Semana 1: Tema 1: Vectores

1.1 Vectores y adición de vectores

1.2 Componentes de vectores

1.3 Vectores unitarios

1.4 Multiplicación de vectores

Vectores

Los vectores son cantidades que tienen

tanto magnitud como dirección y

sentido y que siguen ciertas reglas de

combinación.

Ejemplos: fuerza, velocidad,

aceleración, campo eléctrico, campo

magnético, etc.

Representación gráfica de

un vector

Componentes rectangulares

En tres dimensiones

SUMA DE VECTORES

(GRÁFICAMENTE)

SUMA(RESTA) DE VECTORES

(GRÁFICAMENTE)

Propiedades de la Suma de Vectores

)asociativa(ley f )e d( )f e (d b)

a)commutativ(ley ab ba a)

Vectores unitarios

Todo vector que tenga magnitud igual a

la unidad de medida se define como

vector unitario.

Ejemplo:

En general todo vector es

un vector unitario

un

n

Ejemplo 1.1:

¿Cuáles son las componentes de un

vector a en el plano xy si su dirección es

de 252° antihorario del eje x positivo y su

magnitud es de 7.34 unidades?

Respuesta :

:gráfica

siguiente lahacer podemospiden que loentender Para

.ay ahallar debemos , a es vector nuestro si decir, es

res,rectangula scomponente las pidiendo esta problema El

:Solución

Unidades7.34 Magnitud , 252

:Datos

yx

98.6y 27.2

:obteniendo

)252(34.7y )252cos(34.7

: valoresdosustituyen

)(y )cos(

: tenemosgráfica la departir A

00

yx

yx

yx

aa

senaa

asenaaa

ji

aa

asena

yx

yx

98.627.2a :Respuesta

98.6y 27.2

:obteniendo

)18cos(34.7y )18(34.7

decir es salen, no cálculo losen pues scomponente

las de signos los presente tener debemos caso esteen ,18 de

ángulo elcon trabajar podemos también queObserven

00

Ejemplo 1.2:

La componente “x” de cierto vector es de

-25 unidades y la componente “y” es de

43 unidades. ¿Cuál es la magnitud del

vector y el ángulo entre su dirección?

Respuesta:

83.59)25

43(tan)(tan

74.494325

:quesaber Debemos

:Solución

y piden nos , 43y 25 que

tenemosb : como vector nuestro osconsideram Si

:Datos

11

2222

x

y

yx

yx

b

b

bbb

b bb

:problema del gráficación representa una Hagamos

0

000

120.17y 49.74b :Respuesta

17.12083.59180180

:tenemos

positivo x eje el desde es respuesta nuestra Como

Ejemplo 1.3

Una pieza pesada de maquinaria es

elevada y deslizada a lo largo de 13 m en

un plano inclinado orientado a 22° de la

horizontal, como se muestra. (a)¿A qué

altura de su posición original es

levantada? (b)¿A qué distancia se movió

horizontalmente?

Respuesta

m. 12 b)y 5m a) :Respuesta

586.4)22(13

: tenemoscaso esteen y opuesto

cateto elcon relacionar puede se sube que lo es Como

12)22cos(13

:que lopor dado ángulo al adyacente cateto elcon

relacionar puede se pieza la avanza que lo es Como

:Solución

? b)y ? a) ;22 ;13

:Datos

msenL

L

mL

L

LLmL

y

y

x

x

xy

Ejemplo 1.4:

Una partícula viaja 20 km hacia el norte y

después 35 km en dirección 60° al oeste

del norte. Encuentre la magnitud y

dirección del desplazamiento resultante.

Respuesta:

Norte del Oeste al 60 ;35 ;90 ;20

:Datos

kmbkma

bac

entodesplazamiun dedirección y magnitudpiden Nos

.15090

ánguloun de hablando estaríamos x,las de positivo

eje el desde b de ángulo el tomamossi quedecir es

kmjic

bacbac

senbb

aa

yyyxxx

yx

yx

02.485.37305.3730

5.37y 30

:decir es

5.17)150(35y -30)150cos(35

20y 0

:Solución

22

:que de hecho el empleamos

entodesplazami vector deldirección lahallar Para

129 48km; :Respuesta

128.6651.34-180 :obtenemos positivo

x eje al Respecto ;34.5130

5.37tan)(tan 11

x

y

c

c

Ejemplo 1.5:

Dos vectores están dados por

y .

Halle:

(a) , (b) ,

( c) un vector tal que .

kjia 34

kjib 4

ba

ba

c

0cba

Respuesta:

.k3j4i5k41

j13i14k4jikj3i4ba b)

.k5j2i3k41

j13i14k4jikj3i4ba a)

:Solución

0cba :que talcHallar c)y

?ba b) ;?ba a) ;k4jiby kj3i4a

:Datos

k3j4i5

bac0cba c)

Ejemplo 1.6:

Hallar el vector unitario que se

encuentra en la dirección del vector

.

u

kjin 33

Respuesta:

:pide se que loilustrar a ayuda gráfica idea La

:Solución

kj3i3n dedirección laen cuentraen se ;?u

:Datos

kjikji

n

nu

n

nn

n

23.069.069.036.4

33

:manera siguiente la de

procedemos , dedirección laen unitarioun vector hallar Para

unitario.

un vector es no luego ,136.4133

: de magnitud la Hallemos

222

Ángulos directores

Ejemplo 1.7:

Hallar los ángulos directores del vector

.

kjin 33

Respuesta:

74.76)36.4

1(cos

y 52.46)36.4

3(cos :teAnálogamen

52.46)36.4

3(cos :decir es

)(cos)cos()cos( Como

:Solución

kj3i3n vector del y ;Hallar :Datos

1

1

1

1

n

n

n

nnn xx

x

Multiplicación de vectores

Un vector por un escalar

Producto punto o producto escalar

Producto cruz o producto vectorial

Un vector por un escalar

El producto de una escalar por

un vector , escrito , se

define que es un nuevo vector cuya

magnitud es

. El nuevo vector tiene el

mismo sentido que si es

positivo y el sentido opuesta si es

negativo.

c

a c

a

c a

ac

a cc

Producto punto o producto

escalar

Se define como:

zzyyxx babababa

)cos(

abba

Ejemplo 1.8:

Use las ecuaciones anteriores para

calcular el ángulo entre los dos vectores

.

kjibkjia 32y 333

Respuesta:

26.2245.19

18cos

74.32.5

331323cos

312333

.k3ji2 k3j3i3

cosba

cos )cos(ba

: despejando ),cos(ba :que Conocemos

:Solución

.k3ji2by k3j3i3a

vectoreslos entre ocomprendid ?,Hallar :Datos

11

22222

11

abab

ab

Producto cruz o vectorial

Se define como:

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

bac

)sen(abbac

Ejemplo 1.9:

Tres vectores suman cero, como se

ilustra. Calcule

(a) ,

(b) , y

( c ) .

ba

ca

cb

Respuesta:

k12

030

004

kji

ba luego j3by i4a

: tenemos,a de inicio elen origen el Suponiendo : víaOtra

k12k)90(ba

: xyplano elen están que Suponiendo a)

:Solución

cb c)y ca b) ;ba a)hallar ,0cba :Datos

absen

:decir es origen, mismo del saliendo

vectoreslosponer econvenient es caso este para ,? b)

ca

k12k)13.143(54k)13.143(ca :Luego

143.1336.87-180-180 luego

,180 además ,87.36)4

3(tan que Observa 1

senacsen

:decir es origen, mismo del saliendo

vectoreslosponer econvenient es caso este para ,? c)

cb

k99.11

k)87.126(53k)87.126(cb

:luego

;87.12687.3690 caso esteEn

senbcsen

Ejemplo 1.10:

Se tienen dos vectores en el plano, cuya

suma es el vector c=(3, -5), y de tal forma

que uno de los vectores sumando tiene

una magnitud de 3 y su ángulo director es

de 1.3 rad. Determine el ángulo, en rad,

que hace el vector resultante con el

segundo de los vectores.

Respuesta:

ji

jsenijaseniaa

a

ba zz

89.28.0

)3.1(3)3.1cos(3)()cos(

:decir es ,avector

del resrectángula scoordenada lashallar podemos ,y aCon

:Solución

.by c

hace que radianesen ,Hallar rad. 1.3 ,3 sea ,cba

que tal,0 donde ,by a vectoresdos los Sea :Datos

rad. 26.0)

83.519.8

05.46(cos)(cos

:obtenemos despejando ),cos(

:decir es escalar, producto el

emplear debemos vectoresdos entre ángulo elhallar Para

89.7y 2.2 :luego

,89.72.2)89.28.0(53decir es

,5389.28.0 que tenemos, Como

1-1-

bc

cb

bccb

bb

jijijib

jibjicba

yx

Ejemplo 1.11:

El producto vectorial de dos vectores es

c=(-4, 2, 0) ,de tal forma que uno de los

factores es a =(0,0,-1), determina al

segundo de los factores si su magnitud es

igual a 5.

Respuesta:

?y 4 ,2 : que concluye se aquí de

24)(100ba

:Solución

5.b si

,bhallar ,cba que tal,by a vectoreslosSean :Datos

zyx

xyyx

zyx

bbb

jijbibibjb

bbb

kji

542by 542b

:problema elpor dadas

scondicione las satisfacen que vectoresdosExisten

:Respuesta

5 :decir es b5

b2025b1645 5b Como

21

2

z

2

z

2

z

kjikji

bz

Ejemplo 1.12: Cap3 Servey N°4.

Dos puntos en el plano tienen coordenadas polares (2.50m;30.0°)

y (3.80m;120.0°). Determine a) las coordenadas cartesianas de

estos puntos y b) la distancia entre ellos.

Ejemplo 1.13: Cap3 Servey N°10.

Un avión vuela desde su campamento base hasta el lago A, a una

distancia de 280 km en una dirección de 20.0° al norte del este.

Después de dejar caer provisiones vuela hacia el lago B, ubicado

a 190 km y 30.0° al oeste del norte desde el lago A. Determine

gráficamente la distancia y la dirección desde el lago B al

campamento base.

Ejemplo 1.14: Cap3 Servey N°14.

Un perro que busca un hueso camina 3.5 m hacia el sur, después

8.2 m en un ángulo de 30.0° al norte del este y finalmente 15.0 m

al oeste. Encuentre el vector desplazamiento resultante del perro

utilizando técnica gráficas.

Ejemplo 1.15: Cap3 Servey N°30.

El vector A tiene componentes y de -8.70 cm y 15.0 cm,

respectivamente; el vector B tiene componentes x y y de 13.2

cm y -6.6 cm, respectivamente. Si A - B + 3C=0, ¿Cuáles son

las componentes de C?

x y

Ejemplo 1.16: Cap3 Servey N°36.

Un mariscal de campo toma el balón desde la linea de golpeo,

corre hacia a tras 10 yardas y después recorre 15 yardas en

paralelo a la misma línea de golpeo. En este punto lanza un

pase recto de 50 yardas dentro del campo, perpendicular a la

línea de golpeo. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento

resultante del balón de futbol?

Ejemplo 1.17: Cap3 Servey N°40.

Usted se encuentra de pie sobre el piso en el origen de un

sistema coordenado. Un aeroplano vuela sobre usted con

velocidad constante paralela al eje x y a una altura constante de

. En t = 0 el aeroplano está directamente encima

de usted, por lo que el vector desde usted al aeroplano está

dado por . En t = 30.0 s, el vector de

posición que parte de usted al aeroplano es de

Determine la magnitud y orientación del vector posición del

aeroplano en t = 45 s.

m 1060.7 3

jP )m 1060.7( 30

jiP )m 1060.7(m) 1004.8( 3330

Vectores

El profesor orientará la tarea y cuando

deberás hacer el examen

correspondiente a esta Tarea.

Fin del Tema 1