TEMA: -Geometria en el plano · 2020. 6. 20. · Completando el Cuadrado. Para completar el...

TEMA:

-Geometria en el plano

SEMANA:

1

OBJETIVO:

Entender los conceptos aprendidos. Saber distinguir los datos de ciertos problemas. Resolver

diferentes problemas aplicados a la vida real.

EXPLICACIÓN TEMA

Fórmulas de las figuras geométricas.

Geometría en el plano

1.- Cuadrado

Área de un cuadrado: A= l2 Perímetro de un cuadrado: P = 4l

2.- Rectángulo

Área de un Rectángulo: A = b h Perímetro de un Rectángulo: P = 2 (b+h)

3.- Triangulo

Área de un Triángulo: A = 2

.hb Perímetro de un Triángulo: P = a+b+c

4.- Rombo.

Área de un Rombo: A = 2

.dD Perímetro de un Rombo: P = 4l

5.- Trapecio.

Área de un Trapecio: A = 2

).( hbB + Perímetro de un Trapecio: P = suma de sus lados

6.- Hexágono regular.

Área de un polígono regular: A = 2

.aP Perímetro de un polígono regular: P = 6l

7.- Círculo o circunferencia.

Área de un círculo: A = π.r2 Longitud de la Circunferencia: P = 2. π . r

EJERCICIOS.

1) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 3 m de lado.

2) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 11,3 m de lado.

3). Halla el perímetro y el área de un rectángulo cuyos lados miden 4,5 m y 7,9 m respectivamente

4) Halla el perímetro y el área de un rectángulo cuyos lados miden 6,3 dm y 48 cm respectivamente.

5) Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm

6) Calcula el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm respectivamente.

7) Calcula el perímetro y el área de un rombo cuyo lado mide 10 cm y la diagonal mayor 16 cm.

8) Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5cm, base menor 1,5 cm y altura 2 cm.

9) Calcula el perímetro y el área de un pentágono de 8 metros de lado y 6 de apotema.

10) Calcula el perímetro y el área de un hexágono de 4 metros de lado y 3,46 m de apotema.

11) Calcula el área y la longitud de un círculo de 2 metros de radio.

12) Calcula el área y la longitud de un círculo de 6 metros de diámetro.

TEMA: Geometría en el plano

SEMANA:

2

OBJETIVO:



EXPLICACIÓN TEMA

Fórmulas de polígonos.

Geometría en el espacio

Definición de cubo: Un cubo o hexaedro es un pol iedro regular formado por 6 cuadrados iguales .

Volumen del cubo: V = a3

Poliedros regulares

Volumen del Tetraedro: V =12

2a 3

Volumen del octaedroV = 3

2a 3

Volumen del prisma: V = Ab.h

Volumen del ortoedro: V = a.b.c

Volumen de la pirámide: V = Ab.h/3

Volumen del ci l indro: V =π .r 2 .h

Volumen del cono V =π .r 2 .h /3

EJERCICIOS:

1.- Calcular el volumen de un cubo de 5 cm de arista. .

2.- Calcula el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.

3 . - Calcula el volumen un octaedro de 5 cm de arista.

4.- Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.

5 . -Un cilindro t iene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la

altura mide 125.66 cm. Calcular, el volumen.

TEMA:

- La circunferencia

SEMANA:

3

OBJETIVO:



EXPLICACIÓN TEMA

Definición: La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual

distancia del centro.

La circunferencia

Definición: La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual

distancia del centro.

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen Cuando el centro está en el origen (0,0), la ecuación de una circunferencia se simplifica a:

A ésta ecuación se le conoce como ecuación canónica y se da cuando el centro de la circunferencia

es el punto C(0,0), por lo que la expresión ordinaria queda reducida a:

https://sites.google.com/site/geometriaanalitica3o/unidad-3/la-circunferencia/ecuacion-de-la-circunferencia-con-centro-en-el-origen/xxxx.gif?attredirects=0

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el

punto 6,3 y cuyo centro se encuentra en C(0,0)

Actividad: De acuerdo a los datos dados, obtener la ecuación de la circunferencia y graficar:

• Encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen que pasa por el punto (5,3). grafique su respuesta

• Encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen cuya longitud de diámetro es 4m. grafique su respuesta

• Encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen que pasa por el punto (2,6). grafique su respuesta

• Encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen cuya longitud de radio es de 6m. grafique su respuesta

• Encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen cuya longitud de radio es de 8m. grafique su respuesta

https://sites.google.com/site/geometriaanalitica3o/unidad-3/la-circunferencia/ecuacion-de-la-circunferencia-con-centro-en-el-origen/centro.png?attredirects=0https://sites.google.com/site/geometriaanalitica3o/unidad-3/la-circunferencia/ecuacion-de-la-circunferencia-con-centro-en-el-origen/centro2.png?attredirects=0

TEMA:

- Factorización

SEMANA:

4

OBJETIVO:



EXPLICACIÓN TEMA

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión

propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta

última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de

un producto dado.

Factorización

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión

propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta

última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de

un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como

producto la primera expresión.

Factorización

Multiplicación

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que

tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos . En el proceso inverso,

tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos

Al factorizar el número 20, tendremos o .

Advierte que y no están factorizados por completo. Contienen factores que no son

números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas

factorizaciones está completa, notamos que en la primera factorización , de modo

que mientras que la segunda factorización , de modo que , en

cualquier caso la factorización completa para 20 es .

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por completo.

Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera no factorizamos 20

como .

Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas.

Factorización de un polinomio

Consiste en aplicar la propiedad distributiva:

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Ejemplos

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces

1. x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = −1

2. 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a

que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3. x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x = a y x = b.

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces

1. x2 − 4 = (x + 2) · (x − 2)

Las raíces son x = −2 y x = 2

2. x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) =

= (x + 2) · (x − 2) · (x2 + 4)

Las raíces son x = −2 y x = 2

ACTIVIDAD: FACTORIZAR LOS EJERCICIOS SIGUIENTES.

1. x2+7x+10

2. x2-5x+6

3. x2+3x-10

4. a2+7a+6

5. y2-4y+3

6. 12-8n+n2

7. a2-2a-35

8. m2 – 2m -168

9. x2-5x-36

10. x2-3x+2

TEMA:

- Trinomio cuadrado perfecto

SEMANA:

5

OBJETIVO:



EXPLICACIÓN TEMA

Hay veces que una ecuación cuadrática es imposible de factorizar. Para resolver ese tipo de ecuaciones

cuadráticas, son necesarias otras estrategias. Completar el cuadrado es una de ellas. Convierte un polinomio

en un trinomio cuadrado perfecto, el cual es más fácil de graficar y resolver.

Trinomio Cuadrado perfecto

Introducción

Hay veces que una ecuación cuadrática es imposible de factorizar. Para resolver ese tipo de ecuaciones

cuadráticas, son necesarias otras estrategias. Completar el cuadrado es una de ellas. Convierte un polinomio

en un trinomio cuadrado perfecto, el cual es más fácil de graficar y resolver.

Creando un Cuadrado

"Completar el Cuadrado" consiste exactamente en eso — tomar algo que probablemente no es un cuadrado y

convertirlo en uno. Podemos ilustrar esta idea usando el modelo de área de un binomio x2 + bx:

En este ejemplo, el área de todo el rectángulo está dada por x(x + b).

Ahora vamos a convertir este rectángulo en un cuadrado. Primero, dividimos el rectángulo rojo con área bx en

dos rectángulos iguales cada uno con área . Luego rotamos y cambiamos de posición uno de ellos. No

hemos cambiado el tamaño del área roja — sigue siendo bx.

Los rectángulos rojos ahora forman dos lados de un cuadrado, mostrado en blanco. El área de ese cuadrado es

la longitud de los rectángulos rojos elevada al cuadrado .

Aquí viene lo interesante — ¿puedes ver que cuando el cuadrado blando es sumado a las regiones azul y rojas,

el área total también es un cuadrado? En otras palabras, ¡hemos "completado el cuadrado"! Al sumar la

cantidad al binomio original, hemos creado un cuadrado, un cuadrado con lados :

Nota que el área de este cuadrado puede ser escrita de dos maneras, como , y como .

Completando el Cuadrado

Para completar el cuadrado en una expresión de la forma x2 + bx, sumar . Y la

expresión se vuelve .

Veamos un ejemplo usando números en lugar del modelo de área. Completaremos el cuadrado del binomio

. Para hacer eso, necesitamos encontrar un valor de c tal que sea un trinomio cuadrado

perfecto.

Ejemplo

Problema Encontrar c tal que es un trinomio

cuadrado perfecto.

Para completar el

cuadrado, sumar .

b = 8,

entonces

Simplificar

Solución c = 16

Nuestro trinomio cuadrado perfecto es . También lo podemos escribir como el cuadrado de un

binomio: .

Nota que es siempre positivo, ya que es el cuadrado de un número. Cuando completamos el cuadrado,

siempre estamos sumando un valor positivo.

Ejemplo: Resolver 2x2 + 12 x -16 = 0

Dividimos ambos lados de la ecuación entre el coeficiente de x2, que es 2. =bteniendo x2+6x -8 = 0

Reescribir la ecuación de forma que el lado izquierdo tenga la forma ; quedando de la forma x2+6x = 8

Sumar a ambos lados para completar el cuadrado; obteniendo

Escribir el lado izquierdo como un binomio al cuadrado

Sacar las raíces cuadradas de ambos lados, con ambas posibilidades positiva y negativa Resolver x. Esto nos da las coordenadas en x de las raíces, o las soluciones de la ecuación cuadrática

Solución: o -3 + 17

En los dos problemas que hemos resuelto, cada ecuación cuadrática tuvo dos soluciones, lo que significa que

la ecuación representa una parábola con dos raíces. Piensa por un momento sobre el caso de 1 raíz o solución.

En ese caso, la gráfica de la cuadrática tocará el eje x sólo en un lugar y la solución tendrá sólo un valor para

la coordenada x.

ACTIVIDAD: RESOLVER LAS ECUACIONES ENCONTRANDO SUS RAICES COMPLETANDO

EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO-

1.- 8x2-2x-3 = 0

2.- 105 = x +2x2

3.- 176x = 121+64x2

4.- 8x + 5 = 36x2

5.- 27x2+12x -7 = 0

6.- x2-3x+2=0

7.- x2-2x-15= 0

8.- x2 – (7x+6) = x +59

9.- x2 = 19x -88

10.- x2 + 4x = 285

TEMA:

- Funciones cuadráticas

SEMANA:

6

OBJETIVO:



EXPLICACIÓN TEMA

La fórmula cuadrática funcionará para cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la ecuación está en su

forma estándar, . Para usarla, sigue los siguientes pasos:

FUNCIONES CUADRATICAS POR EL METODO DE FORMULA GENERAL.

Resolviendo una Ecuación Cuadrática usando la Fórmula Cuadrática

La fórmula cuadrática funcionará para cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la ecuación está en su

forma estándar, . Para usarla, sigue los siguientes pasos

• Primero transforma la ecuación a la forma estándar

• Identifica los coeficientes, a, b, y c. Ten cuidado de incluir los signos negativos si los términos bx o c están siendo restados.

• Sustituye los valores de los coeficientes en la fórmula cuadrática

• Simplifica lo más posible.

• Usa el ± enfrente del radical para separar la solución en dos valores: uno en el que la raíz

cuadrada se suma, y el otro donde la raíz cuadrada se resta.

• Simplificar ambos valores para obtener las posibles soluciones.

Son bastantes pasos. Vamos a intentarlo:

Ejemplo

Problema Usar la fórmula cuadrática para resolver la

ecuación

a = 3, b = -11, c = -4

Nota que la resta de

signos significa que

los

coeficientes b y c son

negativos

Sustituir los valores en la fórmula

cuadrática

Simplificar, teniendo cuidado con los

signos

Simplificar más

Simplificar el

radical: .

o

Separar y simplificar para encontrar las

soluciones de la

ecuación cuadrática.

Nota que en una, 13

es sumado y en la

otra, 13 es restado

Solución

x = 4 o

La solución para la ecuación cuadrática nos da las coordenadas en x de las intersecciones en x, o

las raíces de una ecuación cuadrática. Las raíces de la ecuación cuadrática son los valores donde la

parábola cruza el eje x. Podemos comprobar esto observando la gráfica de la función y

ver que las raíces son (4, 0) y ( , 0).

ACTIVIDAD: RESOLVER LAS ECUACIONES ENCONTRANDO SUS RAICES APLICANDO LA

FORMULA GENERAL.

1.- 8x2-2x-3 = 0

2.- 105 = x +2x2

3.- 176x = 121+64x2

4.- 8x + 5 = 36x2

5.- 27x2+12x -7 = 0

6.- x2-3x+2=0

7.- x2-2x-15= 0

8.- x2 – (7x+6) = x +59

9.- x2 = 19x -88

10.- x2 + 4x = 285

TEMA:

- Funciones cuadráticas

SEMANA:

7

OBJETIVO:



EXPLICACIÓN TEMA

En la última sección aprendimos a graficar funciones cuadráticas. Observamos que al encontrar los intersectos en x− de una parábola es importante porque estos nos dicen dónde la gráfica intercepta el eje de las x− y esto nos permite encontrar el vértice de la parábola. Cuando se nos pide encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática en la formaax2+bx+c=0, básicamente se nos pide encontrar los intersectos en x− de la función cuadrática.

FUNCIONES CUADRATICAS POR EL METODO GRAFICO

Objetivos de aprendizaje

• Identificar el número de soluciones de ecuaciones cuadráticas.

• Resolver ecuaciones cuadráticas por el método gráfico.

• Encontrar o aproximar los ceros de funciones cuadráticas.

.

Introducción

En la última sección aprendimos a graficar funciones cuadráticas. Observamos que al encontrar los intersectos

en x− de una parábola es importante porque estos nos dicen dónde la gráfica intercepta el eje de las x− y esto

nos permite encontrar el vértice de la parábola. Cuando se nos pide encontrar las soluciones de la ecuación

cuadrática en la formaax2+bx+c=0, básicamente se nos pide encontrar los intersectos en x− de la función

cuadrática.

Encontrar los intersectos en x− de una parábola también significa encontrar las raíces o ceros de la función.

Identificación del número de soluciones para ecuaciones cuadráticas

La gráfica de una ecuación cuadrática es muy útil para identificar cuántas soluciones y qué tipos de soluciones

tiene una función. Hay tres diferentes situaciones que ocurren cuando se grafica una función cuadrática.

Caso 1 La parábola intercepta el eje de las x− en dos puntos.

Un ejemplo de este caso es y=x2+x−6.

Podemos encontrar las soluciones a la ecuación x2+x−6=0 haciendo y=0. Resolvemos la ecuación

factorando: (x+3)(x−2)=0, así x=−3 o x=2.

Otra forma de encontrar las soluciones es graficar la función y obtener los intersectos en x−a partir de la

misma. Vemos que la parábola intercepta el eje de las x− en x=−3 y x=2.

Cuando la gráfica de una función cuadrática intercepta el eje x en dos puntos, obtenemos dos soluciones

distintas para la ecuación cuadrática.

Caso 2 La parábola toca el eje x− en un punto.

Un ejemplo de este caso es y=x2−2x+1.

Podemos resolver esta ecuación factorando. Si hacemos y=0 y factoramos, obtenemos:(x−1)2, así que x=1.

Ya que la función cuadrática es un cuadrado perfecto, obtuvimos una única solución para la ecuación.

Aquí podemos observar cómo luce la gráfica de esta función. Vemos que la gráfica toca el eje x− en el

punto x=1.

Cuando la gráfica de una función cuadrática toca el eje x− en un punto, la ecuación cuadrática tiene una

solución y es llamada una doble raíz.

Caso 3: La parábola no intersecta o no toca el eje x−.

Un ejemplo de este caso es y=x2+4. Si hacemos y=0, obtenemos x2+4=0. Este polinomio cuadrático no se

puede factorar y la ecuación x2=−4 no tiene soluciones reales. Cuando observamos la gráfica de esta función,

vemos que la parábola no intercepta o no toca el eje x−.

Cuando la gráfica de una función cuadrática no intercepta o no toca el eje x−axis, la ecuación cuadrática no

tiene soluciones reales.

Ejemplos

Encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas graficando.

a) −x2+3=0

b) 2x2+5x−7=0

c) −x2+x−3=0

Solución

Grafiquemos cada ecuación. Desafortunadamente, ninguna de estas funciones puede ser reescrita en la forma

intersecto porque no podemos factorar el lado izquierdo. Esto significa que no podemos encontrar los

intersectos con el eje x− y el vértice antes de graficar, ya que no has aprendido otros métodos diferentes que

los de factorización.

a) Para encontrar la solución a −x2+3=0, necesitamos encontrar los intersectos con el eje x− de y=−x2+3.

Construyamos una tabla de valores para poder graficar la función.

X y=−x2+3

−3 y=−(−3)2+3=−6

-2 y=−(−2)2+3=−1

-1 y=−(−1)2+3=2

0 y=−(0)2+3=3

1 y=−(−1)2+3=2

2 y=−(2)2+3=−1

3 y=−(3)2+3=−6

Graficamos los puntos y obtenemos la siguiente gráfica:

De la gráfica podemos ver que los intersectos con el eje x− son aproximadamente x=1.7 y x=−1.7.

Estas son las soluciones para la ecuación −x2+3=0.

b) Para resolver la ecuación 2x2+5x−7=0, necesitamos encontrar los intersecto con el eje x− de y=2x2+5−7.


X y=2x2+5x−7

−3 y=2(−3)2+5(−3)−7=−4

-2 y=2(−2)2+5(−2)−7=−9

-1 y=2(−1)2+5(−1)−7=−10

0 y=2(0)2+5(0)−7=−7

1 y=2(1)2+5(1)−7=0

2 y=2(2)2+5(2)−7=11

3 y=2(3)2+5(3)−7=26

Graficamos los puntos y obtenemos la siguiente gráfica:

Ya que solo podemos observar un intersecto con el eje x− en esta gráfica, necesitamos usar puntos más

pequeños que x=−3 y reconstruir la gráfica.

x y=2x2+5x−7

−5 y=2(−5)2+5(−5)−7=18

x y=2x2+5x−7

-4 y=2(−4)2+5(−4)−7=5

Aquí se muestra la gráfica otra vez con ambos intersectos con el eje x−:

En la gráfica podemos observar que los intersectos con el eje x− son x=1 y x=−3.5.

Estas son las soluciones para la ecuación 2x2+5x−7=0.

c) Para resolver la ecuación −x2+x−3=0, necesitamos encontrar los intersectos con el eje x− de y=−x2+x−3.


X y=−x2+x−3.

−3 y=−(−3)2+(−3)−3=−15

-2 y=−(−2)2+(−2)−3=−9

-1 y=−(−1)2+(−1)−3=−5

0 y=−(0)2+(0)−3=−3

1 y=−(1)2+(1)−3=−3

2 y=−(−2)2+(2)−3=−5

3 y=−(3)2+(3)−3=−9

Graficando los puntos obtenemos la siguiente gráfica:

Esta gráfica no tiene intersectos con el eje x−, por lo que la ecuación −x2+x−3=0 no tiene soluciones reales.

ACTIVIDAD: RESOLVER LAS ECUACIONES ENCONTRANDO SUS RAICES APLICANDO EL

METODO GRAFICO.

1.- 8x2-2x-3 = 0

2.- 105 = x +2x2

3.- 176x = 121+64x2

4.- 8x + 5 = 36x2

5.- 27x2+12x -7 = 0

6.- x2-3x+2=0

7.- x2-2x-15= 0

8.- x2 – (7x+6) = x +59

9.- x2 = 19x -88

10.- x2 + 4x = 285

TEMA:

- Graficar Funciones Cuadráticas

SEMANA:

8

OBJETIVO:



EXPLICACIÓN TEMA

Realizar diferentes graficas variando los coeficientes de la ecuación cuadrática.

GRAFICA DE FUNCIONES CUADRATICAS VARIANDO:

a).- Haciendo variar el coeficiente del término cuadrático.

Para poder observar el comportamiento a los cambios numéricos en cada caso tomaremos una ecuación como

referencia, y a partir de ahí variamos hacia un valor mayor o hacia un valor menor. Por ejemplo variemos el

coeficiente del término cuadrático de la ecuación siguiente en una unidad:

1) 2x2 - 9x + 10 = 0 Ecuación de referencia

2) x2 - 9x + 10 = 0 Ecuación disminuida en una unidad

3) 3x2 - 9x + 10 = 0 Ecuación aumentada en una unidad

1) 2x2 - 9x + 10 = 0 2) x2 - 9x + 10 = 0 3) 3x2 - 9x + 10 = 0

ECUACION 1 ECUACION 2 ECUACION 3

x y x Y x y

-3 55 -3 46 -3 64

-2 36 -2 32 -2 40

-1 21 -1 20 -1 22

0 10 0 10 0 10

1 3 1 2 1 4

2 0 2 -4 2 4

3 1 3 -8 3 10

4 6 4 -10 4 22

5 15 5 -10 5 40

6 28 6 -8 6 64

7 45 7 -4 7 94

8 66 8 2 8 130

9 91 9 10 9 172

Y las gráficas comparativas de cada una son las siguientes.

Podemos analizar que la gráfica correspondiente a la ecuación 1 es la gráfica de en medio, la gráfica

correspondiente a la ecuación 2 es la gráfica de abajo y la gráfica correspondiente a la tercera ecuación es la

gráfica de arriba. La conclusión que haríamos es que cuando aumenta el coeficiente la parábola cierra y

cuando el coeficiente disminuya la parábola abre, es decir se extiende o abre.

b).- Haciendo variar el coeficiente del término lineal.

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ecuacion 1

ecuacion 2

ecuacion 3

De la misma manera vamos a analizar que sucede cuando variamos el coeficiente del término lineal, para ello

vamos a tomar la ecuación de referencia que trabajamos en el inciso "a".


X y x y x y

-3 55 -3 58 -3 52

-2 36 -2 38 -2 34

-1 21 -1 22 -1 20

0 10 0 10 0 10

1 3 1 2 1 4

2 0 2 -2 2 2

3 1 3 -2 3 4

4 6 4 2 4 10

5 15 5 10 5 20

6 28 6 22 6 34

7 45 7 38 7 52

8 66 8 58 8 74

9 91 9 82 9 100

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ecuacion 1

ecuacion 2

ecuacion 3

La conclusión o comentario para este caso, cuando se varía el coeficiente del término lineal es que están las

parábolas más compactadas, es decir no sufren demasiado cambio.

c).- Haciendo variar el término independiente.

Tomaremos como referencia la misma ecuación de los casos "a" y "b".

1) 2x2 - 9x + 10 = 0 2) 2 x2 - 9x + 11= 0 3) 2x2 - 9x + 11 = 0


x Y x y x y

-3 55 -3 54 -3 56

-2 36 -2 35 -2 37

-1 21 -1 20 -1 22

0 10 0 9 0 11

1 3 1 2 1 4

2 0 2 -1 2 1

3 1 3 0 3 2

4 6 4 5 4 7

5 15 5 14 5 16

6 28 6 27 6 29

7 45 7 44 7 46

8 66 8 65 8 67

9 91 9 90 9 92

Observamos que no existe casi ninguna variación; para poder dar un comentario más certero vamos a variar el

término independiente en 2 (dos) unidades. Haciendo su tabulación y gráfica correspondiente.

ECUACION 1

ECUACION 2

ECUACION 3

x y x y x y

-3 55 -3 57 -3 53

-2 36 -2 38 -2 34

-1 21 -1 23 -1 19

0 10 0 12 0 8

1 3 1 5 1 1

2 0 2 2 2 -2

3 1 3 3 3 -1

4 6 4 8 4 4

5 15 5 17 5 13

6 28 6 30 6 26

7 45 7 47 7 43

8 66 8 68 8 64

9 91 9 93 9 89

Su gráfico es como el que se muestra:

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ecuacion 1

ecuacion 2

ecuacion 3

Ahora es un poco más clara su apreciación. Al momento que aumentamos el valor del término independiente

el vértice de la parábola se mueve en posición vertical hacia arriba y si lo disminuimos se mueve hacia abajo;

además también se empieza a ver una mayor abertura de la parábola.

Actividad: Tabular y graficar según la indicación en cada uno de los ejercicios.

Resolver los ejercicios 11 y 12 variando el coeficiente del término cuadrático.

Resolver los ejercicios 13 y 14 variando el coeficiente del término lineal.

Resolver los ejercicios 15 y 16 variando el término independiente.

Todos los ejercicios están en la página 449 del libro Algebra de Baldor; se sugiere graficar en hojas

milimétricas.

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ecuación 3

ecuación 2

ecuación 1

TEMA:

- Teorema de Pitágoras

SEMANA:

9

OBJETIVO:



EXPLICACIÓN TEMA

TEOREMA DE PITAGORAS

Hace años un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:

Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)…….. y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces…..¡el

cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

TRIANGULOS RECTANGULOS (APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITAGORAS)

TEOREMA DE PITAGORAS

Hace años un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:

Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)…….. y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces…..¡el

cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados

(llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):

a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería

funcionar.

Veamos si las áreas son la misma:

32 + 42 = 52

Calculando obtenemos:

9 + 16 = 25

¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a

encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar algebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2

52 + 122 = c2

25 + 144 = 169

a2 + b2 = c2

92 + b2 = 152

81 + b2 = 225

c2 = 169

c = √169

c = 13

Resta 81 a ambos lados

b2 = 144

b = √144

b = 12

Nota histórica: aunque se llama Teorema de Pitágoras, ¡también lo conocían los matemáticos

indios, griegos, chinos y babilonios antes de que él viviera!

ACTIVIDAD: RESOLVER POR TEOREMA DE PITÁGORAS LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS.

Resuelve los siguientes problemas:

1La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 29 cm y uno de sus catetos

mide 20 cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto?

2Tenemos dos triángulos. Un triángulo ABC cuyas medidas son 8, 15 y 17 y

otro DEF de medidas 7,23 y 25. Escribe sí o no para indicar si los triángulos

son o no rectángulos.

ABC

DEF

3Una escalera de 7.3 m de altura se apoya con el pie a 4.8 m de la pared

para arreglar un problema que hay en la azotea de una casa. ¿A qué altura

se encuentra la azotea?

4Las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo son 9 y 12 cm

respectivamente. ¿Cuál es la medida de la hipotenusa? Redondea a dos

ci fras decimales

h = cm.

Calcula las proyecciones m y n, de los catetos sobre la hipotenusa, usando

el teorema del cateto y el de la altura respectivamente.Redondea a dos

ci fras decimales caso de ser necesario.

n = cm.

m = cm.

5Para instalar una antena parabólica se uti l iza un poste sujeto por dos

cables como indica la figura.

¿Cuál es la altura del poste? m.

Indica la medida del cable que falta. m.

¿A qué distancia del poste habrá que colocar dicho cable? m.

TEMA:

- Funciones trigonométricas

SEMANA:

10

OBJETIVO:



EXPLICACIÓN TEMA

Razones o relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

La trigonometría, enfocada en sus inicios solo al estudio de los triángulos, se utilizó durante siglos en topografía, navegación y astronomía.

Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron , medida. Por lo tanto, trigonometría se puede definir como "medida de triángulos”.

RESOLVER TRIANGULOS RECTANGULOS APLICANDO FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Razones o relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

La trigonometría, enfocada en sus inicios solo al estudio de los triángulos, se utilizó durante siglos en topografía, navegación y astronomía.

Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron , medida. Por lo tanto, trigonometría se puede definir como "medida de triángulos”.

Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, veamos la figura a la derecha:

Los ángulos con vértice en A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto.

Este triángulo se caracteriza por que los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos.

Cada uno de los ángulos agudos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.

Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.

Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.

Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:

Si consideramos el ángulo α Si consideramos el ángulo γ

cateto adyacente

cateto opuesto

cateto adyacente

cateto opuesto

Por convención, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una línea; o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los ángulos.

Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos. También se llaman Funciones trigonométricas.

Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son recíprocas, como lo vemos en el siguiente cuadro:

Funciones (razones) trigonométricas

Fundamentales Recíprocas

sen Seno cosec (csc) cosecante

cos coseno Sec secante

tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente

Veamos un ejemplo, para un ángulo α:

Sea el ángulo BAC de medida α (siempre menor de 90º) en el triángulo rectángulo ABC .

Los lados BC y BA son los catetos y AC , la hipotenusa.

En este triángulo rectángulo, las razones trigonométricas con respecto a alfa (α) se definen como:

Seno

Seno, es la razón (división) entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa

Ver: PSU: Geometría;

Coseno

coseno , es la razón (división) entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa

Tangente

tangente , es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al mismo.

Estas tres (seno, coseno, tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un ángulo agudo y los lados del triángulo rectángulo del cual forman parte.

A cada razón fundamental corresponde una razón recíproca, llamadas así porque cada una es la inversa de otra fundamental.

Las tres siguientes son las razones recíprocas que se pueden establecer respecto al mismo ángulo:

Cosecante

cosecante , es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo, y como es la recíproca del seno de α se puede expresar como

Secante

secante , es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo, y como es la reciproca del coseno de α se puede expresar como

Cotangente

cotangente , es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto puesto al mismo, y como es la recíproca de la tangente de α se puede expresar como

Ejemplo:

Dado el triángulo ABC rectángulo en B (figura a la derecha).

Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm .

Aplicamos el Teorema de Pitágoras y calculamos la hipotenusa, que es:

8 2 + 6 2 = 10 2 ; o sea, es igual a 10 cm

Entonces podemos calcular las razones trigonométricas:

http://www.profesorenlinea.com.mx/geometria/PitagorasTeorema.htm

ACTIVIDAD: RESOLVER POR FUNCIONES TRIGONOMETRICAS LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS.

1La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 29 cm y uno de sus catetos

mide 20 cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto?

2Tenemos dos triángulos. Un triángulo ABC cuyas medidas son 8, 15 y 17 y

otro DEF de medidas 7,23 y 25. Escribe sí o no para indicar si los triángulos

son o no rectángulos.

ABC

DEF

3Una escalera de 7.3 m de altura se apoya con el pie a 4.8 m de la pared

para arreglar un problema que hay en la azotea de una casa. ¿A qué altura

se encuentra la azotea?

4Las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo son 9 y 12 cm

respectivamente. ¿Cuál es la medida de la hipotenusa? Redondea a dos

ci fras decimales

h = cm.

Calcula las proyecciones m y n, de los catetos sobre la hipotenusa, usando

el teorema del cateto y el de la altura respectivamente. Redondea a dos

ci fras decimales caso de ser necesario.

n = cm.

m = cm.

5Para instalar una antena parabólica se uti l iza un poste sujeto por dos

cables como indica la figura.

¿Cuál es la altura del poste? m.

Indica la medida del cable que falta. m.

¿A qué distancia del poste habrá que colocar dicho cable? m.

TEMA:

- Ley de senos y cosenos

SEMANA:

11,12

OBJETIVO:



EXPLICACIÓN TEMA

Teorema o ley del seno: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

RESOLVER TRIANGULOS OBLICUANGULOS APLICANDO LEY DE SENOS Y COSENOS.

Teorema o ley del seno: Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los

ángulos opuestos.

Ejercicios: De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°.

Determina los restantes elementos.

Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B =

72° y a=20m.

Teorema o ley del coseno: En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la

suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos

por el coseno del ángulo que forman .

Ejemplos

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que

forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes

a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

ACTIVIDAD: ENCONTRAR LOS VALORES QUE FALTAN SEGÚN LOS DATOS SIGUIENTES;

APLICANDO LA LEY DE SENOS O COSENOS SEGÚN SEA NECESARIO.

1)

a= 41 A= ¿?

b= 19.5 B= ¿?

c= 32.48 C= ¿?

2)

a=25 A = ¿?

b= 31.51 B= ¿?

c= 29.25 C=??

3)

a=1048 A= ¿?

b= 1136.82 B= ¿?

c= 767.58 C= ¿?

4)

a=32.56 A= ¿?

b= 40 B = ¿?

c= 16.79 C = ¿?

5)

a= 32.45 c =??

b = 27.21 A=??

C= 66°56´ B= ¿?

6)

b = 61.52 a =??

c= 83.44 B= ¿?

A= 29°14´ C= ¿?

7)

c= 54.75 b= ¿?

a= 318 A= ¿?

B= 41°27´ C = ¿?

8)

b= 40 a= ¿?

c = 24.8 B= ¿?

A = 98°9´ C= ¿?

9)

a=41 b= ¿?

B= 27°50´ c= ¿?

C= 51° A= ¿?

10)

a= 78.6 b=??

A= 83°26´ c= ¿?

B = 39°13´ C = ¿?

11)

c= 15 b= ¿?

C = 112°37´ a= ¿?

A = 53°8´ B= ¿?

12)

c= 24.8 a= ¿?

B= 52°21´ b= ¿?

C= 29°30´ A= ¿?

TEMA:

- Función exponencial

SEMANA:

13

OBJETIVO:



EXPLICACIÓN DEL TEMA

Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx ,

donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

Función Exponencial

Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son

iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es

una función cuadrática. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una

variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son

números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números

reales positivos.

1) f(x) = 2x

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:

1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3) El eje de x es la asíntota horizontal.

4) Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.

5) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.

6) La función f es una función uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno

y x, y reales:

1) Leyes de los exponentes:

2) ax = ay si y sólo si x = y

3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.

Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1) 2x = 8

2) 10x = 100

3) 4 x - 3 = 8

4) 5 2 - x = 125

Ejercicio de práctica: Halla el valor de x:

1) 2x = 64

2) 27 x + 1 = 9

La función exponencial de base e

Al igual que , e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por

Leonhard Euler (1727).

Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función exponencial de base e.

Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.

La gráfica de f(x) = ex es:

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2

La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x es:

ACTIVIDAD: RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES EXPONENCIALES

TEMA:

- Función Logarítmica

SEMANA:

14

OBJETIVO:



TEMA: FUNCION LOGARITMICA

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Log2x

Ejemplos

x log2x

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

Propiedades de las funciones logarítmicas

Dominio: Recorrido: Es continua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a

Definición de logaritmo

Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.

Ejemplos

1.

2.

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo:

No existe el logaritmo de cero:

El logaritmo de 1 es cero:

El logaritmo en base a de a es uno:

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente:

Propiedades de los logaritmos

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5. Cambio de base:

Logaritmos decimales

Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).

Logaritmos neperianos

Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

ACTIVIDAD: RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES LOGARITMICAS.

TEMA: -Geometria en el plano · 2020. 6. 20. · Completando el Cuadrado. Para completar el...

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