Tema5 esquemas numericos

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Tema 5. Esquemas numéricos y cálculo

Tema 5. ESQUEMAS NUMÉRICOS Y CÁLCULO

esquemas – opciones – ejemplos

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Objetivos del tema 5

• A lo largo del presente tema explicaremos los esquemas numéricos que se encuentran implementados en Iber y las opciones existentes para el ajuste de los parámetros de dichos esquemas numéricos.

• No se realizará una descripción detallada ni rigurosa de los esquemas numéricos implementados, ya que ello queda fuera del alcance de este curso. Se realizará una descripción intuitiva con el fin de que el usuario sea capaz de comprender y modificar los parámetros de cálculo presentes en la interfaz de preproceso.

• Veremos con un ejemplo cómo influyen los parámetros relativos a las opciones numéricas en los resultados obtenidos.

• Al final del tema se proporcionan diferentes referencias bibliográficas que permiten profundizar en los esquemas numéricos implementados en Iber.

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Introducción

• Las ecuaciones de St. Venant 2D no son resolubles analíticamente en un problema real, por lo que es necesario recurrir a métodos numéricos para su resolución. Iber emplea el método de volúmenes finitos, que es un método especialmente adecuado para resolver ecuaciones de conservación.

• En el método de volúmenes finitos aplicado a un problema 2D, las variables de cálculo (calado y velocidad) se almacenan en el centro geométrico de los elementos, también llamados nodos de la malla. El valor de la variable en dichos nodos representa su valor medio en todo el elemento.

• En el postproceso se pueden representar las variables en los nodos de la malla o en los vértices de la malla. Areas Coloreadas -> valor de las variables en los nodos de la malla. Areas Coloreadas Suaves -> valor en vértices de la malla interpolados a partir del valor en los nodos.

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Introducción

• Las ecuaciones de St. Venant 2D no son resolubles analíticamente en un problema real, por lo que es necesario recurrir a métodos numéricos para su resolución. Existen un gran número de métodos y esquemas numéricos apropiados para resolver las ecuaciones de St. Venant 2D siendo los más populares

Volúmenes finitos

Elementos finitos

Diferencias finitas

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Estos métodos permiten una gran flexibilidad geométrica lo que los hace especialmente adecuados para la hidráulica fluvial



Introducción

• Iber utiliza el método de volúmenes finitos debido a que es un método especialmente adecuado para resolver ecuaciones de conservación, y las ecuaciones de St. Venant son ecuaciones de conservación de la cantidad de masa y de movimiento del agua.

• A continuación explicaremos de forma intuitiva y sencilla el método de volúmenes finitos, utilizando a modo de ejemplo la ecuación de conservación de la masa de agua. Dicha ecuación en un caso 1D se escribe como:

• donde h es el calado y Q el caudal.

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h Q0

t x



Esquemas numéricos. Volúmenes finitos

• Esta ecuación discretizada en un elemento de longitud Δx se escribe de la siguiente manera:

n 1 n

i i R L

Δth h Q Q

Δx

• La ecuación discretizada expresa un balance entre el caudal que entra y sale de un elemento y la variación de calado en dicho elemento.

Δx

QL QR

hi • QL: caudal que entra por el lado izquierdo

• QR: caudal que sale por el lado derecho

• hi: calado medio en el elemento

• Δt: intervalo de tiempo durante el cual se realiza el balance de masa

• Δx: tamaño del elemento en el cual se realiza el balance de masa

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Esquemas numéricos. Volúmenes finitos

• La interpretación que hemos realizado para la ecuación de conservación de la masa de agua es válida para cualquier ecuación de conservación.

• En el caso de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, en lugar de evaluar el caudal que circula entre 2 elementos, se evaluará la transferencia de cantidad de movimiento.

• En el caso de una sustancia soluble o en suspensión, el caudal se remplazará por el flujo de dicha sustancia entre 2 elementos, y el calado por su concentración media en el elemento.

• En general se habla de flujo entre elementos, ya sea flujo de agua (caudal), de cantidad de movimiento, de masa de sedimentos o de cualquier otra variable.

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Esquemas numéricos. Malla de cálculo

• La misma interpretación se puede realizar en un problema 2D, salvo que en este caso los elementos tendrán un número de lados mayor.

• Los elementos que se utilizan para realizar los balances de masa y cantidad de movimiento constituyen la malla de cálculo del modelo numérico.

• Como veremos, la malla de cálculo tiene una gran repercusión en el proceso de cálculo y en la precisión de los resultados obtenidos.

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• En general, en un problema 2D los elementos que forman la malla de cálculo pueden tener cualquier número de lados.

• Sin embargo, para discretizar el dominio espacial en una aplicación real suele ser suficiente con utilizar elementos triangulares o cuadriláteros. Iber permite utilizar elementos de 3 y 4 lados en la misma malla de cálculo.

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• En el método de volúmenes finitos aplicado a un problema 2D, las variables de cálculo (calado y velocidad) se almacenan en el centro geométrico de los elementos (puntos negros en la figura), también llamados nodos de la malla.

• El valor de la variable en dichos nodos representa su valor medio en todo el elemento.

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• Es importante distinguir entre los nodos de la malla (puntos negros en la figura) y los vértices de los elementos de la malla (puntos rojos en la figura).

• Todos los cálculo internos en Iber se realizan en los nodos de la malla.

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• En el postproceso se pueden representar las variables en los nodos de la malla o en los vértices de la malla (en este caso mediante una interpolación de nodos a vértices realizada automáticamente por el programa).

• Con la opción de visualización de Areas Coloreadas se representa el valor de las variables en los nodos de la malla, asignándole a cada elemento de la malla un color correspondiente al valor de la variable en dicho elemento.

• Con la opción de visualización de Areas Coloreadas Suaves se representan los valores de las variables en los vértices de la malla interpolados a partir del valor en los nodos.

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Áreas Coloreadas

Se representa en cada elemento el valor calculado en el nodo del elemento. Se obtiene un aspecto pixelizado.

Áreas Coloreadas Suaves

Se representan valores interpolados a partir de los calculados en los nodos de la malla. Se obtiene un aspecto suavizado.

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• Las mallas de cálculo se pueden clasificar de modo general en:

• Mallas estructuradas : son aquellas en las que cada elemento de la malla se puede identificar mediante un par de índices (i,j). Están formadas por elementos de 3 o 4 lados ordenados en forma de matriz

• Mallas no estructuradas. los elementos no están ordenados entre si. Pueden estar formadas por elementos de cualquier número de lados, si bien en general en problemas 2D están formadas por elementos de 3 o 4 lados

• En Iber se pueden combinar mallas estructuradas y no estructuradas formadas por elementos de 3 y 4 lados en distintas zonas del dominio espacial, lo cual da al usuario una gran flexibilidad en el proceso de generación de la malla de cálculo.

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• Algunas ventajas de las mallas no estructuradas frente a las mallas estructuradas son:

• Se adaptan mejor a geometrías irregulares

• Son más sencillas de generar para el usuario del programa

• El tamaño de los elementos de la malla (resolución espacial del modelo) se puede ajustar espacialmente de forma sencilla

• Las principales ventajas de las mallas estructuradas son:

• Si las líneas de corriente tienen una dirección predominante se puede ajustar una de las direcciones principales de la malla a dicha dirección predominante, siendo en este caso el mallado más eficiente

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Esquemas numéricos. Discretización

• Existen diferentes implementaciones del método de volúmenes finitos.

• Las principales diferencias entre ellas radican en la forma y en el instante en la que se aproxima el flujo de agua o de cantidad de movimiento entre los diferentes elementos que forman la malla de cálculo, representado esquemáticamente por las flechas azules en la siguiente figura.

discretización espacial

¿Cómo calculo ?

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discretización temporal

¿En qué instante de tiempo calculo ?



Esquemas numéricos. Discretización espacial

• Iber emplea esquemas descentrados para resolver los flujos de masa y momento, por lo que se tiene en cuenta la velocidad y dirección de propagación del flujo.

• Dependiendo del número de nodos aguas arriba empleado en la resolución de las ecuaciones, los esquemas son de orden 1 ó 2. En general, los esquemas de orden 2 son más precisos pero menos estables que los esquemas de orden 1.

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Qi

xi+1 xi+1/2 xi

Qi+1 Qi+1/2

Qi-

1

Xi-1

Esquema descentrado de orden 2

Qi

xi+1 xi+1/2 xi

Qi+1

Qi+1/2

Esquema descentrado de orden 1



Esquemas numéricos. Discretización temporal

• Iber utiliza siempre un esquema explícito para realizar la discretización temporal de las ecuaciones de flujo. Esto supone que evalúa los flujos en el instante de tiempo T en lugar de T

• El paso de tiempo de integración temporal (de T a T ) está limitado por la condición CFL.

– La condición CFL implica que el valor máximo del paso de tiempo utilizado para la integración temporal de las ecuaciones está limitado por la siguiente relación:

– siendo Δx el tamaño de la malla de cálculo, U la velocidad del agua, g la aceleración de la gravedad, h el calado y CFL un parámetro que debe ser inferior o igual a 1.

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CFL

ΔxΔt CFL con CFL 1

U + g h

n n+1

n n+1



Número de procesadores

• El usuario puede fijar el número de procesadores en los que se ejecutará el cálculo. La versión 2.0 de Iber está parcialmente paralelizada en OpenMP.

Opciones de cálculo relativas a esquemas numéricos

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Esquema numérico

• El usuario puede elegir entre esquemas numéricos de orden 1 ó 2 para realizar la discretización espacial.

CFL (condición Courant-Friedrichs-Levy)

• El valor del CFL de la discretización temporal puede ser modificado por el usuario, aunque debe ser siempre inferior a 1.

CFL calculo CFL max

ΔxΔt CFL Δt min Δt , Δt

U + g h

Iber permite al usuario definir los siguientes parámetros referentes a los esquemas numéricos




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Límite seco-mojado

• El valor del límite seco-mojado fija el umbral del calado a partir del cual se considera que un elemento está seco. Permite :

Reducir el tiempo de cálculo ya que en los elementos secos se realizan muchas menos operaciones que los elementos en los que hay agua

Evitar inestabilidades numéricas derivadas de la existencia de calados próximos a cero

Método de secado

• El método de secado hace referencia al algoritmo utilizado cuando un elemento pasa de tener un valor de calado superior al límite seco-mojado (elemento mojado) a un valor inferior (elemento seco). Iber tiene implementados los siguiente (todos garantizan la conservación de la masa)

Por defecto

Hidrológico

Estricto



• Con el método de secado por defecto, si en un elemento se produce en algún instante un calado negativo, Iber considera que dicho elemento está seco y guarda el valor del calado negativo como un déficit de volumen de agua. Para que dicho elemento vuelva a estar mojado, debe de llenarse previamente ese déficit de volumen con agua proveniente de los elementos adyacentes. Este es un método robusto, conserva la masa de agua en todo el dominio y tiene la ventaja de que el tiempo de cálculo apenas depende del proceso de secado-mojado.

• En el método de secado hidrológico en cada instante de tiempo se comprueba si, considerando únicamente los caudales de salida de un elemento, se puede producir el secado del mismo (sin considerar el caudal de entrada). Si este es el caso, se realiza un escalado de los caudales de salida, reduciéndolos con un factor igual a Vout /V, siendo V el volumen de agua inicial del elemento, y Vout la suma de los caudales de salida multiplicada por el incremento de tiempo. Es un método recomendado principalmente para problemas de transformación lluvia-escorrentía, en el caso de que con el método por defecto se produzcan inestabilidades numéricas.


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• Con el método de secado estricto se impide en todo momento que se produzcan calados negativos disminuyendo para ello el paso de tiempo Δt utilizado en la integración temporal. Por lo que disminuyendo suficientemente el paso de tiempo Δt se pueden evitar los calados negativos. Este es un método preciso y conserva la masa de agua en todo el dominio. La principal desventaja de esta opción es que si el umbral de secado-mojado es muy pequeño, el tiempo de cálculo puede incrementar considerablemente.


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Condición de Courant estricta

• Esta opción regula la forma de definir el tamaño de un elemento (Δx) utilizado en la ecuación CFL

• Si desactivamos la condición de Courant estricta el valor de Δx empleado se calcula como:

En elementos de 4 lados se toma el mínimo valor entre las longitudes de todos los lados. En elementos de 3 lados se toma el mínimo valor entre las longitudes de todos los lados y la raíz cuadrada del área del elemento

• Si activamos la condición de Courant estricta Δx se calcula como:

En elementos de 4 lados se toma el mínimo valor entre las longitudes de todos los lados y la altura del elemento definida como la mínima distancia entre lados opuestos. En elementos de 3 lados se toma el mínimo valor entre las longitudes de todos los lados, la raíz cuadrada del área del elemento, y todas las alturas del elemento.

• Esta condición puede ser recomendable en mallas con elementos muy irregulares, por ejemplo cuando se utiliza una TIN


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Fricción en las paredes

• Con esta opción controlamos cómo se considera la fricción que los contornos cerrados del modelo (paredes) ejercen sobre el agua. Dicha fricción será mayor cuanto más rugoso sea el contorno y cuanto mayor sea la velocidad del agua en las proximidades del contorno.

• Existen tres posibilidades de considerar la fricción en los contornos cerrados:

Fricción nula (deslizamiento libre). Se desprecia la fuerza que el contorno ejerce sobre el fluido

Coeficiente de Manning. Se define un coeficiente de Manning en función de la rugosidad de los contornos cerrados

Altura de rugosidad. Se define la altura de rugosidad (en metros) asociada a los contornos cerrados


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Ejemplo de cálculo

• Vamos a resolver el ejemplo del Tema 3 y a comprobar la influencia de los parámetros de calculo y de mallado en el resultado del problema.

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• Trabajaremos con las siguientes mallas estructuradas, realizando el cálculo con esquemas de orden 1 y 2:

Malla gruesa: elementos de 0.1 x 0.2 m en los 2 tramos rectilíneos y de 0.1 x 0.1 m en la unión

Malla fina: elementos de 0.05 x 0.1 m en los 2 tramos rectilíneos y de 0.05 x 0.05 m en la unión

• Caudal de entrada: 0.03 m3/s

• Calado en el contorno de salida: 0.15 m

• Condiciones iniciales: calado de 0.15 m

• Rugosidad: Manning n= 0.018 (hormigón)



Ejemplo de cálculo. Influencia del orden del esquema numérico

Malla gruesa

• El cálculo en orden 2 genera velocidades mayores en la parte externa del codo, y se aprecia una zona de recirculación en la parte interna (zona blanca correspondiente a velocidades Vx positivas).

• En el cálculo en orden 1 no aparece zona de recirculación aguas abajo del codo. La velocidad Vx es siempre negativa. Esto es porque el esquema de orden 1 es más difusivo y suaviza los gradientes de velocidad.

Primer Orden [Rápido]

2do Orden [Minmod]

Zona de recirculación

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Ejemplo de cálculo. Influencia del orden del esquema numérico

Malla fina

• En el modelo de primer orden ya aparece la zona de recirculación aguas abajo del codo (con la malla gruesa no aparecía). Esto se debe a que a medida que se refina la malla, el esquema numérico es menos difusivo. Tanto reducir el tamaño de malla como aumentar el orden del esquema numérico mejoran la precisión del esquema numérico.

Primer Orden [Rápido] 2do Orden [Minmod]

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Ejemplo de cálculo con Iber. Comparación de resultados

• Vemos, por lo tanto, que tanto el orden del esquema numérico como el tamaño de la malla de cálculo tienen un efecto importante en los resultados de velocidad, sobre todo cuando hay zonas de recirculación.

Primer orden Malla fina

Segundo orden Malla fina

Primer orden Malla gruesa

Segundo orden Malla gruesa

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Ejemplo de cálculo. Tiempo de cálculo

• Analizamos ahora la influencia del tamaño de malla y orden del esquema numérico en los tiempos de cálculo. Los tiempos de cálculo mostrados en la siguiente tabla pueden variar en función de la potencia del ordenador que se utilice para realizar el cálculo.

• En los tiempos reflejados en la tabla se observa claramente el aumento del coste computacional al incrementar el orden del esquema numérico y/o al refinar la malla.

Tiempo de cálculo

Malla gruesa 1er orden 0:00:02

2nd orden 0:00:03

Malla fina 1er orden 0:00:19

2nd orden 0:00:29

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• Analicemos ahora el incremento de tiempo al refinar la malla. La malla fina tiene 4 veces más elementos que la gruesa (Nfina = 4.Ngruesa), y el tamaño de estos es la mitad (∆xfina = ∆xgruesa / 2).

• Como Nfina = 4.Ngruesa, con la malla fina habrá que realizar 4 veces más de operaciones, por lo que debido a este factor el tiempo de cálculo se incrementará por un factor 4.

• Por otro lado, al ser el tamaño de malla más pequeño, el paso de tiempo de cálculo también será menor. Según la condición CFL vista anteriormente se cumplirá aproximadamente ∆tfina = ∆tgruesa / 2.

• Teniendo en cuenta los dos factores anteriores (paso de tiempo y número de elementos) el tiempo de cálculo se debería incrementar aproximadamente en un factor 8 al pasar de la malla gruesa a la fina. Esto es aproximadamente lo que se observa en la tabla de la diapositiva anterior.

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• Vemos también que al pasar de orden 1 a orden 2, el tiempo de cálculo se incrementa aproximadamente en un 50%. Este factor puede variar en función del problema, pero es un orden de magnitud aceptable para estimar el incremento/decremento de tiempo de cálculo que tendremos al variar el esquema numérico entre orden 1 y orden 2.

Tiempo de cálculo

Malla gruesa 1er orden 0:00:02

2nd orden 0:00:03

Malla fina 1er orden 0:00:19

2nd orden 0:00:29

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Ejemplo de cálculo. Condición CFL

• Analizaremos ahora el efecto que tiene en el cálculo el valor del CFL, utilizaremos la malla gruesa para realizar las pruebas.

• En los cálculos anteriores dejamos el valor de CFL por defecto (0.45).

• En los siguientes ejemplos vamos a comparar los resultados con diferentes valores y comentar la importancia de dicho parámetro.

• Si fijamos el valor CFL = 2 se produce un error en el cálculo, lo vemos desde Calcular Ver Información proceso…

• Esto se debe a que, como hemos comentado anteriormente, el valor del CFL debe ser inferior a 1 por motivos de estabilidad numérica.

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• Si fijamos el valor CFL = 1.5, el programa calcula y no da ningún error, pero al dibujar los resultados de velocidad observamos unas inestabilidades numéricas muy importantes. Claramente, estos resultados no son físicamente correctos, esto se debe a la inestabilidad del método numérico para valores de CFL superiores a 1.


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• Si fijamos el valor de CFL = 0.9 nuevamente se observan las inestabilidades numéricas que mencionamos anteriormente, pero de una magnitud mucho menor. Esto se debe a que la condición de CFL inferior a 1 es un máximo teórico, pero a veces es necesario valores inferiores de CFL para que el cálculo converja sin inestabilidades numéricas.


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• Si fijamos el valor de CFL = 0.3 el resultado es estable e idéntico al obtenido inicialmente con la condición CFL = 0.45, pero el tiempo de cálculo es mayor con CFL = 0.3.


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• Analizamos ahora el efecto del CFL en el tiempo de cálculo.

• Se observa claramente el aumento del coste computacional al disminuir el valor de CFL y/o refinar la malla.

Malla fina Tiempo

CFL 1.5 1er orden 0:00:17 2nd orden 0:00:29




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Ejemplo de cálculo. Fricción en las paredes

• Otro parámetro que tiene cierta influencia en los resultados en este ejemplo es la fricción en las paredes. Vamos a resolver el mismo caso con 3 valores de fricción en paredes:

Sin fricción

Con fricción y altura de rugosidad = 0.01 m

Con fricción y altura de rugosidad = 0.1 m

• Realizaremos el corte señalado en la figura, extrayendo una sección en cada caso

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Sección de corte



Ejemplo de cálculo. Fricción en las paredes

Altura de rugosidad = 0.1m

Sin Fricción

Altura de rugosidad = 0.01m

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Conclusiones del Tema 5

• En este tema se han presentado, brevemente, los esquemas numéricos implementados en Iber y se han explicado las principales opciones de cálculo existentes en Iber y su influencia en los resultados.

• Los esquemas numéricos utilizados en Iber permiten:

Resolver flujos sobre topografías complejas con cambios de régimen y frentes de inundación no estacionarios

Utilizar diversos tipos de mallas estructuradas y no-estructuradas con elementos de 3 y 4 lados en el mismo problema

Garantizar la conservación de masa de agua en el domino de cálculo

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Conclusiones del Tema 5

• En Iber existen diversas opciones de cálculo para modificar la discretización espacial y temporal de las ecuaciones que resuelve el programa. Algunas de las más importantes son:

CFL: influye directamente en la estabilidad, convergencia y tiempo de cálculo del modelo

Esquema numérico: influye en la precisión de los resultados. Puede tener repercusiones en el tiempo de cálculo y en la estabilidad del modelo

Fricción en paredes: define cómo se calcula la fricción que ejercen las paredes sobre el fluido

Método de secado y límite seco-mojado: define cómo se calcula el flujo de agua entre elementos secos y elementos con agua. Influye en la propagación de los frentes de inundación. Puede tener repercusiones en el tiempo de cálculo y en la estabilidad del modelo

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Bibliografía (material complementario)

Modelo Iber

• Bladé, E., Cea, L., Corestein, G., Escolano, E., Puertas, J., Vázquez-Cendón, M.E., Dolz, J., Coll, A. (2013). "Iber - Herramienta de simulación numérica del flujo en ríos". Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, 10.1016/j.rimni.2012.07.004

Aplicación del método de volúmenes finitos en hidráulica fluvial

• Bladé, E., Cea, L., “Modelación matemática en lecho fijo del flujo en ríos. Modelos 1D y 2D en régimen permanente y variable”. Jornadas Técnicas sobre Hidráulica Fluvial. Organiza: CEDEX, Ministerio de Fomento. Madrid. 3-7 Marzo 2008.

• Cea, L., Puertas, J., Vázquez-Cendón, M.E. (2007). “Depth averaged modelling of turbulent shallow water flow with wet-dry fronts”. Archives of Computational Methods in Engineering, State of the art reviews, Vol.14 (3) pp.303-341

• Cea, L., Vázquez-Cendón, M.E., Puertas, J. (2009). “El método de volúmenes finitos aplicado a problemas de ingeniería fluvial y costera”. La Gaceta de la RSME. Vol.12 (1) pp.71-93

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http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2012.07.004



Bibliografía (material complementario)

Esquemas numéricos en volúmenes finitos aplicados a las ecuaciones de aguas someras

• E.F. Toro, Shock-capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows, Wiley, Chichester, West Sussex, England, 2001.

• E.F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction, Springer-Verlag, New York, 2009.

• R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge Texts in Applied Mathematics, vol. 31, Cambridge University Press, 2002.

• A. Bermudez, A. Dervieux, J.A. Desideri, M.E. Vazquez-Cendon, Upwind schemes for the two-dimensional shallow water equations with variable depth using unstructured meshes, Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 155 (1998) 49–72.

• M.E. Vazquez-Cendon, Improved treatment of source terms in upwind schemes for the shallow water equations in channels with irregular geometry, J. Comput. Phys. 148 (1999) 497–526.

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