Tema 3. movimiento vibratorio armónico
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TEMA 3. MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO
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Tema 3. movimiento vibratorio armónico. 1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS. LOS MOVIMIENTOS OSCILATORIOS SE PRODUCEN CUANDO LOS PUNTOS QUE COMPONEN UN CUERPO SE DESPLAZAN ALREDEDOR DE SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO - PowerPoint PPT Presentation
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TEMA 3. MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
LOS MOVIMIENTOS OSCILATORIOS SE PRODUCEN CUANDO LOS PUNTOS QUE COMPONEN UN CUERPO SE DESPLAZAN ALREDEDOR DE SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO
EJEMPLOS: Membrana de un tambor, cuerda de una guitarra, cuerpo suspendido de un muelle, péndulo de un reloj, columpio, salto en una cama elástica
DENTRO DE LOS MOVIMIENTOS OSCILATORIOS PERIÓDICOS, EL MÁS SENCILLO ES EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
CUERPO SUSPENDIDO DE UN MUELLE Al colgar una masa, el muelle se deforma
hasta alcanzar el equilibrio (el peso del cuerpo tira hacia abajo y la fuerza elástica del muelle hacia arriba)
En equilibrio:gmxkgmxkPeFF ··0·· 00
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
CUERPO SUSPENDIDO DE UN MUELLE Si ahora tiro del cuerpo hacia abajo y lo
desplazo una distancia x = l –l0 el cuerpo deja de estar en equilibrio porque las fuerzas ya no se contrarrestan: La fuerza elástica obliga al cuerpo a volver al equilibrio, tirando de él hacia arriba o hacia abajo xkFgmxxkFPeFF
··)·(0 0
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
CUERPO SUSPENDIDO DE UN MUELLE
xmkaamxkF
··
2ª Ppio. de la Dinámica
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
PÉNDULO SIMPLE HILO VERTICAL: CUERPO EN EQUILIBRIO (P
CONTRARRESTADO POR T DEL HILO) CUERPO DESPLAZADO DE LA POSICIÓN DE
EQUILIBRIO: LA TENSIÓN SÓLO CONTRARRESTA
LA COMPONENTE NORMAL DEL PESO LA FUERZA RESULTANTE ES LA COMPONENTE TANGENCIAL
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
PÉNDULO SIMPLE EN EL EQUILIBRIO: Al soltar el péndulo, éste oscila alrededor de la
posición de equilibrio. Para oscilaciones de poca amplitud: Sen a ≈ a Trayectoria curva = trayectoria de la cuerda s=x
Velocidad del cuerpo: Nula en los extremos Máxima en el equilibrio
asengmtPFnPT ··0
xlga
amlxgm
lsgmgmsengmF
········· aa
2ª Ley de la Dinámica
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
PROYECCIÓN DE UN MCU SOBRE UN DIÁMETRO PERMITE ESTUDIAR LA CINEMÁTICA DEL M.A.S.
PROYECTAMOS LAS POSICIONES DE UN M.C.U. SOBRE UNO DE SUS DIÁMETROS: AL PROYECTAR SOBRE EL EJE X OBTENEMOS LOS
PUNTOS a1, a2, … entre +A y -A AL PROYECTAR SOBRE EL EJE Y OBTENEMOS LOS
PUNTOS b1, b2, … entre +B y -B
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
PROYECCIÓN DE UN MCU SOBRE UN DIÁMETRO Posición a coincide con componente x del
vector posición Posición b coincide con componente y del
vector posición
senRyRx
··cos
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
PROYECCIÓN DE UN MCU SOBRE UN DIÁMETRO M.C.U. con movimiento antihorario, velocidad
angular w y ángulo inicial con el eje x 0: = 0+wt
Vector posición:
a y b se mueven alrededor del punto O, tardando el mismo tiempo en dar una vuelta completa (PERÍODO):
senRyRx
··cos
jwtRseniwtRr
RseniRr
)( )cos(
j cos
00
21f 2 wTw
T
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S. ES PERIÓDICO: CADA CIERTO TIEMPO
(PERÍODO) EL CUERPO VUELVE A TENER LAS MISMAS MAGNITUDES CINEMÁTICAS Y DINÁMICAS
ES OSCILATORIO (O VIBRATORIO), PUESTO QUE EL CUERPO OSCILA ALREDEDOR DE LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO
LA AMPLITUD ES EL VALOR MÁXIMO DE ELONGACIÓN
SE DESCRIBE MEDIANTE LA FUNCIÓN ARMÓNICA SENO O COSENO)'··cos(
)·(·
0
0
twAxtwsenAx
1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S. ELONGACIÓN (x) Separación del cuerpo de la
posición de equilibrio (en metros) AMPLITUD (A) Máxima elongación
experimentada (en metros) PERÍODO (T) Tiempo en realizar una
oscilación completa (en segundos) FRECUENCIA (f) N· de oscilaciones por
segundo (en herzios )[1 Hz = 1 s-1] FRECUENCIA ANGULAR (w) Número de
períodos comprendidos entre 2 segundos (en rad/s)
FASE () Ángulo que determina el estado de vibración del cuerpo (en el instante t = 0, la fase inicial es 0 (en rad))
2. CINEMÁTICA DEL M.A.S.
MODELO: Cuerpo unido a un muelle que se desliza por el plano horizontal aceleración opuesta al desplazamiento y proporcional a éste POSICIÓN Dada por la coordenada x
(coincide con elongación):
Se mide en m y oscila entre –A y A VELOCIDAD Es la variación instantánea de la
posición respecto del tiempo
Se mide en m/s y oscila entre A·w y –A·w
)'·cos()(·
0
0
wtAxwtsenAx
)'(··
)·cos(·
0
0
wtsenwAdtdxv
wtwAdtdxv
2. CINEMÁTICA DEL M.A.S.
ACELERACIÓN Mide la variación de la velocidad respecto del tiempo
Se mide en m/s2 y varía entre –A·w2 y A·w2
)'·cos(·
)(··
02
02
wtwAdtdva
wtsenwAdtdva
’0 = 0 –/2
2. CINEMÁTICA DEL M.A.S.
RELACIÓN v-x Se puede obtener eliminando la fase con la relación trigonométrica: sen2 + cos2 = 1
A cada posición le corresponden 2 velocidades: ida y vuelta
)(cos
)·cos(·
)(
)(·
02
222
0
02
22
0
wtwA
vwtwAv
wtsenA
xwtsenAx
22222222
2
2
2
)(1 xAwvxAwvwAv
Ax
Elevamos al cuadrado cada una de las ecuaciones (la de x y la de v) y las sumamos:
Sacamos el mínimo común múltiplo y despejamos v en función de w, A y x:
2. CINEMÁTICA DEL M.A.S.
RELACIÓN v-a Si v y a tienen el mismo signo: movimiento
acelerado (↑ rapidez) Si v y a tienen signo contrario: movimiento
decelerado (↓ rapidez)
RELACIÓN a-x . La relación entre a y x es proporcional y de sentido contrario
A cada posición le corresponden 2 velocidades: ida y vuelta
2
02
0
)(··
)(·
wxa
wtsenwAa
wtsenAx
Dividimos la expresión de “a” entre la expresión de “x”
GRÁFICAS DEL M.A.S.
tT
senwAa
tT
wAv
tT
senAx
2··
2·cos·
2·
2
Tomando w=2/T y 0 = 0:
GRÁFICAS DEL M.A.S. CONCLUSIONES:
x, v y a varían periódicamente (vuelven a tomar un mismo valor transcurrido un período)
x, v y a están desfasadas entre sí (ni se anulan ni alcanzan el valor máximo a la vez)
v está adelantada en un cuarto de período (/4) respecto a la elongación, y la aceleración está desfasada medio período (/2) respecto a la elongación
CONDICIONES INICIALES DE MOVIMIENTO
PODEMOS ELEGIR CUALQUIER INSTANTE PARA COMENZAR EL ESTUDIO PUESTO QUE EL CUERPO REPITE EL MOVIMIENTO CONTINUAMENTE
CONOCIDAS x0, v0 Y w CALCULAMOS j 0 Y A
2
202
02
2
202
0
02222
00222
0
00000
·cos· ;·
A·w·cosv;A·senx0 tsi)(·
wvxAA
wvx
wAvsenAx
wtsenAx
0
000 0
· obtenemos ventre xDividiendovwxarctg
Elevamos al cuadrado las expresiones de x0 y v0 y las sumamos, despejando A
3. DINÁMICA DE UN M.A.S. EL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UN
M.A.S. SE OBTIENE SUSTITUYENDO LA CONDICIÓN DE ACELERACIÓN (a = -w2·x) EN LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA:
La fuerza necesaria para producir un M.A.S. es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo, pero de sentido contrario
k es la constante de proporcionalidad y, para un muelle, coincide con la constante elástica (ke)
xkxwmxwmamF ···)··(· 22
3. DINÁMICA DE UN M.A.S. Cada oscilador está caracterizado por una
constante k y una masa m que determinan w, f y T:
frecuencia 21
2wf
período2w
2T
angular frecuencia opulsación
· 2
mkkm
mkw
wmk
3. DINÁMICA DE UN M.A.S. ESTUDIO DEL PÉNDULO SIMPLE: La fuerza
resultante es la tangencial del peso (Pt). Si las oscilaciones son de poca amplitud, aproximamos a movimiento lineal w y T independientes de m y A Con un péndulo de l conocida podemos calcular g midiendo el período de oscilación g
lw
T
lgw
xkF
xF
22
m·wk Comol
m·gk Así,
· Comol
m·g-PxPt
2
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
UN OSCILADOR ARMÓNICO TIENE ENERGÍA CINÉTICA PORQUE ESTÁ EN MOVIMIENTO Y ENERGÍA POTENCIAL PORQUE LA FUERZA RECUPERADORA (F = -k·x), LE OBLIGA A OSCILAR
LA FUERZA RECUPERADORA ES UNA FUERZA CONSERVATIVA, LO QUE SUPONE:
El trabajo realizado sobre un cuerpo depende sólo de las posiciones final e inicial (W=-DEp)
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
ENERGÍA CINÉTICA: La energía cinética varía de forma periódica y depende de la elongación (su valor en los extremos es nulo [v = 0] y en el equilibrio es máximo)
22
0
·
)·cos(·
wkmwmk
wtwAv
)(·cos··21·
21
0222
22 wtwA
wkvmEc
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
ENERGÍA CINÉTICA:
Utilizando la expresión 22· xAwv
)(·cos·21·
21
0222 wtAkvmEc
)(21)··(
21·
21 222222 xAkxAwmvmEc
2·wmk
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
ENERGÍA POTENCIAL:
La energía potencial es proporcional al cuadrado de la elongación
Se anula en el equilibrio (x = 0) y alcanza su valor máximo en los extremos (x =± A)
El trabajo realizado por la fuerza recuperadora: F = k·x, entre dos posiciones A y B, depende sólo de las posiciones inicial y final, por lo que W AB=-(EPB-EPA)
)(··21·
21
0222 wtsenAkxkEp
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
TRABAJO DE LA FUERZA RECUPERADORA:
La fuerza recuperadora F = -k·x es conservativa, por lo que se cumple que
Si comparamos ambas expresiones:
222
·21·
21
2·-dx ·· AB
xB
xA
B
A
xB
xABA xkxkxkxkrdFW
)( PAPBBA EEW
2
2
·21
·21
BPB
APA
xkE
xkE
)(··21·
21
0222 wtsenAkxkEP
Por tanto:
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
Ep SE ANULA EN LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO (x = 0) Y TIENE SU VALOR MÁXIMO EN LOS EXTREMOS
(x =± A)
)(··21·
21
0222 wtsenAkxkEP
Al estirar el resorte una distancia x, la energía potencial almacenada coincide con el trabajo de la fuerza externa necesaria para deformarlo, pero de sentido contrario:Ep=Wext=0,5·k·x2
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
ENERGÍA MECÁNICA: Em = Ec + Ep
Sustituyendo por las expresiones obtenidas anteriormente:
LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO PERMANECE CONSTANTE
22 ·21·
21 xkvmEm
20
220
22 ·21)(··
21)(·cos·
21 AkwtsenAkwtAkEm
Sabiendo que sen2 a + cos2 a = 1
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO PERMANECE CONSTANTE, PUESTO QUE Ec Y Ep VARÍAN CON EL TIEMPO Y LA POSICIÓN DE FORMA QUE Em = Ec + Ep = cte
222222 ···4·21··
21·
21 AfmAwmAkEm
k= m·w2
w=2·/T=2··f
Em = constante en cualquier instante ya que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es la fuerza recuperadora (una fuerza conservativa)
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO PERMANECE CONSTANTE, PUESTO QUE Ec Y Ep VARÍAN CON EL TIEMPO Y LA POSICIÓN DE FORMA QUE Em = Ec + Ep = cte
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
LAS ENERGÍAS CINÉTICA Y POTENCIAL DE UN OSCILADOR VARÍAN EN FUNCIÓN DE LA POSICIÓN (x). LA ENERGÍA MECÁNICA ES LA SUMA DE AMBAS
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
DIAGRAMA ENERGÉTICO
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
VALORES DE LAS ENERGÍAS EN POSICIONES SUCESIVAS DE UN M.A.SPara x = 0Ec máxEp = 0
Para x = xmáx = AEc = 0Ep máx
4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
CUANDO EL CUERPO SE ALEJA DE LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO (x = 0), SU ENERGÍA POTENCIAL AUMENTA Y SU ENERGÍA CINÉTICA DISMINUYE
CUANDO EL CUERPO SE ACERCA A LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO, SU ENERGÍA CINÉTICA AUMENTA HASTA ALCANZAR SU VALOR MÁXIMO Y SU ENERGÍA POTENCIAL DISMINUYE
EN CUALQUIER POSICIÓN, Ec Y Ep SON POSITIVAS Y SU SUMA ES LA Em, QUE PERMACE CONSTANTE EN TODO MOMENTO
