la x+p CApITULO 1 Fundamentos Refiérase a In página 30 para saber cómo identificar cuando una...

CAPITULO 1 Fundamentos

tipo. que muestra que un enunciado es falso. se denominacontraejemplo.

Error.I~r.lco Contraejemplo

1 1)( 1 1 1 1;:;+¡; a+b 2+2"2+2

(a + b)' )(a' + b'

Va' + b'Xa + b

a;b)(b

(a' + b')'/l Xa + b

a-Ia'Xa"¡'

a-I/.X..!..a'

98. La forma d. una e)(presión algebraica Unaexpresiónalgebraica podría verse complicada, pero su "forma" siem-pro es simple; tiene que ser una suma. un producto. uncociente o una potencia. Por ejemplo. considere las expre-siones siguientes:

(X + 2)'(1 + x')' + x+1

5 -x' ['i"+'XI/~1 + VI + x'

Con elecciones adecuadas para A y B. Laprimera riene laformade A + B. la segunda de AB. la tercer. de AIB. y lacuarta de A t/2.1dentificar la forma de una expresión nosayuda a expandir. simplificar o a factorizar en formacorrecta. Encuentre la forma de las siguientes expresionesalgebraicas.

a) x+pe) \Yx4(4x' + 1)

b) (L + x')(1 + xl'1-2V¡-¡-;

d) .;,,_..;;...;,===I+~

Una ecuación es un enunciado en el que se establece que las expresiones matemáti-cas son iguales. Por ejemplo.

3+5=8es una ecuación. La mayor parte de las ecuaciones que se estudian en el álgebra con-tieoe variables. las cuales sao símbolos, casi siempre letras que representan nüme-ros. En la ecuación

4x + 7 = 19

4(3) + 7 = 19 .¡

la letra x es la variable. Consideramos que la x es la "incógnita" de la ecuación, porlo que el objetivo es determinar el valor de x que hace que la ecuación sea ciena. Losvalores de la incógnita que hacen que la ecuación sea verdadera se Uaman solucio-nes o raíces de la ecuación, y el proceso para determinar las soluciones se llama re-solución de una ecuación.

Dos ecuaciones con exactamente las mismas soluciones se llaman ecuacionesequivalentes. Para resoLver una ecuación. tratamos de encontrar una ecuación mássimple y equivalente en la que la variable esté sola en un lado del signo de "igual" .En seguida están las propiedades que aplicamos para resolver una ecuación. (En es-tas propiedades, A, B Ye representan expresiones algebraicas y el símbolo <* sig-nifica "equivale a".)

x == 3 es una solución de la ecuación4x + 7 = 19. porque al sustituirx = 3 la ecuación se cumple:

Propiedades de la igualdad

Deseri pción

Sumar l.misma cantidad" ambos rniem-bros de una ecuación se obtiene unaecuación equivalente.

2. A= B<* CA = eB (e", () Multiplicar ambos miembros de unaecuación por la misma cantidad no cerose obtiene una ecuación equlvalenre.

Propiedad

1.A=B#A+e=8+e

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PueSIO quees importanteVERIFICARLAS RESPUESTAS. lo haremos enmuchos de los ejemplos. En estascomprobaciones. PM quiere decir"primer miembro" y SM quiere decir"segundo miembro" de Laecuaciónoriginal.

SECCiÓN1.5 Ecuaciones 45

Estas propiedades requieren que usted efectúe la misma operación en ambos la-dos de una ecuación cuando la resuelve. Por lo tanto, al decir "se suma -7" al re-solver una ecuación, lo que realmente queremos decir es "sumar -7 a cada miembrode la ecuación".

Ecuaciones linealesEl tipo más sencillo de ecuación es la ecuación lineal, o ecuación de primer grado,que es una ecuación en la cual cada término es una constante o un múltiplo no cerode la variable.

Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal de una variable es una ecuación equivalente a una de laforma

ax+b=O

donde a y b son números reales)' x es la variable.

A continuación hay algunos ejemplos que ilustran la diferencia entre ecuaciones li-neaJes y no lineaJes.

Ecuaciones lineales Ecuaciones no lineales

4x - 5 = 3 x' + 2x = 8No lin... l: """tiene elcuadrado de 18 variable

2x =!x - 7 No 'In~al. contíer¡e la (S1'zoDa<lrada d. la ""rl8~1.

v'X-6x=O

~-2x=1X

6x

x- =-3 No """'11. con~illne e1

recfprocc ti. 18varl.l:>I.

E emp-Io 1 Solución de una ecuación lineal

Resuelva la ecuación Tx - 4 = 3x + 8.

Solución Resolvemos la ecuación cambiándola a una equivalente en la que to-dos los términos que tienen la variable x están en un lado y todos los términosconstantes están en el otro.

7x - 4 = 3x + 8(7x - 4) + 4 = (3x + 8) + 4

Tx = 3x + 127x - 3.' = (3x + 12) - 3,.

4x = 12

~'4x=i'12x=3

Ecu",,16ndada5e suma 4

Slmpllficaci6nS. resta z'x

Se ESimplifics

Multiplicación por tSlmpllfiG8ci6n •

Compruebe su respuesta

x = 3: SM = 3(3) + 8

= 17

PM = 7(3) - 4

= 17

PMQSM

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48 CAPÍTULO1 Fundamentos

Esta es la Ley de Newton de la Gravi-tación. Determina la fueru gravita-CiODa! F entre dos masas nr y M queestán separadas una distancia r. Laconstante (i es la constante universalde la gravitación.

h

w

Figura 1Una caja rectangular cerrada

Mucbas fórmulas que se usan en las ciencias tienen varias variables, por lo que amenudo es necesario expresar una de las variables en términos de las otras. En elejemplo siguiente detennioamos una variable de la Ley de Newton de la Gravitación.

Determinar una variable en términos de las otrasDeterminar la variable M de la ecuación

mMF=G-T'Solución Aunque esta ecuación contiene más de una variable, la resolvemos dela manera usual, aislando a M en un lado y tratando a las otras variables como sifueran números.

F=(~~)M(~:)F= (~:)( ~~)M

s.saca a M como factor en .1 SM

Multipllcacl6n por el recíproco d. ~

SImptlflcacl6n

T'FLa solución es M = Cm' •

El área superficial A de la caja rectangular cerrada de la figura I se puede calcular apartir del largo 1, el ancho w y la altura h de acuerdo con la fórmula

A = 2Iw+2wh+ 21h

Determine w en términos de las otras variables de esta ecuación.

Solución Aunque esta ecuación contiene más de una variable, la resolvemos dela manera usual, aislando a wen un lado y tratando a las otras variables como sifueran números,

A = (21w + 2wh) + 2JhA-2/h=2Iw+2whA - 21h = (21 + 2h)wA - 2Jh21+2h =w

Ñ,lrupacl6.1 d. términO!> que contlenen w

Reetoa de 21h

Se .aca IV como factor en el SM

Dlvfol,s"entre 21+ 2h

A - 21hLa solución es w = 2/ + 2h' •Ecuaciones cuadráticasLas ecuaciones lineales son las ecuaciones de primer grado como 2.x + I = 5 Ocomo 4 - 3x = 2. Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de segundo gradox' + 2.x - 3 = O o como 2x' + 3 = 5x.

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Ecuaciones cuadráticas

x' - 2x - 8 = O

3x + 10 = 4x'

ix' + Ix - ~= O

SECCiÓN 1.5 Ecuaciones 41

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma

ax' + bx + e = O

donde a, b y e son números reales con a '" O.

Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediante factorización y usandola propiedad básica siguiente de los mímeros reales.

Propiedad del producto nulo

A8 =0 si y sólo si A=O o bien, 8=0

Esto quiere decir que si podemos descomponer en factores el primer miembro de una¡;:;) ecuación cuadrática, o de otro orden, entonces podemos resolverla igualando a cero,

por tumos, a cada factor. Este método funciona s610cuando el segundo miembro dela ecuación es O.


x - 3:(3)' + 5(3) = 9 + 15 = 24

x = -8:

(-8)' + 5(-8) = 64 - 40 = 24.¡

Solución de una ecuación cuadrática mediantefactorización

Resuelva la ecuación x' + 5x = 24.

Solución Primero debemos volver a escribir la ecuaci6n de modo que el se-gundo miembro sea igual a cero.

x' + 5x = 24

x' + 5x - 24 = O Reeu,;lo 24

(x - 3)(x + 8) = O FsCtOriUlCIÓ!1

F'roplot:l8d ,;101pro~ucto nulo

501"ci6"

x-3=0

x=3

o x+8=0

X = -8

Las soluciones son x = 3 Yx = - 8. •¿Se da cuenta por qué un lado de la ecuación debe ser O en el ejemplo 41 Al

factorizar la ecuaci6n como x(x + 5) = 24 no ayuda a determinar la solución,puesto que 24 se puede descomponer en factores de infinitas maneras, como6.4,!.48, (-j). (-60), etcétera,

Una ecuaci6n cuadrática de la forma x' - e = O, donde e es una constante po-sitiva, se factoriza como (x - Vc )(x + Vc) = O, as! que las soluciones sonx = Vc y x = - Vc. Con frecuencia abreviamos esto como x = ::!:: Vc.

Resolución de una ecuación cuadrática simple

Las soluciones de la ecuación x,= e son x = Vc y x = - Vc.

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48 CApITULO 1 Fundamentos

Refiérase a In página 30 para sabercómo identificar cuando una expresióncuedrauca es un cuadrado perfecto.

Completando el cuadradoEl área de la regién azules

x' + 2(~)..sX' + bx

Sume un cuadrado pequeflode área(b/2)' par. "completar" el cuadrado,

b2

x

k2L.. __ ...l.....

~JCuando complete el cuadrado,asegúrese de que el coeficiente de x'es l. Sí no es asf, debe factorizar estecoeficiente de los dos términosque contienen x:

lJX2 + bx = a( x2 +!x )

Luegocomplete el cuadrado que esUldentro del paréntesis, Recuerde que elttrmino sumado dentro del paréntesisesUlmultiplicadopor a.

El!m@lo 6 Resolución de ecuaciones cuadráticas simples

Encuentre la solución de cada ecuación.a) x' = 5 b) (x - 4)' = 5

Solucióna) De acuerdo con el principio del recuadro anterior, obtenemos x = ~ \15.b) Obtenemos también la raíz cuadrada de cada miembro de esta ecuación,

(x - 4)' = 5x-4=~v'5

x=4±\15Oouncl6n d. la rarz cu.tlrada

5e6uma4

Las soluciones son x = 4 + \15 y x = 4 - \15, •Como se estudió en el ejemplo 5, si una ecuación cuadrática es de la forma

(x ± a)' = e, entonces la podemos resolver obteniendo la raíz cuadrada de cadamiembro, En una ecuación de esta forma, el primer miembro es un cuadrado per-fecto: el cuadrado de una expresión lineal en x. Así, si una ecuación cuadrática no sefactoriza con facilidad, entonces la podemos resolver aplicando la técnica de com-pletar el cuadrado. Esto quiere decir que sumamos una constante a una expresiónpara hacerla un cuadrado perfecto. Por ejemplo, para hacer xl - 6.r un cuadrado per-fecto tenemos que añadir 9, ya que x' - 6.r + 9 = (x - 3)'.

Completar el cuadrado

Para hacer que X1 + bx sea un cuadrado perfecto, se suma (%) 1, el cuadrado

de la mitad del coeficiente de x, Esto da el cuadrado perfecto

xl+bx+ (~)' = (X+~)2

Resolución de ecuaciones cuadráticascompletando el cuadrado

Resuelva la ecuación.a) x2 - 8x + 13 = O b) 3x2 - 12.1' + 6 = O

Solución

a) x' - 8x + 13 Q O

x'-8x=-J3

x' - 8x + 16 = -13 + 16

(x - 4)' = 3

x-4=±V3

x=4±V3

(-e)'5<: completa el cU8drado: ee eums 2 = 16

Cuadl'll® perfectO

OOUncl6n de la rarz cuadrada

5<: suma 4

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fr'Jn~ols VI~tc (1540-1603) eroun politico CJ(j1l"O cuando se de-dlcó. In, m'lemáticas y. tarde en'u vida Se o-on\'i"i6en uno de lo,mateméticcs france.."ie.S más íame-sos del siglo 'N(' Vicill mtrodujoIIn nuevo nivel de. nbstrnccién enálgebra por medio del uso de leu-u"para representar cantidades C"(111"-

cidas de una ecuación. Antes de laépoc:l de Vi~le. c:ndn un. de lasecuaciones se (eUrO que resolverporseparado. Por ejemplo. las ecua-clones cuadráticas

lf!+2.t18~O

5x'- 1\, + 4 =0

se t~nrun que resolver \C1h1r.lda~completando el cuadrado. Lo ideade Vi~IC cru considerar lodtl> lasecuaciones cundrálica~ de una veza) escribir

ax"+b .• +c=O

donde n, 1I )' C <on cantidades C(>-

nocidas. Por consiguiente. él hizopo;ible escribir WIlI [6n,"'". enesre caso, la rónnula cUlldrillicll,que coetiene u. b y (.0 con In que sepueden resolver todo..., 13s OCU:D-

cienes t'\lodráucas en unos pocospasos,

El genio maiemddee de Vi~ledemostró lo valioso que era duorante la guerra entre Franela y ES-paña. Pum comunicarse con la."trepas. los e~p.¡lñoles-utilizaban uncompllcado código, que Viole des-cifró. El rey de España. Felipe Ji,ejeuo " lo> logro:. de ViOle. pro-teSló ante el Papa, )' aJirllló que losfmncese, .. recurrían o In bechiceríapara leer sus rnensnje:;,


b) Después de restar 6 a cada miembro de la ecuación, es necesario factorizar elcoeficiente de x, es decir, el 3. en el primer miembro para poner la ecuación enla forma correcta completando el cuadrado.

3x' - 12x + 6 = O eGUBcl6ndad8

3x' - 12x = -63(xl - 4x) = -6

SU6tn1eGl6n d. 6Factorlzacl6n de :3 .. .t PM

En seguida completamos el cuadrado añadiendo ( - 2)2 = 4 dentro del paréntesis.Ya que lodo lo que está dentro del paréntesis está multiplicado por 3, esto quieredecir que en realidad estamos alIadiendo 3 ·4 = 12 al primer miembro de laecuación. Por lo tanto, tenernos que sumar también 12 al segundo miembro.

3(X2 - 4x + 4) = -6 + 3 .43(x - 2)' = 6(x - 2)' = 2

x - 2 = :tV2x=2+V2

Cu.odrado completado: ee oum. 4

Cuadrado perf=DM616n entre :3Se ol7U"n" l. rsJz cuadr,dlilSe 6u"",2 •

Podemos aplicar la técnica de completar el cuadrado con el fin de deducir unafórmula para determinar las raíces de la ecuación cuadrática general a;c2 + bx +c= O.

La Iórmula cuadrática

tas raíces de la ecuación cuadrática ax2 + /'X + e = O, donde o ,¡. 0, son

-b:t Vb2 - 4ac20

.t =

• Demostración Primero dividimos ambos miembros de la ecuación entre a ypasamos la constante aliado derecho, con lo que se tiene

b exl + -x = --

a aDM.r.sn entro •

Luego completamos el cuadrado sumando (b/20)2 a ambos miembros de laecuación:

X2+ ~.~+(~)2= _: + (~)2(

b)2 -4óc + b'x + _ = _..:.:-:--=-2a 40'

b Vb' - 4acx + _ = :t_;_.:..__--=.:.20 20

-b :t Vb' - 4ac20

Cuadrado pmf=

Ol>tencl6n d. l.... fz cuadra""

•x=

La fórmula cuadrática se podría utilizar para resolver las ecuaciones en los ejem-plos 4 y 6. Usted puede llevar a cabo con todo detalle estos cálculos.

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50 CAPITULO1 Fundamentos

Otro método4x' + Ilr + 9 = O

(2.1'+ 3)' =0

2.1'+3=0

.t = -j

Aplicación da la fórmula cuadráticaEncuentre todas las soluciones de las ecuaciones.a) 3x' - 5x - 1 = O b) 4x' + 12x + 9 = O

Solucióna) En esta ecuación cuadrática a = 3. b = -5 Yc = -1.

c) x' + 2x + 2 = O

3x' - 5x - I = O

De acuerdo con la fórmula cuadrática,-( - 5) :!: Vr."(---:5"')'---4":-:(3--:)(--~I) 5 :!: V37

x = -2(3) 6

Si se desean aproximaciones, podemos usar una calculadora para obtener

5 + v'37x = 6 - 1.8471 y

5 - V37x = 6 - -0.1805

b) Al usar la fórmula cuadrática con a = 4, b = 12 Ye = 9 tenemos

. -12:!: v'(12)2- 4·4·9 -12:!: Ox = - =--

2·4 8 23

Esta ecuación tiene sólo una solución. x = -~.c) Si usamos la fórmula cuadrática con a = 1,b = 2 Yc = 2 obtenemos

-2 :!:v'2' - 4·2 -2:!: v'=4 -2 :!:2Y::¡x= = = =-¡ ...y::¡2 22-

Puesto que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, y::¡ no estádefinido en el sistema de los números reales. La ecuación no tiene solución real.•

En la sección 3.4 se estudia el sistema de los números complejos. en el cual síexisten las raíces cuadradas de los números negativos. La ecuación del ejemplo 7 (c)sí tiene soluciones en el campo de los ntímeros complejos.

La cantidad b' - 4ac que aparece bajo el signo de la raíz cuadrada en la fórmulacuadrática se denomina discriminan re de la ecuación ax' + bx + c = O Yse repre-sentan con el signo D. Si D < 0, entonces v'b'l 4ac no está definido. por lo quela ecuación cuadrática no tiene solución real. como en el ejemplo 7 (e). Si D = O, laecuación tiene sólo una solución real. como en el ejemplo 7 (b), Por último. siD > O,entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas, como en el ejem-plo 7 (a). En el siguiente recuadro se resumen estas observaciones.

El discriminante

El díscrimínante de la ecuación cuadrática general ax2 + bx + e = O (a '" O),es D = b : - 4ac.

1. Si D >O.entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.2. Si D = O.entonces la ecuación tiene exactamente una Solución real.3. Si D < O.entonces la ecuación no tiene solución real.

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Esta fórmula depende del hecho de quela aceleración de la gravedad es cons-tante cerca de la superficie terrestre, Eneste caso ignoramos el efecto de la re-sistencia del aire.

tascenso

•descenso

T¡,

Figura 2

T6400 pies


Uso del discriminanteUtilice el discriminante para determinar cuántas soluciones reales tiene cadaecuación.a) x1 + 4x - I = O b) 4x1 - 12.< + 9 = O e) !x' - 2x + 4 = O

Solucióna) El discriminante es D = 4' - 4( 1)( - 1) = 20 > O, de modo que la ecuación

tiene dos soluciones distintas.b) El discriminante es D = (-12)' - 4·4·9 = O.por lo que la ecuación tiene

exactamente una solución real.e) El discriminante es D = (-2)' - 4(!)4 = - ~< O,entonces la ecuación no

tiene solución real. •

En seguida consideramos una situación de la vida real que puede ser modeladamediante una ecuación cuadrática.

Un objeto arrojado o lanzado hacia arriba con una velocidad inicial Vo piesls alcan-zará un altura de Ir pies después de 1segundos. donde h y 1están relacionadas me-diante la fórmula

Ir = -161' + Vol

Suponga que se dispara una bala directamente hacia arriba con una velocidad ini-cial de 800 pies/s. Su trayectoria se muestra en la figura 2.

a) ¿Cuándo regresará la bala al nivel del piso?b) ¿Cuándo alcanzará una altura de 6400 pies?e) ¿Cuándo alcanzará una altura de 2 millas?d) ¿Cuál es el punto más alto que alcanza la bala?

Solución Puesto que la velocidad inicial es LI> = 800 pies/s, la fórmula es

Ir = -1612 + 8001

a) El nivel del piso corresponde a h = O. de modo que necesitamos resolver laecuación

0= -16/1 + 8001

0= -161(1- 50)

s.h"", h = O

Por consiguiente, 1= O 01 = 50. Esto quiere decir que la bala inicia (1 = O) alnivel del piso y regresa al mismo nivel después de 50 segundos.

b) Haciendo h = 6400 tenemos

6400 = -161' + 8001161' - 8001+ 6400 = O

12 - 501 + 400 = O(1 - 10)(1 - 40) = O

t= 10 o

Se hace h= 6400

Todos los téntllnos al PM

DMslm. entro 16

De5compo6icl6n on factoro6

Soluclén1 = 40

La bala alcanza 6400 pies después de 10s (el ascenso) y otra vez después de 40 s(en el descenso al suelo).

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62 CAPITULO 1 Fundamantos

2 mi


x = 3:

3 SPM="3+3+2

=1+1=2

SM=2

PM=SM

3 SPM=_I+_1+2

= -3 + S = 2

SM =2

PM=SM

e) Dos millas es 2 X 5280 = 10560 pies.

10560 = -161' + 8001 5~hacoh = 10560161' - 8001+ lO 560 = O

l' - 501+ 660 = OTo.:Ioeloe ¡¿rmlnoe te p.&.n.1 PM

Olvf.lón onuo 16

El discriminante de esta ecuación es D = (-SO)' - 4(660) = -140. que esnegativo. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución real. La bala nunca alcanzauna altura de 2 millas.

d) La bala alcanza dos veces cada altura: una vez en el ascenso y una vez en el des-censo. La única excepeión es el punto más alto en su trayectoria, al cual llegasólo una vez. Esto quiere decir que para el valor más alto de h, la ecuaciónsiguiente sólo tiene una solución para 1:

h = -161' + 8001161' - 8001 + h = O

A su vez, esto significa que el discriminante D de la ecuación es O, y entonces

D = (-800)' - 4(16)h = O640000 - 64h = O

Ir = 10000

La altura máxima alcanzada es 10000 pies. •Otros tipos de ecuacionesHasta este momento, hemos estudiado cómo resolver ecuaciones lineales y cuadrá-ticas. En seguida se tratan otros tipos de ecuaciones, incluso aquellos en los que haypotencias superiores, expresiones fraccionarias y radicales.

o.!l!!. ... Una ecuación con expresionesfraccionarias

Resuelva la ecuación l + S = 2.x x+2

Solución Eliminamos los denominadores multiplicando ambos miembros por elmínimo común denominador.

,¡

(~ + S )x(x + 2) = 2x(x + 2)x x+2

3(x + 2) + Sx = 2x' + 4x

8x + 6 = 2x' + 4x

O = 2x' - 4x - 6

O = x, - 2x - 3

Re.~el.a. + .,

.'1m""" rnlembroo ee dMden entre 2

Multlpllcacl6n p"" MeO X{X + 2)

D"".rrolle

D•• arrolle ".1 PM

O = (x - 3)(x + 1)

x-3=0

x=3

x+I=O

x = -1

Propleeladd.1 prodUG1<> nulo

Solucl6n

o

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r = _l.• ••

PM = 2(-l) = -!SMa 1 - V2 - (-l)

= 1 - vi= 1 - i= -!

PM =SM

x = 1:

PM = 2(1) = 2

SM = 1- V'r.2~1

=1-1=0

PM 'l'SM


Es necesario comprobar las respuestas porque la multiplicación por una expresiónque contiene la variable puede introducir soluciones extrañas. Según la secciónCompruebe su respuesta vemos que las soluciones son x = 3 Y - 1. •

Cuando resuelva una ecuación que contenga radicales, sea especialmente cuida-doso al comprobar las respuestas finales. El ejemplo siguiente demuestra por qué.

Una ecuación que involucra un radicalResuelva la ecuación 2x = I - Y2 x.Solución Para eliminar la raíz cuadrada, primero la aislamos en un miembro, yluego elevarnos al cuadrado.

.¡ 2x-I=-Y2-x(2x - 1)1 = 2 - x

4xl - 4x + I = 2 - X

4xl - 3x - 1 = O(4x + I )(x - 1) = O

Re.UIEIIMlm05 al cuod"""o amb06mIom~1'I)!;

De•• rrollo del prfmer miembroSuma d.-2 + xFactorlzac16nPropled.d d.1 producto nuloSoluc16nx

4x + I = Ox =-1

o x-I=Ox=1

Los valores x = - ~y x = 1 son sólo soluciones potenciales. Es necesario compro-barlas para ver si cumplen con la ecuación original, De acuerdo con Compruebe surespuesta vemos que x = - t es una solución, pero x = 1 no lo es. La única solu-ciónesx = -~. •

Cuando resolvemos una ecuación, podemos terminar con una o más solucionesextrañas, es decir, soluciones potenciales que no cumplen con la ecuación original.En el ejemplo 11, el valor x = I es una solución extraña. Dichas soluciones se puedenintroducir cuando elevarnos al cuadrado ambos miembros de una ecuación porquela operación de elevar al cuadrado puede transfonnar una ecuación falsa en unaverdadera. Por ejemplo, -1 * 1, pero (-1)2 = 11

.Por consiguiente, la ecuacióncuadrada podría ser verdadera para más valores de la variable que la ecuación origi-nal. Ésta es In razón por la que debe comprobar siempre sus respuestas para tener laseguridad de que todas cumplen con In ecuación original.

Una ecuación de la forma a\1I2 + bW + e = O, donde Wes una expresión al-gebraica, es una ecuación del tipo cuadrático. Las ecuaciones de tipo cuadrático seresuelven reemplazando la expresión algebraica con W, como se ve en los dos ejem-plos siguientes.

Una ecuación de cuatro grado da tipo cuadráticoEncuentre todas las soluciones de la ecuaciónx' - 8x' + 8 = O.Solución Si bacemos que W = x', entonces obtenemos una ecuación en donde lanueva variable W es cuadrática:

(x')' - &x' + 8 = O S. _rl~.x' como (x')'w2 - 8\11 + 8 = O Se hace W = X2

-( -8) :t V(_8)' - 4·8IV = 2 = 4 :t 2 v'2 F6rmuls cuadrática

x' = 4 :t 2 v'2 W = x2x = ...v'4 :t 2 v'2 ot>tenci6n de 189ráoce6 cuadradas

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54 CAP[TUlO, Fundamentos

PitágoráS (alrededor de 580-500antes de nuestra cm) fundó una es-cuela en Crotona, en el sur delralia, que estaba dedicada al estu-dio de la ariunéuca, gcomelda.müslca y asrronomr a, U)S pitagóri-cos, como ellos se llamaban 3 símismos, constituían una sociedadsecreta COn reglas y ritos de ini-ciación peculiares. No escribieroanada, ni revelaban a nadie lo queaprendían del maestro, Aunque lasmujeres tenían prohibido por l.ley asisllr a reuniones poblices.Pitágoras permitié que asistieranmujeres a su escuela, y su esiu-díame m~s famosa fue lbeano. conquien se CIlSÓ posteriormente,

Según Aristóteles, los pltagó-ricos estaban convcneídos de que"los principios de las mntemétlcasernn los principios de Ladas lascosas", Su tema era "E] todo SOnlos números", y se referl." a losndmeros enteros. La principal con-tribución dc Pitágoras es el teo-rema que lleva Su nombre: en unttiángulo ret:tángulo el área delcuadrado sobre l. hipotenusa esigual a la suma de In; área, de loscuadrados de los otros dos Indos.

ea

b {-t--.....

El inverso del Teorema de Pi~g_o·ras también es cieno: un rriángu-lo cuyos lados a. b y e satisfacena' + 1>' : ¿. es un triángulo rec-tángulo.

Entonces, hay cuatro soluciones:

v'4 + 2'\12. -v'4-2'\12-v'4 + 2'\12,Con la ayuda de una calculadora obtenemos las aproximaciones x .. 2.61, 1.08,-2.61, -1.08. •E O 13 Una ecuación que contiene potencias

fraccionarias

Determine todas las soluciones de la ecuación x 1/3 + x'/6 - 2 = O.

Solución Esta ecuación es del tipo cuadrático porque si hacemos que W = x t/6,entonces w2 = (..t/6)2 = XI/3.

XI/3 + x'/6 - 2 = O

Se ....0. IV = x,le

Faotorizaol6n

W2+W-2=0

(W - I )(W + 2) = O

W-I:O o bien W+2=0

W= I W=-2

f'l-opiedad del producto nuto

Saludón

1'1= x"6XI/6 = I

x = 16 = I x = (- 2)6 = 64 Ol7tencl6n de la .0>Cta potencia

De acuerdo con Compruebe su respuesta vemos que x = I es una solución. perox = 64 no lo es. La única solución es x = l. •Compruebe Su respuesta

x = 1:

PM = 1'/.1+ 1'''' - 2 = O

x e 64:

PM = 64'/l + 64'/4 - 2

=4+2-2=4

SM =0SM=O

PM=SM PM '" SM x

Por lo común, al resolver ecuaciones que contienen valores absolutos, partimosel problema.

Una ecuación con valor absoluto

Resuelva la ecuación 12x - 51 = 3.

Solución De acuerdo con la definición de valor absoluto, 12x - 51 = 3equivale a

2x - 5 = 3 o bien 2x - 5 = -32x=8 2x=2x=4 x=1

Las soluciones son x = 1, x = 4. •

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1-4 • Determine si 01 valor dado e. una solución de laecuación.

1.4x+7=9x-3a) x = -2 b) x ~ 2

2. 1 - [2 - (3 - x») = 4x - (6 + x)a) x =2 b) x= 4

13. - - = 1x x-4

a) x= 2 b) x = 4

x',,4. 6-x-8x-

S-,21 • La ecuación dada es lineal o equivale a una ecuaciónlineal. Resuelva la ecuación.

5.2x+7a31

7. !x - 8 = 1

9. -7w = L5 - 2w

6. Sx- 3a4

8.3+!x=5

10. 5t - 13 = 12 - 5t: 311. !y - 2 = jy U. - = - z + 75 JO

13. 2(1 - x) - 3(1 + 2x) + S

14 ~)'+.!.(y-3) =y+ 1. 3 2 4

15. x - !x - !x - S = Ox x+1

16. 2x - '2 + 4 ~ fu

2x - 1 418. x+2 =S

4 2 3S20. -- + = -==~

x - 1 x + 1 x' - 1x+5

22. V:lx + vU = V:l

1 417. - = - + 1x 3x

19. 3 _ .!.= .,--:"""x+1 2 ]x+3

21. (t - 4)' = (t + 4)' + 32

23-36 • Resuelva la ecuación para La variable indicada.

mM24.F = G-,: param

r23. PV = nRT: para R

I I I25.-=-+-;R R, R,

27. ax + b = 2:ex + d

para R, 26. P = 2J + 2w; paraw

para x

mJ.f32.F=G,: parar

r

33. a' + b' = e'; para b

34. A= p( 1 + I~)': para i

n(n + 1)35. h = !gt' + vot; para t 36. S = 2 ; para n

37-44 • Resuelva la ecuación por factorizacién.

37. x' + x - 12 = O 38. x' + ]x - 4 = O

39. x'-7x+ 12-0

41. 4x' - 4x - 15 = O

43. ]xl + 5x D 2

40. x'+8x+ 12=0

42. 2y' + 7)' + 3 = O

44. 6x(x-l) =21-x

45-52 • Resuelva l. ecuación completandoel cuadrado.

45. x' + 2x - S = O 46. x' - 4x + 2 = O

47. x' + 3x - t = O

49. 2x' + 8x + 1 = O

51. 4x' - x = O

48. x' = Ix -!so. 3x' - fu - 1 = O

52. -2x'+fu+3=0

53-68 • Encuentre todas las soluciones reales de La ecuacióncuadrática .

53. x' - 2x - 15 = O

55. x' + 3x + 1 = O

57. 2x' + x - 3 = O

59. 2)" - )' - ¡= O

61. 4x'+ Ifu-9=O

63.3+5:+:'=0

65. V6x' + 2x - V3fi = O

67. 25x' + 70x + 49 = O

54. x'+3Ox+200=O

56. x' - fu + 1 = O

58. 3x' + 7x + 4 = O

60. 6' - ~6 + ~ = O

62. w' = 3(w - 1)

64. x' - V5x + 1 = O

66.3x'+2t+2=0

68. 5x' - Tx + 5 = O

69-74 • Utilice el discriminante para determinar el número desoluciones reales de la ecuación. No resuelva la ecuación

69. x' - fu + 1 = O71. x' + 2.20x + 1.21= O

73. 4x' + Sx + V = O

70. ]X, = fu - 9

72. x' + 2.21x+ 1.21 = O

74. x' + rx - s = O (s > O)

7S-98 • Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación.28. a - 2[b - 3(c - x)] = 6; para x 5 76. 10 _ 1229. a'x + (a - I) = (a + 1)x; 75. + = - +4=0para x x-I x+2 4 x x-3

30. a + 1 a - L b+1 x' 1 2= + patao 77. x + 100 = 50 78. --GOO.b b a x - 1 x'

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66 CAPiTULO 1 Fundamentos

.<+5 5 28 x x+179. = + 1 SO. ___::...... = 1

.<-2 x +2 x -4 2x+7 .. +381. V2x + 1 + 1 = x 82. v'5"=X + 1 = x - 2

84. 'IIvx-5+x=583. 2x + Vx + 1 = 8

85. x' - 13x' + 40 = O 86. x' - 5.t' + 4 = O

87. 2x' + 4x' + 1 = O 88 .... - 2x' - 3 = O89. x'" - 5x'" + 6 = O 90. \IX - 3 ~ - 4 = O

91. 4(x + 1)'/2 - 5(x + 1))/2 + (x + 1)'/2 = O92. x'" + 3x·'" = 10..-3/2

93. x'" - 3.t'/3 = 3.<'/6 - 9 94. s - 5\IX + 6 - O95.12xl=3 96.13.<+51=1

97.lx-41=0.01 98·lx-61=-1

Aplicaciones~IOO • Problema. de calda da lo. cuerpos Supongaque dejamos caer UD objeto desde una altura ho por arribadel suelo. Entonces, su altura después de 1 segundos esh o -16,1 + ho. donde h se mide en pies. Utilice esta informa-ción para resolver el problema.

99. Si se deja caer una pelota desde 288 pies por arriba del sue-lo, ¿cuánto tiempo es necesario para que llegue al sucio?

100. Se deja caer una pelota desde la parte superior de un edifi-cio de 96 pies de alto.a) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer la otilad de la distan-

cia a1 suelo?b) ¿CuánIO wdará en llegar al suelo?

101-102 • Problemas de calda de los cuerpos Utilice lafórmula h = -16,' + V.' que se analizó en el ejemplo 9.101. Se lanza una pelota hacia arriba con un. velocidad inicial

de v. = 40 pies/s.a) ¿Cuándo a1C3JWlla pelota la altura de 24 pies?b) ¿Cuándo alcanza la altura de 48 pies?e) ¿Cuáles la altura máxima que a1C3JWlla pelota?d) ¿Cuándo alcanza la pelota el puDIO más alto de SU

trayectoria?e) ¿Cuándo golpea el suelo la pelota?

102. ¿Qué tan rápido se tendría que lanzar hacia arriba unapelota para alcanzar uoa altura máxima de 100 pies?[Suge",ncia: utilice el discriminante de la ecuación161' - U.I + h = O.)

103. Contracción d. 18. vigas de concreto A medida queel concreto fragua. se contrae -entre mayor es el con-tenido de agua. es mayor la contracción-o Si una viga deconcreto tiene un contenido de agua de w kglm', entoncessufrirá contracción de acuerdo con un factor

s = 0.032w - 2.510000

donde S es la fracción de la longitud de la viga originalque desaparece debido a la contracción .a) Una viga de 12.025 m de largo se cuela con concreto

que contiene 250 kglm' de agua. ¿Cuál es el factor decomraccién S1 ¿Cuánto medirá de largo la vigacuando seque?

b) Una viga mide de largo 10.014 m recién colada. Quere-mos que se contraiga a 10.009 m, por lo que el factorde contracción debe ser de S = 0.00050. ¿Qué con-tenido de agua proporcionará esta cantidad decontracción?-_---_

104. Ecuación de una lente Si F es la distancia focal de UDalente convexa y se coloca un objeto a una distancia x dela lente. entonces la imagen del objeto estará a una distan-cia y dc la lente, donde F. x y y están relacionadas me-diante la ecuación de una lente

1 1 1-=-+-F x y

Suponga que la distancia focal de una lente es de 4.8 cm.y que la imagen de un objeto es 4 cm más cercana a lalente que el objeto en sí. ¿A qué distancia de la lente estáel objeto?

105. Población de peces La población de peces de un lagoaumenta y disminuye según la fónnula

F = 1000(30 + 17, - 1')

En este caso, F es la cantidad de peces que hay en el tiempot,donde 1se otide en años desde el primero de enero de 2002,cuando la población de peces se estimó por vez primera.al ¿En qué fecha la población de peces volverá a ser la

misma que en el primero de enero de 20021b) ¿En qué fecha habrán muerto todos los peces del lago?

lOO, Población de pecas Un gran estanque se surte de peces.La población de peces P se modela mediante l. fórmulaP = 31 + 10Vi + 14O,doDdelesel número de dfas a par-tir de que los peces se inlrodujeron al estanque. ¿CuánlOSdías se tardará en que la población de peces alcance 500?

107. Ganancias Un fabricante de pequeños instrumentosencuentra que la ganancia P (en dólares) generada por l.producción de x hornos de microondas por semana estádada por la fórmula P = ~x(300 - x) siempre queO :S x s200. ¿Cuántos hornos se tienen que fabricar enuna semana para generar una ganancia de 1250 dólares?

108. Gravedad Si un segmento de recta imaginario se trazaentre los centros de la TIerra 'i la Luna, entonces la fuerza

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gravitacional neta F que actüa en un objelo situado en estesegmento es

F = -K + O.OI2Kx' (239 - x)'

donde K > O es una constante y x es la distancia del objetodesde el centro de la Tierra, medido en miles de millas.t.Qué tan lejos del centro de la TIerra eslá el "pUOIOmuerto" donde ninguna fuerza gravitacional acula sobre elobjelo? Exprese su respuesta en la milla más cercana.

109. Profundidad de un pozo Un método para determinarl. profundidad de un pozo es arrojar una piedra hacia den-tro y medir el tiempo que toma hasta que se escucha elchoque contra el agua. Si d es la profundidad del pozo enpies y " en tiempo en segundos que requiere la piedrapara llegar iII agua, entonces d = 1611, de modo que" = Vd/4. Luego, si 1, es el tiempo que tarda el sonido enviajar. entonces d = 10901, porque l. velocidad del sonidoes 1090 pie." s, Entonces " = d/I09O. Por lo 18010, eltiempo total transcurrido entre que se arroja la piedra y es-cuchar que choca contra el agua es

Vd d1, + 1, = "'4 + 1090

¿Qué tan profundo es, el pozo si el tiempo rotal es3 segundos?

Tiempo

1IIIIII1I..

Tlernpcen que

h, piedra 1cae:1 - oI!,- .

en que

1el sonidosube:

d'::= 1C)9t)

Descubrimiento' Debate110. Una familia de ecuaciones la ecuación

3x+k-S=kr-k+ I


es en reatidad una ramilla de ecuaciones porque para cadavalor de k obteeemos una ecuación disúnla con la ioc6g-nita X. La letra k se denomina parámetro de esta familia.¿Qué valor debemos escoger para k para que el valor dadode x sea una solución de la ecuación resultante?

a) x = O b) x = I e) x= 2

111. ¿Demostración de que O = l? Al parecer, los pasossiguientes dan ecuaciones equivalentes, lo cual parecedemosuar que I = O. Encuentre el error,

x=1 DIitO

x2 =.x MultlpliGAOl6n por.

Xl - X c: O R.o.ta de.

x(x- 1) = O F.ctcrlzacl6n

*-1) ODlvI.l6n •• <re x - I=x-I x-I

x=O 51mpllflc8c16n

1=0 Dado. = 1

1U. Volumen de sólidos la esfera, cilindro y el conomostrados aquí tienen el mismo radio r y el mismovolumen V.a) Utilice las fónnuJas del volumen que se encuentran en

los forros interiores de este übro para demostrar que

y

b) Resuelva estas ecuaciones para ", y h,.

r

113. Relaciones entre ralees y coeficientes La fónnu-la cuadrática nos proporciona las raíces de una ecuacióncuadrática a partir de sus coeñcíente s. Tambito es posibleobtener los coeficientes a partir de las rarees. Por ejemplo,encuentre las raíces de la ecuación Xl - 9x + 20 :;; O ydemuestre que el producto de las rafees es el términoconstante 20 y que la suma de las raíces es 9. el negativodeí coeficiente de x. Demuestre que la misma relaciónemre ralees y coeficientes se cumple para las ecuacionessiguientes:

x' - 2x - 8 = Ox' + 4x + 2 = O

Aplique la fónnula cuadrática para demostrar que, en ge-neral, si la ecuación X2' + bx + e = O tiene raíCes'1 y '11

entonces e ~ TI'2Y b A -('1 + '2)'

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58 CAPITULO1 Fundamentos

114. Resolución de una ecuación de maneras distintasYa se estudiaron varias maneras de resolver una ecuaciónen esta sección. Algunas ecuaciones se pueden abordarpor más de un método. Por ejemplo. la ecuaciónx - V; - 2 = O es de tipo cuadrático; podemos resol-verla haciendo \IX = u y x = ,,', y factorizando después.O también se puede eliminar Vx, elevando al cuadradoambos miembros, y luego resolvíendo la ecuaci6ncuadrática resultante. Resuelva las ecuaciones siguientes

usando ambos métodos señalados y demuestre que obtienelas mismas respuestas finales.a) x - vx - 2 = O tipo cuadrático; despeje del

radical y elevar al cuadrado

b) 12 + 10 + I = O(x-3)' x-3

tipo cuadrático;multiplicación porel mínimo COmúndenominador

".. 1.6

Muchos de los problemas de las ciencias, economía, finanzas, medicina y otros nu-merosos campos se pueden traducir a problemas de álgebra. í:Sta es una razón por laque el álgebra es tan útil. En esta sección usamos las ecuaciones como modelosmatemáticos para resolver problemas de la vida cotidiana.

Criterios para modelar con ecuacionesSe aplican los siguientes criterios para plantear ecuaciones que modelen situacionesformuladas en palabras. Para mostrar la manera en que los criterios pueden ayudar aplantear las ecuaciones, anotamos al margen cuándo funciona cada ejemplo de estasección.

Criterios para modelar con ecuaciones

'l , Jdentillear la variable, Identifique la cantidad que el problema le pide de-terminar, PO( lo regular, esta cantidad se puede determinar por medio de unalectura cuidadosa de la pregunta planteada al final del problema, Entoncesintroduzca la notación para la variable (llárnela x o cualquier otro nombre).

2. Expresar todas las incógnitas en términos de la variable, Un una VeZ

más cada oración del problema, y exprese rodas las cantidades mencionadasen el problema en términos de la variable que definió en el paso l. Para or-gnnizar esta información, a veces es útil dibujar un esquema o elaboraruna tabla,

3. Plantear el modelo, Encuentre el hecho decisivo en el problema que rela-ciona In; expresiones que usted listó en el paso 2, Plantee una ecuación omodelo, que exprese esta relacién,

4. Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta. Resuelva la ecuación,veri fique la respuesta y exprésela como una oración que responde a la pre-gunta hecha en el problema,

El ejemplo siguiente ilustra la manera en que estos criterios se aplican para tra-ducir el enunciado de un problema al lenguaje del álgebra.

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J4entilique la ,Y.irlable

Exprese lodos Ins cantidadesdesconocidas en términos de la

variable

'Planteeel modelo

Resolución


costo COStOde costototal = las millas + por

recorridas día

= 0.15(320) + 2(30)

= 108

Iilenillique la yariable

SECCiÓN 1.6 Modelado mediante ecuaciones 59

Una compañia que renta automóviles cobra 30 dólares a! dla mlls 15 centavos dedólar por milla al rentar un automóvil. Helen renta un automóvil por dos días y sucuenta es de 108 dólares. ¿Cuántas millas recorrió?

Soludón Se pide determinar la cantidad de millas que Helen recamó. Enton-ces sea

x = cantidad de millas recorridas

Luego traducimos toda la informacióri del problema a! lenguaje del álgebra.

En palabras En lenguaje algebraico

Cantidad de millas recorridasCosto de la cantidad de millasrecorridas (a 15 centavos la milla)

COSlOdilltÍo (a 30 dólares el dla)

x

0.15x2(30)

En seguida plantearnos el modelo.

costo de las costodiario

cnstototal+millas recorridas

0.15x + 2(30) = 108

0.15x = 4848x=--

0.15

x = 320

Dlviei6" onuo 0.15

Calculadora

Helen recorrió 320 millas con su auto rentado. •Construcción de modelosEn los ejemplos y ejercicios que siguen planteamos ecuaciones que modelan pro-blemas en muchas situaciones distintas de la vida cotidiana.

Interés de una inversión

Mary hereda lOO000 dólares y los invierte en dos certificados de depósito. Unode los certificados paga e16% y el airo paga 4!% de interés anual simple. Si elinterés tata! de Mary es 5025 dólares por año, ¿cuánto dinero está invertido en cadatasa?

Soluc:ión El problema pide la cantidad que Helen invirtió a cada una de lastasas. Sea

x = la cantidad invertida a 6%

Puesto que el total de la herencia de Mary es de 100 000 dólares, se infiere enton-ces que invirtió 100000 - x al 4!%. Pasamos toda la información a! lenguaje delálgebra.

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60 CAPfTULO1 Fundamentos

Exprese todas las canudadesdesconocidas en términos de la

variable

Plantee el modelo

Resuelva

En probíemas como éste, para el que serequiere geometría, ..s esencial dibujarun diagrama como el que se muestra enla figur:I 1.

Identifique la variable

Sxprese las canüdades desconocidasen términos de la variable

En lenguaje algebraico

Cantidad invertida al 6%Cantidad invertida al4t%Interés ganado al 6%Interés ganado a14~%

x100000 - s0.06x0.045(100 000 - xl

Aprovechamos el hecho de que el interés total de Mary es de 5025 dólares paraplantear el modelo.

interés al 6% + inte¡-6s al 4! % = interés total

O.06x + 0.045(100 000 - x) = 5025

O.06x + 4500 - 0.045x = 5025 MultlptJcacl6n

0.015x + 4500 = 5025 C<lmbfNc:i6ndc:lo6tbmi_x

0.Ol5x = 525 S\J&tnlccicln "" 4500

525x = 0.015 = 35000 DMei6n entre 0.D15

Por lo tanto, Mary invirtió 35 ()()()dólares al 6% y los restantes $65 ()()()dólares

al41· •


interés total = 6% de 35 000 dólares + 4~% de 65 000 dólares= S2100 + $2925 = 55025 .,¡

Dimensiones de un cartel

Un cartel tiene una superficie impresa de 100 por 140 cm y una franja de ancho uni-forme alrededor de los cuatro lados. El perímetro del cartel es 1! veces elperímetro del área impresa. ¿Cuál es el ancho de la franja eo blanco y cuáles son lasdimensiooes del cartel?

Solución Se pide determinar el ancho de la franja en blanco. Entonces, sea

x = ancho de la franja en blanco

Luego pasamos la información de la figura Ial lenguaje algebraico:

En palabra En lenguaje algebraico

Ancho de la franja en blancoPerímeeo de la superficie impresaAncho del cartelLargo del canelPerímetro del cartel

x2(100) + 2(140) = 480100 + 2x140 + 2x2(100 + 2x) + 2(140 + 2x)

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Planteeel modelo

Resuelva

Identifiquel. variable

Exprese todas los cantidadesdesconocidas en términos de la

variable

SECCiÓN1.6 Modelado mediante ecuaciones 61

A continuación usaremos el hecho de que el perímetro del cartel es l! veces elperímetro del área impresa para formular el modelo.

perímetro del cartel = ~. perímetro del área impresa

2(100 + 2x) + 2(140 + 2x) = ~·480

480 + 8x = 720

8x = 240

Desarrollo y comblnaolónd.Úrmln"" ""mejante~ en el PM

5u6traccl6n de 480

x= 30 Dlvl5lón entre I?>

La franja en blanco mide 30 cm de ancho, de modo que las dimensiones delcartel son

100 + 30 + 30 = l60cmdeancbo

140 + 30 + 30 = 200 cm de largopor

T140 cm

1Figura 1

..l.r

T

..lxT

•=~Dimensiones de un terreno para construcción

Un terreno de forma rectangular para construir mide 8 pies más que el ancho y suárea es de 2900 pies cuadrados, Determine las dimensiones del lote.

Solución Se pide determinar el ancho y el largo del terreno. Entonces. sea

w = ancbo del terrenoLuego expresamos la información dada en lenguaje algebraico (véase la figura 2 dela pág. 62).

En pal~!lras En lenguaje algebnalco

Ancho del terrenoLargo del terreno

Ahora planteamos el modelo.

ww+8


CAPITULO 1 Fundamentos

Formule el modelo

lílentifique la variable

Exprese todas las cantidadesdesconocidas en términos de la

variable

)

PIaDIee elmodelo

ancho delterreno

largo del = área delterreno terreno

w(w + 8) = 2900u? + 8w = 2900

u? + 8w - 2900 = O(w - 50)(w + 58) = O

Desarrollo

Su.~",aal6<1 ti. 2900

FactorlzaclónPropl.~stl~.Iprotl.cto nulow = 50 o w = -58

Puesto que el ancho del terreno tiene que ser un número positivo. concluimos quew = 50 pies. El largo del terreno es w + 8 = 50 + 8 = 58 pies.

w

Rgur.2 w+8 •Determinación de la altura de un edificioaplicando los triángulos semejantes

Un hombre de 6 pies de estatura desea encontrar la altura de un edificio de cuatropisos. Mide la sombra del edificio y encuentra que es de 28 pies. y mide también supropia sombra. la cual es 3~pies de largo. ¿Cuál es la altura del edificio?

Solución El problema pide determinar la altura del edificio. Sea

h = altura del edificio

Aprovechamos el hecho de que los triángulos de la figura 3 son semejantes. Re-cuerde que para cualquier par de triángulos semejantes las relaciones de sus ladoscorrespondientes son iguales. Ahora traduzcamos estas observaciones al lenguajedel álgebra.

En palabra. En lenguaje algebraico

Altura del ediJicío h

Relaci6<1entre la altura y la base del triángulo mayor

Relación entre la altura y la base del triángulo menort..!.3.'

Como el triángulo mayor y el menor son semejantes. obtenemos la ecuación

proporción enrre la altura y labase en el triángulo grande

= proporción entre la altura y labase en el triángulo pequeño

h 6-=-28 3.5

h=6.28=483.5

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Agur. 4

SECCiÓN1.6 Modelado mediante ecuaciones 63

El edificio es de 48 pies de alto.

"-. ,

6 pies! --.~Jt pies •. 28 pies

figure 3

Mezclas y concentraciónUn fabricante de bebidas refrescantes afirma que su naranjada tiene "sabenzantenatural", aunque contiene sólo 5% de jugo de naranja. Una nueva ley federal es-tablece que para que se le llame "natural" a una bebida ésta debe contener por lomenos 10% de jugo de fruta. ¿Cuánto jugo natural puro debe agregar este fabri-cante a los 900 galones de bebida de naranja para apegarse a la nuevareglamentación?

Solución El problema pide determinar la cantidad de jugo de naranja puro quese debe añadir.Sea

x ; la cantidad (en galones) de jugo de naranja puro que se tiene que añadir

En cualquier problema de este tipo, en el cual se mezclan dos sustancias diferentes,un diagrama ayuda a organizar la información dada (véase la figura 4).

+5'k de jugo 1009&de.iu80 10% de jugo

Volumen

Cantidadde jugo denllMlnja

5% de 900 galonc,: 45 galones

It)O% de v galones 10<; de 'XX) + , galone-,: t gulunc> s O.ll'l()() I v] g.,lono

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64 CAPíTULO1 Fundamentos

Exprese todas las cantidadesdesconocidas en términos de l.

variable

Plantee el modelo

Resuelva •


Luego traducimos la información que se da eo la figura al lenguaje del álgebra.

En palabras En el lenguaje algebraico

Cantidad de jugo de naranja que se tiene que añadirCantidad de la mezclaCantidad de Jugo de naranja en el primer recipienteCantidad de jugo en el segundo recipienteCantidad de jugo de naranja en la mezcla

x900 +.r0.05(900) = 45I .,f =,f

0.10(900 + x)

Para plantear el modelo, aprovechamos el hecho de que la cantidad total de jugo denaranja en la mezcla es igual al jugo de naranja en los primeros dos recipientes.

cantidad de jugode naranja en elprimer recipiente

cantidad de jugo de+ naranja en el =

segundo recipiente

cantidad de jugode naranja. en la

mezcla

45 + x = 0.1(900 + x) 5egún"'fl9ura4

45 + x = 90 + O.lx Multlp!l""cl6.

0.9x = 45 5ue~raccl6n d.O.I.y45

45x=-=500.9

El fabricante debe añadir 50 galones de jugo de naranja puro a la bebida. _


cantidad de jugo antes de la mezcla = 5% de 900 galones + 50 galones de jugo puro

= 45 galones + 50 galones a 95 galones

cantidad de jugo después de la mezcla = 10% de 950 galones = 95 galonesLas cantidades son iguales. .¡

E~~lo ........Tiempo necesario para hacer un trabajoDebido a una fuerte tormenta imprevista, el nivel del agua en una presa se debe re-ducir un pie. La apertura de la compuerta A reduce el nivel a esa cantidad en 4 bo-ras, pero la apertura de la compuerta más pequeña B permite el desalojo en 6 horas.¿Cuánlo tiempo se necesita para bajar el nivel del agua un pie si se abren ambascompuertas?

Solución Se pide determinar el tiempo que se requiere para bajar el nivel un piesi ambas compuertas se abren. Sea entonces

x = el tiempo en horas que se requiere para bajar elnivel un pie si ambas compuertas se abren

Encontrar una ecuación que relacione x con las otras cantidades de este problema esdificil.

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Exprese todas las cantidadesdesconocidas en rérminos de la

variable

Plantee el modelo

Resuelva


SECCiÓN 1.6 Modeledo mediante ecuaciones SS

Claro que x no es simplemente 4 + 6, porque eso significaría que juntas las doscompuertas requerirían más tiempo para bajar el nivel del agua que una sola.Entonces, examinemos la fracción del trabajo que puede hacer cada Il/1O de lascompuertas en ll/Ja hora.

En palabras En lenguaje .algebralco

Tiempo que necesitan las compuertas A y B juntaspara bajar el nivel Ipie

Nivel que baja A en I hNivel que baja B en I hNivel que baja COn A y B juntas en I h

Ahora planteamos el modelo.

parte que efectúa A + parte que efectúa B = parte que efectúan ambas

xh

1de piea de pie~ de pie

I I I-+-=-4 6 x

3x + 2x = 12 Mutt;p4Icac16npor elMCD,I2><AdiciÓn5x = 12

12x=-5

DM~i6n entre 5

Se necesitan 2~ horas, 02 h 24 mio bajar el nivel un pie si se abren ambas com-puertas,

El siguiente ejemplo trata de la distancia, rapidez (velocidad) y tiempo. Lafórmula que se debe teoer presente es

•

distancia = rapidez X tiempo

donde la rapidez es velocidad constante o velocidad promedio de desplazamiento deun objeto. Por ejemplo, manejar a 60 millas por hora durante 4 horas representa unadistancia de 60 ' 4 = 240 millas.

Un problema de distancia-velocidad-tiempoUn avión voló desde Nueva York a Los Ángeles, una distancia de 4 200 km. Lavelocidad para el viaje de regreso fue de 100 kmIh más rápido que la velocidad deida. Si el viaje total dura 13 horas, ¿cuál es la velocidad del avión desde Nueva Yorka Los Ángeles?

Soluci6n Se pide la velocidad del avión de Nueva York a Los Ángeles. Hagamoss = velocidad de Nueva York a Los Ángeles

Entonces s + 100 = velocidad desde Los Ángeles hasta Nueva York

En seguida organizamos la información en una tabla. Primero Uenarnos lacolumna "Distancia", porque sabemos que entre las ciudades hay 4200 km. Luegollenamos la columna "Velocidad", ya que hemos expresado ambas velocidades entérminos de la variable s. Por ültimo, calculamos las entradas para la columna"Tiempo" mediante

. distanciauempo =

velocidad

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88 CAPÍTULO 1 Fundamentos

Ex.prese las cantidades desconocida"en términos de l. variable

Planree el áIodelo

Resuelva

IslaAf".,1 ,

15 miUJ-,1 ,

!B '-E...._ D1" .• 'iZOna donde

arriba• 12 millas

FIgur.5

Distancia (km) Velocidad (km/h) Tiempo (h)

N.Y. a L.A.420()

4200 $ ,4:!UO

L.A. a N.Y. 4200 s + lOO , + 11M)

-El viaje tota! dura 13 horas. de modo que tenemos el modelo

tiempo desdeN.Y.a L.A.

+ tiempo desde =L.A. a N.Y.

tiempototal

4200 4200-+ -13s s + 100

Al multiplicar por el común denominador. s(s + 100). obtenemos

4200($ + 100) + 4200s = )3$($ + 100)

8400s + 420000 = 13$2 + 1300$0= 13.2-7100s-420000

Auoque esta ecuación se puede factorizar, con cantidades tan grandes quizá sea másrápido usar la fórmula cuadrática y uoa calculadora.

7100:!: Y(-7100)2 - 4(13)(-420000)s = 2(13)

7l00:!: 850026

s=600-1400

s = 26 - -53.8o

Puesto que s representa la velocidad, rechazamos la respuesta negativa y con-cluimos que la velocidad del avión desde Nueva York hasta Los Ángeles fuede 600 km/h. •

~""'" .. Energía que gasta al volar un aveLos ornitólogos han determinado que algunas especies de aves evitan volar sobrecuerpos de agua grandes ntientras haya luz del día porque. por lo general, el aire seeleva durante el día sobre el suelo. pero desciende sobre el agua, de modo que volarsobre el agua requiere más energía. Un ave es liberada en el punto A en una isla, a5 millas de B. el punto más cercano sobre una orilla recta de l. playa. El ave vuelahasta el punto e sobre la orilla de la playa y luego a lo largo de la playa hasta unazona D donde anida. según se ilustra en la figura 5. Suponga que el ave tiene170 kcal de reservas de energía. Utiliza lO kcaVntilla al volar sobre tierra y14 kcal/milla a! volar sobre agua.

a) ¿Dónde se debe ubicar el punto e para que el ave utilice exactamente 170 kcalde energía durante su vuelo?

b) ¿Tiene el ave suficientes reservas de energía para volar de manera directa desdeA hasta 01


..1.~tifi9uela,variable,.

Exprese todas los cantidad ..desconocidas en ténninos de la

variable

. .PllIl'itee el m6dclo

SECCiÓN 1.6 Modalado mediante ecuaciones 67

Solucióna) Se pide determinar la ubicación de C. De modo que

x = distancia desde /J hasta eDe acuerdo con la figura y por el hecho de que

energía usada = energía por milla x millas voladas

determinamos lo siguiente:

En palabra. En lenguaje algabraico

Distancia desde 8 hasta eDistancia de vuelo sobre el agua (desde A hasta C)Distancia de vuelo sobre tierra (desde ehssta DlEnergía utilizada sobre el aguaEnergía usada sobre tierra

xv.'x':;-+-:2:-::S íeorem. ¡JoPitá~O"'512 - x14 yI"';x ¡~+-:2:-::5

10(12 - x)

Ahora establecemos el modelo.

energía totalusada

_ energía usadasobre el agua

+ energía usadasobre tierra

170 = 14Vx1 + 25 + 10(12 - x)

Para resolver esta ecuación. eliminamos primero la raíz cuadrada pasando todoslos otros términos a la izquierda del signo de igual y luego elevamos alcuadrado ambos miembros.

• Se .f6Is el tbmino "" '" ra{zCuMr..as en el primer mlem¡'",

Slmpliflc;tclÓn del primer rnleml>ro

170 - 10(12 - x) = 14Vx' + 25

50 + lflr = 14Vx' + 25

(50 + lfu)' = (14)'(x' + 25) Se eIo\1In al cu&lr&io aml>05mi"",""""

2500 + rooo, + 100x' = 196x' + 4900 ~rroIlo

O = 96x' _ 1NV'o_ 2400 r~ 106tbmlnoe ee p.. oan alvvu.< + p""'''' "mino

Esta ecuación se puede factorizar, pero como las cantidades son muy grandeses más sencillo usar la fórmula cuadrática y una calculadora:

x=1000 :t V( -1000)' - 4(96)(2400)

2(96)

1000 :t 280 _ 6'- 192 - 3 o bien

El punto e debe estar a 6~ millas o a 3~ millas de /J para que el ave utiliceexactamente 170 kcal de energía durante su vuelo.

b) De acuerdo con el teorema de Pitágoras (véase la pág. 54), la longitud de la rutadesde A basta D es V5' + 12' ~ 13 millas. de modo que la energía que el averequiere para esa ruta es 14 X 13 = 182 kcal. Esto es más de lo que tieneel ave reservado. de modo que na puede irse por esa ruta. _

M aterial prot<-illdo por oer echos de autor

68 CAPITuLO 1 Fundamentos

Ejercicios1-12. Exprese la canridad dada en términos de la variableindicada.1. La suma de tres enteros consecutivos; r = primer entero

de los tres

2. La suma de tres enteros consecutivos: n = entero interme-dio de los 'res

3. El promedio de tres calificaciones de exámenes si lasprimeras dos calificaciones son 78 y 82: s = terceracalificación

4. El promedio de cuatro calificaciones si cada una de las tresprimeras es 8; q = cuarta calificación

S. El ímerés obtenido después de un ano de una inversión al21% de interés simple anual; x = cantidad de dólaresinvertida

6. La renta total pagada por un departamento si la renta es de795 dólares al mes; It = cantidad de meses

7. El área en pies cuadrados de un rectángulo cuyo largo estres veces su ancho; ti) = ancho del rectángulo en pies

8. El perímetro en cm de un rectángulo cuyo largo es 5 cmmayor que su ancho; w = ancho del rectángulo en cm

9. La distancia en millas que recorre un automóvil en 45 mio:s = velocidad del vehículo en millas por hora

10. El tiempo en horas que se requiere para viajar una distanciadada en 55 millaslh; ti = distancia dada en millas

11. La concentración en onzas por galón de sal en una mezclade 3 galones de salmuera que contienen 25 OIl1..3.S de sal. a lacual se le ha añadido agua pura; x = volumen de aguapura adicionada en galones

12. El valor en centavos del cambio que hay en una bolsa quecontiene el doble de monedas de cinco centavos que demonedas de un centavo, cuatro monedas más de diez cen-tavos que de monedas de 5 centavos y la misma cantidad demonedas de 25 centavos que de monedas de 10 y de 5 cenotavos combinadas: l' = cantidad de monedas de a centavo

Aplicaciones13. Problema de números Encuentre tres enteros consecu-

tivos cuya suma sea 156.

14. Problema de números Encuentre cuatro enteros im-pares consecutivos cuya suma sea 4l6.

IS. Problema de números Calcule dos números cuya sumaes 55 y cuyo producto es 684.

16. Problema de números La suma de los cuadrados de dosenteros pares consecutivos es 1252. Encuentre los enteros.

17. Invel"$lones Pbyllis invinió 12000 dólares: una partegana un interés simple de 4!% por año y el resto gana unatasa de 4% anual. Después de un año. el interés total ganado

por las inversiones es de 525 dólares. ¿Cu~n.o dinero invir-tió a cada tasa?

18. tnverslones Si Ben Invierte4000 dólares a 4% de interésanual, ¿cuánlo dinero adicional debe invertir a un interés de5!% anual par. que el interés que reciba cada año sen 41%de la cantidad total invertida?

19. Inversiones ¿Qué lasa de interés anual tendría que tenerusted sobre una inversión de 3500 dólares para asegurar querecibe 262.50 dólares de interés después de un año?

20. Inversiones Iack invierte 1000 dólares a una cierta tasade interés anual, e invierte otros 2000 dólares a una tasaanual que es 0.5% superior. Si recibe un total de 190 déla-res de interés en un año. ¿a qué lasa esuln invenidos los1000 dólares?

21. Salarlos Una ejecutiva de una compañía de ingenie.ríatiene un salario mensual más un bono para la Navidad de8500 dólares. Si gana un .o.al de 97 300 dólares al año.¡.cuál es su salario mensual?

22. S.I.rlos Una mujer gana 15% más que su marido. Entrelos dos juntan 69 875 dólares al año. ¿Cuál es el salario delmarido al año?

23. Herenc,i.$ Craig está ahorrando para comprar una casapara ir de vacaciones. Heredó algún dinero de un tío rico, ylo junta con los 22 ()()()dólares que ya ienra y duplica el10(.3,1mediante una inversión afortunada. Al final tienereunidos 134000 dólares. lo suficiente para comprar unacabaña en un lago. ¿Cuánto dinero heredó?

24. Tiempo extra Helen gana 7 .50 dólares por hora en sutrabajo. pero si trabaja más de 35 horas" la semana, se lepaga I!veces su salario regular por las horas de tiempoextra trabajadas. Una semana obtiene un salario bruto de352.50 dólares. ¿Cuán.as horas de tiempo extra trabajó esasemana?

25. Costo de la mano do obra Un plomero y su ayudantetrabajan juntos para reemplazar la tubería de una casa vieja.El plomero gana 45 dólares por hora por su .rabajo y25 dólares su ayudante, El plomero trabaja el doble deltiempo que Su ayudante y el cargo final por mano de obra esde 4025 dólares. ¿Cuán.o tiempo trabajaron el plomero y suayudante en esta casa?

26. Una carrera de jonrones Durante su carrera en las ligasmayores. Hank Aaroo lanzó 41 jan rones más que Babe Rutben toda su carrera. Entre los dos colocaron 1459 jonrooes.¿Cuán.os jonrones colocó Babe Rutb?

27. Acertijo Un actor de cine, decidido a no revelar su edad,le dijo el siguiente acertijo 8 un articulista de chismes:"Hace siete MOS. yo tenia once veces la edad de mi hija.Ahora tengo cuatro veces la edad de ella." ¿Cuántos añostenía el actor?

28. Acertijo Un papA tiene Cuatro veces la edad de su hija.Dentro de 6 años. él tendrá tres veces l. edad de ell a. ¿Quéedad tiene su hija ahora?

Material prolegldo por oerechos de autor

29. Valor de las moneda. Una bolsa con cambio conueneuna camidad igual de monedas de I centavo, S y 10centa-vos. El valor total de las monedas es 1.44 dólares. ¿Cuánlasmonedas de cada tipo contiene la bolsa?

JO. Velar de 18. moneda. Mary tiene 3 dólares en mone-das de 5, 10 y 25 centavos. Si tiene el doble de monedasde 10 centavos que de monedas de 2S y cinco monedas de5 centavos que de 10 centavos, ¿cuántas monedas de cadatipo tiene?

31. Ley de la palanca En la figura se ilustra un sistema depalancas, similar al sube y baja que usted encuentra en losparques para niños. Para que el sistema se equilibre, el pro-duelo del peso por la distancia a partir del punto de apoyodebe ser igual en cada lado. Es decir.

w.x, = ~2

Esta ecuación recibe el nombre de ley de la palanca, y fuedeseubierta por Arquímedes (véase l. pág. 748).

Una mujer y su hijo ..'tán jugando en un sube y baja, Elmuchacho está en un extremo, a 8 pies del punto de apoyo.Si el hijo pesa 100 libras y la madre pesa 125 libras. ¿dóndedebe colocarse la mujer para equilibrar el sube y baja?

x,

32. Ley de la palanca Un tabl6n de 30 pies de largo se apoyaen la azolea d. un edificio; 5 pies del tabl6n sobresalen de l.oriUa según se muestra en la figura. Un trabajador que pesa240 libras se sienta en el otro extremo del tablón. ¿Cuál esel peso más grande que se puede colgar en el extremo quesobresale del tablón si tiene que estar en equilibrio? Apliquela ley de la palanca establecida en el ejercicio 31.

I--S pies

SECCiÓN 1.6 Modelado mediante ecuaciones

33. Longitud y área Calcule la longitud x de la figura. Seproporciona el área de la región sombreada ..

<a) x (b) x

14 pulg,IOcm 6 cm 13 ult,_

Jt

área = 144 cml área = 160 pulg.1

34. Longitud y 're. Determine la longitud y de la figura. Seproporciona el área de la región sombreada.

al b) 1

y/L

y

y y

área = 120 pulg.1 -11-Icm

área = 1200 cm2

y

35. Lergo de un ¡ardln El ancho de un jardín rectangular esde 25 pies. Si el área es de 1125 pies cuadrados, ¿cuál es ellargo del jardfn?

36. Ancho de un terreno de pastura El largo de un terrenode pastura es el doble del ancho. Su área es liS 200 piescuadrados. ¿Cudnlo mide de ancho el terreno?

37. Dimensiones de un terreno Un terreno de forma cua-drada tiene una con .srruccién de 60 pies de largo por 40 piesde ancho en una esquina. El resto del terreno es un estacio-namiento. Si el área del estacionamiento es de 12000 piescuadrados. ¿cuáles son las dimensiones de lodo el terreno?

38. Dimensiones de un te rreno El largo de un terreno demedio acre es cinco veces 10que mide el ancho. ¿Cuáles son1as dimensiones? [Nota: lacre = 43560 pies cuadrados.]

39. Dimensiones de un jardín Un jardín rectangular mide10 pies más de largo que lo que mide de ancho. Su área esde 875 pies cuadrados. ¿Cuáles son sus dimensiones?


70 CAPíTULO 1 Fundamon1os

-10. Oimonsionos de una habitación Un. recámara rectan-guiar mide de largo 7 pies más de lo que mide el ancho. Suárea es de 228 pies cuadrados. ¿Cuál es el ancho de lahabitación']

41. Dimensiones de un jardín Un granjero tieneun terrenorectangular para jardín, rodeado por una cerca de 200 pies.Determine la longitud y la anchura del jardín si el área es de2 400 pie. cuadrado s.

42. Dimensiones de un terreno El largo de una parcelamide 6 pies más que el ancho. Cada diagonal mide 174 pies.¿Cuálc:s son las dimensiones de la parcela'!

43. Dimensiones de un terreno El anche de una parcelarectangular mide 50 pies, Un. diagonal mide 10 pies másque 01largo de la parcela. ¿Cuál es el Largode la parcela?

44. Dimensiones de una pista Una pista paracarrerastiene la forma que se ilustra en la figura. COn lados rectosy extremos semicirculares. Si la pista mide en (otal440yardas y los dos lados rectos miden 110 yardas de largo,¿cuál es el radio de las partes semicirculares. aproximado 3

la yarda más cercana?

110 yard.. ,J,III

r i

45. Marco para una pintura Alejandro pintauna acuarelaen una hoja de papel de 20 por 15 pulg. Luego coloca suacuarela sobre una base de modo que quede una franja de unancho uniforme alrededor de la pintura, El perímetro de labase es de 102 pulg. ¿Cuánlo mide el ancho de la franja querodea a la acuarela?

~,' i1-- ~,. r 15 P'~

1- "-

¡- 20 pulg. ·1

ulg.

46. Ancho de un terreno con Césped Se va a construir unafábrica en un terreno que mide 180 por 240 pies. Elreglamento de construcción local señala que debe rodear ala fábrica UD terreno con césped de ancho uoiforme y deárea igual .1 área de la misma. ¿Cuál debe ser el ancbo deesta zona de césped y cuáles las dimensiones de la fábrica?

47. Alcance de una oscalera Una escalera de 19! pies seapoya contra una construcción. La basede la escalera está a71 pies a partir del edificio. ¿Qué altura del edificio alcanzala escalera?

mm

4H. Altura de un asta de bondera Un asta está aseguradapor dos tensores de alambre. opuestos entre sI. Cada tensormide 5 pies más que el asta. La distancia entre los puntosdonde se fijan los tensores al suelo es igual a la longitud deuo tensor. ¿Cuál es la altura del asta, aproximada a la pul-gada más cercana?

49. Longitud de una sombra Un hombre se aleja cami-nando de un poste cuya luminaria está a 6 m por arriba delsuelo. El hombre tiene una estatura de 2 m. ¿Cu4nlo midela sombra del hombre cuando está. 10m del poste?[Sugerencia: aplique triángulos semejantes.]

......................... --601

1 2m

1- 10 In --";-+--x --.

Material prolegldo por dorechos dp.autor

SO. Altura de un árbol UDaserrador estima la altura de unárbol altO midiendo primero un árbol pequeño alejado125 pies del árbol alto; luego se desplaza de tal manera quesus ojos estén en la visual de las copas de los árboles y midedespués qué tan lejos está del árbol pequeño (véase la figura).Suponga que el árbol pequeño mide 20 pies de olnu., elhombre está a 2S pies del árbol pequeño y sus ojos están a5 pies por arriba del suelo. ¿Cuánto mide el árbol más alto?

pies

5 píes.'

• 25 pies 125 pies

51. Compra de una casa Un grupo de amigos decide com-pro una casa para ir de vacaciones de 120 000 dólares, paralo que companirán los gastos en panes iguales. Si puedenencontrar una persona más que se les una, cada uno conuí-buirá con 6 000 dólares. ¿Cuánla~ personas fonnan el grupo?

52. Problema de mezclas ¿Qué cantidad de una soluciónácida al 60% se tiene que mezclar con una solución al 30%para producir 300 mi de una solución al 50%1

53. Problema de mezclas Un joyero tieoe cinco anillos.cada uno pesa 18 g, Yson de una aleación de 10% de plata y90% de oro. Decide fundir los anillos y añadir suficienteplata para reducir el contenido de oro a 75%. ¿Cuánta platadebe añadir?

54. Problema de mezclas Un olla contiene 6 litrosdesalmuera a una concentración de 120 gIL. ¿Cuán ta agua sedebe evaporar por ebullición para que la concentrnciónsea de 200 gIL?

SS. Problema de mezclas El radiadorde unautom6vil estálleno con una solución de 60% de anticongelante y 40% deagua. El fabricante del anticongelante recomienda que, enverano. el enfriamiento óptimo del motor se logra con sólo50% de anticongelante. Si la capacidad del radiador es de3.6 litros. ¿cuanto anticongelante se debe extraer para reem-plazarlo COD agua para reducir la concentración del anti-congelante al nivel recomendado?

56. Problema de mezclas Un centro de salud aplica unasolución de blanqueador para esterilizar las cajas de Petrien las que crecieron cultivos. El recipiente de esrerilizaciéncontiene 100 galones de una solución de blanqueador co-mün para uso doméstico al 2% mezclado con agua puradestilada. Las nuevas investigaciones señalan que la concen-tración del blanqueador debe ser de 5% para conseguir unaesterilización completa. ¿Cuánta de la solución se debe ex-

SECCiÓN t.6 Modelado mediante ecuaciones 71

traer y reemplazar con blanqueador para incrementar el con-tenido de éste y tener el nivel recomendado?

57. Problema de mezcla. Una hotella contiene 750 mi deponche de frutas con una concentración de jugo de frutaspuro al 50%. Jill toma 100 mI del ponche y luego vuelve allenar la botella con una cantidad igual pero de una marcamás barata de ponche, si la concentracién de jugo en labotella se redujo ahora a 48%, ¡.cuál es l. concentración delponche que JiII añadió?

58. Problema de mezclas Un comerciante mezcla té quevende a 3 dólares una libra con té que vende a 2.75 dólaresla libra para producir 80 libras de una mezcla que vende a2.90 dólares la libra. ¿Cuántos libras de cada tipo de té debeusar el comerciante en su mezcla?

59. Trabajo compartido Candy y Tlm comparten una rutade entrega de periódicos. Candy tarda 70 min en entregartodos los periódicos. y Tim se tarda 80 mino ¿Cuánto se tar-dan los dos cuando trabajan en forma conjunta?

60. Trabajo compartido Stan e Rilda pueden podar el pastoen 40 min si trabajan juntos. Si Hilda trabaja el doble derápido que Stan, ¿cuánto se tardará Sran en podar él solo elcésped?

61. Trabajo compartido Betty y Karen fueron contratadaspara pintar las casas de una unidad bebiracional. Si trabajanjuntas. las mujeres pueden pintar una casa en dos tercios deltiempo que se tarda Karen si trabaja sola. Beuy se tarda 6 hen pintar una casa sola. ¿Cuánto se tarda Karcn en pintaruna casa si trabaja sola?

62. Trabajo compartido Bob y Jirn son vecinos y utilizanmangueras de las dos casas para llenar la piscina de Bob. Yasaben que se requieren 18 h si se usan ambas mangueras.También saben que si se usa sólo la manguera de Bob, setarda 20% menos de tiempo que cuando se utiliza lamanguero de Jim sola. ¿Cuánto tiempo se requiere parallenar la piscina con cada una de las mangueras?

63. Trabajo compartido Cuando Henry e Irene trabajanjuntos pueden lavar todas las ventanas de su casa en I h48 mino Si Henry trabaja solo, se tarda I! más que Irene enhacer el U'llbajo.¡.CuántO tarda cada persona sola en lavartodas las ventanas?

64. Trabajo compartido Jack, Kay y Lynn entregan folletosde propaganda en un poblado pequeño. Si cada uno deellos trabaja solo. Jack tarda 4 h en entregar todos los fo-lletos, y Lynn se tarda una hora más que Kay. Si trabajanjuntos. pueden entregar toda la propaganda en 40% deltiempo que Ultda Kay cuando trabaja sola. ¿Cuánto tardaKay en entregar toda la propaganda ella sola?

65. Distancia. velocidad V tiempo Wendy emprende unviaje desde Davenpon hasta Omaha, que es una distancia de300 millos. Viaja una parte por autobús, el cual llega a laestación del tren JUStOa tiempo para que Wendy continúe suviaje por tren. Elautoblls viajó a una velocidad promediode 40 millas por hora y el tren se mueve a una velocidad de60 millas por hora. El viaje completo dura 5t h. ¿Cuántotiempo pasó Wendy en el tren?


72 CAPíTULO1 Fundamentos

66. Diatan.ie, velocidad y ti.mpo Dos ciclist .., separadospor 90 millas. inician al mismo tiempo un viaje poro enconotrarse. Uno se desplaza el doble de nlpido que el otm. Si seencuentran 2 h despu~s. ¿a qué velocidad promedio viajócada ciclista?

67. Distenela, v.locldad y tiempo Un piloto vuela unavión desde Montreala Los Á",eles. que es una distoneiade 2SOO millas. En el viaje de ""reso la velocidad promediofue de 2O'k mM alta que la velocidad de ida. El viaje redon-do dura 9 b 10 min. ¿CII4l fue la velocidad de MontrulaLos Ángeles?

68. Distenci., .elocidad y ti.mpo Una mujer que manejaun automóvil de 14 pies de largo va a roba.wa un camión decarga de 30 pies de largo. El camión va a una ,'elocidad de50 miIIasIhora. ¿~ tan nlpido debe ir l. mujer en su au-tomóvil para que pueda rebasar por completo al camión en6 s, de acuerdo con l. posición que se muestro en l. figuro(al basta la posición de la figura (b)1 (Sugerencia: utilicepies y segundos en lugar de millas y horos.1

~'=11(:::::::::::::::]1]0 50lltillo\/h

al

b)

69. Distancia, .elocldad y tiempo Un vendedor viajo desdeAjax a Burington. que es una distancia de 120 millas, auna velocidad constante. Oe$pu& aumenta su velocidad10 miIIasIb para viajar las 150 millas desde Barrington hastaCollins. Si la segunda parte de este viaje tarda 6 min másque la primera parte. ¿a q~ ,'Clocidad viajó de Aj .... IBarringtcn?

70. Distancia, .elocldad y tiempo Kiran fue en automóvildesde Tonul •• Cactus. que es una distancia de 250 millas.Luego aumentÓ su "elocidad 10 milla.<ihora para el viajede 360 millas entre Cactus y Ory Junctlon. Si todo el reco-rrido dura II h. ¿cuál fue l. velocidad desde Tortula hastaCactus?

71. Distanela, velocidad y tiempo La tripulución de un.lancha wda 2 h 40 min remar 6 km corriente arriba yregresar, Si l. velocidad de la corriente es de 3 km/h. ¿cuál

fue l. velocidad de remado de l. tripulación en aguastranquilas?

72. Velocidad de un bote Dos naves pesqueras salen de unpuerto al mismo tiempo. una viaja hacia el este y 0InI baei.el sur. El bote que viaja bacia el este se desplua • un.velocidad de 3 millaslh más nlpido que el que va al sur.Después de dos botas los botes están separados 30 millas.Calcule la velocidad del bote que va bada el sur.

N•O-E

S •

73. Dimensiones de una caja Un. caja de madera comm-chapada tiene un volumen de 180 pies cúbicos. El largomide de 9 pies más que su altura y su anchura mide 4 piesmenos que su altura. ¿Cuáles son las dimensiones dela caja?

.<-4

74. Radio de una esfl!fll Unjoyero tiene tres esferas sólidasy pequeilas de oro. de 2 mm. 3 mm y 4 mm de radio. Eljoyero decide fundirlas y hacer una sola esfera con en ...¿CII4l será el radio de la esfera resultante?

75. Dimensiones de una caj_ Una caja de base cuadrada ysin tapo se hace con una pieza ~ de cartulina. en laque se recortan cuadrndos de 4 pulg en cada esquina. y sedoblan los lados según se muestra en l. figura. Lo caja ten-dnl un volumen de 100 pulg'. ¿De q~ wnalIo tiene que serla can:ulina que se requiere?

•4 pulg .•

1,4 pulg,

76. Dimensiones de una lata Un. lata cilíndrica tiene unvolumen de 401Tcm' y mide 10 cm de altura. ¿Cuál es eldiámetro? rSugerencia: aplique la rÓnnula del volumen quese encuentra en los forros interiores de este libro.]

tIOcm_j_

77. Radio de un recipiente Un recipiente esférico tieneuna capacidad de 750 galones. Aplique el hecho de que ungalón e.< casi 0.1337 pies cúbicos. y determine el radio deldepósito con aproximación a la centésima de pie máscercana.

78. Dimensiones de un terreno Un terrenourbanotiene laforma de UJl triángulo rectángulo cuya hipotenusa es de7 pies más grande que uno de los catetos. El perímetro delterreno es de 392 pies. ¿Cuámo mide el otro cateto?

79. Costos de construcción El pueblo de Foxton queda a10 millas al norte de una carretera abandonada que va deleste al oeste que sale de Grirnley, según se muestra en lafiguro. El punto de la carretera abandonada más cercano aFoxton está a 40 millas de Grimley. las autoridades delcondado están por construir una nueva carretera que una Josdos pueblos. Ya calcularon que restaurar la carretera viejacostaría 100 000 dólares por 00110. y que la construcción deuna nueva costarta 200 000 dólares por milla. ¿euMtode lacarretera abandonada se podrfa aprovechar. según la ñgura,si las autoridades pretenden gastar exactamente 6.8 millo-nes? ¿Costaría menos que esta cantidad construir una nuevacarretera que una en forma directa los pueblos?

l'\'ueva

Carretera abandonada40 millas

80. Distancia. velocidad V tiempo Un paseo es paralelo a laoñUa de una playa recta y está a 210 pies tierra adentrodesde dicha orilla. Una playa arenosa está situada entre elpaseo)' la orilla. Un hombre está parado en el paseo, exacta-

SECCiÓN 1.6 Modelado mediante ecuaciones 73

mente a 750 pies de su sombrilla que está al otro lado de laarena; la sombrilla está sobre la orilla de la playa. E.I hom-bre camina a 4 piesls por el paseo y a 2 piesls sobre la arena.¿Cuánto debe caminar por el paseo antes de cambiar de di-rección y caminar sobre la arena si quiere llegar a su som-brilla en exactamente 4 min 45 51

•__)__ /

750 pies _--- /t -- /»>" .,. /210 pies__ .1'

- .1'"..,.,-~~;:f-~Paseo

81. Volumen de cereales El grano está cayendo desde uncanalón sobre el suelo y forma un montón en forma de conocuyo diámetro es siempre el triple de su altura. ¿Qué alturatiene el montón. aproximada a la centésima más cercana deun pie, cuando contiene 1000 pies cúbicos de grano?

82. Monitores de TV Dos televisores están colocados uno allado del otro en un aparador de una rienda de aparatos elec-U'Ónico.'i. La altura de la pantalla es la misma. Uno tiene unapantalla ordinaria que 111¡de 5 pulg más de ancho que ellargo. El otro tiene una pantalla más amplia y de alta defini-ción, que mide de ancho 1.8 veces la altura. La diagonal del. pantalla más ancha mide 14 pulg más que la diagonalde l. plmtolla más pequeña. ¿Cuál es la altura de las pan-tallas aproximada hasta la décima de pulgada más cercana?


74 CAPITULO 1 Fundamentos

83. Dimensiones de una estructura Un contenedor para al-macenar maíz consta de una pune cilíndrica fabricada cantela de alambre y una cubiena cónica de estaño. como semuestra en la figura. La altura de la cubierta es de un terciode la altura total de la estructura. Si el volumen total de estaestructura es de 14OO1rpies cúbicos y su rudio es de 10 pies.¿cuál es la altura total? [SII8erellcia: utilice las férmulasdel volumen que se encuentran en los:forros interiores deeste libro.]

It

!84. Comparación de ár881 Un alumbre de 360 pulg de

largo se cona en dos panes. Con una parte se forma uncuadrado y con la otra un círculo. Si las dos figuras tienen lamisma área. ¿cuánto miden de largo los dos trozos de alarn-bre? Exprese los resultados a la décima más cercana de unapulgada.

85. Un Intlguo probl.ma chino Este problema se tomó deun libro chino de matemáticas llamado C!Ju;"CIJUIIg ,tuali·snu, que quiere decir Nfne Chapters un tne J\1(~IJJeJ,u'l"calArt. que se escribió por el año 250 antes de nuestra era.

Una vara de bambú de lO pies de largo se parte de talmanera que In punta toca el suelo a 3 pies de In base dela vara. como se muestra en la figurn. ¿A qué altura seprodujo el quiebre?

[SlIgereflcin: utilice el Teorema de Puágoras.l

1<-"--3 pies__'

Descubrimiento • Debate86. Investigación hist6rica Lea las notas sobre la vida de

Pitágoras (pág. 54). Euclides (pág. 532) YArqulmedes(pág. 748). Elija uno de estos matemáticos e investigue m.isacerca de él en la biblioteca o l. Internet Escriba UD ensayosobre lo que encuentre. Incluya tanto información biográficacomo una descripción de los conceptos matemáticos por loscuales se hizo famoso.

87. Una ecuación cuadrática babilonia Los antiguosbabilonios sabían cómo resolver ecuaciones euadnúicas.En seguida se presenta un problema de una de los tablillascon sfmboles cuneiformes encontradas en una escuela deBabilonia. que data de hace más de 2000 años antes denuestro era.

'rengo una vara. no conozco su largo. Le corté un codo.)' así la vara cabe 60 veces en el largo de mi parcela.Restablecí ti la vara lo que le había cortado. y ahora seajusta 30 veces en el ancho d. mi parcela, El área de miparcela es de 375 nindas cuadradas. ¿Cuál era la longitudoriginal de la v.ara?

Resuelva este problema. Aplique el hecho de que1 ninda s 12 codos.


T 4.

15,,

1- .r~•

~¡.. ~5

5.

SECCiÓN 1.6 Modelado mediante eeuectones 75

Ecuaciones a través de las épocasLas ecuaciones se han utilizado para resolver problemas a través de toda la his-toria regisunda, en todas las civilizaciones. (Véase por ejemplo el ejercicio 85 dela página 74.) A continuación presentamos un problema de Babilonia (alrededorde 2000 años antes de nuestra era).

Encontré un. piedra. pero no la pesé, Después afladr Un séptimo y luego un onceavodel resultado: pesé todo y encontré que pesaba un. mina, ¿Cu~l era el peso original del. piedra?

La respuesta dada en la tablilla es de imina, 8 shcqel, y 22! se, dondeI mina = 60 sheqel y I sheqel = 180 se.

en el antiguo Egipto, el saber cómo resolver problemas planteados en pa-labras era uo secreto altamente valorado. El Papiro Rhind (alrededor de 1850años antes de nuestra era) contiene muchos de dichos problemas (véase pág.7 I6). El problema 32 en el papiro dice:

Un. canudad, su tercio. su cuarto, sumados jumos se convierten en 2. ¿Cuál es l.cantidad?

La respuesta en la notación egipcia es J + 4 + 76. donde la barra indica"recíproco", como nuestra notación 4-t.

El matemático griego Diofanto (alrededor de 250 antes de nuestra era) es-cribió el libro Arirhmerica. el cual contiene muchos enunciados de problemas yecuaciones. El matemático indio Bhaskara (siglo xn antes de nuestra era. véasepág. 144) Yel matemático chino Chang Ch'iu-Chien (siglo VI antes de nuestraera) también estudiaron )' escribieron sobre ecuaciones. Naturalmeme, las ecua-ciones siguen siendo importantes en la actualidad.

t. Resuelvan el problema babilonio y demuestren que su respuesta es correcta,2. Resuelvan el problema egipcio y demuestren que su respuesta es correcta,

3. Los egipcios y babilonios antiguos utilizaban ecuaciones para resolver pro-blemas prácticos. Por los problemas que se han dado aquí, ¿cree usted quehabrán disfrutado de plantear y resolver problemas sólo por gusto?

Resuelva este problema de la India del sigo XlI antes de nuestra era.Un pavo real estd posado en lo alto d. una columna de 15 codos y l. guarida deuna serpiente e,", al pie de la columna. El puvo ve a la serpiente cuando ésta se en-cuentra a 45 cedos de su madriguera, y se Inn7.. en forma oblicua sobre ella cuandose desliza bocio su agujero. ¿A cuántos codos de l. madriguera de la serpiente seencuenuan .• uponíendo que cad. una se desplaza una distancia igual?

Considere este problema de la China del siglo Vt.Si un gallo vale 5 monedas. una galJioa 3 monedas y tres pollos juntos valen un.moneda. ¿CUÓIllOS gallos. gallina. y pollos. que hagan un rotal de 100.se puedencomprar con 100 monedas?

Esle problema tiene varias respuestas, Aplique el ensayo y error para encon-trar por lo menos un. respuesta. ¿.Es un problema práctico O un acertijo? es-criba un ensayo cono para sustentar Su opinión.

6. Escriba un ensayo cono para explicar cuántas ecuaciones afecran su propiavida en el mundo actual.

M arenal protegido por del echos de autor

78 CAPÍTULO1 Fundamentos

~ 1.7

En el álgebra, algunos problemas originan desigualdades en lugar de ecuaciones.Una desigualdad es similar a una ecuación. sólo que en lugar de tener un signo deigual hay uno de los símbolos <. >. -s o 2:. Aquí está un ejemplo de una desi-gualdad:

x 4x + 7 s 19

I Ilsl9./2 15519./3 19519./4 235 19X5 27 s 19X

4.< + 7 < 19

La tabla que aparece al margen muestra que algunos números satisfacen la desigual-dad y algunos números no.

Resolver una desigualdad que contiene una variable quiere decir determinar ro-dos los valores de la variable que hacen que la desigualdad sea verdadera. Al con-trario que en una ecuación. una desigualdad por lo general tiene infinitas soluciones.las cuales forman un intervalo o una unión de intervalos en la recta de los númerosreales. La ilustración que sigue muestra cómo una desigualdad difiere de su ecua-ción correspondiente:

Solución Gráfica

.<=3Ecuación: 4x + 7 = 19 3ox:S3Desigualdad: 4x + 7 :S 19 o 3

Para resolver desigualdades. aplicamos las reglas siguientes para aislar la variablea un lado del signo de la desigualdad. Estas reglas indican cuándo dos desigualdadesSOl) equivalentes (el símbolo <=> significa "equivale a"). En estas reglas. los símbo-los A, B Y e son números reales o expresiones algebraicas. Aquí establecemos las re-gIas para desigualdades que contienen el símbolo <. pero se aplican a los cuatrosímbolos de desigualdad.

Reglas de las desigualdades

Regla

l. AsB <=> A+CS8+C

2. A :S 8 <=> A-CsB-C

3. Si e> o. entonces A<B <=> CA sCB

4. Si e < O. entonces A<B <=> CA > CB

5. Si A > O Y B > O,

entonces A s B <=> 1 1->-A-S

6. Si A s B y C:S D.entonces A + e :S 8 + D

Descripción

Sumar la misma cantidad a cada miembro de una de-sigualdad da una desigualdad equivalente.Restar la misma cantidad de ambos miembros de una de-sigualdad da una desigualdad equivalente.Multlplicar cada miembro de una desigualdad por lamisma camldad positiva da una desigualdad equivalente.Multiplicar ambos miembros de una desigualdad por lamisma canrídad negativa invierte 1" dirección de ladesigualdad,

Obtener los recfprocos de ambos miembros de unadesigualdad que contiene cantidades positivos inviertela dirección de la desigualdad.

Las desigualdades se pueden sumar,

Malerlal proteqido por derechos d autor

La multiplicación por el número -!Invierte la dirección de ladesigualdad.

_1 O,Rgur.1

O 2 5

Figura 2

SECCiÓN1.7 Desigualdades 77

Ponga atención especial a las reglas 3 y 4. La regla 3 establece que podemosmultiplicar (o dividir) cada miembro de una desigualdad por un número positivo,pero la regla 4 señala que si multiplicamos cada miembro de una desiguuldad por unnúmero negativo. entonces invertimos la dirección de l. desigualdad. Por ejemplo. siempezarnos con la desigualdad

3<5

y multiplicamos por 2. obtenemos

6 < 10

pero si multiplicarnos por -2. tenernos

-6> -10

Desigualdades linealesUna desigualdad es lineal si cada término es constante o es un múltiplo de la va-riable.

Resolución de una desigualdad lineal

Resuelva la desigualdad 3x < 9x + 4 Ygrafique el conjunto solución.

Solución3x < 9x + 4

3x-9x<9x+4-9x

-6% < 4

(- ~)( -6%) > (-~)(4)

SustraccIÓn d. 9<

Simpl;flcacián

Multipl1c8ci6n por - ~ (o divioi6n ent re -6)

x > - i 51mpllflc8cibn

El conjunto solución consta de todos los números mayores que -j. En otras pala-bras, la solución de la desigualdad es el intervalo ( -~. 00). La gráfica se ilustra enla figura l. •

=..t ResoluciÓn de un par de desigualdades simultáneasResuelva las desigualdades 4 < 3x - 2 < 13.

Solución El conjunto solución consiste en todos los valores de x que cumplentanto la desigualdad 4 s 3x - 2 y 3x - 2 < 13. Aplicando las reglas 1 y 3. vemosque las desigualdades siguientes son equivalentes:

4 S 3x - 2 < 13

6 s 3x < 15

2sx<5

Suma de 2

DM&16n entro .3

Por lo tanto, el conjunto solución es [2.5). como se ilustra en la figura 2. •Desigualdades no linealesPara resolver desigualdades que contienen la variable al cuadrado o a otras poten-cias, aplicarnos la factorizacién junto con el principio siguiente.

Material protegido pOI derechos dr¡ autor

78 CAPiTULO1 Fundamentos

(-<0.2) (2.3) (3."')

o 2 3

Figura 3

oFigura"

2 3

El signo de un producto o cociente

Si un producto O un cociente tienen un número par de factores negativos, en-tonces Suvalor es positivo.

Si un producto o un cociente tienen un número Impar de factores negativos,entonces su valor es negativo.

EJemp-lo 3 Una desigualdad cuadráticaResuelva la desigualdad X2 - 5x + 6 < O.

Solución Primero factorizamos el primer miembro.

(x - 2)(x - 3) < O

Sabemos que la ecuación correspondiente (x - 2)(x - 3) = O tiene las soluciones2 y 3. Como se ilustra en la figura 3, los números 2 y 3 dividen la necta de los núme-ros reales en tres intervalos: (-00,2), (2,3) Y(3,00). Determinamos los signos delos factores usando valores de prueba en cada uno de estos intervalos. Elegimosun número dentro de cada intervalo y comprobamos el signo de los factores x - 2 Yx - 3 en el valor seleccionado. Por ejemplo. si usamos el valor de prueba x = 1 parael intervalo (+oo, 2) mostrado en la figura 4, entonces la sustitución en los facto-resx-2yx-3da

x-2=1-2=-I<O

y x - 3 = 1 - 3 = -2 < O

Ambos factores son negativos en este intervalo. (Los factores x - 2 Yx - 3 cambiande signo sólo en 2 y en 3. respectivamente, de modo que conservan sus signosen cada intervalo. Ésta es la razón de que usar un solo valor de prueba en cada in-tervalo es suficiente.)

La siguiente tabla de signos se elaboró usando los valores de prueba x = 2! Yx = 4 para los intervalos (2, 3) Y(3, 00) (véase la figura 4). respectivamente. El ren-glón final es el producto de dos factores.

Intervalo (-oc, 2) (2,3) (3, oc)

Signo de .T - 2 - + +Signo de x - 3 - - +

Signo de It - 2J1x - 31 ~ - -

Si lo prefiere, puede representar esta información sobre una recta numérica. comoen el siguiente diagrama de signos. Las líneas verticales indican los puntos en loscuales la recta de los números reales se divide en intervalos:

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