Cuadrado mágico.pdf

7/25/2019 Cuadrado mgico.pdf

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Cuadrado mgico

Un cuadrado mgico es una tabla de grado primariodonde se dispone de una serie denmeros enterosen uncuadrado omatrizde forma tal que la suma de los n-meros por columnas, filas y diagonales principales sea lamisma, la constante mgica. Usualmente los nmerosempleados para rellenar las casillas son consecutivos, de1 an, siendonel nmero de columnas y filas del cuadra-do mgico.

Los cuadrados mgicos actualmente no tienen ningunaaplicacin tcnica conocida que se beneficien de estas ca-

ractersticas, por lo que sigue recluido al divertimento,curiosidad y al pensamiento matemtico. Aparte de esto,en las llamadas ciencias ocultas y ms concretamente enlamagiatienen un lugar destacado.

1 Introduccin

Consideremos la sucesin matemtica 1,2,3,4...36(cua-drado de orden 6), y dispongamos los nmeros ordenada-mente en dos series dispuestas en zig-zag:

Resulta evidente que cualquier par de nmeros alineadosverticalmente suma lo mismo ya que a medida que nosdesplazamos por las columnas, en la fila superior se aadeuna unidad, mientras que en la fila inferior se resta. Lasuma es en todos los casos la de los nmeros extremos:

n2 + 1 = 36 + 1 = 37

Si disponemos el conjunto de nmeros en seis filas (vertabla a la derecha), fcilmente se puede apreciar que lassumas en las distintas columnas han de ser necesariamen-te iguales, ya que los nmeros se encuentran agrupados

por pares tal y como estaban en el primer caso (compre-se los pares de filas 16, 25 y 34 con la disposi-cin original). Ahora sin embargo, por ser tres los paresde filas (n/2), la suma ser:

M2(n) = n(n2 + 1)

2

cantidad que se denominaconstante mgica, y que ennuestro caso esn(n + 1)/2 = 6(36 + 1)/2 = 111.

Salta a la vista que el cuadro anterior no es un cuadra-do mgico, ya que al disponerse los nmeros de forma

consecutiva, las sumas de las cifras de cada fila son ca-da vez mayores. Sin embargo hemos encontrado seis se-ries de nmeros comprendidos entre 1 y 36, de forma tal

que, sin repetirse ninguno, las sumas de las series son laconstante mgica. Si en vez de la disposicin anterior co-locamos los nmeros consecutivamente, obtenemos unadisposicin en la que los nmeros de la diagonal principalse pueden escribir de la forma (a1)n +a.

Calculando la suma, sabiendo que las filasavan de 1 an:

n

a=1(a 1)n+ a = (n+ 1)

n

a=1a

n

a=1n =

(n+ 1) n(1+n)2

n2 = n3+2n2+n2n2

2 = n(n

2+1)2

De nuevo la constante mgica. Ms an, cualquier serie

de seis valores en los que no haya dos de la misma fila ocolumna sumar la constante mgica. Escribiendo el tr-mino i, jde la matriz como (i1)n+ j, y tomando 6trminos cualesquiera con la condicin de que nii, nijserepitan y varen de 1 hastan, la ecuacin resultante serexactamente la misma que en el caso anterior y la suma,por tanto, la constante mgica.

Como se puede demostrar, la cantidad de series posiblesden nmeros que cumplan la condicin anterior es n!,720 en cuadrados de orden 6, y ni siquiera son todas lasposibles, ya que antes habamos obtenido seis que no es-tn incluidas entre ellas.

De orden 3 existe un nico cuadrado mgico (las distintasvariaciones se pueden obtener por rotacin o reflexin),en1693 Bernard Frenicle de Bessyestableci que hay880 clases de cuadrados mgicos de orden 4.[1][2] Poste-riormente se ha encontrado que existen 275.305.224 cua-drados mgicos de orden 5; el nmero de cuadrados demayor orden se desconoce an pero segn estimacionesdeKlaus PinnyC. Wieczerkowskirealizadas en1998mediante los mtodos deMontecarloy demecnica es-tadsticaexisten (1,7745 0,0016) 1019 cuadrados deorden 6 y (3,7982 0,0004) 1034 cuadrados de orden7.

Por lo que respecta a rdenes inferiores, es evidente quede orden uno existe un nico cuadrado mgico, 1 , mien-tras que de orden 2 no existe ninguno, lo que se puededemostrar considerando el cuadrado mgicoa,b,c,ddela figura; para que tal disposicin fuera un cuadrado m-gico deberan cumplirse las siguientes ecuaciones (siendoMla constante mgica o cualquier cantidad, si se quiere):

escribiendo elsistema de ecuacionesen forma matricial ybuscando el orden de la matriz de coeficientes, se obtieneque es tres, mientras que el nmero de incgnitas es cua-tro, de modo que el sistema solo tiene la solucin triviala

= b = c= d= M/2 siendo imposible construir un cuadradomgico en el que las cuatros cifras sean distintas.

1
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_estad%C3%ADsticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_estad%C3%ADsticahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Montecarlohttps://es.wikipedia.org/wiki/1998https://es.wikipedia.org/wiki/C._Wieczerkowskihttps://es.wikipedia.org/wiki/Klaus_Pinnhttps://es.wikipedia.org/wiki/Frenicle_de_Bessyhttps://es.wikipedia.org/wiki/1693https://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Magiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_enterohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_(matem%C3%A1ticas)


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2 2 HISTORIA

Resumiendo: la cantidad de diferentes nn cuadradosmgicos paranentre 1 y 5, sin contar rotaciones y re-flexiones, son:

1, 0, 1, 880, 275305224 (sucesin A006052 enOEIS).

Para s = 6 se ha estimado que hay aproximadamente1.77451019.

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII,

edicin de la Dinasta Ming, 1457-1463.Biblioteca del Congreso de los EE.UU.

2 Historia

Muchos de los aspectos histricos de los cuadrados mgi-cos no se conservan. Y al ser comprobables, estos aspec-tos resultan innecesarios. El cuadroMelancola I 1514deAlberto Durero, sigue existiendo, lo mismo que el edifi-cio dela Sagrada Familia.

En la antiguaChinaya se conocan los cuadrados mgi-cos desde elIII milenio a. C., como dice el Lo Shu.[2]

Segn la leyenda, un cierto da se produjo el desborda-

miento de un ro; la gente, temerosa, intent hacer unaofrenda al dios del ro Lo (uno de los desbordados) paracalmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacan, apa-reca una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla,hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcasdel caparazn de la tortuga, de este modo pudieron incluiren su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el diossatisfecho y volviendo las aguas a su cauce.

Igualmente conocieron combinaciones de esta clase losindios,egipcios,rabesygriegos. A tales cuadrados, lasdiferentes culturas les han atribuido propiedades astrol-gicas y adivinatorias portentosas grabndose con frecuen-

cia en talismanes. As, como recogeCornelius AgrippaenDe oculta philosophia libri tres(1533), el cuadrado deorden 3 (15) estaba consagrado aSaturno, el de 4 (34)

aJpiter, el de 5 (65) aMarte, el del 6 (111) alSol, eldel 7 (175) aVenus, el del 8 (260) aMercurioy el de 9(369) ala Luna; idntica atribucin puede encontrarse enla astrologa hind.

La introduccin de los cuadrados mgicos en occiden-

te se atribuye aEmanuel Moschopoulosen torno alsigloXIV, autor de un manuscrito en el que por vez primerase explican algunos mtodos para construirlos. Con pos-terioridad, el estudio de sus propiedades, ya con carctercientfico, atrajo la atencin de grandesmatemticosquededicaron al asunto obras diversas a pesar de la mani-fiesta inutilidad prctica de los cuadrados mgicos. Entreellos cabe citar aStifel,Fermat,Pascal,Leibnitz, Frni-cle,Bachet,La Hire,Saurin,Euler,... dirase que ningnmatemtico ilustre ha podido escapar a su hechizo.

Melancola I, grabado de Alberto Durero; el cuadrado mgicoaparece en la esquina superior derecha.

2.1 El cuadrado mgico de Durero

El cuadrado m-gico de AlbertoDurero, talla-do en su obraMelancola Iestconsiderado elprimero de lasartes europeas.En el cuadradode orden cuatro

se obtiene laconstante m-gica (34) en
https://es.wikipedia.org/wiki/Melancol%C3%ADa_Ihttps://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Melancol%C3%ADa_Ihttps://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Saurinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Philippe_de_la_Hirehttps://es.wikipedia.org/wiki/Claude_Gaspard_Bachet_de_M%C3%A9ziriachttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/Michael_Stifelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIVhttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIVhttps://es.wikipedia.org/wiki/Emanuel_Moschopouloshttps://es.wikipedia.org/wiki/Lunahttps://es.wikipedia.org/wiki/Mercurio_(planeta)https://es.wikipedia.org/wiki/Venus_(planeta)https://es.wikipedia.org/wiki/Solhttps://es.wikipedia.org/wiki/Marte_(planeta)https://es.wikipedia.org/wiki/J%C3%BApiter_(planeta)https://es.wikipedia.org/wiki/Saturno_(planeta)https://es.wikipedia.org/wiki/1533https://es.wikipedia.org/wiki/Enrique_Cornelio_Agripa_de_Nettesheimhttps://es.wikipedia.org/wiki/Talism%C3%A1nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Greciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Arabiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Egiptohttps://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttps://es.wikipedia.org/wiki/III_milenio_a._C.https://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttps://es.wikipedia.org/wiki/Templo_Expiatorio_de_la_Sagrada_Familiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durerohttps://es.wikipedia.org/wiki/OEIShttps://oeis.org/A006052


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3

filas, columnas,diagonales prin-cipales, y en lascuatro submatri-ces de orden 2en las que puede

dividirse el cua-drado, sumandolos nmeros delas esquinas, loscuatro nmeroscentrales, losdos nmeroscentrales de lasfilas (o colum-nas) primera yltima, etc. ysiendo las dos

cifras centralesde la ltima fila1514 el ao deejecucin de laobra.

Algunas disposiciones particulares en el cuadrado mgicode Durero que suman la constante mgica.

Fachada de la Sagrada Familia

2.2 El cuadrado mgico de la Sagrada Fa-milia

La Fachada de la Pasin del Templo Expiatorio de laSagrada Familiaen Barcelona, diseada por el escultorJosep Mara Subirachs, muestra un cuadrado mgico deorden 4.

La constante mgica del cuadrado es 33, la edad deJesucristoen laPasin. Tambin se ha atribuido la elec-cin de este nmero como una velada alusin a la supues-

ta adscripcinmasnica, que nunca ha sido demostrada,deAntonio Gaud, ya que 33 son los grados tradiciona-les de la masonera. Estructuralmente, es muy similar al

cuadrado mgico deMelancola, pero dos de los nme-ros del cuadrado (el 12 y el 16) estn disminuidos en dosunidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones. Estopermite rebajar la constante mgica en 1.

3 Construccin de cuadrados m-gicos

Hay numerosas formas de construir cuadrados mgicos,pero las ms sencillas consisten en seguir ciertas configu-raciones o frmulas que generan patrones regulares. Ade-ms pueden imponerse condiciones adicionales al cua-drado, obtenindose cuadrados bi-mgicos, tri-mgicos,etc. Anlogamente pueden construirse crculos, polgo-nos y cubos mgicos.

No existe un mtodo general para construir cuadrados

mgicos de cualquier orden, siendo necesario distinguirentre los de orden impar, los de orden mltiplo de 4 y elresto de orden par (4m+ 2).

3.1 Cuadrados mgicos de orden impar (I)

Estos cuadrados pueden generarse segn el mtodo pu-blicado en1691por Simn de la Loubere, llamado aveces mtodo siams, pas en el que desempe el car-go de embajador deLuis XIV, mtodo ya conocido porlos astrlogos orientales. Comenzando en la casilla cen-tral de la primera fila con el primer nmero, se rellenala diagonal quebrada con los siguientes en sentido NO (NE). Completada la primera diagonal se desciende unaposicin y se rellena la segunda en el mismo sentido quela anterior, repitindose el paso anterior con el resto dediagonales hasta completar el cuadrado.

Obviamente, se podra haber comenzado en cualquierade las casillas centrales de las filas o columnas perime-trales, siendo en cada caso la direccin de las diagonaleshacia fuera del cuadrado y el sentido del desplazamiento

una vez finalizada cada diagonal el dado por la posicinrelativa del centro del cuadrado respecto de la casilla ini-cial.
https://es.wikipedia.org/wiki/Luis_XIV_de_Franciahttps://es.wikipedia.org/wiki/1691https://es.wikipedia.org/wiki/Antonio_Gaud%C3%ADhttps://es.wikipedia.org/wiki/Masoner%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Viacrucishttps://es.wikipedia.org/wiki/Jes%C3%BAs_de_Nazaret#Cronolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Josep_Mar%C3%ADa_Subirachshttps://es.wikipedia.org/wiki/Barcelonahttps://es.wikipedia.org/wiki/Templo_Expiatorio_de_la_Sagrada_Familiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Templo_Expiatorio_de_la_Sagrada_Familiahttps://es.wikipedia.org/wiki/1514


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4 3 CONSTRUCCIN DE CUADRADOS MGICOS

Resulta evidente que comenzando por cualquier otra ca-silla las sumas de las filas y columnas ser la constantemgica, ya que la posicin relativa de las cifras ser lamisma que en el caso anterior; sin embargo, en la dia-gonal paralela a la direccin de rellenado no se cumpliresta condicin (s en la otra). De hecho, la particular elec-

cin de la casilla inicial responde a la necesidad de que enla diagonal paralela a la direccin de llenado se coloquenconsecutivamente los cinco nmeros centrales de la serieya que cualesquiera otros cinco nmeros consecutivos nosumarn la constante mgica.

3.1.1 Algoritmo simple en python.

def magico_impar (n): # Mtodo Siams -- 1691 Simnde la Loubere i = 0 j = n/3 contador = 1 arreglo = [0]*nfor y in range(n): arreglo[y] = [0]*n arreglo[i][j] = 1 x

= (n*n) while(contador < x): if((i-1)>=0): if((j+1)


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- Los cuadrados de las filas restantes se etiquetan con laletra X.

Estas letras ms adelante nos indicarn cmo rellenar ca-da subcuadrado de 2x2.

2 paso:

Se intercambia el cuadrado U central con el cuadrado Linmediatamente superior.

3 paso:

Etiquetaremos cada subcuadrado de 2x2 con un nmerosiguiendo el mtodo de la Loubere. De esta forma indi-caremos el orden en el que se va a rellenar cada subcua-drado.

4 paso:

Ahora, al subcuadrado i-simo le corresponden los nme-ros 4i - 3, 4i - 2, 4i - 1 y 4i. Por ejemplo, al subcuadrado

10 le corresponden los nmeros 37, 38, 39, y 40.Solo nos falta saber cmo se colocan los cuatro nmerosdentro de su subcuadrado correspondiente, y ah entra enjuego el etiquetado LUX.

Subcuadrado tipo L

Subcuadrado tipo U

Subcuadrado tipo X

Como puede verse, las letras recuerdan a la forma quehacen los nmeros al colocarse en cada cuadrado.

Con todos estos elementos ya puede construirse el cua-drado:

4 Variantes

Existen multitud de variantes de los cuadrados mgicossimples que acabamos de describir, as como mtodos al-ternativos de construccin de los mismos que pueden en-

contrarse en las pginas abajo indicadas, de modo queaqu nos limitaremos a hacer una breve descripcin dealgunas de la variantes existentes.

Hay, por ejemplo, cuadrados mgicos que continan sien-do mgicos cuando se les quita una banda exterior; inclu-so los hay que continan siendo mgicos si se les quitauna banda y luego una segunda banda.

El cuadrado completo de la figura, de orden 7, tiene porconstante mgica 175 (los cuarenta y nueve primerosnmeros); el cuadrado interior de orden 5 que comprendelos nmeros centrales de la serie anterior (13 a 37),tambin es mgico y tiene por constante mgica 125, al

igual que el cuadrado de orden tres central (nmeros 21a 29) que tiene una constante mgica de 75.

Algunos cuadrados conservan la suma mgica a lo largode todas las diagonales quebradas, adems de filas, co-lumnas y diagonales principales, como el de la derecha.Estas disposiciones se suelen denominarcuadrados dia-blicos, aunque tambin se llama a veces as al cuadra-do de Durero que no cumple esta condicin. Este ltimo

tambin se ha llamado a vecescuadrado satnicopor-que existen muchas combinaciones, ciertamente peculia-res, de nmeros simtricamente distribuidos a lo largo dela matriz con los que se consigue la suma mgica, comoya mostramos con anterioridad cuando hablamos de l.Al respecto cabe recordar que el nmero de combinacio-nes dencifras, tomadas de la serie aritmtica 1 ann, esincluso superior al de cuadrados que se pueden construircon dichas cifras, por lo que encontrar disposiciones apa-rentemente peculiares tales que se obtenga la suma m-gica es ms comn de lo que se cree. Si nos fijamos porejemplo en el cuadrado diablico de la figura, veremos

que tales disposiciones tambin suman 34 (las cuatro es-quinas y las cuatro centrales, las cuatro submatrices deorden cuatro, etc., y, adems, las diagonales quebradas.Aunque en l no aparece la fecha de creacin deMelan-cola Icomo suceda en el cuadrado mgico de Durero,en el que existen ms de 34 combinaciones).

Si entendemos los cuadrados mgicos como matrices,con sus operaciones usuales desumayproducto, el cua-drado mgico de orden 3 tiene la interesante propiedadde que sumatriz inversavuelve a ser un cuadrado mgi-co que tiene valores fraccionarios positivos y negativos ycuya constante mgica es 1/15.

Este es el cuadrado mgico de orden 3 habitual......y este es su cuadrado mgico inverso.

Loscuadrados p-mgicosson aquellos tales que eleva-das todas las cifras del cuadrado a lakpotencia, siendo1kp, siguen siendo mgicos:

El cuadrado bi-mgico menor conocido es el de or-den 8 mostrado ms adelante y que tiene por cons-tantes mgicas 260 (k=1) y 11180 (k=2). Se con-jetura que no existen cuadrados bi-mgicos de or-den inferior, aunque no existe prueba concluyente

de ello. En1998,J. R. Hendricksdemostr que esimposible construir cuadrados bi-mgicos de orden3, salvo el que contiene 9 cifras iguales, que de m-gico tiene ms bien poco.

Se han construido cuadrados tri-mgicos de rdenes12, 32, 64, 81 y 128; el nico de orden 12 fue cons-truido por el matemtico alemnWalter Trumpenjunio de2002.

El primer cuadrado tetra-mgico, de orden 64, loobtuvoAndrs Gonzlez, en junio de1998, usando

nmeros del 1 al 4096 sin repetir ninguno de ellos.Puede segregarse en 64 tableros de ajedrez y siem-pre sumara igual, indistintamende de la posicin en
https://es.wikipedia.org/wiki/1998https://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9s_Gonz%C3%A1lez_Fern%C3%A1ndezhttps://es.wikipedia.org/wiki/2002https://es.wikipedia.org/wiki/Walter_Trumphttps://es.wikipedia.org/wiki/J._R._Hendrickshttps://es.wikipedia.org/wiki/1998https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversahttps://es.wikipedia.org/wiki/Producto_de_matriceshttps://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_matriceshttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)


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6 5 CUADRADOS MGICOS ESOTRICOS

las que resulten las filas norte, sur, este y oeste. Se-gn Gonzlez, en esta obra no se us ningn ordena-dor para cuadrarlo. El cuadro se encuentra registra-do en el Archivo Internacional Central de Objetosde Arte.

El primer cuadrado tetra-mgico, de orden 512, fueobtenido porAndr Viricel y Christian Boyerenmayo de 2001; en junio del mismo ao presentaronel primer cuadrado penta-mgico, de orden 1024.Ya en 2003, presentaron un cuadrado tetra-mgicode orden 256 y el matemtico chinoLi Wenunopenta-mgico de orden 729.

Pueden construirse cuadrados mgicos con nmeros ex-trados de cualquier sucesin aritmtica independiente-mente del nmero inicial y de la razn de la serie. Siendo

a0el primer trmino y r la razn, fcilmente se demuestraque la constante mgica ser en este caso:

M2(n) = n[2a0+ (n

21)r]

2

Anlogamente, se pueden construir cuadrados mgicos apartir de sucesiones geomtricas, en cuyo caso sern losproductos los que den por resultado la constante mgi-ca. Estos pueden construirse con las reglas dadas para loscuadrados aritmticos, sin ms que sustituir el trmino dela serie geomtrica en la posicin indicada por la corres-

pondiente de la serie aritmtica:

La constante mgica es en el caso general

M2(n) = (a0

2r(n21))

n

2

cuya similitud con la ya obtenida para las series aritmti-cas es palpable.

Tambin se han construido cuadrados mgicos con seriesde nmeros primos consecutivos, o con las cifras decima-les de los recprocos de la serie aritmtica de los nmeros

naturales.Por ltimo sealaremos la existencia de disposicionesmgicas n-dimensionales; as, con la serie 1 -n puedenconstruirsecubos mgicos, y en general, con la serie 1- nr cuadrados mgicos r-dimensionalesde orden n,con sus respectivas variantes multi-mgicas y cuya visua-lizacin no es inmediata, aunque pueden tratarse cmo-damente mediante el empleo de computadoras.

5 Cuadrados mgicos esotricos

Para el mago, un cuadrado mgico es mucho msque paraun matemtico la tabla de logaritmos.

5.1 El uso e importancia en lamagia

Los cuadrados mgicos, se conocen desde la antigedady han sido empleados siempre en rituales de magia. Pa-ra el mago, los cuadrados mgicos expresan en diferentesplanos, manifestaciones de la realidad espiritual, un cono-

cimiento directamente aplicable en diversas formas. Lasms frecuentes son:

Valores numricos obtenidos por diversas frmu-las, que pueden utilizarse para conocer cantidadesy proporciones exactas para determinadas operacio-nes (por lo general deben cumplir ciertas normas).

Signos que resultan de unir con lneas nmeros con-cretos de un cuadrado mgico concreto. Tales signosse conocen como firmas y refieren a atributos (cuali-dades) de la potencia a invocar. Dichos signos debenser revelados por la entidad a la que el cuadrado es-t destinado. Para usarlos luego, basta trazarlas conuna tinta especial sobre casi cualquier superficie yrealizar un sencillo ritual para solicitar sus atribu-tos.

El propio cuadrado mgico esotrico, grabado o rea-lizado con materiales y frmulas precisas y luegoconsagrados en un ritual (que consiste bsicamenteen oraciones), puede luego ser llevado consigo comotalismn.

Por un lado se considera que cada ngel y demonio

(en general denominados inteligencias, sin entrar en je-rarquas) est en sintona (influencia) con un cuadra-do determinado, algo as a lo que hoy entendemos porresonancia. Por otro el trazo de lneas seguidas que re-sulta de recorrer en el orden correcto de los valores, ascomo otros rdenes ms complejos, describen smbolos(firmas) asociados a entidades espirituales, donde en elritual correcto, dibujar el signo con la tinta elaborada ex-profeso de forma precisa, equivale a invocar al espritual que se hace referencia (llamndolo por su nombre), ydonde el espritu evocado est obligado a comparecer y/oa cumplir las virtudes asociadas al signo trazado.

5.1.1 Invocar entidades con ayuda de los signos delcuadrado mgico

En magia, invocar a una entidad por su nombre solo es po-sible si se conoce previamente su nombre y se pronunciacorrectamente, lo que de alguna manera entraa ciertosriesgos. Con la multiplicidad de idiomas surge ese pro-blema y por tanto la pronunciacin correcta dejara inu-tilizado todo conocimiento previo, si no se ha trasmitidocon el mismo la correcta pronunciacin de los nombres.

Por ello, la ventaja del procedimiento de los trazos del

cuadrado mgico, lo hace universal. An desconociendoel nombre de un espritu, utilizando correctamente elmo-delo del trazo se efecta la invocacin de losespritus. Los
https://es.wikipedia.org/wiki/Resonanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Demoniohttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Magiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Magiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Li_Wenhttps://es.wikipedia.org/wiki/Christian_Boyerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9_Viricel


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5.2 Descripcin de propiedades de los cuadrados mgicos esotricos 7

cuadrados mgicos son empleados para establecer un lla-mamiento correcto a una entidad espiritual, marcando lostrazos que dicha entidad tenga establecido para s. Unavez comparezca la entidad puede reclamrsele que ex-prese su nombre e incluso que le ensee otros atributosque el mago desconoce sobre dicha entidad.

Hay dos acciones que en magia se distinguen claramenteaunque coloquialmente suelen usarse indistintamente, espreciso diferenciarlas:

Evocar: Es solicitar la presencia de una entidad, paraque comparezca ante el mago. All donde est elma-go una entidad hace manifiesta su presencia median-te sonidos, luces y sombras o formas ms o menoscorpreas as como olores y sonidos bastante indes-criptibles algunos.

Invocar: Es solicitar que se cumpla una peticin. La

entidad no hace acto de comparecer, aunque el ma-go puede recibir impresiones internas de su manifes-tacin. dichas manifestaciones en cambio no tienenpor qu recibirlas otros asistentes en caso de haber-los.

Tambin son usados sin requerir la presencia de las en-tidades referenciadas, mediante peticiones por escrito, siya se conoce el efecto de los signos, en tal caso, basta tra-zar el signo y hacer uso de las oraciones pertinentes. Tam-bin, cuando no se quieran usar signos o no se conozcande modo ms general, puede trazarse completamente el

cuadrado que corresponda a la entidad que se quiera in-vocar, junto a alguno de sus nombres este es el caso delos llamadosamuletosytalismanes.

Cuando se evoca o invoca a una entidad, puede hacerseuso de las propiedades (o poderes) que elente espiritualtiene asignados. Partiendo del cuadrado mgico del que lees asociado, existen diferentes trazos que invocan a cadauno de sus poderes (atributos), y que recuerdan ms acualquier frmula deoracinpropia de otras tradicioneso religiones.

Es comn que una entidad tenga ms de 1 nombre, ya que

cada nombre suele hacer referencia a uno de susatributos.En la alta magia, la primera operacin cuando una enti-dad concurre a la llamada es pedir que descubra al magolos diferentes trazos que le son propios, para que este conposterioridad pueda invocar sus poderes. Una vez cono-cidos estos, el mago tiene la obligacin de guardar celo-samente los mismos, cuidando que no caigan en manosafrentosas y a menudo el propio mago se cuida de alte-rarlos a voluntad (cifrarlos diramos hoy) para que en talcircunstancia no puedan ser usados sin un conocimientoprofundo tanto del trazo como de lo que suponen talespotencias.

Los rituales para invocar la ejecucin de los poderes sonrelativamente fciles una vez se conocen los trazos (atri-butos de la entidad), todos son una derivacin del ritual

principal de evocacin, donde se remplaza la exigenciade comparecencia por la peticin de lo que se desea enforma de oracin, tanto en una como en otra se alaban lasvirtudes del ente y la confianza ciega de que cumplir lopedido, pactado o prometido. El ritual siempre conllevamedidas de proteccin contra inteligencias hostiles a la

raza humana.Los magos siempre han insistido sobre los aspirantes enla importancia de no intentar hacer uso de ellos, sin unconocimiento profundo terico antes de pasar al prcti-co, bajo la pena de sufrir en su propia carne tormentosindescriptibles.

5.1.2 Duracin de los efectos

El cuadrado mgico, los signos derivados, etc... carecende toda utilidad si el mago no lo fabrica siguiendo ciertas

reglas sobre materiales a usar, aspectos zodiacales relati-vos a iniciar su elaboracin, etc... as como sin los ritualesfinales de consagracin y uso.

Cuando se porta un cuadrado mgico como talismn bas-ta el ritual de consagracin, los signos en cambio requie-ren un ritual de uso, ya que solo sirven para el uso a quese haya declarado y solo para esa vez. El tiempo que de-ba durar su efecto depende del uso a que se destina, porejemplo si se reclama la comparecencia de un espritu suduracin es efimera, dura por tanto hasta que se despidaa la entidad, en cambio si se usa por ejemplo para hacercrecer una planta, su efecto se prolonga algunos meses en

el tiempo.En general para efectos de larga duracin se emplea elcuadrado mgico entero como talismn. Y para efectosinmediatos, suelen usarse los signos que se trazan sobreel cuadrado mgico. La evocacin es ms potente que lainvocacin pero tambin entraa elevados riesgos para elmago, especialmente para el aspirante a mago que puededejarse fcilmente impresionar y sucumbir a las exigen-cias de la entidad, especialmente si la entidad que com-parece es hostil a la raza humana o una entidad se hacepasar por otra y el mago o el aspirante a mago no tomalas medidas necesarias.

5.2 Descripcin de propiedades de los cua-drados mgicos esotricos

Nota: para apreciar las comparaciones, para los cuadra-dos mgicos esotricos, se ha tomado otros colores, dife-rentes a los empleados hasta aqu.

Un cuadrado mgico esotrico, utiliza criterios ms res-trictivos en cuanto a condicionantes para ser tenido porun cuadrado mgico, tanto es as, que solo existe uno porcada n. A fin de reconocer cules son esotricos y cules

no (o siendo equivalentes reducirlos a su expresin co-rrecta) es importante conocer las propiedades que los re-lacionan e identifican.
https://es.wikipedia.org/wiki/Ritualhttps://es.wikipedia.org/wiki/Oraci%C3%B3n_(religi%C3%B3n)https://es.wikipedia.org/wiki/Ser_espiritualhttps://es.wikipedia.org/wiki/Talism%C3%A1nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Amuletohttps://es.wikipedia.org/wiki/Invocarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Evocar


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La propiedad de equivalencia establece que 2 o mscuadrados son semejantes si todas sus casillas varanen la misma proporcin, el esotrico, no puede sercualquiera, sino solo 1, tal como se expresa en suapartado, pero que puede ser reducido al cuadradomgico esotrico equivalente.

La propiedad de las esquinas propone un mtodo r-pido de descartar cuadrados mgicos si no cumplendicha propiedad, los que pasen la criba no puedentodava ser admitidos.

Las propiedades del centro, posicionales y diagona-les tiene por objeto aprender a reconocer cuadradosmgicos esotricos, as como a fabricarlos.

5.2.1 Propiedad de equivalencia

En sentido esotrico, solo se considera cuadrado mgico,a aquellos que tienen las mismas cifras que el nmero decasillas (que siguen la serie de nmeros naturales desde1 hasta n). El cuadrado de la figura (color naranja, a laizquierda) no es un cuadrado mgico esotrico. En estecaso es elresultado de un cuadrado mgico de n=3 a cuyascifras se le ha sumado 20, comparar con el original (colornaranja a la derecha) de n=3, viendo la ubicacin de lascifras y su concordancia.

5.2.2 Propiedad de las esquinas

En sentido esotrico, un cuadrado mgi-co, debe reunir unas condiciones de su-ma de sus esquinas (que llamamos Ciframgica-2, o de segundo orden). Explica-cin de como se halla:

Si llamamos Composicin al sumatoriode los nmeros que componen el cuadra-do mgico:C= sum (1+2+3....), o tam-binC= ((n+1)(n/2)...

...y si llamamos Nmero base (Nb) a laComposicin dividida entre el nmero decasillas que componen el cuadrado, ten-dremos queNb= C / (n). El nmero ba-se tambin puede calcularse de la siguien-te manera:Nb= (n+1)/2(obsrvese enla tabla adjunta ms abajo la relacin desus cifras entre ambas columnas dondeNb escasi la mitad de n ). El nmero ba-se en un cuadrado mgico esotrico de n=impar siempre aparece en la casilla cen-tral, lo que en cierto modo ayuda a reco-nocer y rechazar de un simple vistazo los

que no cumplan dicha condicin. (Va-se la seccin propiedades posicionalesms abajo para ms detalles).

Tambin obtenemos la Cifra mgica,al multiplicar el Nmero base por nCm=Nbn (o a la inversa, obtenemosNb, al dividir la Cifra mgica entre nNb= Cm/n).

Y siendo Cifra mgica-2 la suma de las esqui-nas entonces:Cm2= r+s+t+u

Entonces Cm2, la suma de las esquinasCm2=Cm - (Nb( n-4))

O tambin (partiendo de que Cm=Nbn):Cm2= Nbn - (Nb(n-4)).

O reduciendo:Cm2= 4Cm / n.

Se sealan en losdibujos lascasillasde esquina,

para cuadrados de n=4 y n=3

Se deduce que si el cuadrado tiene me-nos esquinas de 4, entonces dicha cifra essumada, que si es mayor de 4 esquinas,la cifra es restada. Para el caso de 4 es-quinas exactas, ni se suma ni se resta, obien se suma y se resta, (como prefieraser considerado).

Podemos comprobar que en el cuadradomgico de 4 la suma de las 4 esquinas

Cm2 =Cm (Cifra mgica2= Cifra mgi-ca).

Tambin la suma de las cifras de las 4 casillas que for-man una cruz (las que estn en el medio entre dos es-quinas adyacentes), suman Cm2. La particularidad den=par_impar produce dos casos.

Para el caso de n=impar: Cm2= C +R+U +Z (dibujo de la izquierda).

Y para el caso de n=par las dos casillasadyacentes que forman la cruz en las mis-

mas condiciones, solo que en este caso alser dos grupos de 4 casillas, es dos ve-ces CM; =2 Cm2):Cm2=(C1 +C2 +R1+R2 + U1 +U2 +Z1 +Z2 )/2(dibujo dela derecha).

Se muestran un cuadrado de n=3 para ejemplo de casoimpar, y uno de n=6 para ejemplo de caso par. Obsrveseque del caso par, se toman las dos casillas centrales deCRUZ, razn, por la que hay que dividir luego entre dos.

Se ha remarcado en la tabla el ejemplo mostrado so-

bre el cuadrado mgico con el caso de n= 7: al apli-car C=1225; Nb=25; Cm= 257=175; Cm2= 175-(25(7-4)=100


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5.4 Propiedades de las diagonales (diametrales) 9

Se puede comprobar Cm2=R+S+T+U,(las esquinas, en amarillo 22 + 4 + 46 +28 ) = 100

Igualmente se puede comprobarCm2=C+R+U+Z,(los centros en cruz,en oscuro 41 + 13 + 9 + 37 ) = 100

Es decir C+R+U+Z=R+S+T+U

.

Puede entenderse que el cuadrado de 1,no tiene 4 esquinas, y sin embargo su ci-fra mgica-2, es 4, al no poder sumar msque 1, queda fuera de ser un cuadradomgico esotrico.

El cuadrado de dos, si tiene 4 esquinas,pero su cifra mgica-2 arroja un resultadode 10, lo cual es imposible que resulte.Se explica ms arriba en este artculo, elporqu un cuadrado mgico de n=2, no loes (Cm no resulta), y aqu adems porquno es esotrico.

5.3 Propiedades del centro

En un cuadrado mgico esotrico tambin se cumple la

siguiente condicin (adems de todo lo anteriormente ex-plicado):

* En los casos impares: Obtenemos la CifraMgica-2 en los cuadrados mgicos esotricosal multiplicar el valor central de la casilla por 4

* En el caso de los cuadrados pares: Obtene-mos la Cifra Mgica-2 con la suma de sus 4casillas centrales ( al igual que sucede con loscentros en cruz explicados ms arriba en quedeben tomarse 2).

Es decir el 'peso especfico' del centro se mantiene enequilibrio. Si quisiramos usar una frmula general se-ra esta: la media de las casillas centrales * 4. Dado quelos casos impares no tiene una casilla central como nica,debe considerarse el menor caso que rena esa condicin,siendo siempre 4 casillas.

Se puede comprobar con el ejemplo de 7 casillas de msarriba, o con el de 3, etc.

5.3.1 Propiedades posicionales

Por la que se considera a un cuadrado mgico esotricoque estordenadocuando se cumplen adems otras con-dicones que son ligeramente distintas en los cuadrados

de n-par sobre los de n-impar. (el mismo cuadrado rota-do o reflejado, deja de ser ordenado aunque no deja deser esotrico.

1. n-impar: Nb ocupa la casila central. La cifra mayorest encima de la casilla central y la inferior deba-jo.La esquina r est ocupada por la cifra Nb-(n/2-(1/2)) y la opuesta u por lacifra Nb+(n/2-(1/2)). Laesquina s est ocupada por la cifra n/2+(1/2) y lacasilla opuesta t, por 2Nb- (la cifra de s), o lo quees igual, por la cifra mayor del cuadrado mgico, -(n/2-(1/2)).

Diagonales: La diagonal que va des-de la esquina superior izquierdahacia la esquina inferior derechasiempre lleva sus casillas numera-das correlativamente. La otra dia-

gonal lleva sus casillas numeradasen saltos de n comenzando justa-mente por(n +1)/2

1. n-par: La casilla r (la 1), es ocupada por la cifran, la cifra 1 ocupa la casilla s, y la ltima cifra, ladiagonal t, y la casila u=t+s-r.Al ser par, no existecasilla central, y por lo mismo Nb, no es entero, yno ocupa casilla.

Diagonales: la 1 diagonal lleva lascasillas numeradas en saltos de n1empezando porny la otra dia-gonal lleva las casillas numeradasen saltos de n +1empezando por1y acabando enn.

5.4 Propiedades de las diagonales (diame-trales)

Se verifica que la suma de dos casillas diametralmenteopuestas siempre sumann + 1. Se aplica por igual a loscasos de n= impar como a los casos de n=par, siendo solo

diferente, que para el caso impar el centro es una casillay para el caso par no hay casilla definida

Para no saturar su comprobacin seilustran solo cuatro ejemplos deno-minados a,b,c,d con su correspon-diente diametralmente opuesto res-pecto del centro (que se ha dejadoa propsito).

Puede verificarse con los valoresdel cuadrado de la derecha. Siendo:DI=n + 1= 7 + 1= 50 se demues-

tra que: paraaDI= 47 + 3= 50, pa-rabDI=42 + 8= 50, paracDI=6 +44= 50, paradDI=31 + 19= 50...


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Puede verse entonces que la propiedad de las esquinas esuna consecuencia natural derivada de esta. Esta propie-dad junto con las propiedades posicionalesproporcio-nan todas las reglas necesarias para elaborar una frmulageneral con la que elaborar cuadrados mgicos esot-ricosde cualquier tamao que se aborda un poco ms

abajo.

5.5 Alusiones a la cbala

Hay equivalencias entre las cifras de los cuadradosmgicos esotricos y las letras delalfabeto hebreo,considerado por los cabalistas, de modo que solocuando se aplica al cuadrado adecuado, puede to-marse correctamente el resultado cabalstico, sien-do inexacto las conclusiones si se toma el cuadradomgico equivocado.

Las reglas particulares, as como esta general, ha sido des-conocida por muchos que a lo largo de los tiempos trata-ron de desentraar sus misterios o de desenmascarar susmentiras, es por ello que los estudios de aquellos que ig-noraron tales cuestiones carecen de validez, pues la pala-bra tomaba el nmero de acuerdo a las reglas de este parainterpretar la palabra, y no la palabra se converta en n-mero para interpretar la palabra, como tales pretendan.As como las palabras tenan sus reglas, tambin las te-nan los nmeros, y era as como se converta en sagradasu interpretacin, pues no bastaba con conocer los nme-

ros si no se conocan sus reglas, igual que no basta paracomprender un idioma, aunque se conozcan sus letras, sise desconocen sus reglas....

Es de sealar que sin embargo, a pesar de lo indica-do ms arriba en el artculo, los mencionados comocuadrados satnicos, estrictamente en sentido esot-rico, no son tenidos por tales si no tan solo el cua-drado de lado 6 esotrico, ya que la suma de sus ci-fras (Composicin), suma 666. Y es en donde loscabalistas buscan o debieran buscar elnmero de laBestiatal como se menciona en laBiblia.

5.6 Elaborar cuadrados mgicos esotri-cos

El proceso de elaborar cuadrados mgicos esotri-cos se aborda en 2 fases. como se ha venido viendoa los largo del artculo, los casos de n par o imparconllevan situaciones que requieren diferente trato.

De entrada y por abreviar acordamos llamar a cadadiagonal con los siguientes smbolos: diagonal direc-

ta (arriba izquierda hacia abajo derecha) con lo lla-maremosd \. Diagonal inversa (arriba derecha haciaabajo izquierda) lo llamaremosd /

Lista de figuras: para reconocer mejor el cambiooperado en cada paso se ha despejado el cuadra-do de todo lo no necesario para entender el paso,por dicha razn a cada paso no necesariamente seva acumulando los valores ya obtenidos.

5.6.1 Caso impar

Para explicar cmo elaborar un cuadrado mgico esot-rico de lado impar, previamente decidimosnque para elejemplo ser 9

Siendon=9 calculamos el n de ca-sillas n=9*9=81 y a su vez calcu-lamosNBcon cualqiera de las fr-mulas que se dieron anteriormen-te, al casoNB = (n+1) /2=41.NB

no precisa ser calculado en este ins-tante, sin embargo sirve de verifica-cin para constatar que se trata deun cuadrado mgico esotrico y node otro cualquiera.

Se muestra el cuadrado vaco y donde irn los va-lores 1, NBy n como se indica en propiedadesposicionalesms arriba en el artculo. (ver figura-1). Se hace notar la importancia estratgica de NB,que se emplea en el paso-3

Paso 1: elaborar la diagonal principal; d /como se

indica en propiedades posicionales: calculamos laprimera cifra: = (n + 1) /2 = 9 +1 /2=5 primervalor por tanto 5, los siguientes sern ((n fila-1)* n) + valor 1 filacaso de la fila 2= ((2-1) * 9)+5=14, sucesivamente aplicando el mismo clculosern: 23,32,41,50,59,68 y 77 (ver figura-2).

En la imagen (figura-8) 1 a la derecha de la figura 7 semuestra un mtodo rpido de rellenar ambas diagonalessin necesidad de calcular.

Paso 2: elaborar las diagonales respecto de la prin-

cipal; todas las d \que desembocan a d / tienevalores correlativos por consiguiente, empezandopor la casilla central hacia abajo sern: 42,43,44,45(figura-3) y hacia arriba sern: 40,39,38,37... pro-ceder igualmente desde el resto de las casillas queformand /. Con esto ya tenemos resuelto la mitaddel cuadrado, todas las casillas impares... (figura-4).Para no enturbiar la figura-4 se rellenan solo unaspocas casillas y se marcan los dems afectados conel mismo color de fondo que estos...

Puede verse en la imagen (figura-9) (la 2 a la derecha de

la figura-7, ms abajo), cules casillas son estas, tomadasdel cuadrado original del que se toman los valores, y queal caso son correlativos. Obsrvese el giro a 45 de la
https://es.wikipedia.org/wiki/Bibliahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_la_Bestiahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_la_Bestiahttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1balahttps://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_hebreo


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imagen para ver la concordancia claramente. La imagenilustra la no necesidad de calcular dichas casillas. Porejemplo para la primera fila se ve que estas son: 37 - 29- 21 - 13 y 5.

Paso 3: Desde este momento hay que considerar elcuadrado en 4 zonas, primero en 2 separadas pord /y nuevamente dividimos cada zona en 2 de acuerdoad \(ver figura-5 donde pintamos cada rea de uncolor (solo las casilla que faltan por resolver)). Cadauna de las 4 zonas delimitadas se resuelve con sumao resta de un valor ya existente en la casilla adhya-cente operando conNB, siendo condicionado cadazona al siguiente criterio; El valor de cada casilla re-sulta de operar la casilla inmediata al lado:

En la zonanorte,izquierda + NB

En la zonasur,derecha - NB

En la zonaoeste,inferior - NB

En la zonaeste,superior + NB. Esto es, una casillaen la zonaestese calcula sumando el valor de la queest encima de esta +NB.

En ltima imagen (3 a la derecha de la figura-7) se mues-tra de donde proceden estas casillas en el cuadrado ori-ginal, y como se ubican en cada sector. Comprese cadasector con la ubicacin de la figura-9. Puede verse comolos sectores han sido trasladados. Todas las casillas co-

rresponden a las que se muestran en la figura-7 en coloramarillo.

Se ha calculado solo una casilla en cada zona(ver figura-6), para apreciar con ms claridadcada caso, analicemospor ejemplo la de la zonaeste. Tomemos (ver figura-5) la casilla situadaentre aquella que tiene el valor 34 y la que tienevalor 44, valdr, lo que vale la casilla segn seindica por la zona a que corresponde, este casola de encima de ella + NB= 34 + 41=75 ( verresultado en figura-6 y comprobar con figura-

7).

La figura-7 muestra el cuadrado completamente rellenoy de un mismo color las casilas obtenidas en cada paso.Corresponde a cada paso los siguientes colores: paso 1:marrn, paso 2: arena, paso 3: amarillo. A la derecha semuestra una imagen donde se relacionan las casillas quecorresponden a las diagonales sin necesidad de calcular,ntese que el cuadrado de la imagen (figura 8) tiene todassus casillas correlativamente numeradas del 1 al 81.

5.6.2 Caso par

Los mtodos explicados detalladamente valen paracualquiera que sea el nmero den, que por razones

Rellenar las diagonales sin calcular

Rellenar casillas diagonales respecto de la diagonal principal

de espacio se ha trabajado con ejemplos cuyo nre-sulta fcilmente manejable.

Cuando ya se conocen las reglas pueden construir-se siguiendo otro criterio basndose en la relacinque mantienen entre s las casillas. Con todo se reco-mienda seguir las instrucciones cuando se hace ma-nualmente.

Una vez realizado un cuadrado mgico esotricopuede fcilmente mudarse en cualquier otro tipo decuadrado mgico simplemente por sustitucin, adi-cin, giro cualquier otro mtodo.

6 Bibliografa[1]


12/13

12 8 VASE TAMBIN

Rellenar las casillas del paso 3 sin calcular

[2] Tony Crilly (2011).50 cosas que hay que saber sobre ma-temticas. Ed. Ariel.ISBN 978-987-1496-09-9.

Andrews, William Symes: Magic Squares and Cu-bes. Nueva York: Dover, 1960.ISBN 0-486-20658-0

Fults, John Lee: Magic Squares. La Salle, Illinois:Open Court, 1974.ISBN 0-87548-197-3

Pickover, Clifford:The Zen of Magic Squares, Cir-cles, and Stars. Princeton, Nueva Jersey: PrincetonUniversity Press, 2003.ISBN 0-691-11597-4

Knorr Rosenroth:Aesch Mezareph o Fuego Purifica-dor, original: Sulzbach ao-1677-84, presente edi-cin en espaol: Muoz Moya y Montraveta edi-tores, Cerdanyola del Valles, ao-1987, ISBN 84-86335-32-9

Cornelio Agrippa: Numerologa Oculta, EdicionesObelisco ao-1996ISBN 978-84-7720-493-0

7 Enlaces externos Wikimedia Commonsalberga contenido multi-

media sobreCuadrado mgicoCommons.

Enciclopedia Libre

Pgina de Blai Figueras lvarez (10 de enero de2004).

Cuadrados mgicos con las letras de diversos alfa-betos(en ingls)

Magic Squares(en ingls)

Resolucin de Cuadrados Mgicos programtica-mente: frmulas y algoritmos.

8 Vase tambin

Matemticas recreativas

Crculos mgicos

Sudoku
https://es.wikipedia.org/wiki/Sudokuhttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo_m%C3%A1gico_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_recreativashttps://docs.google.com/document/d/1XwjnwuflOGyeZkaElDdUkTY74Gb1SK3Okxx7_yYN_Es/pubhttps://docs.google.com/document/d/1XwjnwuflOGyeZkaElDdUkTY74Gb1SK3Okxx7_yYN_Es/pubhttp://www.grogono.com/magic/http://www.rodurago.de/en/index.php?site=correspondence&link=mq#mqhttp://www.rodurago.de/en/index.php?site=correspondence&link=mq#mqhttp://www.xtec.es/~bfiguera/curioso7.html#algoritqmhttp://enciclopedia.us.es/wiki.phtml?title=Cuadrado_m%25E1gicohttps://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Magic%2520squareshttps://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Magic%2520squareshttps://es.wikipedia.org/wiki/Wikimedia_Commonshttps://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/9788477204930https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8486335329https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/8486335329https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/0691115974https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/0875481973https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/0486206580https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/0486206580https://es.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/9789871496099


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9 Origen del texto y las imgenes, colaboradores y licencias

9.1 Texto

Cuadrado mgicoFuente:https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_m%C3%A1gico?oldid=87786853Colaboradores:EL Willy, Oblon-go, Sabbut, JorgeGG, Ruiz, Neto~eswiki, Sanbec, Zwobot, Interwiki, Dodo, Crescent Moon, Cookie, Tano4595, Robotito, LadyInGrey, -, AlGarcia, Periku, Huhsunqu, Chlewey, Soulreaper, Peejayem, Emijrp, Rembiapo pohyiete (bot), Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Francosrodriguez, Alhen, Chobot, Caiserbot, Yrbot, BOT-Superzerocool, Oscar ., Vitamine, YurikBot, Sasquatch21, Victor-GonI, Txo, Jorge Egsquiza Loayza, Carlos Alberto Carcagno, Iulius~eswiki, BOTpolicia, CEM-bot, Laura Fiorucci, JMCC1, Baiji, Ras-trojo, Rosarinagazo, Dorieo, Ingenioso Hidalgo, Roberto Fiadone, Gusgus, Mpeinadopa, Soulbot, Xavigivax, Gsrdzl, CommonsDelinker,TXiKiBoT, Hingelstein, Humberto, Rei-bot, MarisaLR, RaizRaiz, El filloco, Nicoguaro, Matdrodes, Fernando Estel, DJ Nietzsche, MuroBot, BotMultichill, SieBot, PaintBot, Bigsus-bot, BOTarate, Marcelo, Tirithel, Javierito92, Antn Francho, Nicop, DragonBot, Leonpo-lanco, Botito777, BetoCG, Aperezdejuan, Csolisr, Armando-Martin, AVBOT, Ted Alvram, CruzAV, Ezarate, Diegusjaimes, Linfocito B,Samsam mama, Cathlucky, Luckas Blade, Hscamplise, LordboT, Bingul, Diogeneselcinico42, SuperBraulio13, Jkbw, FrescoBot, Bot0811,Botarel, Renraku~eswiki, Juan Andres Gonzalez Fernandez, RedBot, Aquiel, Prinea, HUBOT, Ave Csar Filito, Nachosan, Jorge c2010,Axvolution, EmausBot, Savh, Nashosky, Grillitus, Waka Waka, Vocin, MerlIwBot, JoshAcevedo, Marcelicha, Mailermar, Federicotg, DA-VID TORRES CHABLE, Johnbot, Justincheng12345-bot, Helmy oved, Gatomon 123, Lobo azul, Legobot, HispanoMatematico, AntonioPomares Olivares, MrCharro, Jarould y Annimos: 133

9.2 Imgenes

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