276

1. DETERMINACIÓ DE L’ESPAI MOSTRAL EN EXPERIMENTS SENZILLS. REGLA DE LAPLACE

Determina l’espai mostral i la probabilitat associada a cada resultat en l’experiment de llançar un dau cúbic.

L’espai mostral serà E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i com que tots són equiprobables:

Determina l’espai mostral associat a l’experiment que consisteix a llançar un dard a la diana del dibuix:

PRIMER. L’espai mostral consisteix en la descripció de tots els possibles resultats que es puguin donar quan fem l’experiment, per tant: E = {1, 2, 3, 4}.

SEGON. La probabilitat de cada cas està determinada per la superfície de cada sector, que, a la vegada, està determinada per l’angle de cada sector, i per què el total és igual a 1.

Per tant, 360° 1 (esdeveniment segur). A partir d’això, tenim:

a) Esdeveniments 3 i 4: 90° → .

b) Esdeveniment 1: 45° ⎯⎯→ .

c) Esdeveniment 2: 135° ⎯⎯→ .P( )2135360

18

= = = 0,375

P( )145360

18

= = = 0,125

P P( ) ( )3 490360

14

= = = = 0,25

prob.⎯⎯⎯→

P P P P P P( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 616

= = = = = =

FES-HO AIXÍ

Experiments aleatoris

1

2

4

3

{5, 10}

Esdeveniment{múltiples de 5}

Esdevenimentelemental

{7}

{4}

830863 _ 0269-0282.qxd 17/12/07 10:04 Página 276

L’essencial

PROBABILITAT14NOM: CURS: DATA:

277

Determinació de l’espai mostral amb l’ajudadel diagrama d’arbre

1. Quin és el nombre d’esdeveniments elementalsquan llancem enlaire dos daus octaèdrics?

a) 8 c) 16b) 10 d) 64

Ús de la regla de Laplace

2. Quan traiem una fitxa del joc de dòmino, quinaés la probabilitat que surti una fitxa doble?

a) 2/28 c) 7/28b) 6/28 d) 8/28

Tècniques per calcular probabilitats

3. En el llançament de tres monedes, quina ésla probabilitat d’obtenir almenys una cara?

a) 4/8 c) 3/8b) 1/8 d) 7/8

4. Extraiem dues cartes seguides (sense devolució)d’una baralla de 40 cartes. Quina és la probabilitat que surtin dues figures seguides?

a) c)

b) d)440

339

⋅1240

1139

⋅

1040

939

⋅1240

1239

⋅

I ARA… PRACTICA

277

2. DETERMINACIÓ DE L’ESPAI MOSTRAL EN EXPERIMENTS COMPOSTOS AMB L’AJUDA DEL DIAGRAMA D’ARBRE. CÀLCUL DE PROBABILITATS

Llancem enlaire tres monedes. Determina l’espai mostral i calcula la probabilitat d’obtenir dues cares i una creu.

PRIMER. Hem d’identificar l’experiment senzill i la probabilitat de cada esdeveniment que el forma. E = {c, x}, que són equiprobables, per la qual cosa:

SEGON. Fem un diagrama amb les tres extraccions seguides i cadascuna amb la seva probabilitat.

TERCER. A partir d’aquí podem calcularles probabilitats de cada cas:

P{c, c, c} = P{c, c, x} = … = P{x, x, x} =

QUART. I d’això, i tenint en compte quel’esdeveniment A = {dues cares i una creu} estàformat pels següents: A = P{(c, c, x), (c, x, c), (x, c, c)},i, per tant, aplicant la regla de Laplace:

P A( ) = =casos favorablescasos possibles

38

= ⋅ ⋅ =12

12

12

18

P c P x( ) ( )= =12

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

830863 _ 0269-0282.qxd 17/12/07 10:04 Página 277

278

ActivitatsEXPERIMENTS ALEATORIS.ESDEVENIMENTS

21. ● Esbrina, dels experiments següents, quins sóndeterministes i quins són aleatoris:

a) Llançar una pilota i verificar si cau a terra o no.

b) Extreure dues cartes d’una baralla espanyola.

c) Triar a l’atzar una fitxa de dòmino.

d) Esbrinar el resultat d’un partit de tenis abansque es jugui.

e) Pitjar l’interruptor d’un llum i esperar a veuresi s’encén.

f) Calcular l’espai que recorreran diferents cotxesa 120 km/h durant 15 minuts.

g) D’una bossa de 1.000 boles totes negres llevat d’una de blanca, extreure’n una bola i anotar-neel color.

22. ● Escriu dos experiments aleatoris i dos que no ho siguin.

23. ● Escriu l’espai mostral associat a cadascundels experiment aleatoris següents:

a) Extreure una bola d’una bossa amb bolesde color blanc, negre i vermell.

b) Llançar dos daus i sumar els punts de les caressuperiors.

c) Extreure una carta de una baralla i anotar-neel pal.

d) Extreure una carta de una baralla i anotar-neel nombre.

e) Llançar un dau octaèdric que té anotatsels nombres de l’1 al 8 i anotar si el que surt és múltiple de 3 o no.

f) Una urna conté sis boles blanques i cinc bolesnegres. Traiem una bola de l’urna i n’anotem el color.

g) Una urna conté cinc boles blanques, setde grogues i vuit de negres. Traiem una bola de l’urna i n’anotem el color

24. ●● Considerem l’experiment de llançardues monedes.

a) Escriu l’espai mostral que hi està associat.

b) Esbrina si l’esdeveniment «sortir dues cares»té més o menys probabilitat que l’esdeveniment«sortir una cara i una creu».

IDEA DE PROBABILITAT. REGLA DE LAPLACE

25. ● En una bossa tenim dues boles blanques,quatre de verdes i sis de negres. En traiemuna bola a l’atzar.

a) Què és més probable, que sigui blancao verda?

b) Què és més probable, que sigui verda o negra?c) Quina és la probabilitat que surti blava?

26. ● D’un joc de dòmino de 28 fitxes, en traiem una.Classifica els esdeveniments següents de mésa menys probabilitat:

a) La suma dels punts és 6.b) La suma dels punts és 10.c) És una fitxa doble.d) La diferència entre els punts és més gran

que 6.e) La suma dels punts és més petita que 12.

27. ● Tirem un dau de 4 cares. Ordena de mésa menys probabilitat els esdevenimentssegüents:

a) Treure un nombre imparell.b) Treure un múltiple de 5.c) Treure un 1.d) Treure un nombre més petit que 4.

28. ● Calcula la probabilitat que surti una bolablanca d’una bossa en la qual hi ha dues bolesblanques i una de negra. Calcula tambéla probabilitat que surti blava.

29. ● Podem construir una ruleta dividida en quatresectors de manera que les seves probabilitatssiguin 1/2, 1/3, 1/4 i 1/5?

30. ● Quina és la probabilitat que, si tirem un dau,surti un nombre més gran que 3? I que surtiun nombre més petit que 8?

830863 _ 0269-0282.qxd 17/12/07 10:04 Página 278

279

31. ●● Hem trucat un dau de quatre cares de maneraque les seves probabilitats són directamentproporcionals al seu nombre. Calculala probabilitat d’obtenir cada nombre.

32. ● A les cares d’un dau escrivim tres 1, dues Xi un 2. Llancem aquest dau. Quina ésla probabilitat de treure un 1? I una X? I un 2?

33. ●● En una moneda trucada, la probabilitatd’obtenir cara és la meitat que la d’obtenir creu.Quina és la probabilitat de cada resultat?

34. ● D’una urna que conté 8 boles blanques,7 de vermelles i 5 de negres, n’extraiem una bola.Quina és la probabilitat que sigui negra? I que no sigui negra?

35. ● Troba la probabilitat que quan llancem un dauobtinguem:

a) Un nombre parell.b) Un nombre primer.c) Un múltiple de 5.d) Un nombre més gran que 4.e) Un nombre més petit o igual que 3.

36. ● Troba la probabilitat que, si traiem una cartad’una baralla espanyola, obtinguem:

a) Un set. d) Un nombre parell.b) Una figura. e) Una copa.c) El rei de bastos.

37. ●● En una urna tenim 100 boles numerades de l’1 al 100. Traiem una bola. Calculala probabilitat que:

a) Surti un nombre parell.b) Surti un nombre més gran que 85.c) Surti un múltiple d’11.d) Surti un nombre imparell més gran que 80.e) La xifra de les desenes sigui doble que la xifra

de les unitats.f) Surti un nombre primer.

38. ● De la paraula INTEMPESTIVITAT escollim una de les lletres a l’atzar:

a) Quina és la probabilitat que sigui una vocal?b) I una consonant?c) I que sigui la lletra T?

39. ●● Llancem dos daus i multipliquem els puntsde cada dau.

a) Quants esdeveniments elementals té aquestexperiment?

b) Quin és l’esdeveniment que té mésprobabilitat?

PROBLEMES AMB PROBABILITATS

40. ● Llancem enlaire dos daus. Fes un diagramad’arbre per obtenir la probabilitat que siguindos nombres imparells.

41. ● Un joc amb la baralla consisteix a treuredues cartes sense devolució, i guanya el que treu dues copes. Quina probabilitat hi ha de guanyar?

4

4

21

3

3

I

E

ET T T

TP

I

V

NI

A

M

S

830863 _ 0269-0282.qxd 17/12/07 10:04 Página 279

280

43. ●● En una bossa tenim 5 boles vermelles i 3 de blanques. Quina probabilitat hi ha d’extreure dues boles blanques seguides?

a) I si, una vegada extreta la primera bola,la tornem a introduir a la bossa(amb devolució)?

b) I si no la tornem (sense devolució)?c) Calcula, ara, la probabilitat que siguin

les dues boles negres, tant si tornem la primera bola a la bossa com si no ho fem.

d) I la probabilitat d’extreure una bola de cadacolor?

44. ●● Tenim en una urna 4 boles blanques i 7 de negres, i les traiem totes menys una. Quina és la probabilitat que sigui blanca?

45. ●● Mitjançant un resort es deixa anar una bolapel tauler de joc simulat:

Calcula la probabilitat que la bola surti per cadauna de les sortides: 1, 2, 3 i 4.

46. ●● En una urna tenim 5 boles blanques i 4 de verdes. Traiem 2 boles. Descriu l’espaimostral i calcula les diferents probabilitats.

47. ●● En una urna tenim 7 boles blanques i 4 de negres i en traiem 3 boles. Calcula la probabilitat que totes tres siguin blanques si cada vegada es torna la bola que es treu a la urna.

48. ●●● En l’exercici anterior, calcula la probabilitatque siguin del mateix color en els dos casos: que la bola que es treu es torni a l’urna i que no es torni.

49. ●● D’una baralla extraiem tres cartes per observar si són figures o no. Descriu l’espaimostral de l’experiment i calcula’n les diversesprobabilitats.

50. ●● Traiem 2 cartes seguides d’una baralla de 40 cartes:

a) Quina probabilitat hi ha que totes dues siguinoros?

b) I que siguin dos asos?

51. ●●● En una urna tenim deu boles amb les xifres 0 a 9. Traiem una bola i, sense tornar-laa la urna, traiem una segona bola. Si consideremel nombre que surt (1a bola: xifra de les desenes):

a) Quina probabilitat hi ha que sigui múltiplede 5? I de 3?

b) Quina és la probabilitat que la segona bolatingui un nombre més petit que la primera?

52. ●● Si agafem quatre fitxes de dòmino, quina ésla probabilitat que cap sigui una fitxa doble?

COM CALCULEM LES PROBABILITATSEN EXPERIMENTS COMPOSTOS?

42. ●● Quants resultats són possibles en el llançament de tres daus?Fes un diagrama d’arbre i calculala probabilitat d’obtenir almenys un sis.

PRIMER. Com que en el llançament d’un dau hi ha6 resultats possibles, en aquest experimentcompost tindrem: 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 216.

SEGON. Fem un diagrama amb els possiblesresultats.

TERCER. Si anomenem A = {no treure cap 6},la probabilitat de A serà:

QUART. La probabilitat de l’esdeveniment contraria A, A = {treure almenys un 6}, serà

P A( ) ,= − = =1125216

89216

0 412

P A( ) = ⋅ ⋅ =56

56

56

125216

FES-HO AIXÍ

66no 6

no 6

61/6

5/6

6no 6

66no 6

no 6

no 66no 6

➀ ➁ ➂ ➃

830863 _ 0269-0282.qxd 26/12/07 12:22 Página 280

53. ●●● Una màquina d’una fabrica té dos motors.La probabilitat que, en un torn de l’empresa de 8 hores, falli un dels motors és del 3,5 %,encara que la màquina pugui funcionar amb un sol dels motors. Quina probabilitat hi ha que la màquina no acabi el torn?

54. ●● En una empresa hi ha 215 treballadors,repartits de la manera següent:

Si escollim una persona a l’atzar:

a) Quina probabilitat hi ha que sigui una dona?

b) I que sigui una dona sense ulleres?

INVESTIGA

55. ●● El segon problema que el cavaller De Meréva plantejar a Pascal era el següent:

Què és més avantatjós, apostar a treure almenysun 6 en quatre tirades seguides d’un dau o notreure cap 6?

Calcula les probabilitats de cada un dels esdeveniments anteriors.

56. ●● Sobre una taula posem quatre cartes (un rei i tres cartes diferents) cap per avall. Les aixequem una a una fins que traiem el rei.

Escriu l’espai mostral i calcula la probabilitatque el joc acabi en dues jugades.

57. ●● En un grup de 30 alumnes de 2n d’ESO hi ha 17 nois, dels quals 8 són rossos, i de les alumnes, 7 no són rosses. Si escollim un alumne a l’atzar:

a) Quina és la probabilitat que sigui una noia?

b) I que no sigui rossa?

58. ●● Considera l’experiment aleatori que consisteix a escollir a l’atzar un nombre de l’1 al 30. Siguin els esdeveniments:

A = {Obtenir nombre parell més petit o igual que 14}.

B = {Obtenir un múltiple de 3 més petit o igual que 10}.

C = {Obtenir un múltiple de 10}.

Calcula les probabilitats de cada esdeveniment,i també les dels seus contraris.

59. ●●● Un joc consisteix a llançar un dau diversesvegades fins que surti un 6, aquí el joc s’acaba.Calcula:

a) La probabilitat que el joc s’acabi en la primerajugada.

b) La probabilitat que s’acabi abans de la quartajugada.

c) La probabilitat que s’acabi exactament a la quarta jugada.

60. ●● En una urna hi ha 10 boles vermelles i un determinat nombre de boles negres. Calcula quantes boles negres hi ha d’haver per tal que:

a) Hi hagi la mateixa probabilitat de treure els dos colors.

b) La probabilitat de treure una bola vermellasigui de 0,265.

c) La probabilitat de treure una bola negra siguide 0,75.

61. ●●● En una urna hi ha boles de diversos colors.Calcula quantes boles hem d’agafar com a mínim per estar segurs de treure’n duesdel mateix color si:

a) Hi ha boles de 3 colors diferents.

b) Hi ha boles de 4 colors diferents.

c) Hi ha boles de 5 colors diferents.

c) Hi ha boles de n colors diferents.

62. ●●● Tres persones, A, B i C, llancen un dardsobre una diana. Les seves probabilitatsd’encertar, són, respectivament, de 0,7, 05 i 0,2.Troba la probabilitat d’encertar entre els tres si cada un llança quan l’anterior no encerta.

281

Homes Dones

Amb ulleres 65 43

Sense ulleres 54 53

830863 _ 0269-0282.qxd 17/12/07 10:04 Página 281

282282

A la vida quotidiana63. ●● Una empresa es dedica a construir i vendre

uns objectes de tres peces fabricades cada unad’elles per tres màquines, A, B i C, diferents en una cadena de muntatge. Un objecte esconsidera defectuós si ho és alguna de les pecesque el formen.

Les probabilitats que un objecte surti defectuóssón: màquina A, del 3 %, màquina B, del 10 %i màquina C, el 5 %.

Quina és la probabilitat que un objecte no surtidefectuós de la cadena de muntatge?

64. ●● Es fabrica una diana per jugar de manera que la puntuació sigui proporcional a la superfície. Si el radi de cada un dels cerclesés d’1, 2, 3 i 4 cm, calcula la probabilitat de cadauna de les zones.

Quant sumen les probabilitats?

Quina puntuació assignaries a cada una de les zones?

65. ●●● Històricament, l’estudi de la probabilitat haanat associat als jocs d’atzar. Entre els mésconeguts hi ha la ruleta, introduïda a Françaal segle XVIII i que va ser estudiada pel matemàticfrancès D’Alembert. La ruleta és un jocque utilitza una roda o plat giratori horitzontalamb 37 subdivisions radials. A cada una hi ha escrit un nombre i està pintada d’un color.La col·locació i el color dels nombres és el queveus al requadre de baix.

1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 1011 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 – 19 – 2021 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 – 28 – 29 – 30

31 – 32 – 33 – 34 – 35 – 36 – 0

Les apostes senzilles són

• Vermell• Negre• Parell• Imparell• Falta (surt un número de l’1 al 18)• Passa (del 19 al 36)

Els jugadors fan les apostes (n’hi ha moltavarietat) i el crupier tira la bola, que cau en un nombre. Si és el 0 guanya la banca.

a) Calcula la probabilitat de cada una de les apostes senzilles.

b) Calcula la probabilitat d’altres apostesmúltiples:i) Parell i falta

ii) Imparell i vermelliii) Vermell, parell i passaiv) Cavall (s’aposta a dos números seguits)v) Ple. S’aposta a un únic número

A3 %

B10 %

C5 %

A

BCD

830863 _ 0269-0282.qxd 17/12/07 10:04 Página 282