Hm = HpDm = Dp Sinembargo,enocasionesserequiereanalizarelcomportamientodeunamquina semejante,peroenellasondistintostantoeldimetrocomolacarga,porloqueesms convenientepresentarleyesgeneralesdesimilitudenlaformaquesedescribea continuacin. Al observar la ecuacin 2.2 aplicada a dos mquinas que trabajan bajo las mismas leyes de semejanza mecnica, puede decirse que el prototipo est sujeto a las condiciones: Hp = bU2p = bV2p(2.3) y el modelo a: Hm = bU2m = bV2m(2.4) Al relacionar ahora 2.3 y 2.4 se tiene: 2mp2mpmpVVUUHH||.|

\|=||.|

\|= (2.5) que es una expresin general de similitud mecnica en mquinas hidrulicas. A partir de 2.5 seanalizarnlasrelacionesquetienenlavelocidaddegiroN,elgastoQylapotenciaP conlosposiblescambiosdemodeloaprototipodecargaHyeldimetroD,yaqueson stasleyesdesimilitudqueinteresanbsicamentealestudiodelcomportamientodelas 25 turbinas.Conbaseenloanteriorsepuedendeducirlassiguientesleyesgeneralesde similitud para mquinas hidrulicas. Velocidad de Giro 60N DUt= de 2.5 se deduce la ley de similitud para las velocidades de giro, a saber: 21mppmmpHHDDNN||.|

\|= (2.6) Gasto Elreadeaccesoalrodeteentrecadacanalpuedecalcularsecon2longitudes representativas, a saber : la separacin a entre los labes y el ancho b de los mismos, segn se indica en la figura 2.3. Sisellamacalfactorqueproyectaesarea,demaneraqueseaperpendicularala velocidadabsolutadeentradaVdelaguaalrodete,ysifeselnmerodecanales,puede decirse que el rea total de acceso al rodete perpendicular a la velocidad Ves: A = (cj) (a)(b) (2.7) En un rodete determinado, tanto a como b pueden relacionarse con el dimetro D por medio de constantes que se designarn como k1 y k2es decir: Figura 2.3 Diagrama esquematizado de una turbina a = k1D b = k2D por lo que A= cj k1k2D2, y al unir todas las constantes en una que se llamar C: 26 A= CD2(2.8) C tiene el mismo valor para todos los rodetes semejantes a aquel en que se midi(modelo). Ahorabien,sQ=AV,larelacindegastosentreprototipoymodelopuedenescribirse tambin, de acuerdo con 2.8: mp2mpm mp pmpVVDDV AV AQQ||.|

\|= = (2.9) yalsustituirelvalordeVp/Vmdelaexpresin2.5enla2.9seobtienelaleygeneralde similitud para los gastos 21mp2mpmpHHDDQQ||.|

\|||.|

\|=(2.10) Potencia La potencia dada por la expresin H Q P q = permite relacionar el prototipo con el modelo, en la forma: m mp pmpH QH QPP= Sienestaexpresinsesustituyela2.10seobtienelaleygeneraldesimilitudparala potencia 23mp2mpmpHHDDPP||.|

\|||.|

\|= (2.11) A partir de las expresiones generales2.5, 2.6, 2.10 y 2.11 pueden deducirse fcilmente los casos ms usuales sealados antes; es decir: p m p mH H ; D D . 1 = = 21mpmpHHNN||.|

\|= (2.12) 27 23mpmpHHPP||.|

\|= (2.13) p m p mH H ; D D . 2 = = 21pm21pmmpPPQQNN||.|

\|=||.|

\|= (2.14) m pU U=m pV V = Lasexpresiones.2.6,2.10y2.11sonvlidastantoparaturbinascomoparabombas;sin embargo,enlasbombassonotroslosparmetrosqueinteresan.Enefecto,enestecaso importaconocerelfuncionamientodeunprototiposieldimetrodesuimpulsores diferentealdelmodelo,sihaycambioenlavelocidaddegiroosisepresentanambasal mismo tiempo. Lascaractersticasdefuncionamientoqueinteresanalestudiarbombassongeneralmente lasvariacionesdeH,QyPdeunabombaalrelacionarseconotramecnicamente semejante,peroconvaloresdistintosdeNy/oD.Esporesoquelasleyesgeneralesde similitudmecnicaparabombastienenlamismaformaindicadaenlaexpresiones2.15, 2.16 y 2.17. A partir de 2.6puede obtenerse la primera de ellas, es decir: 2mp2mpmpDDNNHH||.|

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\|= (2.15) y para gastos, utilizando 2.6 y 2.10 3mpppmpDDNNQQ||.|

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\|= (2.16) En forma semejante de acuerdo con el concepto depotencia y las expresiones 2.15 y 2.16, la ley de similitud para potencias toma la forma 5mp3mpmpDDNNPP||.|

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\|= (2.17) Turbina Especfica. Seleccin de Turbinas PuedecaracterizarseunamquinahidrulicaporsupotenciaP,sucarganetaHysu velocidad de giro, N ( la combinacin de P y H implica gasto Q). En el caso de las turbinas, cuyascaractersticaspreponderantesessindudalapotencia,sedefinesufuncionamiento conlosvalores:N,Py H;yse trata de bombas,en que elgasto es elelemento principal, son N, Q y H los parmetros ms importantes. 28 La combinacin de estos tres parmetros permite definir el concepto de turbina especfica. Se llama as a una turbina hipottica que trabaja con carga y potencia unitarias y adems lo hace en forma semejante a otra cuyos parmetros sean N, P y H. Esto significa que la turbina especfica en el sistema mtrico es aquella en que H = 1 m y P = 1 CV ( 1 kW) y en el sistema ingls: H = 1 fty P = 1 HP ( 1 kW). Deacuerdoconloanteriorysuponiendodosmquinashomologas,unamodeloyotra prototipo, se tienen los siguientes datos: ModeloProtipo Turbina realTurbina especifica Parmetros : N, H, P, D y Q Parmetros: Ns, Qs y Ds Condicin: Ps = 1 CV; Hs = 1 m ComoslointeresanlosparmetrosN,PyH,puedenreunirselasdosleyesgeneralesde similitud2.6y2.11enunasola,eliminandoeldimetrodelosrodetes.Enefecto, sustituyendo Dm/Dp de la 2.11 en 2.6, se obtiene 45mp21pmmpHHPPNN||.|

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\|=y haciendo consideraciones sealadas 4521sH11PN N|.|

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\|= 4521sHNPN = (2.18) que es la velocidad de giro de la turbina especfica En relacin con las bombas, se define como bomba especifica aquella que, funcionando en formasemejanteaotracuyacaractersticasean:D,Q,NyH,trabajaconungastoyuna carga unitaria. En el sistema mtrico el gasto se expresa en m3s-1 y la carga en metros. En el sistema ingls el gasto se expresa en galones por minuto (GPM) y la carga en pies (ft). Anlogamentealcasoanterior,lavelocidadespecificadelabombapuedeobtenerse sustituyendo Dm/Dp de la ley general 2.10 en la 2.6 con lo que se obtendr 29 43mp21pmmpHHQQNN||.|

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\|= y si Qp = 1 y Hp = 1, la velocidad especifica en la forma usada para bombas es: 4321sHNQN = (2.19) Deacuerdoconlodicho,todaslasturbinas(bombas)quetenganlamismavelocidad especfica Ns tendrn que ser semejantes entre s, es decir, del mismo tipo. Por esta razn, este parmetro se utiliza para seleccionar la clase de turbina apropiada para cada caso. Eneltabla2.1sepresentanalgunosvaloresdelavelocidadespecficaylosrangos comunes de carga para diferentes tipos de turbina. Las velocidades especifica sealados por Ns se refieren a valores correspondientes a un solo rodete. Tabal 2.1 Tipos de turbina segn su velocidad especfica. Tomado de Gardea, 1992. Ns (m-CV)TipoCargas mximas H (m) 4-35 17-50 20-60 24-70 30-85 Pelton de 1 chifln Pelton de 2 chiflones Pelton de 3 chiflones Pelton de 4 chiflones Pelton de 6 chiflones 2200 150 70 100 150 200 250 300 350 400 450 Francis lenta Francis lenta Francis lenta Francis normal Francis normal Francis rpida Francis rpida Francis express Francis express 380 220 110 80 60 45 35 30 25 300 500 800 1000 Kaplan y Hlice Kaplan y Hlice Kaplan y Hlice Kaplan y Hlice 70 40 10 6 Numero y Tipos de Unidades P es la potencia total disponible en el proyecto,N es la velocidad de giro apropiada y H la carganeta.Supngasequeporalgnmotivosevanainstalarvariasunidadesdeiguales 30 caractersticas. Si se designa con la letra Z el nmero de unidades, la potencia total ser P = ZP,dondePeslapotenciaporunidad.Luegoentonces,lavelocidadespecficatotalo del proyecto ser, segn 2.18 ( )4521sH' P Z NN = 452121sH' P NZ N = (2.20) El segundo factor es la velocidad especfica por cada unidad, que se designar Ns, la expresin anterior se puede designar como Ns = Z1/2 Ns;y 2s ' NNsZ |.|

\|= (2.21) ConestaexpresinpuededeterminarseelnmerodeunidadesZ,siseconoceelvalor aceptadodeNs,oinversamente,lavelocidadespecficaquetendrcadarodetesise conoceelnmerodeunidadesdelproyecto.Eneltabla2.1seindicanalgunosvalores lmite de Ns, en funcin de H, para determinar el tipo de turbina y el numero de posible de unidades. Dimensiones principales de las turbinas Turbina Pelton Rodete Si se considera una eficiencia del orden 0.90, se obtiene una formula conocida para determinar el dimetroderodetestipoPelton,queesel siguiente

NH38 D = 31 Chifln Porrazonesconstructivas,eldimetrodelchiflndoserelacionaconelrodeteydebe encontrarse entre los lmites siguientes: 25dD6o< < Elmximovalordedo=22.8cmparaD=5.20m,yelmenores5.5cm.Cuandodoes muypequeo,bajamucholaeficienciadelchifln.Ademsexisteunaestrecharelacin entreeldimetrodelchorroelgastoylavelocidadgeneradaatravsdelasiguiente relacin: gH 2 d4Cc ' Q2ot= Figura 2.4 Esquema representativo para describir el flujo del chorro en la tuberia de descarga. Chifln ElcoeficientedecontraccinCctieneunvalormuycercanoalaunidad,debidoaqueel diseodelchiflneshidrodinmicoconelfindeminimizarlaperdida,yestoes precisamente lo que permite incluir la eficiencia del chifln en la turbina. Puede as tomarse un valor medio de Cc = 0.95. Por lo que el dimetro del chifln tiene el valor: || mH' Q55 . 0 do = Numero de palas o cangilones 32 SegnNechleba,citadoporGardea,1992,elnmerodepalasNppuedeobtenerseen funcin de la relacin do/D de acuerdo con la tabla d/Do1/61/81/101/151/201/25 Np17 a 2118 a 2219 a 2422 a 2724 a 3026 a 33 Por su parte, Kratochvil, citado por Gardea, 1992, propone utilizar la formula opdD6 N= Dimetro de la tubera inmediata antes del chifln Los fabricantes recomiendan que la velocidadVd (figura 2.4 ) sea del orden de ( ) gH 2 10 . 0 a 075 . 0 Vd =y que Vd < 12 ms-1 Turbinas Francis y Kaplan Rodete Francis || mNH) 1 . 35 s ' N 16 . 0 ( D + =33 Kaplan || mH' Q100 s ' N1 . 7D43+=