Sra. Guzmán Sociales 4to grado Tema: Los taínos de Borinquen.
Tema 2 4to
Click here to load reader
-
Upload
edwin-cueva -
Category
Documents
-
view
240 -
download
0
description
Transcript of Tema 2 4to
1
TEMA 2: PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de multiplicar dos o más
polinomios, en forma directa sin necesidad de
aplicar la propiedad distributiva.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
(a + b)2 a2 + 2ab + b2
(a - b)2 a2 - 2ab + b2
COROLARIO:
IDENTIDADES DE LEGENDRE
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b2) – (a - b)2 = 4ab
Ejm.:
(x + 3)2 + (x - 3)2 =
(x + 2)2 – (x - 2)2 =
(2x + y)2 + (2x - y)2 =
22 )23()23(
Importante:
(x - y)2 (y - x)2
Desarrollando:
x2 – 2xy + y2 y2 – 2yx + x2
Reducir:
r)qp(
)rqp()rqp(N
22
Sol. Por Legendre:
(p + q + r)2 – (p + q - r)2 = 4 (p + q)r
4r)qp(
r)qp(4N
N = 2
DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a + b) (a - b) = a2 – b2
(x + 3) (x - 3) =
(x + 4) (4 - x) =
(x2 + 5) (x2 - 5) =
(m + n + p) (m + n - p) =
Observación:
(x + y)2 x2 + y2
Siendo x, y no nulos.
Calcular:
446 . 444 – 447 . 443
Sol. Haciendo: x = 445
La operación se convierte en:
(x + 1)(x - 1) – (x + 2)(x - 2)
Aplicando productos notables:
x2 – 1 – (x2 - 4)
Reduciendo términos semejantes:
-1 + 4 = 3
PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS CON
TÉRMINO COMÚN
(x + a)(x + b) x2 + (a + b)x + ab
2
(x + 3) (x + 4)
(x - 4) (x – 5)
(x + 2) (x - 4)
(x2 + 5) (x2 - 3)
Si:
x2 + x – 3 = 0. Calcule:
(x2 - 1) (x + 2) (x - 3) (x2 + 4x)
Sol.:
De: x2 + x – 3 = 0 x2 + x = 3
Entonces :
(x2 - 1) (x +2) (x - 3) (x2 + 4x)
(x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 3) (x + 4) x
MULTIPLICANDO EN FORMA CONVENIENTE
(x2 + x)(x2 + x - 2)(x2 + x - 12)
Reemplazando:
(3) (3 - 2) (3 - 12) = -27
DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(x + y + 3)2 __________________________
____________________________________
(a + b - 2)2 __________________________
____________________________________
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Efectuar:
E = (x + 2y)2 – (x – 2y)2 – 4xy
a) xy b) 3xy c) 4xy
d) 6xy e) 9xy
2. Reducir:
R = (a + b)2 – (b - a)2 + (a – 2b)2 – a2 – 4b2
a) 0 b) a c) b
d) 2ab e) ab
3. El valor de:
2)245245(N
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 14
4. Efectuar:
)12)(12(
)13)(13()15)(15(P
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
5. Efectuar:
R = (x + n)(x - n)(x2 + n2)(x4 + n4)(x8 + n8) + n16
a) x12 b) n16 c) x16
d) x16 + n16 e) 1
6. Si: yx
4
y
1
x
1
Calcular: 2
222
x
)yx(
yx
xy
xy
yxE
a) 2
8x b)
2
4x c)
2
yx
d) 2
y3x e) 1
7. Luego de efectuar:
3
E = (x + 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 4) – 2x(x +
5)
Se obtiene:
a) 15 b) 14 c) 13
d) 12 e) 11
8. Luego de efectuar:
A = (x2 + x + 4)(x2 + x + 5) – (x2 + x + 3)(x2 + x + 6)
Indicar lo correcto:
a) 31A d) A2 + 1 = 5
b) 1A0 e) A es impar
c) 37A3
9. Si: m = 2a + 2b + 2c
Calcular:
2222
2222
cbam
)cm()bm()am(mE
a) a + b + c b) 1 c) a2 + b2 + c2
d) abc e) -1
10. Hallar el valor numérico de:
1)2x)(4x(E
Para: x = 2 000
a) 2001 b) 2002 c) 2003
d) 2004 e) 2005
11. Si: (x + y)2 = 4xy
Calcular el valor de:
yx
xyyxN 20002000
a) x/2 b) x c) 2x
d) x/3 e) 5 + x/2
12. Reducir:
(x + 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) – [(x2 + 4x)2 – 9x(x + 4)]
a) 36 b) -36 c) 30
d) -30 e) -48
13. Efectuar:
3 633 63 nmmm.nmmmP
a) m b) n c) m2
d) n2 e) 1
14. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d)
Calcular: )ba(3 dc27S
a) 1 b) 2 c) 3
3
d) 3 e) 3
2
15. Si: 10x+y + 10x-y = m
102x = n
Calcular: T = 100x+y + 100x-y
a) m2 + 2n b) m2 - 2n c) m2 - n
d) m2 + n e) m - n
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Efectuar:
R = (3x2 – 2y3)2 + (3y3 + 2x2)2 – 13(x4 – y6)
a) 12x3y3 b) -12x2y3 c) 0
d) 26y6 e) 1
2. Efectuar:
E = (x + y - 2)2 + (x + y + 3)2 – 2(x + y)2 - 13
a) -4(x + y) b) 6(x + y) c) 2(x + y)
d) -4 e) x2
3. Efectuar:
35233
233253235
yx24)242(
)242()x2y3()y3x2(S
a) 24x5y3 b) 16 c) 24x5y3 + 16
d) 16 – 24x5y3 e) 12x2y3 + 8
4. Si: x + y = 5; xy = 2; x > y
4
Hallar:
17yxyxT 22
a) 17 b) 3 c) 17
d) 21 e) -21
5. Si: x + y = 2; x2 + y2 = 3; x > y
Hallar:
P = x – y + x4 + y4 - 8
a) 8 b) 22 c) 2
d) -4 e) N.A.
6. Hallar “m” m Z.
Si: P(x, y) = 9x6 + 7mx3y4 + 2x3y4 + 25y8
Sea un trinomio cuadrado perfecto.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
7. Efectuar:
)1x)(1x)(1x()x4)(4x(E
a) x2 b) 15 c) 0
d) 2x2 e) 2
8. Efectuar:
)3yx)(3yx()3yx)(3yx(S
a) 4xy b) 6 c) 2(x2 + y2)
d) 4xy – 6 e) xy
9. Efectuar:
T = (a + b - c) (a – b – c) + (a + b + c) (-a + b - c)
a) 4ac b) -4ac c) 2b2
d) –b2 e) 2(a2 + b2+ c2)
10. Efectuar:
Q = (3x + y)(9x2 – 3xy + y2) + (2x - y)(4x2 + 2xy + y2)
a) 2y3 b) 19x3 c) 35x3
d) 19x3 – 2y3 e) 1
11. Efectuar:
E = (x2 - 7)(x2 + 11) – (x + 3)(x - 3)(x2 + 13)
a) 40 b) -40 c) -22x2
d) 30x2 e) 40x
12. Efectuar:
T = (x2 + x + 3)(x2 + x + 2) – (x2 + x + 1)(x2 + x + 4)
a) 2 b) -2 c) 6x
d) -6x e) 6x + 2
13. Efectuar:
E = (x - 3)4 – x(x - 6)(x - 4)(x - 2) – 10x(x - 6) + 9
a) 15 b) -72 c) -90
d) 72 e) 90
14. Si: a2 + b2 + c2 = 2
(a + b + c)(1 + ab + bc + ca) = 32
Calcule: N = a + b + c
a) 4 b) 16 c) 3
32
d) 64 e) 2
15. Hallar el valor numérico de:
1y
1xy
1x
1yxR
Para: 23
35x
35
23y
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5
CUBO DE UN BINOMIO
(a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Forma Desarrollada
(a + b)3 a3 + b3 + 3ab(a + b)
Forma Abreviada
(a - b)3 a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Forma Desarrollada
(a - b)3 a3 – b3 – 3ab(a – b)
Forma Abreviada
Ejm.:
Si: x + y = 6
xy = 7
Hallar: N = x3 + y 3
Sol.:
Recordando el producto notable.
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
Reemplazando:
63 = x3 + y3 + 3(7)(6)
Despejando:
x3 + y3 = 63 – 3(7)(6)
x3 + y3 = 90
Ejm.:
Si: 4x
1x
33
Calcular: x
1xP
Sol.:
Recordando:
x
1x
x
1)x(3
x
1x
x
1x
33
3
Reemplazando:
P3 = 4 – 3(P)
Despejando:
P3 + 3P = 4
P(P2 + 3) = 4
P = 1
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
(x + 1) (x2 – x + 1)
(x + 3) (x2 – 3x + 9)
)139()13(333
(2x - 3) (4x2 + 6x + 9)
IDENTIDAD DE ARGAND
(x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) x4 + x2y2 + y4
Caso Particular:
(x2 + x + 1) (x2 – x + 1) x4 + x2 + 1
CUBO DE UN TRINOMIO
(a + b + c)3 a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (a + c)(b + c)
(a + b + c)3 a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)
(ab + bc + ac) – 3abc
IGUALDADES CONDICIONALES
Si: a + b + c = 0
Se cumple:
a2 + b2 + c2 -2(ab + ac + bc)
a3 + b3 + c3 3abc
6
Si quieres saber más
entonces aplica tu
ingenio.
Si: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc
Donde: a, b, c R
Se demuestra que:
a = b = c
Caso Especial:
Si:
a2 + b2 + c2 + ….. n2 = 0
Será posible si:
a = b = c = ……… = n = 0
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
16. Si: a + b = 5
ab = 2
Calcular: a3 + b3
a) 83 b) 64 c) 78
d) 81 e) 95
17. Si: 5x
1x
Calcular:
3223
x
1
x
1xxE
a) 133 b) 121 c) 89
d) 76 e) 98
18. Efectuar:
P = (x + 1)(x2 – x + 1) – (x - 1)(x2 + x + 1)
a) x3 b) 2 c) 2x3
d) 54 e) 27
19. Reducir:
(x + 3)(x2 – 3x + 9) + (x2 + 3x + 9)(x - 3)
a) x3 b) 18 c) 2x3
d) 54 e) 27
20. Efectuar:
3)253549()57(R33333
Indique lo correcto:
a) R + 1 = 0 b) 2 R < 3 c) R N
d) R2 + 1 = 3 e) R – 1 = 7
21. Si: 33
1212x
Hallar: M = x3 + 3x + 8
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 18
22. Calcular el valor numérico de:
A = (a - b)[(a + b)2 + 2ab + (a - b)2] + 2b3
Si: 3 33
12by4Q
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 12
23. Si: 0cba333
Entonces el valor de 3
3
cbaL
es:
a) (abc)2 b) 3
abc c) (abc)3
d) abc3 e) abc
7
24. Si: x = a – b
y = b - c
z = c - a
Calcular:
yzxzxy
xyz
zyx
zyxM
333
222
a) -6 b) 3/4 c) -2/3
d) 3/2 e) 1
25. Sabiendo que: a; b; c R
(a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2 = 0
Calcular:
45
555
)cba(
cbaM
a) 1 b) 3 c) 1/3
d) 2 e) 1/2
26. Simplificar:
)zx)(zy)(yx(
)xz()zy()yx(E
333
a) -3 b) 3 c) 1
d) -1 e) 0
27. Si: x3 = 1 y además x 1
Calcular:
1x
xxE
6
48
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) -1/2 e) -2
28. Siendo x; y R que verifican:
x2 + y2 + 10 = 6x + 2y
Calcular: xy
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
29. Sabiendo que: x3 + y3 = xy
Calcular:
3 4466 )xy2(yx2)yx(xyP
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
30. Reducir:
F = (a + b - c)3 + (a – b + c)3 + 6a(a + b - c)(a – b + c)
a) 8a3 b) 8b3 c) 8c3
d) 3abc e) 0
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
16. Si: x – y = 3
xy = 5
Hallar: E = x3 – y3
a) 18 b) -18 c) -72
d) 72 e) 27
17. Si: x + y = 2
x2 + y2 = 3 ; x > y
Hallar: E = x3 – y3
a) 5 b) 3 c) -5
d) -3 e) 2
27
18. Simplificar:
M = (a + b + c)3 – 3(a + b)(a + b + c)c – (a + b)3
a) a3 b) b3 c) c3
d) 0 e) 3abc
19. Calcular:
4)1525)(15(N333
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
20. Multiplicar:
P = (4x6 – 2x3 + 1)(2x3 + 1)
a) 8x3 + 1 b) 8x3 – 1 c) 8x9 + 1
d) 9x9 -1 e) N.A.
8
21. Si: x + y = -z
Simplificar:
xyz
zyxK
333
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
22. Siendo: 110100xy33
322 101yx
Calcular el valor de:
S = (x - y)4 – (x + y)4
a) 44 b) 88 c) 50
d) -100 e) -88
23. Hallar el valor numérico de:
12
)ca()cb()ba(M
222
Si se sabe que:
3cbba
a) 0 b) 1/5 c) 3/2
d) 3/5 e) 4/3
24. Si: ab = 1. El valor de:
1b
1ab
1a
1baS
2
2
2
2
a, b R
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
25. Si se sabe que:
x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz
Calcular el valor de:
9101010
10
zyx
)zyx(M
a) 4 b) 3 c) 1
d) 5 e) 2
26. Siendo: x + 4y + 9z = 0
Según ello reducir:
xz
)xz3(
yz
)z3y2(
xy
)y2x(N
222
a) 42 b) -36 c) abc
22
d) 31 e) 23abc
27. Si: 33
3232x
Calcular:
x3xR 3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
28. Si: (a + b)2 + 1 = (a + 1) (b + 1)
Calcular:
23
23
bb
aaE
a) 1/2 b) 2 c) -1
d) 3 e) 1
29. Si: 2x-1 = 2 – x
Calcular:
N = x9 – (x4 + x2 + 1)(x6 + x3 + 1)
a) -1 b) 1 c) 2
d) -2 e) 3
30. Si: a + b + c = 1
a2 + b2 + c2 = 2
a3 + b3 + c3 = 3
Calcular: a4 + b4 + c4
a) 3/4 b) 5/2 c) 2/5
d) 17/4 e) 25/6