Taller Algebra Lineal Matrices

Algebra Matricial y OptimizacionSegundo Examen Parcial

Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012

Grupo: Matrıcula: Nombre:

1. (10pts) Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a

cada una de las siguientes afirmaciones:

a) Si la matriz A es invertible, entonces

AT x = 0

tiene infinitas soluciones. R: Si A es invertible, en-

tonces tambien lo es AT. Por tanto, AT x = 0 tiene

solucion unica; es falso que tenga infinitas soluciones.

b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas

soluciones, entonces A · AT no es invertible. R: Si

A x = b tiene infinitas soluciones, entonces A no es

invertible. Tampoco lo es la matriz A ·B cualquiera

que sea la matriz cuadrada B (Si C es la inversa de

A ·B, entonces B ·C es la inversa de A); en parti-

cular, tampoco lo sera A · AT. Es cierto que es no

invertible.

c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces

AT es invertible. R: Si A x = 0 tiene solucion uni-

ca, entonces A es invertible. Ası, es cierto que AT es

invertible.

d) Si la matriz AT no es invertible, entonces

AT ·A x = 0

tiene infinitas soluciones. R: Si AT no es inverti-

ble, entonces tampoco lo es AT · A. Es cierto que

AT ·A x = 0 tendra infinitas soluciones.

e) Si la matriz A cumple que A ·A ·A = I enton-

ces el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones. R:

A ·A ·A = I indica que A es invertible y que su in-

versa es A ·A. Por tanto, A x = 0 tendra solucion

unica: es falso que tenga infinitas soluciones.

dentro de las respuestas posibles:

1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:

2. (15pts) Una Solucion Basica (SB) de un sistema de ecua-

ciones lineales de m ecuaciones con n incognitas que tiene

infinitas soluciones, es una solucion que se obtiene hacien-

do cero exactamente n−m incognitas y que da origen a un

sistema con solucion unica. De hecho, se desaparece(n)

la(s) columna(s) correspondiente(s) a la(s) incognita(s) y

se resuelve el sistema correspondiente para determinar la

SB. Por otro lado, una SB se llama solucion basica fac-

tible (SBF) si ningun valor de sus incognitas es negativo.

Marque en sus hojas de procedimiento las SBF e indique

en orden el numero de SBs y numero de SBFs para el

siguiente sistema de ecuaciones. 1 1 1 5 8

5 1 1 5 32

1 4 1 5 8

x =

4

12

7

Sugerencia: Si planea usar calculadora, note que en lu-

gar de trabajar con la matriz de coeficientes le conviene

trabajar con las columnas de matriz y combinar esto con

el comando augment. Note tambien que en este ejem-

plo debe intentar 10 alternativas; de 5 posibles variables

quedarse con 3:

C5,3 =

(5

3

)=

5!

3! · (5− 3)!= 10.

Respuesta:

Solucion

Nota: Ubicandonos en la interpretacion de la solucion de

un SEL como la busqueda de una combinacion lineal de

las columnas de la matriz de coeficientes que da el vector

de constantes, la definicion formal de solucion basica (SB)

para un SEL con infinitas soluciones

A x = b, A ∈Mm×n y b ∈ Rm

es aquella donde la combinacion lineal buscada no es con

todas las columnas de A, si no que se reduce a una selec-

cion determinada de columnas que corresponde a una base

para Rm. Observe que esto garantiza que con la seleccion

de las columnas de A, el sistema efectivamente tiene so-

lucion unica. La busqueda de la combinacion lineal sobre

esta seleccion de columnas equivale justo a hacer cero los

coeficientes de las columnas que no participan en la combi-

nacion lineal buscada, es decir, a hacer cero las incognitas

del SEL que no corresponden a las columnas seleccionadas.

Estas incognitas se llaman variables no basicas mientras

que las que corresponden a las columnas que forman la

base se llaman variables basicas. Note que la prueba de

que la seleccion de columnas corresponde a una base pue-

de hacerse calculando o la inversa o el determinante de la

matriz cuyas columnas corresponden a la seleccion.

Sean a1, a2, a3, a4 y a5 las 5 columnas de la matriz de

coeficientes A. Sean x1, x2, x3, x4 y x5 las incognitas del

MA4011, segundo examen parcial, semestre enero-mayo 2012 2

SEL y sea b el vector de constantes del SEL. Con esta

notacion:

B1 = {a1,a2,a3} sı corresponde a una base y la so-

lucion correspondiente a [a1 a2 a3|b] es:

x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 0, x5 = 0

esta es una SB y como los valores son no negativos

esta es una SBF.

Note que se ha encontrado que

2 · a1 + 1 · a2 + 1 · a3 + 0 · a4 + 0 · a5 = b



x1 = 2, x2 = 1, x4 = 1/5, x3 = 0, x5 = 0


esta es una SBF.



x1 = −1, x2 = 1, x5 = 1/5, x3 = 0, x4 = 0

esta es una SB y como tiene valores negativos esta no

es una SBF.

B4 = {a1,a3,a4} no corresponde a una base. Esta

seleccion no da una SB.









x2 = 1, x3 = 1/3, x5 = 1/3, x1 = 0, x4 = 0


esta es una SBF.



x2 = 1, x4 = 1/15, x5 = 1/3, x1 = 0, x3 = 0


esta es una SBF.



Resumiendo, el SEL tiene un total de 5 SB de las cuales 4

son SBF.

3. (15pts) Suponiendo que A, B sean matrices n×n inverti-

bles y que I sea la matriz identidad. Determine la inversa

de cada una de las siguientes matrices:

a)

A I I

0 A−1 I

0 0 I

R:

A−1 −I I−A−1

0 A −A

0 0 I

b)

A I I

0 I I

0 0 B

R:

A−1 −A−1 0

0 I −B−1

0 0 B−1

c)

I A I

0 I B

0 0 I

R:

I −A A B− I

0 I −B

0 0 I

Solucion

Las soluciones son obtenidas formando la aumentada

con la matriz identidad: I 0 0

0 I 0

0 0 I

y reduciendo; Siempre haciendo operaciones elemen-

tales de renlgon cuidando que las multiplicaciones

sean siempre por la izquierda.

4. (15pts) Para que valores del escalar a no tiene dimension

3 el espacio generado por las matrices:

A1 =

[1 1

−1 −2

]

A2 =

[−2 0

3 2

]

A3 =

[−1 1

2 0

]

A4 =

[−1 −1− 9 a + a2

1− 2 a 32− 2 a

]Indique su respuesta en las posibles:

1) Hay al menos dos valores de a.

2) No existe valor de a.

3) Solo para el valor a=

Solucion

Al formar una matriz con la vectorizacion de las matrices

dadas y escalonar obtenemos:

B =

1 −2 −1 −1

0 2 2 −9 a + a2

0 0 0 5/2 a− 1/2 a2

0 0 0 −11 a + a2 + 30


Para no tener dimension 3, no se debe tener pivote en la

cuarta columna:

b3,4 = 0 ↔ a = 0 o a = 5

b4,4 = 0 ↔ a = 6 o a = 5

por tanto, a = 5 es el unico valor para el cual ambos ele-

mentos son cero y lo que nos dara 2 para la dimension

del espacio generado por las matrices. Note que al tener

pivotes en la primera y segunda columna, la dimension de

espacio generado es por lo menos dos. El valor de a se

escoge para que la dimension sea 2.

5. (10pts) Busque la respuesta a cada pregunta:

a) Sea A una matriz m×n. Suponga que A x = b tiene

infinitas soluciones para un vector b. ¿A es de rango

columna completo? R: Si A x = b tiene infinitas so-

luciones, entonces las columnas de A son linealmente

independiente. Por tanto, el conjunto de las n colum-

nas de A son un conjunto generador que no es base

para C(A). Por tanto, dim(C(A)) < n. Por tanto,

rank(A) < n, y ası es falso que es de rango columna

completo.

b) Suponga que el sistema A x = b con Am× n, es in-

consistente para un vector b particular. ¿El rango de

A es menor que m? R: Si el sistema A x = b con

Am × n es inconsistente, entonces las columnas de

A no generan Rm y por tanto dim(C(A)) < m. Por

tanto, es cierto que el rango de A es menor que m.

c) Sean A y B matrices m×n y b un vector en Rm. Su-

ponga que B x = b es consistente, que C(A) ⊆ C(B)

y que rank(A) = rank(B). ¿El sistema A x = b

es consistente? R: Si C(A) ⊆ C(B) y rank(A) =

rank(B), entonces C(A) = C(B). Si B x = b es con-

sistente, entones b ∈ C(B), y por tanto b ∈ C(A).

Por tanto, es cierto que A x = b consistente.

d) Sea A una matriz cuadrada. Suponga que es de rango

columna completo. ¿Para cualquier vector b el siste-

ma A x = b tiene solucion unica? R: Si A una matriz

cuadrada n × n de rango columna completo, enton-

ces su rango es n. Por tanto, su rango renglon es

n. Por tanto, cualquier sistema A x = b tiene solu-

cion. Si su rango columna es n, las columnas seran

linealmente independientes; por tanto, es cierto que

cualquier sistema A x = b tiene solucion unica. De

hecho, se deduce que si A una matriz cuadrada n×n

de rango renglon o columna completos, entonces A

es invertible.

e) Sea A una matriz n×n y B una matriz n×m. Supon-

ga que A es de rango renglon completo. ¿El sistema

A X = B tiene solucion unica? R: por el inciso ante-

rior, A es invertible. Por tanto, es cierto que A X = B

tiene solucion unica (la solucion es X = A−1 ·B).


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:

6. (10pts) Busque la respuesta a cada pregunta: Sea A una

matriz n× n:

a) Si AT es invertible, entonces rank (A) < n. R: Si

AT es invertible, entonces A es invertible. Por tanto,

rank (A) = n. Entonces, es falso que rank (A) < n.

b) Si rank (A) = n, entonces ¿existe un vector b pa-

ra el cual el sistema AT x = b s inconsistente? R: Si

rank (A) = n, entonces dim(C(A)) = dim(C(AT)) =

n. Por tanto, C(AT) = Rn. Por tanto, es falso que

existe un vector b para el cual el sistema AT x = b

es inconsistente.

c) Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces rank (A) <

n. R: Si A x = 0 tiene solucion unica, entonces las co-

lumnas n de A forman un conjunto linealmente inde-

pendiente y siendo un conjunto generador para C(A)

forman una base para el. Por tanto, dim(C(A)) = n.

Ası, es falso que rank (A) < n.

d) Si AT es singular, entonces rank (A) = n. R: Si AT

es singular, tambien lo es A. Ası, las n columnas de A

forman un conjunto linealmente dependientes y sien-

do un conjunto generador para C(A), no forman una

base para el. Por tanto, dim(C(A)) < n. Ası es falso

que rank (A) = n.

e) Si el rango renglon de A es n, entonces para cual-

quier matriz B n× q la ecuacion matricial A X = B

tiene solucion unica. R: Si el rango renglon de A es

n, entonces A es invertible. Por tanto, es cierto que

A X = B tiene solucion unica.


1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:

7. (10pts) En las afirmaciones siguientes V es un espacio li-

neal, B es una base para V , G es un conjunto generador

para V , I es un conjunto linealmente independiente de V ,

D es un conjunto linealmente dependiente de V , C es un

conjunto de elementos de V y n es la dimension de V .

Indique como son cada una de las afirmaciones (ninguna

tiene error de dedo):


a) I tiene menos de n elementos. R: No hay suficiente

informacion para concluir eso: puede ser que tenga n

elementos. Se acepta como valida que la afirmacion

sea falsa.

b) D tiene mas de n elementos. R: No hay suficiente in-

formacion para concluir eso: se puede tener un con-

junto linealmente dependiente con un solo elemento

(el vector cero). Aquı el resultado es que: Si un con-

junto tiene mas de n elementos, entonces el conjunto

es linealmente dependiente. Pero su recıproca no ne-

cesariamente es cierta. Se acepta como valida que la

afirmacion sea falsa.

c) Si I tiene n elementos, entonces I es genera a V . R:

Cierto; siendo linealmente independiente y teniendo

n elementos se convierte en base para V y por tanto,

genera a V .

d) Si G tiene menos de n elementos, entonces I es depen-

diente. R: Ambas partes de la implicacion son falsas.

Por tanto, la implicacion es cierta (Recuerde la tabla

de verdad de la implicacion).

e) Si C tiene mas elementos que G, entonces C es lineal-

mente dependiente. R: Sabemos que #(G) ≥ n; por

tanto, si C tiene mas elementos que G, concluirıamos

que #(C) > n. Por tanto, es cierto que C serıa lineal-

mente dependiente.

Respecto a la respuesta

1) Cierto

2) Falso

3) No hay suficiente informacion

Respuesta:

8. (15pts) Si W1 = Gen(B1) y W2 = Gen(B2), donde

B1 =

x1 =

−4

4

−3

−2

1

,x2 =

−4

0

1

0

1

,x3 =

1

4

1

1

1

y

B2 =

y1 =

4

−4

7

2

0

,y2 =

4

4

−3

−2

1

,y3 =

0

8

−10

−4

1

Encuentre la dimension del subespacio interseccion.

Sugerencia: Para cada espacio generado encuentre el sis-

tema de ecuaciones homogeneas que determinan partene-

cer a el.

Solucion

Con los vectores x1, x2, x3 como columnas, formamos la

matriz A1 y con los vectores y1, y2, y3 como columnas for-

mamos la matriz A2. Para determinar las ecuaciones que

caracterızan a los vectores que pertencen a Wi formamos

y reducimos:

[A1|I]→

1 0 0 0 0 −1/4 0 1/4

0 1 0 0 0 3/4 −1 1/4

0 0 1 0 0 −1/2 1 1/2

0 0 0 1 0 5/2 −5 3/2

0 0 0 0 1 3 −4 −3

[A2|I]→

1 0 −1 0 0 0 1/2 1

0 1 1 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 −2 −8

0 0 0 0 1 0 2 0

0 0 0 0 0 1 −7/2 −4

Por tanto, si

B1 =

[1 0 5/2 −5 3/2

0 1 3 −4 −3

]y

B2 =

1 0 0 −2 −8

0 1 0 2 0

0 0 1 −7/2 −4

para un vector x ∈ R5:

x ∈W1 ↔ B1 · x = 02×1

x ∈W2 ↔ B2 · x = 02×1

Por tanto, un vector x ∈ W1 ∩ W2 si y solo si satisface

ambos sistemas; es decir:[B1

B2

]· x =

[02×1

02×1

]= 05×1

Al formar esta aumentada vertical, su reducida queda:1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

Esto nos dice que el unico vector comun a ambos espacios

lineales es el vector 0; concluimos que la dimension del

espacio interseccion es cero.

9. Sean A y B matrices n × n. Considere la afirmacion si-

guiente: Si existe una matriz X tal que

X A XT = BT

entonces rank(B) ≤ rank(A).


a) (5pts) Enuncie las tres variantes de esta afirmacion

condicional.

Solucion

Recıproca

Si rank(B) ≤ rank(A), entonces existe una matriz

X tal que X A XT = BT.

Inversa

Si para toda matriz X se cumple X A XT 6= BT, en-

tonces rank(B) > rank(A).

Contrapositiva

Si rank(B) > rank(A), entonces para toda matriz

X se cumple X A XT 6= BT.

b) (15pts) Demuestre la afirmacion.

Solucion

Supongamos que existe X tal que X A XT = BT. En

particular, existe una matriz Y (que es precisamente

XT) tal que X A ·Y = BT. Por tanto

C(BT) ⊆ C(X A)

Y por tanto rank(BT) ≤ rank(X A). Por otro la-

do, y usando un razonamiento similar pero con

el espacio renglon aplicado a X A, se deduce

que rank(X A) ≤ rank(A). Ası rank(BT) ≤rank(A). Como rank(BT) =rank(B), concluimos que

rank(B) ≤ rank(A).

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