TEMA 3 - Jos Luis Quintero D vila - Index III - Semestre 3-2009/Tema 3 (Integrales...LA INTEGRAL...

Semestre

3-2009 José Luis Quintero Octubre 2009

TEMA 3

INTEGRALES DOBLES Y

TRIPLES Y SUS APLICACIONES

Cálculo III (0253)

Semestre 3-2009

Integrales

Dobles y Triples

Prof. José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO III (0253) - TEMA 3

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al

estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de integrales dobles y triples y sus

aplicaciones.

La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de

repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y

propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,

también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo

más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo III en

Ingeniería.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora

del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:

[email protected].

INDICE GENERAL Integrales

Dobles y Triples


3.1. La integral doble

3.2. Propiedades de la integral doble

3.3. Cálculo de la integral doble

3.4. Cambio de variables en la integral doble

3.5. Momentos y centro de masa

3.6. Momento de inercia

3.7. Ejercicios resueltos

3.8. La integral triple

3.9. Cambio de variables en la integral triple

3.10. Coordenadas cilíndricas

3.11. Coordenadaas esféricas

3.12. Aplicaciones de las integrales triples

3.13. Ejercicios resueltos

3.14. Ejercicios propuestos

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296

LA INTEGRAL DOBLE Integrales

Dobles y Triples Pág.: 246 de 305


3.1. LA INTEGRAL DOBLE

Sea F una región de área A del plano “xy”, F incluye su frontera (Región Cerrada).

Subdividimos al plano “xy” en rectángulos mediante rectas paralelas a los ejes de coordenadas

(figura 1). Partiendo de algún lugar conveniente (tal como el extremo superior izquierdo de F),

numeramos sistemáticamente todos los rectángulos que están dentro de F. Supongamos que

hay “n” de tales rectángulos y los designamos con r1, r2,...,rn.

Figura 1. Intuición geométrica del área para la integral doble

Se utilizan los símbolos A(r1), A(r2),...., A(rn) para las áreas de estos rectángulos. El

conjunto de los n rectángulos {r1, r2,...., rn} se llama una subdivisión ∆ de F. La norma de la

subdivisión que generalmente se indica con ∆, es la longitud de la diagonal del mayor rectángulo de la subdivisión ∆. Suponga que z f(x,y)= es una función definida para todo (x,y)

de la región F. La definición para la integral doble de f sobre la región F es análoga a la

definición de integrales para funciones de una variable. Se elige un punto arbitrario en cada

uno de los rectángulos de la subdivisión ∆, designando las coordenadas del punto en el rectángulo ri con (ξi,,ηi). Ahora formamos la suma:

f(ξ1,η1). A(r1) + f(ξ2,η2). A(r2) + ...... + f(ξn,ηn) A(rn).




En forma compacta

n

i i i

i 1

f( , )A(r )

=

ξ η∑ . (1)

Esta suma es una aproximación a la integral doble que se definirá; y se denomina

suma integral. Las sumas tales como (1) pueden formarse para subdivisiones con cualquier

norma positiva y con el iésimo punto (ξi,ηi) elegido en forma arbitraria en el rectángulo ri.

Definición 1. n

i i ini 1

lím f( , )A(r ) L→+∞

=

ξ η =∑

si dado un

ξ > 0; ∃ δ > 0/n

i i ii 1f( , ).A(r ) L

=ξ η − < ε∑

para toda subdivisión ∆ con ∆ < δ y para todas las elecciones posibles de los puntos (ξi,ηi)

en los rectángulos ri. Puede demostrarse que si el número L existe entonces debe ser único.

Definición 2. Si f está definida en una región F y el número L, definido anteriormente, existe,

se dice que f es integrable sobre F, y se escribe:

F

f(x, y)dA∫∫ .

A está expresión se le llamará también integral doble de f sobre F.

La integral doble tiene una interpretación geométrica como volumen de un sólido. Cada

término de la sumatoria (1) representa el volumen de un cuerpo elemental de base (ri) y altura i ih f( , )= ξ η . Siendo z f(x,y)= una función continua en el dominio cerrado representado

por la región F, la sumatoria (1) tiene un límite si n tiende a infinito. Siendo este límite

siempre el mismo, cualquiera sea el modo de la división del dominio de los elementos ∆ri, y la selección del punto de coordenadas (ξi, ηi) en los dominios parciales ∆ri. Este límite se llama

integral doble de la función f(x,y) sobre F y si f(x,y) ≥ 0, la integral doble es igual al volumen del cuerpo limitado por la superficie z f(x,y)= , el plano z 0= y la superficie cuyas

generatrices son paralelas al eje 0z a través de la frontera de F. (figura 2)

F

V(s) f(x,y)dA= ∫∫ ,

siendo V(s) el volumen del sólido definido por (x,y) ∈ F^ 0 ≤ z ≤ f(x,y).




Figura 2. Intuición geométrica del volumen para la integral doble

3.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE

Se enunciarán varias propiedades de las integrales dobles en analogía con las

propiedades de la integral definida de funciones de una variable.

a. Si c es un número y f es integrable sobre una región cerrada F, entonces c.f es integrable

y

F F

c.f(x, y)dA c f(x,y)dA=∫∫ ∫∫ .

b. Si f y g son integrables sobre una región cerrada F, entonces

F F F

f(x, y) g(x,y) dA f(x,y)dA g(x,y)dA+ = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ .

c. Suponga que f es integrable sobre una región cerrada F y m ≤ f(x,y) ≤ M ∀(x,y) ∈ F entonces si A(F) designa el área de la región F, tenemos

F

m.A(F) f(x,y)dA M.A(F)≤ ≤∫∫ .

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE

Integrales Dobles y Triples Pág.: 249 de 305


d. Si f y g son integrables sobre F y f(x,y) ≤ g(x,y) ∀(x,y) ∈ F, entonces

F F

f(x, y)dA g(x,y)dA≤∫∫ ∫∫

e. Si se hace una partición de la región cerrada F en las regiones 1F y 2F ; es decir

1 2F F∩ = ∅ y 1 2F F F∪ = y si f(x,y) es continua en F se tiene

F F F1 2

f(x,y)dA f(x,y)dA f(x,y)dA= +∫∫ ∫∫ ∫∫

3.3. CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE

La definición de integral doble no es muy útil para la evaluación en cualquier caso

particular. Naturalmente, puede suceder que la función f(x,y) y la región F sean simples, de manera que el límite de la suma (1) pueda calcularse directamente. Sin embargo, en general

no se pueden determinar tales límites. Como en el caso de las integrales simples, conviene

desarrollar métodos simples y de rutina para determinar el valor de una integral doble dada. Sea F en rectángulo cuyos lados son x = a, x = b, y = c, y = d (ver figura 3).

Figura 3. Intuición geométrica de la definición de integral doble

Se supone que z = f(x,y) es continua en cada (x,y) ∈ F. Se forma la integral simple con

respecto a x

CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE



b

a

f(x, y)dx∫

donde se mantiene fijo y al realizar la integración. Naturalmente, el valor de la integral

anterior dependerá del valor utilizado para y o sea que se puede escribir:

b

a

A(y) f(x,y)dx= ∫ .

La función A(y) está definida para c ≤ y ≤ d y se puede demostrar que si f(x,y) es

continua en F entonces A(y) es continua en [c,d].

Se puede calcular la integral de A(y) y se escribe mediante la forma dada por la integral

d d b

c c a

A(y) A(y)dy f(x,y)dx dy = =

∫ ∫ ∫ . (2)

Se podría haber fijado primero x, luego formar la integral

d

c

B(x) f(x,y)dy= ∫

entonces

b b d

a a c

B(x)dx f(x,y)dy dx =

∫ ∫ ∫ . (3)

Observe que las integrales se calculan sucesivamente por lo que reciben el nombre de

integrales iteradas. En (2) se integra primero con respecto a x (considerando y constante) y

luego con respecto a y; en (3) se integra utilizando un orden inverso. Se pueden definir las integrales iteradas sobre regiones F limitadas por curvas.

Ejemplo 1. Dada la función f(x,y) xy= la región triangular F limitada por las rectas de

ecuaciones y 0, y 2x, x 2= = = , halle los valores de ambas integrales iteradas.

Solución.

Integrando respecto a y primero se tiene:

CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE



2 2x 2 22x2 3

00 0 0 0

xy 4xxydydx dx dx 8

2 2

= = =

∫ ∫ ∫ ∫ .

Integrando en x se tiene:

4 2 4 422 3

y/20 y/2 0 0

yx yxydxdy dy 2y dy 8

2 8

= = − =

∫ ∫ ∫ ∫ .

Ejemplo 2.

a.

3 2 3 2 3 322 2 22 2 2

10 1 0 1 0 0

x y x 27x ydydx x ydy dx dx 2x dx

2 2 2

= = = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

b.

2 3 2 3 2 2332 2

01 0 1 0 1 1

yx 27x ydxdy x ydx dy dy 9ydy

3 2

= = = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Ejemplo 3. Halle el volumen del sólido S que está limitado por 2 2x 2y z 16,+ + = los planos

x 2,= y 2= y los tres planos coordenados.

Solución.

2 22 2

0 0

V (16 x 2y )dxdy 48.= − − =∫ ∫

Ejemplo 4. Evalúe

D

(x 2y)dA,+∫∫

donde D es la región limitada por las parábolas 2y 2x= , 2y 1 x= + .

Solución.

21 1 x

21 2x

32(x 2y)dydx .

15

+

−

+ =∫ ∫

3.4. CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE

Sean S y T dos regiones de 2R . Sea F : T S→ una aplicación biyectiva definida por F(u,v) (x(u,v), y(u,v))= , esto es, por el par de funciones

CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE



x x(u,v)y y(u,v)

= =

.

La transformación inversa F 1 : S T− → está dada por el par de funciones

u u(x,y)v v(x,y)

= =

.

Bajo ciertas hipótesis (de continuidad y diferenciabilidad) se verifica la siguiente fórmula de transformación para integrales dobles

S T

(x, y)f(x,y)dA f[x(u,v), y(u,v)] dA

(u,v)∂=∂∫∫ ∫∫ ,

donde

(x,y)(u,v)

∂∂

indica el jacobiano de la transformación F, es decir el determinante:

x x(x,y) u vJ(u,v)(u,v) y y

u v

∂ ∂∂ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂

∂ ∂

.

Las hipótesis de continuidad y derivabilidad que se exigen son: a. Las funciones x(u,v), y(u,v) son continuas y tienen derivadas parciales continuas en T. b. J(u,v) 0≠ en todo punto (u,v) T.∈

c. f(x,y) es continua sobre S.

Cambios de variables frecuentes: a. Coordenadas polares:

x r cos( )y rsen( )

= θ = θ

, J r=

b. Transformaciones lineales:

x au bv

, J ad bc.y cu dv

= += − = +

Se supone ad bc 0.− ≠




Ejemplo 5. Calcule

R

2dA

x∫∫ ,

donde R es la región del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuaciones y ln(x) , y 1 ln(x) , y 2 ln(x) , y 1 ln(x)= = + = − = − .

Solución.

Cambio de variables: u y ln(x) , v y ln(x)= − = + .

Por lo tanto,

(v u)

2 u vx e , y

2

− += = .

v u v ux x v u1 12 2u v 1 22 22y y 1 1

u v 2 2

e eJ(u,v) e

− −∂ ∂ −∂ ∂∂ ∂∂ ∂

−= = = − . u u 1x y xv v 1

xx y

1 2J(x,y)

x1

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

−= = = − .

Nuevas ecuaciones: u 0 , u 1 , v 2 , v 1= = = = .

1 2

0 1

dvdu 1=∫ ∫

.

Ejemplo 6. Calcule

2 2

S

x y dxdy,+∫∫

donde S es el dominio del plano definido por las condiciones 2 2 2 2x y 9 , x y 16+ ≥ + ≤ .

Solución.

Cambio a coordenadas polares:

2 2 2

S T

74x y dxdy r drd ,

3π+ = θ =∫∫ ∫∫

donde { }T (r, ) /3 r 4,0 2= θ ≤ ≤ ≤ θ ≤ π .

Ejemplo 7. Usando integrales dobles, encuentre la región encerrada por la curva de ecuación polar r 1 cos( )= + θ que es exterior a la curva de ecuación polar r 1= .

Solución.

Gráfico (ver figura 4).




Figura 4. Representación gráfica de la región del ejemplo 7

1 cos( )2 2 22 2

0 1 0 0

22

0

ÁREA 2 rdrd (1 cos( )) 1 d 2cos( ) cos ( ) d

2cos( ) cos ( ) d 2 .4

π π π+ θ

π

= θ = + θ − θ = θ + θ θ

π = θ + θ θ = +

∫ ∫ ∫ ∫

∫

Ejemplo 8. Plantee la integral

= ∫∫ 3 3

R

I x y dA

eliminando las barras de valor absoluto, donde R es la región triangular de vértices − −( 1, 1) ,

(2,2) y (0,2).

Solución. 3 3

3 33 3

x y si (x 0 y 0) (x 0 y 0)x y

x y si (x 0 y 0) (x 0 y 0)

≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤= − ≥ ∧ ≤ ∨ ≤ ∧ ≥

(ver figura 5)

0 y 2 0 2 y

3 3 3 3 3 3

(y 2) (y 2)1 0 0 03 3

I x y dxdy x y dxdy x y dxdy− −−

= − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫




Figura 5. Representación gráfica de la región del ejemplo 8

3.5. MOMENTOS Y CENTRO DE MASA

Suponga que una lámina ocupa una región R del plano xy y que su densidad viene dada por la función continua (x,y)ρ para todo (x,y) en R. Se define la masa de la lámina mediante

la integral doble

R

m (x,y)dA.= ρ∫∫

Los momentos de la lámina respecto del eje x y el eje y respectivamente, se definen mediante las integrales dadas por

x y

R R

M y (x,y)dA , M x (x,y)dA.= ρ = ρ∫∫ ∫∫

Las coordenadas (x,y) del centro de masa de la lámina vienen dadas por

My Mx(x,y) , .

m m =

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA



Ejemplo 9. Halle el centro de masa de una lámina triangular con vértices (0,0), (1,0) y (0,2) si la función de densidad es (x,y) 1 3x y.ρ = + +

Solución.

1 2 2x

0 0

8m (1 3x y)dydx

3

−

= + + =∫ ∫ ,

1 2 2x

y0 0

M x(1 3x y)dydx 1−

= + + =∫ ∫ ,

1 2 2x

x0 0

11M y(1 3x y)dydx

6

−

= + + =∫ ∫ .

3 11(x,y) , .

8 16 =

Ejemplo 10. Una lámina tiene la forma de la región del plano xy limitada por las curvas 2y 2x,= 2y 8x,= xy 3,= xy 9= .

Calcule la masa de la lámina si la densidad en cada punto (x,y) de ella está dada por (x,y) xyρ = .

Solución.

Cambios de variable:

2u y / x , v xy= =

2u u y 2y 2 2 2x y y 2y 3y2 xx x x xv vx y

(u,v) 1J(x,y) 3u J(u,v) .

(x,y) 3uy x

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

−∂= = = = − − = − = − ⇒ = −∂

Región actual (ver figura 6)

Figura 6. Región actual del ejemplo 10

Región nueva (ver figura 7)

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA



Figura 7. Región nueva del ejemplo 10

9 8

3 2

1 vm dudv 24ln(2).

3 u= =∫ ∫

3.6. MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia (también llamado segundo momento) de una partícula de masa m alrededor de un eje se define como 2mr , donde r es la distancia de la partícula al eje. El

momento de inercia de un cuerpo es considerado como una medida de la resistencia a girar

cuando actúa en él una fuerza de rotación. En particular si el eje de giro es el eje X o el eje Y entonces el momento de inercia respecto al eje X o al eje Y es respectivamente

2 2x y

R R

I y (x,y)dA , I x (x,y)dA= ρ = ρ∫∫ ∫∫ .

La suma de estos dos momentos se llama “momento polar de inercia” y se denota como 0I . Así se tiene que

2 20 x y

R

I I I (x y ) (x,y)dA= + = + ρ∫∫ ,

MOMENTO DE INERCIA Integrales



donde 0I también es el momento de inercia respecto del eje z.

Ejemplo 11. Una lámina tiene la forma de la región limitada por 2 2y x , y 2 x= = − y su

densidad es 2(x,y) x .ρ = Halle los momentos x y 0I , I , I .

Solución.

21 2 x2

21 x

8m x dydx

15

−

−

= =∫ ∫ ,

21 2 x4

y21 x

8I x dydx

35

−

−

= =∫ ∫ ,

21 2 x2 2

x21 x

1574I y x dydx

945

−

−

= =∫ ∫ , 0 x y1790

I I I945

= + = .

3.7. EJERCICIOS RESUELTOS

1. Al plantear una integral doble sobre una región plana R, se obtuvo la suma de integrales

iteradas

1 2x 6 5 2x 6

3 2x 6 1 x 1

f(x,y)dydx f(x,y)dydx− + +

− − + − −

+∫ ∫ ∫ ∫ .

Dibuje la región R y exprese la integral doble cambiando el orden de integración utilizado.

Solución.

4 y 1

22 (y 6)/2

f(x,y)dxdy+

− −∫ ∫ .

Gráfico (ver figura 8)

Figura 8. Gráfica de la región del ejercicio 1

EJERCICIOS RESUELTOS Integrales



2. La integral doble sobre una región S del plano xy viene dada por 2 2x

20 x

I xydydx= ∫ ∫ .

a. Grafique la región de integración.

Solución.


Figura 9. Gráfica de la región S del ejercicio 2

b. Exprese I en coordenadas polares.

Solución.

Ecuaciones polares: y 2x rsen( ) 2.r cos( ) arctg(2)= ⇒ θ = θ ⇒ θ =

2 2 2 2 r 0y x rsen( ) r cos ( ) r r cos ( ) sen( ) 0

r tg( )sec( )= = ⇒ θ = θ ⇒ θ − θ = ⇒ = θ θ

arctg(2) tg( )sec( )3

0 0

I r cos( )sen( )drdθ θ

= θ θ θ∫ ∫ .

c. Dé una interpretación de lo que calcula I.

Solución. Calcula el volumen de un sólido cuya tapa es la superficie z xy= y cuya base es la

región S y con una superficie lateral cilíndrica.

3. Sea

21 x 2 x 2 4 x

21 2 1 x 1 0 2 0

I xydydx xydydx xydydx−

−

= + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

a. Plantee I en el orden dxdy.

Solución.

Dibujo de la región de integración (ver figura 10)




2 21 2 4 y 2 4 y

20 1 y 1 2 y

I xydxdy xydxdy− −

−

= +∫ ∫ ∫ ∫


b. Calcule el valor de I.

Solución.

21 2 4 y 1 2 1 22 2 2

12 00 1 y 0

2 22 4 y 2 2 2 42

21 2 y 1 2 1 2

1 2

4 y 1 y 3y 3I xydxdy y dy

2 4 8

4 y y y 7 9I xydxdy y dy y 1

2 4 16 16

3 9 15I I I

8 16 16

−

−

−

− − += = = =

− −= = = − = − =

= + = + =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

4. La integral doble sobre una región simétrica R del plano, está dada por

23 /2 3x 3/2 3x 3 3 /2 9 x2 2 2 2 2 2

21/2 1 x 3 /2 x/ 3 3/2 x/ 3

2 x y dydx x y dydx x y dydx−

−

+ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

a. Dibuje la región de integración completa.

Solución.

Intersecciones: (ver figura 11)

2 2 2 2 2 3 31 1 12 2 2 2 2y 3x , x y 1 . x 3x 1 4x 1 x ( , ) ; ( , )= + = + = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ − − .

2 2 2 2 2 3 31 1 12 2 2 2 23y x , x y 1 . y 3y 1 4y 1 y ( , ) ; ( , )= + = + = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ − − .




2 2 2 2 2 3 3 3 33 3 32 2 2 2 2y 3x , x y 9 . x 3x 9 4x 9 x ( , ) ; ( , )= + = + = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ − − .

2 2 2 2 2 3 3 3 33 31 32 2 2 2 23y x , x y 9 . y 3y 9 4y 9 y ( , ) ; ( , )= + = + = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ − − .


b. Exprese la integral cambiando el orden de integración.

Solución.

23 /2 3y 3/2 3y 3 3 /2 9 y2 2 2 2 2 2

21/2 1 y 3 /2 y/ 3 3/2 y/ 3

2 x y dxdy x y dxdy x y dxdy−

−

+ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

c. Calcule la integral usando coordenadas polares.

Solución.

Transformaciones: 2 2x y 1 r 1.+ = ⇒ = 2 2x y 9 r 3.+ = ⇒ =

y 3x tg( ) 3 .3π= ⇒ θ = ⇒ θ =

1x 3y tg( ) .

63

π= ⇒ θ = ⇒ θ =

/3 3 /3 35 2 2 2 2 5

/6 1 /6 1

/3 /3 /32 2 2

/6 /6 /6

/3

/6

2 r cos ( )sen ( )drd 2 cos ( )sen ( )d r dr

728 728 182cos ( )sen ( )d sen (2 )d (1 cos(4 ))d

3 12 6

91 sen(4 ) 91 3 91 23 4 3 6 4 3

π π

π π

π π π

π π π

π

π

θ θ θ = θ θ θ

θ θ θ = θ θ = − θ θ

θ π π θ − = + =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

3 3 91(2 3 3)12 36

+ π +=




5. Sea la región D definida como 2 2 2y 1 (x 1) , y 1 (x 1) , y 4 x≥ − + ≥ − − ≤ − .

Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el área de la región D en coordenadas:

a. cartesianas en el orden dxdy.

Solución.


Figura 12. Representación gráfica de las curvas del ejercicio 5

2 2 21 1 1 y 1 4 y 2 4 y

20 0 0 1 1 y 1 0

A 2 dxdy dxdy dxdy− − − −

+ −

= + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

b. polares.

Solución. 2 2 2 2 2(x 1) y 1 x 2x y 0 r 2r cos( ) 0 r(r 2cos( )) 0

r 0r 2cos( )

− + = ⇒ − + = ⇒ − θ = ⇒ − θ ==

⇒ = θ

2 2x y 4 r 2+ = ⇒ = /2 2

0 2 cos( )

A 2 rdrdπ

θ

= θ∫ ∫ .

6. Calcule el área de la región R determinada por las condiciones dadas por 2 2x y x 0+ − < , 2 2x y y 0+ − > , y 0> .

Solución.

Gráfico de la región R: (ver figura 13)





Ecuaciones polares: 2 2 2x y x 0 r r cos( ) r cos( )+ − = ⇒ = θ ⇒ = θ . 2 2 2x y y 0 r rsen( ) r sen( )+ − = ⇒ = θ ⇒ = θ .

Por tanto:

/4 cos( ) /4 /4 42 2

00 sen( ) 0 0

1 1 1 sen(2 ) 1rdrd (cos ( ) sen ( ))d cos(2 )d

2 2 2 2 4

π θ π π π

θ

θθ = θ − θ θ = θ θ = =∫ ∫ ∫ ∫ .

7. Sea la integral en coordenadas polares π θ π θ

π π

π= θ + θ + θ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

/4 sec( ) /2 csc( ) 1

0 0 /4 0 /2 0

I rdrd rdrd rdrd .

Dibuje la región de integración, interprete geométricamente el valor de I y determínelo sin

calcular ninguna integral.

Solución.

Gráfico de la región (ver figura 14)





I calcula el área de la región R. Geométricamente se puede calcular el valor como 1

I ÁREA CUADRADO ÁREA CIRCULO 14 4

π= + = + .

8. Sea la integral doble sobre una región R en el plano mediante coordenadas polares /3 4cos( )

3

0 2

I 2 r drdπ θ

= θ∫ ∫ .

a. Grafique la región R.

Solución.


Figura 15. Gráfica de la región R del ejercicio 8

b. Exprese I en coordenadas cartesianas en el orden dydx.

Solución. 2 22 4 (x 2) 4 4 (x 2)

2 2 2 2

21 4 x 2 0

I 2 (x y )dydx (x y )dydx− − − −

−

= + + + ∫ ∫ ∫ ∫

c. Dé dos interpretaciones físicas de lo que calcula I.

Solución.

Interpretación física 1.

Calcula el momento polar de inercia de una lámina homogénea cuya forma

corresponde a la región R con función de densidad constante e igual a 1.

Interpretación física 2.

Calcula la masa de una lámina cuya forma corresponde a la región R con función de densidad igual a 2 2(x,y) x yρ = + .




9. Calcule mediante un cambio de variables conveniente la integral

x y

R

(x y)e dA−+∫∫ ,

donde la región R viene dada por el cuadrilátero de vértices (4,0); (6,2); (4,4) y (2,2).

Solución. Cambio de variable: u x y ; v x y= + = − .

Nueva frontera: 12

J(u,v) =

x y 0 v 0 ; x y 4 v 4 ; x y 4 u 4 ; x y 8 u 8− = ⇒ = − = ⇒ = + = ⇒ = + = ⇒ =

Región actual R: (ver figura 16)

Figura 16. Gráfica de la región actual del ejercicio 9

Nueva región T: (ver figura 17)

Figura 17. Gráfica de la nueva región del ejercicio 9




8 4 8 4

v v 4 4

4 0 4 0

1 1 (64 16)ue dvdu udu e dv .(e 1) 12(e 1).

2 2 4−= = − = −∫ ∫ ∫ ∫

10. Calcule el área de la región que satisface las desigualdades dadas por

2 2 2 2x y 4y , x y 4+ ≥ + ≤ .

Solución.

Gráfico de la región de integración llamada R (ver figura 18)


Ecuaciones en coordenadas polares: 2 2x y 4 r 2+ = ⇒ = , 2 2x y 4y r 4sen( )+ = ⇒ = θ .

Intersecciones de las circunferencias:

1

2 4sen( ) sen( ) si 0,2 6 2

π π = θ ⇒ θ = ⇒ θ = θ ∈

.

/6 2 2 2 /6 2 222

4sen( )0 4sen( ) 3 /2 0 0 3 /2 0

/6 /62

0 0

/6

0

rA 2 rdrd rdrd 2 d d rdr

2

2 (2 8sen ( ))d 2 (2 4(1 cos(2 )))d

2 (2 4 4cos(2 ))d 4 ( 1 2

π π π π

θθ π π

π π

π

= θ + θ = θ + θ

= − θ θ + π = − − θ θ + π

= − + θ θ + π = − +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

/6

0

/6

0

cos(2 ))d 2

3 2 3 44( sen(2 )) 2 4 2 4 2 3.

6 2 6 2 3

π

π

θ θ + π

π π π= −θ + θ + π = − + + π = + = +

∫




11. Calcule

R

cos(x y) dA+∫∫ ,

donde R 0, 0,= π × π .

Solución.



/2 /2 x

0 0 /2 3 /2 x

/2 3 /2 x

0 /2 x /2 0

cos(x y)dydx cos(x y)dydx

cos(x y)dydx cos(x y)dydx

π π − π π

π π −

π π π π −

π − π

+ + + −

+ − +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

/2 /2 x

0 0

cos(x y)dydx 1.2

π π −π+ = −∫ ∫

/2 3 /2 x

cos(x y)dydx 1.2

π π

π π −

π+ = −∫ ∫

/2

0 /2 x

cos(x y)dydx 1.2

π π

π −

π+ = − −∫ ∫ 3 /2 x

/2 0

cos(x y)dydx 1.2

π π −

π

π+ = − −∫ ∫

Total: 2π .




12. Considere

0 si x tg(y)f(x, y)

1 si x tg(y)≥

= <.

Sea 2 2

D 1, 3 ,π π = − × − . Plantee la integral

D

f(x,y)dA∫∫

en el orden

a. dxdy.

Solución.


Figura 20. Representación gráfica de la región del ejercicio 12

/3 tg(y) /2 3

/4 1 /3 1D REGIÓN 1 REGIÓN 2

f(x,y)dA 1dA 0dA dxdy dxdyπ π

−π − π −

= + = +∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b. dydx.

Solución.

3 /2

1 arctg(x)D REGIÓN 1 REGIÓN 2

f(x,y)dA 1dA 0dA dydxπ

−

= + =∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫




13. Calcule el área de la región del plano xy en el primer cuadrante, interior a las curvas

2 2 2 2x y 4 ; x (y 2) 4+ = + − = .

Solución.


Figura 21. Representación gráfica de la región del ejercicio 13

2 2 2 2 2 2 2x y 4 r 2 ; x (y 2) 4 x y 4y 0 r 4rsen( ) 0

r 0r 4sen( )

+ = ⇒ = + − = ⇒ + − = ⇒ − θ ==

⇒ = θ

/6 4sen( ) /2 2 /6 /24sen( ) 22 2

0 00 0 /6 0 0 /6

/6 /2 /6 /62 2

0 /6 0 0

/6

0

r rI rdrd rdrd d d

2 2

8sen ( )d 2 d 8sen ( )d 4(1 cos(2 ))d3 3

1 4 2 44 sen(2 ) 3 3

2 3 6 3 3

π θ π π πθ

π π

π π π π

π

π

= θ + θ = θ + θ

π π= θ θ + θ = θ θ + π − = − θ θ + π −

π π π π = θ − θ + π − = − + = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

14. Calcule

1 xy

R

e (x y) x y dA+ + −∫∫ ,

donde R es la región del plano xy limitada por las curvas 12

xy , xy 2 , x y 2 , x y 4= = + = + = .

Solución.

Región actual D (ver figura 22)




Figura 22. Región actual D de la pregunta 14

Cambios de variable: u xy , v x y= = + . 1

d(J(x,y)) y x−= − .

1 12 2

xy u , xy 2 u 2 , x y 2 v 2 , x y 4 v 4= ⇒ = = ⇒ = + = ⇒ = + = ⇒ =

Región nueva T (ver figura 23)

Figura 23. Región nueva T de la pregunta 15

4 2 42 2u 1 1 u 3 3/2

11 2222

ve vdudv e 6(e e ).

2+ += = −∫ ∫




15. Una lámina homogénea tiene la forma de la región del primer cuadrante limitada por las curvas xy 1= , xy 4= , y 2x= , y 4x= . Halle el momento de inercia polar.

Solución. Cambios: u xy , v y x= =

u ux y

y 1v v2 xx y x

y x(u,v) y 1J(x,y) 2 2v J(u,v)

(x,y) x 2v

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

∂= = = = = ⇒ =−∂

.

Curvas: u 1= , u 4= , v 2= , v 4=

44 4 4 4 4 2 2

2 22 1 2 1 2 1

4 2

22

u 1 k u k u (1 v )k u.v dudv u dudv dv

v 2v 2 2v 2v

15k 1 v 15k 1 1 15 9 135dv 4 2 . k k

4 4 4 2 4 4 16v

+ + = + =

+ = = − + + − = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

16. Cálculo de 1

2( )Γ .

Solución.

Por definición

2 2t 1/2 1/2 2 u u2u12 u

0 0 0

( ) e t dt (u t u t 2udu dt) e du 2 e du∞ ∞ ∞

− − − −Γ = = = ⇒ = ⇒ = =∫ ∫ ∫ .

Entonces

2

2 2 2 2 22 u u u u v12

0 0 0 0 0

2 2(u v )

( ) 4 e du 4 e du e du 4 e du e dv

4 e d

∞ ∞ ∞ ∞ ∞− − − − −

− +

Γ = = =

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

0 0

udv∞ ∞

∫ ∫

Si se hace el cambio a polares x r cos( ) , y rsen( )= θ = θ se tiene

/2 /22 22 (r ) (r )1

20 0 0 0

( ) 4 e rdrd 2 e ( 2r)drdπ ∞ π ∞

− − Γ = θ = − − θ = π ∫ ∫ ∫ ∫ .

Por tanto 12( ) Γ = π .

17. Cálculo de

2t

0

e dt∞

−∫ .

Solución.




2

2 2 2 2 22 u u u u v

0 0 0 0 0

2 2(u v )

0 0

I e du e du e du e du e dv

e dudv

∞ ∞ ∞ ∞ ∞− − − − −

∞ ∞− +

= = =

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫


/2 /22 22 (r ) (r )

0 0 0 0

1I e rdrd e (2r)drd

2 4

π ∞ π ∞− − π= θ = θ =∫ ∫ ∫ ∫ .

Por tanto I2π= .

18. Sea f(x) la distribución normal con media µ y desviación estándar σ dada por

2(x )1.21

f(x) e2

−µ − σ =σ π

x−∞ < < ∞ .

Se quiere calcular el valor de

2(x )1.21

I e dx.2

∞−µ − σ

−∞

=σ π∫

Si se hace el cambio x dx

y dy− µ= ⇒ =σ σ

se obtiene

21y21

I e dy.2

∞−

−∞

=π ∫

Sea

22 2 2 2 21 1 1 1y u v (u v )2 2 2 2 21 1 1

I e dy e du e dv e dudv2 2 2

∞ ∞ ∞ ∞ ∞− − − − +

−∞ −∞ −∞ −∞ −∞

= = = π π π ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .


22 2 21 1(u v ) (r )2 2 2

0 0

1 1 1I e dudv e rdrd .2 1

2 2 2

∞ ∞ π ∞− + −

−∞ −∞

= = θ = π = π π π ∫ ∫ ∫ ∫ .

Por lo tanto I 1= .

LA INTEGRAL TRIPLE Integrales



3.8. LA INTEGRAL TRIPLE

La definición de integral triple es análoga a la de integral doble. En el caso más simple

consideremos una caja rectangular R acotada por 6 planos x= a0, x= a1, y = b0, y = b1, z = c0, z = c1; y sea u = f(x,y,z) una función de tres variables definida en todo (x,y,z) de R. Se

subdivide el espacio en cajas rectángulares mediante planos paralelos a los planos

coordenados. Sean B1, B2,......, Bn aquellas cajas de la subdivisión que contienen puntos de R. (ver figura 24)

Figura 24. Intuición geométrica de la integral triple

Se designa con V(Bi) el volumen de la i-ésima caja Bi. Se elige un punto de coordenadas Pi(ξi, ηi, γi) en Bi, esta elección se puede hacer en forma arbitraria. La suma

i i i i

n

f( , , ).V(B)

i 1

ξ η γ

=∑

es una aproximación de la integral triple. La norma de subdivisión es la longitud de la mayor diagonal de las cajas B1, B2,....., Bn. Si las sumas anteriores tienden a un límite cuando la

norma de la subdivisión tiende a cero y para elecciones arbitrarias de los puntos Pi, a este

límite lo llamaremos la integral triple de f sobre R. La expresión

LA INTEGRAL TRIPLE Integrales



f(x, y,z).dV

R∫∫∫

se utiliza para representar el límite.

Así como la integral doble es igual a dos integrales iteradas, también la integral triple es

igual a tres integrales iteradas. Para el caso de la caja rectángular R se obtiene

1 1 1

0 0 0

a b cf(x,y,z).dV f(x,y,z).dz.dy.dx

a b cR

=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ .

Observación 1. Las integrales iteradas se efectúan considerando todas las variables

constantes, excepto aquella respecto a la cual se integra. Este concepto se puede extender a n variables.

Ejemplo 12. Evalúe la integral triple

2

B

xyz dV∫∫∫ ,

donde B es la caja rectangular dada por { }B (x,y,z) /0 x 1, 1 y 2,0 z 3= ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤ .

Solución.

3 2 12 2

0 1 0B

27xyz dV xyz dxdydz .

4−

= =∫∫∫ ∫ ∫ ∫

Ejemplo 13. Sea

22 4 x 2

2 2 22 4 x x y

f(x, y,z)dzdydx−

− − − +∫ ∫ ∫ .

Plantee en el orden dxdzdy.

Solución. − −

− − − − − −

+∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 20 2 z y 2 2 z y

2 2 2 22 y z y 0 y z y

f(x,y,z)dxdzdy f(x,y,z)dxdzdy.

CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL TRIPLE



3.9. CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL TRIPLE

Sea T una transformación que delimita una región S en un espacio uvw sobre una

región R en el espacio xyz por medio de las ecuaciones x g(u,v,w)= , y h(u,v,w)= , z k(u,v,w).=

El jacobiano de T es el siguiente determinante de 3 3× :

x x xu v w

(x,y,z) y y y(u,v,w) u v w

z z zu v w

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

.

Bajo las mismas hipótesis vistas en integrales dobles, se tiene la siguiente fórmula para

integrales triples:

R S

(x,y,z)f(x,y,z)dV f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) dudvdw.

(u,v,w)∂=∂∫∫∫ ∫∫∫

3.10. COORDENADAS CILÍNDRICAS

En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r, ,z),θ donde r y θ son las coordenadas polares de la

proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P (ver figura 25). Para

convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares se usan las ecuaciones dadas por x r cos( ) , y rsen( ) , z z= θ = θ = ,

mientras que, para convertir de coordenadas retangulares a cilíndricas se usan

2 2 2r x y , tg( ) y / x , z z.= + θ = =

Estas coordenadas son preferidas cuando hay simetría alrededor de un eje.

Ejemplo 14. Determine el punto con coordenadas cilíndricas (2,2 /3,1)π y encuentre sus

coordenadas rectangulares.

Solución.

x 2cos(2 /3) 1 , y 2sen(2 /3) 3 , z 1= π = − = π = = .

COORDENADAS CILÍNDRICAS Integrales



Figura 25. Sistema de coordenadas cilíndricas

Ejemplo 15. Determine las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas rectangulares (3, 3, 7)− − .

Solución.

r 9 9 3 2= + = , 74

arctg( 1) πθ = − = , z 7= − .

Ejemplo 16. Describa las siguientes superficies en coordenadas cilíndricas.

a. z r= . Un cono b. r c.= Un cilindro circular recto

c. c.θ = Una recta que pasa por el origen

d. z c.= Un plano horizontal.

Ejemplo 17. Encuentre la ecuación en coordenadas cilíndricas del elipsoide de ecuación 2 2 24x 4y z 1.+ + =

Solución. 2 2 2 2 2 2 24(x y ) z 1 4r z 1 z 1 4r+ + = ⇒ + = ⇒ = − .

Si se quiere realizar un cambio de variables en las integrales triples usando las coordenadas cilíndricas se tiene que x r cos( ) , y rsen( ) , z z= θ = θ = , entonces:

cos( ) rsen( ) 0(x,y,z)

sen( ) r cos( ) 0 r(r, ,z)

0 0 1

θ − θ∂ = θ θ =∂ θ

.

COORDENADAS CILÍNDRICAS Integrales



Por tanto

h ( ) u (r cos( ),rsen( ))2 2

h ( ) u (r cos( ),rsen( ))1 1E

f(x,y,z)dV f(r cos( ),rsen( ),z).rdzdrd .β θ θ θ

α θ θ θ

= θ θ θ∫∫∫ ∫ ∫ ∫

Ejemplo 18. Un sólido E está dentro del cilindro 2 2x y 1,+ = debajo del plano z 4= y arriba

del paraboloide 2 2z 1 x y= − − . Calcule su volumen.

Solución.

21 1 x 4 2 1 4

2 2 2 21 1 x 1 x y 0 0 1 r

7V dzdydx rdzdrd .

2

− π

− − − − − −

= = θ = π∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3.11. COORDENADAS ESFÉRICAS

Las coordenadas esféricas ( , , )ρ θ φ de un punto P en el espacio se ilustra en la figura,

donde OPρ = es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas

cilíndricas y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que

0 , 0ρ ≥ ≤ θ ≤ π (ver figura 260).

Figura 26. Sistema de coordenadas esféricas

COORDENADAS ESFÉRICAS Integrales



Las siguientes equivalencias permiten las transformaciones de coordenadas esféricas a

rectangulares: x sen( )cos( ) , y sen( )sen( ) , z cos( )= ρ φ θ = ρ φ θ = ρ φ .

Por otro lado se tiene que 2 2 2 2x y z+ + = ρ .

Ejemplo 19. El punto

4 3(2, , )π π está dado en coordenadas esféricas. Halle el punto y encuentre

sus coordenadas rectangulares.

Solución.

6 63 4 2 3 4 2 3

x 2sen( )cos( ) , y 2sen( )sen( ) , z 2 cos( ) 1π π π π π= = = = = = .

Ejemplo 20. Describa cada una de las siguientes ecuaciones dadas en coordenadas esféricas. a. 5 cρ = . Esfera

b. cθ = . Plano c. c.φ = Semicono superior

Ejemplo 21. Encuentre la ecuación en coordenadas esféricas, para el hiperboloide de dos hojas 2 2 2x y z 1− − = .

Solución. 2 2 2 2 2 2x y z 1 [sen ( )cos(2 ) cos ( )] 1− − = ⇒ ρ φ θ − φ = .

Ejemplo 22. Encuentre una ecuación rectangular para la superficie cuya ecuación esférica es sen( )sen( ).ρ = θ φ

Solución. 2 2 2 2 2 2 21 1

2 4sen( )sen( ) x y z y x (y ) zρ = ρ θ φ ⇒ + + = ⇒ + − + = Esfera.

Ejemplo 23. Evalúe

2 2 2

B

(x y z )dV,+ +∫∫∫

donde B es el sólido encerrado por la esfera 2 2 2x y z 1.+ + =

Solución.

2 14

0 0 0

4sen( )d d d .

5

π π

ρ φ ρ φ θ = π∫ ∫ ∫

COORDENADAS ESFÉRICAS Integrales



Ejemplo 24. Evalúe

2 2 2

E

x y z dV,+ +∫∫∫

donde E está limitado abajo por el cono 6πφ = y arriba por la esfera 2.ρ =

Solución.

2 /6 23

0 0 0

sen( )d d d 4 (2 3).π π

ρ φ ρ φ θ = π −∫ ∫ ∫

Ejemplo 25. El punto (0,2 3, 2)− está dado en coordenadas rectangulares. Encuentre sus

coordenadas esféricas.

Solución. 2 0 12 4 16 4ρ = + + = ⇒ ρ = , 2

3πφ = ,

2πθ = . Punto 2

2 3(4, , )π π

3.12. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES

Todas las aplicaciones de integrales dobles se pueden extender de inmediato a

integrales triples. Por ejemplo, si la función de densidad de un objeto sólido que ocupa la región E es (x, y,z)ρ , en unidades de masa por unidad de volumen, en cualquier punto (x,y,z)

dado, entonces su masa es

E

m (x,y,z)dV= ρ∫∫∫

y sus momentos alrededor de los tres planos de coordenadas son

yz xz

E E

M x (x,y,z)dV , M y (x,y,z)dV ,= ρ = ρ∫∫∫ ∫∫∫ xy

E

M z (x,y,z)dV= ρ∫∫∫ .

El centro de masa está ubicado en el punto (x, y, z), donde

yz xyxzM MMx , y , z

m m m= = = .

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES



Si la densidad es constante, el centro de masa del sólido se denomina centroide de E.

Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes de coordenadas son

2 2x

E

2 2y

E

I (y z ) (x,y,z)dV ,

I (x z ) (x,y,z)dV ,

= + ρ

= + ρ

∫∫∫

∫∫∫

2 2z

E

I (x y ) (x,y,z)dV= + ρ∫∫∫

La carga eléctrica total de un objeto sólido que ocupa una región E y que tiene densidad de carga (x,y,z)σ viene dada como

E

(x,y,z)dVσ∫∫∫ .

Si se tienen tres variables aleatorias continuas X, Y y Z, la función de densidad

conjunta de ellas es una función de tres variables tales que la probabilidad de que (X,Y,Z) se encuentre en E es

E

P((X, Y,Z) E) f(x,y,z)dV∈ = ∫∫∫ ,

en particular, se tiene que

b d s

a c r

P(a X b,c Y d,r Z s) f(x,y,z)dzdydx≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = ∫ ∫ ∫ .

La función de densidad conjunta satisface que f(x,y,z) 0≥ y además

f(x,y,z)dzdydx 1∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

=∫ ∫ ∫ .

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES



Ejemplo 26. Encuentre el centro de masa de un baul de madera de densidad constante igual

a 1 cuya forma está limitada por el cilindro parabólico 2x y= y los planos x z= , z 0= y x 1= .

Solución.

El sólido E se proyecta sobre el plano xy. Las superficies inferior y superior de E son los planos z 0= y z x= . La masa viene dada por

1 1 x

21 y 0

4m dzdxdy

5−

= =∫ ∫ ∫ .

Debido a la simetría de E y la función densidad alrededor del plano xz, se puede decir de inmediato que xzM 0= y, por lo tanto, y 0= . Los otros momentos son

1 1 x

yz21 y 0

4M xdzdxdy

7−

= =∫ ∫ ∫ ,

1 1 x

xy21 y 0

2M zdzdxdy

7−

= =∫ ∫ ∫ .

En consecuencia, el centro de masa es

yz xyxzM MM 5 5

, , ,0,m m m 7 14

= .

Ejemplo 27. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular la masa del sólido ubicado en el

primer octante, que se encuentra dentro del cilindro de ecuación 2 2x y 4x+ = y limitado

superiormente por la esfera de ecuación 2 2 2x y z 16+ + = . La densidad volumétrica de masa

en cada punto es igual al producto de las coordenadas del punto. Solución.

Cilíndro: 2 2 2 2(x 2) y 4 x y 4x 0 r 4 cos( )− + = ⇒ + − = ⇒ = θ

Esfera: 2 2 2 2 2 2x y z 16 z 16 x y 16 r+ + = ⇒ = − − = − . Jacobiano: r

2/2 4cos( ) 16 r /2 4cos( )3 2 3

0 0 0 0 0

/2 /24 4 6 6 5 66 8

00

5

1m r cos( )sen( )zdzdrd (16 r )r cos( )sen( )drd

2

1 16.4 cos ( ) 4 cos ( ) 1 4 4sen( )cos( ) d cos ( ) cos ( )

2 4 6 2 6 6.8

1 42

π θ − π θ

π π

= θ θ θ = − θ θ θ

θ θ= θ θ − θ = − θ + θ

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫

6 5 54 4 1 1 4 1 128.

6 6.8 2 6 12 2 12 3

− = − = =




3.13. EJERCICIOS RESUELTOS

19. Sea T el sólido definido por

2 2 2 2x z y 2 x z+ ≤ ≤ + + .

Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del sólido en coordenadas

cartesianas con: a. dV dydxdz= .

Solución.

2 2 22 4 z 2 x z

2 20 0 x z

V 4 dydxdz− + +

+

= ∫ ∫ ∫ .

b. dV dxdydz= .

Solución.

2 22 z 2 y z 2 4 y z

2 2 20 z 0 0 z 2 (y 2) z

V 4 dxdydz 4 dxdydz+ − −

+ − −

= +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

20. Un sólido, en el primer octante, está limitado por las superficies 2 2x 1 , y 1 , z 0 , z 6 x y= = = = − − .

Exprese las integrales iteradas que calculan el volumen del sólido en coordenadas

cilíndricas.

Solución. 2 2sec( ) 6 r csc( ) 6 r

4 2

0 0 0 0 04

I rdzdrd rdzdrd

π πθ − θ −

π= θ + θ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

21. Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono

3πφ = y debajo de la esfera

4 cos( )ρ = φ .

Solución.

2 /3 4 cos( )2

0 0 0

sen( )d d d 10 .π π φ

ρ φ ρ φ θ = π∫ ∫ ∫

22. Sea la integral

2 2 r4 2

0 0 0

r z cos ( )sen( )dzdrdπ

θ θ θ∫ ∫ ∫




dada en coordenadas cilíndricas. Exprese la integral en coordenadas esféricas.

Solución. 2 2 22 4 x x y 2 /2 2/sen( )

2 6 4 2

22 4 x 0 0 /4 0

x yzdzdydx sen ( )cos( )cos ( )sen( )d d d− + π π φ

− − − π

= ρ φ φ θ θ ρ φ θ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

23. Una integral triple sobre una región Q en el espacio, viene expresada mediante integrales

iteradas en coordenadas cilíndricas por 2 1 4 2 2 5 r 2 3 5 r

3 3 3

0 0 0 0 1 0 0 2 2

I r dzdrd r dzdrd r dzdrdπ π − π −

= θ + θ + θ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

.

Exprese la integral I en coordenadas esféricas.

Solución.


Figura 27. Gráfica del ejercicio 5

2 2 231 2

4 2 4 2A arctg( ) ; B arctg( ) ; C arctg( ) ; r sen ( )π= = = = = ρ φ

z 4 cos( ) 4 4sec( ) ; z 5 r cos( ) 5 sen( )5

cos( ) sen( )

= ⇒ ρ φ = ⇒ ρ = φ = − ⇒ ρ φ = − ρ φ

⇒ ρ =φ + φ

2 2 2 2z 2 cos( ) 2 2sec( ) ; x y 4 sen ( ) 4 sen( ) 22csc( )

= ⇒ ρ φ = ⇒ ρ = φ + = ⇒ ρ φ = ⇒ ρ φ =⇒ ρ = φ

512 arctg( ) 4sec( ) 24 4 cos( ) sen( )

4 3 4 3

10 0 0 0 arctg( ) 04

3 52 2csc( ) arctg( )2 2 cos( ) sen( )

4 3 4 3

0 0 2sec( )4 4

I sen ( )d d d sen ( )d d d

sen ( )d d d sen ( )d d d

ππ φ πφ + φ

ππ φφ + φ

π π φ

= ρ φ ρ φ θ + ρ φ ρ φ θ +

ρ φ ρ φ θ + ρ φ ρ φ θ

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

0

π

∫




24. Calcule la integral 2 2 2 3(x y z )

T

e dV+ +∫∫∫ ,

sabiendo que T es el sólido comprendido entre las esferas 2 2 2x y z 1+ + = , 2 2 2x y z 4+ + =

en el primer octante, utilizando coordenadas esféricas.

Solución.

2 2 2 2 2 22 83 3 220

10 0 1 0 0 0

8

1 e ee sen( )d d d e sen( )d d cos( ) d

3 3

(e e)6

π π π π ππρ ρ −ρ φ ρ φ θ = φ φ θ = − φ θ

− π=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

25. Dadas las integrales que calculan el volumen de cierto sólido usando las coordenadas

cilíndricas dadas por

2 1 1 2 4 4

0 0 r 0 1 r

I rdzdrd rdzdrdπ π

= θ + θ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,

plantee la(s) integrale(s) que calculan su volumen en coordenadas:

a. cartesianas proyectando en el plano xz.

Solución.

Proyección en xz: (usando simetría solo mostrando ¼ del sólido) (ver figura 28)

Figura 28. Región del ejercicio 7

2 2 2 2 2 21 1 z x 4 4 z x 1 4 z x

20 x 0 1 x 0 0 1 1 x

I 4 dydzdx dydzdx dydzdx− − −

−

= + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫




b. esféricas

Solución.

2 4 sec( ) 2 4 4 sec( )2 2

0 0 0 0 arctg(1/4) csc( )

I 4 sen( )d d d sen( )d d dπ π φ π π φ

φ

= ρ φ ρ φ θ + ρ φ ρ φ θ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

26. Plantee la integral triple que calcula el volumen del sólido definido por 2 20 z x y≤ ≤ + , 2 24 x y 16≤ + ≤ :

a. Proyectando en el plano xy.

Solución.



2 2 2 2 2 22 16 x x y 4 16 x x y

20 4 x 0 2 0 0

4 dzdydx dzdydx− + − +

−

+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b. En coordenadas esféricas.

Solución. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y 4 sen ( )cos ( ) sen ( )sen ( ) sen ( ) 4 2csc( )+ = ⇒ ρ φ θ + ρ φ θ = ρ φ = ⇒ ρ = φ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y 16 sen ( )cos ( ) sen ( )sen ( ) sen ( ) 16 4csc( )+ = ⇒ ρ φ θ + ρ φ θ = ρ φ = ⇒ ρ = φ

/2 /2 4csc( )2

0 /4 2csc( )

4 sen( )d d dπ π φ

π φ

ρ φ ρ φ θ∫ ∫ ∫




27. Sea 1S el sólido limitado por las superficies

2 2z x y= + , 2 2z 1 1 x y= + − − .

Sea 2S el sólido definido mediante las desigualdades dadas por

z 0≥ , 2 2z 3 x y≤ − + , 2 2x y 4+ ≤ .

Sea S el sólido definido como 2 1S S S= − . Plantee, mediante integrales triples, el volumen

de S usando coordenadas:

a. Cilíndricas.

Solución. Volumen de 1S :

22 1 1 1 r

0 0 r

rdzdrdπ + −

θ∫ ∫ ∫ .

Volumen de 2S :

2 2 3 r

0 0 0

rdzdrdπ −

θ∫ ∫ ∫ .

Volumen de S:

22 2 3 r 2 1 1 1 r

0 0 0 0 0 r

rdzdrd rdzdrdπ − π + −

θ − θ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

b. Esféricas.

Solución. Volumen de 1S :

2 /4 2 cos( )2

0 0 0

sen( )d d dπ π ϕ

ρ ϕ ρ ϕ θ∫ ∫ ∫ .

Volumen de 2S :

2 arctg(2) 3/(cos( ) sen( )) 2 /2 2/sen( )2 2

0 0 0 0 arctg(2) 0

sen( )d d d sen( )d d dπ ϕ + ϕ π π ϕ

ρ ϕ ρ ϕ θ + ρ ϕ ρ ϕ θ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Volumen de S: Volumen de 2S - Volumen de 1S .

28. Sea S el sólido definido por

2 2 2 2 2 2 21z (x y ) ; x y 9 ; x y (z 5) 25

3≥ + + ≤ + + − ≤ .

Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del sólido S utilizando

coordenadas:




a. Cartesianas en el orden dydxdz.

Solución.


Figura 30. Proyección del sólido en el plano xz

2 23 3z 3z x 9 3 9 x

0 0 0 3 0 0

2 2 210 25 (z 5) 25 (z 5) x

9 0 0

V 4 dydxdz 4 dydxdz

4 dydxdz

− −

− − − − −

= + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

b. Cilíndricas con proyección en el plano xy.

Solución. 22 3 5 25 r

210 0 r3

V rdzdrd

π + −

= θ∫ ∫ ∫


2 2 2 2 2 2z x y ; x y 9 ; z 9 x y≥ + + ≤ ≤ + + .

Plantee las integrales que permitan calcular el volumen del sólido S utilizando

coordenadas:

a. Esféricas.

Solución.





Figura 31. Identificación del ángulo respecto al eje z positivo

Ecuaciones esféricas:

2 2 2 2 2

2 2

2 2

0z x y cos( ) sen ( ) sen ( ) cos( ) 0

ctg( )csc( )

x y 9 r 3 3csc( )9

z 9 x y cos( ) 9 r cos( ) 9 sen( )cos( ) sen( )

ρ = = + ⇒ ρ φ = ρ φ ⇒ ρ ρ φ − φ = ⇒ ρ = φ φ

+ = ⇒ = ⇒ ρ = φ

= + + ⇒ ρ φ = + ⇒ ρ φ = + ρ φ ⇒ ρ =φ − φ

/2 /2 ctg( )csc( ) /2 arctg(1/3) 3csc( )2 2

0 arctg(1/3) 0 0 arctg(1/4) 0

/2 arctg(1/4) 9/(cos( ) sen( ))2

0 0 0

V 4 sen( )d d d 4 sen( )d d d

4 sen( )d d d

π π φ φ π φ

π φ − φ

= ρ φ ρ φ θ + ρ φ ρ φ θ

+ ρ φ ρ φ θ

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

b. Cartesianas en el orden dzdydx.

Solución. 2 2 23 9 x 9 x y

2 20 0 x y

V 4 dzdydx

− + +

+

= ∫ ∫ ∫


2 2 2 2x y 6x ; x y z ; z 0+ ≤ + ≥ ≥ .

Use coordenadas cilíndricas para calcular su volumen.

Solución.

Ecuaciones cilíndricas:

2 2 2

2 2

r 0x y 6x r 6r cos( ) r r 6 cos( ) 0

r 6 cos( )

z x y z r

=+ = ⇒ = θ ⇒ − θ = ⇒ = θ

= + ⇒ =




/2 6 cos( ) r /2 6 cos( ) /2 6 cos( )

r 20

/2 0 0 /2 0 /2 0

/2 /2 /26 cos( )3 3 3

0/2 /2 0

/2 32

0

1 1V rdzdrd r z drd r drd

2 2

1 216r d cos ( )d 144 cos ( )d

6 6

sen ( )144 (1 sen ( ))cos( )d 144 sen( )

3

π θ π θ π θ

−π −π −π

π π πθ

−π −π

π

= θ = θ = θ

= θ = θ θ = θ θ

θ= − θ θ θ = θ −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

/2

0

/23

0

sen ( ) 1 144.2 288144 sen( ) 144 1 96

3 3 3 3

π

π

θ = θ − = − = = =


2 2

2 2

z 2 4 x y si 2 z 4

x y 4 si 0 z 2

≤ + − − ≤ ≤

+ ≤ ≤ ≤

.

a. Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el volumen de T en coordenadas:

a.1. cartesianas en el orden dxdydz.

Solución. 2 2 2 22 2 4 y 4 4 (z 2) 4 y (z 2)

0 0 0 2 0 0

4 dxdydz dxdydz− − − − − −

+

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

a.2. esféricas.

Solución.

2 2 2 sen( ) 2 4 4cos( )2 2

0 /4 0 0 0 0

4 sen( )d d d sen( )d d dπ π φ π π φ

π

ρ φ ρ φ θ + ρ φ ρ φ θ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

a.3. cilíndricas con proyección en xy.

Solución.

22 2 2 4 r

0 0 0

4 rdzdrdπ + −

θ∫ ∫ ∫

b. Calcule el volumen de T.

Solución. 2 16 40

V 8 .8 83 3 3

= π + π = + π = π




32. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular la masa del sólido ubicado en el primer octante que se encuentra dentro del cilindro 2 2x y 4x+ = y limitado superiormente por la esfera 2 2 2x y z 16+ + = . La densidad volumétrica de masa en cada punto es igual al producto de

las coordenadas del punto.

Solución. Cilindro:

2 2 r 0x y 4x

r 4cos( )=

+ = ⇒ = θ.

Semiesfera superior : 2 2 2 2x y z 16 z 16 r+ + = ⇒ = − .

Densidad: 2(x,y,z) xyz r cos( )sen( )zρ = ⇒ θ θ .

2/2 4cos( ) 16 r3

0 0 0

/2 4 cos( )3 2

0 0

/2 4 cos( ) /2 4cos( )63 5 4

00 0 0

5

m r cos( )sen( )zdzdrd

1r cos( )sen( )(16 r )drd

2

1 1 rcos( )sen( )(16r r )drd cos( )sen( ) 4r d

2 2 6

1cos( )sen( ) 4 .cos

2

π θ −

π θ

π θ π θ

= θ θ θ

= θ θ − θ

= θ θ − θ = θ θ − θ

= θ θ

∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

/2 6

4 6

0

/2 1 16 5 9 55 5 7 9 5 7 6 8

00 0

9 5 8 4 8 8 8 7

4( ) cos ( ) d

6

1 4 4 2 44 cos ( ) cos ( ) sen( )d 2 u u du u u

2 6 3 6 3.8

2 4 2 4 2 2 2 2 256 128 1286 3.8 3 3.2 3 3.2 3 3 3 3

π

π

θ − θ θ

= θ − θ θ θ = − = −

−= − = − = − = − = =

∫∫ ∫

33. Sea T el sólido homogéneo definido por 2 2 2 2 2 2x y z 9 ; x y (z 3) 9+ + ≤ + + − ≤ .

Usando coordenadas esféricas calcule su masa.

Solución.

Intersecciones:

2 2 22 2 2

2 2 2

2 2

x y z 9 9 3x y z 6z 0 9 6z 0 z

6 2x y (z 3) 9

27 3Curva Inter sec ción : x y ; z

4 2

+ + =⇒ + + − = ⇒ − = ⇒ = =

+ + − =

+ = =





2 2 2 2 2 2 2 0x y z 9 3 ; x y (z 3) 9 6 cos( ) 0

6cos( )ρ =

+ + = ⇒ ρ = + + − = ⇒ ρ − ρ φ = ⇒ ρ = φ


Figura 32. Identificación del ángulo respecto al eje z positivo

2 /3 3 2 /2 6 cos( )

2 2

0 0 0 0 /3 0

2 /3 3 2 /26 cos( )2 3

00 0 0 0 /3

33/3 3

00

m k sen( )d d d sen( )d d d

1k d sen( )d d sen( ) d d

3

216k 2 . cos( ) . cos (

3 3

π π π π φ

π

π π π πφ

π

π

= ρ φ ρ φ θ + ρ φ ρ φ θ

= θ φ φ ρ ρ + φ ρ φ θ

ρ= π − φ +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 /2 2/24

/30 /3 0

2

0

72)sen( )d d k 9 cos ( ) d

4

1 9 45 kk 9 18 d k 9

16 4 4

π π ππ

ππ

π

φ φ φ θ = π + − φ θ

π π = π + θ = π + =

∫ ∫ ∫

∫

34. Sea T el sólido homogéneo definido por 2 2 2 2 2 2x y z 16 ; x y (z 2) 4+ + ≤ + + − ≥ .

Use coordenadas esféricas para calcular el momento alrededor del plano xy ( xyM ).

Solución.

Intersecciones:

2 2 22 2 2

2 2 2

2 2

x y z 16x y z 4z 0 16 4z 0 z 4

x y (z 2) 4

Curva Inter sec ción: x y 12 ; z 4

+ + =⇒ + + − = ⇒ − = ⇒ =

+ + − =

+ = =




Ecuaciones esféricas: 2 2 2 2 2 2 2x y z 16 4 ; x y (z 2) 4 4 cos( ) 0

04cos( )

+ + = ⇒ ρ = + + − = ⇒ ρ − ρ φ =ρ =

⇒ ρ = φ

2 /2 4 2 43 3

xy0 0 4cos( ) 0 /2 0

2 /2 24 44 4

4cos( ) 00 0 0 /2

4 4 4

M k sen( )cos( )d d d k sen( )cos( )d d d

k ksen( )cos( ) d d sen( )cos( ) d d

4 4

ksen( )cos( ) 4 4 cos ( ) d d

4

π π π π

φ π

π π π π

φπ

= ρ φ φ ρ φ θ + ρ φ φ ρ φ θ

= φ φ ρ φ θ + φ φ ρ φ θ

= φ φ − φ φ θ

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

2 /2 2

4

0 0 0 /2

2 /2 2 /24 45

0 0 0 0

24

0 /2

24 4/2 /22 6

0 00

ksen( )cos( ) 4 d d

4

4 k 4 ksen( )cos( )d d sen( )cos ( )d d

4 4

4 ksen( )cos( )d d

4

4 k 4 ksen ( ) d cos ( ) d

8 24

π π π π

π

π π π π

π π

π

ππ π

+ φ φ φ θ

= φ φ φ θ − φ φ φ θ

+ φ φ φ θ

= φ θ + φ

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫

∫

2 24

2

/20 0

4 4 4 4 4 3

4 ksen ( ) d

8

2 .4 k 2 .4 k 2 .4 k 2 .4 k .4 k .4 k 64 k8 24 8 24 12 3 3

π ππ

π θ + φ θ

π π π π π π π= − − = − = − = − = −

∫ ∫

35. Utilice un cambio de variable adecuado para calcular la masa de la región de densidad (x,y,z) xyzρ = que se encuentra limitada por las superficies

xy 1 , xy 9 , xz 4 , xz 9 ,= = = = yz 9 , yz 16= = .

Solución. Cambios de variables: u xy , v xz , w yz= = = .

Cálculo del jacobiano J(x,y,z): u u ux y z

v v vx y z

w w wx y z

y x 0J(x,y,z) z 0 x 2xyz

0 z y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= = = − .

Superficies: u 1 , u 9 , v 4 , v 9 , w 9 , w 16= = = = = = .

9 9 16

12

1 4 9

m dwdvdu 140= =∫ ∫ ∫ .




36. Sea Q el sólido definido por 2 2 2 2 2 2z 16 x y , z 0 , x y 4 , x y 8≤ − − ≥ + ≥ + ≤ .

Considerado el sólido Q homogéneo:

a. Exprese su masa en coordenadas cartesianas en el orden dxdydz.

Solución.



2 22 2 2 8 y 2 2 2 2 8 y

20 0 4 y 0 2 0

2 2 2 2 22 3 2 16 y z 2 3 16 z 16 y z

22 2 0 4 y 2 2 2 0

V 4 dxdydz 4 dxdydz

4 dxdydz 4 dxdydz

− −

−

− − − − −

−

= + +

+

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b. Calcule el momento de inercia respecto al eje z.

Solución.

22 2 2 16 r2 2 3

z0 2 0

Q

2 2 23 2

0 2

2 2 2 2 22 5/2 2 3/23 2

20 2

2 25/2 3/2 5/2 3/2

2

I (x y ) (x,y,z)dV k r dzdrd

k r 16 r drd

(16 r ) 16(16 r )k r 16 r drd 2 k

5 3

8 16(8) 12 16(12)2 k

5 3 5 3

π −

π

π

= + ρ = θ

= − θ

− −= − θ = π −

= π − − +

∫∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫




37. Sea W un sólido limitado por las superficies 2 2 2 2 2 2z x y , x y 1 , z 1 1 x y= − + + = = + − − .

a. Plantee la(s) integral(es) que permite(n) calcular el volumen del sólido W en

coordenadas:

a.1. cartesianas en el orden

dxdydz.

Solución.

Proyección en el plano yz usando simetría (ver figura 34)

Figura 34. Proyección plano yz usando simetría del ejercicio 19

2 2 2 22 1 (z 1) 1 y (z 1) 1 1 1 y

1 0 0 0 0 0

2 20 1 1 y 0 z 1 y

2 21 z 0 1 0 z y

V 4 dxdydz 4 dxdydz

4 dxdydz 4 dxdydz

− − − − − −

− − −

− − − −

= + +

+

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

dzdydx.

Solución.

Proyección en el plano xy usando simetría (ver figura 35)




Figura 35. Proyección plano xy usando simetría del ejercicio 19

2 2 21 1 x 1 1 x y

2 20 0 x y

V 4 dzdydx− + − −

− +

= ∫ ∫ ∫

a.2. esféricas.

Solución.


2 2 2

2 2

0x y (z 1) 1 ( 2cos( )) 0

2cos( )

x y 1 csc( )

ρ =+ + − = ⇒ ρ ρ − φ = ⇒ ρ = φ

+ = ⇒ ρ = φ

/2 /4 2cos( ) /2 3 /4 csc( )2 2

0 0 0 0 /4 0

V 4 sen( )d d d sen( )d d dπ π φ π π φ

π

= ρ φ ρ φ θ + ρ φ ρ φ θ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b. Calcule el volumen de W.

Solución.

Usando geometría elemental: 2 7

V 23 3 3π π π= + π − = .

38. Pruebe que 2 2 2 3 /2(x y z )

3R

4e dV

3− + + π=∫∫∫ .

Solución. m

2 2 2 3/2 3 3(x y z ) 2 0 m

m m 0 0

3R

4 4e dV lím 2 sen( )d e d lím (e e )

3 3

π− + + −ρ −

→+∞ →+∞

π π= π φ φ ρ ρ = − =∫∫∫ ∫ ∫ .

EJERCICIOS PROPUESTOS Integrales



3.14. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dibuje la región de integración y calcule las integrales dobles siguientes:

a.

S

xydxdy,∫∫ donde S es la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y 3x= ,

x 1= y el eje x. Rta. 98

b.

S

y xdxdy−∫∫ , donde S es la región limitada por las rectas de ecuaciones x y=

x 2y , y 1 , y 2.= = = Rta. 76

c. 2 2

S

xdxdy

1 x y+ +∫∫ , donde S es la región { } 2x2

S (x,y) / 0 x 2, 0 y= ≤ ≤ ≤ ≤ .

Rta. 54

1 ln(5)− +

2. Las integrales iteradas que se dan a continuación, son en cada caso las integrales dobles

de ciertas funciones en regiones del plano xy, para cada una de ellas, dibuje la región de

integración y exprese la integral doble mediante integrales iteradas cambiando el orden de

integración:

a.

22 4 y

22 4 y

f(x, y)dxdy−

− − −∫ ∫

22 4 x

22 4 x

Rta. f(x,y)dydx−

− − −∫ ∫

b.

4 x 4

21 x 2x

f(x, y)dydx+

− −∫ ∫

3 1 y 1 8 1 y 1

1 1 y 1 3 y 4

Rta. f(x,y)dxdy f(x,y)dxdy+ + + +

− − + −

+∫ ∫ ∫ ∫

3. Calcule las siguientes integrales, bien sea directamente, mediante algún cambio de variables conveniente, o invirtiendo el orden de integración:

a.

1 13

0 0

4 y x dxdy−∫ ∫ 117

Rta.

b.

22 y

1 y

dxdy∫ ∫ 56

Rta.

c.

1 1 x yy x

0 0

e dydx−

+∫ ∫ 12

Rta. (e 1)−




d. xy

S

e dxdy∫∫ , donde S es la región del primer cuadrante limitada por las curvas de

ecuaciones xy 2, xy 4, x y, y 8x.= = = = 4 232

Rta. (e e )ln(2)−

e.

S

dxdy∫∫ , donde S es la región encerrada por la curva de ecuación igual a 2 2x y

116 4

+ = .

Rta. 8π

f. 2 2

S

(x y) cos (x y)dxdy− +∫∫ , donde S es el paralelogramo de vértices dados por ( ,0)π ,

(2 , ), ( ,2 ), (0, ).π π π π π Rta. 4

3π

g.

4 4 x y xy x

0 0

e dydx− −

+∫ ∫ . Rta. 1e4(e )−

h.

1 2y/x

0 2y

e dxdy∫ ∫ . Rta. 2 /2 2 /22 2e 4e 3− +

i. (y x)/(y x)

S

e dA− +∫∫ , donde S es el interior del triángulo con vértices (0,0), (0,1) y (1,0).

1 14 eRta. (e )−

4. Calcule la integral 1 1

2

0 y

tg(x )dxdy∫ ∫ .

Rta. 12ln(sec(1))

5. Utilice coordenadas polares para calcular

2 2

S

x y 4 dA+ −∫∫ ,

donde la región S está definida por 2 2x y 9+ ≤ .

6. Usando integrales dobles halle el volumen del sólido acotado por las gráficas de las

siguientes funciones sobre la región del plano xy cuyos linderos se indican: a. 2 2f(x, y) x y , x 0 , x 2 , y 0 , y 2= + = = = =




b. f(x,y) 1 x y , x 0 , y 0 , x y 1= − − = = + =

7. Calcule yarctgx

S

e dxdy ∫∫ ,

donde S es la región en el primer cuadrante limitada por las circunferencias

2 2 2 2x y 1, x y 4+ = + = y las rectas y x, y 3x= = .

8. Calcule 2

2(x y)

S

ye 1 dA

x+ +

∫∫ ,

donde la región S está limitada por las curvas de ecuaciones y x ; y 2x ; x y 1 ; x y 2= = + = + = .

9. Halle el volumen de la región que está limitada por el plano xy, el plano x y z 2+ + = y el

cilindro parabólico 2y x= . Rta. 8120

10. Halle el volumen del sólido S, si S está limitado por el cono 2 2 2z x y= + y el cilindro 2 2x y 2y 0+ − = . Rta. 64

9

11. Halle el volumen de S, si S está limitado por el cilindro 2 2x y 4+ = y el hiperboloide 2 2 2x y z 1+ − = . Rta. 4 3π

12. Halle el volumen del solido limitado superiormente por la superficie esférica de ecuación 2 2 2x y z 4+ + = , inferiormente por el plano xy y lateralmente por el cilindro 2 2x y 1+ = .

Rta. 23 (8 3 3)− π

13. Encuentre el área de la región en el primer cuadrante del plano xy limitado por las curvas 2 2 2 2x 2y 1, x 2y 4, y 2x, y 5x+ = + = = = . Rta. 23

72 2arctg( )

14. Sea R el triángulo acotado por x 0,= y 0= , x y 1+ = . Haga la sustitución dada por

x y u, y uv+ = = y demuestre que




x y a 1 b 1

R

e x y dxdy− − − −∫∫

puede reducirse al producto de integrales sencillas.

15. Evalúe la integral 2 2

2 2

R

x yI 1 dxdy

a b= − −∫∫ , a 0> , b 0> ,

donde la región R es la región limitada por la elipse 2 2

2 2

x y1

a b+ = .

Rta. 23 abπ

16. Grafique la región S que está acotada por las curvas

2x y= − , 2x 2y y= − , 2x 2 y 2y= − −

y utilice el cambio de variables 2(u v)

x u ,4

+= − u v

y2+=

para calcular

2

S

(x y )dxdy+∫∫ . 16

Rta. .

17. Encuentre el área de la región encerrada por la curva de ecuación polar r 2cos(2 )= θ que

es exterior a r 3= .

18. Calcule

2 2

S

xydA

1 x y+∫∫ ,

donde la región S está limitada por las curvas de ecuaciones

1 5

x ; y ; x 1 0 ; x 5y x

= = − = = .

19. En los problemas siguientes halle el centro de masa de las láminas acotadas por las

gráficas dadas y densidad que se indica: a. = = = ρ = y ln(x) , x 1 , x 2 , (x,y) 1 / x , y 0=




b. 2y 2 / x , x 1 , x 2 , (x,y) x= = = ρ =

c. 2y 1 x , y 0 , y x , 1= − = = ρ =

20. Calcule el momento de inercia de la superficie limitada por la hipérbola xy 4= y la recta

x y 5+ = con respecto a la recta y x= . Rta. 38

16ln(2) 9−

21. Para las láminas limitadas por las curvas que se indican halle el momento polar de inercia

0I .

a. 2y 1 x , y 0 , (x,y) y= − = ρ =

b. 2y x , y x , (x,y) x= = ρ =

22. Grafique la región limitada por las curvas 2 24y x 8 , y 2x 1 , y 6 x 9− = + = − = −

Plantee las integrales que permiten calcular:

a. El área de la región

b. El centro de masa

c. El momento polar de inercia

23. Calcule las siguientes integrales dobles impropias:

a. 2 2

S

dxdy

x y+∫∫ , donde S es la región limitada por la circunferencia de ecuación

2 2x y 4+ = . Rta. 4π

b. 2 2 2

2R

dxdy

(1 x y )+ +∫∫ . Rta. π

c.

S

dxdy

xy∫∫ , donde S 0,2 0,2= × Rta. 8

24. Calcule la integral impropia 2 2(x y )

2R

e dxdy− +∫∫ ,

extendida a todo el plano 2R y luego utilice el resultado encontrado para calcular la

integral impropia




2x

e dx∞

−

−∞∫ .

(Esta última integral es importante en Estadística y se trata de la distribución normal).

Rta. , π π

25. Sea T el sólido formado por la región interior de 2 2x y 9+ = , exterior a 2 2 2x y z 9+ + = ,

por abajo de 2 2z 2 x y= + y sobre el plano xy. Halle el volumen de T.

26. Calcule

2 2 2

Q

1dv

x y z+ +∫∫∫ ,

donde Q es el sólido limitado por las superficies 2 2 2z 1, z x y= = + , siendo z 0≥ .

27. Sea T el sólido formado por la región interior del cilindro 2 2x y 9+ = , bajo el cono

2 2z x y= + y sobre el paraboloide 2 21z (x y )

6= + . Calcule el volumen de T.

28. Exprese en coordenadas cilíndricas

2 2 23 9 x 3 9 x y

23 9 x 3

xdzdydx− + − −

− − −∫ ∫ ∫ .

29. Exprese en coordenadas esféricas

2 2 21 1 x 1 x y2 2 2

0 0 0

x y z dzdydx− − −

+ +∫ ∫ ∫ .

30. Exprese en coordenadas cartesianas

/2 /2 42

0 /6 0

4 sen d d dπ π

π

ρ φ ρ φ θ∫ ∫ ∫ .

31. Exprese el volumen del sólido 2 2x y 9+ ≤ , 2 2z x y≥ + , 2 2z 9 x y≤ + + utilizando

integrales triples en coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas.

32. Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido limitado por las superficies

2 24 z x y− = + , 2 2z 2 x y− = + en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.




33. Sea Q el sólido formado por

2 2 2 2 2 2x y 1 ; 1 x y z 1 x y+ ≤ − − ≤ ≤ + +

Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido en:

a. cartesianas dxdzdy b. cilíndricas

34. Sea S el sólido formado por 2 2 2 2 2 2 2z x y ; x y 2 ; x y z 11≥ + + ≤ + + ≤

Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido en:

a. cartesianas dzdydx b. cartesianas dydxdz c. cilíndricas

35. Sea Q el sólido homogéneo definido por

2 2 2 2 2x y z 6z 5 ; z 5 x y ; z 0+ + ≥ − ≤ − + ≥

Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido Q:

a. Proyectando en el plano xy b. proyectando en el plano yz

36. Sea Q el sólido definido por

2 2 2 20 z 4 x y ; x y 4≤ ≤ − + + ≥

Plantee las integrales que permiten calcular el volumen del sólido Q:

a. En el orden dxdzdy b. en coordenadas cilíndricas

37. Sea la integral triple 2 2 22 2x x 4 x y

2 2 2

20 2x x 0

I (x y z )dzdydx− − −

− −

= + +∫ ∫ ∫

Plantee la integral I en coordenadas cilíndricas.

38. Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido limitado por las superficies 2 24 z x y− = + , 2 2z 2 x y− = + en coordenadas cartesianas y cilíndricas.

39. Usando coordenadas cilíndricas calcule el volumen del cuerpo limitado por la esfera 2 2 2x y z 4+ + = y la superficie del paraboloide 2 2x y 3z+ = .

40. Dadas las siguientes superficies que definen el sólido T

2 2 2 2 2 2z x y ; x y 9 ; z 9 x y 6≥ + + ≤ ≤ − − + :

a. Plantee la integral que permite calcular el volumen del sólido en coordenadas

cartesianas.




b. Plantee las integrales para el cálculo del centro de masa del sólido T.

41. Usando coordenadas esféricas halle el volumen del sólido sobre el cono 2 2 2z x y= + e

interior a la esfera 2 2 2x y z 2az+ + = . Rta. 3aπ

42. Calcule 3 /22 2 2

2 2 2

R

x y z1 dxdydz

a b c

− − −

∫∫∫ ,

donde R es la región encerrada por el elipsoide 2 2 2

2 2 2

x y z1

a b c+ + = . Rta. 21

3 abcπ

43. Un sólido ocupa la región T del espacio definida por

2 2 2 2 2 2z 6 x y , z 3 9 x y , x y 1≤ − + ≥ − − − + ≥ .

a. Exprese utilizando integrales triples el volumen de T.

b. Exprese utilizando integrales triples las coordenadas del centro de masa.

44. Halle el centroide de un objeto limitado por los planos coordenados, el plano x y 1+ = y el

paraboloide 2 2z 4 x 4y= − − . Rta. 33 52795 95 3( , , )

45. Halle el momento de inercia con respecto al eje z del sólido homogéneo dentro del cilindro 2 2x y 2x 0+ − = , bajo el cono 2 2 2x y z+ = y sobre el plano xy. Rta. 51275 k

46. Calcule las siguientes integrales triples impropias:

a. 2 2 2

T

dV

x y z+ +∫∫∫ , donde T es la esfera sólida limitada por la superficie

2 2 2x y z 1+ + = . Rta. 2π

b. 2 2 2 3

T

dV

(x y z )+ +∫∫∫ , donde T es la reunión de la frontera y del exterior de la esfera

sólida del ejercicio a, esto es { }3 2 2 2T (x,y,z) R / x y z 1= ∈ + + ≥ . Rta. 43π

BIBLIOGRAFÍA Integrales



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Analítica. Volumen 2. 6ta edición. MC GRAW HILL (1999).

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