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    Cuadrado mgico

    Un cuadrado mgico es una tabla de grado primariodonde se dispone de una serie denmeros enterosen uncuadrado omatrizde forma tal que la suma de los n-meros por columnas, filas y diagonales principales sea lamisma, la constante mgica. Usualmente los nmerosempleados para rellenar las casillas son consecutivos, de1 an, siendonel nmero de columnas y filas del cuadra-do mgico.

    Los cuadrados mgicos actualmente no tienen ningunaaplicacin tcnica conocida que se beneficien de estas ca-

    ractersticas, por lo que sigue recluido al divertimento,curiosidad y al pensamiento matemtico. Aparte de esto,en las llamadas ciencias ocultas y ms concretamente enlamagiatienen un lugar destacado.

    1 Introduccin

    Consideremos la sucesin matemtica 1,2,3,4...36(cua-drado de orden 6), y dispongamos los nmeros ordenada-mente en dos series dispuestas en zig-zag:

    Resulta evidente que cualquier par de nmeros alineadosverticalmente suma lo mismo ya que a medida que nosdesplazamos por las columnas, en la fila superior se aadeuna unidad, mientras que en la fila inferior se resta. Lasuma es en todos los casos la de los nmeros extremos:

    n2 + 1 = 36 + 1 = 37

    Si disponemos el conjunto de nmeros en seis filas (vertabla a la derecha), fcilmente se puede apreciar que lassumas en las distintas columnas han de ser necesariamen-te iguales, ya que los nmeros se encuentran agrupados

    por pares tal y como estaban en el primer caso (compre-se los pares de filas 16, 25 y 34 con la disposi-cin original). Ahora sin embargo, por ser tres los paresde filas (n/2), la suma ser:

    M2(n) = n(n2 + 1)

    2

    cantidad que se denominaconstante mgica, y que ennuestro caso esn(n + 1)/2 = 6(36 + 1)/2 = 111.

    Salta a la vista que el cuadro anterior no es un cuadra-do mgico, ya que al disponerse los nmeros de forma

    consecutiva, las sumas de las cifras de cada fila son ca-da vez mayores. Sin embargo hemos encontrado seis se-ries de nmeros comprendidos entre 1 y 36, de forma tal

    que, sin repetirse ninguno, las sumas de las series son laconstante mgica. Si en vez de la disposicin anterior co-locamos los nmeros consecutivamente, obtenemos unadisposicin en la que los nmeros de la diagonal principalse pueden escribir de la forma (a1)n +a.

    Calculando la suma, sabiendo que las filasavan de 1 an:

    n

    a=1(a 1)n+ a = (n+ 1)

    n

    a=1a

    n

    a=1n =

    (n+ 1) n(1+n)2

    n2 = n3+2n2+n2n2

    2 = n(n

    2+1)2

    De nuevo la constante mgica. Ms an, cualquier serie

    de seis valores en los que no haya dos de la misma fila ocolumna sumar la constante mgica. Escribiendo el tr-mino i, jde la matriz como (i1)n+ j, y tomando 6trminos cualesquiera con la condicin de que nii, nijserepitan y varen de 1 hastan, la ecuacin resultante serexactamente la misma que en el caso anterior y la suma,por tanto, la constante mgica.

    Como se puede demostrar, la cantidad de series posiblesden nmeros que cumplan la condicin anterior es n!,720 en cuadrados de orden 6, y ni siquiera son todas lasposibles, ya que antes habamos obtenido seis que no es-tn incluidas entre ellas.

    De orden 3 existe un nico cuadrado mgico (las distintasvariaciones se pueden obtener por rotacin o reflexin),en1693 Bernard Frenicle de Bessyestableci que hay880 clases de cuadrados mgicos de orden 4.[1][2] Poste-riormente se ha encontrado que existen 275.305.224 cua-drados mgicos de orden 5; el nmero de cuadrados demayor orden se desconoce an pero segn estimacionesdeKlaus PinnyC. Wieczerkowskirealizadas en1998mediante los mtodos deMontecarloy demecnica es-tadsticaexisten (1,7745 0,0016) 1019 cuadrados deorden 6 y (3,7982 0,0004) 1034 cuadrados de orden7.

    Por lo que respecta a rdenes inferiores, es evidente quede orden uno existe un nico cuadrado mgico, 1 , mien-tras que de orden 2 no existe ninguno, lo que se puededemostrar considerando el cuadrado mgicoa,b,c,ddela figura; para que tal disposicin fuera un cuadrado m-gico deberan cumplirse las siguientes ecuaciones (siendoMla constante mgica o cualquier cantidad, si se quiere):

    escribiendo elsistema de ecuacionesen forma matricial ybuscando el orden de la matriz de coeficientes, se obtieneque es tres, mientras que el nmero de incgnitas es cua-tro, de modo que el sistema solo tiene la solucin triviala

    = b = c= d= M/2 siendo imposible construir un cuadradomgico en el que las cuatros cifras sean distintas.

    1

    https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_estad%C3%ADsticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_estad%C3%ADsticahttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Montecarlohttps://es.wikipedia.org/wiki/1998https://es.wikipedia.org/wiki/C._Wieczerkowskihttps://es.wikipedia.org/wiki/Klaus_Pinnhttps://es.wikipedia.org/wiki/Frenicle_de_Bessyhttps://es.wikipedia.org/wiki/1693https://es.wikipedia.org/wiki/Factorialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Magiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_enterohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_(matem%C3%A1ticas)
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    2 2 HISTORIA

    Resumiendo: la cantidad de diferentes nn cuadradosmgicos paranentre 1 y 5, sin contar rotaciones y re-flexiones, son:

    1, 0, 1, 880, 275305224 (sucesin A006052 enOEIS).

    Para s = 6 se ha estimado que hay aproximadamente1.77451019.

    The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII,

    edicin de la Dinasta Ming, 1457-1463.Biblioteca del Congreso de los EE.UU.

    2 Historia

    Muchos de los aspectos histricos de los cuadrados mgi-cos no se conservan. Y al ser comprobables, estos aspec-tos resultan innecesarios. El cuadroMelancola I 1514deAlberto Durero, sigue existiendo, lo mismo que el edifi-cio dela Sagrada Familia.

    En la antiguaChinaya se conocan los cuadrados mgi-cos desde elIII milenio a. C., como dice el Lo Shu.[2]

    Segn la leyenda, un cierto da se produjo el desborda-

    miento de un ro; la gente, temerosa, intent hacer unaofrenda al dios del ro Lo (uno de los desbordados) paracalmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacan, apa-reca una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla,hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcasdel caparazn de la tortuga, de este modo pudieron incluiren su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el diossatisfecho y volviendo las aguas a su cauce.

    Igualmente conocieron combinaciones de esta clase losindios,egipcios,rabesygriegos. A tales cuadrados, lasdiferentes culturas les han atribuido propiedades astrol-gicas y adivinatorias portentosas grabndose con frecuen-

    cia en talismanes. As, como recogeCornelius AgrippaenDe oculta philosophia libri tres(1533), el cuadrado deorden 3 (15) estaba consagrado aSaturno, el de 4 (34)

    aJpiter, el de 5 (65) aMarte, el del 6 (111) alSol, eldel 7 (175) aVenus, el del 8 (260) aMercurioy el de 9(369) ala Luna; idntica atribucin puede encontrarse enla astrologa hind.

    La introduccin de los cuadrados mgicos en occiden-

    te se atribuye aEmanuel Moschopoulosen torno alsigloXIV, autor de un manuscrito en el que por vez primerase explican algunos mtodos para construirlos. Con pos-terioridad, el estudio de sus propiedades, ya con carctercientfico, atrajo la atencin de grandesmatemticosquededicaron al asunto obras diversas a pesar de la mani-fiesta inutilidad prctica de los cuadrados mgicos. Entreellos cabe citar aStifel,Fermat,Pascal,Leibnitz, Frni-cle,Bachet,La Hire,Saurin,Euler,... dirase que ningnmatemtico ilustre ha podido escapar a su hechizo.

    Melancola I, grabado de Alberto Durero; el cuadrado mgicoaparece en la esquina superior derecha.

    2.1 El cuadrado mgico de Durero

    El cuadrado m-gico de AlbertoDurero, talla-do en su obraMelancola Iestconsiderado elprimero de lasartes europeas.En el cuadradode orden cuatro

    se obtiene laconstante m-gica (34) en

    https://es.wikipedia.org/wiki/Melancol%C3%ADa_Ihttps://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durerohttps://es.wikipedia.org/wiki/Melancol%C3%ADa_Ihttps://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Saurinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Philippe_de_la_Hirehttps://es.wikipedia.org/wiki/Claude_Gaspard_Bachet_de_M%C3%A9ziriachttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermathttps://es.wikipedia.org/wiki/Michael_Stifelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIVhttps://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIVhttps://es.wikipedia.org/wiki/Emanuel_Moschopouloshttps://es.wikipedia.org/wiki/Lunahttps://es.wikipedia.org/wiki/Mercurio_(planeta)https://es.wikipedia.org/wiki/Venus_(planeta)https://es.wikipedia.org/wiki/Solhttps://es.wikipedia.org/wiki/Marte_(planeta)https://es.wikipedia.org/wiki/J%C3%BApiter_(planeta)https://es.wikipedia.org/wiki/Saturno_(planeta)https://es.wikipedia.org/wiki/1533https://es.wikipedia.org/wiki/Enrique_Cornelio_Agripa_de_Nettesheimhttps://es.wikipedia.org/wiki/Talism%C3%A1nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Greciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Arabiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Egiptohttps://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttps://es.wikipedia.org/wiki/III_milenio_a._C.https://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttps://es.wikipedia.org/wiki/Templo_Expiatorio_de_la_Sagrada_Familiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durerohttps://es.wikipedia.org/wiki/OEIShttps://oeis.org/A006052
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    filas, columnas,diagonales prin-cipales, y en lascuatro submatri-ces de orden 2en las que puede

    dividirse el cua-drado, sumandolos nmeros delas esqu