teoria de bayes

Problemas de Análisis de DecisiónFichero W721.doc

Winston página 721, problema 1.

ENUNCIADO

Pizza King y Noble Greek son restaurantes competidores. Deben determinar, en forma simultánea si emprenden campañas de publicidad pequeñas, medianas o grandes. Pizza King cree que es igualmente probable que Noble Greek lleve a cabo una campaña pequeña, mediana o grande. En la tabla 7 se muestran las ganancias de Pizza King dadas las acciones de los dos restaurantes. Determinar la campaña elegida por Pizza King según los criterios de Laplace, de Wald, , maximax, de Hurwicz y de Savage.

Tabla 7

ELECCION DE PIZZA KING

ELECCION DE NOBLE GREEK

Pequeña Mediana GrandePequeña 6000 5000 2000Mediana 5000 6000 1000Grande 9000 6000 0

SOLUCIÓN

Apliquemos a nuestros datos los criterios que indica el enunciado:

pequeña mediana grande Laplace Wald Maximax Hurwicz Savage

Pequeña 6000 5000 2000 4333 2000 6000 2000 +6000(1-) 3000Mediana 5000 6000 1000 4000 1000 6000 1000 +6000(1-) 4000Grande 9000 6000 0 5000 0 9000 0 +9000(1-) 2000

0,0.6A30.6,1A1

Donde para el criterio de Savage hemos calculado el mínimax para la matriz de costos de oportunidad siguiente:

Max oij

3000 1000 0 30004000 0 1000 4000

0 0 2000 2000

Manuel Álvarez García Curso 2002-03 Página 1 de 12


Representación gráfica del método de Hurwicz:

Conclusión:Pizza King debería emprender la campaña de publicidad:i) pequeña al aplicar el criterio de Wald y el de Hurwicz si 0.6,1.ii) grande al aplicar los criterios de Laplace, máximax, de Savage y de Hurwicz si 0,0.6.



Winston página 721, problema 2 (adaptación 1).

ENUNCIADO

Sodaco planea producir una novedad: Chocovan. Cada empaque [paquete] de Chocovan se vende a 5 dólares y se incurre en un costo variable [de producción] de 3 dólares. Se necesitan 800.000 dólares para construir la planta productora de Chocovan. Suponga obtener un dólar cada año de ahora en adelante durante toda la vida, equivale a recibir 10 dólares ahora. La demanda anual de Chocovan, D (en miles de empaques) puede ser: D=30, D=50 o D=80. Se supone que una vez conocida la demanda del primer año, esta se mantiene constante a lo largo del tiempo y que la producción puede adaptarse a la demanda real de modo que desde el primer año ambas coincidirán.

Considerando como alternativas posibles de decisión construir o no la planta productora, la recompensa para cada acción y el estado del mundo en términos del valor presente neto, se pide:A. Suponiendo un ambiente de incertidumbre, aplique cada uno de los criterios de decisión

explicados (Laplace, Wald, , maximax, Hurwicz y Savage) para determinar si Sodaco debe construir o no la planta productora.

B. Suponiendo ahora un ambiente de riesgo en el que la demanda anual de Chocovan, D (en miles de empaques) tiene la siguiente función de masa:

P(D=30)=0.30 P(D=50)=0.40 P(D=80)=0.30determinar si Sodaco debe construir o no la planta productora.

SOLUCIÓN

Parte (A).La pregunta a resolver es si se construye o no la planta productora. Teniendo en cuenta lo

anterior y los datos del problema, la tabla de beneficios se construye de la siguiente forma:

Cij = (beneficio por unidad)*(unidades vendidas al año)*10-(coste planta productora)

Obteniendo la tabla que se muestra a continuación:

30 50 80 Laplace Wald Maximax Hurwicz SavageC -200 200 800 266.66 -200 800 -200+800(1-) 200

NC 0 0 0 0 0 0 0 8000,0.8A10.8,1A2

Para el criterio de Savage la matriz de costes de oportunidad siguiente:

Max oij

200 0 0 2000 200 800 800

Nota: Las celdas sombreadas contienen los óptimos para cada criterio.



Método gráfico de Hurwicz:

En consecuencia:

SE CONSTRUYE LA FACTORÍA al aplicar los siguientes criterios:• Laplace.• Maximax (criterio optimista).• Hurwicz.• Savage.• Hurwicz si [0,0.8].

NO SE CONSTRUYE LA FACTORÍA al aplicar el criterio:• Maximin (criterio pesimista)• Hurwicz si [0.8,1]

•Parte (B).

30 50 800.30 0.40 0.30 E(di)

C -200 200 800 260NC 0 0 0 0

En consecuencia:

SE CONSTRUYE LA FACTORÍA al aplicar el criterio de la esperanza matemática.



Winston página 721, problema 2 (adaptación 2).

ENUNCIADO

Sodaco planea producir una novedad: Chocovan. Cada empaque [paquete] de Chocovan se vende a 5 dólares y se incurre en un costo variable [de producción] de 3 dólares. Se necesitan 800.000 dólares para construir la planta productora de Chocovan. Suponga obtener un dólar cada año de ahora en adelante durante toda la vida, equivale a recibir 10 dólares ahora. La demanda anual de Chocovan, D (en miles de empaques) puede ser: D=30, D=50 o D=80. Se supone que una vez conocida la demanda del primer año, esta se mantiene constante a lo largo del tiempo y que una vez fijada la producción el primer año (antes de conocer la demanda), por ejemplo, por razones de funcionamiento de la maquinaria, esta se mantiene para el futuro. En consecuencia, la producción no puede adaptarse a la demanda real, de modo que desde el primer año ambas pueden coincidir o no.

Considerando como alternativas posibles de decisión tanto el nivel de producción como construir o no la planta productora y teniendo en cuenta la recompensa para cada acción y el estado del mundo en términos del valor presente neto, se pide:A. Suponiendo un ambiente de incertidumbre, aplique cada uno de los criterios de decisión

explicados (Laplace, Wald, , maximax, Hurwicz y Savage) para determinar si Sodaco debe construir o no la planta productora.

B. Suponiendo ahora un ambiente de riesgo en el que la demanda anual de Chocovan, D (en miles de empaques) tiene la siguiente función de masa:

P(D=30)=0.30 P(D=50)=0.40 P(D=80)=0.30determinar si Sodaco debe construir o no la planta productora.

SOLUCIÓN

Parte (A).La pregunta a resolver es si se construye o no la planta productora y, en caso de

construirse su nivel definitivo de producción. Teniendo en cuenta lo anterior y los datos del problema, la tabla de beneficios se construye de la siguiente forma:

Cij=(beneficio por unidad)*(unidades vendidas al año)

D=30 D=50 D=80 Laplace Wald Maximax Hurwicz Savaged0 D=30 60 60 60 60 60 60 60+60(1-) 100d1 D=50 0 100 100 66.67 0 100 0+100(1-) 60d2 D=80 -90 10 160 26.67 -90 160 -90+160(1-) 150

0,0.4A30.4,1A1

Para el método de Savage la matriz de costes de oportunidad siguiente:

Max oij

0 40 100 10060 0 60 60150 90 0 150

Nota: Las celdas sombreadas contienen lo óptimos para cada criterio.




A continuación, para calcular los beneficios globales actualizados, se multiplica por 10 el óptimo de cada criterio y se resta el coste de la planta. Si es mayor que cero se construye, y en caso contrario, no se construye.

Utilizando los distintos criterios los resultados finales que obtenemos son los siguientes:• Esperanza matemática: (70*10)-800<0 No se construye.• Maximin (Wald), Savage: (60*10)-800<0 No se construye.• Laplace : (66.6*10)-800<0 No se construye.• Maximax: (160*10)-800>0 Se construye.

Para evaluar con el criterio de Hurwicz, teniendo en cuenta la gráfica, debemos primero resolver la ecuación 10*(-90+160(1-)) 800 = 0, cuya solución es =10/27=0.37. Luego:

• Si [0,0,37] Se construye y se producen 80 unidades.• Si [0,0,37] No se construye.

Nota:El índice de deflación para la hipótesis económica del enunciado es:

S=1 + r2 + r3 + …………….+ rn +……= 1/1-r = 10 r =0.9

Parte (B).

D=30 D=50 D=800.30 0.40 0.30 E(di)

D=30 60 60 60 60D=50 0 100 100 70D=80 -90 10 160 25

Aplicando el criterio de la esperanza matemática, si se construyera se obtendrían unos ingresos de 70 000 dólares al año durante toda la vida, que actualizados al presente son 700000 dólares, cantidad inferior a los 800 000 que cuesta la construcción.

En consecuencia, NO SE CONSTRUYE LA FACTORÍA al aplicar el criterio de la esperanza matemática.



Problema del “kioskero” asimilado al Winston página 721, problema 3

ENUNCIADO:

En el problema del “kioskero” supongamos que:a) las demandas posibles son d1,d2,……,dn (con 0< d1<d2<……<dn). Podemos admitir que las

cantidades d1,d2,……,dn son enteras o no.b) el precio unitario de compra es c>0.c) el precio unitario de venta es v, con v>c>0.d) toda unidad no vendida se pierde.Se pide:Probar matemáticamente (es decir, no por medio de un ejemplo numérico) que pedir cualquier cantidad distinta de las demandas posibles es una estrategia fuertemente dominada.Nota: Si la cantidad pedida es q considerar los casos:(a) (b) (c) para algún r=1,2, …n-1

SOLUCIÓN:

Construimos una tabla con los posibles casos que nos puedan surgir:

… … …

b(q,d1) b(q,d2) b(q,dn)

b(d1,d1) b(d1,d2) b(d1,dn)

b(dr,d1) b(dr,d2) b(dr,dn)


b(dr+1,d1) b(dr+1,d2) b(dr+1,dn)

b(dn,d1) b(dn,d2) b(dn,dn)


a) Caso q<d1.En este caso la cantidad disponible q es estrictamente inferior a cualquier cantidad demandada dj. Por tanto, si representamos por b(q,dj) los beneficios asociados a pedir q unidades y tener una demanda dj, para todo j=1,2, …,n se tiene:

b(q,dj)=v*min{q,dj} c*q = v*q c*q = (v-c)*qy

b(d1,dj)=v*min{d1,dj} c*q = v*d1 c*d1 = (v-c)* d1

Por las hipótesis iniciales sabemos que (v-c)>0, y además estamos suponiendo el caso q<d1, luego b(q,dj)< b(d1,dj) para todo j=1,2, …,n, por lo que la estrategia de comprar q unidades con q<d1 está fuertemente dominada por la estrategia de comprar q=d1 unidades.

b) Caso q>dn.



En este caso la cantidad disponible q es estrictamente superior a cualquier cantidad demandada dj. Por tanto, para todo j=1,2, …,n, se tiene:

b(q,dj)=v*min{q,dj} c*q = v*dj c*qy

b(dn,dj)=v*min{dn,dj} c*q = v*dj c*dn

Como estamos en el caso q>dn, entonces c*q> c*dn y por tanto b(q,dj)< b(dn,dj) para todo j=1,2, …,n, por lo que la estrategia de comprar q unidades con q>dn está fuertemente dominada por la estrategia de comprar q=dn unidades.

c) Caso dr<q<dr+1.En este caso se supone que las unidades compradas por encima de q=dr no se venden. Como en los apartados anteriores, para todo j=1,2, …,n, se tiene:

b(q,dj)=v*min{dr,dj} c*q = v*dj c*qy

b(dr,dj)=v*min{dr,dj} c*dr = v*dj c*dr

Luego, b(q,dj)< b(dn,dj) para todo j=1,2, …,n, por lo que la estrategia de comprar q unidades con dr<q<dr+1 está fuertemente dominada por la estrategia de comprar q=dr unidades.

En resumen, comprar o pedir cualquier cantidad q distinta de las demandas posibles es una estrategia fuertemente dominada.



Winston página 721, problema 4 (adaptación).

ENUNCIADO

Suponga que Pizza King y Noble Greek cesan su publicidad, pero deben determinar el precio que cobrarán por cada pizza que vendan. Si Pizza King cobra un precio p1 y Noble Greek cobra un precio p2, Pizza King venderá 100 + 25*( p2 - p1) pizzas. A Pizza King le cuesta 4 dólares cada pizza preparada. Está pensando cobrar 5,6,7,8 o 9 dólares por cada pizza. Se pide:A. Suponiendo un ambiente de incertidumbre, aplique cada uno de los criterios de decisión

explicados (Laplace, Wald, , maximax, Hurwicz y Savage) para calcular el precio que debe cobrar Pizza King.

B. Suponiendo ahora un ambiente de riesgo en el que Pizza King cree que el precio de Noble Greek es una variable aleatoria D que tiene la siguiente función de masa:

P(D= 6 dólares) = 0.25, P(D= 8 dólares) = 0.5, P(D= 10 dólares) = 0.25.determine el precio que debe cobrar Pizza King.

SOLUCIÓN:

Parte (A):

Apliquemos a nuestros datos los criterios que indica el enunciado:

D=6 D=8 D=10 Laplace maximin maximax Hurwicz Savage5$ 125 175 225 175 125 225 125+225(1-) 4006$ 200 300 400 300 200 400 200+400(1-) 2257$ 225 375 525 375 225 525 225+525(1-) 1008$ 200 400 600 400 200 600 200+600(1-) 259$ 125 375 625 375 125 625 125+625(1-) 75

0,0.2A50.2,0.75A40.75,1A3

Donde para el criterio de Savage hemos calculado el mínimax para la matriz de costos de oportunidad siguiente:

Max oij

100 225 400 40025 100 225 2250 25 100 10025 0 25 25100 25 0 75

Nota: Las celdas sombreadas contienen los óptimos para cada criterio.




Conclusión:

Pizza King cobrará : 7$/pizza si aplica el criterio maximin (criterio pesimista) o el de Hurwicz si 0.75,1. 8$/pizza si utiliza como criterios de decisión el de Laplace, el de Savage o el de Hurwicz

si 0.2,0.75. 9$/pizza si aplica el criterio maximax (criterio optimista) o el de Hurwicz si 0,0.2.Ninguno de los criterios vistos le lleva a cobrar 5 ó 6 $/pizza.

Parte (B):

D=6 D=8 D=100.25 0.50 0.25 E(di)

5$ 125 175 225 1756$ 200 300 400 3007$ 225 375 525 3758$ 200 400 600 4009$ 125 375 625 375

En consecuencia, aplicando el criterio de la esperanza matemática, Pizza King debe cobrar 8$/pizza.

Manuel Álvarez García Curso 2002-03

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Winston página 721, problema 5 (adaptación).

ENUNCIADO

La Constructora Alden compite con la Constructora Forbes en el presupuesto de un proyecto. A Alden le cuesta 6000 $ hacer el proyecto. En caso de empate Alden gana el proyecto Se pide:A. Suponiendo un ambiente de incertidumbre, aplique cada uno de los criterios de decisión

explicados (Laplace, Wald, , maximax, Hurwicz y Savage) para determinar la oferta que debe hacer la constructora Alden. (Sugerencia: sea p=oferta de Alden. Para p6000, 6000p8000, 8000p11000 y p11000, calcule la utilidad de Alden en términos de su oferta y de la de Forbes.)

B. Suponiendo ahora un ambiente de riesgo en el que la oferta de Forbes es una variable aleatoria D con la siguiente función de masa:

P(D =6000$)=0.40, P(D =8000$)=0.30 y P(D =11000$)=0.30.determinar la oferta que debe hacer la constructora Alden.

SOLUCIÓN

Parte (A):De todas las ofertas posibles, Alden realizará, solamente, aquellas con las que consiga el

mayor beneficio posible. Es decir, Alden sólo debe considerar decisiones no dominadas.Como se explica a continuación, las posibles ofertas que cumplen estos requisitos son sólo

dos: p=8000 $ y p=11000 $. No obstante, incluiremos también en los cálculos la oferta p=6000$.En efecto:

a) Si p6000 Alden obtiene pérdidas y, como estrategia, esta oferta está dominada por la estrategia p=6000$, con la cual Alden siempre gana el proyecto pero con beneficio 0.

b) Si p11000 Alden no gana nunca el proyecto y, como estrategia, esta oferta está dominada por la estrategia p=11000$, con la cual Alden gana el proyecto con unos beneficios de 5000$, cuando Forbes hace esta misma oferta.

c) Si 6000p8000 no se gana nada si Forbes ofrece 6000 y se gana con beneficios dados por p-6000 en caso contrario. Luego, el beneficio máximo se obtiene con p=8000 $ y, por tanto, la estrategia p=8000 $ domina a cualquier estrategia con p<8000.

d) Por ultimo, si 8000p11000, no se gana nada si Forbes ofrece 6000 o 8000, pero se gana p-6000 si Forbes ofrece 11000. En este caso se alcanza el máximo con p=11000 $. Luego, la estrategia p=11000 $ domina a cualquier estrategia con 8000p<11000.

e) En resumen, las únicas estrategias no dominadas son p=8000 $ y p=11000 $.

Si aplicamos los criterios dados a estas dos estrategias que nos quedan, obtenemos la siguiente matriz:

6000 8000 11000 Laplace Wald Maximax Hurwicz Savage8000 0 2000 2000 1333 0 2000 0+2000(1-) 500011000 0 0 5000 1666 0 5000 0+5000(1-) 2000

[0,1]A2


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donde para el criterio de Savage hemos utilizado la matriz de costes de oportunidad siguiente:

Max oij

0 0 3000 30000 2000 0 2000

Nota: Las celdas sombreadas son los óptimos para cada criterio.


En consecuencia, con cualquiera de los criterios estudiados la oferta de 11000$ es óptima.

Parte (B):

6000 8000 110000.40 0.30 0.30 E(di)

8000 0 2000 2000 120011000 0 0 5000 1500

En consecuencia, aplicando el criterio de la esperanza matemática, la constructora Alden debe ofertar 11 000$.


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