Sistema de coordenadas

Los embajadoresHans Holbein “El joven”

Pintor alemán (1497-1543)

Esta pintura constituye el ejemplo característico de untipo de retrato renacentista, en el cual el que se retrataestá rodeado por una serie de objetos que manifiestansu interés y sus conocimientos. Entre los objetos,aparte de los instrumentos musicales, destacan: unlibro de aritmética, un globo terráqueo, variosinstrumentos astronómicos y dos relojes de sol.

Situaciones de coordenadas

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En todas estassituaciones, paraubicar una posición enparticular, se precisade un punto dereferencia y asociardos elementos en uncierto orden.

Un avión cuando vuelarequiere enviar a la torre

de control informaciónsobre la latitud, la longitud

y la altura donde seencuentra.

Para poder organizar losproductos en un

supermercado,precisamos conocer elpasillo, el anaquel y el

estante.

En todas estas situaciones, se requiere de un punto de referencia y asociar un número para lograr laubicación.

En todas estas situaciones paraubicar una posición en particular,se precisa de un punto dereferencia y asociar treselementos en un cierto orden.

En cada casillero sedetermina el piso y la letra

que le corresponde alapartamento.

Cualquier punto del globoterráqueo se determina

por su latitud y su longitud.

En el plano de algunasciudades, las esquinas

quedan determinadas porla intersección de unacalle con una avenida.

Descartes fue uno de los primeros filósofos modernos.En 1637 publicó su gran obra “Discurso del método paraconducir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias”,en la que figuran La Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría,siendo esta última un apéndice de dicha obra. En LaGeometría aparecen las ideas sobre lo que hoy se conocecomo sistemas de coordenadas cartesianas debido a laforma latina de su apellido Cartesius.

Los números racionales y algunas raíces como las cuadradas 2 , 3,... n,... se pueden representar en la recta utilizandoregla y compás (son números construíbles con regla y compás), mientras que hay otros números con los que no se puedeusar este procedimiento, como es el caso de e y π que se representan usando aproximaciones.

Postal Av. Urdaneta 1958.

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Sistemas de coordenadas en la rectaEn muchas situaciones cotidianas requerimos de una ubicación en una línearecta. Si estamos en la esquina de Veroes, de la avenida Urdaneta, de Caracas(de frente a El Ávila), y deseamos movilizarnos a la esquina de Carmelitas,debemos caminar dos cuadras a la izquierda. Si queremos ir a la esquina deIbarras, tenemos que caminar una cuadra hacia la derecha.

Cuando leemos en untermómetro podemos observartemperaturas por encima o pordebajo de cero.

Av. Urdaneta

Carm

elita

s

Sta. C

apilla

Veroe

s

Ibar

ras

Pelot

a

Punce

res

Av.

Fue

rzas

Arm

adas

Socor

ro

Ánim

as

El piloto de un avión conoce laaltura a que se encuentra a través

del altímetro.

En estas situaciones, en realidad lo que estamos haciendo es tomar un sistema de referencia en unarecta (vertical u horizontal), donde fijamos un punto de origen y luego consideramos direcciones: derechao izquierda; hacia arriba o hacia abajo; y una “unidad de medida”, como es el caso de la cuadra (100 maproximadamente) o 1 grado centígrado, etc.

Una recta o una curva con un punto O llamado origen y unaunidad de medida definida con otro punto U de la misma, deter-minan un sistema de coordenadas en la recta o en la curva.

O U

Sentido positivo: de O hacia USe asocia: 0 con el origen y 1 con U

0 1 2 3 40

-1-2-3

5 43

= 1 + 13

Teorema de Tales

- 5

5

e ≈ 2,718

π ≈ 3,1416

Teorema de Pitágoras

1

Los símbolos < y > se deben al matemático inglés Thomas Harriot(1560-1621) quien los incluyó en su obra póstuma Artis analyticaepraxis (Londres, 1631) y quién, además, fue un astrónomo prominente(descubrió las manchas solares).Harriot fue el primer matemático destacado enviado al Nuevo Mundocomo agrimensor, por Sir Walter Raleigh en 1585, y realizó lainspección y medición de una porción del territorio de América delNorte.

a es menor que ba < b o b > a

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Orden en la rectaLa recta y la curva en el espacio (2000)

Consuelo Mariño. Pintora españolaHomenaje a la primera muestra de pensamiento simbólico.

Cueva Sudafricana. Hace 100.000-70.000 años.

a b

Para incluir la posibilidad de que los números a y b sean iguales se escribe a ≤ b o bien b ≥ a, que se lee“a es menor o igual que b” o bien “b es mayor o igual que a”, respectivamente.

Un conjunto de números de uso frecuente son los llamados intervalos

Intervalo abierto

(a , b)Números que están entre a y b.No se incluyen ni a ni b.

Notación Descripción

a ba < x < b

60km/h

Intervalo cerrado

[a , b]

Números que están entre a y b,incluyendo a y b.

Intervalo semiabierto

(a , b]

Números que están entre a y b,incluyendo b.

Números que están entre a y b,incluyendo a.

(a, ) Números mayores que a.

a ba ² x ² b

a ba < x ² b

a ba ² x < b

a x > a

a

ax < a

b

Intervalo semiabierto

[a , b)

[0 , 60]

Presto Dinero 1% mensualde 500 000 a

3 000 000 000

[5.105, 3.109]

[a, )x ³ a

x ² a

Números mayores o igualesque a.

(– , a) Números menores que a.

(– , a]Números menores o igualesque a.

No seaceptan

menores deedad

[0,18)

Solicitosecretaria, 22años mínimoy máximo 35

años

[22, 35]

Ejemplo: e < π , - 5 < -1, 1 < e

Representación

Dibujo de la Lunaefectuado por Harriot.

Postal Catedral de Caracas, 1920.

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En muchas situaciones cotidianas requerimos de una ubicación en el plano dealguna ciudad. Si estamos en una esquina del centro de una ciudad como Caracas(como la esquina de La Torre) y le preguntamos a un transeúnte cómo hacemospara ir a la esquina de Altagracia, esta persona nos podría indicar que debemoscaminar dos cuadras hacia el norte y luego dos cuadras hacia el oeste. O bienque podemos caminar dos cuadras hacia el oeste y luego dos cuadras hacia elnorte.

Sistemas de coordenadas en el plano

En realidad lo que está haciendo este individuoes considerar un sistema de referencia en el centrode la ciudad, donde fija como punto de origen ellugar en el que está ubicado y luego tomadirecciones (norte-sur, este-oeste) y una “unidadde medida” en cada una de estas direcciones,que en este caso es una cuadra (aproximadamente100 m).

Una situación similar acontece en el casco centralde varias ciudades del país, donde se toma unsistema de coordenadas para ubicar distintoslugares, como es el caso de numerar todas lasvías en una misma dirección con la denominaciónde calle y asignarle un número, y las que estánen la dirección “perpendicular” como avenidas,atribuyéndole también un número.

Así, si deseamos referirnos a una esquina enparticular, debemos indicar el número de la calley el de la avenida, por ejemplo: avenida 3 concalle 5. Si queremos referirnos a un lugar queestá entre dos calles debemos indicar los númerosde las dos calles y la avenida, por ejemplo: avenida4 con calles 2 y 3.

Ca

lle 1

Av. Urdaneta

Carm

elita

s

Sta. C

apilla

Veroe

s

Llag

uno

Altagr

acia

Mija

res

Jesuitas

Cuarte

l

Conde

Princip

al

La To

rre

Piñan

go

Padre

Sie

rraPlaza

BolívarGra

dilla

s

Muñ

oz

Mar

cos

Parra

Boler

o

Ca

lle 2

Ca

lle 3

Ca

lle 4

Ca

lle 5

Ca

lle 6Avenida 1

Avenida 2

Avenida 3

Avenida 4

Avenida 5

Avenida 6

El trazado de cuadrícula conformando lo que denominamos “manzana” proviene de las normas que habíaestablecido la Corona española y que se llamaban Leyes de Indias, para la creación de los pueblos pertenecientesal reino de España.

N

E

S

O

En las situaciones anteriormente planteadas estamos considerando dos elementos paradar una ubicación. En general en un plano, para dar un sistema de coordenadas cartesiano se consideran dos rectas (denominadas ejes de coordenadas) que se cortan en unúnico punto que usualmente se denota con la letra O y se denomina origen. Sobrecada una de estas rectas se toma una unidad de medida (no necesariamente la mismaen ambos ejes).

Al fijar una unidad de medida en uno de los ejes, tomamos la longitud del segmentoOU como la unidad. De esta manera, en ese eje, tenemos una correspondenciacon los números reales. De la misma forma se procede con el otro eje. Estepar de rectas con sus respectivas unidades de medidas, es lo que sellama sistema de Coordenadas Cartesianas en el plano.

Observa: Dado un punto P del plano, al trazar por P paralelas a los ejes,éstas cortan a dichos ejes en puntos a los que podemos asociar númerosreales que se denominan coordenadas del punto P. También se tieneque: dados dos números reales x e y podemos asociar un único puntoen el plano cuyas coordenadas son el par ordenado (x,y).

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Sistemas de coordenadas en el plano

Para las anotaciones en el juego de ajedrez, se etiquetan lascolumnas con letras y las filas con números. De esta manerapodemos ubicar la posición de una ficha indicando una letra y unnúmero. Para la anotación se acostumbra escribir la ubicaciónanteponiendo la primera letra del nombre de la ficha, por ejemplo,al decir Ag5 significa que estamos jugando el alfil en la posicióng5.

8a 8 b 8 c 8 d 8 e 8 f 8 g 8 h 8

7a 7 b 7 c 7 d 7 e 7 f 7 g 7 h 7

6a 6 b 6 c 6 d 6 e 6 f 6 g 6 h 6

5a 5 b 5 c 5 d 5 e 5 f 5 g 5 h 5

4a 4 b 4 c 4 d 4 e 4 f 4 g 4 h 4

3a 3 b 3 c 3 d 3 e 3 f 3 g 3 h 3

2a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 g 2 h 2

1a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 g 1 h 1

01 2 3 4

1

2

3

4

4

y

x

-1

-1

OrigenEje de las abscisas

Eje

de

las

orde

nada

s

P(x,y)

Abscisa del punto P

x

Ordenada del punto P

y

Coordenadas PolaresAdemás de las coordenadas cartesianas existen otros sistemas de coordenadas enel plano, uno de ellos se forma al considerar una semirrecta e (denominada eje polary cuyo extremo se llama polo y se denota con la letra O) y una circunferencia concentro en el polo.

Para dar las coordenadas polares de un punto P, se consideran la distancia del puntoP al extremo O y el ángulo θ que forma la semirrecta e con el segmento OP. Eneste caso, la primera coordenada está en el intervalo [0 , ) mientras que la segundaen el intervalo [0 , 2π).

Pe

Eje P

olar

O

θ

En general, para establecer un sistema de coordenadasen el plano basta con que demos dos curvas que secortan en un único punto y una unidad de medida encada una de estas curvas. Ahora podemos pensar elplano como una red determinada por todas las curvasparalelas prefijadas.

00

12

34

5a

b

c

d

a b c d e f g h

Nota: Usualmente los ejes x e y son perpendiculares.

Se pueden transformar las coordenadas de un cierto sistema a otro sistema. Por ejemplo: si ( r , θ ) son las coordenadaspolares de un punto en el plano, sus correspondientes coordenadas cartesianas (ejes perpendiculares) vienen dadas porlas fórmulas x = r cos θ, y= r sen θ.Mientras que si ( x , y ) son las coordenadas cartesianas de un punto en el plano, entonces las coordenadas polares seobtienen a través de las fórmulas r = x2 + y2, θ = arc tg .En la actualidad, con las calculadoras científicas se pueden obtener las coordenadas polares de un punto conociendolas coordenadas cartesianas y viceversa.

yx

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Coordenadas y nuestro planeta TierraLa superficie de nuestro planeta se asemeja a una esfera y puededividirse en rejillas delimitadas por infinitas líneas imaginariasdenominadas meridianos y paralelos.

Los paralelos, son circunferencias con centro en el eje de rotación dela Tierra (recta que une los polos), y el paralelo máximo se denominaEcuador. Los meridianos son circunferencias que unen los polos y,por convención, el meridiano de referencia se denomina Meridianode Greenwich.

Para dar la ubicación de un punto P sobre la superficie de la Tierra, seutiliza el Sistema de Coordenadas Geográficas. Según este sistema,el punto P queda determinado por dos números: latitud y longitud.

La longitud es el ángulo entre dos planos determinados por susrespectivos meridianos: uno que contiene al punto P y otro al meridianode Greenwich. La longitud suministra la localización del punto al esteo al oeste del meridiano en referencia. Se mide en ángulos que van de0° en el meridiano de Greenwich, hasta 180° en ambos sentidos (estey oeste).

La latitud es el ángulo que forma el plano ecuatorial, con la recta queune el punto P considerado con el centro de la Tierra. La latitudproporciona la localización del punto al norte o al sur del Ecuador. Seexpresa con ángulos que van desde 0° en el Ecuador, hasta 90° en lospolos.

Sistema de Coordenadas Geográficas

Una vez proyectados los meridianos y paralelos sobre un plano o cartageográfica u oceanográfica, se puede establecer la latitud y longitudde cualquier punto situado sobre la superficie terrestre, tanto en tierracomo en el mar.

Venezuela está ubicada entre los paralelos 0º 38’ 59” N,12º 11’ 23” N y los meridianos 59º 48’ 10” O y 73º 25’ 0” O.

Fuente: MRE, 2003.

RETO:

Busca en un mapa la latitud y la longitud de la capitalde la entidad federal en donde vives.

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El mapa más antiguo del mundo que se conoce en laactualidad se debe a los babilonios, data de más de 4 500años y está dibujado sobre una placa de barro cocido.El primer mapa de las costas de América se debe a Juande la Cosa (español, 1449-1510), quién acompañó a CristobalColón en su segundo viaje, y el primer mapa general deVenezuela (1840), en su conformación geográfica y política,se debe a Agustín Codazzi (Italiano, 1793-1859).

Como la Tierra dura 24 horas en dar una vuelta sobre su eje imaginario,para dar la hora legal de una zona de nuestro planeta se divide elEcuador en 24 partes iguales. Los meridianos que pasan por estasdivisiones dividen la superficie de la Tierra en sectores llamadosHUSOS HORARIOS. Como la longitud de la circunferencia ecuatorialtiene aproximadamente 40 076,64 km, al dividir entre 24, se tiene   ≈1 669 km o, en forma equivalente, como 24 horascorresponden a un giro completo (360º), 1 hora corresponde a 15º.De esta manera dividimos el Ecuador en arcos de 15º, obteniendolos Husos Horarios determinados por los meridianos que pasan porestas divisiones, tomando como 0º el meridiano de Greenwich, 15ºel meridiano que se encuadra a 15º al este del meridiano de referenciay, así, sucesivamente.

A pesar de esta convención, para fijar la hora de un país o de unazona en determinada época del año, también se toman en cuentaotros aspectos como, por ejemplo, las estaciones.

Coordenadas y hora mundial

40 076,6424

40