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Tema 3:Conjuntos y Funciones

Dpto. Ciencias de la Computacion e Inteligencia ArtificialUniversidad de Sevilla

Logica y ComputabilidadCurso 2009–10

LC, 2009–10 Conjuntos y Funciones 3.1

Contenido

ConjuntosOperaciones con conjuntos

FuncionesTipos de funcionesComposicionNumerabilidad

PredicadosOperaciones con predicados

Minimizacion e Induccion


Conjuntos

I Escribimos x ∈ C para expresar que x es un elemento de C .I Ademas, x 6∈ C expresa que x NO es un elemento de C .I Dada una propiedad Θ, denotamos por {t : Θ(t)} al conjunto

formado por aquellos elementos que verifican la propiedad Θ.I El conjunto vacıo de denota por ∅.

Igualdad entre conjuntos

I Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismoselementos, es decir, si

Para todo x , x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B

I Por tanto, dada una propiedad, Θ, si A = {x : Θ(x)}entonces, para todo x ,

x ∈ A ⇐⇒ Θ(x)


Subconjuntos

I A es un subconjunto de B, y lo expresamos, A ⊆ B, si todoelemento de A es elemento de B, es decir,

Para todo x , x ∈ A =⇒ x ∈ B

I En consecuencia,

A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A

Ası, podemos probar que dos conjuntos A y B son igualespor doble inclusion, es decir, probando que A ⊆ B y B ⊆ A.


Operaciones con conjuntos

I Union: A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}I Interseccion: A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}I Diferencia: A− B = {x : x ∈ A y x /∈ B}I Complementario: Fijado un conjunto C , para cada A ⊆ C el

complementario de A (en C ) se define como

A = C − A = {x ∈ C : x /∈ A}

I Conjunto Potencia: Dado un conjunto A, el conjuntopotencia de A (o conjunto de las partes de A) es

P(A) = {C : C ⊆ A}


Producto cartesiano

I Producto cartesiano: A× B = {(u, v) : u ∈ A y v ∈ B},donde (u, v) denota al par ordenado formado por u y v .

I La propiedad caracterıstica de los pares ordenados es

(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c y b = d

I En general, para cada n ≥ 3, podemos considerar n-tuplas,(a1, a2, ..., an), cuya propiedad caracterıstica es:

(a1, . . . , an) = (b1, . . . , bn) ⇐⇒ a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn

I A1 × ...× An = {(x1, ..., xn) : x1 ∈ A1 ∧ ... ∧ xn ∈ An}.I Si A1 = ... = An = A, escribiremos An = A× A× (n... ×A.

Ademas, la n–tupla (x1, . . . , xn) se denotara por ~x .


Funciones

I Una funcion f es un conjunto de pares ordenados, tal que

(a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f =⇒ b = c

I El dominio de una funcion f es el conjunto:

dom(f ) = {x : ∃y ((x , y) ∈ f )}

I El rango de f es el conjunto:

rang(f ) = {y : ∃x ((x , y) ∈ f )}

I Si f es una funcion, para cada a ∈ dom(f ) existe un unicob ∈ rang(f ) tal que (a, b) ∈ f . Por ello usaremos la notacionhabitual, f (a) = b para expresar que (a, b) ∈ f .

I Ejemplo: Sea A un conjunto. La funcion identidad de A es lafuncion IdA : A→ A, dada por IdA(x) = x .


Igualdad entre funciones

I Notacion: Escribiremos f (x) ↓ para expresar que x ∈ dom(f )y utilizaremos la notacion f (x) ↑ para expresar quex /∈ dom(f ).(En este ultimo caso se dice que f no esta definida en x).

I Si f y g son funciones, entonces f = g si y solo si tienen losmismos elementos (pares ordenados). Por tanto,

f = g ⇐⇒

dom(f ) = dom(g)ypara todo x ∈ dom(f ), f (x) = g(x)

⇐⇒ Para todo x ,

f (x) ↓ ⇐⇒ g(x) ↓yf (x) = g(x)


Tipos de funciones

Sean A y B dos conjuntos y f una funcion.

I f es una aplicacion de A en B (o funcion total de A en B) yescribiremos f : A −→ B, si

dom(f ) = A y rang(f ) ⊆ B

I f es una funcion parcial de A en B, f : A − → B, si

dom(f ) ⊆ A y rang(f ) ⊆ B

I Una funcion f : A − → B es:

I inyectiva si para todo x1, x2 ∈ dom(f ),

f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2

I sobreyectiva (o suprayectiva o exhaustiva) si rang(f ) = B, esdecir,

∀y ∈ B∃x ∈ A(f (x) = y)

I biyectiva si es total, inyectiva y sobreyectiva.


Composicion de funciones

Sean f : A − → B y g : B − → C . Se define la composicion de fy g como la funcion (parcial) h : A − → C dada por

h = {(x , y) ∈ A× C : Existe z ∈ B tal que f (x) = z y g(z) = y}

Graficamente,

Af−→ B

g−→ Cx 7→ f (x) 7→ g(f (x)) (= h(x))

Notacion: h = g ◦ f .


Funcion inversa

I Dada una funcion f decimos que una funcion g es la inversade f si, para todo x y todo y se tiene,

f (x) = y ⇐⇒ g(y) = x

I Si existe, la inversa de f es unica y se denota por f −1.

I Sea f una funcion. Entonces,

f tiene inversa ⇐⇒ f es inyectiva.

I Proposicion: Sea f : A −→ B una aplicacion. Entonces,

1. f −1 es aplicacion de B en A ⇐⇒ f es biyectiva(en cuyo caso, f −1 tambien sera biyectiva)

2. Si f es biyectiva, f ◦ f −1 = IdB y f −1 ◦ f = IdA.Si, ademas, A = B entonces, f ◦ f −1 = f −1 ◦ f


Conjuntos numerables

Definicion: Un conjunto A es numerable si existe una aplicacionbiyectiva de N en A.

I Si un conjunto, A, es numerable, entonces los elementos de Apueden ordenarse en una lista infinita sin repeticiones:

a0, a1, . . . , an, . . .

I N2 es numerable.Para probarlo, basta demostrar que la siguiente funcionJ : N2 → N es biyectiva:

J(x , y) =(x + y)(x + y + 1)

2+ x

I En general, para cada k ≥ 2, el conjunto Nk es numerable.

I El conjunto de los numeros racionales Q es numerable.


Conjuntos no numerables

No todo conjunto infinito es numerable.

I Ejemplos:I El conjunto de los numeros reales, R.I El intervalo [0, 1) ⊆ R.I P(N).

Estos resultados fueron probados por G. Cantor utilizando lamisma idea basica: El metodo diagonal de Cantor.


Predicados y conjuntos

Definicion: (n ≥ 1) Un predicado n–ario sobre A es una aplicacionθ : An → {0, 1}.

I Dado (x1, . . . , xn) ∈ An, si θ(x1, ..., xn) = 1 diremos que elpredicado θ se verifica (o que es cierto) para (x1, ..., xn).Escribiremos θ(~x) en vez de θ(~x) = 1.

I Si θ(x1, ..., xn) = 0 diremos que el predicado no se verifica (oque es falso) para (x1, ..., xn).

I Podemos identificar un predicado n–ario sobre A,θ : An → {0, 1}, con un subconjunto de An:

Sθ = {~x ∈ An : θ(~x) = 1}

I Los predicados nos permiten identificar con funciones lossubconjuntos de A y, en general, las relaciones entreelementos de A.


Funcion caracterıstica

Definicion: Sea B ⊆ An. Llamaremos funcion caracterıstica delsubconjunto B, al predicado CB definido sobre An como sigue:

CB(~x) =

{1 si ~x ∈ B0 si ~x /∈ B

I La funcion caracterıstica de B ⊆ An, nos permite identificar elconjunto B con un predicado (precisamente, CB).

I Si θ es un predicado n–ario sobre A y B = Sθ entoncesCB = θ.


Operaciones con predicados

I Definicion: Dados los predicados θ y θ′, definimos lospredicados ¬θ, θ ∨ θ′, θ ∧ θ′, θ → θ′ y θ ↔ θ′, ası:

I (¬θ)(~x) ≡ ¬θ(~x) = 1− θ(~x).I (θ ∨ θ′)(~x) ≡ θ(~x) ∨ θ′(~x) = max(θ(~x), θ′(~x))I (θ ∧ θ′)(~x) ≡ θ(~x) ∧ θ′(~x) = min(θ(~x), θ′(~x)).I θ → θ′ = (¬θ) ∨ θ′.I θ ↔ θ′ = (θ → θ′) ∧ (θ′ → θ).

I Estas operaciones reflejan las operaciones entre conjuntos delsiguiente modo. Sean θ1 y θ2 predicados n–arios sobre An.Entonces

I Sθ1∨θ2 = Sθ1 ∪ Sθ2 .I Sθ1∧θ2 = Sθ1 ∩ Sθ2 .I S¬θ1 = An − Sθ1 .


Cuantificacion acotada

Sea θ(x1, ..., xn, y) un predicado (n + 1)–ario sobre N.El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion existencialacotada es el predicado (n + 1)–ario sobre N que denotaremos por(∃z)≤yθ y se define mediante:

(∃z)≤yθ(~x , z) =

{1 si existe z0 ≤ y tal que θ(~x , z0).0 en caso contrario

El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion universalacotada es el predicado (n + 1)–ario sobre N que denotaremos por(∀z)≤yθ y se define mediante:

(∀z)≤yθ(~x , z) =

{1 si para todo z0 ≤ y se tiene θ(~x , z0).0 en caso contrario

I (∃z)≤yθ(~x , z) = θ(~x , 0) ∨ θ(~x , 1) ∨ ... ∨ θ(~x , y)

I (∀z)≤y θ(~x , z) = θ(~x , 0) ∧ θ(~x , 1) ∧ ... ∧ θ(~x , y)


Cuantificacion no acotada

Sea θ(x1, ..., xn, y) un predicado (n + 1)–ario sobre N.El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion existenciales el predicado n–ario sobre N que denotaremos por (∃z) θ y sedefine mediante:

(∃z) θ(~x , z) =

{1 si existe z0 tal que θ(~x , z0).0 en caso contrario.

El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion universales el predicado n–ario sobre N que denotaremos por (∀z) θ y sedefine mediante:

(∀z) θ(~x , z) =

{1 si para todo z0 se tiene θ(~x , z0).0 en caso contrario.


El principio de minimizacion

I Expresion sobre predicados. Sea θ un predicado 1–ariosobre N. Si ∃x θ(x) entonces ∃m (θ(m) ∧ ∀y < m ¬θ(y))

I Notacion: indicaremos que m es mınimo escribiendo:

m = µx(θ(x))

I Expresion conjuntista. Sea A ⊆ N. Si A 6= ∅ entonces∃m (m ∈ A ∧ ∀y < m(y /∈ A))

I Notacion: indicaremos que m es el mınimo escribiendo:

m = min(A)

I Ejercicio: Probar utilizando este principio que:I “Todo numero natural n ≥ 2 es divisible por un numero

primo”.


El principio de Induccion

I Induccion debil.

Teorema: Si θ es un predicado sobre N tal que:

1. Caso base: θ(0), y2. Paso inductivo: ∀n(θ(n) −→ θ(n + 1))

Entonces, ∀n θ(n).I Ejercicio: Probar utilizando este principio que:

I

n∑i=0

i =n(n + 1)

2

I

n∑i=0

(2i + 1) = (n + 1)2


El Principio de Induccion (II)

I Induccion fuerte

Teorema: Si θ es un predicado sobre N tal que:

1. Caso base: θ(0), y2. Paso inductivo: ∀n([∀p ≤ n θ(p)] −→ θ(n + 1)).

Entonces, ∀n φ(n).I Ejercicio: Probar utilizando este principio que:

I “Todo numero natural n ≥ 2 puede descomponerse en unproducto de numeros primos”.


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