Tarea5
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Tarea 5 de F´ ısica Estad´ ıstica Fecha de entrega: 12 de mayo 1. Considera un sistema que consiste de dos part´ ıculas, cada una de las cuales puede estar en cualquiera de tres estados cu´ anticos posibles de energ´ ıas respectivas de 0, y3. El sistema est´ a en contacto con un reservorio de calor a temperatura T =1/k. Escribe la expresi´ on de la funci´ on de partici´ on Z si las part´ ıculas con: (a) distribuci´ on de Maxwell-Boltzman y son consideradas distinguibles. (b) distribuci´ on de Bose-Einstein (c) distribuci´ on de Fermi-Dirac 2. Considera una part´ ıcula no relativista en un contenedor c´ ubico de largo L y volumen V = L 3 (a) Cada estado cu´ antico r de esta part´ ıcula tiene una energ´ ıa cin´ etica r que depende de V . ¿Cu´ al es esta r (V )? (b) Encuentra la contribuci´ on de la presi´ on del gas p r = - (∂ r /∂V ) de una part´ ıcula en este estado en t´ erminos de r y V . (c) Usa este resultado para mostrar que la presi´ on media ¯ p de cualquier gas ideal de part´ ıculas que interact´ uan d´ ebilmente est´ a siempre rela- cionada con la energ´ ıa total media ¯ E de la forma ¯ p = 2 3 ¯ E/V indepen- dientemente de si el gas obedecen una distribuci´ on de probabilidad cl´ asica, de Bose-Einstein o de Fermi-Dirac. 3. Encuentra la relaci´ on entre la presi´ on media ¯ p y el volumen V de un gas de Fermi-Dirac ideal a temperatura T = 0. (a) Hazlo con la relaci´ on general ¯ p = - ( ∂ ¯ E/∂V ) T , v´ alida cuando T = 0. Donde ¯ E es la energ´ ıa media del gas a temperatura T = 0. (b) Hazlo usando la relaci´ on ¯ p = 2 3 ¯ E/V calculada del ejercicio anterior. 4. Demostra que la densidad de energ´ ıa de un gas de fermiones sin masa con esp´ ın 1/2, potencial qu´ ımico cero y a temperatura T , es 7/8 la de radiaci´ on de cuerpo negro a la misma temperatura. 5. Calcula la presi´ on como funci´ on de la temperatura para un gas de bosones y haz la gr´ afica. 1
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Tarea mecánica estadistica
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Tarea 5 de Fsica Estadstica
Fecha de entrega: 12 de mayo
1. Considera un sistema que consiste de dos partculas, cada una de las cualespuede estar en cualquiera de tres estados cuanticos posibles de energasrespectivas de 0, y 3. El sistema esta en contacto con un reservoriode calor a temperatura T = 1/k. Escribe la expresion de la funcion departicion Z si las partculas con:
(a) distribucion de Maxwell-Boltzman y son consideradas distinguibles.
(b) distribucion de Bose-Einstein
(c) distribucion de Fermi-Dirac
2. Considera una partcula no relativista en un contenedor cubico de largo Ly volumen V = L3
(a) Cada estado cuantico r de esta partcula tiene una energa cinetica rque depende de V . Cual es esta r(V )?
(b) Encuentra la contribucion de la presion del gas pr = (r/V ) deuna partcula en este estado en terminos de r y V .
(c) Usa este resultado para mostrar que la presion media p de cualquiergas ideal de partculas que interactuan debilmente esta siempre rela-cionada con la energa total media E de la forma p = 23 E/V indepen-dientemente de si el gas obedecen una distribucion de probabilidadclasica, de Bose-Einstein o de Fermi-Dirac.
3. Encuentra la relacion entre la presion media p y el volumen V de un gasde Fermi-Dirac ideal a temperatura T = 0.
(a) Hazlo con la relacion general p = (E/V )T
, valida cuando T = 0.
Donde E es la energa media del gas a temperatura T = 0.
(b) Hazlo usando la relacion p = 23 E/V calculada del ejercicio anterior.
4. Demostra que la densidad de energa de un gas de fermiones sin masa conespn 1/2, potencial qumico cero y a temperatura T , es 7/8 la de radiacionde cuerpo negro a la misma temperatura.
5. Calcula la presion como funcion de la temperatura para un gas de bosonesy haz la grafica.
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6. Encuentra la expresion de TC , valor de la temperatura a la que un gasde bosones comienza a condensarse (en un proceso de disminucion de latemperatura) y muestra que la densidad maxima de partculas ocupandoestados exitados puede escribirse de la forma
n = n(T
TC
)3/2(1)
donde n = N/V es la densidad total de partculas y TC es
7. Muestra que ocurre con la condensacion de Bose-Einstein para el caso deun gas de bosones en dos dimensiones.
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