Integrales dobles

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

3

1. INTEGRALES DOBLES

En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable

real a funciones de varias variables, comenzando en este capítulo con integrales de

funciones de dos variables; es decir, funciones del tipo 2f : D ⊆ → . La integral

doble tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su

significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una

función de variable real es el área.

1.1 INTRODUCCIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA

Como referencia para la definición de la integral doble, se debe

recordar la integral definida de una función real de variable real, la

cual surge como solución al problema del cálculo de área bajo una

curva.

Sea f una función real definida en [ ]ba, y sea P una partición del

intervalo cerrado [ ]ba, , donde { }nnii xxxxxxxP ,,,,,,,, 11210 −−= .

Una suma de Riemann de la función f para la partición P ,

denotada por PR es un número real obtenido como:

( )1

n*

P i ii

R f x x=

= ∆∑ (I.1)

donde: n es el número de subintervalos de la partición P ,

[ ]*1i i ix x ,x−∈ y ix∆ es la longitud del subintervalo genérico

(también llamado subintervalo i-ésimo).

En la figura 1 se aprecia el significado geométrico de la Suma de

Riemann para el caso de una función f positiva en el intervalo

cerrado [ ]ba, .

El nombre de Suma de Riemann se debe al matemático alemán:

Georg Friedrich Bernhard Riemann

(1826-1866).

Sus contribuciones destacaron en las áreas de análisis y geometría diferencial, la fisicomatemática y la teoría de funciones de variables complejas.

Su nombre también está relacionado con la función zeta.

La longitud del subintervalo genérico se calcula de la siguiente manera:

1−−=∆ iii xxx



4

Figura 1.1

Significado geométrico de la Suma de Riemann para una función f positiva en el intervalo cerrado[ ]ba, .

En la gráfica a) la región sombreada es la que está comprendida bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas ax = y bx = .

En la gráfica b) la suma de las áreas de los rectángulos sombreados es el valor numérico de la Suma de Riemann para la función f en el intervalo cerrado [ ]ba, .

Si la norma de una partición P, denotada como P , se define

como la longitud más grande de todos los subintervalos, entonces

al hacer que la norma sea lo suficientemente pequeña, esto es

0→P , la partición se hace más fina, lo cual lleva a la definición

de la Integral Definida.

DEFINICIÓN: integral definida de f en [ ]b,a

Sea f una función real definida en un intervalo cerrado [ ]ba, .

La integral definida de f desde a hasta b , denotada por

( )∫b

adxxf

, esta dada por:

( ) ( )

0 1

nb *ia p i

f x dx Lím f x x→

=

= ∆∑∫ (I.2)

si el límite existe.

Significado geométrico de la suma de Riemann

Si la función f es

positiva [ ]bax ,∈∀ , entonces la suma de Riemann corresponde a un valor aproximado del área de la región comprendida bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas ax = y x b= .

Decir que la norma de la partición P tiende a cero,

0→P , es equivalente

a decir que el número de subintervalos de la partición P tiende a infinito, ∞→n .

El símbolo ∫ lo introdujo el matemático alemán

Gottfried Wilhelm

von Leibniz

(1646, 1716).



5

Donde: ∫ es el signo de integración, a y b son los límites de

integración inferior y superior, respectivamente; ( )xf es el

integrando o función integrando y la diferencial de x, denotada por

dx , indica que la variable de integración es x.

1.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS

Sea 2:f → una función definida sobre la región rectangular

cerrada D , dada por:

[ ] [ ] ( ){ }2 D a,b c,d x, y a x b c y d= × = ∈ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (I.3)

Sea P una partición de la región D , la cual se logra con el

producto cartesiano de las particiones xP y yP de los intervalos

[ ]ba, y [ ]dc, , respectivamente, como se muestra a continuación:

{ }nniix xxxxxxxP ,,,,,,,, 11210 −−= …… (I.4)

{ }mmjjy yyyyyyyP ,,,,,,,, 11210 −−= …… (I.5)

entonces

yx PPP ×= (I.6)

Si la partición xP tiene 1+n elementos y n subintervalos [ ]ii xx ,1−

de longitud 1−−=∆ iii xxx , y la partición yP tiene 1+m elementos y

m subintervalos [ ]jj yy ,1− de longitud 1−−=∆ jjj yyy , entonces la

región rectangular D queda dividida por la partición P en mn ⋅

rectángulos denominados ijD , tal como se muestra en la figura

1.2.

La Integral Definida

( )∫b

adxxf

es un número

real que puede interpretarse como el área bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x y entre las rectas ax = y bx = , si la función es positiva.

Una partición xP del intervalo [ ]ba, es un conjunto finito de elementos, donde se cumple:

bxxxxxa nii =<<<<<<= − …… 110



6

Figura 1.2

Partición P de una región rectangular D .

El subrectángulo denotado ijD , es un elemento de la partición P ,

cuya área, denotada ijA∆ se calcula como:

jiij yxA ∆⋅∆=∆ (I.7)

Al tomar un punto arbitrario ( )** , ji yx en el subrectángulo ijD , se

puede establecer la doble suma de Riemann para la función f

en la partición P , denotada como DS :

( ) ij

n

i

m

j

*j

*iD Ay,xfS ∆= ∑∑

= =1 1

(I.8)

Esta doble suma de Riemann es un valor numérico que se obtiene

al efectuar la suma del producto de la imagen de la función f en

cada punto arbitrario ( )** , ji yx y el área de cada rectángulo ijD . Al

expandir la expresión (I.8) se obtiene:

En la figura 1.2, se aprecia que:

jjj

iii

yyy

xxx

≤≤

≤≤

−

−

*1

*1

Figura 1.3 Subrectángulo ijD

El punto ( )* *,i j ijx y D∈

por lo tanto existen diferentes alternativas para su selección las más comunes son:

Esquina inferior izquierda

( ) ( )* *1 1, ,i j i jx y x y− −=

Esquina inferior

derecha ( ) ( )* *

1, ,i j i jx y x y −=

Esquina superior izquierda

( ) ( )* *1, ,i j i jx y x y−=

Esquina superior

derecha ( ) ( )ji

*j

*i y,xy,x =

Punto medio

( ) 1* * 1, ,2 2

j ji ii j

y yx xx y −−+ +

=



7

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) nm*

m*

nn**

nn**

n

m*

m*****

m*

m*****

D

Ay,xfAy,xfAy,xf

Ay,xfAy,xfAy,xf

Ay,xfAy,xfAy,xfS

∆++∆+∆

+∆++∆+∆

+∆++∆+∆=

2211

2222222112

1112211111

(I.9)

Si se define la norma P de la partición P como la longitud de la

diagonal más grande de todos los rectángulos ijD y se hace que

0→P , entonces la partición P se hace más fina, esto es, ahora

la región R queda dividida en muchos más rectángulos, y se

puede plantear:

( ) ij

n

i

m

j

*j

*iPDP

Ay,xfLimSLim ∆= ∑∑= =→→ 1 100

(I.10)

Todo esto permite establecer la definición de la integral doble.

1.2.1 INTEGRAL DOBLE DE f SOBRE D

Decir que el límite existe significa que:

( ) LdAy,xfD

=∫∫ (I.12)

donde L∈

DEFINICIÓN: Integral doble de f sobre D

Sea 2:f → una función real definida sobre un rectángulo

D del plano. La integral doble de f sobre D , denotada por

( )∫∫D dAy,xf , se define como:

( ) ( ) ij

n

i

m

j

*j

*iPD

Ay,xfLimdAy,xf ∆= ∑∑∫∫= =→ 1 10

(I.11)

si el límite existe.

Así como la suma de Riemann es una aproximación de la integral definida, la doble suma de Riemann es una aproximación de la integral doble.

Otras notaciones para la integral doble son:

( )∫∫D dxdyy,xf ( )∫∫D dydxy,xf



8

Si el límite de la expresión (I.11) existe se dice que f es

integrable sobre D , recordando la definición del límite, esto

significa que para todo 0>ε existe un número 0>δ , tal que:

( ) ε<−∆∑∑= =

LAy,xf ij

n

i

m

j

*j

*i

1 1

(I.13)

Siempre que:

δ<P (I.14)

Para cualquier partición P del rectángulo D , y para cualquier

( )** , ji yx en el subrectángulo ijD .

1.2.2 INTEGRABILIDAD DE UNA FUNCIÓN CONTINUA

TEOREMA: Integrabilidad de una función continua


D del plano acotada, y continua, excepto quizás en un

número finito de curvas suaves en D , entonces la función f

es integrable en D .

Definición del límite de una función: El límite

( ) LxfLimxx

=→ 0

existe si 0 0 >∃>∀ δε

tal que ( ) ε<− Lxf

siempre que

δ<−< 00 xx

Observe que la condición

P<0 no se coloca ya

que la norma de la

partición P es una

longitud por lo tanto ya

es positiva.



9

1.3 INTERPRETACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE COMO VOLUMEN


[ ] [ ]d,cb,aD ×= , la cual es continua y positiva en D . Entonces la

gráfica de f es una superficie definida por la ecuación:

( )y,xfz = (I.15)

En la figura 1.4 se aprecia la gráfica de una función 2:f → definida sobre un rectángulo D .

Figura 1.4

Gráfica de una función 2:f → definida sobre un rectángulo D

Sea S el sólido que está definido sobre la región D y bajo la

superficie definida por la gráfica de f . En la figura 1.5 se aprecia

el sólido S .

( )yxfz ,=

D



10

Figura 1.5

Sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de f

El volumen V del sólido S puede aproximarse como la suma del

volumen de los paralelepípedos base ijD y altura es ( )*j

*i y,xf , tal

como indica la expresión (I.16).

1 1

n m

iji j

V V= =

≈ ∑∑ (I.16)

donde ijV es el volumen del paralelepípedo de base ijD , también

llamado paralelepípedo aproximante, y cuya altura es ( )*j

*i y,xf . El

punto ( )** , ji yx pertenece al subrectángulo genérico. El volumen de

este paralelepípedo o caja rectangular viene dado por:

( ) ij*

j*

iij Ay,xfV ∆= (I.17)

Al sustituir (I.17) en (I.16) se obtiene la doble suma de Riemann

planteada en (I.8) como ( ) ij

n

i

m

j

*j

*i Ay,xf ∆∑∑

= =1 1

por lo tanto esta doble

suma es una aproximación del volumen del sólido S , es decir:

y x



11

( ) ij

n

i

m

j

*j

*i Ay,xfV ∆≈ ∑∑

= =1 1

(I.18)

La figura 1.6 muestra la gráfica de un paralelepípedo aproximante

del volumen del sólido S sobre la región D .

Figura 1.6

Paralelepípedo de base ijD y altura ( )* *i jf x , y , empleado para

aproximar el volumen del sólido S definido sobre la región D

La figura 1.7 muestra los paralelepípedos empleados en la

aproximación del volumen del sólido S , el cual se encuentra

limitado por la gráfica de la función f y por el rectángulo D .

( )yxfz ,=

D

( )( )* * * *i j i jx , y , f x , y

1ix x −= ix x=

1jy y −=

jy y=



12

Figura 1.7

Paralelepípedos empleados para aproximar el volumen del sólido S definido sobre la región D

Cuando 0→P , la partición P se hace más fina y por lo tanto la

región R queda dividida en muchos más rectángulos, por lo cual

el límite ( )* *

0 1 1,

n m

i j ijP i jLim f x y A

→= =

∆∑∑ representa el volumen del sólido

S , es decir:

( ) ( )* *

0 1 1, ,

n m

i j ij DP i jV Lim f x y A f x y dA

→= =

= ∆ =∑∑ ∫∫ (I.19)

En la figura 1.8 se observan los paralelepípedos empleados en la

aproximación del volumen del sólido S , pero ahora con una

partición más refinada sobre el rectángulo D .



13

Figura 1.8

Paralelepípedos empleados en la aproximación del volumen del sólido S

con una partición refinada sobre D .

Estime el volumen del sólido que se encuentra debajo de la

superficie yxz 42 += y arriba del rectángulo

( ){ }3020, ≤≤∧≤≤= yxyxD . Utilice una suma de Riemann con

2=n y 3=m y considerando el punto de muestra como:

a) La esquina superior derecha de cada subrectángulo.

b) El punto medio de cada subrectángulo

Solución:

a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie yxz 42 +=

y arriba del rectángulo D . Entonces se desea estimar a V de la

siguiente manera:

( ) ( )2 3

2

1 1

4 * *i j ijD

i jV x y dA f x , y A

= =

= + ≈ ∆∑∑∫∫

EJEMPLO 1.1

Figura 1.9

Sólido del ejemplo 1.1



14

donde ( )* *i jx , y es el punto perteneciente a ijD donde será

evaluada la función. El enunciado de este ejercicio exige que el

punto de muestra sea la esquina superior derecha de cada

subrectángulo, por lo cual ( ) ( )ji*

j*

i y,xy,x = .

La región D y su partición se muestran en la siguiente figura.

Figura 1.10

Partición empleada para el ejemplo1.1

Luego, la aproximación del volumen es:

( ) ( )( )2 3 2 3

* *

1 1 1 1

, , 1i j iji j i j

V f x y A f i j= = = =

≈ ∆ =∑∑ ∑∑

Para evaluar esta doble suma de Riemman se pueden emplear las

fórmulas y propiedades de la notación sigma:

( )( ) ( ) ( )2 3 2 3 2

2 2

1 1 1 1 1

, 1 4 3 24 15 48 63i j i j i

V f i j i j i= = = = =

≈ = + = + = + =∑∑ ∑∑ ∑

( )2 4 63D

V x y dA= + ≈∫∫

Si 3=m y 2=n ,

entonces

12

02=

−=

−=∆

nabx

13

03=

−=

−=∆

mcdy

Como ( ) ( )ji*

j*

i y,xy,x = ,

entonces se debe expresar

en función de i y j:

( ) iixixxi =+=∆+= 100

( ) jjyjyyj =+=∆+= 100

Y además:

( )( )1 1 1ijA x y∆ = ∆ ∆ = =

Recuerde:

1

n

ik kn

=

=∑ si k ∈

( )1

12

n

i

n ni

=

+=∑

( )( )2

1

1 2 16

n

i

n n ni

=

+ +=∑



15

Figura 1.11

Paralelepípedos empleados para aproximar el volumen del sólido S descrito en el ejemplo 1.1 parte a

En la figura 1.11, se aprecia la superficie definida por la función f

y los paralelepípedos aproximantes de volumen.

b) Cuando se desea estimar el volumen V del sólido debajo de la

superficie yxz 42 += y arriba del rectángulo D en donde ( )* *,i jx y

es el punto medio de cada subrectángulo, entonces se tiene:

( ) 1* * 1 1 1 1 1, , , ,2 2 2 2 2 2

j ji ii j

y yx x i i j jx y i j−−+ + − + − + = = = − −

Luego:

( ) ( )2 3 2 3

* *

1 1 1 1

1 1, , 12 2i j ij

i j i jV f x y A f i j

= = = =

≈ ∆ = − −

∑∑ ∑∑

A continuación esta doble suma de Riemann se resolverá

calculando la imagen de cada ( )* *,i jx y en la función f y

posteriormente se efectuará la suma.

Cuando se selecciona

( ) ( )ji*

j*

i y,xy,x = , en el

cálculo de la doble suma

de Riemann del ejemplo

1.1 parte a, la

aproximación del

volumen obtenida es por

exceso ya que el volumen

del sólido S es inferior

al volumen de las cajas

rectangulares.

( )1 0 1 1ix x i x i− = + − ∆ = −

( )1 0 1 1jy y j y j− = + − ∆ = −



16

( )* * 1 1, ,

2 2i jx y i j = − −

( ) ( )2* * * *, 4i j i jf x y x y= +

i j

1 2 1 2

1 1 1,

2 2

3 1,2 2

94

174

2 1 3,

2 2

3 3,2 2

254

334

3 1 5,

2 2

3 5,2 2

414

494

Cuadro 1.1

Valores de ( )* *,i jf x y empleados en el ejemplo 1.1 (b)

9 25 41 17 33 49 43,54 4 4 4 4 4

V ≈ + + + + + =

Por lo tanto ( )2 4 43 5D

V x y dA ,= + ≈∫∫

Figura 1.12

Paralelepípedos empleados para aproximar el volumen del sólido S descrito en el ejemplo 1.1 parte b

En la figura 1.12, se observa la superficie definida por la función f

y los paralelepípedos aproximantes de volumen.

En el ejemplo 1.1 parte

b, cuando se selecciona

( )* *,i jx y como el punto

medio de cada

subrectángulo se puede

apreciar en la figura 1.12

que la gráfica de la

función f atraviesa a

los paralelepípedos, por

lo cual no se puede

asegurar si la

aproximación del

volumen del sólido S es

por exceso o por defecto.



17

Sea S el sólido que se encuentra arriba del cuadrado

[ ] [ ]0, 4 0, 4D = × y abajo del paraboloide elíptico 2 236z x y= − − .

Estime el volumen del sólido tomando como punto de muestra la

esquina superior derecha de cada subcuadrado y dividiendo a la

región D en:

a) Cuatro cuadrados iguales.

b) Diez mil cuadrados iguales.

Solución:

a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie 2 236z x y= − − y arriba del rectángulo D . Entonces se desea

estimar a V de la siguiente manera:

( ) ( )2 2

2 2 * *

1 136 ,i j ijD

i jV x y dA f x y A

= =

= − − ≈ ∆∑∑∫∫

donde ( ) ( )ji*

j*

i y,xy,x =

La región R y su partición se muestran en la siguiente figura.

Figura 1.14

Partición empleada para el ejemplo 1.2

EJEMPLO 1.2

Figura 1.13


Como [ ] [ ]0, 4 0, 4D = ×

y se divide en 4

subcuadrados, entonces

2n m= =

4 0 22

b axn− −

∆ = = =

4 0 23

d cym− −

∆ = = =



18


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3

2 2* *

1 1 1 1 1 1, 2 , 2 4 4 16 2 2i j ij

i j i j i jV f x y A f i j i j

= = = = = =

≈ ∆ = = − − ∑∑ ∑∑ ∑∑

Resolviendo de manera análoga al ejemplo anterior:

( )2 236 256D

V x y dA= − − ≈∫∫

Figura 1.15

Volumen aproximado en el ejemplo 1.2 parte a


y los paralelepípedos aproximantes empleados.


a, la aproximación del

volumen obtenida es por

defecto ya que las cajas

rectangulares empleadas

se encuentran dentro del

sólido S .

( )( )2 2 4ijA x y∆ = ∆ ∆ = =

Como ( ) ( )ji*

j*

i y,xy,x = ,

entonces

( )0 0 2 2ix x i x i i= + ∆ = + =

( )0 0 2 2jy y j y j j= + ∆ = + =



19

b) Ahora la región D , está dividida en diez mil subcuadrados

iguales; es decir, 100n m= = . Por lo tanto, la estimación del

volumen del sólido viene dada por:

( ) ( )100 100

2 2 * *

1 136 ,i j ijD

i jV x y dA f x y A

= =

= − − ≈ ∆∑∑∫∫

Realizar este cálculo como se ha ilustrado en los ejemplos 1.1 y la

parte a de éste, es muy largo pues el número de subcuadrados es

elevado. Entonces para resolver la doble suma de Riemann

planteada es necesario emplear un software matemático.

A continuación se presenta los resultados obtenidos, con un

software matemático, para el ejemplo 1.2 parte b. También se

incluye otra aproximación empleando una partición aún más

refinada.

Número de subcuadrados n m ( )* *

1 1,

n m

i j iji j

f x y A= =

∆∑∑

Diez mil 100 100 402,7648

Un millón 1.000 1.000 405,077248

Cuadro 1.2

Aproximaciones del volumen del sólido planteado en el ejemplo 1.2

Con la ayuda del software se obtuvo las siguientes

aproximaciones:

( )2 236 402 7648D

V x y dA ,= − − ≈∫∫

( )2 236 405 077248D

V x y dA ,= − − ≈∫∫


b, se aprecia que la

aproximación del

volumen del sólido S

aumenta a medida que se

incrementa el número de

subcuadrados.



20

Sea S el sólido que se encuentra arriba del cuadrado

[ ] [ ]1130 ,,D −×= y bajo el plano de ecuación yz −=1 . Estime el

volumen del sólido considerando:

a) 3=n , 2=m y el punto de muestra como el punto medio de

cada subrectángulo.

b) 6=n , 8=m y el punto de muestra como el punto medio de

cada subrectángulo.

Solución:

a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie yz −= 1 y

arriba del rectángulo D .

La región D y su partición se muestran en la siguiente figura

Figura 1.17

Partición empleada para el ejemplo 1.3 parte a

EJEMPLO 1.3

Figura 1.16




21

Entonces se desea estimar a V de la siguiente manera:

( ) ( )3 2

1 11 * *

i j ijDi j

V y dA f x , y A= =

= − ≈ ∆∑∑∫∫ , donde ( )* *,i jx y es el punto

medio de cada subrectángulo, entonces se tiene:

( ) jjyy,xf *j

*j

*i −=

−

−=−=25

23211


( ) 62125 3

1

3

1

2

1

==

−≈ ∑∑∑

== = ii jjV

( )1 6D

V y dA= − ≈∫∫


y la aproximación del volumen.

Figura 1.18

Aproximación del volumen para el ejemplo 1.3 parte a

Si 2=m y 3=n ,

entonces

13

03=

−=

−=∆

nabx

( ) 12

11=

−−=

−=∆

mcdy

( )( ) 1=∆∆=∆ yxAij

( ) 2101 −=∆−+=− jyjyy j

jyjyyj +−=∆+= 10


a, en la aproximación del

volumen, se observa que

la gráfica de la función

f atraviesa a los

paralelepípedos, por lo

cual no se puede asegurar

si la aproximación es por

exceso o por defecto.



22

b) Se desea estimar el volumen V pero ahora con una partición

refinada, donde 6=n y 8=m . En la figura 1.19 se aprecia

esta partición.

Figura 1.19

Partición empleada para el ejemplo 1.3 parte b

( ) ( )3 2

1 11 * *

i j ijDi j

V y dA f x , y A= =

= − ≈ ∆∑∑∫∫ , donde ( )* *,i jx y sigue siendo

el punto medio de cada subrectángulo, pero como la partición es

más fina, entonces:

( )48

178

9211 jjyy,xf *j

*j

*i −=

−

−=−=

Entonces el volumen aproximado es:

6881

81

4817 6

1

6

1

8

1

==

−≈ ∑∑∑

== = ii j

jV

( )1 6D

V y dA= − ≈∫∫

Si 6=n y 8=mentonces

21

=−

=∆n

abx

41

=−

=∆m

cdy

81

=∆ ijA

( )4

5101−

=∆−+=−

jyjyy j

44

0−

=∆+=jyjyyj



23

En la figura 1.20 se aprecia la aproximación del volumen del sólido

S empleando la partición más refinada.

Figura 1.20

Aproximación del volumen para el ejemplo 1.3 parte b



24

1.4 INTEGRALES ITERADAS

Para evaluar una integral definida en un intervalo cerrado se

tienen dos alternativas: la definición, donde se emplean fórmulas y

propiedades de la notación sigma y además, la resolución de un

límite; la otra opción para resolver una integral definida de una

función real de variable real, es el Segundo Teorema Fundamental

del Cálculo, el cual consiste en encontrar una antiderivada y

evaluarla en los extremos del intervalo de integración. El primer

método, la definición como el límite de una suma suele ser un

procedimiento más riguroso en comparación con el segundo.

Análogamente, la resolución de una integral doble por definición

es un cálculo muy complejo, ya que es el resultado del límite de

una doble suma de Riemann.

A continuación se expone un método que consiste en expresar

una integral doble como una integral iterada, lo cual implica la

evaluación sucesiva de dos integrales simples.

DEFINICIÓN: La Integral Iterada

Sea 2f : → una función real y continua de dos variables,

definida en la región rectangular [ ] [ ]dcbaD ,, ×= . La integral

iterada de la función f sobre D , denotada por

d b

c af ( x, y )dxdy∫ ∫ ó

b d

a cf ( x, y )dydx∫ ∫ , se define como:

( ) ( )

d b d b

c a c af x, y dxdy f x, y dx dy = ∫ ∫ ∫ ∫ (I.20)

O también

( ) ( )

b d b d

a c a cf x, y dydx f x, y dy dx = ∫ ∫ ∫ ∫ (I.21)

Segundo Teorema

Fundamental del

Cálculo Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ ]b,a y si F es

una antiderivada de f , entonces:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

b b

aab

a

f x dx F x

f x dx F b F a

=

= −

∫∫



25

Entonces, la integral iterada es la evaluación sucesiva de dos

integrales simples. En la ecuación (I.20), la integral que debe

resolverse primero es la que se encuentra dentro del corchete; es

decir, ( )

b

af x,y dx∫ . El resultado de esta integral es una función de

y, ya que y se considera constante. Tal como se ilustra:

( ) ( )

b

af x,y dx A y=∫ (I.22)

Finalmente:

( ) ( ) ( )

d b d b d

c a c a cf x, y dxdy f x, y dx dy A y dy = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (I.23)

En forma análoga, en la expresión (I.21), la integral

( )

b d

a cf x, y dydx∫ ∫ se resuelve primero ( )

d

cf x, y dy∫ , resultando una

función de x, como sigue:

( ) ( )

d

cf x,y dy A x=∫ (I.24)

para luego integrar respecto a y:

( ) ( ) ( )

b d b d b

a c a c af x, y dydx f x, y dy dx A x dx = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (I.25)

Evalúe las siguientes integrales iteradas:

a) ( ) 3 2 2

0 04x y dxdy+∫ ∫ b) ( ) 2 3 2

0 04x y dydx+∫ ∫

c) ( ) 4 4 2 2

0 036 x y dxdy− −∫ ∫ d) ( ) 4 4 2 2

0 036 x y dydx− −∫ ∫

e) ( ) 1 3

1 01 y dxdy

−−∫ ∫ f) ( )

3 1

0 11 y dydx

−−∫ ∫

EJEMPLO 1.4

Recuerde que en la

integral ( )

b

af x,y dx∫ , la

dx indica que la variable de integración es x, por lo tanto la variable y se considera constante en esta integral. Esto se conoce como integración parcial con respecto a x Entonces para resolver

( )

d

cf x,y dy∫ se integra

parcialmente respecto a la variable y; es decir x es considerada constante.



26

Solución:

a) Para resolver la integral ( ) 3 2 2

0 04x y dxdy+∫ ∫ , primero se integra

parcialmente respecto a x,

( ) 23 2 2

0 0

84 4 83 3xx y dx xy y

+ = + = +

∫

Luego se evalúa la segunda integral

3 3 2

0 0

8 88 4 8 36 443 3

y dy y y + = + = + = ∫

Por lo tanto:

( ) 3 2 2

0 04 44x y dxdy+ =∫ ∫

b) Se desea resolver ( ) 2 3 2

0 04x y dydx+∫ ∫ :

( ) 3 3 2 2 2 2

0 04 2 3 18x y dy x y y x + = + = + ∫

( ) 2 2 2 3

0 03 18 18 8 36 44x dx x x + = + = + = ∫

( ) 2 3 2

0 04 44x y dydx+ =∫ ∫

c) Para resolver la integral ( ) 4 4 2 2

0 036 x y dxdy− −∫ ∫ , primero se

integra parcialmente respecto a x:

( ) 43 4 2 2 2 2 2

0 0

64 36836 36 144 4 43 3 3xx y dx x y x y y

− − = − − = − − = −

∫

Recuerde que en el

ejemplo 1.1 se aproximó

la integral doble de dos

maneras diferentes:

( )2 4 63D

V x y dA= + ≈∫∫

( )2 4 43 5D

V x y dA ,= + ≈∫∫

Al comparar estas

aproximaciones con el

valor de la integral, en

efecto se puede

comprobar que la primera

estimación es por exceso,

mientras que la segunda

es una mejor

aproximación.



27

Luego se resuelve la segunda integral, cuya variable es y

4 4 2 3

0 0

368 368 4 1472 256 12164 405 33 3 3 3 3 3

y dy y y , − = − = − = ≈ ∫

Por lo tanto:

( ) 4 4 2 2

0 036 405 3x y dxdy ,− − =∫ ∫

d) Resolviendo ( ) 4 4 2 2

0 036 x y dydx− −∫ ∫

( ) 4

4 2 2 2 3 2 2

0 0

1 64 36836 36 144 4 43 3 3

x y dy y x y y x x − − = − − = − − = − ∫

4 4 2 3

0 0

368 368 4 1472 2564 405 33 3 3 3 3

x dx x x , − = − = − = ∫

( ) 4 4 2 2

0 036 405 3x y dydx ,− − =∫ ∫

e) Para resolver la integral ( ) 1 3

1 01 y dxdy

−−∫ ∫ , primero se integra

respecto a x como sigue:

( ) ( ) ( ) 3 3

0 01 1 3 1y dx y x y− = − = − ∫

Seguidamente se resuelve la integral:

( ) [ ] 1

1 2

11

33 1 1 62

y dy y−

−

− = − − = ∫

Es decir:

Recuerde que en el

ejemplo 1.2 parte a se

obtuvo una aproximación

por defecto de:

( )2 236 256D

V x y dA= − − ≈∫∫

Mientras que en la parte

b, se obtuvo:

402 7648V ,≈ y

405 077248V ,≈

Al observar el valor real

de la integral doble,

( ) 4 4 2 2

0 036 405 3x y dxdy ,− − =∫ ∫

se puede concluir que

las aproximaciones de la

parte b son mejores que

la estimación de la parte

a.

En el ejemplo 1.3, se

aproximó la integral

doble mediante una

doble suma de Riemann

con dos particiones

diferentes, donde en

ambos casos se obtuvo:

( )1 6D

V y dA= − ≈∫∫



28

( ) 1 3

1 01 6y dxdy

−− =∫ ∫

f) Ahora se resuelve ( ) 3 1

0 11 y dydx

−−∫ ∫ en el orden de integración

inverso, primero respecto a la variable x:

( ) 12 1

11

1 31 22 2 2yy dx y

−−

− = − = − − = ∫

Ahora respecto a la variable y:

3

02 6dx =∫

( ) 3 1

0 11 6y dydx

−− =∫ ∫



29

1.5 TEOREMA DE FUBINI

El siguiente teorema proporciona un método práctico para evaluar

una integral doble expresándola como una integral iterada

Demostración intuitiva:

Considere que la función f es positiva, es decir, ( ) 0, ≥yxf , por lo

cual la integral doble ( )D

f x, y dA∫∫ representa el volumen del

sólido S que se encuentra arriba del rectángulo D y por debajo

de la superficie definida por ( )yxfz ,= .

El volumen del sólido S también puede ser calculado empleando

el principio de Cavalieri, donde el volumen de secciones

transversales conocidas se calcula mediante una integral simple.

( )

b

aV A x dx= ∫ (I.26)

En la figura 1.21 se ilustra una sección transversal del sólido S .

TEOREMA de Fubini para Integrales Dobles

Sea 2f : → una función real y continua en el rectángulo

[ ] [ ]dcbaD ,, ×= , entonces:

( ) ( ) ( )

d b b d

D c a a cf x, y dA f x, y dxdy f x, y dydx= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (I.25)

El nombre de Teorema de Fubini se debe al matemático italiano:

Guido Fubini

(1879, 1943).

También resaltó por sus contribuciones en los campos de geometría diferencial, ecuaciones diferenciales, funciones analíticas y funciones de varias variables.

El principio de Cavalieri se debe al matemático

italiano

Bonaventura FrancescoCavalieri

(1598, 1647).

Célebre por introducir en Italia el cálculo logarítmico y por su teoría de indivisibles, la cual es el principio del cálculo de una integral definida pero sin la rigurosidad moderna del límite.



30

Figura 1.21

Interpretación geométrica del Teorema de Fubini

donde ( )xA es el área de la sección transversal del sólido S que

es perpendicular al eje x y al plano xy , entonces ( )xA se puede

obtener como:

( ) ( )

d

cA x f x, y dy= ∫ (I.27)

Sustituyendo la ecuación (I.27) en (I.26), se obtiene:

( ) ( )

b d

D a cV f x, y dydx f x, y dydx= =∫∫ ∫ ∫ (I.28)

En forma análoga, el volumen del sólido S se puede obtener

como:

( )

d

cV A y dy= ∫ (I.29)

z = f(x,y)

D

A(x)

a

b

x = x0



31

donde ( )yA es el área de la sección transversal del sólido S que

es perpendicular al eje y y al plano xy , como se ilustra en la

figura 1.22; es decir:

( ) ( )

b

aA y f x, y dx= ∫ (I.30)

Al sustituir la expresión de ( )yA en la ecuación (I.29) se tiene:

( ) ( )

d b

D c aV f x, y dydx f x, y dxdy= =∫∫ ∫ ∫ (I.31)

Finalmente, se concluye que la integral doble de f sobre D es

igual a la integral iterada de la función f ; es decir:

( ) ( ) ( )

b d d b

D a c c af x, y dA f x, y dydx f x, y dxdy= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (I.32)

Figura 1.22

Interpretación geométrica del

teorema de Fubini

( )A y es el área de la

sección transversal del sólido S que es perpendicular al eje y y al plano xy .

( )A y



32

1.6 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES MÁS GENERALES

En esta sección se amplía la definición de la integral doble de una

función f , sobre regiones más generales que rectángulos, para

posteriormente explicar cómo se resuelven este tipo de integrales.

En la figura 1.23 se presenta una región D de una forma más

general.

Figura 1.23

Región D con una forma más general

Entre las regiones más generales se tienen las de tipo 1 y las de

tipo 2.

En otras palabras, la región D está limitada por la izquierda por la

recta ax = , por la derecha por la recta bx = , inferiormente por la

DEFINICIÓN: Regiones de Tipo 1

Sean [ ], : ,g h a b → , dos funciones reales de variable real,

continuas en [ ]b,a , de modo que ( ) ( ) [ ]g x h x , x a,b≤ ∀ ∈ .

Una región de tipo 1, es una región definida como:

( ) ( ) ( ){ },D x y a x b g x y h x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (I.33)

Como las funciones f y g son continuas en [ ]b,a , entonces son acotadas, por lo cual la región D del tipo 1 es una región acotada del plano.



33

gráfica de la función g y superiormente por la gráfica de la función

h .

En la figura 1.24 se observan algunas regiones de tipo 1.

Figura 1.24

Regiones de tipo 1

Entonces toda región D está limitada por la izquierda por la

gráfica de la función g , por la derecha por la gráfica de la función

h , y superior e inferiormente por las rectas y d= y y c= ,

respectivamente.

En la figura 1.25 se aprecian algunas regiones de tipo 2.

DEFINICIÓN: Regiones de Tipo 2

Sean [ ], : ,g h c d → , dos funciones reales de variable real,

continuas en [ ],c d , de modo que ( ) ( ) [ ], ,g y h y y c d≤ ∀ ∈ .

Una región de tipo 2, es una región definida como:

( ) ( ) ( ){ }, cD x y g y x h y y d= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (I.34)

En una región de tipo 1 ó de tipo 2, las curvas y segmentos de rectas que limitan a la región D , constituyen la frontera de D y se denota como D∂ .



34

Figura 1.25

Regiones de tipo 2

Una vez explicadas las regiones de tipo 1 y de tipo 2, se presenta

la siguiente definición:

Ahora bien, para resolver la integral ( )D

f x, y dA∫∫ , se debe

identificar si la región D es de tipo 1 o de tipo 2.

DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones generales

Sea 2f : → una función real y continua de dos variables,

definida en una región general D .

Sea R un rectángulo que contiene a la región D .

Sea F una función definida en el rectángulo R como:

( )( ) ( )

( ) ( )

si

si 0

x, y Df x, yF x, y

x, y D x, y R

∈= ∉ ∧ ∈

(I.35)

La integral doble de f sobre D , denotada ( )D

f x, y dA∫∫ , está

dada por:

( ) ( )D R

f x, y dA F x, y dA=∫∫ ∫∫ (I.36)

Algunas regiones pueden ser del tipo 1 del tipo 2 simultáneamente, a estas regiones se les clasifica como de tipo 3.

Ejemplo:

21y x= −

21y x= − −

Figura 1.26

El círculo unitario como una región

tipo 1

2 1x y= − −

21x y= −

Figura 1.27

El círculo unitario como una región

tipo 2



35

Si la región D es de tipo 1, se debe seleccionar un rectángulo

[ ] [ ]R a,b c,d= × que contenga a D , tal como se ilustra en la

siguiente figura.

Figura 1.28

Rectángulo R que contiene a la región D de tipo 1

Luego, como ( ) ( )D R

f x, y dA F x, y dA=∫∫ ∫∫ , por el teorema de Fubini

resulta:

( ) ( )

b d

R a cF x, y dA F x, y dydx=∫∫ ∫ ∫ (I.37)

Y según la definición de la función F , se tiene que ( ) 0F x, y = si

( ) ( ) y g x y h x< ∨ > , entonces:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

d h x h x

c g x g xF x, y dy F x, y dy f x, y dy= =∫ ∫ ∫ (I.38)

Por lo que se puede definir la integral doble sobre una región de

tipo 1 de la siguiente manera:



36

Si por el contrario, la región D es de tipo 2, se debe seleccionar

un rectángulo [ ] [ ]R a,b c,d= × que contenga a D , tal como se

muestra en la figura 1.29.

x

yx = h(y)

c

d

x = g(y)

D

ba

R

Figura 1.29

Rectángulo R que contiene a la región D de tipo 2

Como ( ) ( )D R

f x, y dA F x, y dA=∫∫ ∫∫ , por el teorema de Fubini se

tiene:

( ) ( )

d b

R c aF x, y dA F x, y dxdy=∫∫ ∫ ∫ (I.41)

DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo 1

Sea f una función real y continua de dos variables, definida

en una región D del tipo 1, tal que

( ) ( ) ( ){ },D x y a x b g x y h x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (I.39)

La integral doble de f sobre una región D de tipo 1, denotada

( )D

f x, y dA∫∫ , está dada por:

( ) ( )( )

( )

b h x

D a g xf x, y dA f x, y dydx=∫∫ ∫ ∫ (I.40)



37

donde ( ) 0F x, y = si ( ) ( ) xx g y h y< ∨ > , entonces:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

b h y h y

a g y g yF x, y dx F x, y dx f x, y dx= =∫ ∫ ∫ (I.42)

La integral doble sobre una región del tipo 2 se puede definir

como:

De ahora en adelante, para indicar el orden de integración y para

una mejor visualización de los límites de integración, se emplearán

unas flechas, sobre la gráfica de la región D , que indicarán el

valor inicial y final de la variable de acuerdo a la entrada y salida

de la flecha, respectivamente.

En una región de tipo 1, la integral doble de la función f se

obtiene como ( )( )

( )

b h x

a g xf x, y dydx∫ ∫ , de acuerdo a la ecuación (I.40),

esta integral indica que la primera integración se realiza respecto a

la variable y , por lo cual se indicará sobre la región D como se

ilustra en la siguiente figura:

DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo 2

Sea f una función real y continua de dos variables, definida

en una región D del tipo 2, tal que

( ) ( ) ( ){ },D x y g y x h y c y d= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ (I.43)

La integral doble de f sobre una región D de tipo 2, denotada

( )D

f x, y dA∫∫ , está dada por:

( ) ( )( )

( )

d h y

D c g yf x, y dA f x, y dxdy=∫∫ ∫ ∫ (I.44)

COMENTARIO



38

Figura 1.30

Orden de integración para la integral doble de f sobre una región tipo 1

Por otra parte, la ecuación (I.44) señala que en una región de tipo

2, la integral doble de la función f se obtiene como

( )( )

( )

d h y

c g yf x, y dxdy∫ ∫ , lo que indica que la primera integración se

realiza respecto a la variable x, por lo cual se señalará sobre la

región D como se muestra a continuación:

x

yx = h(y)

c

d

x = g(y)

D

ba

R

Figura 1.31

Orden de integración para la integral doble de f sobre una región tipo 2

: Indica cual es el valor de la variable y a la salida de la región D (límite superior).

: Indica cual es el

valor de la variable y a la entrada de la región D (límite inferior).

: Indica cual es el valor de la variable x a la salida de la región D (límite superior).

: Indica cual es el

valor de la variable x a la entrada de la región D (límite inferior).



39

Evalúe las siguientes integrales iteradas, dibuje la región D

determinada por los límites de integración e indique cuales

regiones son del tipo 1, del tipo 2 o de ambos.

a)2 1

0 0

xdydx∫ ∫ b)

2 3 1

1 2

x

xdydx

+

∫ ∫

c)2

2

2 4

0 4

y

ydxdy

−

− −∫ ∫ d) 1

0

ye

yxdxdy∫ ∫

Solución:

a) Para resolver la integral2 1

0 0

xdydx∫ ∫ , se evalúa primero la integral

interna, pero a diferencia del ejemplo 1.4 de aquí en adelante se

mantendrá la integral externa, como sigue:

2 2 2 13 1 1 1 1 2

0 0 0 0 0 0 0 0

13 3

x x x xdydx dy dx y dx x dx = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 1

0 0

13

xdydx =∫ ∫

La región D de este ejercicio es de tipo 1 y de tipo 2, ya que se

puede definir como:

Región tipo 1: ( ){ }2, 0 1 0D x y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

Región tipo 2: ( ){ }, y 1 0 1D x y x y= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

La gráfica de la región D, junto con el orden de integración se

muestra en la siguiente figura:

Figura 1.32

Sólido del ejemplo 1.5 parte a

Figura 1.33

Función f definida en

la región D del ejemplo 1.5 parte a

EJEMPLO 1.5



40

Figura 1.34

Región D del ejemplo 1.5 a

b) Se desea resolver la integral 2 3 1

1 2

x

xdydx

+

∫ ∫

( ) 2 3 1 2 3 1 2 23 1

2 1 2 1 2 1 11

x x x

xx xdydx dy dx y dx x dx

+ + + = = = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) 22

2

1 1

1 512 2

xx dx

++ = =∫

2 3 1

1 2

52

x

xdydx

+=∫ ∫

La región D es una región de tipo 1, definida como:

( ){ }, 1 2 2 3 1D x y x x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ +

La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura

En el ejemplo 1.5 a la integral 2 1

0 0

13

xdydx =∫ ∫ , lo

cual quiere decir que el sólido definido sobre D bajo la gráfica de f , tiene como volumen

13

(UL)3, donde UL son

unidades de longitud.

Figura 1.35

Sólido del ejemplo 1.5 parte b

Figura 1.36 Función f definida en

la región D del ejemplo 1.5 parte b

D

Valor de y a la salida de D

2y x=

Valor de y a la entrada de D

0y =



41

Figura 1.37

Región D del ejemplo1.5 b

c) Resolviendo la integral doble2

2

2 4

0 4

y

ydxdy

−

− −∫ ∫ , se tiene:

2 2 2

22 2

2 4 2 4 2 2 4 2 4 0 4 0 4 0 0

2 4y y y

yy ydxdy dx dy x dy y dy

− − −

− −− − − −

= = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Esta integral se resuelve empleando una sustitución

trigonométrica:

2

2

2 2 4 2 22

0 4 0 02 4 4 1

2y

y

ydxdy y dy dy−

− −

= − = − ∫ ∫ ∫ ∫

Al sustituir el cambio de variable se tiene:

Figura 1.38 Sólido del ejemplo 1.5

parte c

Figura 1.39


la región D del ejemplo 1.5 parte c

x = 2

x =1

D

Valor de y a la salida de D

3 1y x= +

Valor de y a la entrada de D

2y x=



42

( )2

2

2 4 2 22 2 0 4 0 0

4 1 2cos 8 cosy

ydxdy sen d d

π π

θ θ θ θ θ−

− −= − =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2

2

2 2 4

2 0 4 0

0

1 cos 2 28 4 2

2 2y

y

sendxdy d

ππ θ θ

θ θ π−

− −

+ = = + =

∫ ∫ ∫

2

2

2 4

0 42

y

ydxdy π

−

− −=∫ ∫

La región D del ejemplo 1.5 c es de tipo 1 y de tipo 2, ya que se

puede definir como:

Región tipo 1: ( ){ }2, 2 2 0 4D x y x y x= − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ −

Región tipo 2: ( ){ }2 2, 4 4 0 2D x y y x y y= − − ≤ ≤ − ∧ ≤ ≤

La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura:

Figura 1.40

Región D del ejemplo 1.5 c

CV: Cambio de Variable

2y senθ=

2cosdy dθ θ=

CLI: Cambio de los límites de integración

LI: 0 0 0y arcsenθ= → = =

LS:

2 12

y arcsen πθ= → = =

De radio = 2 y altura = 1 por lo tanto se puede calcular su volumen como:

( ) ( )22 12

2V

ππ= =

lo que coincide con la integral:

2

2

2 4

0 42

y

ydxdy π

−

− −=∫ ∫

y =0

D

Valor de x a la entrada de D

24x y= − −

Valor de x a la salida de D

24x y= −



43

d) La integral 1

0

ye

yxdxdy∫ ∫ es diferente a las tres partes

anteriores, ya que la función integrando es diferente a la unidad.

3 1 1 1 13 32 2 2

0 0 0 0

2 23 3

yy y e ye e

y y yxdxdy xdx dy x dy e y dy

= = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

13 1 5 3 3

2 2 2 2 0

0

2 2 2 2 2 2 2 4 323 3 5 3 3 5 3 9 45

y ye

yxdxdy e y e e = − = − − = − ∫ ∫

1 32

0

4 329 45

ye

yxdxdy e= −∫ ∫

La región D es una región de tipo 2, definida como:

( ){ }, y 0 1yD x y x e y= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura:

Figura 1.43

Región D del ejemplo 1.5 d

Figura 1.41 Sólido del ejemplo 1.5

parte d


la región D del ejemplo 1.5 parte d

y = 0

y = 1

D

Valor de x a la entrada de D

x y=

Valor de x a la salida de D

yx e=



44

1.7 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE

A continuación se presentan las propiedades de la integral doble

de una función 2f : → real de dos variables sobre una región

general D.

1.7.1 Propiedad de linealidad

Sean 2f : → y 2g : → dos funciones reales y continuas

definidas en una región D , y sean α y β dos números reales

cualesquiera, entonces:

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,D D D

f x y g x y dA f x y dA g x y dAα β α β+ = + ∫∫ ∫∫ ∫∫

(I.45)

1.7.2 Propiedad de orden

Sean 2f : → y 2g : → dos funciones reales y continuas

definidas en una región D , tales que ( ) ( )f x, y g x, y≥ ( )x, y D∀ ∈ ,

entonces:

( ) ( ), ,D D

f x y dA g x y dA≥∫∫ ∫∫ (I.46)

1.7.3 Propiedad aditiva respecto a la región de integración

Sea 2f : → una función real y continua definida en una región

general D . Si la región D está dividida en dos subregiones 1D y

2D (es decir 1 2D D D= ∪ ), entonces:

( ) ( ) ( )1 2

, , ,D D D

f x y dA f x y dA f x y dA= +∫∫ ∫∫ ∫∫ (I.47)



45

Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región D .

( )1D

x y dA+ +∫∫ , ( ){ }2 2 3 3 6D x, y y x x y y x= ≥ + ∧ ≤ ∧ ≤ +

Solución:

El primer paso para resolver este ejercicio es identificar si la región

D es tipo 1 o tipo 2. En la siguiente figura se muestra la región D .

Figura 1.45

Región D del ejemplo 1.6

La región D de este ejemplo no es de tipo 1, ni de tipo 2, por lo

tanto, para evaluar la integral doble pedida, se empleará la

propiedad señalada en la ecuación (I.47).

Para este ejemplo, se tienen dos alternativas: dividir a la región D

en dos subregiones tipo 1 o dividirla en dos subregiones tipo 2. A

continuación se analizan ambas situaciones.

i) Cuando la región D es dividida por la recta 1x = − , se obtienen

dos subregiones de tipo 1; es decir, 1 2D D D= ∪ , donde:

( ){ }21 , 2 1 2 3 6D x y x x x y x= − ≤ ≤ − ∧ + ≤ ≤ + y

( ){ }22 , 1 1 2 3D x y x x x y= − ≤ ≤ ∧ + ≤ ≤

EJEMPLO 1.6

y = x2+2x

y = 3x+6

y = 3


la región D del ejemplo 1.6

Nótese como en este ejemplo la función f no es estrictamente positiva.



46

En la figura 1.46 se aprecia la región D dividida en dos regiones

tipo 1.

Figura 1.46

Región D del ejemplo 1.6 dividida en dos regiones tipo 1

Por lo tanto:

( ) ( ) ( )2 2

1 3 6 1 3

2 2 1 21 1 1

x

D x x x xI x y dA x y dydx x y dydx

− +

− + − += + + = + + + + +∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4 2 4 1 13 3 2

2 1

5 1524 3 25 3 52 2 2 2x x xI x x dx x x x dx

−

− −

= − − − + + + − − + +

∫ ∫

29 17260 15

I = +

( ) 239120D

I x y dA= + + =∫∫

ii) Cuando se traza la recta 0y = , la región D se divide en dos

subregiones de tipo 2; es decir, A BD D D= ∪ , donde:

( ){ }, 1 1 1 1 1 0AD x y y x y y= − − + ≤ ≤ − + + ∧ − ≤ ≤ y

( ) 6, 1 1 0 33B

yD x y x y y− = ≤ ≤ − + + ∧ ≤ ≤

D1

D2

Valor de y a la salida de D2

3y =


3 6y x= +

Valor de y a la entrada de D2

2 2y x x= + Valor de y a la entrada de D1

2 2y x x= +

1x = −



47

La figura 1.47 muestra la región D dividida en dos regiones tipo 2.

Figura 1.47


Entonces, siendo ( )1D

I x y dA= + +∫∫ , se tiene que:

( ) ( ) 0 1 1 3 1 1

6 1 1 1 0 3

1 1y y

yyI x y dxdy x y dxdy

− + + − + +

−− − − +

= + + + + +∫ ∫ ∫ ∫

Resolviendo se obtiene 8 74915 60

I = − + , luego:

( ) 239120D

I x y dA= + + =∫∫

DA

DB

1

Valor de x a la salida de DB

1 1x y= − + +

Valor de x a la salida de DA

1 1x y= − + +

Valor de x a la entrada de DB

63

yx −=

Valor de x a la entrada de DA

1 1x y= − − +

0y =



48


( )210 4D

x y dA+ −∫∫ , ( ){ }2 22 4D x, y y x x y= − ≤ ∧ + ≤

Solución:

Tal como se explicó en los ejemplos anteriores, el primer paso

para resolver la integral doble planteada consiste en clasificar a la

región D en una región de tipo 1 o tipo 2. Para ello se deben

estudiar las inecuaciones que definen a la región D .

La solución de la inecuación 2y x− ≤ es la intersección de las

inecuaciones: i) 2y x− ≤ (si y x≥ )

ii) 2x y− ≤ (si y x< )

La solución de la inecuación 2 2 4x y+ ≤ es el conjunto de pares

ordenados ( )x, y que se encuentran dentro y sobre la

circunferencia de radio 2 y con centro en el origen del sistema de

coordenadas.

La región D del ejemplo 1.7 se muestra en la figura 1.49

Figura 1.49


EJEMPLO 1.7

Figura 1.48



Según la definición del valor absoluto:

si

si

y x y xy x

x y y x

− ≥− = − <

D

2y x= +2 2 4x y+ =

2y x= −



49

En la figura anterior se aprecia que la región D no es de tipo 1, ni

de tipo 2, por lo tanto, para evaluar la integral doble pedida, se

emplea la propiedad aditiva respecto a la región de integración,

señalada en 1.7.3. Por lo que la región D se divide en dos

regiones tipo 1, esto es: 1 2D D D= ∩ , las cuales se detallan en la

figura 1.50.

Figura 1.50


Donde: ( ){ }21 , 2 0 4 2D x y x x y x= − ≤ ≤ ∧ − − ≤ ≤ + y

( ){ }22 , 0 2 2 4D x y x x y x= ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ −

Por lo tanto:

( ) ( ) ( )1 2

2 2 210 4 10 4 10 4D D D

I x y dA x y dA x y dA= + − = + − + + −∫∫ ∫∫ ∫∫

( ) ( )2

2

0 2 2 42 2

2 4 0 210 4 10 4

x x

x xI x y dydx x y dydx

+ −

− − − −= + − + + −∫ ∫ ∫ ∫

( )( )

0 2 3 2 2 2

2

2 2 3 2 2 2

0

8 20 10 4 4 7 4 4

12 20 10 4 4 9 4 4

I x x x x x x dx

x x x x x x dx

−= + + − + + + − +

+ − + + − − + + −

∫

∫

D1

D2


24y x= −


2y x= +


2y x= −


24y x= − −

0x =



50

( )8014 14 243

I π π = + + +

( )2 15210 4 283D

x y dA π+ − = +∫∫


Dx y dA+∫∫ , ( ){ }2 20 9D x, y y x y= ≥ ∧ + ≤

Solución:

La región D es una región tipo 1 tal como se muestra en la

siguiente figura.

Figura 1.52


Sin embargo, como la función integrando es un valor absoluto,

también llamado módulo, se tiene que:

( )( )

si 0

si 0

x y x yf x, y x y

x y x y

+ + ≥= + = − + + <

A continuación se debe verificar si existe intersección entre la

región y las inecuaciones 0x y+ ≥ y 0x y+ < . Este resultado se

muestra en la figura siguiente.

EJEMPLO 1.8



D

y = 0

29y x= −



51

Figura 1.53

Intersección de la región D con las inecuaciones 0x y+ ≥ y 0x y+ <

Entonces se tiene:

( )( )

( ) ( )

1

2

si

si

x y x, y Df x, y

x y x, y D

+ ∈= − + ∈

Donde: ( ){ }2 21 0 9 0D x, y y x y x y= ≥ ∧ + ≤ ∧ + ≥ y

( ){ }2 22 0 9 0D x, y y x y x y= ≥ ∧ + ≤ ∧ + <

Por lo tanto la integral doble se resuelve como:

( ) ( )1 2D D D

I x y dA x y dA x y dA= + = + + − + ∫∫ ∫∫ ∫∫

En las figuras 1.54 y 1.55, se muestra el orden de integración para

resolver las integrales dobles anteriores.

Figura 1.54

Región 1D del ejemplo 1.8

y = 0

0x y+ ≥

D1

D2

29y x= −

y = -x

0x y+ <

D1.A

3 32 2

, −

D1.B


.A

29y x= −

Valor de y a la entrada de D1.B

0y =

Valor de y a la entrada de D1.A

y x= −

0x =Valor de y a

la salida de D1 .B

29y x= −

En la figura 1.54, se tiene que:

1 1 1.A .BD D D= ∪



52

Entonces:

( ) ( ) ( )2 2

1

0 9 3 93 0 02

x x

D xx y dA x y dydx x y dydx

− −

− −+ = + + +∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )1

20 32 23 02

9 99 92 2 2D

xx y dA x x dx x x dx−

+ = − + + − + −

∫∫ ∫ ∫

( ) ( )1

9 2 9 18D

x y dA+ = − +∫∫

Ahora para la región D2:

Figura 1.54

Región 2D del ejemplo 1.8

Así:

( ) ( )22

3 322 2

0 9 0

9 92

y

D yx y dA x y dxdy y y dy

−

− −

− + = − + = − − − ∫∫ ∫ ∫ ∫

( )2

9 2 9D

x y dA− + = − ∫∫

Por lo tanto

18 2D

I x y dA= + =∫∫

0y =

D2

Valor de x a la salida de D2

x y= −

Valor de x a la entrada de D2

29x y= − −

3 32 2

, −

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