CONSERVACIÓN DE

ENERGÍA

Objetivos: Después de completar este módulo, deberá:

• Definir y dar ejemplos de fuerzas conservativas y no conservativas.

• Definir y aplicar el concepto de conservación de energía mecánica para fuerzas conservativas.

• Definir y aplicar el concepto de conservación de energía mecánica que explique las pérdidas por fricción.

Energía potencial

La energía potencial es la habilidad para realizar trabajo en virtud de la posición o condición.

La energía potencial es la habilidad para realizar trabajo en virtud de la posición o condición.

Tierra

mgh

mEjemplo: Una masa que se mantiene a una distancia h sobre la Tierra.Si se libera, la Tierra puede

realizar trabajo sobre la masa:

Trabajo = mgh¿Este trabajo es + o - ?

¡Positivo!

Energía potencial gravitacional

La energía potencial gravitacional U es igual al trabajo que se puede realizar POR la gravedad debido a la altura sobre un punto específico.

La energía potencial gravitacional U es igual al trabajo que se puede realizar POR la gravedad debido a la altura sobre un punto específico.

U = mghU = mgh E.P. gravitacional

Ejemplo: ¿Cuál es la energía potencial cuando un bloque de 10 kg se sostiene a 20 m sobre la calle?

U = mgh = (10 kg)(9.8 m/s2)(20 m)

U = 1960 J

U = 1960 J

El origen de la energía potencial

La energía potencial es una propiedad del sistema Tierra-cuerpo. Ninguno tiene energía potencial sin el otro.

La energía potencial es una propiedad del sistema Tierra-cuerpo. Ninguno tiene energía potencial sin el otro. El trabajo

realizado por la fuerza de

elevación F proporciona

energía potencial positiva, mgh, al sistema Tierra-

cuerpo.Sólo fuerzas externas pueden agregar o quitar energía.

mgh

F

Fuerzas conservativasUna fuerza conservativa es aquella que hace trabajo cero durante un viaje redondo.

Una fuerza conservativa es aquella que hace trabajo cero durante un viaje redondo.

mgh

FEl peso es

conservativo.El trabajo realizado por la Tierra en el viaje hacia arriba es negativo, - mghEl trabajo de regreso es positivo, +mgh

Trabajo neto = - mgh + mgh = 0

Trabajo neto = - mgh + mgh = 0

La fuerza de resorte

La fuerza ejercida por un resorte también es

conservativa.Cuando se estira, el resorte realiza trabajo negativo, -

½kx2.Al liberarse, el resorte realiza

trabajo positivo, + ½kx2 Fxm

Fx

m

Trabajo neto = 0 (conservativa)

Trabajo neto = 0 (conservativa)

Independencia de la trayectoria

El trabajo realizado por las fuerzas conservativas es independiente de la

trayectoria.

El trabajo realizado por las fuerzas conservativas es independiente de la

trayectoria.

A

C

B

C

A B

Fuerza debida a

la gravedadmg

Trabajo (A C) = Trabajo (A B C) ¿Por qué?Porque sólo el componente vertical

del peso realiza trabajo contra la gravedad.

Fuerzas no conservativas

El trabajo realizado por fuerzas no conservativas no se puede restaurar. La energía se pierde y no se puede recuperar. ¡Es dependiente de la trayectoria!

El trabajo realizado por fuerzas no conservativas no se puede restaurar. La energía se pierde y no se puede recuperar. ¡Es dependiente de la trayectoria!

Las fuerzas de fricción son fuerzas no conservativas.

B

Af f

m

A B

El trabajo de las fuerzas conservativas es independiente

de la trayectoria:

A

B

C

Para fuerza gravitacional:(Trabajo)AB= -

(Trabajo)BCA

Trabajo neto ceroPara fuerza de

fricción:(Trabajo)AB ¹ -(Trabajo)BCA

El trabajo realizado contra la fricción es mayor para la trayectoria más

larga (BCD).

El trabajo realizado contra la fricción es mayor para la trayectoria más

larga (BCD).

Energía potencial almacenadaEl trabajo realizado por una fuerza

conservativa se almacena en el sistema como energía potencial.

m

xox

F(x) = kx para comprimir El desplazamiento

es x

La energía potencial es igual al trabajo realizado para comprimir el resorte:

La energía potencial es igual al trabajo realizado para comprimir el resorte:

Energía potencial de resorte

comprimido:

221 kxTrabajoU

Conservación de energía (Fuerzas conservativas)

En ausencia de fricción, la suma de las energías potencial y cinética es una constante, siempre que no se agregue energía al sistema.

En ausencia de fricción, la suma de las energías potencial y cinética es una constante, siempre que no se agregue energía al sistema.

vf

vy mg

v = 0h

0

En lo alto: Uo = mgh; Ko = 0

En y: Uo = mgy; Ko = ½mv2

En y=0: Uo = 0; Ko = ½mvf 2

E = U + K = Constante

E = U + K = Constante

Energía total constante para un cuerpo que cae

vf

v

y

K = 0h

0

ARRIBA: E = U + K = mgh

En cualquier y:E = mgh + ½mv2

mgh = mgy + ½mv2 = ½mvf

2 La E total es la misma en cualquier punto.

U = 0

Fondo: E = ½mv2

(Desprecie la fricción del aire)

Ejemplo 1: Una bola de 2 kg se libera desde una altura de 20 m. ¿Cuál es su velocidad cuando su altura disminuye a 5 m?

v5m

v = 020m

0

mgh = mgy + ½mv2

2gh = 2gy + v2

v2 = 2g(h - y) = 2(9.8)(20 - 5)

v = (2)(9.8)(15) v = 17.1 m/sv = 17.1 m/s

Earriba total = E total a 5 m

Earriba total = E total a 5 m

Ejemplo 2: Una montaña rusa cae de una altura máxima de 100 m. ¿Cuál es la rapidez cuando llega a su punto más bajo?

Suponga fricción cero:

Arriba: U + K = mgh + 0

Abajo: U + K = 0 + ½mv2

La energía total se conserva

v = (2)(32 m/s2)(100 m)

mgh = ½mv2

v = 80 m/sv = 80 m/s

v = 2gh

Conservación de energía en ausencia de fuerzas de

fricción

Comienzo: (U + K)o = Fin: (U + K)f

mgho

½kxo2

½mvo2

=mghf

½kxf2

½mvf2

¿Altura?

¿Resorte?

¿Velocidad?

¿Altura?

¿Resorte?

¿Velocidad?

La energía total es constante para un sistema conservativo, como la gravedad o un resorte.

La energía total es constante para un sistema conservativo, como la gravedad o un resorte.

Ejemplo 3. El agua en el fondo de una cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 m.

ho = 35 m; vf = 30 m/s2

¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada?

mgho

½kxo2

½mvo2

¿Altura?

¿Resorte?

¿Velocidad?

Sí (35 m)

No

Sí (vo)

Primero observe el punto de inicio: lo alto de la cascada. Suponga y = 0 en el fondo para punto de

referencia.

Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35m

ho = 35 m; vf = 30 m/s2

¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada?

mghf

½kxf2

½mvf2

¿Altura?

¿Resorte?

¿Velocidad?

No (0 m)

No

Sí (vf)

Luego elija el punto FINAL en el fondo de la cascada:

Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la cascada tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 m

ho = 35 m; vf = 30 m/s2¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la

cascada?

Energía total arriba = Energía total abajo

2 2 2 20 2 (25.8 m/s) 2(9.8 m/s )(33.2 m)fv v gh

2 20 14.9 m /sv vo = 3.86 m/svo = 3.86 m/s

2 202 fgh v v 2 21 1

02 20 fmgh mv mv

Ejemplo 4. Una bicicleta con velocidad inicial 10 m/s sube hasta una altura neta de 4 m. ¿Cuál es la velocidad en lo alto, si

desprecia la fricción?

4 m

vf = ?

vo = 10 m/s

E(arriba) = E(abajo)

Earriba = mgh + ½mv2

Eabajo = 0 + ½mvo2

2 21 102 2fmv mgh mv 2 21 1

02 2fv v gh 2 2 2 2

0 2 (10 m/s) 2(9.8 m/s )(4 m)fv v gh

2 221.6 m /sfv vf = 4.65 m/svf = 4.65 m/s

Ejemplo 5: ¿Cuánto subirá, sobre el plano inclinado de 30o, el bloque de 2 kg después de liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm.

sh

30o

Inicio

Finmgho

½kxo2

½mvo2

=mghf

½kxf2

½mvf2

½kxo2 = mghf

Conservación de energía:

2 20

2

(2000 N/m)(0.08m)

2 2(2 kg)(9.8 m/s )

kxh

mg h = 0.327 mh = 0.327 m

Ejemplo (Cont.): ¿Cuánto subirá, sobre el plano inclinado de 30o, el bloque de 2 kg después de liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm.

sh

30o

Inicio

FinContinúa:h = 0.327 m = 32.7

cm

sen 30o =h

s

s = =h

sen 30o

32.7 cm

sen 30o

s = 65.3 cms = 65.3 cm

Conservación de energía y fuerzas no conservativas.

Se deben explicar las fuerzas de fricción. La energía todavía se conserva, pero no es reversible.

Se deben explicar las fuerzas de fricción. La energía todavía se conserva, pero no es reversible.

f

Conservación de energía mecánica

(U + K)o = (U + K)f + Pérdidas

(U + K)o = (U + K)f + Pérdidas

Estrategias para resolución de problemas1. Lea el problema; dibuje y etiquete el

bosquejo.

2. Determine los puntos de referencia para energía potencial gravitacional y/o resorte.

3. Seleccione un punto de inicio y un punto final y plantee tres preguntas en cada punto:

a. ¿Hay altura?

U = mghU = mgh

b. ¿Hay velocidad? K = ½mv2K = ½mv2

c. ¿Hay un resorte? U = ½kx2U = ½kx2

Resolución de problemas (continuación)

4. Aplique la regla para conservación de energía.

mgho

½kxo2

½mvo2

=mghf

½kxf2

½mvf2

+Trabajo contra

fricción: fk x

5. Recuerde usar el valor absoluto (+) del trabajo de fricción. (Pérdida de energía)

Ejemplo 6: Una masa m se conecta a una cuerda de longitud L y se mantiene horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto B? (d = 12 m, L = 20 m)

BL vc

rd

1. Dibuje y etiquete.

2. Comience en A y termine en B.

3. Referencia U = 0.

U = 0(U + K)o =(U + K)f + pérdida

0

mgL + 0 = mg(2r) + ½mvc2 (Multiplique por 2,

simplifique)

2gL - 4gr = vc2 Luego encuentre r de la

figura.

A

Ejemplo (Cont.): Una masa m se conecta a una cuerda de longitud L y se mantiene horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto B? (d = 12 m, L = 20 m)

2gL - 4gr = vc

2

r = L - d

r = 20 m - 12 m = 8 m

BL vc

rd

U = 0

A

vc2 = 2(9.8 m/s2)[20 m - (2)(8

m)]

vc2 =2gL - 4gr = 2g(L -

2r)

vc = 2(9.8 m/s2)(4 m)

vc = 8.85 m/s

vc = 8.85 m/s

Ejemplo 7: Una masa m de 2 kg ubicada 10 m sobre el suelo comprime un resorte 6 cm. La constante de resorte es 40,000 N/m y mk = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?

h

2 kg

s

30o mg

f nmg sen

30omg cos

30o30o

Inicio

Fin

Conservación: mgh + ½kx2 = ½mv2 + fkx (trabajo)f = (mkn) x = mk(mg cos

30o) x continúa . . .

Ejemplo (Cont.): Una masa m de 2 kg ubicada 10 m sobre el suelo comprime un resorte 6 cm. La constante del resorte es 40,000 N/m y mk = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?

h

2 kg

x

30o

10 m

fkx = mk(mg cos 30o) x

mgh + ½kx2 = ½mv2 + fkx

fkx = (0.4)(2 kg)(9.8 m/s2)(0.866)(20 m) = 136 J

x = = 20 m10 m

sin 30o

mgh = (2 kg)(9.8 m/s2)(10 m) = 196 J

½kx2 = ½(40,000 N/m)(0.06 m)2 = 72.0 J

Ejemplo (Cont.): Una masa m de 2 kg ubicada 10 m sobre el suelo comprime un resorte 6 cm. La constante de resorte es 40,000 N/m y mk = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo?

h

2 kg

x

30o

10 m

mgh + ½kx2 = ½mv2 + fkx

fkx = 136 J

mgh = 196 J½kx2 = 72.0 J

½mv2 = mgh + ½kx2 - fkx

½(2 kg) v2 = 196 J + 72 J - 136 J = 132 J

v =11.4 m/sv =11.4 m/s

Resumen: Ganancias o pérdidas de

energía

U = mghU = mgh

212U kx

Energía potencial gravitacional

Energía potencial gravitacional

Energía potencial de resorte

Energía potencial de resorte

Fricción contra trabajoFricción contra trabajo Trabajo = fx

Trabajo = fx

Energía cinéticaEnergía cinética 212K mv

Resumen:Conservación de energía

Regla básica para conservación de energía:

mgho

½kxo2

½mvo2

=mghf

½kxf2

½mvf2

+Trabajo contra

fricción: fk x

Recuerde usar el valor absoluto (+) del trabajo de fricción. (Pérdida de energía)