Tema 7 PROPORCIONALIDAD. PROPORCIONALIDAD NUMERICA Tema 7 2 ► Conocidos A, B, y C, para hallar X :...

Tema 7

PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD NUMERICATema 7Tema 7 2

► Conocidos A, B, y C, para hallar X:

X

C

B

A

A

CBX

► La regla de tres:

A

CBX

Recuerda

► Una proporción es una igualdad de dos razones o cocientes numéricos.

3

15

16

80 es una proporción, ya que se cumple que

el producto de los extremos 80 · 3 = 240es igual al de los medios 16 · 15 = 240.

A·X = B·CA B

C X


De una cantidad A se quiere calcular su 20%; supongamos que la cantidad obtenida es P. Entonces:

A

P

100

20PA 10020 20,0

100

20 AAP

Para calcular el 20% de una cantidad basta multiplicar dicha cantidad por 0,20. Análogamente se calculan otros porcentajes.

Recuerda: Obtener el % de una cantidad


Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente o razón de las cantidades correspondientes es constante. Este cociente se llama constante de proporcionalidad, k.

kc

c

b

b

a

a ...

'''

• Para hacer 30 litros de limonada necesitamos 10 kg de limones.

• Para hacer 60 litros de limonada necesitamos 20 kg de limones.

• Para hacer 90 litros de limonada necesitamos .... kg de limones.

Proporcionalidad directa

Limonada(litros)

Limones(kilogramos)

30

10

60 90 …..

20 L …..3...

90

20

60

10

30

L

3 es la constante de proporcionalidad y representa los litros de limonada por kg de limones (la cantidad de una magnitud por unidad de la otra).


Un puente ha costado 3 150 000 €, y lo deben pagar tres ayuntamientos proporcionalmente a su número de habitantes, que son 800, 625 y 575. ¿Cuánto pagará cada uno?

Si k es la constante de proporcionalidad (Aquí k representa lo que corresponde pagar por persona)

El 1º pagará 800 . k



Por tanto:

Repartos proporcionales directos

800·k + 625·k + 575·k = 3 510 000

(800 + 625 + 575)·k = 3 510 000

2000·k = 3 510 000 k = 1575

El 1º pagará 800 · 1575 = 1 260 000 €

El 2º pagará 625 · 1575 = 984 375 €

El 3º pagará 575 · 1575 = 905 625 €


Dividir el siguiente rectángulo en dos partes directamente proporcionales a 2 y a 5

Repartos proporcionales directos: representación

Parte proporcional

a 2

Parte proporcional

a 5


Porcentajes, tantos por uno y por mil

Las proporciones son utilizadas en numerosos contextos de la vida real ytienen muchas maneras de expresarse. Observa la siguiente tabla, dondese expresa la proporcionalidad de distintas formas.

El tanto por uno es la cantidad de una magnitud correspondiente a una unidad de la otra. Así, la razón 15/50 se expresa como 0,3 en tanto por uno. Para obtenerlo basta con hacer la división.

Los porcentajes o tantos por ciento expresan la cantidad de una magnitud correspondiente a 100 unidades de la otra. Decir que de 50 lanzamiento he encestado 15 equivale a decir que de 100 he encestado 30. Se expresan con el signo %.

El tanto por mil indica la cantidad de una magnitud que corresponde a 1.000 unidades de la otra. Se expresa por el signo ‰.

15 de cada 50 15/50 0,30 30% 300‰

5 por ciento 5/100 0,05 5% 50‰

Dar 3 por 2 3/2 1,50 150% 1.500‰

Proporcionalidad Razón Tanto por 1 Porcentaje Tanto por 1.000


Si un jugador lanza 10 veces a canasta y encesta 4, el porcentaje de encestes es

x

100

4

10

Que se puede leer así:

• Ha encestado el 40% de los tiros a canasta.• Encesta 4 de cada 10 lanzamientos.• Acierta el 0,4 por 1 de los lanzamientos

Porcentajes y proporcionalidad

Lanzamientos

Encestes

10 100

4 x x = 40


En una cafetería suben los precios de los refrescos: la naranjada, de 1 a 1,05 euros, y los refrescos de cola de 1,1 a 1,15 euros. La subida lineal ha sido la misma: 5 céntimos, pero ¿ha sido proporcional el aumento?

Ha subido más la naranjada.

Los porcentajes nos permiten realizar comparaciones.

Naranjada:

Cola:

%51001

05,0

%54,41001,1

05,0

Porcentajes


Un televisor cuesta 450 €. Si se nos hace una rebaja del 10%, ¿cuál será el precio del televisor?

• Si nos descuentan el 10 % de 450, nos descuentan €45100

1045

• Por tanto hemos de pagar 450 – 45 = 405 €.

En general:

Si a una cantidad C se le aplica un descuento del r %, el precio final será:• Cantidad descontada:

100

rC

• Cantidad a pagar:

1001

100

rC

rCC

Porcentajes: descuentos


Un ordenador cuesta 900 €. Su IVA correspondiente es 16%. ¿Cuánto hemos de pagar?

• Se nos incrementa el 16 % de 900, es decir: €144100

90016

• Por tanto hemos de pagar 900 + 144 = 1044 €.

En general:

Si a una cantidad C se le aplica un incremento del r %, el precio final será:

• Cantidad incrementada:100

rC

• Cantidad a pagar:

1001

100

rC

rCC

Porcentajes: incrementos


Regla de tres directa

Regla de tres simple directaUn coche a velocidad constante consume 5 litros al recorrer 100 km. Si el coche recorre 250 km, ¿cuántos litros consumirá?

En este problema intervienen solamente dos magnitudes, es una regla de tres simple. El primer paso que tenemos que dar es averiguar qué tipo de proporcionalidad existe entre las dos magnitudes.

Si el espacio aumenta, el consumo de gasolina aumenta proporcionalmente, así que se trata de una proporcionalidad directa.

Si en 100 km 5 litrosconsume

en 250 km x litrosconsume x

5

250

100

100

5250x 12,5 litros


Regla de tres compuesta directa

En una fábrica de galletas, 5 máquinas envasan 7.200 paquetes en 6 horas.¿Cuántos paquetes envasarán 7 máquinas en 8 horas?

Como hay más de dos magnitudes se trata de una regla de tres compuesta. El primer paso es averiguar el tipo de proporcionalidad que hay entre la magnitud de la incógnita y las otras.

Para resolver el problema reducimos a la unidad, es decir, calculamos el número de paquetes que envasa una máquina en una hora.

Nº demáquinas

Nº dehoras

Nº deenvases

Directamenteproporcionales

Directamenteproporcionales

Máquinas Horas Paquetes

7 20065

72005·6

= 24011

240 · 7 · 8 = 13 44087

Sabemos que

1 máquina en1 hora envasa

7 máquinas en8 horas envasan

Regla de tres directa


Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de las cantidades correspondientes es constante. Este producto se llama constante de proporcionalidad inversa, k.

Si sólo hay 1 acertante le tocan 7,2 millones.

Si hay 2 acertantes (el doble) a cada uno le tocan 3,6 millones (la mitad)

Si hay 3 acertantes (el triple) a cada uno le tocan 2,4 millones (la tercera parte)

Las quinielas reparten esta semana 7,2 millones.

Si hay 4 acertantes a cada uno le tocan x millones

Proporcionalidad inversa

a · a = b · b = c · c = ….. = k

Nº de acertantes

Premio en millones

1

7,2

2

3,6

3

2,4

4

x

1 · 7,2 = 2 · 3,6 = 3 · 2,4 = 4 · x = 7,2 = k


Hemos de repartir una gratificación de 1080 € a unos pastores en cantidades inversamente proporcionales a las ovejas perdidas, que son 1, 3 y 6 respectivamente. ¿Cuánto le tocará a cada uno?

Si k es la constante de proporcionalidad

1080631

kkk

Repartos proporcionales inversos

k = 720

• Al primero le tocará: 7201

720

• Al segundo le tocará: 2403

720

• Al tercero le tocará: 1206

720

• Al primero le tocará: 1

k

• Al segundo le tocará: 3

k

• Al tercero le tocará: 6

k


Para hacer un reparto de una cierta cantidad, inversamente proporcional a M, N y P, se ha de repartir dicha cantidad directamente proporcional a las cantidades

PNM

1,

1,

1


Dividir el siguiente rectángulo en dos partes inversamente proporcionales a 2 y a 5

Repartos inversamente proporcionales: representación

Parteinversamente proporcional

a 5

Parteinversamente proporcional

a 2


Regla de tres inversa

Regla de tres inversa simple

Un velero que parte para una travesía con 18 tripulantes tiene agua para 10 días. Si al final sólo viajan 15 tripulantes, ¿para cuántos días tendrán agua?

En el problema aparecen dos magnitudes; número de tripulantes y días que dura el agua a bordo. Lo primero que debemos hacer en este tipo de problemas es averiguar el tipo de proporcionalidad entre las magnitudes.

A mayor número de tripulantes menos días durará el agua (ya que la cantidad es la misma). Si el número de tripulantes fuera el doble, el agua duraría la mitad; si fuera el triple, la tercera parte, etc. Ambas magnitudes son inversamente proporcionales.

18·10 = 15·x; x = 12 días18 tripulantes 10 días

tienen para

15 tripulantes x díastienen para


Regla de tres inversa compuesta

Para realizar un trabajo, 7 obreros trabajando 6 horas diarias han tardado 80 días. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 4 obreros trabajando 10 horas diarias?

Intervienen más de dos magnitudes, se trata de una regla de tres compuesta. Lo primero es averiguar el tipo de proporcionalidad que hay entre la magnitud de la incógnita y las otras magnitudes.

Reducimos a la unidad y resolvemos el problema.

Nº de obreros Horas Nº de días

8067

3360 :(4 · 10) = 84104

Sabemos que

1 obrerotrabajando 1 hora

4 obrerostrabajando 10 horas

61

11

80 · 7 = 56080 · 7 · 6 = 3360

Nº deobreros

Nº dehoras

Nº dedías

Inversamenteproporcionales

Inversamenteproporcionales

Regla de tres inversa


Un hotel cobra a 4 personas por 5 días de alojamiento 1200 €. ¿Cuánto cobrará a 6 personas por 10 días de alojamiento?

• Pasamos a la unidad en las personas y en los días:

1 persona en 5 días pagará: €3004

1200

1 persona en 1 día pagará: €605

300

• Buscamos la respuesta al problema:

6 personas en 1 día pagarán: €360606

6 personas en 10 días pagarán: €360010360

Por lo tanto el hotel les cobrará 3600 €

Proporcionalidad compuesta directa


Para realizar una auditoría a una empresa se han necesitado 6 economistas trabajando 12 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántos días necesitarán 10 economistas trabajando 6 horas diarias para hacer una auditoría a una empresa igual?

• Pasamos a la unidad

1 economista trabajando 12 horas necesita: días3056

1 economista trabajando 1 hora necesita: días3601230


10 economistas trabajando 1 hora necesitarán: días3610

360

10 economistas trabajando 10 horas necesitarán: días66

36

La auditoría se realizará en 6 días

Proporcionalidad compuesta inversa


Un peregrino, caminando 10 horas diarias durante 24 días, recorre 720 km. ¿Cuántos días necesitará para recorrer 432 km, caminando 8 horas diarias?

• Pasamos a la unidad

1 km, caminando 10 horas lo hace en díade30

1

720

24

1 km, caminando 1 hora lo hace en díade3

110

30

1


432 km, caminando 1 hora los hace en días1443

1432

432 km, caminando 8 horas los hace en días188

144

Necesitará 18 días para hacer el recorrido

Proporcionalidad compuesta directa-inversa

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