TEORIA ELECTROMAGNETICATEORIA ELECTROMAGNETICA
Clase 18Clase 18ECUACIONES DE FRESNELECUACIONES DE FRESNEL
GENERALIDADESGENERALIDADES
OBJETIVOSOBJETIVOS
Analizaremos la reflexión y refracción de ondas luminosas sobre dioptras planasSupondremos inicialmente que los medios que separa la dioptra son dieléctricos dieléctricos perfectosperfectosProponemos el estudio de Ondas planasOndas planasEl índice de refraccióníndice de refracción es dado por
rn ε=
Vector de Onda (propagación)Vector de Onda (propagación)
Vector de PropagaciónVector de Propagación
Los vectores Los vectores kkii , , kkrr , , kktt están en el mismo están en el mismo plano, el “plano de incidencia”plano, el “plano de incidencia”El plano de incidencia es normal al “plano El plano de incidencia es normal al “plano de frontera”de frontera”En la parte superior de la Dioptra, el índice En la parte superior de la Dioptra, el índice de refracción es nde refracción es n11
En la parte inferior es nEn la parte inferior es n22
Vector de Onda (propagación)Vector de Onda (propagación)
Construcción de Construcción de SnellSnellLos vectores Los vectores kkii , , kkrr están en la misma están en la misma circunferencia de radio circunferencia de radio ωωnn11/c del plano de /c del plano de incidenciaincidenciaEl vector El vector kktt esta en la circunferencia de esta en la circunferencia de radio radio ωωnn22/c /c La componente horizontal de los vectores La componente horizontal de los vectores kktty y kkrr son son identicasidenticasLo anterior facilita encontrar el extremo del Lo anterior facilita encontrar el extremo del vector vector kktt ::
como como intersecciónintersección recta vertical bajada del recta vertical bajada del extremo de extremo de kkrr y circulo de radio y circulo de radio ωωnn22/c /c
INCIDENCIA SOBRE UNA DIOPTRAINCIDENCIA SOBRE UNA DIOPTRASe estudian dos tipos de incidencia sobre la Dioptra:
Si la onda incide sobre la dioptra desde el medio “menos denso opticamentemenos denso opticamente” hacia el medio “mas densomas denso”: INCIDENCIA EXTERNAINCIDENCIA EXTERNASi la onda incide sobre la dioptra desde el medio “mas denso opticamentemas denso opticamente” hacia el medio “menos densomenos denso”: INCIDENCIA INTERNAINCIDENCIA INTERNA
TIPOS DE INCIDENCIA (ANGULO)TIPOS DE INCIDENCIA (ANGULO)
Respecto al ángulo de incidencia entre la
normal y el vector de propagación, hay dos
tipos de incidencia:
Incidencia NormalIncidencia Normal (θi = 0º)
Incidencia OblicuaIncidencia Oblicua (θi diferente a 0º)
Ecuaciones de Fresnel
Incidencia Normal
INCIDENCIA NORMALINCIDENCIA NORMALSupondremos una onda plana incidiendo onda plana incidiendo normalmentenormalmente sobre la dioptra (θ = 0º)La figura en la diapositiva siguiente muestra el medio de incidenciaElla también representa la relación entre sistemas derechos E, k &H para las tres ondas:
IncidenteIncidenteReflejadaReflejadatransmitidatransmitida
RELACIONES ENTRE: E, k & HRELACIONES ENTRE: E, k & H
Anotación en el medio de incidenciaAnotación en el medio de incidencia
El vector de onda en el medio de incidencia, tiene la misma magnitud para la onda reflejada como para la incidente:
Busquemos la forma explícita de esas ondas a un lado y otro de la dioptra:
ri kkrr
=
Campos Eléctricos InvolucradosCampos Eléctricos Involucrados
El vector de intensidad de campo eléctricointensidad de campo eléctrico para las tres ondas incidente, reflejada y transmitidaincidente, reflejada y transmitida tienen la forma analítica:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )xEEE
xEEExEEE
eeeeee
eee
trkjO
trkjOt
trkjO
trkjOr
trkjOO
trkjOOi
tt
rr
ii
ˆˆ
ˆ
22
11
ωω
ωω
ωω
−⋅−⋅
−⋅−⋅
−⋅−⋅
==
−==
==
rrrr
rrrr
rrrr
rr
rr
rr
SuposiciónSi no existe corriente en la fronteraH es un vector de campo contínuo, en componente tangencialE es un vector de campo también contínuoen componente tangencial (siempre se cumple)Supongamos que analizamos medios dieléctrico perfectos de índice n a cada lado de la dioptra
Consecuencias
A partir de las ecuaciones de Maxwell se cumple (LEY DE AMPERELEY DE AMPERE):
En términosEn términos del vector de intensidad intensidad magnética:magnética:
BEkrrr
ω=×
HEko
rrr=×∴
ωµ1
Consecuencias
Por formar k, E y H un sistema derechosistema derecho
Por esta razón podemos escribir la relaciónpodemos escribir la relación
nEc
EnEcn
EkH
camposdelaridadperpendicupor
o
oo
ooo2µεµ
ωµω
ωµ
ω
ωµ==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==
nEHo
o
µε
=
Consecuencias
Hemos supuesto que el campo eléctricocampo eléctricovibravibra en dirección del eje de las Xeje de las XEl vector de Intensidad MagnéticaIntensidad Magnética lo hace en dirección del eje de las Yeje de las Y:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )yHHH
yHHH
yHHH
eeeeeeeee
trkjO
trkjOt
trkjO
trkjOr
trkjOO
trkjOOi
tt
rr
ii
ˆˆˆ
22
11
ωω
ωω
ωω
−⋅−⋅
−⋅−⋅
−⋅−⋅
==
==
==
rrrr
rrrr
rrrr
rr
rr
rr
ConsecuenciasAplicando la relación obtenida entre H y E:
Los campos EEii, , EErr, E, Ett son paralelos a la frontera, ellos constituyen si mismosconstituyen si mismos toda su componente su componente tangencialtangencial, el campo eléctrico a uno y otro lados campo eléctrico a uno y otro lados de la frontera es de la frontera es contínuocontínuo
2121
medioencampomedioencampoEE
==rr
( )
( )
( )yEnH
yEnH
yEnH
ee
ee
ee
trkjO
O
Ot
trkjO
O
Or
trkjOO
O
Oi
t
r
i
ˆ
ˆ
ˆ
22
11
1
ω
ω
ω
µε
µε
µε
−⋅
−⋅
−⋅
=
=
=
rr
rr
rr
r
r
r
ConsecuenciasEl campo en el primer medio es la adisiónde los campos de incidencia y reflexión
El campo en el segundo medio es el de la onda refractada (transmitida)
Por esa razón la relación entre campos es:
El campo eléctrico en el primer medio es:
ri EEErrr
+=1
tEErr
=2
rit EEErrr
+=
( ) ( ){ }trkjo
trkjooxri
ri ee EEeEE ωω −⋅−⋅ −=+rrrrrr 1ˆ
ConsecuenciasEl gráfico da la relación entre los vectores de onda kr, ki, kt y el vector de posición de cualquier punto en la frontera r
Concluimos evidente mente que:0=⋅=⋅=⋅ rkrkrk tri
rrrrrr
ConsecuenciasEl campo en el primer mediocampo en el primer medio gracias a esta ultima relación se convierte en:
que puede expresarse como:
Mientras que el campo de la onda el campo de la onda transmitidatransmitida, (usando la perpendicularidad entre kt y r), se convierte en:
( ) ( ){ }tjo
tjooxri ee EEeEE ωω −− −=+ 1ˆ
rr
{ } ( )tjo
oox eEEeE ω−−= 1
1 ˆr
{ } ( )tjox eEeE ω−= 2
2 ˆr
ConsecuenciasHaciendo la identificación entre componentes la identificación entre componentes tangencialestangenciales a la frontera del campo eléctrico a ambos lados de la dioptra:
Para el vector de Intensidad de Campo magnéticoIntensidad de Campo magnético, usando las ecuaciones de campo ya deducidas, (en términos del vector E) encontramos:
Que nos conduce a la ecuación vectorial
12o
ooo EEE −=
tri HHHrrr
=+
( ) ( ) ( )yeEny
tjo
o
otjoo
o
o eeeEneEn tjo
o
o ˆˆ 22
111
ω
µεωω
µε
µε
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+ −−
ConsecuenciasQue finalmente nos conduce a la ecuación ecuación escalar buscadaescalar buscada, al igualar magnitudes vectoriales
tenemos al final, el sistema de ecuaciones sistema de ecuaciones relacionando las amplitudes de las ondas relacionando las amplitudes de las ondas reflejada,incidente y transmitidareflejada,incidente y transmitida:
[ ]11
22 o
ooo EEnEn +=
[ ]11
22 o
ooo EEnEn +=
12o
ooo EEE −=
Relación entre amplitudes de EResolviendo el sistema tenemos:
Expresiones que dan las amplitudes de la onda amplitudes de la onda reflejada y transmitidareflejada y transmitida en función de los índices de índices de refracciónrefracción y de la amplitud de la onda incidenteamplitud de la onda incidente
ooo
ooo
Enn
nE
EnnnnE
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=
12
12
12
121
2
Análisis incidencia externa e interna en Análisis incidencia externa e interna en incidencia Normalincidencia Normal
Incidencia externaIncidencia externa: n: n22>n>n11 onda proveniente del medio menos denso al mas denso ópticamenteIncidencia internaIncidencia interna: n: n11>n>n22 onda proveniente del medio mas denso al menos denso ópticamentePodríamos ejemplificar con el caso de la fronteraaireaire--aguaagua
–– nnaireaire=1.0004=1.0004–– nnaguaagua=1.33=1.33
Para incidencia externa Para incidencia externa nn22>n>n1 1 la amplitud de la reflejada es positivapositiva
0
01
12
12
121
>
>−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=
o
ooo
E
nncomo
EnnnnE
Análisis incidencia externa e interna en Análisis incidencia externa e interna en incidencia Normalincidencia Normal
Recordamos que la onda reflejadaonda reflejada es
Como la amplitud de la reflejada es positivaComo la amplitud de la reflejada es positiva, el signo de relación entre el vector Er y el vector unitario ey es el signo negativo, podemos escribirpodemos escribir:
( ) ( )xEEE eee trkj
Otrkj
Orrr ˆ11 ωω −⋅−⋅ −==rrrrrr
( ) ( ) ( )ExEE eeeee trkjjO
trkjOr
rr ˆˆ 11 ωπω −⋅−⋅ =−=rrrrr
x
Análisis incidencia externa e interna en Análisis incidencia externa e interna en incidencia Normalincidencia Normal
Expresión que se puede reducir a:
Esto significa que la onda reflejada esta la onda reflejada esta defasadadefasada una edad de ángulo de 180° o 180° o ππ radianes respecto a la onda incidenteradianes respecto a la onda incidente
“UNA ONDA ELECTROMAGNETICA PLANA REFLEJANDOSE “UNA ONDA ELECTROMAGNETICA PLANA REFLEJANDOSE NORMALMENTE EN INCIDENCIA EXTERNA, SOBRE UNA NORMALMENTE EN INCIDENCIA EXTERNA, SOBRE UNA DIOPTRA SEPARANDO MEDIOS DIELECTRICOS PERFECTOS, DIOPTRA SEPARANDO MEDIOS DIELECTRICOS PERFECTOS, AL REFLEJARSE, SU CAMPO ELECTRICO SUFRE UN AL REFLEJARSE, SU CAMPO ELECTRICO SUFRE UN DEFASAMIENTO DE 180°”
( )xEE ee trkj
Orr ˆ1 πω +−⋅=rrr
DEFASAMIENTO DE 180°”
Análisis incidencia externa e interna en Análisis incidencia externa e interna en incidencia Normalincidencia Normal
En el caso de incidencia internaincidencia interna, n2< n1 por lo cual nn22 -- nn1 1 < 0< 0Se tiene que la amplitud de la reflejada cumple
La onda reflejada ahora vibra en fase con la La onda reflejada ahora vibra en fase con la incidente (incidente (analizar este caso por el alumno))
0
01
12
12
121
<
<−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=
o
ooo
E
nncomo
EnnnnE
Análisis incidencia externa e interna en Análisis incidencia externa e interna en incidencia Normalincidencia Normal
El campo eléctrico transmitidocampo eléctrico transmitido tiene una amplitudamplitud dada por:
En cualquiera de los dos tipos de incidencialos dos tipos de incidencia, la amplitud amplitud es positivapositivaConstatamos primero, que la dirección que la dirección que supusimossupusimos inicialmente, es lala correctacorrectaEl campo eléctrico transmitido siempre está El campo eléctrico transmitido siempre está en fase con la onda incidenteen fase con la onda incidente
ooo E
nnnE ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=12
12 2
INCIDENCIA NORMAL
ANALISIS DE IRRADIANCIA
ANALISIS DE IRRADIANCIA
La La irradianciairradiancia se define como
Podemos hablar de la la IrradianciaIrradiancia de las de las ondas incidente, reflejada y transmitidaondas incidente, reflejada y transmitida:
En términos de esas cantidades se definen la ReflectanciaReflectancia y la y la TransmitanciaTransmitancia.
SIr
=
2
1
SI
SI
SI
t
r
oi
r
r
r
=
=
=
ANALISIS DE IRRADIANCIA
La La ReflectanciaReflectancia:: se define como el cociente de la la IrradianciaIrradiancia reflejada dividida por la reflejada dividida por la IrradianciaIrradiancia IncidenteIncidente
La La TransmitanciaTransmitancia:: se define como el cociente de la la IrradianciaIrradiancia transmitida transmitida dividida por la dividida por la IrradianciaIrradiancia IncidenteIncidente
i
r
IIR =
i
t
IIT =
ANALISIS DE IRRADIANCIAEl promedio temporal del vector de promedio temporal del vector de PoyntingPoynting es dado por:
Los vectores de campo de la onda incidentecampo de la onda incidenteson dados por:
oo HESrrr
×=21
( ) ( )xEEE eee trkjO
OtrkjO
Oiii ˆωω −⋅−⋅ ==rrrrrr
( )yEnH ee trkjO
OO
Oi
i ˆ1ω
µε −⋅=
rrr
ANALISIS DE IRRADIANCIAEl promedio temporal del vector de promedio temporal del vector de PoyntingPoynting de la onda incidentede la onda incidente es:
La intensidad incidenteintensidad incidente es expresada como:
El promedio temporal del vector de promedio temporal del vector de PoyntingPoynting de la onda reflejadade la onda reflejada es:
( ) zOO
O
Oooo eEnHES ˆ
21
21 2
1µε
=×=rrr
( )212
1 OO
O
Oi EnI
µε
=
( ) ( )yxoo
o eeEnS ˆˆ21 21
11 ×−=µεr
ANALISIS DE IRRADIANCIA
La intensidad reflejadaintensidad reflejada es expresada como:
La evaluación de la evaluación de la ReflectanciaReflectancia es dado por el proceso:
( )2112
1o
O
Or EnI
µε
=
( )
( )( )( )2
21
21
211
2121
oo
o
OO
O
oO
O
i
r
EE
En
En
IIR ===
µεµε
O
ANALISIS DE IRRADIANCIA
La relación entre amplitudes de ondarelación entre amplitudes de ondareflejada(onda transmitida) a onda incidentea onda incidentees
ooo
ooo
Enn
nE
EnnnnE
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=
12
12
12
121
2
ANALISIS DE IRRADIANCIASe define el coeficiente de reflexión en amplitudcoeficiente de reflexión en amplitud(primera expresión) por:
La segunda expresión anterior define el el coeficiente de transmisión en amplitudcoeficiente de transmisión en amplitudLa La ReflectanciaReflectancia es igual al cuadrado del es igual al cuadrado del coeficiente de reflexión en amplitudcoeficiente de reflexión en amplitud
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
==
12
12
12
121
2nn
nEEt
nnnn
EEr
oo
o
oo
o
2
12
12
212
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
nnnn
EErR o
o
o
ANALISIS DE IRRADIANCIAA partirA partir de la expresión de la de la IrradianciaIrradiancia en en términos del coeficiente de reflexión en términos del coeficiente de reflexión en amplitudamplitud podemos aseverar:
“LA REFLECTANCIA ES INDEPENDIENTE “LA REFLECTANCIA ES INDEPENDIENTE DE LAS AMPLITUDES DEL CAMPO DE LAS AMPLITUDES DEL CAMPO ELÉCTRICO, Y DEPENDE SOLAMENTE ELÉCTRICO, Y DEPENDE SOLAMENTE DE LOS INDICES DE REFRACCION DE DE LOS INDICES DE REFRACCION DE LOS MEDIOS”LOS MEDIOS”
IRRADIANCIA O INTENSIDAD TRANSMITIDA
La Irradiancia o Intensidad Transmitida se define por
El campo transmitido se expresa mediante
2SIt
r=
( ) ( )xEEE eee trkj
Otrkj
Ottt ˆ22 ωω −⋅−⋅ ==rrrrrr
( )yEnH ee trkj
OO
Ot
t ˆ22
ω
µε −⋅=
rrr
ANALISIS DE IRRADIANCIAEl promedio temporal del vector de promedio temporal del vector de PoyntingPoynting de la onda incidentede la onda incidente es:
La intensidad incidenteintensidad incidente es expresada como:
La magnitud del promedio temporal del promedio temporal del vector de vector de PoyntingPoynting de la onda transmitidade la onda transmitidaes:
( ) zOO
O
Oooo eEnHES ˆ
21
21 2
1µε
=×=rrr
( )212
1 OO
O
Oi EnI
µε
=
( ) zoo
ooo eEnHES ˆ
21
21 22
222
2 µε
=×=rrr
IRRADIANCIA O INTENSIDAD TRANSMITIDA
La intensidad de la onda transmitidaintensidad de la onda transmitida es dada por:
La La transmitanciatransmitancia es dada en consecuencia por:
( )2222
1O
O
Ot EnI
µε
=
( )
( )( )( )2
22
1
2
21
222
2121
oo
o
OO
O
O
oO
O
i
t
EE
nn
En
En
IIT ===
µεµε
IRRADIANCIA O INTENSIDAD TRANSMITIDA
Como
Entonces la transmitancia puede escribirse
ooo E
nnnE ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=12
12 2
2
12
1
1
2 2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==nn
nnn
IIT
i
t
IRRADIANCIA O INTENSIDAD TRANSMITIDA
Si efectuamos la adisión de la Reflectancia y la Transmitancia obtenemos:
Lo cual indica que la adisión de las dos cantidades R y T es la unidad y representa el 100% de la intensidad
( )12
2
212
2121
22
2
12
1
1
2
2
12
12
=+
++=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=+
nnnnnn
nnn
nn
nnnnTR
INCIDENCIA OBLICUA
DOS TIPOS DE ONDAS INCIDENTESONDA TRANSVERSO ELECTRICA
• EL CAMPO ELECTRICO VIBRA EN DIRECCION PARALELA AL PLANO DE FRONTERA
ONDA TRANSVERSO MAGNETICA• EL CAMPO ELECTRICO VIBRA EN
DIRECCION PARALELA AL PLANO DE INCIDENCIA
ONDA TRANSVERSO MAGNETICAONDA TRANSVERSO MAGNETICA
Campo eléctrico paralelo al plano de incidenciaCampo eléctrico paralelo al plano de incidencia
ORDEN DE LOS EJES COORDENADOS
Los ejes coordenados de las ondas incidente reflejada y transmitida
ONDA INCIDENTE
Para onda transverso magnética yi=yr=yt=yEl vector de onda incidente es paralelo al eje zi de dirección de transmisiónEn consecuencia
Por ello la onda incidente se expresa:iiii zkrk =⋅ r
r
( ) ( )tzkjO
trkjOi
iii ee EEE ωω −−⋅ ==rrr rr
Expresión conveniente en función de ejes sobre dioptra
Las componentes propias de la onda incidente en función de las coordenadas principales (respecto a la dioptra) son dadas por:
La componente zi es entonces:
La onda incidente sobre la frontera tiene z=0 entonces:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡zx
zx
oo
oo
i
i
θθθθ
cossinsincos
ooi zxz θθ cossin +=
( ) ( )( )oi xkjtjoii eeEE θω sin−=rr
Expresiones de las tres ondasLa componente tangencial de Ei incidente justo en la frontera, es:
Las componentes de las ondas reflejada y transmitida en la frontera, por motivos iguales, son:
( ) ( )( )oi xkjtjooiti eeEE θωθ sincos −=
( ) ( )( )or xkjtjoortr eeEE θωθ ′−′= sincos
( ) ( )( )1sin1cos θωθ xkjtj
otttteeEE −=
Ecuaciones de relación entre componentes tangenciales de E
Gráficos de las tres ondas:
Las ecuaciones de relación entre ellas
tri
tri
EEEEEE
=−=+rrr
CONSECUENCIASLa ecuación de relacion entre componentes de ondas es:
Para que la triple igualdad se cumpla, es necesario que las ecuaciones siguientes se verifiquen:
Como ki = kr se tiene la igualdad
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )1sin1
sinsin
cos
coscosθω
θωθω
θ
θθxkjtj
ot
xkjtjoor
xkjtjooi
t
oroi
eeeeee
E
EE−
′−− =′−
1sinsinsin θθθ toroi kkk =′=
oo
oroi kkθθ
θθ′=∴
′= sinsin
consecuenciasSe obtiene la identidad:
Se obtiene la Ley de Descartes o SnellLa identificación de las ecuaciones nos proporciona la igualdad que cumplen los campos tangenciales:
121
121
1
sinsin
sinsin
sinsin
θθ
θωθωθθ
nncn
cn
kk
o
o
toi
=∴
=
=
( ) totooroi EEE θθ coscos =−
Análisis del Campo MagnéticoEl campo magnético incidente es:
Que en términos del cambio de coordenadas se convierte en:
Y en la frontera se convierte en:
Los otros campos son tales que:
( ) ( )tzkjoi
trkjoii
iii ee HHH ωω −−⋅ ==rrr rr
( ) ( )( )ooi zxkjtjoii eeHH θθω cossin +−=rr
( ) ( )( )oi xkjtjoii eeHH θω sin−=rr
( ) ( )( )
( ) ( )( )1sin
sin
θω
θω
xkjtjott
xkjtjorr
t
or
eeee
HH
HH−
′−
=
=rr
rr
Análisis del Campo MagnéticoLas componentes tangenciales de los tres campos son idénticas a esos campos
La condición de Continuidad en la frontera de H es dada por:
ttt
rrt
iit
HH
HH
HH
rr
rr
rr
=
=
=
otoroi
ttrtit
HHHHHH
=+=+rrr
Análisis del Campo MagnéticoRecordando la relación entre E y H:
La condición a la frontera se convierte en la relación:
Tomando en cuenta las relaciones geométricas entre las componentes tangenciales del campo eléctrico:
EnHO
O1µ
ε=
otO
Oor
O
Ooi
O
O EnEnEn 211 µε
µε
µε
=+
( ) otoroi EnEEn 21 =+
Análisis de los coeficientesFinalmente hemos encontrado un sistema de ecuaciones lineales en términos de las componentes del campo eléctrico como incógnitas que dan los coeficientes:
Cuya solución es:
( ) totooroi EEE θθ coscos =−
( ) otoroi EnEEn 21 =+
( ) ( )poio
opor E
nnnnE
θθθθ
coscoscoscos
211
112
+−=
( ) ( )poio
pot Enn
nEθθ
θcoscos
cos2211
01
+=
Análisis del Campo MagnéticoSe ha utilizado la convención siguiente:
Si el campo incidente es Paralelo al plano de incidenciacampo incidente es Paralelo al plano de incidencia, los coeficientes coeficientes en amplitud de reflexiónen amplitud de reflexión resultantes se denominan rrpp (donde “p” significa “paralelo al plano de incidencia”)
Si el campo incidente es Paralelo al plano de incidenciacampo incidente es Paralelo al plano de incidencia, los coeficientes coeficientes en amplitud de transmisiónen amplitud de transmisión resultantes se denominan ttpp (donde “p” significa “paralelo al plano de incidencia”)
Si el campo incidente es campo incidente es PerpendicularPerpendicular al plano de incidenciaal plano de incidencia, los coeficientes en amplitud de reflexióncoeficientes en amplitud de reflexión resultantes se denominan rrss (donde “s” significa “perpendicular al plano de incidencia” y proviene del alemán SenkretchSenkretch)
Si el campo incidente es campo incidente es PerpendicularPerpendicular al plano de incidenciaal plano de incidencia, los coeficientes en amplitud de transmisióncoeficientes en amplitud de transmisión resultantes se denominan ttss
(donde “s” significa “paralelo al plano de incidencia” y proviene del alemán SinkretchSinkretch)
ONDA TRANSVERSO ELECTRICAONDA TRANSVERSO ELECTRICA
Campo Magnético paralelo al plano de incidenciaCampo Magnético paralelo al plano de incidencia
ORDEN DE LOS EJES COORDENADOS
Los ejes coordenados de las ondas incidente reflejada y transmitida
ONDA INCIDENTE
Para onda transverso eléctrica yi=yr=yt=yEl vector de onda incidente es paralelo al eje zi de dirección de transmisiónEn consecuencia
Por ello la onda incidente se expresa:iiii zkrk =⋅ r
r
( ) ( )tzkjoi
trkjoii
iii ee EEE ωω −−⋅ ==rrr rr
Expresión conveniente en función de ejes sobre dioptra
Las componentes propias de la onda incidente en función de las coordenadas principales (respecto a la dioptra) son dadas por:
La componente zi es entonces:
La onda incidente sobre la frontera tiene z=0 entonces:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡zx
zx
oo
oo
i
i
θθθθ
cossinsincos
ooi zxz θθ cossin +=
( ) ( )( )y
xkjtjoii eee oiEE ˆsinθω−=
r
Expresiones de las tres ondasLa componente tangencial de Ei incidente justo en la frontera, es:
Las componentes de las ondas reflejada y transmitida en la frontera, por motivos iguales, son:
( ) ( )( )oi xkjtjoiti eeEE θω sin−=
( ) ( )( )or xkjtjortr eeEE θω ′−= sin
( ) ( )( )1sinθω xkjtjottt
teeEE −=
Ecuaciones de relación entre componentes tangenciales de E
Gráficos de las tres ondas:
Las ecuaciones de relación entre ellas
otoroi
tri
EEEEEE
=+=+rrr
CONSECUENCIASLa ecuación de relación entre componentes de onda del campo magnético es:
Para que la triple igualdad se cumpla, es necesario que las ecuaciones siguientes se verifiquen:
Como ki = kr se tiene la igualdad
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )1sin1
sinsin
cos
coscosθω
θωθω
θ
θθxkjtj
ot
xkjtjoor
xkjtjooi
t
oroi
eeeeee
H
HH−
′−−
−
=′+−
1sinsinsin θθθ toroi kkk =′=
oo
oroi kkθθ
θθ′=∴
′= sinsin
consecuenciasSe obtiene la identidad:
Se obtiene la Ley de Descartes o SnellLa identificación de las ecuaciones nos proporciona la igualdad que cumplen los campos tangenciales:
121
121
1
sinsin
sinsin
sinsin
θθ
θωθωθθ
nncn
cn
kk
o
o
toi
=∴
=
=
( ) 1coscos θθ otooroi HHH =−
Análisis del Campo MagnéticoRecordando la relación entre E y H:
La condición a la frontera se convierte en la relación:
Tomando en cuenta las relaciones geométricas entre las componentes tangenciales del campo eléctrico:
EnHO
O1µ
ε=
1211 coscos θµεθ
µε
µε
otO
Ooor
O
Ooi
O
O EnEnEn =⎥⎦
⎤−
( ) 121 coscos
⎢⎣
⎡
θθ otooroi EnEEn =−
Análisis de los coeficientesFinalmente hemos encontrado un sistema de ecuaciones lineales en términos de las componentes del campo eléctrico como incógnitas que dan los coeficientes:
Cuya solución es:
( ) totooroi nEnEE θθ coscos 21 =−
( ) otoroi EEE =+
( ) ( )soio
osor E
nnnnE
121
121
coscoscoscos
θθθθ
+−
=
( ) ( )soio
osot E
nnnE
121
1
coscoscos2
θθθ
+=
ECUACIONES DE FRESNELHemos obtenido las cuatro ecuaciones de Fresnel dando los coeficientes de reflexión y transmisión en amplitud
( )( ) o
o
poi
porp nn
nnEE
rθθθθ
coscoscoscos
211
112
+−
==
( )( ) opoi
potp nn
nEE
tθθ
θcoscos
cos2211
01
+==
( )( ) 121
121
coscoscoscos
θθθθ
nnnn
EE
ro
o
soi
sors +
−==
( )( ) 121
1
coscoscos2
θθθ
nnn
EE
to
o
soi
sots +
==
Ecuaciones de Fresnel en forma trigonométrica
A partir de la ley de Descartes, puede obtenerse:
El coeficiente de reflexión en amplitud perpendicular puede escribirse:
Que se da como:
1
2
1sinsin
nno =
θθ
11
2
11
2
coscos
coscos
θθ
θθ
nnnn
ro
o
s
+
−=
11
11
cossinsincos
cossinsincos
θθθθ
θθθθ
oo
oo
sr+
−=
Ecuaciones de Fresnel en forma trigonométrica
La cual puede escribirse como:
De manera parecida, pueden expresarse trigonométricamente todos los coeficientes de reflexión y transmisión paralelos y perpendiculares:
)sin()sin(
cossinsincoscossinsincos
1
1
11
11
θθθθ
θθθθθθθθ
+−
−=∴
=+−
=
o
os
oo
oos
r
r
)cos()sin()cossin2(;
)sin()cossin2(
)tan()tan(
11
1
1
1
1
1
θθθθθθ
θθθθ
θθθθ
−+=
+=
+−
=
oo
op
o
os
o
op
tt
r
ANALISIS DE LA REFLEXION Y REFRACCIONSOBRE DIOPTRAS PLANAS
Analicemos las curvas curvas
de variación del de variación del
coeficiente de reflexión coeficiente de reflexión
tanto en incidencia tanto en incidencia
externa como internaexterna como interna
en funciónfunción de la
variación del ángulo de ángulo de
incidenciaincidencia
Incidencia normal con FresnelA incidencia normal, θο=0, las ecuaciones de Fresnel para coeficientes de reflexión se convierten en
Evidentemente ellos son diferente en signo:
Su gráfico iniciará por dos puntos en el eje de “r” colocados simétricamente respecto al eje de las θο en el valor θο=0Existe un Existe un defasamientodefasamiento de 180º entre la vibración paralela de 180º entre la vibración paralela y la normal al plano de incidencia, que se debe tomar en y la normal al plano de incidencia, que se debe tomar en cuenta. cuenta. (hecho no predicho por incidencia normal simple)(hecho no predicho por incidencia normal simple)
21
21
nnnnrs +
−=
21
12
nnnnrp +
−=
sp rr −=
Incidencia Normal
Si la incidencia es externa, rp>0Si la incidencia es externa, rs<0Si la incidencia es interna, rp<0Si la incidencia es interna, rs>0
Comportamiento de rsComo
este coeficiente siempre es positivo o negativo:Si inciencia externa
Si incidencia interna
De donde rrss negativo siempre para incidencia externanegativo siempre para incidencia externaPara incidencia interna rs positivo siempre
)sin()sin(
1
1
θθθθ
+−
−=o
osr
1
1sinsinθθ
θθ>∴
>
o
o1sinsin
1
2
1
>=nno
θθ
1sinsin
1
2
1
<=nno
θθ
1
1sinsinθθ
θθ<∴
<
o
o
AnalisisAnalisis de Incidencia Oblicuade Incidencia Oblicua
Incidencia Externa
ConclusionesEl coeficiente rrss negativonegativo siempresiempre para incidencia externapara incidencia externaimplicaimplica que la curvala curva que lo representa nunca cruza el ejenunca cruza el ejedel ángulo de incidencia
Al evaluar rrss para para θθ = 90º= 90º el cálculo da el valor rrss== --1 1 validando la validez de la curva que presentamos arrivaPara incidencia externaincidencia externa, el campo eléctrico reflejadocampo eléctrico reflejado se defasadefasa 180º180º respecto al campo incidenterespecto al campo incidentePara incidencia internaincidencia interna, el campo reflejadocampo reflejado esta en fase con en fase con el campo incidenteel campo incidenteEl coeficiente rrpp para incidencia externapara incidencia externa cambia de valor positivo en θθ = 0º= 0º a valor negativo –1, en θθ = 90º= 90º
ConclusionesEl coeficiente rp pasa forzosamente por el valor cero lo que obliga al resultado trigonométrico
Aplicando la Ley de Descartes (Snell) obtenemos
Este ángulo de incidencia es llamado ANGULO DE ANGULO DE POLARIZACIONPOLARIZACION o de BREWSTERBREWSTER θθBB
oo
oo
opr
θθθθ
θθθθθθ
−=⇒=+∴
∞=+⇒=+−
=∴
º90º90
)tan(0)tan()tan(
11
11
1
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1
221
02
21
121
tancossin
º90cossincosº90sinº90sinsin
sinsin
nnnn
nnnnn
ooo
o
oo
o
=⇒=∴
−=−=
=
θθθ
θθθθ
θθ
( )1
2tannn
B =θ
ConclusionesComo desaparece (en ese valor del ángulo de Brewster) el coeficiente rp, la onda reflejada sólo tiene componente la onda reflejada sólo tiene componente perpendicular al plano de incidencia.perpendicular al plano de incidencia.Se dice que la onda reflejada se polariza rectilíneamentela onda reflejada se polariza rectilíneamente en dirección paralela a la dioptra y perpendicular al plano de paralela a la dioptra y perpendicular al plano de incidenciaincidencia
Analisis de Incidencia Oblicua
Incidencia Interna
ConsecuenciasPara incidencia interna incidencia interna rrss positivo siemprepositivo siempreLa curva de La curva de rrss no corta el eje de los ángulos de no corta el eje de los ángulos de incidenciaincidenciaLa curva de La curva de rrpp corta ese eje y por ello tiene un “cero”corta ese eje y por ello tiene un “cero”Se definen dos ángulos importantesdos ángulos importantes en las curvas del coeficiente de reflexión en amplitud:
•• Angulo CríticoAngulo Crítico:•• Angulo de PolarizaciónAngulo de Polarización
• El ángulo de Polarizaciónángulo de Polarización NONO es ángulo de ángulo de BrewsterBrewster
ónPolarizacideángulor
críticoángulorr
ppo
spco
0' =⇒=
=⇒=
θθ
θθ
CONSECUENCIASEl ángulo de polarización cumple:
Aplicando la Ley de Descartes:
Este ángulo de incidencia es llamado ANGULO DE ANGULO DE POLARIZACION POLARIZACION θθPP’’
Nota: Nota: se deja al alumno mostrar que se deja al alumno mostrar que θθBB y y θθPP’ ’ son complementariosson complementarios
'11'
11
1
º90º90
)tan(0)tan()tan(
pp
oo
opr
θθθθ
θθθθθθ
−=⇒=+∴
∞=+⇒=+−
=∴
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1
2''2'1
''2
'2'1
12'1
tancossin
º90cossincosº90sin
º90sinsin
sinsin
nnnn
n
nn
nn
ppp
pp
pp
p
=⇒=∴
−=
−=
=
θθθ
θθ
θθ
θθ
Angulo CríticoSe cumple θθpp’ ’ + + θθB B = 90º= 90º ( son ángulos complementarios)
Continuamos con el análisis de ANGULO CRITICOANGULO CRITICO
El ángulo de refracción ángulo de refracción θθ11 crece mas rápidamente que el ángulo de crece mas rápidamente que el ángulo de
incidencia incidencia θθοο..
Es posible entonces pensar que a partir de un cierto valor de a partir de un cierto valor de θθοο , el , el
ángulo de refracción vale 90ºángulo de refracción vale 90º y la onda se transmite por la interfasela onda se transmite por la interfase
Asimismo, la intensidad refractada intensidad refractada es nulanula
Angulo CríticoAplicando la Ley de Descartes se obtiene:
A partir de este resultado y la Ley de Descartes:
Por conocida relación trigonométrica el coseno del angulode transmisión es:
1
2
21
21
121
sin
sinº90sinsin
sinsin
nnnnnnnn
c
c
c
o
=∴
===
θ
θθ
θθ
ernaincidenciaparavalida
nncomoy
nn
c
o
co
intsinsinsin
sinsinsin
1
2
11
2
1
θθθ
θθθ
=∴
==
c
o
θθ
θ 2
2
1 sinsin1cos −=
Angulo CríticoSi el ángulo de incidencia iguala al ángulo ángulo de incidencia iguala al ángulo θθcc
Si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo ángulo de incidencia es mayor que el ángulo θθcc :º90
011sinsin1cos
1
2
2
1
=
⇒=−=−=
θθθθ
c
c
IjQ
como
c
o
c
o
c
o
c
o
∈=−=
⇒<−⇒>
−=
θθθ
θθ
θθ
θθθ
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
sinsin1cos
1sinsin11
sinsin
sinsin1cos
Angulo CríticoSi el ángulo de incidencia iguala al ángulo ángulo de incidencia iguala al ángulo θθcc
Calculemos rp y rs a partir de:a partir de:
ObteniendoseObteniendose::
Para el ángulo crítico toda la energía se reflejaPara el ángulo crítico toda la energía se refleja
Si el ángulo de incidencia es mayor queángulo de incidencia es mayor que θθcc
o
op nn
nnrθθθθ
coscoscoscos
211
112
+−=
121
121
coscoscoscos
θθθθ
nnnnr
o
os +
−=
1coscos
2
2 ==o
op n
nrθθ
1coscos
1
1 ==o
os n
nrθθ
o
op njQn
jQnnrθ
θcos
cos21
12
+−
=121
21
coscos
jQnnjQnnr
o
os +
−=
θθ
⎩⎨⎧
==
+−
=
+−
=
Qnbna
conbjabjar
jQnnjQnnr
op
o
op
1
2
12
12
coscoscos
θθθ
⎩⎨⎧
==
+−
=
+−
=
Qndnc
conjdncjdcr
jQnnjQnnr
os
o
os
2
1
121
21
coscoscos
θθθ
COCIENTE DE COMPLEJOS CONJUGADOS
Dado el número complejo
Su complejo conjugado es dado porEl cociente de ese número complejo y su conjugado es
La norma de ese cociente es dada por
COCIENTE DE COMPLEJOS CONJUGADOS
El cociente de un número complejo y su conjugadocociente de un número complejo y su conjugado tienetieneuna norma unitarianorma unitariaSea α α el argumento o faseel argumento o fase de ese número complejo expresado en forma polar
El cociente de un número complejo y su conjugadocociente de un número complejo y su conjugado en forma polar es dado por
Que en forma concreta en términos de sus componentes se escribirá
αα jj ee zyz ==∴ − *
αα
αj
j
j
eee
zz 2*
−−
==
jzsizz je δγγ
δ
−==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−1tan2
*
COCIENTE DE COMPLEJOS CONJUGADOS
Los coeficientes de reflexión paralelo y perpendicularcoeficientes de reflexión paralelo y perpendicular son el cociente de los siguientes números complejos y sus cociente de los siguientes números complejos y sus conjugadosconjugados
Esos coeficientes son dados por:
La relación entre campo incidente y reflejado es dada por
so
po
rparaQnnjz
rparaQnnjz
21
12
cos
cos
−=−=
−=−=
θδγ
θδγ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
= onQn
j
p er θcostan2
2
11⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
= onQnj
s er θcostan2
1
21
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
== onQn
j
poipoippor eEErE θcostan2
2
11
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
== onQnj
soisoissor eEErE θcostan2
1
21
COCIENTE DE COMPLEJOS CONJUGADOS
La onda reflejada se onda reflejada se defasadefasa respecto a la onda incidenterespecto a la onda incidentetanto en componente paralela como perpendicular al plano de incidenciaEl defasamientodefasamiento es diferente para cada componentees diferente para cada componente
Se definen los desplazamientos en cada componente por:
paralelan
Qnjo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= −
θα
costan22
2
11
larperpendicun
Qnjo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= −
θβ
costan22
1
21
βδ
αδ
2
2
=
=
s
p
DEFASAMIENTOUsando el valor
Los defasamientos en cada dirección son dados por
Finalmente el defasamiento entre las dos ondas (p) y (s) es
Q
nn
o
c
o =−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=− 1sin1
sinsin
2
1
2
2
2
2 θθθ
o
op
nn
nn
θ
θδ
cos
sin
2tan 2
1
2
2
1
22
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
o
os
nn
θ
θδ
cos
sin
2tan
2
1
22 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
o
oo
ps
nn
θ
θθδ
δδδ
2
2
1
22
sin
sincos
2tan
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⇒−=
CURVA DE DEFASAMIENTO NETO δ para n1=2, n2=1
ONDAS INCIDENTE Y REFLEJADALa onda incidente y reflejada son dadas genéricamente por:
Para la componente paralela al plano de incidencia
Para la componente perpendicular
( )
( )oo
oo
kzkjtjorr
kzkjtjoii
eeee
EE
EEθθω
θθω
sincos
sincos
11
11
+−
+−
=
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )αθθω
θθωα
θθω
θθω
2sincos
sincos2
sincos
sincos
11
11
11
11
++−
+−
+−
+−
=
=
=
=
oo
oo
oo
oo
xkzkjtjpoipr
xkzkjtjjpoipr
xkzkjtjporpr
xkzkjtjpoipi
eeeee
eeee
EE
EE
EE
EE
( ) ( ) ( )βθθω 2sincos 11 ++−= oo xkzkjtjsoisr eeEE
VECTOR DE JONES DE ONDA REFLEJADA
El vector de Jones de la onda reflejadavector de Jones de la onda reflejada es:
Que puede escribirse como:
( )( )
( )( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡s
p
jsoi
jpoi
sor
por
ee
EE
EE
δ
δ
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
ps
jsoi
poij
sor
por
jsoi
poij
sor
por
si
EE
EE
EE
EE
ee
ee
p
ps
p
δδδ
δδ
δδδ
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
Valor maximal del defasajeUna frontera se puede caracterizar por su índice de índice de refracción relativorefracción relativo:
Escribiendo el defasaje total en términos de este índice el defasaje total en términos de este índice relativorelativo
El calculo del valor maximal de la anterior función, por medios analíticos conduce a:
Para el valor valor θθοο de defasaje máximode defasaje máximo.
1
2
nn
n =
o
oo nθθθδ
2
22
sinsincos
2tan
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
2
22
12sin
nn
o +=θ
Valor maximal del defasaje
El valor del valor del defasamientodefasamiento máximomáximo es dado por
nn
21
2tan
2
max
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ δ