8/16/2019 Tema 01 - Conceptos Basicos

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CONCEPTOS BASICOS

ECUACIÓN DIFERENCIAL

Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variable

independientes, se dice que es una ecuación diferencial.

EJEMPLOS

(

′′)3

 3

2

 +

 = 0 

 +

 = 52 + 23 

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

La ecuación diferencial se dice que es ORDINARIA si la variable desconocida depende solamente de una variable independiente.

La ecuación (′′)3  32 +  = 0, es una ecuación diferencial ordinaria (EDO), la variable desconocida es y, depende únicamentede la variable independiente x.

ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL

En una ecuación diferencial, si la variable desconocida depende de dos o más variables independientes, se dice que es una ecuación

diferencial PARCIAL.

La ecuación +

  = 52 + 23, es una ecuación diferencial parcial, la variable desconocida z depende de las variables

independientes x, y.

ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El orden de una ecuación diferencial se refiere a la mayor derivada que aparece en la ecuación.

La ecuación (′′)3  32 +  = 0, es de orden dos pues la mayor derivada es y´´ .GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Si una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio, el grado se refiere a la potencia a la que está elebada la mayor

derivada.

La ecuación (′′)3  32 +  = 0 es de grado 3 pues y´´ se halla elevada a la tercera potencia.ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

Una ECUACION DIFERENCIAL de la forma 1()  + 0() = (), se llama ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden.La Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden tiene la forma 2()  + 1()  + 0() = (). La Ecuación Diferencial Lineal de Tercer Orden tiene la forma

3()

 + 2()

 + 1()  + 0() = (). Y así sucesivamente. Las ecuaciones diferenciales lineales deben cumplir dos condiciones

1)  La variable dependiente  y  junto con todas sus derivadas son de primer grado.

2) 

Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x. 

EJERCICIO 1.

Indique si las siguientes ecuaciones son lineales o NO, si no es lineal escriba por qué no cumple, halle el orden de cada ecuación.

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Ecuación Es lineal? Orden de la ecuación

(1 )  4  + 5 = cos() 

(2  1) +  = 0 

5  3 + 6  = 0 

′′ =  

SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

Una función y(x) es solución de una Ecuación Diferencial en un intervalo I, si y(x) satisface la ecuación para todo valor de x en el

intervalo I.

EJEMPLO

Verifique que la familia de curvas  = 1(2) + 2(2), donde 1 y 2 son constantes arbitrarias, son solución de la ecuacióndiferencial  + 4 = 0. 

Simplificando se tiene 0 = 0, por lo tanto la familia de curvas satisface la ecuación diferencial para todo valor de  x en el intervalo

(∞,∞).

EJERCICIO 2.Verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial dada. Se indica con c1 o c2 las constantes.

1.  = −/2 es solución de 2 +  = 0 2.  = 8 es solución de  + 4 = 32 3.  = 3 + 102 es solución de   2 = 3 4.  = 65 65 −20 es solucion de  + 20 = 24 5.  = 5tan(5) es solución de  = 25 + 2 6.  = �1 + √ 2,  > 0;  es solución de  =   7.  = 12 () 12 cos() + 10− es solución de  +  = () 8.  = 13 + 2−4 es solución de ´´ +   12 = 0 9.  = 3cos(2) es solución de ´´ 6 + 13 = 0 10.  = cos(ln(x)),   > 0, es solución de 2´´  + 2 = 0 

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