Telescopio Hubble. Trayectoria prevista paraatravesar los anillos de Saturno.Fuente: http://hubblesite.org

En 1995 los astrnomos encargados del telescopioHubble anunciaron el descubrimiento de al menos dosnuevas lunas orbitando el gigante Saturno, basado enlas imgenes tomadas por este telescopio. Estossatlites tienen rbitas elpticas similares a Atlas yPrometeus (lunas descubiertas en 1980 por el Voyager).Tal y como se observa en el grfico, la trayectoria delHubble y los anillos de Saturno tienen su interseccinen un punto. Esto puede expresarse analiticamentemediante un sistema ecuaciones.

58 Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Ecuaciones 8

Ecuaciones lineales con dos incgnitasSi en una taza con capacidad de 250 cm3 queremos preparar caf con leche,debemos agregar un volumen C de caf y un volumen L de leche. De estamanera, tenemos que:

C + L = 250

Dependiendo del gusto de las personas se podr agregar una cantidad mayorde caf y una menor de leche o viceversa (en este caso 0 < C < 250 y 0 < L < 250).Observa que tanto C como L son variables y una ecuacin como la consideradase denomina ecuacin lineal con dos incgnitas.

De manera ms general una ecuacin lineal con dos incgnitas, con coeficientes reales, es una igualdadde la forma:

ax + by = c

en donde a, b y c son nmeros reales, tanto en el ejemplo de la preparacin del caf con leche, dondehay infinitas formas de prepararlo, pues depende de las cantidades de caf y leche que agreguen, sinsobrepasar la capacidad de la taza, como en el caso general, una ecuacin lineal con dos incgnitas tieneinfinitas soluciones.

Representacin grfica

Las soluciones de una ecuacin lineal con dos incgnitas,ax + by = c, es el conjunto de los puntos del plano cuyascoordenadas satisfacen la ecuacin.La grfica es unarecta.

Por ejemplo, la grfica de la ecuacin

3y - 2x = 4

es la ecuacin de una recta que corta al eje x en el puntoA (-2, 0) y al eje y en el punto B (0, ). Estos puntos, ycualquier otro perteneciente a la recta, son soluciones dela ecuacin dada.

43

-1-2 1 2

-1

1

-2

2

100

100

200 250

200

250

Caf (cm3)

Leche (cm3)

La representacin grfica denuestra situacin con el cafes la que est a la izquierda.x

0

A

B

Reto:Qu significa C=0y qu significa L=0?0

x

y

y

59Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Ecuaciones 8

Supongamos que dos nadadores estn ubicados en los ladosopuestos a y b de una piscina cuya longitud es 50 m. Si salensimultneamente uno hacia el otro, nadando con rapidez constantepor carriles paralelos, el primero a 6 m/s y el segundo a 5 m/s.A qu distancia se cruzan los nadadores?Observa que si ambos nadadores se cruzan al cabo de t segundos,a una distancia de x metros del lado a, mientras el primero harecorrido x metros el segundo ha recorrido 50 - x metros, y sepueden escribir las ecuaciones:

x = 6t50 - x = 5t

Se dice que dos ecuaciones como las anteriores constituyen unsistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas.En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitases un par de ecuaciones del tipo:

a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

en donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2, son nmeros reales. En cada unade las ecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las incgnitases diferente de 0.

50 m

La

do

a

La

do

b

x 50-x

Una solucin comn de estas ecuaciones, si existe, es un par de nmeros reales (x0,y0) tal que:

a1x0 + b1y0 = c1a2x0 + b2y0 = c2

Grficamente, una solucin del sistema es un punto comn a ambas rectas. Dadas dos rectas en el planohay las siguientes posibilidades:

Las dos rectas coinciden

El sistema tiene infinitas soluciones:todos los puntos de ambas rectas.

Se dice que el sistema es compatibleindeterminado.

Las dos rectas tienen un puntocomn

El sistema tiene solucin nica: elpunto (x0 ,y0). Se dice que el sistema

es compatible determinado.

Las dos rectas son paralelasno coincidentes

El sistema no tiene soluciones. Sedice que el sistema es incompatible.

Cmo se resuelve un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas?

Grficamente

Se representan las dos rectas en un mismo sistemade coordenadas y se determinan, con la mayor precisinposible, las coordenadas del punto de corte. Para esto

se puede usar papel milimetrado o un software.

Analticamente

Se usan mtodos basados en manipulacionesalgebraicas: igualacin, sustitucin o reduccin, que

permiten transformar las ecuaciones del sistema a unaecuacin con una sla incgnita.

Cada una de estasecuaciones correspondea la ecuacin de unarecta en el plano.

x

y

O x

y

O x

y

O

60 Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Ecuaciones 8

Matemtica recreativa1. Problema hindRegocjanse los monosdivididos en dos bandos:su octava parte al cuadradoen el bosque se solaza.Con alegres gritos, doceatronando el campo estn.Sabes cuntos monos hay en la manada total?

2. Uno es igual a ceroSi a = 1 entonces a = a2.

Si restamos 1 a los dos miembros, obtenemosa -1 = a2 - 1.

Si simplificamos por a - 1 obtenemos que1 = a + 1.

De donde a = 0es decir, 1 = 0 puesto que a = 1

Cul es el error?

3. El cuadrado mgico Lo-ShuEn un cuadrado mgico, la suma que aparece en cada fila,columna o diagonal es una constante llamada la constantemgica.

1. Piensa en el nmero que t quieras.2. El nmero que pensaste smalo, rstalo o multiplcalocon cada uno de los nmeros del cuadrado original,acomodando los resultados en los mismos lugares.El cuadrado que queda tambin es mgico.Transforma el cuadrado mgico "Lo-Shu" en los cuadradosmgicos que t quieras.Cul es la constante mgica en cada uno de los cuadradosnuevos?Funciona este mtodo con fracciones o con decimales?

492

357

816

4. El apretn de manosLas personas que asistieron a unafiesta se estrecharon la mano. Unode ellos advirti que los apretones

de manos fueron 66 Cuntaspersonas concurrieron a la fiesta?

Benjamn Franklininvestigador estadounidense

(1706-1790).

El primer registro de un cuadrado mgico que aparece en la historia es en Chinaalrededor del ao 2200 a.C. Se llama el "Lo-Shu" y cuenta una leyenda que elemperador Yu lo vio inscrito en el caparazn de una tortuga en las orillas del roAmarillo y que inmediatamente mand a copiarlo en una tablilla de barro. Desdeentonces, se le atribuyeron a este cuadrado mgico propiedades religiosas ymgicas que servan en la astrologa y en la prediccin del futuro. Para los chinoslos nmeros pares representan el "yin", el principio femenino del universo, y losnmeros impares representan el "yang", el principio masculino. En el cuadradomgico "Lo-Shu" ambos principios se encuentran armoniosamente distribuidosy se complementan de manera natural.

61Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Ecuaciones 8

6. El cuadrado de Benjamn FranklinEste cuadrado ideado por Franklin tiene estas propiedades:- Cada fila y cada columna suma 260- La mitad de cada columna y de cada fila suma 130- Los cuatro nmeros de las esquinas ms los cuatro nmeros

del centro suman 260- La suma de los cuatro nmeros de cualquier cuadrado de

2 x 2 es 130Podras encontrar ms propiedades de este cuadrado mgico?

5. Intntalo!Un liceista al estudiar ecuaciones de segundo grado, aprendique si (x-a)(x-b) = 0, entonces las soluciones son x=a y x=b.Pero, encuentra que en la ecuacin (3-x)(x+2)=4 tambinresulta que si 3-x=4 entonces x=-1 y si x+2=4 entonces x=2y ambos resultados son soluciones de la ecuacin dada.Busca una ecuacin donde esto no se verifique, es decir uncontraejemplo.

EX

PL

OR

AT

OR

IA

62 Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Ecuaciones 8

El estudio de algunos temas de lgebra, proporciona la oportunidadal docente de transmitirle a los alumnos la importancia que parala humanidad ha tenido la incorporacin del lenguaje algebraico.

Por otra parte, es importante mostrar que el aprendizaje dellgebra favorece la vinculacin de diferentes ramas de lamatemtica y es una herramienta de comunicacin y modelacinpara otras disciplinas.

A continuacin se dan sugerencias de algunas actividades aseguir para desarrollar el contenido de ecuaciones algebraicas.

Presentar a los alumnos el plan del desarrollo de estecontenido, en el que se contemplen:

El propsito que se persigue en trminos de contenido ycompetencias a alcanzar por los alumnos.

En cuanto al contenido deben considerarse las fases:

Exploratoria

Desarrollo: Situaciones que conducen aecuaciones, resolucin de problemas

Cierre

Comprende la revisin de conceptos previos que losalumnos poseen del tema. Se presentan situaciones quepermitan establecer los conceptos de variable, constante,incgnita y ecuacin como, por ejemplo: en una balanzase colocan diferentes cuerpos, conocindose la masa detodos ellos menos la de uno. Cmo expresar sto conuna ecuacin?

Evaluar a los alumnos proponindoles otras situacionesen las que reconozcan: variables, incgnitas e identifiquenecuaciones: (2x > 3 ; -2x + 3 = 7x -1; x = 8).

CO

NT

EN

IDO

EV

AL

UA

CI

N

63Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Ecuaciones 8

DE

SA

RR

OL

LO

Proponer a los alumnos que investiguen, por equipo, eldesarrollo histrico del lenguaje algebraico.

Este trabajo debe concluir con la elaboracin, por parte delos alumnos, de una lnea del tiempo.

Evale la participacin y motivacin.

Analizar con los alumnos diversas situaciones publicadas enla prensa de problemas vinculados con la realidad donde sepresenten grficos, expresiones verbales o algebraicas.

Presentar una serie de expresiones algebraicas utilizadas enfsica, qumica, geometra con el fin de que identifiquen si sonpolinomios y analicen individualmente sus caractersticas(grado, coeficientes que acompaan las variables, trminoindependiente) y elaborar las grficas que sean posibles.

Explqueles acerca de los mtodos anliticos y grficos parahallar las soluciones de ecuaciones, propngales algunasecuaciones para resolver y proporcineles algunos datos paratraducirlos en una expresin algebraica.

Esta actividad puede realizarse con una calculadora grfica.

Evale, asignando a cada alumno una tabla que contengaexpresiones verbales para que traduzcan a expresionesalgebraicas y viceversa, funciones para que identifiquen sugrfica y ecuaciones para que den soluciones.

CIE

RR

E

Haga un balance acerca de:

Conceptos adquiridos

Competencias desarrolladas

Aplicaciones en las que estn presentes ecuaciones.

BIBLIOGRAFA Beyer, Walter (2003). Didctica de la matemtica. Escuela Venezolana para la Enseanzade la Matemtica. Mrida, Venezuela.

Devlin, Keith (2001). The language of mathematics. W.H. Freeman and Company. NewYork, Estados Unidos.

Legrand, Pierre y otros (1997). Les maths en college et en lyce. Editorial Hachette.Montmorillon, Francia.

Frmulas para resolucin de ecuaciones polinmicas. http://josechu.com/ecuaciones-polinomicas/index-es.htm

Tutorial de splines.http://www.geocities.com/txemijendrix/tutoriales/splinemacro/smspa2.html

Wikipedia. La enciclopedia libre. http://es.wikipedia.org/wiki/portada

Tengo que pensarlo

1. El nmero de oroEl nmero 1,6180339887... tiene su parte decimal iguala la de su inverso Existir algn otro nmero positivox que tenga esta propiedad?

3. El caballo y la mulaUn caballo y una mula caminaban juntos cargando sacos de arena.Sabiendo que si la mula tomara un saco del caballo su carga sera eldoble que la del caballo, y si la mula le diera un saco al caballo suscargas seran iguales cuntos sacos llevaba cada uno?

2. El cuadrado mgicoEn un cuadrado mgico, la suma que

aparece en cada fila, columna o diagonales constante. En la figura se muestra un

cuadrado mgico incompleto. Cul es elnmero que debe figurar en la casilla

marcada por x?

x

1

26

14

4. Cunto vivi Diofanto (s. II a.C.)?El epitafio en su tumba reza as:

Esta tumba contiene a Diofanto. Oh gran maravilla! Y la tumba dicecon arte la medida de su vida. Dios hizo que fuera nio una sexta partede su vida. Aadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba.Le encendi el fuego nupcial despus del sptimo, y en el quinto ao

despus de la boda le concedi un hijo. Pero Ay! nio tardo ydesgraciado, en la mitad de la medida de la vida de su padre, lo arrebatla helada tumba. Despus de consolar su pena en cuatro aos con esta

ciencia del clculo, lleg al trmino de su vida.

Determina cuntos aos vivi Diofanto?

Resultados: 1. Hay muchas soluciones, entre las cuales est: ;

2. x=2; 3. El caballo 5 y la mula 7 sacos; 4. Diofanto vivi 84 aos

3 + 132

13