VECTORES FIJOS Y LIBRES EN EL ESPACIO · se denominan ortogonales si son perpendiculares. Una base...

el blog de mate de aida MI: apuntes de vectores y rectas pág. 1

VECTORES

1.- LOS EJES CARTESIANOS Y EL ORIGEN

El eje horizontal se llama eje de abscisas y el eje vertical se llama eje de ordenadas. El punto de corte

de los ejes se llama origen.

COORDENADAS DE LOS PUNTOS DEL PLANO

Las coordenadas de un punto del plano vienen dadas por un par ordenado de números. La primera

coordenada se mide sobre el eje de abscisas; se llama abscisa del punto. La segunda coordenada se

mide sobre el eje de ordenadas y se llama ordenada del punto.

2.- DEFINICIÓN DE VECTOR

Un vector fijo de origen A y extremo B, es un segmento orientado caracterizado por:

- Dirección o recta que lo contiene (recta que pasa por A y B).

- Sentido (el recorrido al ir de A hacia B.

- Módulo o longitud del segmento correspondiente.

Dos vectores no nulos tienen la misma dirección si se encuentran en rectas paralelas.

VECTOR LIBRE

Todos los vectores que tienen la misma longitud, la misma dirección y el mismo sentido, se llaman

vectores equipolentes. Todos los vectores equipolentes entre sí representan el mismo vector, que

llamaremos vector libre. Las coordenadas de un vector libre son las de uno cualquiera de sus

representantes vectores fijos. El módulo de un vector libre es el de uno cualquiera de sus

representantes vectores fijos.

COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO

Llamamos coordenadas de un vector fijo AB , de origen 11,baA y extremo 22 ,baB , a los

números que se obtienen al restar las coordenadas del extremo menos las del origen:

1212 , bbaaAB

Se llama vector nulo al vector que tiene su origen y su extremo en el mismo punto. Por tanto, sus

coordenadas son nulas.

MÓDULO DE UN VECTOR FIJO

Si A(a1, b1) y B(a2, b2) son las coordenadas de los puntos A y B, entonces las coordenadas del vector

AB son: 1212 , bbaaAB . El módulo de un vector fijo 1212 , bbaaAB es la distancia

entre el origen ),( 11 baA y el extremo ),( 22 baB . Utilizando el teorema de Pitágoras:

2

12

2

12 bbaaAB


El módulo de un vector es siempre un número positivo o nulo.

EJERCICIOS

1º.- Dados los puntos A(1,-3) y B(-2,-1), calcula analítica y gráficamente:

a) Las componentes del vector fijo AB .

b) Un vector fijo equipolente a AB cuyo origen sea el punto C(4,-1).

c) Un vector fijo equipolente a AB cuyo extremo sea el punto F(1,3).

2º.- Dados los puntos A(5,2) y B(1,-2) calcula analítica y gráficamente:

a) Las componentes del vector fijo AB .

b) Un vector fijo equipolente a AB cuyo origen sea el punto C(-1,0).

c) Un vector fijo equipolente a AB cuyo extremo en el punto F(2,2).

3º.- Las componentes del vector fijo AB son (3,2), calcula el punto A si B(1,-1).

3.- OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR

Dado un vector libre u y un número real no nulo k, se llama producto de un número real por un vector y

se designa por uk al vector que tiene: btatut ·,··

- módulo: uk .

- dirección: la dirección del vector u .

- sentido: el mismo que u , si k es positivo.

el opuesto de u ,si k es negativo

SUMA DE VECTORES

Para sumar dos vectores u y v geométricamente, se sitúa un representante de v con su origen sobre

el extremo de un representante de u . El vector suma de ambos es el que tiene el origen de u y el

extremo de v .

Suma de dos vectores analíticamente: la suma de dos vectores u y v de componentes 11,bau y

22 ,bav es otro vector de componentes: 2121 , bbaavu .

RESTA DE VECTORES

Para restar dos vectores se suma el primero con el opuesto del segundo.


4.- COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Un vector u es combinación lineal de v si tienen la misma dirección, es decir, si existe k tal que

ukv · . Se dice que u y v son linealmente dependientes.

Ejemplo: Los vectores 6,2u y 9,3v son linealmente dependientes porque: k 5,16

9

2

3, es

decir, uv ·5,1 .

Una combinación lineal de dos vectores b y c es un vector de la forma cnbm , donde m y n son

números reales.

Ejemplo: (5,-14) = 2 (1,2) + 3 (1,-6); entonces diremos que (5,-14) es combinación lineal de (1,2) y (1,-6).

En general:

Unos vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal

de los demás.

Si ninguno de los vectores es combinación lineal de los restantes, se dice que son vectores linealmente

independientes.

Gráficamente dos vectores son L.D. cuando tienen la misma dirección y por tanto serán L.I. si tienen

distinta dirección.

Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección. En coordenadas, dos vectores 11,bau y

22 ,bav son paralelos cuando sus componentes son proporcionales: 2

2

1

1

v

u

v

u .

Consecuencias de la dependencia lineal:

Si tenemos dos vectores no nulos v y w y queremos expresar el vector nulo como combinación lineal de

ellos: 0·· 21 wava , puede suceder:

- que 1a y 2a sean cero, lo que implica que v y w son independientes, es decir, tienen

direcciones distintas.

- que alguno ó ambos, 1a y 2a sean distintos de cero, lo que implica que v y w son

linealmente dependientes, es decir, tienen la misma dirección.

EJERCICIOS

4º.- Dados los vectores 2,1x e 1,3 y , halla el vector combinación lineal yxz 32 .


5º.- El vector 1,2z , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores 2,3 x e

4,1y ?

5.- BASE. COORDENADAS. DIMENSIÓN.

Un conjunto de vectores es una base si:

- Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de ellos.

- Son linealmente independientes.

Una base del plano está formada por dos vectores linealmente independientes. Por eso se dice que

el plano tiene dimensión dos. En el conjunto de los vectores libres del plano, dos vectores libres

,, 21 uu no nulos y no paralelos, forman una base. Cualquier vector del plano se puede poner como

combinación lineal de ellos.

A los números reales “x”, “y” que permiten descomponer el vector 21 uyuxx se les llama

coordenadas o componentes del vector x respecto de la base 21,uuB .

Convenimos en expresar el vector x en la forma ),( yxx , indicando con ello que los números “x”, “y”

son las componentes del vector en la base elegida.

EJERCICIOS

6º.- Qué pares de los siguientes vectores forman una base:

7º.- Sean los vectores libres = (2, 1), = (1, 4) y = (5, 6). Determina:


1 Si forman una base y .

2 Expresa como combinación lineal de los de la base:

8º.- Comprueba si el vector (5,7) es C.L. de (1,1) y (2,3).

9º.- Comprueba si los vectores (2,1), (0,2) forman una base del plano.

BASE CANÓNICA.

Un vector u se denomina unitario si su módulo es 1.

Dos vectores u , v se denominan ortogonales si son perpendiculares.

Una base se llama base ortonormal si consta de vectores unitarios y ortogonales.

La base más sencilla que podemos definir es la base canónica, ji, , siendo )0,1(i y )1,0(j .

Como )0,1(i y )1,0(j , es evidente que las componentes de w coinciden con las coordenadas del

extremo del vector w situando su origen en el origen de coordenadas.

6.- PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES

Para definir el ángulo que forman dos vectores libres, tomamos dos representantes con el mismo origen.

Si AB es un representante de u y AC es un representante de v , el ángulo en A del triángulo ABC

recibe el nombre de ángulo entre los vectores u y v . El ángulo así definido varía entre 0 y radianes.


El ángulo entre u y v es 0 en el caso en que u y v sean linealmente dependientes con factor de

proporcionalidad positivo y es radianes cuando u y v son dependientes con factor de

proporcionalidad negativo.

El producto escalar de dos vectores u y v se designa por vu y se obtiene del siguiente modo:

.,0

.,,cos

nulovectorelesvóusi

nulosnosonvyusivuvu

vu

Es decir, que el producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del

ángulo que forman.

El producto escalar de dos vectores es un número real, que puede ser positivo, negativo o nulo.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR:

1. El producto escalar de un vector por sí mismo es un número positivo o nulo:

00cos2

uuuuu o

2. El producto escalar es conmutativo: uvvu

3. Asociativa (homogénea): vkuvukvuk

4. Distributiva del producto escalar respecto de la suma de vectores:

wuvuwvu

EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR EN UNA BASE ORTONORMAL:

Sea jiB , la base canónica, y u y v dos vectores cualesquiera:

jyixu , jyixv ''

La base ji, canónica es ortonormal, por lo que sus vectores son de módulo 1: 1 ji y

perpendiculares, por lo que tenemos:

1 ii 0 ji

0 ij 1 jj

Aplicando las propiedades del producto escalar resulta:

'''''''' yyxxjjyyijyxjixyiixxjyixjyixvu

Es decir:

'' yyxxvu


MÓDULO DE UN VECTOR:

El producto escalar de un vector por sí mismo es: 2

0·cos· uuuuu ; por tanto:

El módulo de un vector es la raíz cuadrada positiva del producto escalar por sí mismo:

uuu

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES:

El coseno del ángulo formado por dos vectores se obtiene al dividir su producto escalar entre el

producto de sus módulos:

vu

vuvu

,cos

Sea jiB , la base canónica (ortonormal) y u y v dos vectores cualesquiera, tal que jyixu ,

jyixv '' , entonces: 22 yxyyxxuu

por tanto: 22 yxu

y tenemos:

2222 ''

'',cos

yxyx

yyxxvu

Consecuencias evidentes:

- dos vectores paralelos de igual sentido: uuuu ·

- dos vectores paralelos de distinto sentido: uuuu ·

- dos vectores perpendiculares no nulos: 0uu

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dados dos puntos, A y B, del plano, se llama distancia de A a B al módulo del vector AB : ABBAd ,

La distancia entre dos puntos es siempre un número positivo o nulo, por serlo el módulo de un vector.

Si A(x1, y1) y B(x2, y2) son las coordenadas de los puntos A y B, entonces las coordenadas del vector

AB son: 1212 , yyxxAB , de donde:

2

12

2

12, yyxxABBAd

Propiedades de la distancia:

La distancia entre dos puntos tiene las siguientes propiedades:

1. d(A,B) = 0 A = B

2. d(A,B) = d(B,A)

3. d(A,B) d(A,C) + d(C,B) (desigualdad triangular).


COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:

Consideremos el segmento de extremos A(x1,

y1) y B(x2, y2); sea mm yxM , su punto

medio, entonces se verifica que:

ABAM2

1

De la figura se tiene:

baabaABaAMam 2

1

2

1

2

1

Sustituyendo las coordenadas en la expresión anterior, se tiene:

2

21 xxxm

;

2

21 yyym

Las coordenadas del punto medio de un segmento se obtienen como semisuma de las coordenadas de los

extremos.

COORDENADAS DEL PUNTO SIMÉTRICO A UN SEGMENTO:

Para calcular el punto simétrico B de un punto A respecto a otro C, tomamos C como punto medio de A y

B, y despejamos las coordenadas de B.

CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS:

Los puntos A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores AB y AC tengan la

misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales:

23

23

12

12

yy

xx

yy

xx

DIVIDIR UN SEGMENTO EN TRES PARTES IGUALES:

Las coordenadas de los puntos 1M y 2M que dividen al segmento AB en tres partes iguales se calculan:

ABAM3

11 y ABAM

3

22 .


ECUACIONES DE LA RECTA

Ecuación de una recta es la relación que verifican todos los puntos del plano que se encuentran sobre

ella y sólo ellos.

Una recta queda determinada de dos formas diferentes:

a) Dando un punto A y un vector u que esté en la recta o sea paralelo a dicha recta.

b) Dando dos puntos A y B.

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA:

Consideremos el sistema de referencia jiOR ,, y sea r la recta que pasa por el punto A(x0, y0) y

lleva la dirección del vector 21,uuu . El vector u se llama vector direccional o vector director de

la recta r.

Buscamos un procedimiento analítico que nos permita calcular las coordenadas de cualquier punto

X=(x,y) que pertenezca a la recta.

El vector AX es proporcional al vector u por

estar en la misma dirección.

RtutAX , (siendo t un número real

cualquiera, parámetro).

Si a y x son los vectores de posición de los

puntos A y X, respectivamente, se verifica:

utaAXax , de donde:

Rtutax ,

Se llama ecuación vectorial de la recta r(A, u ) que, expresada en coordenadas, viene dada por:

(x, y)=(x0, y0) + t(u1, u2), con t R.

(Al hacer variar t en R e van obteniendo los puntos de r).

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA:

A partir de la ecuación vectorial expresada en coordenadas, igualando las componentes, se obtiene:

(x, y)=(x1, y1) + t(u1, u2)

21

11

t·u y

t·u xx

y con tR.

Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la recta r. Para cada valor de t se obtiene un

punto de la recta r.

Ejemplo: Calcula las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta que pasa por el punto A=(2,5) y tiene

por vector director 3,1u .


ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA:

A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta r, 01 u y 02 u , despejando t en ambas

ecuaciones e igualando, resulta:

2

0

1

0

u

yyt

u

xxt

2

0

1

0

u

yy

u

xx

La ecuación anterior se llama ecuación continua de la recta r.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:

Operando y simplificando en la ecuación de la recta en forma continua, se obtiene:

00201120110220102 xuyuyuxuyuyuxuxuyyuxxu

Haciendo 2uA ; 1uB ; 0201 xuyuC , resulta:

Ax+By+C=0

La igualdad anterior se llama ecuación general de la recta o ecuación en forma implícita.

El vector director de la recta en forma general es ABu , , ya que Bu 1 y Au 2 .

Entonces: si un vector director de la recta es: ABu , , la pendiente es: B

Am

Recta que pasa por dos puntos:

Conociendo dos puntos A y B de una recta:

Un vector director de esta recta es el vector ABu .

Por tanto, podemos calcular la ecuación de la recta en cualquiera de las formas anteriores.

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA:

Inclinación de una recta es el ángulo que ésta

forma con la dirección positiva del eje de

abscisas.

0º < 180º

Pendiente de una recta es la tangente

trigonométrica de su inclinación (la tangente

del ángulo que forma la parte positiva del eje

de abscisas con la recta). Se suele nombrar con

la letra “m”.

m = tg

- Cuando la inclinación de la recta es un ángulo agudo, la pendiente es positiva.

- Cuando la inclinación de la recta es un ángulo obtuso, la pendiente es negativa.

- Las rectas paralelas al eje X tienen de pendiente 0, ya que su inclinación es de 0º, y las rectas

paralelas al eje Y no tienen pendiente, porque su inclinación es de 90º.


Consideramos la recta r que pasa por el punto

A(x0, y0) y lleva la dirección bau , . Por

definición de tangente se cumple:

a

bm tg

La recta r tiene por ecuación en forma

continua: b

yy

a

xx 00

, de donde

despejamos: 00 · xxa

byy , que es la

ecuación en forma de punto-pendiente de la

recta, pues viene dada en función de un punto y

la pendiente, que es el coeficiente a

b y se

representa por m.

Así, tenemos la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(x0, y0) y tiene por pendiente m:

00 · xxmyy (ecuación punto-pendiente)

ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA:

Despejando la “y” de la ecuación punto-pendiente resulta: 00 mxymxy . Si llamamos

00 mxyn ,

se obtiene la ecuación explícita:

nmxy ,

donde m representa la pendiente de la recta y n es la ordenada para x=0, que se llama ordenada en el

origen (y nos da el punto de corte con el eje vertical).

También se obtiene despejando la “y” de la ecuación general o implícita.

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA SEGMENTARIA:

Si una recta corta a los ejes en los puntos A(a,0) y B(0,b), la ecuación continua de la recta es:

0

0

0

b

y

a

ax, de donde:

b

y

a

x 1 o, de otra forma: 1

b

y

a

x.

ECUACIONES DE RECTAS PARALELAS A LOS EJES:

Rectas paralelas al eje de ordenadas.

Tienen como vector director 2,0 uv por lo

que las ecuaciones paramétricas son:

20

0

·utyy

xx con tR. La ecuación de esas

rectas viene dada por 0xx .


Rectas paralelas al eje de abscisas.

Tienen como vector director 0,1uv por lo

que las ecuaciones paramétricas son:

0

10 ·

yy

utxx con tR. La ecuación de esas

rectas viene dada por 0yy .

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO.

Dos rectas en el plano, según su posición relativa, pueden ser:

- Rectas secantes: si tienen un solo punto en común.

- Rectas paralelas: si no tienen ningún punto en común.

- Rectas coincidentes: si tienen todos los puntos comunes. En este caso no se trata de dos

rectas, sino de una sola.

Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano hay que resolver el sistema formado por sus

ecuaciones, de forma que:

- si tiene una solución, las rectas se cortan.

- si no tiene solución, las rectas son paralelas.

- si tiene infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.

Sin necesidad de resolver el sistema que forman, podemos saber la posición relativa de dos rectas.

Si dos rectas son paralelas, la inclinación de ambas es la misma y, por tanto, su pendiente también. Es

decir, llamando m a la pendiente de la recta “r”, y m’ a la pendiente de la recta “s”, entonces:

si r // s m = m’

Si las rectas están en forma general, es decir, r: Ax+By+C=0 y s: A’x+B’y+C’=0, entonces: ABu , y

','' ABu , de donde: B

Am y

'

''

B

Am . Luego:

si r // s '

'

B

A

B

A ó

'' B

B

A

A


Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano, tendremos en cuenta lo siguiente:

Forma explícita

r: y=mx+n

s: y=m’x+n’

Forma implícita:

r: Ax+By+C=0

s: A’x+B’y+C’=0

r y s secantes mm’

'' B

B

A

A

r y s paralelas m=m’; nn’

''' C

C

B

B

A

A

r y s coincidentes m=m’; n=n’

''' C

C

B

B

A

A

Esto es únicamente válido cuando los denominadores son nulos.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Dados un punto P y una recta r:

- si P pertenece a la recta r, entonces d(P,r)=0.

- si P no pertenece a la recta r, entonces d(P,r)= QP , siendo Q el punto de corte de la recta

r con la perpendicular a r que pasa por P.

Por tanto, para obtener la distancia del punto P

a la recta r, procederemos siguiendo los pasos:

- Trazamos la recta s perpendicular a

r que pasa por P.

- Hallamos el punto Q intersección de

r y s.

- Calculamos la distancia de P a Q.

Para calcular la distancia del punto A(x1, y1) a la recta r: Ax+By+C=0 podemos utilizar la fórmula:

22

11),(

BA

CByAxrAd

DISTANCIA ENTRE RECTAS

Si las rectas r y r’ son secantes o coincidentes, la distancia evidentemente es nula.

Si las rectas r y r’ son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia de un punto cualquiera de

una de ellas a la otra recta.

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS

Se llama ángulo que forman dos rectas al menor de los ángulos que definen.

Dos rectas en el plano pueden ser coincidentes, paralelas o secantes. Si son coincidentes o paralelas, el

ángulo que forman es de cero grados. Si las rectas son secantes, al cortarse en un punto definen

ángulos iguales dos a dos, por ser opuesto por el vértice ( y son suplementarios).


Ángulo que forman dos rectas en función de sus vectores directores.

Sean u y 'u los vectores directores de las

rectas r y r’, respectivamente.

Se llama ángulo formado por dos rectas

secantes al menor de los ángulos que

determinan dichas rectas, y coincide con el

ángulo que forman sus vectores directores.

vu

vuvusr

·

·,cos,cos

Pueden ocurrir los siguientes casos:

cos(r,s) = 0 (r,s) = 90º r y s son perpendiculares r s.

cos(r,s) (0,1) r y s son secantes.

cos(r,s) = 1 (r,s) = 0º r y s son paralelas o coincidentes.

Expresión analítica:

Sean las rectas r y r’ de ecuaciones en forma general:

ABuBAnCByAxr ,,0:

',''',''0''':' ABuBAnCyBxAr

entonces se tiene:

2222 ''·

''',cos',cos

BABA

BBAAuurr

En este caso, para que r y s sean perpendiculares se ha de cumplir:

0'' BBAA

Ángulo que forman dos rectas en función de sus pendientes.

Cuando la inclinación de las rectas r y s viene

dada por sus pendientes m y m‘, el ángulo que

forman se determina del siguiente modo:

'·1

'

·tgtg1

tgtgtgtg

mm

mm

Si las rectas son perpendiculares (=90º) no existe tg. En este caso, 1+m·m’=0, o bien:

mm

1'

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