Teoria Electromagnetica - Coeficientes de Fresnel

TEORIA ELECTROMAGNETICATEORIA ELECTROMAGNETICA

Clase 18Clase 18ECUACIONES DE FRESNELECUACIONES DE FRESNEL

GENERALIDADESGENERALIDADES

OBJETIVOSOBJETIVOS

Analizaremos la reflexión y refracción de ondas luminosas sobre dioptras planasSupondremos inicialmente que los medios que separa la dioptra son dieléctricos dieléctricos perfectosperfectosProponemos el estudio de Ondas planasOndas planasEl índice de refraccióníndice de refracción es dado por

rn ε=

Vector de Onda (propagación)Vector de Onda (propagación)

Vector de PropagaciónVector de Propagación

Los vectores Los vectores kkii , , kkrr , , kktt están en el mismo están en el mismo plano, el “plano de incidencia”plano, el “plano de incidencia”El plano de incidencia es normal al “plano El plano de incidencia es normal al “plano de frontera”de frontera”En la parte superior de la Dioptra, el índice En la parte superior de la Dioptra, el índice de refracción es nde refracción es n11

En la parte inferior es nEn la parte inferior es n22

Vector de Onda (propagación)Vector de Onda (propagación)

Construcción de Construcción de SnellSnellLos vectores Los vectores kkii , , kkrr están en la misma están en la misma circunferencia de radio circunferencia de radio ωωnn11/c del plano de /c del plano de incidenciaincidenciaEl vector El vector kktt esta en la circunferencia de esta en la circunferencia de radio radio ωωnn22/c /c La componente horizontal de los vectores La componente horizontal de los vectores kktty y kkrr son son identicasidenticasLo anterior facilita encontrar el extremo del Lo anterior facilita encontrar el extremo del vector vector kktt ::

como como intersecciónintersección recta vertical bajada del recta vertical bajada del extremo de extremo de kkrr y circulo de radio y circulo de radio ωωnn22/c /c

INCIDENCIA SOBRE UNA DIOPTRAINCIDENCIA SOBRE UNA DIOPTRASe estudian dos tipos de incidencia sobre la Dioptra:

Si la onda incide sobre la dioptra desde el medio “menos denso opticamentemenos denso opticamente” hacia el medio “mas densomas denso”: INCIDENCIA EXTERNAINCIDENCIA EXTERNASi la onda incide sobre la dioptra desde el medio “mas denso opticamentemas denso opticamente” hacia el medio “menos densomenos denso”: INCIDENCIA INTERNAINCIDENCIA INTERNA

TIPOS DE INCIDENCIA (ANGULO)TIPOS DE INCIDENCIA (ANGULO)

Respecto al ángulo de incidencia entre la

normal y el vector de propagación, hay dos

tipos de incidencia:

Incidencia NormalIncidencia Normal (θi = 0º)

Incidencia OblicuaIncidencia Oblicua (θi diferente a 0º)

Ecuaciones de Fresnel

Incidencia Normal

INCIDENCIA NORMALINCIDENCIA NORMALSupondremos una onda plana incidiendo onda plana incidiendo normalmentenormalmente sobre la dioptra (θ = 0º)La figura en la diapositiva siguiente muestra el medio de incidenciaElla también representa la relación entre sistemas derechos E, k &H para las tres ondas:

IncidenteIncidenteReflejadaReflejadatransmitidatransmitida

RELACIONES ENTRE: E, k & HRELACIONES ENTRE: E, k & H

Anotación en el medio de incidenciaAnotación en el medio de incidencia

El vector de onda en el medio de incidencia, tiene la misma magnitud para la onda reflejada como para la incidente:

Busquemos la forma explícita de esas ondas a un lado y otro de la dioptra:

ri kkrr

=

Campos Eléctricos InvolucradosCampos Eléctricos Involucrados

El vector de intensidad de campo eléctricointensidad de campo eléctrico para las tres ondas incidente, reflejada y transmitidaincidente, reflejada y transmitida tienen la forma analítica:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )xEEE

xEEExEEE

eeeeee

eee

trkjO

trkjOt

trkjO

trkjOr

trkjOO

trkjOOi

tt

rr

ii

ˆˆ

ˆ

22

11

ωω

ωω

ωω

−⋅−⋅

−⋅−⋅

−⋅−⋅

==

−==

==

rrrr

rrrr

rrrr

rr

rr

rr

SuposiciónSi no existe corriente en la fronteraH es un vector de campo contínuo, en componente tangencialE es un vector de campo también contínuoen componente tangencial (siempre se cumple)Supongamos que analizamos medios dieléctrico perfectos de índice n a cada lado de la dioptra

Consecuencias

A partir de las ecuaciones de Maxwell se cumple (LEY DE AMPERELEY DE AMPERE):

En términosEn términos del vector de intensidad intensidad magnética:magnética:

BEkrrr

ω=×

HEko

rrr=×∴

ωµ1

Consecuencias

Por formar k, E y H un sistema derechosistema derecho

Por esta razón podemos escribir la relaciónpodemos escribir la relación

nEc

EnEcn

EkH

camposdelaridadperpendicupor

o

oo

ooo2µεµ

ωµω

ωµ

ω

ωµ==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

nEHo

o

µε

=

Consecuencias

Hemos supuesto que el campo eléctricocampo eléctricovibravibra en dirección del eje de las Xeje de las XEl vector de Intensidad MagnéticaIntensidad Magnética lo hace en dirección del eje de las Yeje de las Y:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )yHHH

yHHH

yHHH

eeeeeeeee

trkjO

trkjOt

trkjO

trkjOr

trkjOO

trkjOOi

tt

rr

ii

ˆˆˆ

22

11

ωω

ωω

ωω

−⋅−⋅

−⋅−⋅

−⋅−⋅

==

==

==

rrrr

rrrr

rrrr

rr

rr

rr

ConsecuenciasAplicando la relación obtenida entre H y E:

Los campos EEii, , EErr, E, Ett son paralelos a la frontera, ellos constituyen si mismosconstituyen si mismos toda su componente su componente tangencialtangencial, el campo eléctrico a uno y otro lados campo eléctrico a uno y otro lados de la frontera es de la frontera es contínuocontínuo

2121

medioencampomedioencampoEE

==rr

( )

( )

( )yEnH

yEnH

yEnH

ee

ee

ee

trkjO

O

Ot

trkjO

O

Or

trkjOO

O

Oi

t

r

i

ˆ

ˆ

ˆ

22

11

1

ω

ω

ω

µε

µε

µε

−⋅

−⋅

−⋅

=

=

=

rr

rr

rr

r

r

r

ConsecuenciasEl campo en el primer medio es la adisiónde los campos de incidencia y reflexión

El campo en el segundo medio es el de la onda refractada (transmitida)

Por esa razón la relación entre campos es:

El campo eléctrico en el primer medio es:

ri EEErrr

+=1

tEErr

=2

rit EEErrr

+=

( ) ( ){ }trkjo

trkjooxri

ri ee EEeEE ωω −⋅−⋅ −=+rrrrrr 1ˆ

ConsecuenciasEl gráfico da la relación entre los vectores de onda kr, ki, kt y el vector de posición de cualquier punto en la frontera r

Concluimos evidente mente que:0=⋅=⋅=⋅ rkrkrk tri

rrrrrr

ConsecuenciasEl campo en el primer mediocampo en el primer medio gracias a esta ultima relación se convierte en:

que puede expresarse como:

Mientras que el campo de la onda el campo de la onda transmitidatransmitida, (usando la perpendicularidad entre kt y r), se convierte en:

( ) ( ){ }tjo

tjooxri ee EEeEE ωω −− −=+ 1ˆ

rr

{ } ( )tjo

oox eEEeE ω−−= 1

1 ˆr

{ } ( )tjox eEeE ω−= 2

2 ˆr

ConsecuenciasHaciendo la identificación entre componentes la identificación entre componentes tangencialestangenciales a la frontera del campo eléctrico a ambos lados de la dioptra:

Para el vector de Intensidad de Campo magnéticoIntensidad de Campo magnético, usando las ecuaciones de campo ya deducidas, (en términos del vector E) encontramos:

Que nos conduce a la ecuación vectorial

12o

ooo EEE −=

tri HHHrrr

=+

( ) ( ) ( )yeEny

tjo

o

otjoo

o

o eeeEneEn tjo

o

o ˆˆ 22

111

ω

µεωω

µε

µε

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ −−

ConsecuenciasQue finalmente nos conduce a la ecuación ecuación escalar buscadaescalar buscada, al igualar magnitudes vectoriales

tenemos al final, el sistema de ecuaciones sistema de ecuaciones relacionando las amplitudes de las ondas relacionando las amplitudes de las ondas reflejada,incidente y transmitidareflejada,incidente y transmitida:

[ ]11

22 o

ooo EEnEn +=

[ ]11

22 o

ooo EEnEn +=

12o

ooo EEE −=

Relación entre amplitudes de EResolviendo el sistema tenemos:

Expresiones que dan las amplitudes de la onda amplitudes de la onda reflejada y transmitidareflejada y transmitida en función de los índices de índices de refracciónrefracción y de la amplitud de la onda incidenteamplitud de la onda incidente

ooo

ooo

Enn

nE

EnnnnE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

12

12

12

121

2

Análisis incidencia externa e interna en Análisis incidencia externa e interna en incidencia Normalincidencia Normal

Incidencia externaIncidencia externa: n: n22>n>n11 onda proveniente del medio menos denso al mas denso ópticamenteIncidencia internaIncidencia interna: n: n11>n>n22 onda proveniente del medio mas denso al menos denso ópticamentePodríamos ejemplificar con el caso de la fronteraaireaire--aguaagua

–– nnaireaire=1.0004=1.0004–– nnaguaagua=1.33=1.33

Para incidencia externa Para incidencia externa nn22>n>n1 1 la amplitud de la reflejada es positivapositiva

0

01

12

12

121

>

>−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

o

ooo

E

nncomo

EnnnnE


Recordamos que la onda reflejadaonda reflejada es

Como la amplitud de la reflejada es positivaComo la amplitud de la reflejada es positiva, el signo de relación entre el vector Er y el vector unitario ey es el signo negativo, podemos escribirpodemos escribir:

( ) ( )xEEE eee trkj

Otrkj

Orrr ˆ11 ωω −⋅−⋅ −==rrrrrr

( ) ( ) ( )ExEE eeeee trkjjO

trkjOr

rr ˆˆ 11 ωπω −⋅−⋅ =−=rrrrr

x


Expresión que se puede reducir a:

Esto significa que la onda reflejada esta la onda reflejada esta defasadadefasada una edad de ángulo de 180° o 180° o ππ radianes respecto a la onda incidenteradianes respecto a la onda incidente

“UNA ONDA ELECTROMAGNETICA PLANA REFLEJANDOSE “UNA ONDA ELECTROMAGNETICA PLANA REFLEJANDOSE NORMALMENTE EN INCIDENCIA EXTERNA, SOBRE UNA NORMALMENTE EN INCIDENCIA EXTERNA, SOBRE UNA DIOPTRA SEPARANDO MEDIOS DIELECTRICOS PERFECTOS, DIOPTRA SEPARANDO MEDIOS DIELECTRICOS PERFECTOS, AL REFLEJARSE, SU CAMPO ELECTRICO SUFRE UN AL REFLEJARSE, SU CAMPO ELECTRICO SUFRE UN DEFASAMIENTO DE 180°”

( )xEE ee trkj

Orr ˆ1 πω +−⋅=rrr

DEFASAMIENTO DE 180°”


En el caso de incidencia internaincidencia interna, n2< n1 por lo cual nn22 -- nn1 1 < 0< 0Se tiene que la amplitud de la reflejada cumple

La onda reflejada ahora vibra en fase con la La onda reflejada ahora vibra en fase con la incidente (incidente (analizar este caso por el alumno))

0

01

12

12

121

<

<−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

o

ooo

E

nncomo

EnnnnE


El campo eléctrico transmitidocampo eléctrico transmitido tiene una amplitudamplitud dada por:

En cualquiera de los dos tipos de incidencialos dos tipos de incidencia, la amplitud amplitud es positivapositivaConstatamos primero, que la dirección que la dirección que supusimossupusimos inicialmente, es lala correctacorrectaEl campo eléctrico transmitido siempre está El campo eléctrico transmitido siempre está en fase con la onda incidenteen fase con la onda incidente

ooo E

nnnE ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=12

12 2

INCIDENCIA NORMAL

ANALISIS DE IRRADIANCIA


La La irradianciairradiancia se define como

Podemos hablar de la la IrradianciaIrradiancia de las de las ondas incidente, reflejada y transmitidaondas incidente, reflejada y transmitida:

En términos de esas cantidades se definen la ReflectanciaReflectancia y la y la TransmitanciaTransmitancia.

SIr

=

2

1

SI

SI

SI

t

r

oi

r

r

r

=

=

=


La La ReflectanciaReflectancia:: se define como el cociente de la la IrradianciaIrradiancia reflejada dividida por la reflejada dividida por la IrradianciaIrradiancia IncidenteIncidente

La La TransmitanciaTransmitancia:: se define como el cociente de la la IrradianciaIrradiancia transmitida transmitida dividida por la dividida por la IrradianciaIrradiancia IncidenteIncidente

i

r

IIR =

i

t

IIT =

ANALISIS DE IRRADIANCIAEl promedio temporal del vector de promedio temporal del vector de PoyntingPoynting es dado por:

Los vectores de campo de la onda incidentecampo de la onda incidenteson dados por:

oo HESrrr

×=21

( ) ( )xEEE eee trkjO

OtrkjO

Oiii ˆωω −⋅−⋅ ==rrrrrr

( )yEnH ee trkjO

OO

Oi

i ˆ1ω

µε −⋅=

rrr

ANALISIS DE IRRADIANCIAEl promedio temporal del vector de promedio temporal del vector de PoyntingPoynting de la onda incidentede la onda incidente es:

La intensidad incidenteintensidad incidente es expresada como:

El promedio temporal del vector de promedio temporal del vector de PoyntingPoynting de la onda reflejadade la onda reflejada es:

( ) zOO

O

Oooo eEnHES ˆ

21

21 2

1µε

=×=rrr

( )212

1 OO

O

Oi EnI

µε

=

( ) ( )yxoo

o eeEnS ˆˆ21 21

11 ×−=µεr


La intensidad reflejadaintensidad reflejada es expresada como:

La evaluación de la evaluación de la ReflectanciaReflectancia es dado por el proceso:

( )2112

1o

O

Or EnI

µε

=

( )

( )( )( )2

21

21

211

2121

oo

o

OO

O

oO

O

i

r

EE

En

En

IIR ===

µεµε

O


La relación entre amplitudes de ondarelación entre amplitudes de ondareflejada(onda transmitida) a onda incidentea onda incidentees

ooo

ooo

Enn

nE

EnnnnE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

12

12

12

121

2

ANALISIS DE IRRADIANCIASe define el coeficiente de reflexión en amplitudcoeficiente de reflexión en amplitud(primera expresión) por:

La segunda expresión anterior define el el coeficiente de transmisión en amplitudcoeficiente de transmisión en amplitudLa La ReflectanciaReflectancia es igual al cuadrado del es igual al cuadrado del coeficiente de reflexión en amplitudcoeficiente de reflexión en amplitud

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

==

12

12

12

121

2nn

nEEt

nnnn

EEr

oo

o

oo

o

2

12

12

212

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

nnnn

EErR o

o

o

ANALISIS DE IRRADIANCIAA partirA partir de la expresión de la de la IrradianciaIrradiancia en en términos del coeficiente de reflexión en términos del coeficiente de reflexión en amplitudamplitud podemos aseverar:

“LA REFLECTANCIA ES INDEPENDIENTE “LA REFLECTANCIA ES INDEPENDIENTE DE LAS AMPLITUDES DEL CAMPO DE LAS AMPLITUDES DEL CAMPO ELÉCTRICO, Y DEPENDE SOLAMENTE ELÉCTRICO, Y DEPENDE SOLAMENTE DE LOS INDICES DE REFRACCION DE DE LOS INDICES DE REFRACCION DE LOS MEDIOS”LOS MEDIOS”

IRRADIANCIA O INTENSIDAD TRANSMITIDA

La Irradiancia o Intensidad Transmitida se define por

El campo transmitido se expresa mediante

2SIt

r=

( ) ( )xEEE eee trkj

Otrkj

Ottt ˆ22 ωω −⋅−⋅ ==rrrrrr

( )yEnH ee trkj

OO

Ot

t ˆ22

ω

µε −⋅=

rrr

ANALISIS DE IRRADIANCIAEl promedio temporal del vector de promedio temporal del vector de PoyntingPoynting de la onda incidentede la onda incidente es:

La intensidad incidenteintensidad incidente es expresada como:

La magnitud del promedio temporal del promedio temporal del vector de vector de PoyntingPoynting de la onda transmitidade la onda transmitidaes:

( ) zOO

O

Oooo eEnHES ˆ

21

21 2

1µε

=×=rrr

( )212

1 OO

O

Oi EnI

µε

=

( ) zoo

ooo eEnHES ˆ

21

21 22

222

2 µε

=×=rrr


La intensidad de la onda transmitidaintensidad de la onda transmitida es dada por:

La La transmitanciatransmitancia es dada en consecuencia por:

( )2222

1O

O

Ot EnI

µε

=

( )

( )( )( )2

22

1

2

21

222

2121

oo

o

OO

O

O

oO

O

i

t

EE

nn

En

En

IIT ===

µεµε


Como

Entonces la transmitancia puede escribirse

ooo E

nnnE ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=12

12 2

2

12

1

1

2 2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==nn

nnn

IIT

i

t


Si efectuamos la adisión de la Reflectancia y la Transmitancia obtenemos:

Lo cual indica que la adisión de las dos cantidades R y T es la unidad y representa el 100% de la intensidad

( )12

2

212

2121

22

2

12

1

1

2

2

12

12

=+

++=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=+

nnnnnn

nnn

nn

nnnnTR

INCIDENCIA OBLICUA

DOS TIPOS DE ONDAS INCIDENTESONDA TRANSVERSO ELECTRICA

• EL CAMPO ELECTRICO VIBRA EN DIRECCION PARALELA AL PLANO DE FRONTERA

ONDA TRANSVERSO MAGNETICA• EL CAMPO ELECTRICO VIBRA EN

DIRECCION PARALELA AL PLANO DE INCIDENCIA

ONDA TRANSVERSO MAGNETICAONDA TRANSVERSO MAGNETICA

Campo eléctrico paralelo al plano de incidenciaCampo eléctrico paralelo al plano de incidencia

ORDEN DE LOS EJES COORDENADOS

Los ejes coordenados de las ondas incidente reflejada y transmitida

ONDA INCIDENTE

Para onda transverso magnética yi=yr=yt=yEl vector de onda incidente es paralelo al eje zi de dirección de transmisiónEn consecuencia

Por ello la onda incidente se expresa:iiii zkrk =⋅ r

r

( ) ( )tzkjO

trkjOi

iii ee EEE ωω −−⋅ ==rrr rr

Expresión conveniente en función de ejes sobre dioptra

Las componentes propias de la onda incidente en función de las coordenadas principales (respecto a la dioptra) son dadas por:

La componente zi es entonces:

La onda incidente sobre la frontera tiene z=0 entonces:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡zx

zx

oo

oo

i

i

θθθθ

cossinsincos

ooi zxz θθ cossin +=

( ) ( )( )oi xkjtjoii eeEE θω sin−=rr

Expresiones de las tres ondasLa componente tangencial de Ei incidente justo en la frontera, es:

Las componentes de las ondas reflejada y transmitida en la frontera, por motivos iguales, son:

( ) ( )( )oi xkjtjooiti eeEE θωθ sincos −=

( ) ( )( )or xkjtjoortr eeEE θωθ ′−′= sincos

( ) ( )( )1sin1cos θωθ xkjtj

otttteeEE −=

Ecuaciones de relación entre componentes tangenciales de E

Gráficos de las tres ondas:

Las ecuaciones de relación entre ellas

tri

tri

EEEEEE

=−=+rrr

CONSECUENCIASLa ecuación de relacion entre componentes de ondas es:

Para que la triple igualdad se cumpla, es necesario que las ecuaciones siguientes se verifiquen:

Como ki = kr se tiene la igualdad

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )1sin1

sinsin

cos

coscosθω

θωθω

θ

θθxkjtj

ot

xkjtjoor

xkjtjooi

t

oroi

eeeeee

E

EE−

′−− =′−

1sinsinsin θθθ toroi kkk =′=

oo

oroi kkθθ

θθ′=∴

′= sinsin

consecuenciasSe obtiene la identidad:

Se obtiene la Ley de Descartes o SnellLa identificación de las ecuaciones nos proporciona la igualdad que cumplen los campos tangenciales:

121

121

1

sinsin

sinsin

sinsin

θθ

θωθωθθ

nncn

cn

kk

o

o

toi

=∴

=

=

( ) totooroi EEE θθ coscos =−

Análisis del Campo MagnéticoEl campo magnético incidente es:

Que en términos del cambio de coordenadas se convierte en:

Y en la frontera se convierte en:

Los otros campos son tales que:

( ) ( )tzkjoi

trkjoii

iii ee HHH ωω −−⋅ ==rrr rr

( ) ( )( )ooi zxkjtjoii eeHH θθω cossin +−=rr

( ) ( )( )oi xkjtjoii eeHH θω sin−=rr

( ) ( )( )

( ) ( )( )1sin

sin

θω

θω

xkjtjott

xkjtjorr

t

or

eeee

HH

HH−

′−

=

=rr

rr

Análisis del Campo MagnéticoLas componentes tangenciales de los tres campos son idénticas a esos campos

La condición de Continuidad en la frontera de H es dada por:

ttt

rrt

iit

HH

HH

HH

rr

rr

rr

=

=

=

otoroi

ttrtit

HHHHHH

=+=+rrr

Análisis del Campo MagnéticoRecordando la relación entre E y H:

La condición a la frontera se convierte en la relación:

Tomando en cuenta las relaciones geométricas entre las componentes tangenciales del campo eléctrico:

EnHO

O1µ

ε=

otO

Oor

O

Ooi

O

O EnEnEn 211 µε

µε

µε

=+

( ) otoroi EnEEn 21 =+

Análisis de los coeficientesFinalmente hemos encontrado un sistema de ecuaciones lineales en términos de las componentes del campo eléctrico como incógnitas que dan los coeficientes:

Cuya solución es:

( ) totooroi EEE θθ coscos =−

( ) otoroi EnEEn 21 =+

( ) ( )poio

opor E

nnnnE

θθθθ

coscoscoscos

211

112

+−=

( ) ( )poio

pot Enn

nEθθ

θcoscos

cos2211

01

+=

Análisis del Campo MagnéticoSe ha utilizado la convención siguiente:

Si el campo incidente es Paralelo al plano de incidenciacampo incidente es Paralelo al plano de incidencia, los coeficientes coeficientes en amplitud de reflexiónen amplitud de reflexión resultantes se denominan rrpp (donde “p” significa “paralelo al plano de incidencia”)

Si el campo incidente es Paralelo al plano de incidenciacampo incidente es Paralelo al plano de incidencia, los coeficientes coeficientes en amplitud de transmisiónen amplitud de transmisión resultantes se denominan ttpp (donde “p” significa “paralelo al plano de incidencia”)

Si el campo incidente es campo incidente es PerpendicularPerpendicular al plano de incidenciaal plano de incidencia, los coeficientes en amplitud de reflexióncoeficientes en amplitud de reflexión resultantes se denominan rrss (donde “s” significa “perpendicular al plano de incidencia” y proviene del alemán SenkretchSenkretch)

Si el campo incidente es campo incidente es PerpendicularPerpendicular al plano de incidenciaal plano de incidencia, los coeficientes en amplitud de transmisióncoeficientes en amplitud de transmisión resultantes se denominan ttss

(donde “s” significa “paralelo al plano de incidencia” y proviene del alemán SinkretchSinkretch)

ONDA TRANSVERSO ELECTRICAONDA TRANSVERSO ELECTRICA

Campo Magnético paralelo al plano de incidenciaCampo Magnético paralelo al plano de incidencia

ORDEN DE LOS EJES COORDENADOS

Los ejes coordenados de las ondas incidente reflejada y transmitida

ONDA INCIDENTE

Para onda transverso eléctrica yi=yr=yt=yEl vector de onda incidente es paralelo al eje zi de dirección de transmisiónEn consecuencia

Por ello la onda incidente se expresa:iiii zkrk =⋅ r

r

( ) ( )tzkjoi

trkjoii

iii ee EEE ωω −−⋅ ==rrr rr

Expresión conveniente en función de ejes sobre dioptra

Las componentes propias de la onda incidente en función de las coordenadas principales (respecto a la dioptra) son dadas por:

La componente zi es entonces:

La onda incidente sobre la frontera tiene z=0 entonces:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡zx

zx

oo

oo

i

i

θθθθ

cossinsincos

ooi zxz θθ cossin +=

( ) ( )( )y

xkjtjoii eee oiEE ˆsinθω−=

r

Expresiones de las tres ondasLa componente tangencial de Ei incidente justo en la frontera, es:

Las componentes de las ondas reflejada y transmitida en la frontera, por motivos iguales, son:

( ) ( )( )oi xkjtjoiti eeEE θω sin−=

( ) ( )( )or xkjtjortr eeEE θω ′−= sin

( ) ( )( )1sinθω xkjtjottt

teeEE −=

Ecuaciones de relación entre componentes tangenciales de E

Gráficos de las tres ondas:

Las ecuaciones de relación entre ellas

otoroi

tri

EEEEEE

=+=+rrr

CONSECUENCIASLa ecuación de relación entre componentes de onda del campo magnético es:

Para que la triple igualdad se cumpla, es necesario que las ecuaciones siguientes se verifiquen:

Como ki = kr se tiene la igualdad

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )1sin1

sinsin

cos

coscosθω

θωθω

θ

θθxkjtj

ot

xkjtjoor

xkjtjooi

t

oroi

eeeeee

H

HH−

′−−

−

=′+−

1sinsinsin θθθ toroi kkk =′=

oo

oroi kkθθ

θθ′=∴

′= sinsin

consecuenciasSe obtiene la identidad:

Se obtiene la Ley de Descartes o SnellLa identificación de las ecuaciones nos proporciona la igualdad que cumplen los campos tangenciales:

121

121

1

sinsin

sinsin

sinsin

θθ

θωθωθθ

nncn

cn

kk

o

o

toi

=∴

=

=

( ) 1coscos θθ otooroi HHH =−

Análisis del Campo MagnéticoRecordando la relación entre E y H:

La condición a la frontera se convierte en la relación:

Tomando en cuenta las relaciones geométricas entre las componentes tangenciales del campo eléctrico:

EnHO

O1µ

ε=

1211 coscos θµεθ

µε

µε

otO

Ooor

O

Ooi

O

O EnEnEn =⎥⎦

⎤−

( ) 121 coscos

⎢⎣

⎡

θθ otooroi EnEEn =−

Análisis de los coeficientesFinalmente hemos encontrado un sistema de ecuaciones lineales en términos de las componentes del campo eléctrico como incógnitas que dan los coeficientes:

Cuya solución es:

( ) totooroi nEnEE θθ coscos 21 =−

( ) otoroi EEE =+

( ) ( )soio

osor E

nnnnE

121

121

coscoscoscos

θθθθ

+−

=

( ) ( )soio

osot E

nnnE

121

1

coscoscos2

θθθ

+=

ECUACIONES DE FRESNELHemos obtenido las cuatro ecuaciones de Fresnel dando los coeficientes de reflexión y transmisión en amplitud

( )( ) o

o

poi

porp nn

nnEE

rθθθθ

coscoscoscos

211

112

+−

==

( )( ) opoi

potp nn

nEE

tθθ

θcoscos

cos2211

01

+==

( )( ) 121

121

coscoscoscos

θθθθ

nnnn

EE

ro

o

soi

sors +

−==

( )( ) 121

1

coscoscos2

θθθ

nnn

EE

to

o

soi

sots +

==

Ecuaciones de Fresnel en forma trigonométrica

A partir de la ley de Descartes, puede obtenerse:

El coeficiente de reflexión en amplitud perpendicular puede escribirse:

Que se da como:

1

2

1sinsin

nno =

θθ

11

2

11

2

coscos

coscos

θθ

θθ

nnnn

ro

o

s

+

−=

11

11

cossinsincos

cossinsincos

θθθθ

θθθθ

oo

oo

sr+

−=

Ecuaciones de Fresnel en forma trigonométrica

La cual puede escribirse como:

De manera parecida, pueden expresarse trigonométricamente todos los coeficientes de reflexión y transmisión paralelos y perpendiculares:

)sin()sin(

cossinsincoscossinsincos

1

1

11

11

θθθθ

θθθθθθθθ

+−

−=∴

=+−

=

o

os

oo

oos

r

r

)cos()sin()cossin2(;

)sin()cossin2(

)tan()tan(

11

1

1

1

1

1

θθθθθθ

θθθθ

θθθθ

−+=

+=

+−

=

oo

op

o

os

o

op

tt

r

ANALISIS DE LA REFLEXION Y REFRACCIONSOBRE DIOPTRAS PLANAS

Analicemos las curvas curvas

de variación del de variación del

coeficiente de reflexión coeficiente de reflexión

tanto en incidencia tanto en incidencia

externa como internaexterna como interna

en funciónfunción de la

variación del ángulo de ángulo de

incidenciaincidencia

Incidencia normal con FresnelA incidencia normal, θο=0, las ecuaciones de Fresnel para coeficientes de reflexión se convierten en

Evidentemente ellos son diferente en signo:

Su gráfico iniciará por dos puntos en el eje de “r” colocados simétricamente respecto al eje de las θο en el valor θο=0Existe un Existe un defasamientodefasamiento de 180º entre la vibración paralela de 180º entre la vibración paralela y la normal al plano de incidencia, que se debe tomar en y la normal al plano de incidencia, que se debe tomar en cuenta. cuenta. (hecho no predicho por incidencia normal simple)(hecho no predicho por incidencia normal simple)

21

21

nnnnrs +

−=

21

12

nnnnrp +

−=

sp rr −=

Incidencia Normal

Si la incidencia es externa, rp>0Si la incidencia es externa, rs<0Si la incidencia es interna, rp<0Si la incidencia es interna, rs>0

Comportamiento de rsComo

este coeficiente siempre es positivo o negativo:Si inciencia externa

Si incidencia interna

De donde rrss negativo siempre para incidencia externanegativo siempre para incidencia externaPara incidencia interna rs positivo siempre

)sin()sin(

1

1

θθθθ

+−

−=o

osr

1

1sinsinθθ

θθ>∴

>

o

o1sinsin

1

2

1

>=nno

θθ

1sinsin

1

2

1

<=nno

θθ

1

1sinsinθθ

θθ<∴

<

o

o

AnalisisAnalisis de Incidencia Oblicuade Incidencia Oblicua

Incidencia Externa

ConclusionesEl coeficiente rrss negativonegativo siempresiempre para incidencia externapara incidencia externaimplicaimplica que la curvala curva que lo representa nunca cruza el ejenunca cruza el ejedel ángulo de incidencia

Al evaluar rrss para para θθ = 90º= 90º el cálculo da el valor rrss== --1 1 validando la validez de la curva que presentamos arrivaPara incidencia externaincidencia externa, el campo eléctrico reflejadocampo eléctrico reflejado se defasadefasa 180º180º respecto al campo incidenterespecto al campo incidentePara incidencia internaincidencia interna, el campo reflejadocampo reflejado esta en fase con en fase con el campo incidenteel campo incidenteEl coeficiente rrpp para incidencia externapara incidencia externa cambia de valor positivo en θθ = 0º= 0º a valor negativo –1, en θθ = 90º= 90º

ConclusionesEl coeficiente rp pasa forzosamente por el valor cero lo que obliga al resultado trigonométrico

Aplicando la Ley de Descartes (Snell) obtenemos

Este ángulo de incidencia es llamado ANGULO DE ANGULO DE POLARIZACIONPOLARIZACION o de BREWSTERBREWSTER θθBB

oo

oo

opr

θθθθ

θθθθθθ

−=⇒=+∴

∞=+⇒=+−

=∴

º90º90

)tan(0)tan()tan(

11

11

1

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1

221

02

21

121

tancossin

º90cossincosº90sinº90sinsin

sinsin

nnnn

nnnnn

ooo

o

oo

o

=⇒=∴

−=−=

=

θθθ

θθθθ

θθ

( )1

2tannn

B =θ

ConclusionesComo desaparece (en ese valor del ángulo de Brewster) el coeficiente rp, la onda reflejada sólo tiene componente la onda reflejada sólo tiene componente perpendicular al plano de incidencia.perpendicular al plano de incidencia.Se dice que la onda reflejada se polariza rectilíneamentela onda reflejada se polariza rectilíneamente en dirección paralela a la dioptra y perpendicular al plano de paralela a la dioptra y perpendicular al plano de incidenciaincidencia

Analisis de Incidencia Oblicua

Incidencia Interna

ConsecuenciasPara incidencia interna incidencia interna rrss positivo siemprepositivo siempreLa curva de La curva de rrss no corta el eje de los ángulos de no corta el eje de los ángulos de incidenciaincidenciaLa curva de La curva de rrpp corta ese eje y por ello tiene un “cero”corta ese eje y por ello tiene un “cero”Se definen dos ángulos importantesdos ángulos importantes en las curvas del coeficiente de reflexión en amplitud:

•• Angulo CríticoAngulo Crítico:•• Angulo de PolarizaciónAngulo de Polarización

• El ángulo de Polarizaciónángulo de Polarización NONO es ángulo de ángulo de BrewsterBrewster

ónPolarizacideángulor

críticoángulorr

ppo

spco

0' =⇒=

=⇒=

θθ

θθ

CONSECUENCIASEl ángulo de polarización cumple:

Aplicando la Ley de Descartes:

Este ángulo de incidencia es llamado ANGULO DE ANGULO DE POLARIZACION POLARIZACION θθPP’’

Nota: Nota: se deja al alumno mostrar que se deja al alumno mostrar que θθBB y y θθPP’ ’ son complementariosson complementarios

'11'

11

1

º90º90

)tan(0)tan()tan(

pp

oo

opr

θθθθ

θθθθθθ

−=⇒=+∴

∞=+⇒=+−

=∴

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1

2''2'1

''2

'2'1

12'1

tancossin

º90cossincosº90sin

º90sinsin

sinsin

nnnn

n

nn

nn

ppp

pp

pp

p

=⇒=∴

−=

−=

=

θθθ

θθ

θθ

θθ

Angulo CríticoSe cumple θθpp’ ’ + + θθB B = 90º= 90º ( son ángulos complementarios)

Continuamos con el análisis de ANGULO CRITICOANGULO CRITICO

El ángulo de refracción ángulo de refracción θθ11 crece mas rápidamente que el ángulo de crece mas rápidamente que el ángulo de

incidencia incidencia θθοο..

Es posible entonces pensar que a partir de un cierto valor de a partir de un cierto valor de θθοο , el , el

ángulo de refracción vale 90ºángulo de refracción vale 90º y la onda se transmite por la interfasela onda se transmite por la interfase

Asimismo, la intensidad refractada intensidad refractada es nulanula

Angulo CríticoAplicando la Ley de Descartes se obtiene:

A partir de este resultado y la Ley de Descartes:

Por conocida relación trigonométrica el coseno del angulode transmisión es:

1

2

21

21

121

sin

sinº90sinsin

sinsin

nnnnnnnn

c

c

c

o

=∴

===

θ

θθ

θθ

ernaincidenciaparavalida

nncomoy

nn

c

o

co

intsinsinsin

sinsinsin

1

2

11

2

1

θθθ

θθθ

=∴

==

c

o

θθ

θ 2

2

1 sinsin1cos −=

Angulo CríticoSi el ángulo de incidencia iguala al ángulo ángulo de incidencia iguala al ángulo θθcc

Si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo ángulo de incidencia es mayor que el ángulo θθcc :º90

011sinsin1cos

1

2

2

1

=

⇒=−=−=

θθθθ

c

c

IjQ

como

c

o

c

o

c

o

c

o

∈=−=

⇒<−⇒>

−=

θθθ

θθ

θθ

θθθ

2

2

1

2

2

2

2

2

2

1

sinsin1cos

1sinsin11

sinsin

sinsin1cos

Angulo CríticoSi el ángulo de incidencia iguala al ángulo ángulo de incidencia iguala al ángulo θθcc

Calculemos rp y rs a partir de:a partir de:

ObteniendoseObteniendose::

Para el ángulo crítico toda la energía se reflejaPara el ángulo crítico toda la energía se refleja

Si el ángulo de incidencia es mayor queángulo de incidencia es mayor que θθcc

o

op nn

nnrθθθθ

coscoscoscos

211

112

+−=

121

121

coscoscoscos

θθθθ

nnnnr

o

os +

−=

1coscos

2

2 ==o

op n

nrθθ

1coscos

1

1 ==o

os n

nrθθ

o

op njQn

jQnnrθ

θcos

cos21

12

+−

=121

21

coscos

jQnnjQnnr

o

os +

−=

θθ

⎩⎨⎧

==

+−

=

+−

=

Qnbna

conbjabjar

jQnnjQnnr

op

o

op

1

2

12

12

coscoscos

θθθ

⎩⎨⎧

==

+−

=

+−

=

Qndnc

conjdncjdcr

jQnnjQnnr

os

o

os

2

1

121

21

coscoscos

θθθ

COCIENTE DE COMPLEJOS CONJUGADOS

Dado el número complejo

Su complejo conjugado es dado porEl cociente de ese número complejo y su conjugado es

La norma de ese cociente es dada por


El cociente de un número complejo y su conjugadocociente de un número complejo y su conjugado tienetieneuna norma unitarianorma unitariaSea α α el argumento o faseel argumento o fase de ese número complejo expresado en forma polar

El cociente de un número complejo y su conjugadocociente de un número complejo y su conjugado en forma polar es dado por

Que en forma concreta en términos de sus componentes se escribirá

αα jj ee zyz ==∴ − *

αα

αj

j

j

eee

zz 2*

−−

==

jzsizz je δγγ

δ

−==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−1tan2

*


Los coeficientes de reflexión paralelo y perpendicularcoeficientes de reflexión paralelo y perpendicular son el cociente de los siguientes números complejos y sus cociente de los siguientes números complejos y sus conjugadosconjugados

Esos coeficientes son dados por:

La relación entre campo incidente y reflejado es dada por

so

po

rparaQnnjz

rparaQnnjz

21

12

cos

cos

−=−=

−=−=

θδγ

θδγ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

= onQn

j

p er θcostan2

2

11⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

= onQnj

s er θcostan2

1

21

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

== onQn

j

poipoippor eEErE θcostan2

2

11

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

== onQnj

soisoissor eEErE θcostan2

1

21


La onda reflejada se onda reflejada se defasadefasa respecto a la onda incidenterespecto a la onda incidentetanto en componente paralela como perpendicular al plano de incidenciaEl defasamientodefasamiento es diferente para cada componentees diferente para cada componente

Se definen los desplazamientos en cada componente por:

paralelan

Qnjo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= −

θα

costan22

2

11

larperpendicun

Qnjo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= −

θβ

costan22

1

21

βδ

αδ

2

2

=

=

s

p

DEFASAMIENTOUsando el valor

Los defasamientos en cada dirección son dados por

Finalmente el defasamiento entre las dos ondas (p) y (s) es

Q

nn

o

c

o =−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=− 1sin1

sinsin

2

1

2

2

2

2 θθθ

o

op

nn

nn

θ

θδ

cos

sin

2tan 2

1

2

2

1

22

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

o

os

nn

θ

θδ

cos

sin

2tan

2

1

22 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

o

oo

ps

nn

θ

θθδ

δδδ

2

2

1

22

sin

sincos

2tan

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⇒−=

CURVA DE DEFASAMIENTO NETO δ para n1=2, n2=1

ONDAS INCIDENTE Y REFLEJADALa onda incidente y reflejada son dadas genéricamente por:

Para la componente paralela al plano de incidencia

Para la componente perpendicular

( )

( )oo

oo

kzkjtjorr

kzkjtjoii

eeee

EE

EEθθω

θθω

sincos

sincos

11

11

+−

+−

=

=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )αθθω

θθωα

θθω

θθω

2sincos

sincos2

sincos

sincos

11

11

11

11

++−

+−

+−

+−

=

=

=

=

oo

oo

oo

oo

xkzkjtjpoipr

xkzkjtjjpoipr

xkzkjtjporpr

xkzkjtjpoipi

eeeee

eeee

EE

EE

EE

EE

( ) ( ) ( )βθθω 2sincos 11 ++−= oo xkzkjtjsoisr eeEE

VECTOR DE JONES DE ONDA REFLEJADA

El vector de Jones de la onda reflejadavector de Jones de la onda reflejada es:

Que puede escribirse como:

( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡s

p

jsoi

jpoi

sor

por

ee

EE

EE

δ

δ

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

ps

jsoi

poij

sor

por

jsoi

poij

sor

por

si

EE

EE

EE

EE

ee

ee

p

ps

p

δδδ

δδ

δδδ

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

Valor maximal del defasajeUna frontera se puede caracterizar por su índice de índice de refracción relativorefracción relativo:

Escribiendo el defasaje total en términos de este índice el defasaje total en términos de este índice relativorelativo

El calculo del valor maximal de la anterior función, por medios analíticos conduce a:

Para el valor valor θθοο de defasaje máximode defasaje máximo.

1

2

nn

n =

o

oo nθθθδ

2

22

sinsincos

2tan

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2

22

12sin

nn

o +=θ

Valor maximal del defasaje

El valor del valor del defasamientodefasamiento máximomáximo es dado por

nn

21

2tan

2

max

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

Teoria Electromagnetica - Coeficientes de Fresnel

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