Tema 9: Proporcionalidad y porcentajes

9.1 Relación de proporcionalidad entre magnitudesTareas 26-02-16: todos los ejercicios de la página 154Constante de proporcionalidad para magnitudes inversamen te proporcionales .Observa que en la tabla siguiente:

nº de perros 1 2 3 5 6

nº de días 30 15 10 6 5

Al multiplicar cualquier valor de la primera magnitud por su correspondiente de la segunda magnitud, seobtiene siempre 30:1 � 30 � 2 � 15 � 3 � 10 � 5 � 6 � 6 � 5 � 30A ese valor, 30 en este caso, le llamamos constante de proporcionalidad.

En una relación de proporionalidad inversa, el producto de dos valores correspondientes essiempre el mismo, y recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Tareas 26-02-16: todos los ejercicios de la página 155

Ejemplo1. Señala en cada caso la opción correcta:

� D � directamente proporcionales� I � inversamente proporcionales� N � no proporcionalesa. el precio de una sandia y su peso� Db. la velocidad de un coche y el tiempo que tarda en hacer un determinado viaje� Ic. El peso de una persona y el número de calzado que gasta� Nd. El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito� Ie. el tiempo que permanece encendida una bombilla y el consumo eléctrico que

ocasiona� Df. la altura que alcanza el agua en un depósito cilíndrico y el número de litros que

contiene� Dg. el tiempo que dura una película y el precio de la entrada� N

9.2 Problemas de proporcionalidad directaEjemplo1. Francisco ha pagado 4.25 euros por cinco entradas para el circo. ¿Cuánto págara Beatriz por

tres entradas?

magnitud 1 (nº de entradas) magnitud 2 (coste en euros)

5 � 42.5

1 � 42. 5 � 5 � 8. 5

8.5 � 8. 5 � 3 � 25. 5

2. Cuatro entradas para el cine han costado 28 euros. ¿Cuánto costarán siete entradas?

magnitud 1 (nº de entradas) magnitud 2 (coste en euros)

4 � 28

1 � 28 � 4 � 7

7 � 7 � 7 � 49

3. Construye dos proporciones diferentes a partir de la tabla del problema anterior, comprobandoque se cumple que son proporciones. Y expresa con palabras el significado de cada una deellas:

�14

� 728

1

Es una proporción pues1 � 28 � 28

4 � 7 � 28(es decir, producto de medios es igual a

producto de extremos)Se lee "uno es a cuatro como siete a veintiocho"

�17

� 749

Es una proporción pues1 � 49 � 49

7 � 7 � 49(es decir, producto de medios es igual a

producto de extremos)Se lee "uno es a siete como siete a cuarenta y nueve"

4. Carmen ha pagado 3.99 euros por un melón que pesaba 2.28 kg. ¿Cuánto pagará Rodrigo porotro melónn que pesa 3.04 kg?Tenemos la siguiente tabla:

magnitud 1 (coste en euros) magnitud 2 (peso en kg)

2.28 � 3.99

3.04 � x

Como se trata de magnitudes directamente proporcionales es cierto que:2. 283. 04

� 3. 99x � x � 3. 99 � 3. 04

2. 28� 5. 32 euros pagará

5. Un vendedor ambulante ha recaudado 122.2 euros por la venta de 52 melones. ¿Cuántoespera recaudar por la venta de los 84 melones que le quedan?

magnitud 1 (coste en euros) magnitud 2 (nº de melones)

122.2 � 52

x � 84

Como se trata de magnitudes directamente proporcionales es cierto que:122. 2

x � 5284

� x � 84 � 122. 252

� 197. 4 euros recaudará

Tareas 29-02-16: todos los ejercicios de la página 157

9.3 Problemas de proporcionalidad inversaEjemplo1. Seis obreros descargan un camión en tres horas. ¿Cuánto tiempo tardarían nueve obreros?

nº de obreros tiempo (h)

6 � 3

1 � 3 � 6 � 18

9 � 18 � 9 � 2

2. Dos obreros hacen una zanja en 6 horas. ¿Cuánto tardarían tres obreros en hacer la mismazanja?

nº de obreros tiempo (h)

2 � 6

1 � 2 � 6 � 12

3 � 12 � 3 � 4

3. Siete caballos consumen una carga de pienso en 12 días. ¿Cuánto duraría esa misma cargaen una cuadra con cuatro caballos?

2

nº de caballos tiempo (días)

7 � 12

1 � 7 � 12 � 84

4 � 84 � 4 � 21

4. Un grifo que arroja un caudal de agua de 2 litros por minuto, llena un bidón en 6 minutos.¿Cuánto tardaría en llenar ese mismo bidón otro grifo con un caudal de 3 litros por minuto?

caudal (litros/min) tiempo (min)

2 � 6

3 � x

� 23

� x6

� x � 2 � 63

� 4

Tardaría 4 minutos.5. Tres vacas comen un saco de pienso en 5 días. ¿Cuánto duraría el saco de pienso si fueran 5

vacas?

nº de vacas tiempo (días)

3 � 5

5 � x

� 35

� x5

� x � 3 � 5�5�

� 3

Duraría tres días.6. Una acequia que lleva un caudal de 140 litros por minuto, llena un pilón de riego en 2 horas 18

minutos. ¿Cuánto tardaría en llenarse el pilón si el caudarl fuera de 210 litros por minuto?

caudal (litros/min) tiempo (min)

140 � 120 � 18 � 138

210 � x

� 140�210�

� x138

� x � 138 � 1421

� 92

Tardaría 92 minutos, es decir 1h 32 min

9.4 PorcentajesEjemplo1. Calcula los siguientes porcentajes:

a. 5% de 235 � �235 � 100� � 5 � 2. 35 � 5 � 11. 75b. 17% de 1406 � �1406 � 100� � 17 � 14. 06 � 17 � 239. 02c. 35% de 12370 � �12370 � 100� � 35 � 123. 7 � 35 � 4329. 5

2. Calcula los porcentajes anteriores empleando la regla de tres directa:a. 5% de 235

Tenemos la siguiente tabla de cantidades directamente proporcionales:

Total Parte

100 � 5

235 � x

� 100235

� 5x � x � 235 � 5

100� 11. 75

b. 17% de 1406Tenemos la siguiente tabla de cantidades directamente proporcionales:

Total Parte

100 � 17

1406 � x

� 1001406

� 17x � x � 1406 � 17

100� 239. 02

c. 35% de 12370Tenemos la siguiente tabla de cantidades directamente proporcionales:

Total Parte

100 � 35

12370 � x

� 10012370

� 35x � x � 12370 � 35

100� 4329. 5

3

Tareas 02-03-15: todos los ejercicios de la página 161

Ejemplo1. Completa los huecos de la tabla siguiente:

porcentaje fracción decimal

17% 17100

0. 17

55% 55100

� 1120

0. 55

18% 18100

� 950

0. 18

93% 93100

0. 93

62% 62100

� 3150

0. 62

2. En una biblioteca hay libros de MA, FI y BG.

% libros

MA

FI 25 30

BG 35

Como ves a la izquierda, en la columna % debe figurar el Porcentaje de libros que hay de cadamateria y en la columna Libros, la cantidad de libros de cada una. Basándote en los datos queaparecen, tiene que completar todas las casillas.40 � 25 � 35 � 1002530

� 40m � m � 40 � 30

25� 48

2530

� 35b

� b � 35 � 3025

� 42

3. Idem.

% libros

MA 30

FI 5

BG 78

100 � 30 � 5 � 656578

� 5f

, Solution is: 6

6578

� 30m , Solution is: 36

4. Idem

% libros

MA

FI 30 108

BG 40

100 � 30 � 40 � 3030

108� 40

b, Solution is: 144

30108

� 30m , Solution is: 108

9.5 Aumentos y disminuciones porcentualesTareas 08-03-16: todos los ejercicios de la página 163

Ejemplo1. En la escenase dan, respecto al precio de un artículo, dos de estos tres datos: el precio inicial,

4

una subida o una bajada porcentual y el precio final. Tienes que hallar el dato que falta:

precio viejo aumento/disminución precio nuevo

a 300 �8%

b -20% 400

c 500 -25%

d 100 �3%

a. 100 � 8 � 108100300

� 108a � a � 300 � 108

100� 324

b. 100 � 20 � 80100

b� 80

400� b � 400 � 100

80� 500

c. 100 � 25 � 75100500

� 75c � c � 500 � 75

100� 375

d. 100 � 3 � 103100100

� 103d

� d � 103 � 100100

� 103

Ejercicios y problemas1.

f X, depende de donde se lanza a canasta.Tareas 11-03-16: todos los ejercicios que faltan del 12

5

I

inversa inversa

1 12

2 6

3 4

4 3

6 2

En cada fila, se cumple que el producto de sus números es 12Los pares de fracciones equivalentes son:

�34

� 34

�12

� 612

�46

� 23

Tareas 11-03-16: todos los ejercicios que faltan del 23

i 32. 4

� 35x � x � 2. 4 � 35

3� 28. 0

Tareas 11-03-16: todos los ejercicios que faltan del 34

d Tardará menos tiempo pues va más deprisa.Como la velocidad del ciclista es cinco veces la del caminante, su tiempo será laquinta parte del tiempo del caminante.El tiempo será 20 minutos �1 h 40 min � 60 � 40 � 100 min�

Tareas 11-03-16: todos los ejercicios que faltan del 45

b Es proporcionalidad inversa pues a mayor caudal, menos tiempo de llenado.Tenemos la tabla siguiente:

6

caudal (l/min) � tiempo (min)

5 � 12

1 � 12 � 5 � 60

3 � 60 � 3 � 20

Tareas 11-03-16: todos los ejercicios que faltan del 56

Se trata de proporcionalidad directa pues el grifo mantiene su caudal, por lo que si le"obligamos" a llenar un recipiente más grande, tardará más.Tenemos la tabla siguiente:

volumen (l) � tiempo (min)

20 � 5

12 � x

� 2012

� 5x � x � 12 � 5

20� 3

Tardará 3 minTareas 11-03-16: 7,89

Se trata de proporcionalidad inversa pues si mantengo la distancia, a mayor velocidad menostiempo.Tenemos la tabla siguiente:

velocidad (km/h) tiempo (min)

autobús 80 20 min� 2060

� 13

autobús 100 x

� 80100

� x13

�

� x �80 � 1

3100

� 803

� 100 � 803 � 100

� 830

� 415

horas tardaría

Tareas 14-03-16: 10,1112

Se trata de un problema de proporcionalidad directa, pues a mayor distancia real, mayordistancia en el plano, y viceversa.Tenemos la tabla siguiente:

realidad (km) plano (cm)

A y B 85 34

M y N x 12

� x � 85 � 1234

� 30

Están en la realidad a una distancia de 30 km.Tareas 14-03-16: 13,1415

Como estamos recorriendo la misma distancia, a mayor velocidad menor tiempo. Entonces se

7

trata de proporcionalidad inversa.Tenemos la tabla siguiente:

velocidad (km/h) tiempo (h)

tren 1 54 8

tren 2 180 x

� 54180

� x8

� x � 54 � 8180

� 125

� 2. 4

El tren 2 tardaría 2 horas 24 min �0. 4 � 60 � 24. 0�Tareas 14-03-16: 16,1821

e V

Pues 75%� 75100

� 34

Tareas 14-03-16: todos los ejercicios que faltan del 2122

j 80% de 50 � 40(80% es cuatro partes de cinco, entonces si dividimos 50 en cinco partes iguales, 10,tenemos que coger 4)

Tareas 14-03-16: todos los ejercicios que faltan del 2223

e (10% es la décima parte, entonces habrá que multiplicar por 10) 120 es el númeroTareas 14-03-16: todos los ejercicios que faltan del 2324

8

j 250% de 250 � 250100

� 250 � 2. 5 � 250 � 625. 0

Tareas 14-03-16: todos los ejercicios que faltan del 2425

h 120% de 751 � 1. 2 � 751 � 901. 2 � 901Tareas 14-03-16: todos los ejercicios que faltan del 2526

27

e 2% de 650 � 0. 02 � 650 � 13

Tareas 14-03-16; todos los ejercicios que faltan del 2728

b Tenemos la tabla siguiente de proporcionalidad directa:

390 100

156 x� x � 100 � 156

390� 40

Se trata del 40%Tareas 14-03-16; todos los ejercicios que faltan del 2829

9

d 100 � 2. 7 � 97. 3 � 97. 3% no ha pasado la gripeTareas 15-03-16: todos los ejercicios que faltan del 2930

25% es la cuarta parte� 284

� 7 nos hemos apuntado a atletismo

Tareas 15-03-16: 31,3233

35% de 2400 � �2400 � 100� � 35 � 24 � 35 � 840 euros es la mensualidad de la hipotecaTareas 15-03-16: 34,3536

25% de TOTAL � 7Como 25% es la cuarta parte, entonces 4 � 7 � 28 alumnos hay en clase

Tareas 15-03-16: 37,3839

Tenemos la tabla siguiente:

empate ganado perdido

nº de partidos 4 12

% 20

Entonces no hemos perdido 12 � 4 � 16 partidos que son el 100 � 20 � 80%Tenemos la tabla siguiente:

no perdido perdido

nº de partidos 16 x

% 80 20

� x � 16 � 2080

� 4

Hemos perdido cuatro partidos.Hemos disputado 12 � 4 � 4 � 20 partidos

Tareas 15-03-16: 40,41

10

42

20000 � 4000 � 16 000 kg se han perdido1600020000

� 1620

� 45

� 0. 8 �se ha perdido el 80% de la cosecha (0. 8 � 100 � 80�

Tareas 15-03-16: 43,4445

Como a 85 le tendremos que sumar su 21%, podemos realizar directamente el cálculosiguiente:121% de 85 � 1. 21 � 85 � 102. 85 euros es el importe de la factura(100 � 21 � 121�

Tareas 15-03-16: 46,47,4948

100 � 25 � 75 �hemos pagado el 75% del precio original75% de PRECIO � 150 � PRECIO � �150 � 3� � 4 � 50 � 4 � 200

Hay que tener en cuenta que 75% son las 34

partes

El precio original son 200 euros.

EXAMEN TEMA 9: 30-03-16

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